Mašinski fakultet Univerziteta u Nišu

Prva godina akademskih studija

Inženjerska grafika

geometrijskih oblika(1. predavanje, 1. tema)

Predavač:

Dr Predrag Rajković, red. prof.

Februar 19, 2013 1. predavanje, 1. tema

Inženjerska grafika geometrijskih oblika

Inženjerska grafika je naučna disciplinakoja se bavi:

definisanjem i analizom geometrijskihobjekata

i njihovim transformacijama u prostoru.

Moderna inženjerska grafika počinje sarazvojem kompjuterske tehnologije od1960. godine.

Inženjerska grafika geometrijskih oblika

Inženjerska grafika je tesno povezana sa sledećim matematičkim disciplinama:

Analitička, projektivna i kompjuterskageometrija;

teorija skupova, topologija i numeričkamatematika.

Kombinacija matematičkih disciplina,zbog često vrlo složenih modela, zahteva imoćan kompjuter.

Kompjuterska geometrija

Kompjuterska geometrija je glavni sastavni deo:

kompjuterski podržanog dizajna i proizvodnje

CAD/CAM sistema

(Computer Aided Design and

Computer Aided Manufacturing).

Kompjuterske grafike, umetnosti, animacija,

simulacija.

Kompjuterske vizije i robotika.

Kompjuterska geometrija

Kompjuterske modele možemo kreirati na osnovu:

objekata koji zaista postoje ili

prema našoj zamisli.

lakše je i praktičnije analizirati neki model

nego eksperimentisati sa realnim objektom.

Pred autora se postavljaju strožiji zahtevi i očekuje veće iskustvo i moć imaginacije.

Inženjerska grafika geometrijskih oblika

PROJEKTIVNI SOFTVER

Postoje brojni projektivni (grafički) softveri:

AUTOCAD, RHINOCEROS, SOLIDWORKS, PROENGINEER, PRODESK TOP, ...

ovladavanjem jednim od ponuĎenih softvera,

stvaraju se dobri preduslovi za brzo prilagoĎavanjebilo kojem od preostalih.

Inženjerska grafika geometrijskih oblika

Pojektivni softver RHINOCEROS

2000. verzija 1.1;

2003. verzija 3.0;

2006. Verzija 4.0.

2010. Verzija 5.0.

pruža mogućnost crtanja projekcija

objekata u Dekartovom koordinatnom

sistemu.

Geometrija

Geometrija doslovno znači “merenje površine zemljišta”.

Sam naziv ukazuje da se do odreĎenih zaključaka dolazilo merenjem što većeg broja sličnih slučajeva, dakle induktivno.

Induktivni metod je postupak koji od pojedinačnog vodi ka opštem.

Blizak je našem iskustvu i jednostavan.

Nedostatak metoda je u tome što često nismo u mogućnosti da proverimo sve slučajeve, pa zaključak može biti pogrešan.

Geometrija

Revolucionarni preokret u razvoju nauke predstavlja uvoĎenje deduktivnog metoda.

Suština deduktivnog metoda je u izboru osnovnih pojmova koji se smatraju opšte poznatim i tvrĎenja koja se smatraju tačnim (aksiome i postulati). OdreĎenim metodama zaključivanja dokazuju se sva ostala tvrĎenja (teoreme).

Zvanično se vezuje za staru Grčku i dela Talesa (7. vek p.n.e), Pitagore (6 vek p.n.e.) i naročito Euklida (3. vek p.n.e)

Euklidova geometrija

Geometrija je deduktivno zasnovana i izložena u 13 knjiga pod zajedni čkim nazivom “Elementi “ grčkog matematičara Euklida(325.p.n.e.-265.p.n.e).

Prvi put izložena kao potpun neprotivrečan sistem u knjizi Davida Hilberta “Osnovi geometrije”, 1899.

U izlaganju geometrije

koristimo osnovne pojmove

matematičke logike

i teorije skupova.

Geometrijski oblici

Geometrijski oblik (figura) je proizvoljanneprazan podskup prostora.

Dve figure su podudarne ako imaju sve elemente jednake.

Tačka je geometrijski oblik bez dimenzija.

Modeli tačaka su vrh igle, temena stola.

Tačke označavamo velikim slovima latinice

A, B, C,... .

Prava

Prava je jednodimenzionalni geometrijski objekt odreĎen sa 2 tačke.

Primeri prave su: igla, ivica stola, sunčev zrak na kratkom rastojanju, ...

Prave označavamo malim slovima latinice

a,b,c, ..., p,q,r,s, ...

Ravan

Ravan je je dvodimenzionalni osnovni geometrijski objekt odreĎen sa 3 nekolinearne tačke .

Modeli ravni su pod, zid, tabla, ...

Ravni označavamo grčkim slovima

α, β, γ, ... .

Izvedeni geometrijski pojmovi

Kolinearnost. Tri ili više tačaka su kolinearne ako postoji prava koja ih sadrži.

U protivnom su nekolinearne.

Komplanarnost. Četiri ili više tačaka su komplanarne ako postoji ravan koja ih sadrži.

U protivnom su nekomplanarne.

Izvedeni geometrijski pojmovi

PRESEK DVA OBJEKTA

Dve prave se seku ako imaju jednu jedinstvenu zajedničku tačku.

Prava i ravan se seku ako imaju jednu jedinstvenu zajedničku tačku.

Dve ravni se seku ako postoji bar jedna zajednička tačka i bar jedna koja nije zajednička

Aksiome pripadnosti (incidencije)

I1 Za svake dve razne tačke postoji tačno jedna prava koja ih sadrži.

I2 Svaka prava sadrži bar 2 tačke.

I3 Za svake 3 tačke postoji bar jedna ravan koja ih sadrži.

I4 Za svake 3 nekolinearne tačke postoji tačno jedna ravan koja ih sadrži.

Aksiome pripadnosti (incidencije)

I5 Svaka ravan sadrži bar 3 tačke.

I6 Ako 2 razne tačke jedne prave pripadaju nekoj ravni tada i sve tačke te prave pripadaju toj ravni.

I7 Ako dve ravni imaju jednu zajedničku tačku tada one imaju bar još jednu zajedničku tačku.

I8 Postoje 4 nekomplanarne tačke.

Definicija. Prave su mimoilazne ako ne postojiravan koja ih sadrži.

Aksiome rasporeda

1. Ako važi A-B-C, tada su A, B i C 3 razne

kolinearne tačke.

2. Ako je A-B-C tada je i C-B-A.

3. Ako je A-B-C tada nije i A-C-B.

4. Za svake 2 različite tačke A i B postoji tačka C tako da je A-B-C.

5. Ako su A, B i C tri razne kolinearne tačke

tada je jedna od njih izme]u drugih dveju.

Duž

Duž AB je skup svih tačaka X za koje važi A-X-B.

Tačke A i B su sa raznih strana tačke S ako važi A-S-B.

Poluprava Ox je deo prave x koje čine sve tačke sa jedne strane tačke O.

Ugaona linija je skup svih tačaka dveju polupravih sa zajedničkim početkom.

Ugao je deo ravni ravni omeĎen ugaonom linijom.

Trougao ABC je deo ravni omeĎen sa tri nekolinearne tačke i njima odreĎenim dužima.

Aksioma neprekidnosti (Dedekind)

Ako je otvorena duž razložena na uniju dva

disjunktna skupa tačaka tako da nijedna tačka

jednog nije izmeĎu dveju tačaka drugog skupa,

tada postoji jedinstvena tačka date duži koja

pripada jednom od njih i nalazi se izmeĎu svih

tačaka ovih skupova.

Euklidova geometrija

Aksioma paralelnosti Euklida

Ako tačka ne pripada pravoj tada u ravni njima određenoj postoji tačno jedna prava koja sadrži datu tačku i nema zajedničkih tačaka sa datom pravom

Geometrija zasnovana na aksiomama pripadnosti, rasporeda, podudarnosti, neprekidnosti i paralelnosti je Euklidova geometrija.

Hiperbolična geometrija (Lobačevski)

Aksioma paralelnosti Lobačevskog

Ako tačka ne pripada pravoj tada u ravni njima određenoj postoje bar dve prave koje sadrže datu tačku i nemaju zajedničkih tačaka sa datom pravom.

Geometrija zasnovana na aksiomama pripadnosti, rasporeda, podudarnosti , neprekidnosti i paralelnosti Lobačevskog je hiperbolična geometrija.

Nikolaj Lobačevski (1793-1856)

Hiperbolična geometrija

Dat je granični krug.

Hiperbolične tačke su unutrašnje tačke graničnog kruga.

• Hiperbolične linije su kružni lukovi unutar graničnog

kruga koji su delovi delovi krugova ortogonalnih na

granični krug uključujući njegove prečnike.

Aksioma paralelnosti hiperbolične geometrije: Za datu

liniju i tačku van nje postoje bar 2 linije koje sadrže datu

tačku i paralelne su datoj liniji.

Sferna geometrija

• Izuzetnio važna za navigaciju•Menelaus (oko 100. g.ne.)•Ako za prave proglasimo velike krugove, tada za svake dve razne tačke postoji više pravihkoje ih sadrže.•Zbir uglova u trouglu može biti veći od 2 prava ugla.