Geometrija u nižim razredima osnovne škole

Mihaela Rašic, Andreja Rogar, Valentina Tisanic

listopad 2016.

PRIRODOSLOVNO - MATEMATICKI FAKULTETMATEMATICKI ODSJEK

1

Sadržaj1 UVOD 4

2 PRVI RAZRED 52.1 Veci – manji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Unutar – izvan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Geometrijska tijela i plohe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3.1 Predmeti oblika kugle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3.2 Predmeti oblika kocke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3.3 Predmeti oblika kvadra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3.4 Predmeti oblika valjka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3.5 Predmeti oblika piramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3.6 Ravna i zakrivljena ploha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Geometrijski likovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5 Crta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.5.1 Ravne i zakrivljene crte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.5.2 Bridovi i stranice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.6 Tocka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.6.1 Sjecište crta, vrhovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.6.2 Crtanje i oznacavanje tocaka, spajanje tocaka crtama . . . . . . 9

3 DRUGI RAZRED 103.1 Dužina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Stranice kvadrata, pravokutnika i trokuta . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 TRECI RAZRED 114.1 Pravac u ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.1.1 Ravnina. Likovi u ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.1.2 Pravac. Polupravac i dužina kao dijelovi pravca . . . . . . . . . 11

4.2 Medusobni odnosi dvaju pravaca u ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2.1 Pravci koji se sijeku (ukršteni pravci). Usporedni pravci. Oko-

miti pravci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2.2 Crtanje usporednih pravaca. Crtanje okomitih pravaca . . . . . 12

4.3 Mjerenje velicina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3.1 Mjerenje dužine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3.2 Mjerenje obujma tekucine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.4 Mjerenje mase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.5 Mjerenje vremena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.6 Krug i kružnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.6.1 Krug. Prenošenje dužina. Uporaba šestara . . . . . . . . . . . . 15

2

4.6.2 Kružnica. Središte i polumjer kružnice i kruga. Promjer kruž-nice i kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5 CETVRTI RAZRED 175.1 Kut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.1.1 Pravi kut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.1.2 Šiljasti i tupi kut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.2 Trokut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.2.1 Vrste trokuta s obzirom na stranice . . . . . . . . . . . . . . . 185.2.2 Pravokutni trokut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.2.3 Opseg trokuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.2.4 Pravokutnik i kvadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.2.5 Opseg pravokutnika i kvadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.2.6 Mjerenje površina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.2.7 Kvadar i kocka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.2.8 Mjerenje obujma kocke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6 ZAKLJUCAK 21

7 LITERATURA 22

3

1 UVODGeometrija je grana matematike koja se bavi ravninskim i prostornim oblicima i nji-hovim odnosima. U nižim razredima osnovne škole djeca se prvi puta susrecu s for-malizacijom geometrijskih pojmova, ucenjem o geometrijskim likovima i tijelima temjerenjima. Pocinje se od jednostavnijih sadržaja, a do kraja cetvrtog razreda ucenicice biti sposobni oblikovati cijeli niz geometrijskih spoznaja. Iz razreda u razred geome-trijsko znanje se proširuje i nadopunjuje, nove matematicke spoznaje nadograduju sena stara znanja zbog cega je izrazito bitno u pocetnim stadijima ucenja stvoriti dobartemelj za daljnja znanja, zainteresirati ih i navesti da samostalno istražuju i aktivno su-djeluju u nastavi. Geometrija nižih razreda može se uvelike povezivati sa svakodnevnimaktivnostima, pojavama, stvarima iz okoline. Kako se radi o ucenicima koji su tek u po-cetcima svojeg školovanja, povezivanjem pojmova sa svakodnevnim životom ce im bitiolakšano razumijevanje geometrijskih sadržaja.

Funkcionalnom komponentom obrazovanja ostvaruje se razvijanje intelektualnih spo-sobnosti, sposobnost promatranja i uocavanja obrazaca. Obrazovna komponenta nastavematematike u nižim razredima osnovne škole odnosi se na usvajanje sadržaja odredenihgeometrijskih pojmova, dok se odgojna komponenta odnosi na formiranje i umnožava-nje pozitivnih svojstava ucenikove osobnosti. Kroz ovaj seminar bit ce predstavljenageometrija nižih razreda osnovne škole kroz metodicke upute kojima ce ucenici lakšeusvojiti geometrijska znanja.

U nacionalnom okvirnom kurikulumu (2010.) geometrija u nižim razredima osnovneškole obuhvacena je prvim ciklusom matematickog podrucja u kojem promatramo ma-tematicke koncepte “Oblik i prostor” te “Mjerenja”. Navedna ocekivana ucenikova pos-tignuca promatranog matematickog koncepta “Oblik i prostor” su prepoznati, imeno-vati, izgraditi, opisati, usporediti i razvrstati crte, plohe te jednostavne dvodimenzi-onalne i trodimenzionalne oblike i njihove dijelove te skicirati jednostavne ravninskeoblike i nacrtati ih služeci se geometrijskim priborom. Osim toga, ucenik ce moci pre-poznati i prikazati jednostavne ravninske i prostorne oblike u razlicitim položajima,istražiti i predvidjeti rezultate sastavljanja i rastavljanja ravninskih i prostornih oblikarabeci stvarne materijale te prepoznati osnovne geometrijske oblike u svakodnevnomuživotu. S druge strane, neka od navedenih ocekivanih ucenikovih postignuca proma-tranog matematickog koncepta “Mjerenja” su usporediti i procijeniti duljinu, obujam,masu, vrijeme i temperaturu te ih izmjeriti koristeci odgovarajuce mjerne uredaje i ka-lendar i primijeniti mjerenja pri rješavanju problema, navesti i rabiti standardne mjernejedinice za duljinu, površinu, obujam, masu, vrijeme i temperaturu u svakodnevnomuživotu. Takoder, ucenici ce moci racunati s novcem u svakodnevnomu životu, racunatiopseg jednostavnih likova poput trokuta, pravokutnika i kvadrata te površinu pravokut-nika i kvadrata.

4

2 PRVI RAZRED

2.1 Veci – manjiU nastavnoj temi „Veci-manji“ ucenici uce na razini konkretnog. Pri poucavanju se ko-riste modeli ili ilustracije. Ovaj odnos najlakše je prikazati crtanjem neka dva predmeta,primjerice dvije jabuke na plocu, gdje je jedna veca od druge i naglašavanjem koji je odta dva predmet veci, a koji manji.

2.2 Unutar – izvanOdnos unutar-izvan najbolje se može predstaviti na konkretnom primjeru, na primjer,korištenjem otvorene kutije i dvije loptice razlicite boje. Jedna loptica se položi unutarkutije, a druga izvan i naglasi se koja boja odgovara loptici unutar kutije, a koja lopticiizvan nje.

2.3 Geometrijska tijela i ploheOva nastavna tema obuhvaca prepoznavanje i imenovanje predmeta oblika: kugla, kocke,valjka, kvadra i piramide. Ucenici u prvom razredu osnovne škole uce na nivou kon-kretnog. Kako bi se lakše uveli u podrucje geometrije i shvatili što taj pojam uopceznaci, geometrijska tijela i plohe usporeduju se s predmetima koji su ucenicima dos-tupni u svakodnevnom životu. U nastavku navodimo primjere predmeta za usporedbu spojedinim geometrijskim tijelom.

2.3.1 Predmeti oblika kugle

Kuglu možemo usporediti s loptom ili narancom. Cilj je da ucenici nauce razlikovati iprepoznati oblik kugle te razvrstati razne predmete u dvije skupine, oni koji imaju oblikkugle i oni koji nemaju taj oblik.

Slika 1. Oblik kugle

2.3.2 Predmeti oblika kocke

Kocku možemo usporediti s kockicom koja se koristi u društvenim igrama, Rubikovomkockom ili kockom šecera. Cilj je da ucenici nauce imenovati oblik kocke i izdvojiti

5

predmete tog oblika od ostalih predmeta koji nemaju taj oblik.

Slika 2. Oblik kocke

2.3.3 Predmeti oblika kvadra

Najjednostavniji primjer za predmet oblika kvadra je zasigurno knjiga, a oblik kvadrasusrecemo i na primjeru hladnjaka, spužve za brisanje ploce, domino kocke, kolaca itd.Obrazovni zadatak nastavnog gradiva „kvadar“ takoder se sastoji od toga da uceniciznaju prepoznati i imenovati oblik kvadra.

Slika 3. Oblik kvadra

2.3.4 Predmeti oblika valjka

Konzerva, svijeca i valjak za tijesto neki su od predmeta ciji oblik odgovara obliku ge-ometrijskog tijela valjak. Ucenici nakon obrade ovog nastavnog gradiva znaju imenovatii prepoznati predmete oblika valjka.

Slika 4. Oblik valjka

6

2.3.5 Predmeti oblika piramide

Za primjer možemo navesti piramidu kao gradevinu ili vrh nekih crkvenih tornjeva.Kako se u svakodnevnom životu ne susrecemo cesto s predmetima koji imaju oblik pira-mide, obrazovni zadatak nastavnog gradiva piramida je imenovati i prepoznati predmeteoblika piramide na slikama.

Slika 5. Oblik piramide

2.3.6 Ravna i zakrivljena ploha

Cilj obrazovnog zadatka nastavnog gradiva „ploha“ je imenovati i prepoznati oblikplohe te razlikovati ravne i zakrivljene plohe. Za ucenika prvog razreda ploha je neštošto se može vidjeti i dodirnuti. Ucenici uocavaju da su predmeti oblika geometrijskihtijela omedeni. Predmeti su omedeni ravnim i zakrivljenim plohama. Kocka, kvadar,kugla, valjak i piramida , kao prethodno spomenuta geometrijska tijela, omedeni su rav-nim i zakrivljenim plohama. Ucenicima se na primjer na modelu valjka može rukompokazati koja je njegova ploha zakrivljena, a koje su ravne.

2.4 Geometrijski likoviObrazovni zadatak nastavnog gradiva o geometrijskim likovima je prepoznati i ime-novati geometrijske likove te ih medusobno razlikovati. Pod geometrijskim likovimamislimo na kvadrat, pravokutnik, krug i trokut. Da bi uveli pojam geometrijskih li-kova, najprije se treba objasniti pojam „strane“ geometrijskih tijela. Ucenici su do sadaupoznati s time da su geometrijska tijela omedena plohama. Svaka ploha geometrijskogtijela cini jednu njegovu stranu. Tako na primjer ucenici na modelu kocke ili kvadramogu uociti da su ta geometrijska tijela omedena sa šest ploha (strana). Nakon togareci cemo da se plohe koje omeduju kocku zovu kvadrati, a plohe koje omeduju kvadarpravokutnici. Ucenici takoder moraju uociti da plohe koje omeduju valjak i kuglu nisupravokutnici i kvadrati.

Ucenici su upoznati da je valjak omeden s dvije ravne i jednom zakrivljenom plo-hom. Ravne plohe valjka imenujemo krugovima. Ucenici na ostalim modelima geome-trijskih tijela uocavaju da ona nisu omedena krugovima. S druge strane, promatranjemtrostrane piramide ucenici su vec ranije zapazili da je ona omedena s ravnim plohama.

7

Te ravne plohe imenujemo trokutima.

Slika 6. Pravokutnik, kvadrat, krug i trokut

2.5 CrtaObrazovni zadatak nastavnog gradiva crta je prepoznati i imenovati crtu, uociti razlikuizmedu zakrivljene i ravne crte i upoznati ravnalo.

2.5.1 Ravne i zakrivljene crte

Ucitelj objašnjava ucenicima pojam crta tako da je rukom nacrta na ploci. Nakon togaucenici to isto naprave u bilježnici. Ucitelj ucenicima pokazuje kako koristiti ravnaloi objašnjava da crtu nacrtanu ravnalom nazivamo ravna crta, a onu koju smo nacrtalirukom nazivamo zakrivljena crta. Opisuje se i izlomljena crta kao crta koja nije ni ravnani zakrivljena i sastavljena je od više ravnih crta. Uvodi se pojam otvorene i zatvorenezakrivljene crte te se objašnjava glavno obilježje zatvorene crte, njena karakteristikada dijeli ravnu plohu na unutarnji i vanjski dio i glavno obilježje otvorene crte, njenakarakteristika da ne dijeli ravnu plohu u kojoj je nacrtana na dva podrucja. Ucenici usvojoj okolini moraju pronaci primjere crta i na geometrijskim likova znati prepoznatida je crta koja omeduju krug zakrivljena, a da su crte koje omeduju pravokutnik, kvadrati trokut ravne.

Slika 7. Ravna i zakrivljena crta

2.5.2 Bridovi i stranice

Cilj je prepoznavanje i imenovanje bridova i stranica. Predznanje za obradu nastavnoggradiva o bridu i stranici je znanje o crti. U prvom razredu osnovne škole brid kocke,kvadra i piramide poistovjecuje se s ravnom crtom, a brid valjka sa zakrivljenom crtom

8

u kojoj se sastaju strane tog geometrijskog tijela. Kvadrat, pravokutnik i trokut omedujuravne crte koje nazivamo stranicama.

2.6 Tocka2.6.1 Sjecište crta, vrhovi

Kako još nije uveden pojam pravca, kažemo da je tocka presjek dvaju crta. S drugestrane, vrhom nazivamo tocku u kojoj se sastaju stranice trokuta, kvadrata i pravokut-nika, odnosno bridovi piramide, kocke i kvadra.

2.6.2 Crtanje i oznacavanje tocaka, spajanje tocaka crtama

Ucenici uce nacrtati tocku. Buduci da je za ucenike prvog razreda osnovne škole tockadefinirana kao presjek dvaju crta, crtamo je kao križic. Nakon toga upoznajemo ih s na-cinom oznacavanja tocaka. Tocke imenujemo (oznacavamo) velikim tiskanim slovima.Uvodi se i pojam istaknute tocke kao tocke koja je oznacena slovom na nekoj nacrtanojcrti te se pokazuju nacini spajanja dvaju tocaka rukom i ravnalom.

Slika 8. Tocka A

9

3 DRUGI RAZRED

3.1 DužinaU prvom razredu ucenici su se upoznali s razlicitim vrstama crta te su stvorene pret-postavke za upoznavanje dužine kao ravne crte koja spaja dvije tocke. Stjecu se dvijespoznaje: dužina je najkraca spojnica dviju tocaka i tocke koje omeduju dužinu zovu sekrajnje ili rubne. Zatim se ucenici upoznaju s nacinom oznacavanja dužine. Na primjer,dužinu cije su su krajnje tocke A i B oznacavamo sa AB

Slika 9. Dužina AB

3.2 Stranice kvadrata, pravokutnika i trokutaNakon što su se ucenici upoznali s pojmom dužine, njenim karakteristikama i oznakom,možemo reci da su stranice kvadrata, pravokutnika i trokuta dužine. Kažemo i da jetrokut omeden s tri, a pravokutnik i kvadrat omedeni su s cetiri dužine.

10

4 TRECI RAZRED

4.1 Pravac u ravnini4.1.1 Ravnina. Likovi u ravnini

Ono što je vrlo bitno na pocetku samog poucavanja pravca jest da ucenici nauce što suravnina i ploha kako bi mogli vizualizirati apstraktan pojam pravca. Plohe ce najus-pješnije usvojiti na osnovi vizualnih materijala tako što ce promatrati objekte u svojojokolini. Jednom kada znaju da su primjerice vidljivi dijelovi ploce, stola, stropa i slic-nog plohe, tocnije granicni prijelaz izmedu tih predmeta i okoline zapravo plohe, javitce se problem zakrivljenih ploha. Naime, da bi ucenicima gradivo bilo ispravno pred-stavljeno treba ih upoznati i sa zakrivljenim plohama pa se tako u nastavu mogu uvestigeometrijska tijela (kocke, kugle, valjci,...) gdje ce dijete moci pokazati koja dijelovi(plohe) geometrijskih tijela su zakrivljeni, a koji ravni. Kada ucenik savlada pojmovezakrivljenih i ravnih ploha, spreman je predociti ravninu. Ravnina se u trecem razredupredocava kao neogranicena ravna ploha. Od ucenika se kroz uvod ocekuje da prihvatipojam ravnine i da ju može zamisliti, potom se krece na prepoznavanje likova u ravniništo je zapravo ponavljanje gradiva prvog i drugog razreda.

4.1.2 Pravac. Polupravac i dužina kao dijelovi pravca

Slika 10. Pravac

Pravac se uvodi preko pojma dužine, koju ucenici prvo prepoznaju kao rubove kva-dra, a onda prenose u bilježnicu. Potrebno je shvatiti što znaci ravna i neogranicenalinija pa se promatraju omedene i neomedene ravne crte. Za ravnu crtu kojoj su is-taknute krajnje tocke kaže se da je omedena. Omedena linija se produži preko svojihkrajeva te se ta ravna, neomedena, odnosno neogranicena linija naziva pravac. Bitno jeucenicima naglasiti kako u bilježnici crtaju samo dio pravca jer je pravac neogranicen.Dogovorno, pravci se oznacavaju malim slovima abecede. Takoder, uocava se da dvijerazlicite tocke ravnine odreduju tocno jedan pravac, a kroz jednu tocku može prolazitibezbroj razlicitih pravaca. Nakon pravca, uvodi se pojam polupravca. Na pravcu seistakne jedna tocka, ta tocka dijeli pravac na dva dijela koji se nazivaju polupravci, aistaknuta tocka pocetnom tockom polupravca. Kada bi se osim prve tocke oznacila jošjedna na pravac, dio od prve do druge tocke nazivao bi se dužinom na pravcu.

11

4.2 Medusobni odnosi dvaju pravaca u ravnini4.2.1 Pravci koji se sijeku (ukršteni pravci). Usporedni pravci. Okomiti pravci

Prvo je potrebno prisjetiti se pojmova pravca i polupravca, zatim crtajuci ih uociti dadva pravca mogu imati jednu zajednicku tocku ili nijednu. Dubljom analizom i crta-njem zakljuciti da se pravci koji imaju jednu zajednicku tocku sijeku i njihov naziv jeukršteni pravci. Kao poseban slucaj ukrštenih pravaca obraduju se okomiti pravci. Njihucenici usvoje presavijanjem papira. Papir se presavije i na njemu oznaci jedna tockaA, zatim se oznaci tocka B na mjestu na koje pada tocka A kada se papir presavije. Napapiru su u tom trenutku tocke A i B i pravac koji se dobio presavijanjem lista. Zatim selist presavije tako da se dobije pravac kroz tocke A i B, nakon provedenog postupka napapiru su dva pravca i oni se nazivaju okomiti. Okomiti pravci se još uocavaju proma-tranjem pravokutnika, dvije stranice koje se sijeku se produlje preko sjecišta i dobijemodva pravca koji su okomiti. S druge strane ako dva pravca u ravnini nemaju zajednickihtocaka, to jest ne sijeku se, oni se nazivaju usporedni ili paralelni pravci. Nakon obradegradiva usporedni pravci, pred ucenike se postavljaju pravci u razlicitim odnosima te onitrebaju odrediti koji od njih su paralelni. U tom trenutku važno ih je nauciti da premdane vide uvijek sjecište, produljimo li ih, oni se mogu sijeci u nekoj tocki ravnine. Uvi-jek je korisno znanje koje treba steci na nastavi povezivati s predmetima i pojavama izživota, tako se primjerice mogu promatrati željeznicke tracnice, ceste i njihova sjecištaodnosno raskrižja i slicno u svrhu produbljivanja znanja o pravcima i korisno je na plocidati vizualni primjer za svaki od navedenih odnosa dvaju pravaca. Takoder, kao pro-vjeru novostecenog znanja, ucenici mogu na primjeru kvadrata ispisati koje stranice suukrštene, okomite i paralelne.

Slika 11. Ukršteni, okomiti i paralelni pravci

4.2.2 Crtanje usporednih pravaca. Crtanje okomitih pravaca

Uz svo teoretsko znanje koje dijete treba usvojiti, javlja se još zapis na papir i crtanjeusporednih i okomitih pravaca. Vezano uz zapis, koriste se oznake “je okomito a⊥b ”

12

i “je paralelno a‖b ”. Ucenik treba biti sposoban simbolima napisati sljedecu recenicu:“Pravac p je okomit na pravac q.”, jednako tako i za usporedne. Kod crtanja ucenici suu trecem razredu vec dovoljno zreli da savladaju rad s trokutom i ravnalom. Zadan imje pravac p i jedna tocka T izvan pravca p pa pomocu navedenog pribora treba nacrtatipravac kroz tocku T usporedan pravcu p. Ucenike se usmjerava da uz pravac p postavenajveci brid trokuta, zatim polože ravnalo (ili trokut) uz drugi brid trokuta te pomicutrokut duž ravnala dok ne dodu do tocke T i onda nacrtaju pravac kroz T. U slucajucrtanja okomitih pravaca zadan im je pravac a i trebaju nacrtati pravac b okomit napravac a. Kao i kod crtanja paralelnih pravaca, prislone najduži brid trokuta uz pravaca i uz trokut onda polože ravnalo (ili trokut). Zatim cvrsto pridržavajuci ravnalo okrenutrokut tako da mu treci brid bude uz ravnalo i onda uz najduži brid trokuta nacrtajupravac b.

4.3 Mjerenje velicina4.3.1 Mjerenje dužine

Cilj je ove cjeline da ucenik usvoji mjerenje dužine, mjerne jedinice, preracunavanjemjernih jedinica i razliku izmedu duljine i dužine. Ucenici spoznaju da mjerenje bezpomagala ne vodi preciznom rezultatu. Velicina se mjeri na nacin da se usporeduje s ma-njom istovrsnom velicinom, u trecem razred to je usporedujuci s velicinama na ravnalu.Mjerenje se vrši pomocu izabrane jedinicne velicine koja se potom usporeduje s velici-nom koja se mjeri. Kao rezultat mjerenja zapisujemo koliko se puta jedinicna velicinanalazi u mjerenoj velicini. Vrlo je važno nauciti preracunavati milimetre, centimetre,decimetre, metre i kilometre medusobno. Kako se u drugom razredu vec uci mjerenjedužina ali ne sa svim navedenim mjernim jedinicama, sada se znanje nadopunjuje i nakraju treceg razreda ucenici znaju sljedece jedinice za mjerenje dužine: kilometar, me-tar, decimetar, centimetar, milimetar. Korisno je porazgovarati s ucenicima o tome gdjesu se susretali s mjerenjem, cega se sjecaju i koji pribor su koristili te odvojiti neko vri-jeme i ucenicima objasniti proces mjerenja gradevinskim metrom pa mjeriti predmete uucionici. Duljina dužine je svojstvo zapisano u dva elementa, prvi je brojcana vrijednostmjerene velicine, a drugo oznaka mjerne jedinice, primjer: 1 m, 2 cm, 12 km,... Nakonnovostecenog znanja o mjerenju dužine i mjernim jedinicama, ucenici ih mogu zbrajatii preracunavati. Primjer pretvaranja kojeg ucenici treceg razreda izvode jest:1 m = 10 dm, 3 m = 300 cm, 2 m =2000 mm100 dm= 1000 cm 1 km = 1000 m

4.3.2 Mjerenje obujma tekucine

U cjelini “Mjerenje obujma tekucine” ucenici ce steci znanje u mjerenju omedenogprostora što ga zauzima tekucina. Ucenici su imali prilike nauciti da je mjerenje dužine

13

usporedba onoga što se mjeri onime što mjeri te je to isti slucaj i kod mjerenja obujmatekucine. Mjerenje se može izvesti i preko obicne caše i vece posude, ucenici bi samipomocu caše napunili posudu vodom te zakljucili koliko caša vode se nalazi u posudi.Da bi ucenicima bilo približeno gradivo kroz svakodnevni život korisno je povezati gas tekucinama kao što su voda, vino, ulje i tako dalje te ih potaknuti da razmišljaju ukojim oblicima vidaju navedene tekucine, tocnije kakvim pakiranjima. Bilo bi dobroucenicima pokazati primjere vece i manje posude pa da prosude u koju stane više te natemelju toga predstaviti im prostor koji omeduju te posude kao obujam tekucine. Krozgradivo upoznati ce se jedinice za mjerenje volumena tekucine - litar, decilitar, hektolitarte ce se preracunavati manje u vece i vece u manje. Osnovno što treba nauciti kodpreracunavanja jest: 1 l=10 dl, 1 hl=100 l. Ono što kod operacija zbrajanja i oduzimanjavelicina za volumen ucenik mora znati je da se prvo preracunaju brojevi tako da imajuiste mjerne jedinice a zatim izvedu racunske operacije prepisujuci mjernu jedinicu.

4.4 Mjerenje maseGradivo “Mjerenje mase” ucenicima se izloži slicno kao i ostala mjerenja koja se dotog trenutka ucili. Pocinje se od povezivanja sa svakodnevnim životom i usporedbirazlicitih predmeta iz okoline. Bitno je utvrditi da predmeti jednake velicine ne morajuimati jednaku masu, ucenici mogu u svakoj ruci držati po jedan predmet od kojih su obaiste velicine, ali ne iste mase. Sprava kojom mogu mjeriti masu je vaga, na kojoj se masapromatranog predmeta usporeduje s masom željeznih utega. U ovoj cjelini, naucit ce semjerne jedinice: kilogram, dekagram, tona i gram. Da bi mogli preracunavati mjernejedinice, upoznat ce njihove medusobne odnose: 1 kg=100 dag, 1 kg= 1000g, 1 dag=10g, 1 t=1000 kg. U tom trenutku poveže se mjerenje mase s mjerenjem obujma tekucinete se masa od jednog kilograma poveže s jednom litrom vode. Zbrajanje i oduzimanjevelicina za masu provodi se slicno kao i kod ostalih mjernih jedinica. Primjeri zadatakas kakvima se ucenici susrecu u ovoj cjelini su: 6 dag=? g, 140 g=? dag, provjerititocnost od 86 g=8 dag 6 g i slicno.

4.5 Mjerenje vremenaZadnje od mjerenja u trecem razredu dolazi mjerenje vremena. Prvo se uce godine,mjeseci, tjedni i dani, a zatim sati i minute. Ucenici su u prvom razredu naucili ocitavatisa zidnog sata koliko je sati. Pomocu tog znanja, predstavi im se mjerenje vremena. Nakraju gradiva, ucenici trebaju biti osposobljeni odredivati tocno vrijeme pomocu sata,zakljucit primjerice koliko sati im je trebalo da prijedu neki put ako su krenuli u 8:30a došli na cilj u 12:10, trebaju znati razlikovati znacenja recenica “sada je 12 sati i 50minuta” i “putovali smo 12 sati i 50 minuta”. Kao u ostalim mjerenjima koje su do ovoggradiva ucili, velicine za mjerenje vremena se preracunavaju, no da bi to mogli provesti,u ovom trenutku je kljucno da su dobro savladali prethodna mjerenja. Preracunavanje

14

ovih mjernih jedinica ne izvodi se u dekadskom brojevnom sustavu i bitno je znati: 1god=12 mjeseci, 1 tjedan=7 dana, 1 dan=24 sata, 1 sat=60 min.

4.6 Krug i kružnica4.6.1 Krug. Prenošenje dužina. Uporaba šestara

Pocevši od geometrijskih tijela kao što su valjak i stožac, ucenici trebaju znati prepoznatikrug kao ravan dio tih geometrijskih tijela. Vizualizacija kruga je prvi korak u ucenju onavedenim geometrijskim likovima. Ucenici su vec upoznati s tim oblicima iz prirode, utom trenutku obrazovanja vrijeme je da se znanje nadopuni i formalizira. U ovoj cjeliniucenici moraju nauciti koristiti šestar i prenositi dužine. Zadaci gdje je nacrtana dužina,a od ucenika se traži da je prenese na drugi dio lista su primjereni u pocetnom stadijurada sa šestarom. Takoder, ako je zadana tocka na pravcu, od ucenika se može tražiti dapocevši od te tocke nanese dužinu duljine 4 cm na pravac.

4.6.2 Kružnica. Središte i polumjer kružnice i kruga. Promjer kružnice i kruga

Slika 12. Kružnica

Kada ucenik nauci osnovne radnje sa šestarom kao što je prenošenje i nanošenje du-žine odredene duljine, on je sposoban shvatiti formalnu definiciju kružnice. Skup svihtocaka ravnine koje su jednako udaljene od neke tocke te ravnine je kružnica, uceniktako definiranu kružnice može poistovjetiti s nanošenjem odredene duljine pocevši odfiksne tocke na ravninu oko te tocke i dobit ce lik kružnice. Uceniku ce biti jasno za-što u definiciji kružnice vrijedi tvrdnja da je kružnice skup svih tocka ravnine jednakoudaljenih od neke tocke jer im se razmak izmedu krakova šestara ne mijenja kada cr-taju kružnicu. Vec u samoj definiciji kružnice istice se fiksna tocka ravnine i duljinakoju nanosimo šestarom oko tocke, stoga se u tom trenutku ucenicima izgraduje cijeliniz spoznaja o pojmovima vezanim uz kružnicu, pojašnjava im se pojam polumjera ipromjera kružnice, kruga i središta kružnice. Bitno je odmah razjasniti razliku izmedukruga i kružnice te polumjera i promjera. U trecem razredu ucenici ce polumjer de-finirati kao dužinu koja spaja središte kružnice s nekom tockom kružnice, a promjerkao dužinu koja prolazi središtem kružnice i krajnje tocke su joj na kružnici. Još jedna

15

stvar koju na koju ce se ucenike poticati jest da uoce da je promjer dvostruko veci odpolumjera kružnice.

16

5 CETVRTI RAZREDU 4. razredu osnovne škole djeca se susrecu sa pojmovima kuta, površine (ploštine) imjerenja obujma. Uceci o tim pojmovima ucenici ce povezati matematiku s osobnimiskustvom i svakodnevnim životom; prepoznati i prikazati jednostavne ravninske i pros-torne oblike u razlicitim položajima. Ucenici ce moci usporediti i procijeniti duljinu,obujam, masu te ih izmjeriti rabeci odgovarajuce mjerne uredaje. Moci ce i približnoili tocno izmjeriti površinu jednostavnih likova prebrojavanjem jedinicnih kvadrata, vo-lumen kocke prebrojavanjem te navesti i rabiti standardne mjerne jedinice za duljinu,površinu, obujam.

5.1 KutKut je dio ravnine omeden s dva polupravca (krakovi) s istom pocetnom tockom (vr-hom); oznaka kut (a,b). Kutovi se nalaze svuda oko nas, možemo ih uociti pogledavšitrokut, klupu, pa i pernicu.

5.1.1 Pravi kut

Dio ravnine omeden s dva medusobno okomita pravca nazivamo pravim kutem. Uceni-cima se pojam pravog kuta približava kroz primjere zidova zgrada, kutova ucionice iliravnala. Pravi kut ucenici si mogu predociti tako da presaviju papir na pola te zatim jošna pola. Kada ga razmotaju, dobivaju 2 medusobno okomita pravca, koja dijele ravninuna 4 jednako velika dijela (prava kuta).Pravi kut crtamo pomocu ravnala i pravokutnog trokuta. Zadamo si polupravac a. Utocki V polupravca a nacrtamo polupravac b okomit na polupravac a. Manju stranicupravokutnog trokuta prislonimo uz polupravac a. Ravnalo prislonimo uz najvecu stra-nicu trokuta te pomicemo trokut duž ravanala dok druga, kraca stranica trokuta ne prodetockom V. Zatim tockom V nacrtamo polupravac b i dobili smo pravi kut s vrhom V.

5.1.2 Šiljasti i tupi kut

Kutove možemo usporedivati tako da stavimo prozirni papir preko jednog kuta i pre-crtamo ga, a zatim stavimo taj papir preko drugog kuta i vidimo koji je od njih veci.Kut koji je manji od pravog kuta naziva se šiljasti kut, a kut koji je veci od pravog kutanaziva se tupi kut.

5.2 TrokutU tijeku prethodnog školovanja ucenici su se vec upoznali trokut imenujuci ga i raz-likovajuci od drugih likova. Upoznavanje trokuta može se olakšati davanjem primjera

17

trokuta u stvarnosti ili pomocu nacrtanog trokuta. Jedan od pojmova koji mogu uceni-cima olakšati upoznavanje trokuta je piramida, koju su upoznali u prvom razredu; onaima cetiri strane, a svaka strana ima oblik trokuta. Trokute možemo vidjeti i na cesti iuz cestu (prometni znakovi).Trokut je dio ravnine omeden s tri dužine. Stranice trokuta sastaju se u tockama koje na-zivamo vrhovima trokuta; vrhove trokuta oznacavamo velikim slovima A, B i C. Trokutje omeden s tri dužine AB, BC i AC, ima tri kuta.

5.2.1 Vrste trokuta s obzirom na stranice

Vrste trokuta s obzirom na stranice možemo proucavati tako da promatramo razlicitetrokute i jedinicnom dužinom od 1 cm izmjerimo njihove stranica. Trokut cije su svestranice jednake duljine naziva se jednakostranican trokut. Trokut cije su dvije stranicejednake duljine naziva se jednakokracan trokut. Trokut cije su sve tri stranice razlicitihduljina naziva se raznostranican trokut.Jednakostranicni trokut možemo nacrtati ravnalom i šestarom. Prvo nacrtamo dužinuAB, zatim duljinu dužine AB uzmemo u šestar i oko tocke B i tocke C nacrtamo kružnicepolumjera duljine uzete šestarom, te dvije kružnice sijeku se u tocki C koja je treci vrhtrokuta. Još dužinama spojimo tocke A, B i C i nacrtali smo traženi trokut.Jednakokracni trokut crtamo tako da nacrtamo dužinu AB, oko tocaka A i B nacrtamodio kružnica polumjera razlicitog od AB; kružnice se sijeku u tocki C koja je treci vrhtrokuta. Dužinama spojimo tocke A, B i C i nacrtali smo jednakokracan trokut.

5.2.2 Pravokutni trokut

Pravokutni trokut je trokut koji ima jedan pravi kut i dva šiljasta kuta. Pravokutni trokutmožemo predociti kao poseban slucaj pravog kuta kojem kraci nisu polupravci, vecdužine.

5.2.3 Opseg trokuta

Jedinicnom dužinom od 1 cm možemo izmjeriti duljine stranica trokuta. Ako zbrojimodobivene vrijednosti, dobili smo opseg trokuta.Opseg trokuta je zbroj duljina njegovih stranica, oznacava se malim slovom o.

5.2.4 Pravokutnik i kvadrat

Pravokutnik se upoznaje vec u prvom razredu; omeden sa cetiri stranice, cetiri vrha icetiri prava kuta, ima po dvije nasuprotne stranice okomite i po dvije nasuprotne straniceparaelne. Jedinicnom dužinom od 1 cm možemo izmjeriti poseban slucaj pravokutnika,tj. kvadrat i vidjeti da ima sve stranice jednake duljine.Kvadrat je pravokutnik cije su stranice jednake duljine.

18

Pravokutnik crtamo tako da prvo nacrtamo pravi kut s vrhom u tocki A, na jednom krakukuta oznacimo tocku B, a na drugom tocku D. Tockom D nacrtamo dužinu usporednu(paralelnu) sa stranicom AB; tockom B nacrtamo dužinu usporednu sa stranicom AD.Tocka u kojoj se sijeku nacrtane usporednice je tocka C, a to je cetvrti vrh pravokutnika.Kvadrat crtamo kao i pravokutnik, samo što crtamo sve stranice jednake duljine.

Slika 13. Kvadrat

5.2.5 Opseg pravokutnika i kvadrata

Opseg pravokutnika i kvadrata izracunava se na isti nacin kao i opseg trokuta, mje-renjem i zbrajanjem stranica. Opseg kvadrata je zbroj svih stranica kvadrata, pišemo:o=a+a+a+a. Opseg pravokutnika je zbroj svih stranica pravokutnika, pišemo: o=a+b+c+d.

5.2.6 Mjerenje površina

Površine mjerimo jedinicnim površinama, a one se zovu jedinicni kvadrati. Manje po-vršine mjerimo manjim, a vece vecim kvadratima (npr.1 kvadratni centimetar 1 cm2, 1kvadratni decimetar 1 dm2).Površinu pravokutnika ili kvadrata možemo izmjeriti tako da prebrojimo koliko primje-rice kvadratnih centimetara ili decimetrana ima zadani pravokutnik ili kvadrat. Površinukvadrata i pravokutnika možemo mjeriti jedinicnim velicinama ili izracunati. Površinu(ploštinu) pravokutnika i kvadrata izracunavamo množenjem mjernih brojeva dviju su-sjednih stranica. Mjerenje površine pravokutnika i kvadrata je jako korisno u svakod-nevnom životu jer njima možemo mnogo toga saznati, npr. kolika nam je površinastana.

19

5.2.7 Kvadar i kocka

Kvadar i kocka su geometrijska tijela koja zauzimaju prostor. Gledajuci model kvadramožemo zakljuciti mnogo cinjenica o njemu. Kvadar je omeden sa 6 ravnih ploha kojenazivamo stranama, omeden je s 12 bridova (mjesta na kojima se sastaju dvije strane) i8 vrhova (mjesta gdje se sastaju 3 brida).Isto tako gledajuci kocku vidimo da je omedena sa 6 strana, 12 bridova i 8 vrhova; svibridovi i strane jednake su velicine.

5.2.8 Mjerenje obujma kocke

Obujam (volumen) je prostor što ga zauzima neko tijelo, primjerice, kocka. Kao štose dužine mjere jedinicama za mjerenje dužine, površine jedinicama za mjerenje povr-šina, obujam (volumen) se mjeri jedinicama za mjerenje obujma. Jedinice za mjerenjeobujma imaju oblik kocke; to mogu biti 1 kubicni centimetar 1 cm3, kubicni decimetar1 dm3.Mjereci obujam kocke tražimo broj koji pokazuje koliko se kubicnih centimetara na-lazi u prostoru kojeg zauzima kocka. Osim mjerenjem, obujam kocke možemo doznatii na kraci nacin, racunanjem. Izmjerimo tri brida kocke i pomnožimo njihove mjernebrojeve.

20

6 ZAKLJUCAKGeometrija u nižim razredima osnovne škole služi za razvijanje psihickih, posebno in-telektualnih sposobnosti kao što su mišljenje, pamcenje, pažnja, promatranje te misaoneoperacije na jednostavnijim objektima. Usvajaju se osnovni geometrijski pojmovi, for-miraju pozitivna svojstva licnosti; tocnost i urednost, služenje geometrijskim priboromte se njeguje osjecaj za ljepotu crteža.

Geometrija u nižim razredima osnovne škole je najosnovnija i najvažnija; njome na-ucimo razlikovati i usporedivati objekte, dio je svakodnevnice koja nas okružuje. Bezgeometrije koja se uci od prvog do cetvrtog razreda ne bismo znali izracunati ni stvarikoje su prijeko potrebe u svakodnevnom životu poput racunanja površine kuce u kojojživimo, mjerenja duljine nekih predmeta, razlikovanja kugle od kocke i slicno.

Ovaj seminar daje pregled gradiva iz geometrije koje se obraduje u nižim razredimaosnovne škole i objašnjava važnost njezina ucenja.

21

7 LITERATURA1. Josip Markovac, Matematika 1, metodicki prirucnik za prvi razred osnovne škole,Alfa, Zagreb, 20092. Filip Curic, Josip Markovac, Matematika 1, udžbenik za prvi razred osnovne škole,Alfa, Zagreb, 2000.3. Josip Markovac, Matematika 2, metodicki prirucnik za drugi razred osnovne škole,Alfa, Zagreb, 2002.4. Josip Markovac, Matematika 2, udžbenik za drugi razred osnovne škole, Alfa, Za-greb, 2010.5. Filip Curic, Josip Markovac, Matematika 3, metodicki prirucnik za ucitelje, Alfa,Zagreb, 1996.6. Filip Curic, Josip Markovac, Matematika 3, udžbenik za treci razred osnovne škole,Alfa, Zagreb, 2001.7. Boško Jagodic, Ivan Mrkonjic, Ðurdica Salamon, Matematika 3, udžbenik za trecirazred osnovne škole, Školska knjiga, Zagreb, 1998.8. Josip Markovac, Matematika 4, udžbenik za cetvrti razred osnovne škole, Alfa, Za-greb,2012.9. Filip Curic, Josip Markovac, Matematika 4, metodicki prirucnik za ucitelje, Alfa,Zagreb, 1996.

22