Embed Size (px)
Citation preview
1
TÓM TẮT CÁC HÀM MATLAB A. TẬP HỢP
1. �hập tập tập hợp bằng cách liệt kê: A = [1, 2, 3, 6]
2. Chuyển danh sách A có phần tử trùng nhau thành tập hợp: A = unique(A)
3. Kiểm tra các phần tử thuộc tập hợp A? ismember([2,6,3],A)
4. Hợp hai tập hợp: union(A,B)
5. Giao hai tập hợp: intersect(A,B)
6. Hiệu A \ B: setdiff(A,B)
7. Hiệu đối xứng (phần hợp hiệu phần giao): setxor(A,B)
8. Tổ hợp – liệt kê tất cả các tập k phần tử từ tập A có n phần tử: nchoosek(A,k)
9. Liệt kê tất cả các hoán vị của tập A: perms(A)
B. GIẢI PHƯƠ�G TRÌ�H
1. �ghiệm của đa thức a1xn + … + anx + an+1 : roots([a1,…,an+1])
2. �ghiệm của phương trình f(x)=0: syms x; solve(f(x))
3. �ghiệm của hệ phương trình {f(x,y)=0, g(x,y)=0}: solve(‘f(x)’,’g(x)’)
4. Xem thêm phần help của lệnh solve.
C. BIẾ�:
1. Khai báo biến a và biến x: syms a x
2. Lấy giá trị double của biến symbolic x: double(x)
D. DÃY SỐ, CHUỖI SỐ
1. Minh hoạ dãy số: plot(x,’o’)
2. Tổng dãy số: sum(x).
3. Tổng chuỗi số: khai báo biến k và dùng lệnh symsum(1/k^2, 1, inf)
4. Tổng chuỗi hàm: khai báo biến x, k và dùng lệnh symsum(x^k, k, 0, inf) (k chạy từ 0 đến vô cùng)
E. HÀM SỐ, GIỚI HẠ� HÀM SỐ
Khai báo biến x trước,
1. Vẽ đồ thị hàm số f(x): ezplot(f(x)).
2. Giới hạn tại 0: limit(f(x)).
3. Giới hạn tại a: limit(f(x), x, a).
4. Giới hạn bên trái a: limit(f(x), x, a,’left’).
5. Giới hạn bên phải a: limit(f(x), x, a, ‘right’).
F. VI PH�
2
Khai báo biến x trước,
1. Đạo hàm: khai báo biến x và dùng lệnh diff(f(x)).
2. Đạo hàm bậc cao: diff(f(x),n).
3. Đạo hàm hàm nhiều biến: diff(f(x,y),y).
4. Khai triển Taylor : taylor(f(x),a,n).
5. Khai triển Maclaurin: taylor(f(x),n). (Mặc ñịnh a=0)
G. TÍCH PHÂ�
Khai báo biến x trước.
1. �guyên hàm : int(f(x))
2. Tích phân xác định: int(f(x),a,b)
BÀI TẬP THỰC HÀ�H GIẢI TÍCH A1 I. TẬP HỢP
1.1. Mỗi sinh viên nam khoa Toán-Tin học đều chơi bóng đá hoặc bóng chuyền. Biết rằng có 350 bạn chơi bóng đá, 260 bạn chơi bóng chuyền và 70 bạn chơi cả hai môn thể thao này. Hỏi khoa Toán-Tin học có bao nhiêu sinh viên nam (dùng các phép toán tập hợp)?
1.2. Cho x = 1 :180, y = 1 :150. Dùng chỉ số logic và hàm mod, liệt kê các phần tử của tập hợp A = {các ước số nguyên dương của 180} và của tập hợp B = {các ước nguyên dương của
150}. Xác định các tập hợp A∪B, A∩B, A\B, B\A.
1.3. Cho x = [-4*pi : pi/16 : 4*pi]. Dùng chỉ số logic, tìm tập T các giao điểm của hai đường cong y = sinx và z = cosx bằng cách lấy hiệu các giá trị của chúng (vì Matlab tính xấp xỉ nên không so sánh bằng nhau được). Hiệu bằng 0 theo nghĩa có trị tuyệt đối (hàm abs()) đủ nhỏ hơn một giá trị epsilon cho trước, chẳng hạn 10^(-10). Mô phỏng T bằng cách vẽ trên cùng một trục toạ độ đồ thị của y = sinx, z = cosx và tập các điểm T (như trong bài giảng).
1.4. Khai báo biến x, dùng lệnh solve giải phương trình (1): sin πx = 0 và (2): x2 – 2x = 0.
a. Dùng lệnh solve tìm nghiệm của hệ phương trình {(1),(2)}.
b. Vẽ trên cùng một trục toạ độ đồ thị của sin πx = 0 và x2 – 2x = 0 xem phương trình sin πx = x2 – 2x có mấy nghiệm.
1.5. Nhập một số nguyên dương n (nhỏ hơn 20). Cho A = 1:n. Xác định P(A) tập hợp tất cả các tập hợp con của A. (Dùng vòng lặp và hàm nchoosek(A,k))
1.6. Phát sinh ngẫu nhiên hai số nguyên dương m và n không vượt quá 20. Phát sinh tập hợp A gồm m phần tử nguyên ngẫu nhiên trong khoảng [-10,10] và B gồm n phần tử ngẫu nhiên trong khoảng [-20, 20]. Xác định:
a. A⊂B hay B⊂A hay A=B không?
b. A\B; B\A; A∪B; A∩B;
3
c. A2; B2; AxB; BxA;
d. Nhập một số nguyên x. Kiểm tra x∈A hay x∈B không?
1.7. Cho A = 1:30. Xác định các cặp (a,b) trong A2 có quan hệ ‘a là ước của b’ (Dùng vòng lặp). Vẽ các cặp điểm này dùng lệnh plot(a,b,’o’).
II. Á�H XẠ
2.1. Dùng lệnh plot(x,y) và lệnh axis [xmin xmax ymin ymax] để xác định trục toạ độ thích hợp cho hàm y = f(x) = 10 + 25x – x3.
a) [-4 4 -4 4]
b) [-10 10 -10 10]
c) [-20 20 -100 100]
d) [-100 100 -200 200]
2.2. Dùng lệnh plot(x,y) và lệnh axis [xmin xmax ymin ymax] để xác định trục toạ độ thích hợp
cho hàm 2( ) 8y f x x x= = − .
a) [-4 4 -4 4]
b) [-5 5 0 100]
c) [-10 10 -10 40]
d) [-2 10 -2 6]
2.3. Xác định trục toạ độ thích hợp cho hàm sau và vẽ đồ thị hàm số
a) f(x) = 5 + 20x – x2. b) f(x) = x3 + 30x2 + 200x.
c) f(x) = 0.01x3 – x2 + 5. d) f(x) = x(x + 6)(x – 9).
e) 44( ) 81f x x= − f) ( ) 0.1 20f x x= +
g) 2 100( )f x x
x= + h)
2( )
100
xf x
x=
+
i) ( ) cos(100 )f x x= j) ( ) 3sin(120 )f x x=
k) ( ) sin( )40
xf x = l) ( ) tan(25 )f x x=
m) 2cos( )( ) 3 xf x = n) f(x) = x2 + 0.02sin(50x).
2.4. Vẽ ellip 4x2 + 2y2 = 1 bằng cách vẽ hàm của nửa trên và nửa dưới của ellipse.
2.5. Vẽ hyperbol y2 – 9x2 = 1 bằng cách vẽ hàm nửa trên và nửa dưới của hyperbol.
2.6. Vẽ đồ thị hàm số f(x) và g(x) để xem hàm nào tăng nhanh hơn khi x càng lớn.
a) f(x) = 10x2, g(x) = x3/10.
b) f(x) = x4 – 100x3, g(x) = x3.
2.7. Vẽ trên cùng một trục toạ độ đồ thị đa thức P(x) = 3x5 – 5x3 + 2x và Q(x) = 3x5. Đầu tiên dùng giới hạn trục toạ độ [-2 2 -2 2], sau đó dùng [-10 10 -10000 10000]. Nhận xét.
2.8 Viết hàm định nghĩa hàm f(x) và g(x), sau đó tính fog và gof.
4
a) f(x) = 2x + 1; g(x) = x2.
b) f(x) = 1 – x3; g(x) = 1 – x.
2.9. Vẽ đồ thị hàm số y = xn2-x, với x không âm và n = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Nhận xét đồ thị khi n thay đổi.
2.10. Vẽ đồ thị hàm số y = 2
x
c x− để hiểu tại sao người ta đặt tên là đường cong hình viên
đạn. Nhận xét khi c tăng.
2.11. Dùng đồ thị để xem hàm f sau là song ánh hay không?
a) f(x) = x3 – x; b) f(x) = x3 + x.
III. SỐ �GUYÊ� VÀ SỐ HỮU TỶ
(chưa có bài tập cụ thể)
IV. SỐ THỰC
(chưa có bài tập cụ thể)
V. DÃY VÀ CHUỖI SỐ THỰC
5.1 Dùng đồ thị mô tả các dãy/chuỗi số sau để xem chúng hội tụ hay phân kỳ (cho trước n đủ lớn). Nếu chúng hội tụ, ước lượng giá trị hội tụ.
a. ( ) 11n
n
na
n
+= − b. ( )2 2 /
n
na π= + − c. sinn
n
d. 3
!n
na
n= e. 3 5n nn
na = + f. 1 3 5 (2 1)
(2 )n n
na
n
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −=
⋯
g. 1 3 5 (2 1)
!n
na
n
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −=
⋯
5.2 Tính 20 tổng riêng đầu tiên của các chuỗi sau. Vẽ trên cùng hệ trục dãy số hạng tử của chuỗi và dãy giá trị các tổng riêng của chuỗi. Xét xem chúng hội tụ hay phân kỳ. Nếu hội tụ thì tính giá trị hội tụ. Nếu phân kỳ thì giải thích tại sao.
a. 1
12
( 5)nn
∞
= −∑ b. 2
21
2 1
1n
n
n
∞
=
−+∑ c.
1
tann
n∞
=∑ d. 1
1
(0.6)n
n
∞−
=∑
e. 1.5 1.51
1 1
( 1)n n n
∞
=
− +
∑ f. 2
1
( 1)n n n
∞
= −∑ g. 1
2
3 1n
n
n
∞
= +∑ .
5.3 Xét xem các chuỗi sau hội tụ hay phân kỳ bằng định nghĩa dùng vòng lặp while khi tăng n với epsilon đủ nhỏ cho trước. Nếu chúng hội tụ, tính giá trị hội tụ.
a. 4 8
3 23 9
+ + + +⋯ b. 1 1 1
18 4 2− + − +⋯ c.
1
11
( 6)
5
n
nn
−∞
−=
−∑
d. 1
0 3
n
nn
π∞
+=∑ e.
1
3 2
6
n n
nn
∞
=
+∑ f. 1
1
[(0.8) (0.3) ]n n
n
∞−
=
−∑
5
5.4* Vẽ đồ thị mô tả bất đẳng thức
1.3 1.312
1 1
n
dxn x
∞ ∞
=
<∑ ∫ .
Kết luận gì về chuỗi này.
5.5 Tìm giá trị n vừa đủ để chuỗi hội tụ (dùng vòng lặp while để tăng n).
a. 1
41
( 1)n
n n
+∞
=
−∑ (sai số nhỏ hơn 0.001).
b. 1
( 2)
!
n
n n
∞
=
−∑ (sai số nhỏ hơn 0.01).
c. 1
( 1)
4
n
nn
n∞
=
−∑ (sai số nhỏ hơn 0.002).
5.6 Ước lượng giá trị của tổng chuỗi đến 4 chữ số thập phân (theo tư tưởng của bài trên)
a. 1
51
( 1)n
n n
+∞
=
−∑ b.
1
( 1)
8
n
nn
n∞
=
−∑ c.
1
( 1)
3 !
n
nn n
∞
=
−∑
VI. HÀM SỐ LIÊ� TỤC
(chưa có bài tập cụ thể)
VII. PHÉP TÍ�H VI PHÂ�
7.1 Vẽ đồ thị hàm f(x) = 1/(1+ e1/x) để xác định các giới hạn sau (nếu có). Nếu không, giải thích tại sao ?
a) 0
lim ( )xf x
−→ b)
0lim ( )xf x
+→ a)
0lim ( )xf x
→
7.2. Định nghĩa hàm số sau và dùng đồ thị để xác định giá trị của a để lim ( )x af x
→ tồn tại.
2
2 , 1
( ) , 1 1
( 1) , 1
x x
f x x x
x x
− < −
= − ≤ ≤ − ≥
7.3. Dự đoán giới hạn sau (chính xác đến 6 chữ số thập phân) bằng cách tính giá trị của hàm tại các điểm cho trước.
a) 2
22
2lim
2x
x x
x x→
−− −
tại các điểm x = 2.5, 2.1, 2.05, 2.01, 2.005, 2.001, 1.999, 1.995, 1.99, 1.95, 1.9.
b) 2
21
2lim
2x
x x
x x→−
−− −
tại các điểm x = 0, -0.5, -0.9, -0.95, -0.99, -0.999, -1.001, -1.01, -1.1, -1.5, -2.
6
c) 20
1lim
x
x
e x
x→
− −
tại các điểm x = ±1, ±0.5, ±0.1, ±0.05, ±0.01.
d) 2
0lim ln( )xx x x
+→+
tại các điểm x = 1, 0.5, 0.1, 0.05, 0.01, 0.005, 0.001.
7.4. Dùng một bảng các giá trị lân cận để dự đoán giới hạn, rồi vẽ đồ thị để khẳng định kết quả
a) 0
4 2limx
x
x→
+ − b)
0
t an3lim
t an5x
x
x→
c) 6
101
1lim
1x
x
x→
−−
d) 0
9 5lim
x x
x x→
−
7.5. Tìm các đường tiệm cận của hàm sau rồi vẽ đồ thị để khẳng định kết quả.
2 2
xyx x
=− −
.
7.6. Định giá trị của giới hạn 1/
0lim(1 ) xx
x→
+ đến 5 chữ số thập phân. Đó chính là số e. Vẽ đồ thị
hàm số 1/(1 ) xy x= + để mô tả giới hạn này.
7.7 Vẽ đồ thị hàm số sau để tìm phương trình các tiệm cận đứng:
y = tan(2sinx) -π ≤ x ≤ π.
7.8. Dùng các giá trị lân cận và đồ thị để dự đoán giới hạn 3
1
1lim
1x
x
x→
−
−. Giá trị của x gần 1 đến
mức nào để giá trị của hàm số sai khác giá trị giới hạn không quá 0.5.
7.9. a) Dùng nguyên lý kẹp chứng minh 2
0lim cos20xx xπ
→= 0.
b) Mô tả bằng đồ thị các hàm f(x) = -x2, g(x) = x2cos20πx, và h(x) = x2 trên cùng một hệ trục toạ độ.
7.10. Dùng đồ thị để tìm δ sao cho với mọi x thoả 0 < |x – 1| < δ thì 2 2 100
( 1)( 1)
x
x x>
+ −.
7.11. a) Xét giới hạn 3
1lim( 1) 3xx x
→+ + = , dùng đồ thị để tìm δ ứng với ε = 0.4.
b) Giải phương trình x3 + x + 1 = 3 + ε, dựa vào các nghiệm để xác định giá trị lớn nhất có thể của δ ứng với mọi ε > 0.
c) Với ε = 0.4 so sánh kết quả câu b) với câu a).
7.12. Dùng đồ thị để tìm δ sao cho:
a) 4 1 3 0.5x + − < với mọi x thoả |x – 2| < δ.
b) 1
sin 0.12
x − < với mọi x thoả 6
xπδ− < .
7
7.13. Mô tả giới hạn sau bằng định nghĩa bằng cách tìm giá trị của δ tương ứng với ε = 1 và ε
= 0.1.
2
1lim(4 3 ) 2x
x x→
+ − =
7.14. a) Dự đoán giới hạn
2lim 1x
x x x→−∞
+ + +
bằng cách vẽ đồ thị 2( ) 1f x x x x= + + + .
b) Dùng một bảng số liệu của f(x) để dự đoán giá trị giới hạn.
7.15. a) Dùng đồ thị hàm
2 2( ) 3 8 6 3 3 1f x x x x x= + + − + +
để ước lượng giới hạn lim ( )xf x
→−∞ chính xác đến 1 chữ số thập phân.
b) Dùng bảng số liệu của f(x) để ước lượng giới hạn chính xác đến 4 chữ số thập phân.
c) Tính chính xác giới hạn này.
7.16. a) Vẽ đồ thị đường cong thoả y(y2 – 1)(y – 2) = x(x – 1)(x – 2). Đếm xem có bao nhiêu điểm của đường cong có tiếp tuyến nằm ngang? Ước lượng hoành độ của những điểm này.
b) Tìm phương trình tiếp tuyến tại điểm (0, 1) và tại điểm (0,2).
c) Tính chính xác hoành độ của những điểm trong câu a.
d) Vẽ vài đường cong khác bằng cách thay đổi phương trình trong câu a.
7.17. a) Vẽ đường cong 2y3 + y2 – y5 = x4 – 2x3 + x2 xem hình dáng giống vật gì.
b) Đếm xem có bao nhiêu điểm có tiếp tuyến nằm ngang? Tính hoành độ của những điểm này.
7.18. a) Tính f’ và f’’ với f(x) = ex – x3.
b) Vẽ đồ thị của f, f’ và f’’ trên cùng một trục toạ độ.
7.19. Cho f(x) = 3x5 – 10x3 + 5. Vẽ f và f’’ trên cùng hệ trục toạ độ. Tìm các khoảng giá trị của x sao cho f’’(x) > 0. Trên các khoảng đó, mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đồ thị của f như thế nào ? Tương tự đối với các khoảng f’’(x) < 0.
7.20. Tính đạo hàm f’’’ của hàm
2
7 17( )
2 7 4
xf x
x x
+=
− −.
7.21. Cho f(x) = sinx + lnx. Tính f’(x). Vẽ đồ thị f và f’ trên cùng hệ trục toạ độ.
7.22. Tìm phương trình tiếp tuyến của đường cong y = (lnx)/x tại điểm (1, 0) và (e, 1/e). Vẽ đồ thị và tiếp tuyến của đường cong này.
7.23. Cho hàm f(x) = cosx.
a. Khai triển Maclaurin đến bậc n = 6 của f(x). Vẽ đồ thị của f và đa thức Maclaurin trên cùng 1 hệ trục toạ độ.
8
b. Tính giá trị của f và các đa thức trong khai triển Taylor tại x = pi/4, pi/2, và pi.
c. Nhận xét sự hội tụ của các đa thức Taylor về f(x).
VIII. TÍCH PHÂ�
8.1 Tính thể tích vật tròn xoay
a) giới hạn bởi y = x – x2 và y = 0 xoay quanh đường thẳng x = 2.
b) giới hạn bởi x + y = 3, x = 4 – (y – 1)2 xoay quanh trục x.
8.2 Dùng đồ thị để ước lượng hoành độ giao điểm của hai đường cong. Rồi ước lượng thể tích vật tròn xoay tạo bởi các đường cong quay quanh trục Oy.
a. y = 0, y = x + x2 – x4.
b. y = x4, y = 3x – x3.
8.3 Tính thể tích vật tròn xoay tạo bởi các đường cong
a. y = sin2x, y = sin4x, 0 ≤ x ≤ π quay quanh x = π/2.
b. y = x3sinx, y = 0, 0 ≤ x ≤ π quay quanh x = -1.
8.4 Giao điểm của đường cong r = 1 + sina và đường cong r = 2a, -π/2 ≤ a ≤ π/2 không thể tính chính xác. Dùng đồ thị để ước lượng giá trị của a tại các giao điểm của hai đường cong. Rồi ước lượng diện tích nằm trong hai đường cong này.
8.5 Dùng đồ thị ước lượng giá trị của a tại giao điểm của r = 3 + sin5a và r = 6sina. Ước lượng diện tích nằm giữa hai đường cong này.
