KONSTITUTIVNE JEDNAINE U FORMI DIFERENCIJALNIH OPERATORASaetak: Mehaniki odgovor viskoelastinog materijala na spoljanje optereenje kombinuje osobine elastinog i viskoznog ponaanja. S druge strane, kao to je poznato iz iskustva, opruge i klipovi su mehanika sredstva koja pokazuju isto elastino i isto viskozno ponaanje, respektivno. Stoga je normalno zamisliti da se jednaine koje se odnose na napon i deformaciju u viskoelastinom materijalu mogu prikazati odgovarajuom kombinacijom jednaina koje se odnose na napon i deformaciju u oprugama i klipovima. U razvijanju ove teorije, Odeljak 3.2 istrauje odgovor idealno elastine opruge i idealno viskoznog klipa na spoljanja optereenja. Jednaine odgovora za ove jednostavne mehanike elemente su date u Odeljku 3.3, sa uvodom o takozvanim reolokim operatorima. Kako se ispostavlja, zbog toga to kombinacije opruge i klipa zahtevaju dodavanje i multiplikaciju konstante i prvih derivativnih operatora, proizilazi da konstitutivne jednaine opruge i klipa, potrebne da reprodukuju posmatrano viskoelastino ponaanje, moraju biti predstavljene linearnim obinim diferencijalnim jednainama iji red zavisi od broja, vrste i specifinog rasporeda opruga i klipova. Takoe je ispitan fiziki znaaj koeficijenata u rezultujuim diferencijalnim jednainama i ustanovljena je odgovarajua forma inicijalnih uslova. Kao to e se videti, samo prisustvo ili odsustvo nekih od koeficijenata diferencijalne jednaine otkriva da li e odreen raspored opruga i klipova koji predstavlja biti model tenog ili vrstog stanja i da li e pokazati trenutni elastini odgovor. Opti pristup ustanovljenim reolokim modelima je predstavljen u Odeljku 3.4, a primenjen u Odeljcima 3.5 do 3.7 u razvijanju diferencijalnih jednaina i ispitivanju ponaanja jednostavnih i optih reolokih modela.3.1 UvodKao to je navedeno u Poglavlju 1, mehaniki odgovor viskoelastinog materijala na spoljanje optereenje kombinuje osobine elastinog i viskoznog ponaanja. S druge strane, kao to je poznato iz iskustva, opruge i klipovi su mehanika sredstva koja pokazuju isto elastino i isto viskozno ponaanje, respektivno. Stoga je normalno zamisliti da se jednaine koje se odnose na napon i deformaciju u viskoelastinom materijalu mogu prikayati odgovarajuom kombinacijom jednaina koje se odnose na napon i deformaciju u oprugama i klipovima. U razvijanju ove teorije, Odeljak 3.2 istrauje odgovor idealno elastine opruge i idealno viskoznog klipa na spoljanja optereenja. Jednaine odgovora za ove jednostavne mehanike elemente su date u Odeljku 3.3, sa uvodom o takozvanim reolokim operatorima. Zbog toga to matematike kombinacije opruge i klipa zahtevaju dodavanje i multiplikaciju konstante i prvih derivativnih operatora, proizilazi da konstitutivne jednaine opteg rasporeda opruge i klipa, potrebne da opiu realno viskoelastino ponaanje, moraju da se predstave linearnim obinim diferencijalnim jednaiinama iji red zavisi od broja, vrste i specifinog rasporeda opruga i klipova. Takoe je ispitan fiziki znaaj koeficijenata u rezultujuim diferencijalnim jednainama i ustanovljena je odgovarajua forma inicijalnih uslova. Kao to e se videti, samo prisustvo ili odsustvo nekih od koeficijenata diferencijalne jednaine otkriva da li e odreen raspored opruga i klipova koji predstavlja biti model tenog ili vrstog stanja i da li e pokazati trenutni elastini odgovor. Opti pristup ustanovljenim reolokim modelima je predstavljen u Odeljku 4, a primenjen za razvijanje diferencijalnih jednaina i ispitivanje ponaanja jednostavnih, optih i degenerativnih reolokih modela, u Odeljcima 3.5 do 3.7, sukcesivno.3.2 Osnovni reoloki modeliPostoje dva osnovna reoloka modela linearne viskoelastinosti: linearna elastina opruga i linearni viskozni klip. Konstitutivne jednaine elastinih opruga i viskoznih klipova su prikazane u uslovima sile i pomaka i brzine sile i pomaka, respektivno1 (1 Koristimo aksijalne opruge i klipove u derivacijama, ali naglaavamo da odgovarajui odnosi za smicanje naponom i smicanje deformacijom imaju isti matematiki oblik). Ovde je data pretpostavka odgovarajue skale i sile su zamenjene naponom, a pomaci deformacijom. Takoe, u ispitivanju odgovora osnovnih reolokih elemenata na opte optereenje (bilo da je napon ili deformacija) pretpostavljeno je da optereenje moe da ima konanu isprekidanost u vreme primene, ali je nakon toga kontinualno, kao to je opisano Slikom 3.1. Slika 3.1. Opte optereenje sa isprekidanouPo definiciji je:

3.2.1 Linearna elastina oprugaFiziki (mehaniki) model i dijagram slobodnog tela linearne elastine opruge su prikazani na Slici 3.2. Sledea je njena konstitutivna jednaina, praena odgovorom na optereenje napona i deformacije.3.2.1.1 Konstitutivna jednainaMehaniko ponaanje linearne elastine opruge je voeno Hukovim zakonom: napon je direktno proporcionalan deformaciji. Koristei za oznaavanje napona, deformacije i E za modul kao konstanta proporcionalnosti, piemo konstitutivnu jednainu opruge u napon-deformacija i deformacija-napon oblicima, kao (3.1a) (3.1b)Slika 3.2 Mehaniki model i dijagram slobodnog tela elastine opruge

3.2.1.2 Odgovor na deformacijuKontrolna varijabla u ovom sluaju je deformacija, optereenje uzima oblik , a odgovor elastine opruge na ovo optereenje je iz (3.1a): (a)Ovo pokazuje da je odgovor jedne elastine opruge trenutan i ostaje van nule onoliko koliko je i primenjeni napon van nule: poznata osobina ponaanja vrstih tela.Modul relaksacije elastine opruge, definisan kao odgovor napona na stepen deformacije, , po jedinici primenjene deformacije je dobijen iz (a) pomou (3.2a)ili, jednostavno (3.2b)3.2.1.3 Odgovor na naponKontrolna varijabla je u ovom sluaju deformacija. Optereenje ima oblik jednaine (t) = (t)H, a odgovor opruge se dobija pomou (3.1b) kao (b)Drugim reima, odgovor elastine opruge je trenutan i ostaje van nule sve dok je primenjeni napon van nule. Ovo je osobina ponaanja vrstih tela.Puzea deformacija elastine opruge, definisana kao odgovor deformacije na stepen napona, (t) = H(t-t0), mereno po jedinici primenjenog napona, dobijeno je iz (b) pomou (3.3a)Jednostavnije, (3.3b)Naroito, odgovor linearnog elastinog deformacije na napon i test oporavka deformacije je lako dat pomou (a) i (b), uspostavljanjem , gde je zamenjen sa ili , respektivno. Dva eksperimenta i pridruujui odgovori su prikazani na Slici 3.3.Slika 3.3 Odgovor oporavka elastine opruge. a Oporavak napona b. Oporavak deformacije

3.2.2. Linearni viskozni klipFiziki model i dijagram slobodnog tela linearnog viskoznog klipa predstavljeni su na slici 3.4. Njegova konstitutivna jednaina je razmotrena dalje, a kasnije e biti upotrebljena da bi se ispitao mehaniki odgovor klipa na napon i deformaciju.3.2.2.1 Konstitutivna jednainaMehaniko ponaanje linearnog klipa prati Njutnov zakon: napon je direktno poporcionalan brzini deformacije. Kao i ranije, i predstavljaju napon i deformaciju, respektivno. Stoga, koristei da bi se predstavila konstanta viskoznosti klipa, forma napon-deformacija konstitutivne jednaine za linearni klip postaje: (3.4a)Integraljenjem i zamenom mesta konstitutivna jednaina linearnog klipa prelazi u (3.4b)Slika 3.4 Mehaniki model i dijagram slobodnog tela linearnog klipa3.2.2.2 Odgovor na deformacijuOdgovor linearnog klipa na deformaciju , prikazan na Slici 3.1 dobijen je ubacivanjem u (3.4a) i izvoenjem navedene diferencijacije pomou svojstava jedininog stepena i delta funkcije2 (2Naroito (videti Apendiks A):

= (a) =Treba naglasiti da, usled toga to odgovor sadri impulsnu funkciju u , bie potreban beskonani napon koji bi zadao trenutnu deformaciju linearnog viskoznog klipa. Jednom kada se zada deformacija, meutim, napon bi odmah opao do vrednosti derivativa deformacije.Modul relaksacije linearnog viskoznog klipa, definisan kao odgovor na deformaciju i meren po jedinici primenjene deformacije, dobijen je iz (a), uz napomenu da je : (3.5a)

ili (3.5b)Drugim reima, modul relaksacije linearnog viskoznog klipa je impulsna funkcija.3.2.3.3 Odgovor na naponOdgovor linearnog viskoznog klipa na napon je dobijen uvoenjem kontrolne varijable, u (3.4b) i integraljenjem rezultujueg izraza izmeu 0 i t; uvoenjem stepenovanja Hevisajdove funkcije3 (3Specifino, , za ) (videti Apendiks A): Koristei inicijalni uslov :Slika 3.5 Odgovor viskoznog klipa, a Oporavak napona b Oporavak deformacije (b)Puzea elastina deformacija proizilazi iz ovoga postavljanjem (t) (t) i izvoenjem potrebnog integraljenja: = (3.6a)ili , za (3.6b)Odgovor linearnog viskoznog klipa na standardni test oporavka napona i deformacije se proverava pomou (a) i (b), postavljanjem da je , uz zamenu sa ili , respektivno. Eksperimenti i odgovori su opisani na Slici 3.5.3.3 Reoloki operatoriReoloki operatori prirodno proistiu iz obrazaca konstitutivnih jednaina modela opruge i klipa. Zaista, ove jednaine date u obrascu napon-deformacija kao (3.1a, b) mogu simbolino da se prikau kao rezultujue iz matematikih operacija deformacije. Za linearnu elastinu oprugu, ova interpretacija zapravo definie modul kao operator konstantu, , a multiplikaciju realnih brojeva (na primer vremenski modul deformacije) kao operaciju. Slino, odgovor na napon linearnog viskoznog klipa moe da se posmatra kao rezultujui iz primene derivativnog operatora prvog reda deformacije,. Ova ideja se dalje razvija kako sledi.3.3.1 Osnovni reoloki operatoriPratei prethodno argumentovanje, ponovo dajemo konstitutivnu jednainu napon-deformacija za oprugu i klip pomou dva osnovna reoloka operatora, i kao (3.7a) (3.8a)Korist od upotrebe reolokih operatora proizilazi iz injenice da se reoloki operatori mogu smatrati algebarskim entitetima koji prate pravila dodavanja i multiplikacije realnih brojeva i imaju osobine derivativnih funkcija realnih varijabli. Formalnije reeno, osnovni reoloki operatori su: Linearni, jer su homogeni i dodaju se:E;; itd Komutativni, jer mogu da se dodaju i mnoe po bilo kom redu:= ;; itd Asocijativni, jer mogu da se grupiu po bilo kom redu:

; itd Distributivni, jer njihovi proizvodi distribuiraju njihove sume i obrnuto:; itd.Drugim reima, reoloki operatori mogu biti dodati ili multiplicirani po bilo kom redu; oduzeti jedni od drugih; i, uz panju, ak simbolino podeljeni jedni drugima. Trik u izvoenju ovih algebarskih manipulacija reolokim operatorima je da se ima na umu da svaki operator ili izraavanje operatora radi kao funkcija i njegovo znaenje je deifrovano obradom s desna na levo. Na primer, ako je proizvod operatora t i konstanta E, rezultat mora da bude Et Et, bez obzira na to koji operator se najpre pojavljuje s leve strane. To je zbog toga to bi proizvod trebalo interpetirati kao , a ne kao diferencijalni operator t primenjen najpre sa konstantom E a zatim funkcijom , to bi, netano, dalo nulu , primenjeno na .Vano je naglasiti da kada funkcije koje uestvuju (napona ili deformacije) zavise od poloaja i vremena, kao to je tipino za dve i tri dimenzije, vie odgovara upotreba parcijalnog deribativnog operatora t umesto ukupnog derivativnog operatora . Da bi se pojednostavilo, koristimo simbol parcijalnog derivativa skoro izuzetno, ak i u sluaju jedne dimenzije. Da bi se postupalo u skladu sa ovom napomenom, dk/dtk i tk e biti korieno da bi se oznailo kt-ti red derivativnog operatora u skladu sa nezavisnom varijablom, t.Imajui na umu prethodno, delimo (3.7a) i (3.8a) odgovarajuim operatorom i stiemo do konstitutivnih jednaina linearne opruge i linearnog viskoznog klipa u obliku napon-deformacija: (3.7b) (3.8b)3.3.2 Glavni reoloki operatoriObzirom da konstitutivne jednaine za oprugu i klip ukljuuju derivative i napona i deformacije, logino je oekivati da konstitutivne jednaine koje odgovaraju reolokim modelima napravljene od vie kombinacija linearnih opruga i linearnih klipova treba da ukljue derivative vieg reda napona i deformacije. Ovo bi trebalo da bude tako usled injenice da je, bez obzira na kompleksnost rasporeda opruga-klip, reoloka jednaina konstruisana dodavanjem, oduzimanjem, mnoenjem i deljenjem osnovnih reolokih operatora, Ei i jt, iji parametri Ei i j zavise od specifinih osobina osnovnih elemenata koje predstavljaju. Rezultat je da je konstitutivna jednaina opteg reolokog modela uvek izraz obrasca: = (3.9a), i samim procesom koji vodi do izraza, moe se razmatrati da zbog redosleda diferencijalnih operatora, P i Q su ustanovljeni proizvodima osnovnih reolokih operatora, od kojih jedan-onaj od opruge-je uravnoteen u odnosu na diferencijaciju; drugi- onaj od klipa- sadri derivativ deformacije koji je za jedan red vii u odnosu na napon. Ako je , konstitutivna jednaina e sadrati samo derivative deformacije, a bar e najnii od njih biti van nule za napon razvijeno u sistemu. Poto e onda napon zavisiti od brzine deformacije, reoloka jednaina bi predstavljala ponaanje tenosti. Ako je , i napon i deformacija e dostii konane vrednosti i kako se vreme beskonano poveava , ali svi derivativi u (3.9a) bi nestali. Na granici, napon razliito od nule, e postojati sve dok postoji i deformacija i obrnuto. Ovakvi reoloki modeli predstavljaju elastino, vrsto ponaanje u duem periodu, ili modul ekvilibrijuma , a takoe komplijansa ekvilibrijuma , to je reciprono modulu ekvilibrijuma.Jednaina (3.9a) moe biti napisana i kao: Uz pomo simbola sumiranja i uvoenjem operatora nultog derivativa, : (3.9b)

Ili, kao to obino radimo, u simbolinom obliku, pomou linearnog diferencijalnog operatora, uvoenjem operatora napona i deformacije, P i Q, respektivno, kao

, ili (3.9c)

Uz sledee oigledne definicije operatora P I Q,

(3.10a)

(3.10b)

Konano, pomou osobina linearnih diferencijalnih operatora, kao to je ranije navedeno, piemo simboline jednaine napon-deformacija i deformacija-napon opteg reolokog modela kao (3.11a) (3.11b)3.3.3 Reoloke jednaine u Laplasovom transformisanom prostoruPod odreenim okolnostima kontinuiteta i beskonanosti korienih funkcija, mogue je i esto korisno transformisati obinu linearnu diferencijalnu jednainu u algebarsku. Kao to je razmatrano u Apendiksu A, ovo se moe uiniti integralnom transformacijom kao to je Laplasova ili Furijeova. 4 (4Furijeova transformacija se koristi u kasnijim poglavljima kao efikasan nain reavanja oscilatornih problema u mirnom stanju). Laplasova transformacija se koristi, kao to emo videti, u pretvaranju konstitutivne jednaine (3.9a) u algebarsku jednainu izmeu transformisanog napona i transformisanog deformacije. Kao i obino, slovo s e biti upotrebljeno za oznaavanje transformisane varijable, a crta iznad e oznaavati transformisanu koliinu.Shodno tome, primenjujui Laplasovu transformaciju na optu konstitutivnu jednainu (3.9a), pomou retest uslova i za napon i za deformacija, proizilazi (videti Apendiks A): (3.12a)Ili, nakon izbacivanja faktora iz transformisanog napona i deformacije i ukljuujui transformisanu varijablu kao argument funkcije, (3.13a) (3.13b)Poto su (s) i (s) algebarske koliine, simbolina jednaina (3.11a) dobija pravi algebarski smisao u Laplasovom transformisanom prostoru, postajui, respektivno: = (3.14a) (3.14b)3.3.4 Poetni uslovi za reoloke modeleKako izraz (3.9a) pokazuje, kosntitutivna jednaina glavnog reolokog modela je obina linearna diferencijalna jednaina m reda, ako je napon zavisna varijabla, a deformacija kontrolisana varijabla, i reda n, ako su uloge napona i deformacije obrnute. Njeno reenje zahteva niz nezavisno datih poetnih uslova, koji moraju da budu jednaki broju reda (m ili n) jednaine [1]. Pre nego to predstavimo opti nain uspostavljanja pravilnih poetnih uslova glavnih reolokih diferencijalnih jednaina, ispitujemo jednostavan sluaj.Primer 3.1 Uspostaviti poetne uslove za reoloki model ako se on odnosi na deformaciju .Reenje:Posebno treba naglasiti da treba da uspostavimo vrednost napona pri . Da bi se ovo uradilo, integralimo diferencijalnu jednainu modela u intervalu (, ) i piemo Koristei to da je prvi integral u ovom izrazu nula, za bilo koje ogranieno napon, i da su to i i , dolazi se do poetnog uslova: Naglaavamo da je svaki termin u optoj reolokoj jednaini u formi , gde je f ili za napon, ili za deformaciju. Takoe, iako je , pretpostavljamo da je diferencijalna jednaina reda n. Drugim reima, pretpostavljamo da je , ali postavljamo u sluaju . Takoe dajemo zavisnu varijablu (onu koja je predmet diferencijalne jednaine) da bi se izbegli diskontinuiteti kad god ih kontrolna varijabla ima. Ovo je pogodno za analitike svrhe, poto dozvoljava derivaciju kratkih matematikih izraza za eksperimente puzanja i relaksacije napona.Imajui na umu prethodne napomene, dalje piemo:1. Pretpostavimo da su kontrolne varijable (bilo ili ) i svi njihovi vremenski derivativi, sve do n-tog ukljuujueg derivativa, date u i jednake su nuli na .

), ; ili (a)

2. Pretpostavimo da zavisna varijabla (bilo ili ) i svi njeni vremenski derivativi, do n-tog ukljuujueg derivativa, mogu imati vrednost razliitu od nule nakon primene kontrolisane varijable. To jest,3. Integraliti diferencijalnu jednainu n puta, izmeu i . Prilikom tog izvoenja, imati na umu da nakon n integraljenja, svi derivativi reda postaju kontinuirani.To znai da su, nakon n integraljenja, respektivne vrednosti svake integrisane funkcije iste pri i , pa njihovi integrali izmeu i nestaju. Zatim, nakon n integraljenja dobijamo da je (b)Treba razmotriti dva sluaja: Sluaj 1 , a zatim .(a) Ako je napon zavisna varijabla, poetni uslov napona je (c) To implicira da e pri istezanju magnitude , materijal odgovoriti naponm magnitude . Drugim reima, materijal pokazuje trenutnu elastinost uz stakleni modul (b) Ako je deformacija zavisna varijabla, poetni uslov je (d)Ovo ukazuje na to da e na napon magnitude materijal odgovoriti deformacijam magnitude . Materijal pokazuje trenutnu elastinost, sa komplijansom .Jasno, trenutni modul i komplijansa su reciproni.

Sluaj 2 , to jest .(a) Ako je napon zavisna varijabla, rezultat nakon m integraljenja bie (e) Za diskontinuirano deformacija, ovo znai da bi stres bio beskonaan u taki primene Deformacije, jer je derivativ stepenaste funkcije Dirak delta funkcija (videti Apendiks A): (f) Drugim reima, ako je derivativ napona vieg reda manji od onog deformacije, a napon je zavisna varijabla, materijal nee moi da odgovori na trenutno primenjenu deformaciju.(b) Ako je deformacija zavisna varijabla, integralili bismo diferencijalnu jednainu m puta da bi se dobio poetni uslov deformacije. Rezultujue funkcije napona bi bile kontinuirane i integraljene do nule u intervalu izmeu i . Odgovarajui poetni uslov deformacije bi onda trebalo da bude (g)

U ovom sluaju, materijal ima nulti trenutni elastini odgovor i ne odgovara trenutno na trenutno primenjeno napon.4. Ustanovljavanjem poetne vrednosti zavisne funkcije ili , sada integralimo diferencijalnu jednainu puta, izmeu ista dva limita, i , i dolazimo do sledee jednaine u kojoj je jedina nepoznata prvi derivativ zavisne varijable (napona ili deformacije): n-1 (h)

Ovaj izraz se koristi zajedno sa datim vrednostima kontrolisane varijable i njenim prvim derivativom, uz ve ustanovljenu vrednost za poetni uslov zavisne varijable, u reavanju traenog poetnog uslova.(a) Ako je napon zavisna varijabla, izraz (h) daje:

(i) Svaki uslov sa desne strane ovog izraza je poznat. To znai da moemo, u principu, da koristimo ovaj izraz direktno pri uspostavljanju tanog poetnog uslovaprvog derivativa napona. Da bi bilo pogodnije, zamenjujemo poetni uslov napona njegovom vrednou u uslovima primenjenog deformacije, sabiramo uslove (mnoenjem i deljenjem prvog uslova sa desne strane sa pn) i dolazimo do

(j)

(b) Ako je deformacija zavisna varijabla, uloge napona i deformacije su obrnute. Zato, upotrebom (j) i obrtanjem uloga p i q proizilazi

(k)

Da bi se ustanovili odgovarajui poetni uslovi derivativa vieg reda zavisne varijable, treba nastaviti na isti nain. Na primer, da bi se ustanovili poetni uslovi drugog derivativa, integralimo puta izmeu i i, nakon algebarskih operacija, dolazimo do sledeih izraza.Kada je napon zavisna varijabla, (l)

Slino, kada je deformacija zavisna varijabla, (m)

Primer 3.2 Koristiti gornja pravila da bi se odredio znaaj koeficijenata reolokih modela iz Primera 3.1: i da bi se odredili tani poetni uslovi ako se model odnosi na stepenastu funkciju napona.Reenje:Na osnovu koeficijenata prisutnih u P i Q, ovaj model predstavlja tenost, poto je , i, obzirom na pokazae trenutno elastini odgovor sa komplijansom , a njegov inicijalni uslov bi trebalo da je . Primer 3.3 Uz koeficijente razliite od nule operatora napona i deformacije P i Q grupe reolokih modela ustanoviti koji model predstavlja tenost, koji vrsto telo, a koji bi pokazao trenutno elastini odgovor.(a) (b) (c) (d) Reenje(a) Ovaj model predstavlja vrsto telo zbog i ima trenutno elastini odgovor zbog (b) Ovaj model predstavlja tenost, zbog i nema trenutno elastini odgovor zbog (c) Ovaj model predstavlja vrsto telo zbog i ima trenutno elastini odgovor zbog (d) Ovaj model predstavlja tenost, zbog i takoe daje trenutno elastini odgovor zbog

3.4 Konstrukcija reolokih modelaKao to je ranije pomenuto, korisnost mehanikih konstitutivnih jednaina u formi diferencijalnih operatora je u tome to olakavaju kontruisanje odgovarajuih jednaina za proizvoljnu kombinaciju osnovnih elemenata. Postupak kojim bi se ovo postiglo moe se sumirati u tri koraka:1. Identifikovati koji elementi sistema deluju paralelno, a koji u seriji i napisati konstitutivne jednaine za komponente svake grupe reolokih elemenata u skladu s tim.(a) Za elemente vezane paralelno, napisati konstitutivne jednaine u obliku napon-deformacija uz to da svi elementi u paraleli imaju istu deformaciju i da je ukupan napon jednak sumi napona indiviualnih elemenata. Ovo je posledica sile ravnotee-kao to je prikazano u dijagramu slobodnog tela na Slici 3.6.Stoga, za podzbirove u paraleli piemo

(3.15 a)

Za grupu elemenata u seriji napisati konstitutivnu jednainu u obliku deformacija-napon, uz to da elementi u seriji imaju isti napon i da je ukupna deformacija jednaka sumi deformacije individualnih elemenata. Ovo je posledica sile ravnotee, kao to je prikazano u dijagramu slobodnog tela na Slici 3.7.Stoga, za podzbirove u seriji piemo

(3.15b)

2. Identifikovati da li ukupan skup elemenata odgovara sistemu u paraleli ili onom u seriji i konvertovati jednaine podzbirova u skladu s tim.(a) Za oblik napon-deformacija (, ako je skup u paraleli(b) Za oblik deformacija-napon (, ako je skup u seriji3. Dodati odgovore (napona ili deformacije) svih podzbirova elemenata da bi se definisala konstitutivna jednaina skupa elemenata.Slika 3.6 Sila ravnotee za grupu reolokih jedinica u paraleliSlika 3.7 Sila ravnotee za grupu reolokih jedinica u serijiPrirodno, konstitutivne jednaine za izolovane opruge i klipove e biti pisane direktno u obliku napon-deformacija ili deformacija-napon, u zavisnosti od toga koji oblik je adekvatan za dati problem.3.5 Jednostavni reoloki modeli

Najjednostavnija, netrivijalna kombinacija osnovnih reolokih elemenata se sastoji od jedne opruge i jednog klipa, bilo da su u seriji ili paraleli. Prethodno ureenje je poznato kao Maksvelov model i kasniji Kelvin-Vojtov model. Oba modela su uveliko koriena u teorijskim studijama zbog njihove jednostavnosti, a ne samo zbog toga to daju dobar prikaz realnog viskoelastinog ponaanja. Kao to e ukratko biti prikazano, Kelvinov raspored pokazuje ponaanja vvrstih tela, a Maksvelova jedinica se ponaa kao tenost. Ovi modeli se alternativno oznaavaju kao Kelvinovo ili Kelvin-Vojtovo vrsto telo i Maksvelova ili Maksvel-Vajhertova tenost, respektivno.

3.5.1 Kelvin-Vojtovo vrsto telo

Ovaj model se sastoji od jedne opruge i jednog klipa povezanih paralelno, kao to je prikazano na Slici 3.8. Kako sledi, izvodimo konstitutivnu jednainu modela i zatim primenjujemo je u dobijanju odgovora modela na deformaciju i napon; u skladu s tim nastaju odgovarajue funkcije relaksacije i puzanja.Slika 3.8 Kelvin-Vojtov model i sila ravnotee

3.5.1.1 Konstitutivna jednaina

Primenjujemo princip operatora u skladu sa naredna tri koraka:1. Najpre identifikujemo podgrupe elemenata (u ovom sluaju, opruga i klip) i piemo njihove individualne konstitutivne jednaine kako sledi:Za oprugu: Za klip: 2. Ukupni Kelvinov model je ureen paralelno, pa ostavljamo jednaine svake podgrupe u formi napon-deformacija, koristei da je deformacija ista za svaku jedinicu, to jest .Za oprugu, Za klip, 3. Sada dodajemo odgovore (napona) posebnih (podgrupa) elemenata i sabiramo uslove za

(a)

U sreenom obliku, za identifikovanje operatora napona i deformacije P i Q (3.16a)

Kao to se vidi iz ovog izraza, ; , ; ; i . Zatim zakljuujemo da Kelvinova jedinica nema trenutni odgovor (); ponaa se kao vrsto telo (); i daje poetni uslov , ako je u kontroli deformacije-ovo ponaanje je konzistentno sa onim to bismo oekivali od kombinacije opruge i klipa u paraleli, gde bi klip pri visokom stepenu deformacije stao, i , ako bi napon bio kontrolisana varijabla. Zatim evaluiramo odgovor Kelvinovog modela na opti napon i deformaciju sa Slike 3.1, predstavljajui stepenasti diskontinuitet u i primenjujemo reenja specijalnih sluajeva puzanja i oporavka od napona, ispitanih ranije u vezi sa individualnom oprugom i klipom.

3.5.1.2 Odgovor na deformaciju

U ovom sluaju, kontrolisana varijabla je deformacija, tako da je ; reoloka jednaina (3.16a) nije diferencijalna jednaina za napon. Da bi se postavio odgovor modela, jednostavno iznosimo indikovane operacije, koristei svojstva Hevisajda i delta funkcije, predstavljene u Apendiksu A5 (5specifino i da je ), da bi se dobilo

(a)

Ovaj izraz se moe koristiti da bi se uspostavio relaksacioni modul Kelvinovog modela. U ovom sluaju, , , i, po definiciji relaksacionog modula kao odgovor napona na konstantnu deformaciju magnitude , mereno po jedinici primenjene deformacije: , (a) daje

(3.17a)

Ili, jednostavnije: (3.17b)

Sa ovim, odgovor modela na test oporavka napona, , prikazan na Slici 3.9a, moe biti direktno dobijen kao

(b)

3.5.1.3 Odgovor na napon

U ovom sluaju, kontrolna varijabla je napon, a reoloka jednaina (3.16a) je opta diferencijalna jednaina prvog reda, za koju integriui faktor moe da se izrauna metodom datom u Apendiksu A. Do sada, prerasporeujemo jednainu (3.16a) i ubacujemo je u standardnu formu linearne diferencijalne jednaine prvog reda:

, (3.16b)

Slika 3.9 Odgovor na Kelvinov model napona i oporavka deformacije, a Odgovor oporavka napona. b Odgovor oporavka puzanja

Pratei postupak diskutovan u Apendiksu A i koristei oznaku , dobija se integriui faktor i primenjujemo je u diferencijalnoj jednaini i, menjanjem pseudo varijable integraljenja na desnoj strani, piemo da je

(c)

Integraljenjem ovog izraza od do t, uz to da je , prerasporedom i ubacivanjem eksponenta unutar integrala6 (6ovo se moe uraditi jer t nije varijabla integrala) daje traeno reenje kao

(d)

U skladu sa ovim izrazom, odgovor na model stepenastog napona, ili puzanje, , uz to da je bie

(e)

Posledino, komplijansa puzanja Kelvinovog modela, definisana kao odgovor deformacije po jedinici napona, proizilazi da je

, (3.18a)

Ili, jednostavnije

, (3.18b)

Parametar , dat ovde, ima dimenzionalne jedinice vremena i odnosi se na vreme puzanja i retardacije- vreme puzanja Kelvinovog modela- jer je udrueno sa funkcijom puzanja.Kao to e se videti iz izvoenja koje sledi, kada su opruga i klip linearni, to jest, kada su njihove konstitutivne jednaine linearne i kada su derivativi vieg reda napona i deformacije koji se ukljuuju u diferencijalne jednaine jednaki, reoloki modeli imaju ekvivalentne nasledne forme (videti, na primer, 2,3).Vaan oblik opteg odgovora prikazanog u (d) moe biti dobijen u uslovima komplijanse puzanja. Ovo je uraeno integraljenjem izraza (d) po delovima, uvodei , za pojednostavljenje, da se ne bi vodio faktor ; koristei i :

(f)

Dodajui i oduzimajui na desnoj strani ovog izraza i uzimajui sumu unutar integrala, menjajui znak integrala da bi se uveo ovaj uslov, rezultat je

(g)

Koristei komplijansu puzanja (3.18a), ovaj izraz moe da se prikae u integralnoj formi kao

(3.19)

Ponovnim integraljenjem delova i sabiranjem uslova, (3.19) se moe prikazati u naslednoj integralnoj formi ukljuujui derivativ komplijanse puzanja modela:

(3.20)

Odgovor Kelvinovog modela na puzanje i odgovor deformacije opisanih sa prikazan je na Slici 3.9b i moe se dobiti korienjem (3.19) ili (3.20). Upotrebom (3.20), na primer, odgovor na prvi deo optereenja, je

(h)

Integral se izraava pomou sledeih osobina jedinine stepenaste funkcije (Apendiks A):

(i)

i injenica da je integral derivativ funkcije je funkcija . Daljom obradom i ukidanjem granica, izraz za postaje

(j)

Ovaj odgovor Kelvinovog modela na opti oporavak puzanja je, linearnou, suma individualnih odgovora na optereene i neoptereene delove, stoga

(k)

Ili, eksplicitno, u uslovima komplijanse puzanja (3.18a),

(l)

Primer 3.4 Odrediti odnos Kelvinove jedinice u mirnom stanju sa parametrima opruge i parametara viskoznosti G i , respektivno, na tok sinusoidalnog napona Reenje:Korienjem toka optereenja i odgovarajue konstitutivne jednaine iz (3.16a) vodi do , bez ikakvih trenutnih ogranienja, je odgovor mirnog stanja Kelvinove jedinice na ciklini tok napona.

3.5.2 Maksvel-Vajhertova tenost

Maksvelov model se sastoji iz jedne opruge i jednog klipa povezanih u seriji, kao to je prikazano na Slici 3.10. Izvodimo konstitutivnu jednainu modela, a zatim je primenjujemo za odreivanje odgovora modela na optu deformaciju i na zadati napon.Slika 3.10 Maksvel-Vajhertov model i sila ravnotee

3.2.5.1 Konstitutivna jednaina

Konstitutivna jednaina Maksvelovog modela je odreena postupkom u tri koraka.1. Prvo identifikujemo dva podzbira elemenata (u ovom sluaju, jedna opruga i klip) i piemo odgovarajue konstitutivne jednaine.Za oprugu: Za klip: 2. Sveobuhvatni Maksvelov model je rasporeen u serijama; iz ovog razloga, piemo jednaine svake jedinice u formi deformacija-napon, uz to da je napon isti kod svake individualne jedinice: Za oprugu, Za klip, 3. Sada dodajemo odgovore (deformacije) odvojenim podzbirovima elemenata i koristimo algebarske operatore da dobijem

(a)

Izdvajajui frakcije- multipliciranjem preko da bi se uklonio operator iz denominatora na desnoj strani- daje konstitutivnu jednainu u standardnoj formi : (3.21a)

Kao to se vidi iz ovog izraza , , i i . To ukazuje da Maksvelov model ima trenutni odgovor (m=n); predstavlja tenost ; i daje poetne uslove za pod primenjenim naponom; i , ako je kontrolisana varijabla napon.

3.5.2.2 Odgovor na deformacijuU ovom sluaju kontrolisana varijabla je deformacija, tako da je ; koristimo reoloku jednainu (3.21a) koja je obina linearna diferencijalna jednaina prvog reda. Da bi se to reilo porstupkom iz Apendiksa A, uvodimo, radi pogodnosti, vremenski parametar i piemo konstitutivnu jednainu kao

(3.21b)

U skladu sa reenjem postupka u Apendiksu A, dolazimo do , kao integriui faktor jednaine i, menjajui pseudo varijablu s desne strane, piemo u ukupnoj diferencijalnoj formi

(b)

Integraljenjem izmeu i t, pomou osobina impulsa i jedininih funkcija:

(c)

Uz to da je i mnoenjem sa , uvodei ovaj faktor u integral i pregrupisavanjem:

(d)

Koristei ovo da bi se dao odgovor na model stepenastog napona, , kao i da je u ovom sluaju , u intervalu integraljenja se dobija

, (e)

Odavde, relaksacioni modul, definisan kao odgovor napona meren po jedinici primenjene deformacije, proizilazi da je (3.22a)

Ili, jednostavnije

(3.22b)

Postavljanjem u (d) i kombinovanjem sa (3.22b) dovodi do integralnog oblika zakona napon-deformacija Maksvelovog modela:

(3.23a)

Drugi integralni oblik konstitutivne jednaine moe da se izvede iz ovog izraza. Zaista, integraljenjem po delovima, uz to da je i i sabiranjem uslova:

(3.23b)

U ovom sluaju, vremenski parametar se zove vreme relaksacije jer je udruen sa relaksacionom funkcijom. Relaksaciono vreme Maksvelove jedinice predstavlja vreme potrebno naponu da opadne za oko 63%. Ovo je zbog toga to je relaksacioni modul 0,37E, dobijen u (ili ).Odgovor Maksvelovog modela na oporavak napona opisan sa prikazan je na Slici 3.11a i moe se dobiti pomou jednog od izraza u (d), (e) ili (3.23a, b). Pomou (d) i osobina jedinine stepene i impulsne funkcije i sabiranjem istih uslova:

(f)

3.5.2.3 Odgovor na napon

U ovom sluaju kontrolna varijabla je napon, pa je i diferencijalna jednaina prelazi u

(g)

Pre zamene primenjenog napona, integralimo ovaj izraz izmeu i t, koristei da je i i sabiranjem istih uslova dobijamo

(h)Slika 3.11 Odgovor Maksvelovog modela na oporavak napona i deformacije. a Odgovor oporavka napona. b Odgovor oporavka puzanja

Ovaj izraz moe prei u formu integrala kroz parcijalno integraljenje i nekim algebarskim postupcima. Pojedinanim integraljenjem i sa i ; izvoenjem traenih operacija, imajui na umu da (t) ima diskontinuitet u t i sabiranjem uslova, dolazi se do

(i)

Dodavanjem i oduzimanjem uslova i sa uslovom u zagradama unutar integrala dobijamo

(j)

Cepanjem integrala od do i od do t pomou

, (k)

Odgovor modela na konstantni napon , to jest se moe lako ustanoviti iz ovog izraza, uz napomenu da derivativ toka optereenja nestaje unutar intervala integraljenja kao

(l)

Rezultat, podeljen primenjenim naponom je, po definiciji, komplijansa puzanja Maksvelovog modela:

(3.24a)

Ili, jednostvanije

(3.24b)

Do integralnog oblika konstitutivne jednaine deformacija-napon koji elimo da dobijemo, moe se doi ubacivanjem (3.24a) u (k). Zbog pojednostavljenja, postavljamo da je

(3.25)

Drugi oblik integralne konstitutivne jednaine Maksvelovog modela, koji daje derivativ komplijanse puzanja pod integralnim znakom, dobijen je iz poslednje relacije parcijalnim integraljenjem. Postavljanjem i i dalje proizilazi

(3.26)

Odgovor Maksvelovog modela na oporavak puzanja opisan sa je prikazan na Slici 3.11b i moe se dobiti pomou (3.25) a komplijansa puzanja (3.24b), u intervalu integraljenja; stoga,

(m)

3.6 Opti modeli

Ranije predstavljeni koncepti se ovde koriste za razvoj konstitutivnih jednaina dva modela koji ukljuuju viestruke Kelvinove jedinice u seriji i viestruke Maksvelove jedinice u paraleli. Iz oiglednih razloga, prvi tip ureenja se zove opti Kelvinov model, dok je drugi tip poznat kao opti Maksvelov model.

3.6.1 Opti Kelvinov model

Opti Kelvinov model ili Kelvin-Vojtov model je skup Kelvinovih jedinica u seriji plus izolovana opruga ili izolovani klip, kako je prikazano na Slici 3.12. U skladu sa metodom operatora, konstitutivna jednaina ovog modela moe biti postavljena kao zbir deformacija-napon, serija formi jednaina individualnih Kelvinovih elemenata. Detaljno:

1. Podgrupe modela su individualni Kelvinovi modeli . i-ta postavka ureenja ima konstitutivnu jednainu datu sa (3.16a) kao

(a.1)

za oprugu i klip u paraleli i (a.2)

za izolovanu oprugu

Slika 3.12 Opti Kelvin-Vojtov model

2. Koji u formi deformacija-napon postaje (b.1)

Za Kelvinovu jedinicu, i (b.2)

za izolovanu oprugu.

3. Konstitutivna jednaina celog skupa elemenata se uspostavlja dodavanjem dopriniosa svih Kelvin-Vojt podgrupa, podseajui se da je :

(3.27a)

Primenjujui minimalni zajedniki sadrilac denominatora operatora, postavljajui za izolovanu oprugu kao deformisanu Kelvinovu jedinicu, menjajui red lanova u jednaini:

(3.27b)

Oblik linearnog operatora, , dobijen je izvoenjem operacija i sabiranjem slinih uslova. Rezultat je

(3.28)

Pregled opte konstitutivne jednaine (3.27a) ili (3.28)7 (7Zbog eksplicitnog sabiranja i mnoenja simbola iz (3.1b), lake je da se koristi taj izraz da bi se razlikovao red konstitutivne jednaine i priroda njenih koeficijenata.) daje sledee:

(a) Ako nijedan koeficijent opruge i napona nije nula, red m derivativa vieg reda napona bie za jedan manji nego onaj kod deformacije (). U kontekstu analize reda derivativa P i Q, ovo znai da opti Kelvinov model bez deformisanih jedinica nee imati inicijalni elastini odgovor . (b) Ako ureenje ima bar jednu izolovanu oprugu (to jest, jednu Kelvinovu jedinicu sa viskozitetom jednakim nuli), operator Q e sadrati konstantu operatora koja nije jednaka nuli, ; reoloki model e predstavljati vrsto telo.(c) Ako ureenje ima jednu Kelvinovu jedinicu bez opruge, operator Q e sadrati konstantu operatora jednaku nuli, ; reoloki model e predstavljati tenost.Obzirom da je opti Kelvinov model u seriji, njegova komplijansa puzanja se moe direktno dobiti kao suma funkcija komplijansi puzanja svake individualne Kelvinove jedinice. Stoga, pomou (3.18b), (3.27a) i da je :

; (3.29)

U ovom izrazu, je trenutna komplijansa i oznaena je sa . Takoe, u studijama molekularne dinamike, konani set parova (), ukljuujui par (0, ), naziva se spektrumom diskretne retardacije; obino se koristi oznaka . Kada ovo imamo na umu, u limitu beskonano mnogo Kelvinovih jedinica, suma postaje integral i rezultat je kontinuirano puzanje ili retardacioni spektrum (4).

(3.30)

3.6.2 Opti Maksvelov model

Skup Maksvelovih jedinica je paralelan, kao to je prikazano na Slici 3.13 i odnosi se na opti Maksvelov model, ili Maksvel-Vajhertov model. Po principu operatora, odgovarajue mehanike konstitutivne jednaine mogu biti konstruisane kao suma konstitutivnih jednaina u formi napon-deformacija svih Maksvelovih elemenata.

Detaljnije:1. Sistem se moe smatrati skupom Maksvelovih elemenata u paraleli, pre nego individualna opruga na poetku i set klipova u seriji. Koristimo (3.21a) kao osnovnu konstitutivnu jednainu i piemo je za opti Maksvelov element:

(c.1)

uz

(c.2)

za izolovanu oprugu

Slika 3.13 Opti Maksvel-Vajhertov model

2. Poto je ceo sistem u paraleli, opisujemo ga u formi napon-deformacija:

(d.1)

i: (d.2)

za izolovanu oprugu.

3. Dodavanjem svih elemenata modela uz to da je :

(3.31a)

Mnoenjem kroz najmanji zajedniki sadrilac denominatora operatora s desne strane:

(3.31b)

Nakon izvoenja naznaenih operacija i pojednostavljenjem, jednaina eksplicitnog operatora, , ima istu formu kao za opti Kelvinov model. U ovom sluaju, meutim, pregled opte konstitutivne jednaine(3.31a) daje da(a) Red derivativa najvieg reda napona bi bio isti kao i onaj kod deformacije; bez obzira na to da li sistem ima izolovanu oprugu ili ne. Ovo znai da e opti Maksvelov model uvek pokazivati trenutni odgovor.(b) Ako sistem ima najmanje jednu izolovanu oprugu, operator Q e sadrati konstantu razliitu od nule, i reoloki model e predstavljati vrsto telo.(c) Ako sistem ima jednu Maksvelovu jedinicu bez opruge, operator Q e imati konstantu jednaku nuli, i reoloki model e predstavljati tenost.Zbog toga to je opti Maksvelov model u paraleli, njegova funkcija relaksacije je suma relaksacionih funkcija svake Maksvelove jedinice. Stoga, pomou (3.22b), (3.31a) i da je :

(3.32)

Ovaj konani zbir se zove diskretni relaksacioni spektar. Kako se broj Maksvelovih jedinica poveava bez ogranienja, sabiranje postaje integral, poveavajui kontinualni relaksacioni spektrum:

(3.33)

3.7 Kompozitni modeli

Kompozitni modeli su oni formirani pravilnom kombinacijom opruga i klipova, koji ne samo da su kompleksniji od Maksvelovih i Kelvin-Vojtovih jedinica, ve i omoguavaju da reprodukuju realistinije viskoelastino ponaanje. Jasno, izbora je mnogo, a ta sledi skree panju na modele sa tri parametra, predstavljajui, respektivno, ponaanje vrstih tela i tenosti.Slika 3.14 Standardno linearno vrsto telo. a Od opteg Kelvinovig modela. b Od opteg Maksvelovog modela

3.7.1 Standardno linearno vrsto telo

Dve ekvivalentne verzije ovog modela prikazane su na Slici 3.14. Jedno od njih se sastoji od Kelvinove jedinice u seriji sa oprugom. To je izmenjeni oblik opteg Kelvin-Vojtovog modela. Drugi je sastavljen od Maksvelovog elementa u paraleli sa oprugom, koji je izmenjeni oblik opteg Maksvelovog modela. Kao to e biti prikazano, model Slike 3.14 sa tri parametra pokazuje ponaanje vrstog tela i zato se oznaava kao standardno linearno (viskoelastino) vrsto telo. Konstitutivna jednaina standardnog linearnog viskoelastinog vrstog tela se dobija smatrajui ga izmenjenim sluajem opteg Maksvelovog modela, opisanom u delu (a) Slike 3.14. Matematika ekvivalencija izmeu dva modela je prikazana kasnije, kao deo primera.Za Kelvinovu jedinicu u seriji sa oprugom, i , a deformacije se dodaju: ; stoga, metodom primene operatora, diferencijalna jednaina standardnog linearnog vrstog tela prikazanog na Slici 3.14a je dato prema

(3.34)

Kao to se moe odmah potvrditi, ova jednaina bi se mogla napisati direktno kao poseban sluaj opteg Kelvinovog modela datog u (3.27a). Nakon rasporeda frakcija, upotrebom algebre operatora i prerasporedom:

(3.35a)

Ova jednaina moe biti predstavljena u optoj formi:

(3.35b)

Ako se koriste sledee oznake,

(3.35c)

Ove jednakosti pokazuju da nisu svi parametri modela u generikoj jednaini, pi i qi, nezavisni.Pregledom (3.35a) vidimo da, zbog , model pokazuje stakleni odgovor, sa modulom i usvojie inicijalne uslove forme . Dodatno, kao to je ranije potvreno, model je vrsto telo, jer je i ima dugoroni modul . Takoe, derivativ u konstitutivnoj jednaini ukazuje da model ima odgovor puzanja. Ove osobine standardnog linearnog vrstog tela bie prikazane odreivanjem njegovog odgovora na oporavak napona i oporavak puzanja. Ako se tako uradi, treba napomenuti da je konstitutivna jednaina simetrina ili ujednaena u naponu i deformaciji. Ovo znai da je forma reenja na istoriju deformacije ista kao i odgovor na istoriju napona istog tipa i obrnuto.

3.7.1.1 Odgovor na deformaciju

U ovom sluaju, optereenje je u obliku ; odgovor modela je dobijen kao opte reenje diferencijalne jednaine (3.35b) koja, da bi bilo jasnije, ima ovaj oblik

(e)

Ili, nakon primene faktora integaljenja i prikazivanjem jednaine u diferencijalnoj formi:

(f)

Integraljenjem izmeu i t, uz to da je i uz svojstva jedinice i impulsne funkcije:

(g)

Mnoenjem preko , ubacivanjem u itegral i sabiranjem istih uslova:

(h)

Ovaj izraz moe da se koristi u dobijanju odgovora modela na oporavak napona . Zbog linearnosti, optereenje je podeljeno na dva dela i ; odgovor na svaki deo, raunat odvojeno, a rezultati su sabrani da bi se dobio ukupni odgovor. Uz to da je i i sa (h) da bi se dobio odgovor na prvi deo optereenja vodi do sledeeg odgovora, nakon izvoenja integraljenja i primenom i sreivanjem

(i)

Iz ovoga, modul relaksacije standardnog linearnog vrstog tela sledi da je

(3.36a)

Ili: (3-36b)

Odgovor, (t) na drugi deo optereenja bio bi identian sa (t), ali suprotnog predznaka. Stoga,

(j)

Ili, u uslovima fizikih parametara,

(k)

Ovo reenje je ematski prikazano na Slici 3.15. Kako slika pokazuje, odgovor na standardnog linearnog vrstog tela pokazuje sve aspelte odgovora napona linearnog viskoelastinog vrstog tela; ono ima trenutni elastini odgovor na optereenje i prestanak optereenja; relaksaciju pod konstantnim naponom i odloen oporavak nakon prestanka optereenja.

3.7.1.2 Odgovor na napon

U ovom sluaju, optereenje je u formi , a deformacija postaje kontrolna varijabla. Zbog simetrije konstitutivne jednaine (e) za napon i deformaciju, svi argumenti korieni za ovaj sluaj optereenja napona mogu biti ponovljeni zamenom uloga napona i deformacije, kao i zamenom parametara p i p sa q i q. Ovo vodi do sledeih relacija:

(l)

(3.37a)

(3.37b)

I, najzad, do

(m)

I, u uslovima fizikih parametara modela,

(n)

Kaoto je opisano na Slici 3.16, odgovor puzanja standardnog linearnog vrstog tela pokazuje sve karakteristike ponaanja odgovora puzanja viskoelastinih vrstih tela.Slika 3.16 Odgovor puzanja standardnog linearnog vrstog tela. a Elastino, odgovor optereenja. b Puzanje. c Elastini oporavak. d Odloen oporavak

Primer 3.5 Pokazati da model sa Slike 3.14b, takoe poznat kao Zenerov model, je matematiki ekvivalent onom sa Slike 3.14a.Reenje: Poto je ovaj model poseban sluaj opteg Maksvelovog modela, njegova konstitutivna jednaina je data sa (3.31a), sa n=1; zato, , to se, nakon preureivanja moe prikazati kao

(3.35d)

Ovaj izraz je matematiki ekvivalent sa (3.35a), to dokazuje sutinu. Kao to se takoe moe videti, jednaenje dva odgovarajua koeficijenta dve jednaine daje to da su parametri dve verzije standardnog linearnog vrstog tela:

3.7.2 Tenost sa tri parametra

Postoje dve ekvivalentne verzije ovog modela; prikazane su na Slici 3.17. Kao to se vidi, jedna verzija modela sadri Kelvinovu jedinicu u seriji sa klipom. To je izmenjena forma opteg Kelvin-Vojtovog modela. Druga se sastoji od Maksvelovog elementa u paraleli sa klipom, to je specijalan sluaj opteg Maksvelovog modela. Kao to e ukratko biti prikazano, model sa tri parametra pokazuje ponaanje tenosti i zato se oznaava kao tenost sa tri parametra.Kao u sluaju vrstog tela sa tri parametra, konstitutivna jednaina svake verzije tenosti sa tri parametra pokazana na Slici 3.17 moe se izvesti ili iz jednaine opteg Kelvinovog modela, ili iz jednaine Maksvelovog modela. Na primer, jednaina modela u delu (a) slike proizilazi iz jednaine (3.27a), uz i uklanjanjem uslova , to je bilo uvedeno radi izraunavanja izolovane opruge. Ovo vodi do . Nakon gubljenja svih frakcija, pomou algebre operatora i preraspodelom

(3.38)

U skladu s tim, , pa model ne daje odgovor na optereenje. Takoe, , to pokazuje da model predstavlja tenost, kao to je ranije navedeno.

Slika 3.17 Tenost sa tri parametra. a Od opteg Kelvinovog modela. b Od opteg Maksvelovog modela

3.8 ZadaciP.3.1 Odrediti poetne uslove za model iz Primera 2, ako je kontrolna varijabla napon i optereenje je definisano kao .Odgovor: Pomo: Koristiti izraz (d) iz 3.3.4, uz i , da bi se dobio traeni rezultat. Obratiti panju da, poto je m=1=n, ovaj model ima trenutnu elastinost sa komplijansom p/q, od ega kree rezultat.P.3.2 Dobiti odgovor Kelvinove jedinice na konstantnu deformaciju .Odgovor: Pomo: Najlaksi nain da se rei ovaj problem je direktnom primenom (3.16a) na datu istoriju deformacije.P.3.3 Nai odgovor Maksvelove jedinice sa oprugom u mirnom stanju i parametre viskoznosti G i , respektivno, do sinusoidalne istorije deformacije Odgovor: Pomo: Ubaciti istoriju deformacije u jednainu (3.21b) i koristiti parcijalno integraljenje, dva puta, da bi se reio integral. Ukupno reenje bi trebalo da bude iz koje reenje za mirno stanje dobijamo sputanjem eksponencijala. Ovaj problem se reava efikasnije metodom iz Odeljka 4.P.3. Pokazati da je model sa Slike 3.14b matematiki ekvivalent onom sa Slike 3.14a.Pomo: Koristiti ili metod operatora ili jednainu (3.31a) za opti Maksvelov model, sa , da bi se pisalo i reilo izraz do ; to dokazuje sutinu poevi od same forme (3.35a).