Giulio Tagliavini – Massimo Regalli Corso di Economia degli Intermediari Finanziari Elementi di matematica finanziaria utili alla comprensione di alcune

Giulio Tagliavini – Massimo Regalli

CorsoCorso di Economiadi Economia degli Intermediaridegli Intermediari

FinanziariFinanziari

Elementi di matematica finanziaria utili alla comprensione di alcune parti del

Corso

Definizione di operazione finanziaria

Successione di importi di segno - e + da considerare congiuntamente ad una successione di tempi ai quali detti importi maturano, ovvero sono incassati se entrate o versati se uscite.

Il regime finanziario dell’interesse semplice

E’ noto che la disponibilità di un capitale altrui è un servizio vantaggioso avente un costo commisurato all’ammontare del capitale prestato nonché alla durata del prestito;

L’uso di denaro altrui comporta la corresponsione di un compenso: l’interesse;

Il debitore al termine del periodo di prestito dovrà quindi restituire un importo, detto Montante (M), pari a:

Capitale prestato (C) + Interesse pattuito (I)


L’interesse (I) da aggiungere al capitale deve tenere conto: della somma data a prestito; della durata del prestito.

Per tenere conto del primo aspetto, l’interesse viene definito in termini % sul capitale prestato;

Per tenere conto del secondo elemento gli interessi così calcolati sono moltiplicati per la durata del prestito.


L’Interesse (I) da aggiungere al Capitale (C) è quindi dato da:

I = C x i x t

Il Montante (M) diviene quindi:M = C + I = C + (C x i x t)

da cui, raggruppando, :M = C x (1 + i x t)

Questo è il regime finanziario di capitalizzazione semplice.


Il problema può naturalmente essere inverso a quello considerato: noto il Montante (M) che una certa operazione assume ad una data futura, si cerca quale valore è corretto pretendere oggi (C - valore attuale) per la cessione del diritto di avere M a scadenza.

In termini generali:C = M - I

da cui:C = M - C x i x t

ossia:C = M / (1 + i x t)


Esempio Capitale Investito (C) = 1.000.000; Periodo (t) = 3 mesi; Tasso annuo (i) = 12%.

La Vostra Idea ?



MontanteM = 1.000.000 x (1 + 0,12 x 3/12) = 1.030.000

Valore AttualeVA = 1.030.000 / (1 + 0,12 x 3/12) = 1.000.000

Il regime finanziario dello sconto commerciale

Si richiede una precisazione con riguardo all’operazione che ricerca il valore attuale (noto il montante a scadenza, si cerca il valore odierno equivalente);

Nella pratica commerciale, per le operazioni di sconto cambiario o di anticipazione su crediti, non si usa la formula appena vista (C = M / (1 + i x t)), ma:

C = M - M x i x t =

= M x (1 - i x t)



La Vostra Idea ?



1a soluzione (interesse semplice)VA = 1.030.000 / (1 + 0,12 x 3/12) = 1.000.000

2a soluzione (interesse commerciale)VA = 1.030.000 x (1 - 0,12 x 3/12) = 999.100

Il regime finanziario della capitalizzazione composta

In questo regime (capitalizzazione composta) gli interessi maturati alla fine del periodo di riferimento considerato vengono sommati al capitale di partenza divenendo anch’essi fruttiferi di interessi;

La formula del Montante è:

M = C x (1 + i)n

La formula del Valore Attuale è:

VA = M / (1 + i)n


Esempio Capitale Investito (C) = 1.000.000; Periodo (t) = 3 anni; Tasso annuo (i) = 12%.

La Vostra Idea ?


Esempio Capitale Investito (C) = 1.000.000; Periodo (t) = 3 anni; Tasso annuo (i) = 12%.

MontanteM = 1.000.000 x (1 + 0,12)3 = 1.404.928

Valore attualeVA = 1.404.928 / (1 + 0,12)3 = 1.000.000

Confronto fra i tre regimi

Interesse semplice

Capitale Tasso annuo Mesi Montante Valore attuale100,00 8% 3 102,00 98,04 100,00 8% 6 104,00 96,15 100,00 8% 9 106,00 94,34 100,00 8% 12 108,00 92,59 100,00 8% 24 116,00 86,21 100,00 8% 36 124,00 80,65 100,00 8% 48 132,00 75,76 100,00 8% 60 140,00 71,43


Interesse composto

Capitale Tasso annuo Mesi Montante Valore attuale100,00 8% 3 101,94 98,09 100,00 8% 6 103,92 96,23 100,00 8% 9 105,94 94,39 100,00 8% 12 108,00 92,59 100,00 8% 24 116,64 85,73 100,00 8% 36 125,97 79,38 100,00 8% 48 136,05 73,50 100,00 8% 60 146,93 68,06


Interesse commerciale

Capitale Tasso annuo Mesi Montante Valore attuale100,00 8% 3 \ 98,00 100,00 8% 6 \ 96,00 100,00 8% 9 \ 94,00 100,00 8% 12 \ 92,00 100,00 8% 24 \ 84,00 100,00 8% 36 \ 76,00 100,00 8% 48 \ 68,00 100,00 8% 60 \ 60,00

Confronto fra i tre regimi in chiave grafica (montante)

Confronto fra i tre regimi in chiave grafica (valore attuale)

Confronto fra i tre regimi: conclusioni di sintesi

Montante per durate inferiori all’anno:

montante più elevato: regime interesse semplice; montante minore: regime interesse composto;

per durate superiori all’anno si invertono.

Valore attuale per durate inferiori all’anno:

sconto più elevato: regime sconto commerciale; sconto minore: regime interesse composto.

per durate superiori all’anno: sconto più elevato: regime sconto commerciale; sconto minore: regime interesse semplice.

ALCUNE ALCUNE DEFINIZIONIDEFINIZIONI

Tassi . . . di vario tipo

Tasso annuo nominale convertibile Il tasso al quale vengono calcolati effettivamente gli

interessi è riferito ad 1/k di anno e si ottiene da quello nominale convertibile assegnato, dividendo per k. Es. tasso annuo 12%; semestrale 6%; trimestrale

3%.

Tassi equivalenti (1) Tasso annuo e frazionario che producono, nella

medesima unità di tempo, lo stesso risultato.


Tassi equivalenti (2)

Formula per la definizione del tasso annuo;

Formula per la definizione del tasso frazionario

1)1( kkii

1)1( kk ki


Esempio: tassi equivalenti

Tasso trimestrale del 2,00% Quale il tasso annuo equivalente ?

i = (1 + 0,02)4 - 1 = 8,24%

Tasso annuo del 9,38% Quale il tasso mensile equivalente ?

%75,01%)38,91(12 ki

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