GLAVA II - Dinamički sistemi diferencijalnih jednačina

1. Fazni portret dinamičkog sistema - osnovni pojmovi

Dinamički sistem DJ:

dx1dt

= f1(x1, x2, . . . , xn)

dx2dt

= f2(x1, x2, . . . , xn)(1)

...dxndt

= fn(x1, x2, . . . , xn)

gde su fi : E→ R, E ⊂ Rn, i = 1, 2, . . . , n date funkcije.

x = (x1, x2, . . . , xn), f : E→ Rn, f = (f1, f2, . . . , fn) vektorska funkcijaAko svakom elementu x ∈ E pridružimo vektor f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fn(x)),kažemo da je u oblasti E definisano vektorsko polje f .

vektorsko polje → f = (f1, f2, . . . , fn)

Dinamički sistem (1) u vektorskom obliku:

(2)dx

dt= f(x)

Ako su funkcije fi ∈ C(1)(E), po TEJR oblast egzistencije i jedinstvenostirešenja dinamičkog sistema (2) je G = R × E - za bilo koju tačku (t0, x0), t0 ∈R, x0 ∈ E postoji jedinstveno neproduživo rešenje x = x(t) sistema (2), kojezadovoljava početni uslov x(t0) = x0 i koje je definisano na maksimalnom intervaluegzistencije Ix0, t0 ∈ Ix0.? geometrijsko mesto tačaka Γ = {(t, x(t)) | t ∈ Ix0} ⊂ G −→ integralna

kriva Košijevog rešenja x = x(t), t ∈ Ix0? geometrijsko mesto tačaka γ = {x(t) | t ∈ Ix0} ⊂ E ⊂ Rn −→ fazna

trajektorija

Fazna trajektorija je projekcija integralne krive na fazni prostor

Rn = {(x1, x2, . . . , xn) |xi ∈ R},paralelno t-osi.

1

Pravac fazne trajektorije je pravac kretanja tačke (x1(t), x2(t), . . . , xn(t)) pofaznoj trajektoriji, u pravcu rasta promenljive t.

Fazni portret dinamičkog sistema čine grafici faznih trajektorija u faznomprostoru (ravni) sa naznačenim pravcima.

Vektor vektorskog polja f u tački x0 ∈ E je (f1(x0), . . . , fn(x0)). Geometrijski,vektor tangente proizvoljne fazne trajektorije γ u tački x0 = x(t0) faznog prostora,poklapa se sa vektorom vektorskog polja u toj tački, tj.

x′(t0) =

(dx1(t0)

dt, . . . ,

dxn(t0)

dt

)= (f1(x(t0)), . . . , fn(x(t0))) = f(x0),

odnosno vektor vektorskog polja f u tački x0 je vektor tangente fazne trajektorijeDS (2) u toj tački. Naravno, ovo važi samo ako se fazne trajektorije ne sastojeod izolovanih položaja ravnoteže. Zato, skup vektora u faznom prostoru E ∈ Rn

{(f1(x0), . . . , fn(x0)) : x ∈ E}

sa odgovarajućim pravcem fazne trajektorije naziva se vektorsko polje (poljepravaca) dinamičkog sistema.

Slika 1: (a) Integralna kriva Γ1 = {(t, 2e−t,−e2t), t ∈ R} Košijevog rešenja DS (3) koje zadovoljavapočetne uslove x1(0) = 2, x2(0) = −1 (b) Fazna trajektorija x2 = −4/x21 - projekcija integralnekrive Γ1 na (x1, x2)−ravan

Primer 1.1. Dinamički sistem

x′1 = −x1x′2 = 2x2(3)

ima opšte rešenje x1(t) = c1e−t, x2(t) = c2e

2t, t ∈ R.

2

Integralne krive rešenja su geometrijska mesta tačaka {(t, c1e−t, c2e2t), t ∈ R}(Slika 1-(a)), a fazne trajektorije su projekcije ovih integralnih krivih na faznuravan R2 (Slika 1-(b)). Med̄utim, fazne trajektorije se mogu odrediti eliminacijomkoordinate t iz opšteg rešenja, čime se dobija

x2 =k

x21, k = c21c2.

Primetimo da su koordinatne poluose takod̄e fazne trajektorije.Vektorsko polje (polje pravaca) DS i fazni portret DS (3) prikazani su redom

na Slici 2-(a) i (c).

Slika 2: (a) vektorsko polje DS; (b) tok DS; (c) fazni portret DS (3) u Primeru 1.1.

Definicija 1 [Položaj ravnoteže] Tačka x0 ∈ E u kojoj je f(x0) = 0, naziva sepoložaj ravnoteže ili tačka mirovanja dinamičkog sistema (2).

Očigledno, ako je tačka x0 položaj ravnoteže sistema (2), tada ovaj sistem imarešenje x(t) = x0, t ∈ R, a odgovarajuća fazna trajektorija je upravo tačka x0 ufaznom prostoru Rn.

Termin ,,tačka mirovanja” potiče iz fizike i opisuje položaj pri kretanju mater-ijalne tačke kada su brzina i ubrzanje istovremeno jednaki nuli. Koristi se takod̄ei pojam stacionarna tačka DS.

Definicija 2 Položaj ravnoteže x0 ∈ E DS (2) naziva se izolovani ako u postojiokolina O(x0)\{x0} u kojoj nema drugih položaja ravnoteže tog DS. U suprotnompoložaj ravnoteže naziva se neizolovani.

3

Osnovna svojstva faznih trajektorija DS

Stav 1 (i) Svaka fazna trajektorija dinamičkog sistema (2), različita od položajaravnoteže, je glatka kriva.

(ii) Ako je x = ϕ(t) rešenje KP dinamičkog sistema (2)

(4) x′ = f(x), x(t0) = x0

na [t0, t1], tada je i funkcija x = ϕ∗(t), gde je ϕ∗(t) ≡ ϕ(t+ t0) rešenje istog

sistema na [0, t1 − t0] koje zadovoljava početni uslov ϕ∗(0) = x0.

(iii) Ako se fazne trajektorije dinamičkog sistema (2) seku u nekoj tački, onda seone poklapaju.

Dokaz. (i) Dokaz neposredno sledi iz pretpostavke fi ∈ C(1)(D).(ii): Ako je x = ϕ(t) definisano na [t0, t1], funkcija x = ϕ

∗(t) = ϕ(t+t0) definisanaje na [0, t1 − t0]. Za i = 1, 2, . . . , n je

x′i − fi(x1, . . . , xn)∣∣∣xi=ϕ∗i (t)

= ϕ′i(t+ t0)− fi(ϕ1(t+ t0), . . . , ϕn(t+ t0))

= ϕ′i(u)− fi(ϕ1(u), . . . , ϕn(u)) ≡ 0.

Pored toga, ϕ∗(0) = ϕ(t0) = x0.

U smislu kretanja tačke po faznoj trajektoriji rešenja x = ϕ(t), ovim stavom jeizražena činjenica da i rešenju x = ϕ∗(t) odgovara ista fazna trajektorija, samo sekretanje tačke odvija sa kašnjenjem t0. Bez gubitka opštosti možemo razmatratiDS (2) na vremenskom intervalu [0, T ] sa početnim uslovom x(0) = x0.

(iii) Neka je x = ϕ(t, x0) rešenje dinamičkog sistema (2) koje zadovoljavapočetni uslov ϕ(0, x0) = x0 i koje je definisano na maksimalnom intervalu Ix0 =(α1, β1), a x = ψ(t, y0) rešenje dinamičkog sistema (2) koje zadovoljava početniuslov ψ(0, y0) = y0 i koje je definisano na maksimalnom intervalu Iy0 = (α2, β2).

Pokazaćemo da ako postoje vrednosti t1 ∈ Ix0, t2 ∈ Iy0 za koje je ϕ(t1, x0) =ψ(t2, y0), tada je

(5) ϕ(t, x0) = ψ(t+ t2 − t1, y0), t ∈ Ix0 ∩ Iψ(t2−t1,y0).

Neka jeψ∗(t, ψ(t2 − t1, y0)) ≡ ψ(t+ t2 − t1, y0).

4

Prema (ii), x = ψ∗(t, ψ(t2 − t1, y0)) je rešenje DS (2) koje zadovoljava početniuslov ψ∗(0, ψ(t2 − t1, y0)) = ψ(t2 − t1, y0) i definisano je na

Iψ(t2−t1,y0) = (α2 + t1 − t2, β2 + t1 − t2) = I3.

Kako je α2 < t2 < β2, biće

α2 − t2 < 0 < β2 − t2 ⇒ α2 + t1 − t2 < t1 < β2 + t1 − t2 ,

odnosno t1 ∈ I3 i imamo da je

ψ∗(t1, ψ(t2 − t1, y0)) = ψ(t2, y0) = ϕ(t1, x0),

pa rešenja x = ψ∗(t, ψ(t2 − t1, y0)) i x = ϕ(t, x0) zadovoljavaju isti početni uslov.Dakle, ova rešenja se moraju poklapati u zajedničkoj oblasti definisanosti tj. važi(5). Kako je α2 + t1 − t2 < t1 < β1, to je Ix0 ∩ I3 6= ∅. � �

Stav 2 Neka je x = ϕ(t, x0) rešenje dinamičkog sistema (2) koje zadovoljavapočetni uslov ϕ(0, x0) = x0 i koje je definisano na maksimalnom intervalu Ix0.Ako t1 ∈ Ix0 i t2 ∈ Iϕ(t1,x0), tada t1 + t2 ∈ Ix0 i

ϕ(t1 + t2, x0) = ϕ(t2, ϕ(t1, x0)) = ϕ(t1, ϕ(t2, x0)).

Dokaz: Neka je t1 ∈ Ix0 = (α, β) i t2 ∈ Iϕ(t1,x0). Ako je t2 = 0 tvrd̄enje trivijalnosledi.

Pretpostavimo da je t2 > 0. Tada funkcija x : (α, t1 + t2]→ E definisana sa

x(t) =

{ϕ(t, x0), za α < t ≤ t1ϕ(t− t1, ϕ(t1, x0)), za t1 ≤ t ≤ t1 + t2

je rešenje DS (2) koje zadovoljava početni uslov x(0) = x0 i definisano je na(α, t1 + t2], jer po Stavu 1-(ii) funkcija ϕ(t − t1, ϕ(t1, x0)) rešenje sistema (2).Dakle, t1 + t2 ∈ Ix0 i zbog jedinstvenosti rešenja je

(6) ϕ(t1 + t2, x0) = x(t1 + t2) = ϕ(t2, ϕ(t1, x0)) .

Ako je t2 < 0, tada je funkcija x : [t1 + t2, β)→ E definisana sa

x(t) =

{ϕ(t− t1, ϕ(t1, x0)), za t1 + t2 ≤ t ≤ t1ϕ(t, x0), za t1 ≤ t < β

rešenje DS (2) koje zadovoljava početni uslov x(0) = x0, definisano je na [t1+t2, β),pa je t1 + t2 ∈ Ix0 i zbog jedinstvenosti rešenja važi (6).

5

Zamenom mesta t1 i t2 u (6) dobija se

ϕ(t2 + t1, x0) = ϕ(t1, ϕ(t2, x0)) . �

U smislu kretanja tačke po faznoj trajektoriji rešenja y = ϕ(x), po Stavu 2sledi da iz početnog položaja ϕ(0, x0) ona može doći za vreme t1 + t2 u položajϕ(t1 + t2, x0) na dva načina:

• za vreme t1 tačka pred̄e u položaj ϕ(t1, x0), a zatim za vreme t2 iz tog položajapred̄e u tačku ϕ(t2, ϕ(t1, x0));

• za vreme t2 tačka pred̄e u položaj ϕ(t2, x0), a zatim iz tog položaja za vremet1 pred̄e u tačku ϕ(t1, ϕ(t2, x0)).

Tok DS

Definicija 3 [Tok DS] Neka je ϕ(t, x0) jedinstveno rešenje KP

(7) x′ = f(x), x(0) = x0,

definisano na maksimalnom intervalu Ix0. Za svako t ∈ Ix0, tok dinamičkogsistema (tok vektorskog polja f) je neprekidno preslikavanje Φt : E → E takvoda je Φt(x0) := ϕ(t, x0).

Slika 3: Ako je y = φs(x) onda je φt(y) = φt+s(x)

Za tok Φt dinamičkog sistema važi:

• Φ0(x0) = x0;

• dΦt(x0)

dt= f(Φt(x0));

• Φt ◦ Φs = Φt+s = Φs+t = Φs ◦ Φt, t, s ∈ R (prema Stavu 2).

6

Ako fiksiramo početnu tačku x0 ∈ E, tada preslikavanje ϕ(·, x0) : Ix0 → Edefinǐse trajektoriju DS (2) kroz tačku x0 ∈ E:γx0 = {Φt(x0), t ∈ Ix0} ⊂ Rn −→ fazna trajektorija kroz tačku x0

Fazna trajektorija predstavljena je krivom Γ kroz x0 na podskupu E faznogprostora Rn (Slika 4-(a)). S druge strane, ako je tačka x0 promenljiva iz K ⊂ E,tok DS (2) Φt : K→ E je kretanje svih tačaka skupa K (Slika 4-(b)).

Slika 4: (a) trajektorija Γ DS (2); (b) tok Φt DS (2)

Topološka ekvivalentnost i konjugovanost DS

Definicija 4 Neka su ϕt : X→ X i ψt : Y→ Y tokovi DS

(8)x′ = f(x), f : X→ Rn,y′ = g(y), g : Y→ Rn, X,Y ⊂ R

n.

Za DS (8) kažemo da su topološki ekvivalentni ako postoji homeomorfizamh : X → Y (neprekidno, bijektivno preslikavanje, čiji je inverz neprekidan) ineprekidno preslikavanje τ : R × X → R, za koje je t 7→ τ(t, x) strogo rastućabijekcija, tako da za svako t ∈ R i svako x ∈ X važi

h(ϕt(x)) = ψτ(t,x)(h(x)) .

Homeomorfizam h preslikava fazne trajektorije jednog sistema u fazne trajektorijedrugog sistema, pri čemu se čuva orjentacija trajektorija - ako je trajektorijaϕ(t, x) usmerena od x1 do x2 iz X, tada je trajektorija ψ(t, x) usmerena od h(x1)do h(x2) iz Y (slika 5).

Ako je specijalno τ(t, x) = t za svako t ∈ R i svako x ∈ X, DS (8) sutopološki konjugovani. Dakle, DS (8) su topološki konjugovani akopostoji homeomorfizam h : X→ Y tako da važi

h(ϕ(t, x)) = ψ(t, h(x)), x ∈ X ,

7

odnosnoh(ϕt(x)) = ψt(h(x)), x ∈ X .

Ako homeomorfizam h preslikava fazne trajektorije jednog DS u fazne tra-jektorije drugog DS, pri čemu se čuva orjentacija trajektorija, ali i vremenskaparametrizacija duž trajektorija, za DS kažemo da su topološki konjugovani.

h ◦ ϕt = ψt ◦ h ⇒ ϕt = h−1 ◦ ψt ◦ h

x0ϕt→ ϕt(x0)

h ↓ ↓ h

y0ψt→ ψt(y0)

Slika 5: Topološki konjugovani DS h(ϕt(x)) = ψt(h(x))

Lema 1 Položaj ravnoteže DS preslikava se u položaj ravnoteže njemu topološkikonjugovanog DS.

Dokaz. Ako su DS (8) topološki konjugovani i ako je x? PR DS (8)-(1), ay? = h(x?), pokazaćemo da je y? PR DS (8)-(2). Naime, ako je ϕt tok DS (8)-(1),ψt tok DS (8)-(2), tada kako je ϕt(x?) = x? za svako t, biće

ψt(y?) = ψt(h(x?)) = h(ϕt(x?)) = h(x?) = y? . �

8

Zatvorena trajektorija

Definicija 5 [Zatvorena trajektorija] Trajektorija ϕ(t, x) je zatvorena ako pos-toji T > 0 tako da je ϕ(t, x) = ϕ(t + T, x) za svako t ∈ R, a minimalno takvo Tnaziva se period zatvorene trajektorije. Zatvorena trajektorija DS naziva se cikl.Odgovarajuće rešenje ϕ(t, x0) KP (7) naziva se periodično rešenje DS sa periodomT .

Lema 2 Periodične trajektorije DS preslikavaju se u periodične trajektorije njemutopološki konjugovanog DS, pri čemu su periodi tih trajektorija jednaki.

Dokaz. Ako je ϕt(x0) periodična trajektorija DS (8)-(1) sa periodom T , tj.ϕt(x0) = ϕ

t+T (x0), tada je

ψt(y0) = h(ϕt(x0)) = h(ϕ

t+T (x0)) = ψt+T (y0)

tako da je ψt(y0) periodična trajektorija DS (8)-(2) sa istom periodom T . �Treba napomenuti da periodi periodičnih trajektorija topološki ekvivalentnih

DS ne moraju biti jednaki.

Klasifikacija trajektorija DS

Naredno tvrd̄enje ukazuje na klasifikaciju trajektorija:

Teorema 1 Fazna trajektorija dinamičkog sistema (2) može biti:

• tačka (položaj ravnoteže);

• glatka kriva bez samopreseka, kojoj odgovara neperiodično rešenje;

• zatvorena glatka kriva, kojoj odgovara periodično rešenje sa nekom pozitivnomnajmanjom periodom.

Iz ove teoreme sledi da je fazna trajektorija, koja nije tačka, glatka kriva bezsamopreseka koja može biti otvorena ili zatvorena. Ako je fazna trajektorijazatvorena kriva, rešenje dinamičkog sistema je periodična funkcija sa nekom min-imalnom periodom. Sa stanovǐsta primena to znači da realan sistem, matematičkimodeliran dinamičkim sistemom, radi u stabilnom, periodičnom režimu.

9

Pojam stabilnosti položaja ravnoteže DS

Nδ(x0) = {x ∈ D : ||x− x0|| < δ}

Definicija 6 [Stabilnost položaja ravnoteže] Položaj ravnoteže x0 DS (2) jestabilan, ako za svako R > 0 postoji r = r(R) > 0, tako da za svaku faznutrajektoriju x = x(t) ovog sistema, iz ||x(t0) − x0|| < r sledi ||x(t) − x0|| < R zasvako t ∈ [t0,∞). Položaj ravnoteže x0 DS (2) je nestabilan ako nije stabilan.

Neka je Φt tok DS (2). Položaj ravnoteže x0 DS (2) je stabilan, ako za svakoR > 0 postoji r = r(R) > 0, tako da za svako x ∈ Nr(x0) i za svako t ≥ 0 jeΦt(x) ∈ NR(x0).

Slika 6: Stabilnost i asimptotska stabilnost PR x0 = 0

Definicija 7 [Asimptotska stabilnost položaja ravnoteže] Položaj ravnotežex0 DS (2) je asimptotski stabilan, ako je stabilan i postoji δ > 0, tako da iz||x(t0)− x0|| < δ sledi

limt→∞||x(t)− x0|| = 0.

Neka je Φt tok DS (2). Položaj ravnoteže x0 DS (2) je asimptotski stabilan, akoje stabilan i postoji δ > 0, tako da za svako x ∈ Nδ(x0) sledi

limt→∞

Φt(x) = x0.

10

Pojmovi za nelinearan DS

Za običnu DJ prvog reda y′ = f(x, y) izoklina je geometrijsko mesto tačakau kojima polje pravaca ima istu vrednost, odnosno

{(x, y) : f(x, y) = k, k = const}

Analogno tome za DS

(9)dx1dt

= f1(x1, x2),dx2dt

= f2(x1, x2)

se definǐsu pojmovi x1−nula-izoklina i x2−nula-izoklina.

Definicija 8 [Nula-izokline] x1−nula-izoklina je skup tačaka u faznoj ravniza koje je dx1/dt = 0, tj. f1(x, y) = 0. x2−nula-izoklina je skup tačaka ufaznoj ravni za koje je dx2/dt = 0, tj. f2(x, y) = 0.

Uz pretpostavku da su funkcije fi ∈ C(1)(E), pretpostavimo da je neproduživorešenje bilo kog KP dinamičkog sistema (2) definisano na R.

Definicija 9 [Stabilna mnogostrukost] Stabilna mnogostrukost položajaravnoteže x0 je skup

Ws(x0) = {x : limt→∞

Φt(x) = x0}

Nestabilna mnogostrukost položaja ravnoteže x0 je skup

Wu(x0) = {x : limt→−∞

Φt(x) = x0}

Definicija 10 [Heterociklična trajektorija] Neka su x̂1 i x̂2 položaji ravnotežeDS. Trajektorija γ(x0) kroz tačku x0 ∈ E naziva se heterociklična veza izmed̄upoložaja ravnoteže x̂1 i x̂2 ako je

limt→∞

Φt(x0) = x̂2, limt→−∞

Φt(x0) = x̂1

Trajektorija γ(x0) ⊂ Wu(x̂1) i γ(x0) ⊂ Ws(x̂2).

Definicija 11 [Homociklična trajektorija] Neka je x̂1 položaj ravnoteže DS.Trajektorija γ(x0) kroz tačku x0 ∈ E naziva se homociklična trajektorijapoložaja ravnoteže x̂1 ako je

limt→±∞

Φt(x0) = x̂1

11

Slika 7: (a) homociklična trajektorija PR x0; (b) heterociklična trajektorija PR x1 i x2.

Slika 8: (a) heterociklična trajektorija PR (−1, 0) i (1, 0); (b) homociklična trajektorija PR (0, 0)

Slika 9: Heterociklična veza izmed̄u stacionarnih tačaka x̂1 i x̂2, pri čemu se stabilna mnogostrukostST x̂1 poklapa sa nestabilnom mnogostrukošću ST x̂2

12

Definicija 12 [Invarijantan skup DS] Skup S ⊂ Rn je invarijantan skup DS,ako za proizvoljno rešenje X(t) DS koje polazi iz tačke X(0) = x0 ∈ S, X(t) ∈ Sza svako t ∈ R, odnosno ako za proizvoljno x0 ∈ S važi Φt(x0) ∈ S za svako t ∈ R.Skup S ⊂ Rn je pozitivno invarijantan skup (negativno invarijantan skup)DS, ako za proizvoljno x0 ∈ S važi Φt(x0) ∈ S za svako t > 0 (t < 0).

Definicija 13 Invarijantan skup S DS je

(i) stabilan ako za svaku dovoljno malu okolinu U od S postoji okolina V od S,tako da ako x0 ∈ V onda Φt(x0) ∈ U za svako t ∈ R;

(ii) nestabilan ako nije stabilan;

(iii) privlačan ako postoji okolina V od S tako da ako x0 ∈ V onda

limt→∞

Φt(x0) ∈ S.

(iv) odbojan ako je privlačan za vreme unazad tj. t→ −t ;

(v) asimptotski stabilan ako je stabilan i privlačan.

Slika 10:

13

Primer 1.2. Na Slici 10:

(a) trajektorije oko PR u koordinatnom početku su kružnice, pa je PR stabilanali ne privlačan;

(b) svaka trajektorija konvergira ka PR (1, 0) pa je on privlačan, ali nije stabilan,jer za svaku okolinu V PR (1, 0) postoji trajektorija koja napušta tu okolinu;

(c) PR (0, 0) je asimptotski stabilan

(d) PR (0, 0) je nestabilan.

Fizički smisao pojmova

Dinamički sistem (1) je matematički model kretanja materijalne tačke u n-dimenzionalnom prostoru promenljivih (x1, x2, . . . , xn).

? Kretanje je promena položaja koje tokom vremena vrši materijalno telo uodnosu na neko drugo materijalno telo (posmatrača). Položaj tačke M koja sekreće potpuno je odred̄en vektrom položaja −→r čiji je početak u nekoj nepokretnojtački O, a kraj u pokretnoj tački M . Kako tačka M menja položaj u odnosu natačku O tokom vremena t, menja se i intenzitet, pravac i smer vektora položaja−→r . Prema tome, vektor položaja −→r predstavlja vektorsku funkciju vremena t:−→r = −→r (t) koja se zove zakon kretanja tačke u vektorskom obliku.? Ako se tačka kreće duž krive

(10) xi = xi(t), i = 1, 2, . . . , n, t ∈ I

kažemo da je sa (10) odred̄en zakon kretanja tačke po putanji:

−→r (t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t)), t ∈ I

Dakle, fazna trajektorija čije su parametarske jednačine date sa (10) je kriva kojaopisuje zakon kretanja.? Vektor brzine tačke −→v karakterǐse promenu vektora položaja (po intenzitetu,

pravcu i smeru) u svakom trenutku vremena. Vektor brzine tačke u datomtrenutku vremena ima pravac tangente na trajektoriju u odgovarajućoj tački,a usmeren je u smeru kretanja tačke. Vektor brzine tačke −→v u datom trenutkuvremena t jednak je prvom izvodu vektora položaja tačke po vremenu:

−→v (t) = −→r ′(t)

14

Ako se tačka kreće tako da se vektor brzine menja svoj pravac, onda tačka vršikrivolinijsko kretanje, a ako je vektor brzine tokom vremena konstantnog pravca,onda tačka vrši pravolinijsko kretanje. Ako se tačka kreće tako da je vektor brzinekonstantnog intenziteta, za takvo kretanje kažemo da je ravnomerno.

Intenzitet vektora brzine jednak je intenzitetu prvog izvoda vektora položajapo vremenu

|−→v | =∣∣∣∣d−→rdt

∣∣∣∣Pri kretanju tačke po kružnici je intenzitet vektora položaja |−→r | = const., pa jed|−→r |dt = 0. Med̄utim, kako se menja pravac i smer vektora položaja, brzina tačke

je različita od nule. Dakle,

|−→v | 6= d|−→r |dt

? Vektor ubrzanja tačke −→w tačke karakterǐse promenu vektora brzine tačke usvakom trenutku. Kako je vektor brzine tačke jednak izvodu po vremenu vektorapoložaja tačke, imamo

−→w (t) = −→v ′(t) = −→r ′′(t)Vektor ubrzanja tačke u datom trenutku vremena jednak je prvom izvodu vektorabrzine tačke po vremenu, ili drugom izvodu vektora položaja tačke po vremenu.

U opštem slučaju krivolinijskog kretanja tačke vektor ubrzanja karakterǐsepromenu vektora brzine tačke tokom vremena po intenzitetu, pravcu i smjeru.Iz ovog sledi da je ubrzanje tačke jednako nuli samo kada je brzina tačke tokomvremena konstantna po pravcu i intenzitetu,tj. u slučaju ravnomernog pravolini-jskog kretanja.

Intenzitet vektora ubrzanja jednak je intenzitetu vektora brzine po vremenu

|−→w | =∣∣∣∣d−→vdt

∣∣∣∣Na osnovu primera krivolinijskog kretanja kada je vektor brzine konstantan pointenzitetu ali ne i po pravcu zaključujemo da je

|−→w | 6= d|−→v |dt

15