Gerak_Dalam_2D_dan_3D

5/14/2018 Gerak_Dalam_2D_dan_3D - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/gerakdalam2ddan3d 1/19

Rosari Saleh dan Sutarto

Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari gerak dalam

satu dimensi yang difokuskan pada analisa kecepatan dam

perpindahan benda. Dalam gerak satu dimensi kita dapat

dengan mudah menganalisa gerak suatu benda. Pada bab ini

kita akan mempelajari gerak dalam dimensi yang lebih

banyak yaitu dalam dua dan tiga dimensi. Tidak seperti pada

gerak satu dimensi, untuk menganalisa gerak benda dalam

dua dan tiga dimensi tidak cukup hanya menjelaskan,

misalnya besar kecepatan saja tanpa menunjukkan ke mana

arah gerak benda tersebut. Agar penjelasan terhadap gerak

benda menjadi lengkap maka kita harus menyertakan

penjelasan tambahan. Tidak hanya gerak benda, posisi suatu

benda dalam ruang dua dan tiga dimensi juga memerlukan

penjelasan yang lengkap agar posisi suatu tempat dapat

diketahui dengan mudah.

Pada gambar terlihat gedung rektorat Unievrsitas Indonesia.

Untuk menunjuk dimana lokasi rektorat kita memerlukanbanyak penjelasan misalnya jarak, arah dan lain sebagainya.

Pada bab ini kita akan mempelajari bagaimana cara

mengidentifikasi posisi dan gerak benda dalam ruang dua

dan tiga dimensi.

Bab yang akan dipelajari:

1. Vektor Posisi dan Kecepatan

2. Vektor Percepatan

3. Gerak Peluru

4. Gerak Melingkar Beraturan

5.

Kecepatan Relatif

Tujuan Pembelajaran:

1. Menentukan posisi benda dalam ruang dua

dan tiga dimensi dengan menggunakan

vektor.

2. Menentukan vektor kecepatan benda dari

informasi posisi.

3. Menentukan vektor percepatan.

4. Menganalisa mengapa benda dapat

mengalami percepatan saat kecepatan

konstan.

5. Menginterpretasi komponen percepatanpada arah tegak lurus dan searah gerak

benda.

6. Menganalisa bentuk kurva gerak peluru.

7. Menjelaskan prinsip utama gerak melingkar

dengan kecepatan konstan dan tidak

konstan.

8. Menjelaskan hubungan antara kecepatan

benda bergerak dipandang dari dua kerangka

acuan yang berbeda.






Bab 3 Gerak dalam Dua dan Tiga Dimensi | 43


Gambar 3.1 Peta sebagian daerah

Universitas Indonesia yang

menunjukkan daerah Balairung,Rotunda dan Rektorat Universitas

Indonesia.

Pada suatu hari, ada seseorang yang bertanya kepada Anda dimanakah

letak gedung rektorat Universitas Indonesia. Pada saat itu Anda

berada di gedung Balairung. Jika anda menjawab, “ gedung rektorat

UI berada pada jarak 200 m dari sini”, tentu saja orang yang bertanya

akan kebingungan, 200 m ke arah mana? Lain halnya jika Andamenjawab, “ gedung rektorat UI berada di 200 m ke arah utara dari

gedung ini.”

Mendeskripsikan posisi suatu tempat tidak cukup hanya menyebutkan

“ jarak ” atau “arah” saja. Agar suatu informasi yang ingin

disampaikan mudah dipahami orang lain maka informasi tersebut

harus jelas. Pada ilustrasi singkat di atas, terdapat penggalan informasi

yang tidak jelas ketika Anda menjawab, “ gedung rektorat UI berada

pada jarak 200 m dari sini”. Hal yang menyebabkan informasi yang

Anda sampaikan tidak jelas adalah informasi Anda tidak lengkap.

Artinya, hal-hal pokok yang harus diketahui untuk menuju rektorat UI

harus disampaikan dan dipahami oleh orang yang mencari informasi

pada Anda. Dengan menambahkan keterangan “… ke arah utara dari

gedung ini”, Anda telah memberikan informasi yang bersifat spesifik.

Dalam Fisika, besaran diklasifikasikan menjadi dua yaitu besaran

skalar dan besaran vektor. Dalam bahasa Fisika, ketika Anda

menyebutkan “ gedung rektorat UI berada pada jarak 200 m dari

sini”, Anda sedang berbicara tentang besaran skalar. Ketika Anda

menambahkan keterangan “… ke arah utara dari gedung ini”

sehingga informasi yang Anda sampaikan menjadi “ gedung rektorat UI berada di 200 m ke arah utara dari gedung ini”, Anda sedang

membicarakan tentang besaran vektor.

Dalam kehidupan sehari-hari tanpa sadar kita sering menggunakan

deskripsi yang mengandung informasi “ jarak ” dan “arah” atau

“kecepatan” dan “arah” untuk menjelaskan letak suatu tempat atau

arah laju kendaraan yang bergerak. Dengan kata lain, hampir setiap

hari kita menggunakan deskripsi yang bersifat vektoris untuk

mengutarakan informasi tertentu terutama yang berkaitan dengan

posisi suatu tempat.

3 – 1 Vektor posisi dan Vektor kecepatan

Perhatikan peta pada Gambar 3.1. Arasy yang berada di balairung

hendak menuju ke rektorat. Arasy dapat memilih beberapa lintasan

untuk sampai ke rektorat antara lain melalui lintasan (1), balairung–

rotunda–rektorat , lintasan (2), balairung–rektorat , atau lintasan (3),

balairung–tepi danau Salam UI–rektorat. Ketiga lintasan tersebut

berawal dari posisi yang sama yaitu balairung dan berakhir padaposisi yang sama pula yaitu rektorat. Pada Bab 2 kita telah ditempuh

oleh orang atau benda hanya berupa garis lurus.



44 | Bab 3 Gerak dalam Dua dan Tiga Dimensi


Dari Gambar 3.1, terlihat bahwa lintasan-lintasan yang dapat dilalui

Arasy tidak ada yang mutlak berupa garis lurus. Pada setiap lintasan

terdapat belokan. Jika diasumsikan bahwa rektorat dan balairung

berada pada permukaan tanah yang datar maka ketiga lintasan tersebut

terletak pada permukaan yang datar pula. Sistem lintasan semacam itudikatakan sebagai sistem dua dimensi. Jika Arasy memutuskan untuk

mengambil lintasan (1) maka lintasan yang ditempuh Arasy dapat

digambarkan dalam sistem koordinat Cartesian seperti terlihat pada

Gambar 3.2.Titik acuan (0, 0) diambil pada posisi awal yaitu di

balairung. Dengan menggunakan sistem koordinat Cartesian, posisi

dan perpindahan yang dilakukan Arasy dapat ditentukan. Posisi awal

Arasy adalah di titik o, dituliskan 0r

. Ketika Arasy berjalan dan

sampai di Rotunda, posisi Arasy sekarang adalah di Ar

dan ketika

Arasy telah sampai di Rektorat, posisi Arasy adalah Br

.

Notasi 0r

, Ar

dan Br

disebut sebagai vektor posisi. Perhatikan bahwa

vektor posisi 0r

, Ar

dan Br

dapat dinyatakan dalam komponen

koordinat x dan y. Jika dinyatakan dalam komponen koordinat x dan y

maka vektor posisi 0r

, Ar

dan Br

dapat dituliskan sebagai berikut:

( )00,y0x00 →+=

r

) y x y x A A A A Ar ,yx →+=

) y x y x B B B B Br ,yx →+=

A x dan A y disebut komponen vektor posisi yang masing-masing

menyatakan komponen A di x dan y. Notasi x dan y

menyatakan

vektor satuan yang menunjukkan pada arah mana atau sumbu

koordinat apa suatu komponen vektor berada. Notasi dalam tanda

kurung, (0, 0), ( A x, A y) dan ( B x, B y), merupakan cara penulisan

alternatif untuk menuliskan koordinat suatu titik.

Dari Gambar 3.2, terlihat bahwa posisi Arasy ditentukan dengan

mengacu pada suatu titik acuan tertentu yaitu balairung. Secara

umum, titik acuan digunakan sebagai titik referensi untuk mengukur

dan menentukan posisi suatu titik. Ketika Arasy berpindah dari titik

0r

ke titik Ar

perpindahan Arasy dapat ditentukan dengan mengukur

selisih posisi akhir terhadap posisi mula-mula.

yx00

y x A A A Ar r r +=−=∆ (*)

Demikian juga ketika Arasy berpindah dari posisi Ar

ke posisi Br

,

perpindahan Arasy dapat ditentukan dengan:

( ) )yx

y y x x A B BA A B A Br r r −+−=−=∆ (**)

O

A

B

y

x

Balairung

Rotunda

Rektorat

Gambar 3.2 Lintasan (1) yang

ditempuh Arasy untuk menuju

Rektorat melewati Rotunda yang

digambarkan dalam koordinat





Peprindahan yang dilakukan Arasy dipengaruhi oleh posisi awal dan

posisi akhir namun tidak dipengaruhi oleh titik acuan yang digunakan.

Perhatikan bahwa vektor posisi 0r

, Ar

dan Br

diukur terhadap titik

acuan (0, 0). Jika titik acuan kita geser ke ( p, q) maka vektor posisi

0r

, Ar

dan Br

sekarang menjadi:

( )q pq pr ,yx0 →+=

( ) ) ( ) ))q A p Aq A p Ar y x y x A −−→−+−= ,yx

( ) ) ( ) ))q B p Bq B p Br y x y x B −−→−+−= ,yx

Perpindahan Arasy dari titik o ke titik A dapat ditentukan sebagai

berikut:

( ) ) [ ]

yx

yxyx00

y x

y x A A

A A

q pq A p Ar r r

+=

+−−+−=−=∆

Bandingkan dengan persamaan (*), perpindahan Arasy tetap sama

walaupun titik acuan diubah dari (0, 0) menjadi ( p, q). Perpindahan

Arasy dari titik A ke titik B dapat ditentukan dengan cara sebagai

berikut:

( ) ) ( ) )

( ) ( )yx

yxyx

y y x x

y x y x A B BA

A B A B

q A p Aq B p Br r r

−+−=

−+−−−+−=−=∆

Bandingkan dengan hasil pada persamaan (**), hasilnya adalah sama.

Dengan demikian kita dapat menarik kesimpulan bahwa perpindahan

tidak dipengaruhi oleh titik acuan melainkan hanya dipengaruhi oleh

titik akhir dan titik awal.

Secara umum, posisi suatu benda dalam ruang dua dimensi dapat

dinyatakan dengan persamaan:

( ) ( ) ( )yx

t yt xt r += (3–1)

Yang mana variabel (t ) menunjukkan bahwa posisi tersebut

bergantung terhadap waktu. Kita kembali ke Arasy, misalnya Arasy

menuju ke Rektorat dengan berjalan kaki. Arasy menempuh lintasan

OA selama 60 detik sedangkan lintasan AB ditempuh selama 50 detik.

Pada Bab 2 kita telah mempelajari tentang kecepatan rata-rata yaitu

perpindahan rata-rata tiap satu satuan waktu. Misal titik A berada pada

koordinat A (80 m, 80 m) dan titik B berada pada koordinat B (90 m,

200 m) maka kecepatan rata-rata Arasy dapat ditentukan dengan cara:





( )

( ) ( ) ( )

( )( ) m/sy2x9,0

4060

y200x80

4060

y200x900

+=++

=

++

=∆+∆−+−

=

∆∆

=

v

t t r r r r v

t

t r v

ABOA

A B A

Kecepatan Arasy adalah 0,9 m/s pada arah x dan 2 m/s pada arah y.

Dalam praktek keseharian, menyatakan kecepatan dalam komponen

koordinat agak sulit untuk dimengerti karena, kadang, membutuhkan

visualisasi yang agak rumit. Kecepatan termasuk dalam besaran

vektor yang memiliki besar dan arah. Besar kecepatan Arasy dapat

ditentukan dengan teorema Phytagoras:

( ) ( )

m/s19,2

y2x9,022

=

+=

v

Arah kecepatan menunjukkan arah gerak. Pada Gambar 3.3, sudut θ

menunjukkan arah vektor kecepatan sekaligus arah perpindahan.

Sudut θ dapat ditentukan dengan cara:

08,659,0

2

tan

=→=

=

θ

θ x

y

v

v

Gerak yang dilakukan oleh Arasy adalah salah satu contoh dari sekian

banyak gerak dua dimensi yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari.

Contoh gerak dua dimensi lainnya adalah gerak bola billiard yang

menyusur papan billiard , gerak cicak yang merayap di dinding, dan

gerak perahu yang berlayar di lautan. Bagi Anda yang suka melihat

sepak bola tentu pernah melihat gerak bola yang ditendang

membentuk lintasan melengkung. Para penggemar bola sering

menyebutnya sebagai tendangan pisang dan tendangan semacam itu

biasanya sangat menyulitkan penjaga gawang.

Pada saat mengoper bola antar pemain, kadang para pemain

melakukan umpan-umpan pendek dengan menendang bola menyusur

lapangan. Gerak bola menyusur lapangan termasuk dalam gerak dua

dimensi. Berbeda dengan gerak bola semacam itu, gerak bola hasil

tendangan pisang membentuk gerak tiga dimensi. Posisi bola pada

gerak tiga dimensi diidentifikasi dengan tiga sumbu koordinat yaitu x,

y, dan z.

( ) ( ) ( ) ( )zyx

t zt yt xt r ++= (3–3)

(3–2)

Gambar 3.3 Vektor kecepatan dan

penjumlahan vektor kecepatan

langkah kaki Arasy.

80 m

O

A

B

y

x

90 m

80 m 200 m

0 Ar ∆

BAr ∆

0 Br ∆

θ





Yang mana x (t ), y (t ) dan z (t ) masing-masing menyatakan komponen

vektor posisi pada sumbu x, y, dan z. Kecepatan rata-rata bola dapat

ditentukan dengan persamaan (3–2), tentu saja dengan menambahkan

komponen vektor posisi pada sumbu z.

( )( ) ( ) z y xr t r

t

t r v ,,∆=∆→

∆∆

= (3–4)

Dalam gerak dua dan tiga dimensi juga dikenal istilah kecepatan

sesaat. Dengan analogiyang sama pada penurunan kecepatan sesaat

pada bab gerak satu dimensi maka kecepatan sesaat pada gerak dua

dimensi dapat dituliskan sebagai berikut:

( ) ( )( ) ( ) ( )

yx

yxyx

lim0t

y x vvv

dt

t dy

dt

t dx

dt

t yt xd v

dt

r d

t

r v

+=

+=+

=

=∆∆

=→∆

Besar kecepatan dapat ditentukan dengan persamaan berikut:

( ) ( )22yx

y x vvv += (3–6)

Dengan arah vektor kecepatan dapat dicari dengan persamaan:

x

y

v

v=θ tan (3–7)

Kecepatan sesaat pada gerak tiga dimensi dapat dinyatakan dengan

persamaan:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )zyx

zyx

lim0t

dt

t dz

dt

t dy

dt

t dxv

dt

t zt yt xd v

dt

r d

t

r v

++=

++=

=∆∆

=→∆

Besar kecepatan ditentukan dengan persamaan:

( ) ( ) ( )222zyx

z y x vvvv ++= (3–9)

3 – 2 Vektor percepatan

Pada Bab 2 kita telah mempelajari mengenai GLB dan GLBB. Pada

GLBB, kecepatan benda berubah setiap saat. Perubahan kecepatan

(3–5)

(3–8)





gerak benda menunjukkan adanya percepatan. Perubahan kecepatan

dapat berarti besar kecepatan benda saja yang berubah atau arah gerak

benda saja yang berubah atau besar dan arah kecepatannya yang

berubah. Dengan menggunakan analogi pada gerak satu dimensi,

percepatan benda pada gerak dua dimensi dapat ditentukan denganpersamaan:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )yx

lim0t

dt

t dv

dt

t dv

dt

t vd a

t

t vt t va

t

v

t

t vt t va

y x +==

∆−∆+

=

∆∆

=∆

−∆+=

→∆

Karena ( ) ( ) yx

dt t dy

dt t dxv += , maka persamaan vektor percepatan

dapat juga ditulis dengan:

( ) ( )

( ) ( )yx

yx

2

2

2

2

dt

t yd

dt

t xd a

dt

dt

t dyd

dt

dt

t dxd

a

+=

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

+⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

=

Untuk benda yang bergerak dalam ruang tiga dimensi, percepatan

benda dapat ditentukan dengan persamaan:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )zyx

lim0t

dt

t dv

dt

t dv

dt

t dv

dt

t vd a

t

t vt t va

t

v

t

t vt t va

z y x ++==

∆−∆+

=

∆∆

=∆

−∆+=

→∆

Dan juga,

( ) ( ) ( )zyx

2

2

2

2

2

2

dt

t zd

dt

t yd

dt

t xd a ++=

3 – 3 Gerak peluru

Perhatikan Gambar 3.4, sebuah bola yang dilempar vertikal

ke atas oleh seseorang yang bergerak dengan menggunakan skateboard menunjukkan lintasan yang berbeda ketika diamati

oleh dua orang yang posisinya berbeda.

(3–10)

(3–11)

(3–12)





Gambar 3.4 Diagram gerak lintasan bola yang dilempar secara vertikal

dan diamati oleh dua orang yang berbeda, telrihat memiliki lintasan

yang berbeda.

Jika kita gunakan acuan pengamat B yang berdiri diam maka kita

dapat menggambarkan komponen kecepatan bola sebagai berikut:

Gambar 3.5 Lintasan bola yang diamati oleh pengamat B.

Diasumsikan bahwa kecepatan skateboard konstan. Lintasan bola

membentuk parabola disebabkan adanya komponen kecepatan pada

arah arah mendatar yaitu kecepatan skateboard . Pada arah vertikal

kecepatan bola berubah-ubah karena dipengaruhi oleh percepatan

gravitasi. Ingat kembali pembahasan gerak vertikal pada Bab 2,

kecepatan bola ke atas makin lama makin melambat dan ketika

mencapai titik tertinggi kecepatan arah vertikalnya nol. Bola tetapbergerak karena masih memiliki kecepatan pada arah mendatar.

Walaupun demikian, lintasan bola tidaklah mendatar melainkan

v y = kecepatan lempar ke atas

v0y

v1 y

v x = kecepatan skateboard

v2 y = 0

v0 x

v1 x

v2 x

v3 x

v3 y

Bentuk lintasan bola

yang diamati oleh A Bentuk lintasan bola

yang diamati oleh B





melengkung, seperti terlihat pada Gambar 3.5. Hal ini dikarenakan

adanya percepatan gravitasi yang bekerja pada bola sehingga

disamping kecepatan pada arah mendatar, bola memiliki kecepatan

pada arah vertikal. Bola bergerak dengan dua komponen kecepatan

yaitu kecepatan pada arah mendatar dan kecepatan pada arah vertikal.Gerak semacam ini termasuk dalam gerak dua dimensi. Gerak

semacam itu disebut dengan gerak parabola.

Gerak parabola banyak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari.

Contohnya antara lain gerak bola yang ditendang oleh penjaga

gawang ketika terjadi bola mati, gerak bola golf dan lain sebagainya.

Dalam kasus yang lebih umum, lintasan gerak parabola dapat dilihat

pada Gambar 3.6. Sebuah benda ditembakkan dengan kecepatan awal

v0 dengan sudut kemiringan tertentu yaitu θ .

Dalam keadaan nyata, sebenarnya gerak peluru merupakan model

gerak yang cukup rumit karena banyak faktor eksternal yang

mempengaruhinya antara lain gesekan udara, gerakan bumi dan

variasi percepatan gravitasi. Untuk memudahkan analisis dan

memberikan pemahaman terhadap konsep dasar dari model gerak

peluru ini maka faktor-faktor eksternal tersebut diabaikan.

Gambar 3.6 Grafik yang menunjukkan model gerakan parabola dari

benda yang ditembakkan dengan kecepatan dan sudut tertentu.

Gerak peluru dipengaruhi oleh besar kecepatan awal, sudut, dan

percepatan gravitasi. Gerak peluru dapat kita pecah menjadi dua yaitu

gerak pada arah vertikal dan arah horisontal. Jika kecepatan awal

benda adalah v0 dan besar sudutnya adalah θ0 maka komponen

kinematika pada arah vertikal (arah y) adalah:

- Besar kelajuan pada arah vertikal ( y):

vy = v0 sin θ0





- Benda mengalami perlambatan oleh gravitasi bumi, ay = – g ,

sehingga komponen kecepatan menjadi adalah:

v y (t ) = v0 sin θ0 – gt

- Jarak yang ditempuh setiap saat pada arah vertikal adalah:

y (t ) = (v0 sin θ0)t – ½ gt 2

Sedangkan komponen pada arah horisontal (arah x) antara lain:

- Besar kelajuan pada arah horisontal:

vx = v0 cos θ 0

kecepatan benda pada arah x tidak bergantung pada t dan terlihat

bahwa nilai kecepatan v x adalah konstan karena variabel v0 dan

sudut θ 0 adalah konstan.

- Jarak yang ditempuh setiap saat adalah:

x = (v0 cos θ0) t

Analisis keadaan benda di berbagai posisi:

Gambar 3.7 Grafik gerak parabola suatu benda yang ditembakkan dengan

kecepatan v0 dan sudut θ 0.

Waktu yang dibutuhkan benda untuk kembali lagi ke tanah (t ) adalah:

(v0 sin θ0)t – ½ gt 2

= 0

g

vt 00sin2 θ = (3–13)

y (m)

θ 0

Jangkauan

Tinggi maksimum

x

hmaks

v0

x (m)

vx

vy





Dengan demikian, jangkauan peluru ( x) adalah:

g

v x

g

v

osv x

t osv x

020

00

00

00

sin2

sin2

c

c

θ

θ

θ

θ

=

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

=

=

Gambar 3.8 menunjukkan grafik jangkauan dari benda untuk sudut

tembak yang berbeda-beda. Terlihat bahwa pada sudut 450 benda

mencapai jangkauan terjauh. Pada persamaan jangkauan x, persamaan

(3–14), terlihat bahwa jangkauan maksimum dicapai benda pada sudut

tembak θ0 = 450 karena sin 2θ mencapai nilai maksimum pada saat

sudutnya 900

atau 2θ = 900

, dengan kata lain θ = 450.

Tinggi maksimum (hmaks) dicapai saat benda menempuh jarak ½ x atau

setelah bergerak selama t maks = ½ t sehingga hmaks adalah:

g

v y

g

v g

g

vv y

maks

maks

2

sin

sin

2

1sinsin

022

0

2

000000

θ

θ θ θ

=

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

3 – 4 Gerak melingkar beraturan

Gambar 3.9 Sebuah model satelit yang mengelilingi bumi dengan jari-jariorbit tertentu. Satelit dapat berputar pada orbitnya dan tidak jatuh ke bumi.

(3–14)

(3–15)

Gambar 3.8 Grafik yang menunjukkan

besar jangkaun pada arah horisontal

benda yang ditembakkan dengan sudut

yang berbeda-beda.





Gerak benda melingkar tentu sudah tidak asing lagi bagi kita. Mulai

dari hal yang paling sederhana, roda sepeda yang berputar, bumi

mengelilingi matahari dalam orbit yang nyaris berbentuk lingkaran,

dan masih banyak lagi benda-benda yang bergerak melingkar. Pada

Gambar 3.9, terlihat sebuah satelit yang bergerak melingkar dengan jari-jari orbit tertentu. Pada gerak melingkar, besar kelajuan satelit

adalah konstan namun kecepatannya berubah-ubah. Dalam kondisi

seperti ini dikatakan bahwa bahwa benda mengalami percepatan.

Benda yang bergerak dipercepat tidak selalu gerakannya makin lama

makin cepat. Berangkat dari definisi dasar percepatan yang

merupakan perubahan kecepatan selama selang waktu tertentu maka

jika kecepatan berubah maka benda tersebut memiliki percepatan.

Perubahan kecepatan tidak harus berupa “besar” kecepatannya tetapi

jika arah dari kecepatan berubah berarti kecepatan dapat dikatakan

berubah.

Bagaimana, satelit tersebut dapat mempertahankan posisi orbitnya

sehingga tidak jatuh ke bumi atau justru terbang ke angkasa bebas?

Pada kenyataannya satelit tersebut masih dipengaruhi oleh gravitasi

bumi. Perhatikan Gambar 3.10, satelit mengorbit bumi pada

ketinggian ( R + h) di atas permukaan tanah. Jika satelit tidak

dipengaruhi oleh gravitasi bumi maka satelit akan bergerak sepanjang

lintasan garis lurus AB tetapi karena pengaruh gravitasi bumi maka

vektor kecepatan satelit berubah ke arah AB’ . Pada gerak ini satelit

memiliki kecepatan ke arah pusat lingkaran sebesar v2 / R dan disebut

percepatan sentripetal.

Dengan analogi sederhana pada gerak jatuh bebas kita akan

membuktikan bahwa satelit ini memiliki percepatan walaupun

kelajuannya konstan. Dilihat dari diagram di atas sesungguhnya satelit

seolah-olah mengalami gerak jatuh bebas dari B’ ke B dan menempuh

jarak h. Vektor R

, t v

dan ( )h R

+ membentuk segitiga siku-siku

dengan ( R + h) sebagai sisi miring segitiga siku-siku. Dengan teorema

Pythagoras (yang telah kita pelajari sejak SD) kita peroleh persamaan:

R2

+ (vt )2

= ( R + h)2

R2 + (vt )

2= R

2+ 2 Rh + h

2

(vt )2

= 2 Rh + h2

(vt )2= h (2 R + h)

Dengan mengasumsikan bahwa h R maka:

(vt )2 = 2 Rh

Ah

Bvt

R B

Gambar 3.10 Diagram gerak satelit

mengelilingi planet bumi dalam

lintasan yang berbentuk lingkaran.





22

2

1t

R

vh ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ = (3–16)

Analogi dengan gerak jatuh bebas:

h = ½ at 2

maka pada persamaan (3–16), nilai dari R

v2

sama dengan

percepatan a. Percepatan inilah yang disebut sebagai percepatan

sentripetal yang arahnya menuju pusat lingkaran.

R

va s

2

= (3–17)

Bagaimana jika persamaan (3–17) diturunkan berdasarkan vektor

kecepatan dan posisi benda yang bergerak melingkar? Kita akanmembuktikan bahwa hasil pada persamaan (3–17) konsisten untuk

semua kasus gerak melingkar beraturan.

Perhatikan diagram gerak melingkar pada Gambar 3.11. Benda

bergerak melingkar mengikuti lintasan garis titik-titik. Pada suatu saat

kecepatan benda adalah v1 yang tegak lurus terhadap vektor r 1.

Beberapa saat kemudian posisi benda berada di r 2 dan kecepatan

benda pada saat itu adalah v2. Vektor kecepatan v2 tegak lurus

terhadap vektor jarak r 2. Untuk selang waktu yang sangat kecil (∆t

0) besar perpindahan ⏐∆r ⏐ hampir sama dengan jarak tempuh busur

∆S . Pada gambar kedua (Gambar 3.11 bawah), perubahan vektor

kecepatan ∆v adalah ∆v = v2 – v1. Perubahan kecepatan tersebut

sebanding dengan ∆ϕ karena vektor kecepatan tegak lurus terhadap

vektor posisi.

Hubungan antara ∆ϕ , ∆S , ∆v dan ∆t dapat dinyatakan dalam

persamaan berikut:

v

v

r

S ∆=

∆=∆ϕ

Dengan r menyatakan jari-jari lingkaran dan v merupakan kelajuan

partikel. Sekali lagi, untuk selang waktu yang sangat kecil besar

perpindahan sama dengan busur ∆S sehingga ∆S = v∆t , sehingga

kita peroleh persamaan baru yaitu:

t

v

r

v

v

v

r

t v

∆

∆=

∆=

∆=∆

2

ϕ

∆ϕ ∆r

r1

r2

v2

v1

B

A

∆S

v1

v2∆v = v2–v1

∆ϕ

Gambar 3.11 Diagram vektoris yang

menggambarkan gerak melingkar.





Percepatan rata-rata pada sistem tersebut adalah perbandingan antara

∆v terhadap ∆t . Berdasarkan definisi percepatan a maka a =t

v

∆

∆

sehingga:

r

v

t

va

2

=∆∆

= (3–18)

Percepatan ini sama dengan percepatan pada persamaan (3–17).

Dengan kata lain, percepatan tersebut adalah percepatan sentripetal.

Dalam gerak melingkar, sering digunakan juga satuan kecepatan sudut

yaitu besarnya sudut yang ditempuh tiap satu satuan waktu. Waktu

yang dibutuhkan benda untuk menempuh satu putaran penuh disebut

periode (T ) dimana:

ω =T

π 2

Satu putaran penuh berarti benda menempuh satu keliling lingkaran.

Panjang lintasan yang ditempuh adalah 2π R. Jika waktu yang

dibutuhkan untuk menempuh satu putaran ini adalah T maka besar

kecepatan liniernya adalah:

T

Rv

π 2=

Karena ω =T

π 2maka:

v = ω R (3–19)

dari persamaan (3–19), kita dapat menyatakan percepatan sentripetal

as yaitu sebagai berikut:

( )

2

2

2

2

4

2

T

Ra

R

RT

R

Ra

s

s

π

π

ω

=

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

==

3 – 5 Kecepatan relatif

Gambar 3.12 menunjukkan tiga buah kapal yang bergerak dalam

posisi yang sejajar satu sama lain. Jika kecepatan dan arah gerak

dipertahankan tetap sama selama selang waktu tertentu maka jarak





antar kapal tidak berubah relatif satu dengan yang lain dalam selang

waktu tersebut. Seseorang yang berada di salah satu kapal akan

melihat bahwa kapal tetangganya tidak berpindah posisi dan dengan

demikian kecepatan kapal tetangganya tersebut adalah nol. Namun,

bagi seseorang berada di daratan akan melihat bahwa ketiga kapaltersebut bergerak dengan kecepatan tertentu dan setiap saat posisinya

berubah.

Gambar 3.12 Para nelayan menggunakan kemampuan insting –nya untuk

memprediksi seberapa cepat kecepatan angin dan gelombang laut sehingga

mereka dapat mengendalikan laju kapal dan menentukan arah geraknya.

Perhatikan kasus “ perahu menyeberang sungai” pada Gambar 3.13.

Kecepatan gerak perahu dapat diukur dari dua posisi yang berbeda,

oleh orang yang berada dalam perahu dan sesorang yang berada di

tepi sungai. Penjumlahan dan pengurangan vektor menjadi alat

perhitungan penting untuk sistem seperti ini. Oleh seseorang yang

berada dalam perahu, kecepatan perahu yang terukur adalah 3 m/s

relatif terhadap air sungai. Seseorang yang berada di tepi sungai akan

mengukur kecepatan perahu sebagai penjumlahan vektoris antara

kecepatan perahu dan dari sungai.

vrelatif = vCW + vWS

22WS CW relatif vvv +=

m/s61,313

23 22

==

+=

relatif

relatif

v

v

Jadi kecepatan relatif perahu adalah, vrelatif = 3,61 m/s. Arah gerak

perahu adalah tan θ = 2/3 = 33,70 jadi arah gerak perahu adalah

33,70, lihat Gambar 3.14.

vrE = 3 m/s

vrb = 2 m/s

vrelatif θ

Gambar 3.14 Diagram vektoris

gerak perahu menyeberangi sungai.

Gambar 3.13 Sebuah perahu

berusaha menyeberang sungai yang

memiliki kecepatan arus air 2 m/s.

Lebar sungai adalah 20 m dan



Lampiran Referensi Gambar

Bab 3 Gerak Dalam Dua Dan Tiga Dimensi Gambar Cover Bab 3 Gerak Dalam Dua dan tiga Dimensi

Sumber: Dokumentasi Penulis Gambar Sumber

Gambar 3.1 Peta sebagian daerah Universitas

Indonesia yang menunjukkan daerah

Balairung, Rotunda dan Rektorat Universitas

Indonesia.

http://www.naqsybandi.web.id

Gambar 3.2 Lintasan (1) yang ditempuh Arasy

untuk menuju Rektorat melewati Rotunda

yang digambarkan dalam koordinat Cartesian.

Dokumentasi Penulis

Gambar 3.3 Vektor kecepatan dan

penjumlahan vektor kecepatan langkah kaki

Arasy.

Dokumentasi Penulis

Gambar 3.4 Diagram gerak lintasan bola yang

dilempar secara vertikal dan diamati oleh dua

orang yang berbeda, telrihat memiliki lintasan

yang berbeda.

Dokumentasi Penulis

Gambar 3.5 Lintasan bola yang diamati oleh

pengamat B. Dokumentasi Penulis

Gambar 3.6 Grafik yang menunjukkan model

gerakan

parabola

dari

benda

yang ditembakkan dengan kecepatan dan sudut

tertentu.

Serway, R.A and Faughn, J.S., 1999.

College Physics,

7

th

Edition,

USA:

Harcourt Brace College Publisher.

Page: 61

Gambar 3.7 Grafik gerak parabola suatu

benda yang ditembakkan dengan kecepatan

v 0 dan sudut θ 0. Dokumentasi Penulis

Gambar 3.8 Grafik yang menunjukkan besar

jangkaun pada arah horisontal benda yang

ditembakkan dengan sudut yang berbeda‐

beda.

Serway, R.A and Faughn, J.S., 1999.

College Physics, 7th

Edition, USA:

Harcourt Brace College Publisher

page: 61

Gambar 3.9 Sebuah model satelit yang

mengelilingi bumi dengan jari‐ jari orbit

tertentu. Satelit dapat berputar pada orbitnya

dan tidak jatuh ke bumi.

http://www.nasa.gov

Gambar 3.10 Diagram gerak satelit

mengelilingi planet bumi dalam lintasan yang

berbentuk lingkaran. Dokumentasi Penulis

Gambar 3.11

Diagram

vektoris

yang

menggambarkan gerak melingkar. Dokumentasi Penuli



Gambar 3.12 Para nelayan menggunakan

kemampuan insting –nya untuk memprediksi

seberapa cepat kecepatan angin dan

gelombang laut

sehingga

mereka

dapat

mengendalikan laju kapal dan menentukan

arah geraknya.

Dick, Greg, et.al. 2001. Physics 11,

1st

Edition.

Canada:

McGraw

‐Hill

Ryerson, Page 105

Gambar 3.13 Sebuah perahu berusaha

menyeberang sungai yang memiliki kecepatan

arus air 2 m/s. Lebar sungai adalah 20 m dan

kecepatan perahu 3 m/s. Dokumentasi Penulis

Gambar 3.14 Diagram vektoris gerak perahu

menyeberangi sungai. Dokumentasi Penulis



Daftar Pustaka

Serway, R.A and Faughn, J.S., 1999. College Physics, 7th

Edition, USA: Harcourt Brace

College Publisher.

Dick, Greg, et.al. 2001. Physics 11, 1st

Edition. Canada: McGraw-Hill Ryerson.

Dick, Greg, et.al. 2001. Physics 12, 1st

Edition. Canada: McGraw-Hill Ryerson.

Fishbane, P.M., et.al. 2005. Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 3rd

Edition. New Jersey: Prentice Hall, Inc.

Huggins, E.R. 2000. Physics 2000. Moose Mountain Digital Press. Etna, New Hampshire

03750.

Tipler, P.A. and Mosca, G. Physics For Scientist and Engineers: Extended Version, 5th

Edition. W.H. Freeman & Company.

Young, Freedman. 2008. Sears and Zemanky’s University Physics with Modern Physics,

12th

Edition. Pearson Education Inc.

Crowell, B. 2005. Vibrations and Waves. Free Download at:

http://www.lightandmatter.com.

Crowell, B. 2005. Newtonian Physics. Free Download at:


Crowell, B. 2005. Conservations Law. Free Download at:


Halliday, R., Walker. 2006. Fundamental of Physics, 7th

Edition. John-Willey and Sons,

Inc.

Pain, H.J. 2005. The Physics of Vibrations and Waves, 6th

Edition. John Wiley & Sons

Ltd, The Atrium, Southern Gate, Chichester, West Sussex PO19 8SQ,

England.

Mason, G.W., Griffen, D.T., Merril, J.J., and Thorne, J.M. 1997. Physical Science

Concept, 2nd

Edition. Published by Grant W. Mason. Brigham Young

University Press.

Cassidy, D., Holton, G., and Rutherford, J. 2002. Understanding Physics, Springer-Verlag

New York, Inc.

Serway, R.A. and Jewet, J. 2003. Physics for Scientist and Engineers, 6th

Edition. United

State of America: Brooks / Cole Publisher Co.

Documents

Gerak_Dalam_2D_dan_3D