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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il moto armonico Altro esempio interessante di moto quello armonico caratterizzato dal fatto che laccelerazione proporzionale allopposto della posizione: a=- 2 x con una costante positiva (s -1 ) Lequazione differenziale caratteristica del moto armonico : x la posizione del punto materiale Laccelerazione nulla nellorigine e diventa sempre pi grande, sempre diretta verso lorigine, man mano che ci si allontana da essa O x1x1 x2x2 a2a2 a1a1 La ricerca della soluzione delleq. diff. un po pi complicata che negli altri casi, ma ci si pu arrivare aggirando lostacolo

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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il moto armonico Andiamo cercando una funzione del tempo, x(t), tale che la sua derivata seconda rispetto al tempo sia uguale alla stessa funzione x(t), cambiata di segno e moltiplicata per una costante positiva. Tra le funzioni che conosciamo, le funzioni sen e cos hanno la propriet che la loro derivata seconda rispetto a uguale allopposto della funzione stessa. Infatti: Le funzioni seno e coseno potrebbero farci comodo. Le funzioni seno e coseno sono funzioni dellangolo A noi servono delle funzioni del tempo: Possiamo provare con le funzioni sen(k 1 t) e cos(k 2 t), k 1 e k 2 due costanti aventi dimensioni di un tempo alla meno uno, cos che moltiplicate per t danno un numero puro che compatibile come argomento delle funzioni seno e coseno.

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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il moto armonico Proviamo: le funzioni sen(k 1 t) e cos(k 2 t) sono soluzioni dellequazione differenziale del moto armonico se k 1 =k 2 = Possiamo dunque scrivere lintegrale generale dellequazione differenziale del moto armonico nella forma: Le costanti reali a e b ci consentono di determinare le infinito alla due soluzioni dellequazione differenziale del moto armonico. = pulsazione angolare ha le dimensioni rad/s

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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il moto armonico meglio riscrivere lintegrale generale in una forma leggermente diversa: Scegliamo A e in modo che: Poich il cos( t+ ) varia tra -1 e 1, x(t) varia tra -A e A A si chiama Ampiezza del moto t+ si chiama fase del moto la fase iniziale: il valore della fase quando t=0 Lintegrale generale diventa: Fase Ampiezza Fase iniziale

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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il moto armonico e la fase O A -A O A O A vxvx O A vxvx

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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il moto armonico periodico Il punto materiale ripassa ad intervalli regolari, dopo ogni periodo T, per la stessa posizione. Cerchiamo lintervallo T imponendo che la posizione del punto materiale allistante t+T sia la stessa che aveva allistante t: Noi vogliamo anche che anche la velocit sia la stessa: Le due condizioni si verificano se:

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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il moto armonico - le condizioni iniziali I valori dellAmpiezza e della Fase iniziale si determinano in base alle condizioni iniziali Supponiamo che x(t=0s)=x o e che la velocit a t=0s sia uguale a v ox. Allistante di tempo t=0: Quadrando e sommando: Dividendo membro a membro la seconda per la prima:

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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il moto armonico - il grafico orario T

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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Appli cazio ne Il moto alternativo del pistone allinterno del cilindro approssimativamente armonico. Scrivere la legge oraria del pistone sapendo che il motore compie 3000 giri al minuti, che la corsa del pistone di 10 cm, in un sistema di riferimento avente origine a met della corsa del pistone e supponendo di far partire la misura dei tempi quando il pistone si trova a met corsa andando verso destra. Legge oraria del moto armonico quando lorigine del sistema di riferimento si trova nel centro delle oscillazioni Questo anche il nostro caso Dobbiamo determinare A, e. A uguale a met della corsa (A=5cm) Per trovare osserviamo che ogni giro del motore il pistone si riporta nella stessa posizione. Valutiamo quanto dura un giro del motore questo sar il periodo del moto armonico lo valutiamo sulla base delle condizioni iniziali O x

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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Appli cazio ne Dobbiamo determinare la durata di un giro dellalbero motore. Il legame tra il periodo e la pulsazione angolare nel moto armonico dato da: Dobbiamo valutare, sulla base delle condizioni iniziali, A t=0, x o =0m, mentre v xo positiva (il pistone si sta muovendo nella direzione positiva dellasse delle x) La legge oraria e la velocit diventano: dalla prima equazione: La seconda soluzione quella compatibile con una velocit positiva

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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Moto in tre dimensioni Traiettoria: luogo di punti via via occupati dal punto materiale La posizione del punto materiale viene individuato dal vettore posizione Il vettore posizione rappresenta lo spostamento a partire dallorigine per raggiungere la posizione del punto materiale Legge oraria: posizione in funzione del tempo. Equaz. parametriche della traiettoria Le componenti cartesiane del vettore posizione sono le coordinate del punto materiale Il moto nello spazio la composizione di tre moti rettilinei dei punti proiezione sugli assi coordinati

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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 La velocit vettoriale media Lo spostamento del punto materiale in t Si definisce velocit media nellintervallo t Se il punto materiale nellintervallo t viene costretto a muoversi con la velocit media, allora si muover sul segmento che connette il punto P(t) al punto P(t+ t) La descrizione del moto non accurata Un miglioramento si ottiene se si scelgono intervalli pi piccoli

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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 La velocit vettoriale istantanea Si fissa listante t Si fissa un intervallo t maggiore di zero Si calcola la velocit media nellintervallo t Si definisce la velocit istantanea come La velocit vettoriale tende ad assumere la direzione tangente alla traiettoria nel punto P(t). Il verso quello del moto. La velocit vettoriale la derivata del vettore posizione valutata allistante t. Attenzione la derivata di un vettore

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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 La velocit riferita alla traiettoria Indichiamo con s il percorso effettuato sulla traiettoria dal punto materiale. Osserviamo che per La velocit media pu essere scritta: Il limite per t che tende a zero ci dar la velocit scalare istantanea. Supponiamo di poter calcolare il limite del rapporto incrementale nel seguente modo:

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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 La velocit riferita alla traiettoria Osserviamo che Abbiamo gi osservato che lo spostamento, per t che tende a zero, si dispone lungo la direzione della tangente alla traiettoria nel punto considerato nel verso del moto. Quindi possiamo porre La lunghezza dellarco, per t, o s che tende a zero diventa uguale alla lunghezza della corda La velocit istantanea pu essere scritta:

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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il moto in tre dimensioni La lezione non completa Fare riferimento alle Dispense del corso di Fisica Generale per Ing. Edile