CAPITOLO OSCILLAZIONI E ONDE MECCANICHE · Un beccheggio armonico • pag. 26 #motoarmonico #motoarmonico Risoluzione numerica dell’equazione del moto di un oscillatore armonico

2

CAPITOLO

13 OSCILLAZIONI E ONDE MECCANICHE

1 Oscillazioni armonicheI moti oscillatori dei corpi, come la corda pizzicata di una chitarra o un lampadario urtato con la testa, hanno alcune caratteristiche comuni:

● inizialmente il corpo è fermo in una posizione di equilibrio;

● quando viene spostato e lasciato libero, il corpo si muove avanti e indietro pas-sando per la posizione di equilibrio.

Il moto oscillatorio è un moto periodico, perché si ripete con regolarità nel tempo: durante un’oscillazione completa il corpo ritorna nella posizione iniziale con la stes-sa velocità iniziale. Le caratteristiche fondamentali di un moto periodico sono il periodo e la frequenza:

● il periodo T è il tempo necessario per compiere un’oscillazione completa;

● la frequenza f è il numero di oscillazioni che avvengono in un secondo.

Frequenza e periodo sono legati dalla relazione

f = 1_T

(1)

Nel Sistema Internazionale il periodo si misura in secondi e la frequenza in hertz (Hz): 1 Hz = 1 s−1. Un corpo oscilla con la frequenza di 1 Hz quando compie un’oscilla-zione al secondo.

LÕoscillatore armonico

Il tipo più importante di moto periodico è il moto armonico, che si presenta in ogni campo della fisica.

Si dice moto armonico il moto di un corpo la cui accelerazione è direttamente pro-porzionale allo spostamento dalla posizione di equilibrio e ha verso opposto a esso.

Nel capitolo «Le forze e i moti» abbiamo visto che una massa m sottoposta alla forza di richiamo elastica di una molla si muove di moto armonico.

F

x

xx = 0posizione di riposo

Josh

ua D

avi

d T

reis

ner

/ S

hutt

ers

tock

#motoarmonico

3

OscillaziOni e Onde meccaniche 13

Infatti, se indichiamo con x → lo spostamento della massa dalla posizione di equilibrio, sulla massa si esercita una forza F

→

= −k x → e per il secondo principio della dinamica

−k x → = m a →

ossia

a → = − k___m

x → (2)

Poiché k/m è costante, l’accelerazione è direttamente proporzionale allo spostamen-to e ha verso opposto a esso. Quindi la massa, spostata dalla posizione di equilibrio e poi lasciata libera, si muove di moto armonico: il sistema massa-molla si dice pertanto oscillatore armonico.

La costante

ω = √__k_m

è detta frequenza angolare o pulsazione del moto. L’unità di misura di ω è s−1; infatti

(N/m____kg

)1/2

= (kg·m_____ s 2

1__m

1___

kg)1/2

= (1__ s 2)

1/2

= 1__s = s −1

Il periodo e la frequenza del moto dell’oscillatore sono legati alla pulsazione dalle relazioni

T = 2π_ω

f = 1_T

= ω_

2π(3)

ossia

T = 2π √__m_k f =

1_2π

√__k_m

(4)

Vale il seguente risultato:

la legge oraria di un oscillatore armonico, che parte da x = A con velocità nulla, è

x = A cos (√__k_m

t) (5)

DENTRO LA LEGGE

● A è l’ampiezza del moto e si misura in metri.

● L’argomento della funzione coseno è un numero privo di dimensioni. Infatti la frequenza angolare ω = √

_k /m si misura in s−1.

● La posizione x è una funzione periodica con periodo 2π e assume valori compresi fra −A e A.

A

0

–A

0 T—4

T—2

3—4

x

T T

t

#motoarmonico

#forzaelastica

4

Onde

Consideriamo il caso più generale di un moto armonico in cui l’accelerazione è

a → = − ω 2 x → (6)

Se all’istante iniziale x = A e la velocità è nulla, la legge oraria assume la forma se-guente:

x = A cos (ωt) (7)

PER ESEMPIO Le caratteristiche di un oscillatore armonico

Un oscillatore armonico è formato da una massa m = 0,50 kg vincolata al- l’estremo libero di una molla con costante elastica k = 100 N/m.

▶ Quali sono le principali caratteristiche del suo moto?

Il periodo e la frequenza sono

T = 2π √__m_k = 2π √

__0,5 kg_

100 N/m = 0,44 s f =

1_T

= 1_

0,44 s = 2,3 Hz

Se è lasciato partire da x = 0,1 m con velocità iniziale nulla, la sua legge oraria è

x = (0,1 m) cos (√__100 N/m_

0,5 kg t) ⇒ x = (0,1 m) cos [(14 rad/s)] t

0,1

0,6 0,8 10,4 1,2 1,4 1,6 1,8 2

t (s)

x (m)

0

–0,05

0,05

–0,1

0 0,2

PROBLEMA Un beccheggio armonico • pag. 26

#motoarmonico

#motoarmonico

➜

Risoluzione numerica dell’equazione del moto di un oscillatore armonico

Risolvere l’equazione del moto di un oscillatore armonico a = − (k /m) x è molto complesso, perché l’ac-celerazione e la posizione non sono numeri ma sono funzioni del tempo. Possiamo però determinare una soluzione numerica per la legge oraria del moto x = x(t) e tracciare il grafico approssimato del suo anda-mento nel tempo. Per impostare la risoluzione numerica, facciamo le seguenti ipotesi:

● il tempo è discreto, cioè procede «a scatti» di piccoli intervalli dt a partire dall’istante iniziale t0;

● le accelerazioni rimangono costanti durante ogni intervallo di tempo (in realtà cambiano con la posi-zione x);

MINDBUILDING

5


● le velocità rimangono costanti durante ogni intervallo di tempo (in realtà cambiano fra gli istanti ini-ziale e finale di un intervallo di tempo).

Scegliamo di calcolare lo spostamento durante ogni intervallo di tempo utilizzando la velocità che la mas-sa ha all’istante finale dell’intervallo: in questo particolare caso questa scelta evita di accumulare errori di approssimazione elevati.

Con queste ipotesi si può impostare la risoluzione numerica del problema del moto mediante la seguente procedura iterativa, in cui il valore di una grandezza è calcolato a partire dai valori precedenti di essa e delle grandezze da cui dipende.

Procedura iterativa

t0

t1 = t0 + dt

tk+1 = tk + dt

x0

x1 = x0 + v1 dt

xk+1 = xk + vk+1 dt

v0

v1 = v0 + a0 dt

vk+1 = vk + ak dt

a0 = − (k/m) x0

a1 = − (k/m) x1

ak+1 = − (k/m) xk+1

Questa procedura può essere eseguita con un foglio elettronico come quello del tabulato A.

◊ A B C D E F G

1 Legge oraria dell’oscillatore armonico

2 a=–(k/m)x

3 m= 0,5 kg

4 k= 100 N/m

5 x0= 0,1 m t x v a

6 v0= 0 m/s =0 =$B$5 =$B$6 =-$B$8*E6

7 dt= 0,01 s =D6+$B$7 =E6+F7*$B$7 =F6+G6*$B$7 =-$B$8*E7

8 k/m= =B4/B3 N/m2 =D7+$B$7 =E7+F8*$B$7 =F7+G7*$B$7 =-$B$8*E8

9 =D8+$B$7 =E8+F9*$B$7 =F8+G8*$B$7 =-$B$8*E9

10 =D9+$B$7 =E9+F10*$B$7 =F9+G9*$B$7 =-$B$8*E10

Il calcolo è relativo a un oscillatore armonico con m = 0,5 kg e k = 100 N/m lasciato partire da x = 0,1 m con velocità iniziale nulla. Con i dati numerici inseriti, l’aspetto del foglio con i valori al posto delle formule è quello del tabulato B. Il grafico mostra la legge oraria dell’oscillatore armonico.

◊ A B C D E F G H I J K L M N

1 Legge oraria dell’oscillatore armonico

2 a=–(k/m)x

3 m= 0,5 kg

4 k= 100 N/m

5 x0= 0,1 m

6 v0= 0 m/s t x v a

7 dt= 0,01 s 0 0,100 0,000 -20,000

8 k/m= 200 N/m2 0,01 0,098 -0,200 -19,600

9 0,02 0,094 -0,396 -18,808

10 0,03 0,088 -0,584 -17,640

11 0,04 0,081 -0,760 -16,119

12 0,05 0,071 -0,922 -14,276

13 0,06 0,061 -1,064 -12,147

14 0,07 0,049 -1,186 -9,775

15 0,08 0,036 -1,284 -7,208

16 0,09 0,022 -1,356 -4,496

17 0,1 0,008 -1,401 -1,695

18 0,11 -0,006 -1,418 1,140

19 0,12 -0,020 -1,406 3,953

Prova tu

Modifica la procedura iterativa utilizzata per il moto armonico in modo da studiare il moto di un pendolo lungo 25 cm sottoposto alla forza di richiamo F = − mg sen θ. Indica con x la posizione sull’arco e scegli come condizioni iniziali θ0 = 10° e v0 = 0 m/s.

▶ Dimostra che F = −mg sen (x/L).

▶ Verifica che il pendolo si muove di moto armonico solo per oscillazioni con piccoli angoli.

A

B

6

Onde

2 Energia e oscillazioni armonicheConsideriamo un oscillatore armonico con massa m e costante elastica k che si muo-ve secondo la legge oraria

x = A cos (√__k_m

t)Quando l’attrito è assente o trascurabile, la massa oscilla indefinitamente fra le po-sizioni x = + A e x = − A. L’energia totale E dell’oscillatore è la somma dell’energia cinetica K e dell’energia potenziale elastica U:

E = K + U = 1_2

m v 2 + 1_2

k x 2 (8)

La forza elastica è conservativa, per cui l’energia totale dell’oscillatore rimane co-stante: durante il moto l’energia si trasforma continuamente da potenziale a cinetica e viceversa.

x = 0 x = A

U = kA2

K = 0

x = –A

1–2

■ Nei punti x = + A e x = − A in cui si inverte il moto, la massa è ferma e l’energia è tutta poten-ziale.

U = 0v

x = 0 x = A

K = mv2

x = –A

1–2

■ Nel punto x = 0 la molla non è né allungata né accorciata, per cui l’energia è tutta cinetica.

In particolare, nei punti x = + A e x = − A si ha

E = 1_2

k A 2 (9)

L’energia totale di un oscillatore armonico è proporzionale al quadrato dell’am-piezza dell’oscillazione.

La velocità è massima per x = 0, dove l’energia è solo cinetica e pari a

1_2

m v max2

Quindi per la conservazione dell’energia si ha

1_2

m v max2 =

1_2

k A 2

#motoarmonico

#energia

7


da cui si ricava

v max = √__k_m

A

che in termini della frequenza angolare diviene

vmax = ωA

In un generico punto del moto, la conservazione dell’energia stabilisce che

1_2

m v 2 + 1_2

k x 2 = 1_2

k A 2

Il modulo della velocità è quindi

v 2 = k_m

( A 2 − x 2) ⇒ v = √____________k_m

( A 2 − x 2)

cioè

v = ω √____________( A 2 − x 2) (10)

La velocità di un oscillatore che si muove con legge oraria x = A cos (ωt) varia nel tempo secondo la legge

v = − ωA sen (ωt) (11)

DENTRO LA FORMULA

La velocità v è una funzione periodica con periodo 2π e assume valori com-presi fra − ωA e ωA.

ωA

0

–ωA

0 T—4

T—2

3—4

v

T

T t

PER ESEMPIO Energia e velocità dell’oscillatore

Un oscillatore armonico formato da una massa m = 0,5 kg e da una molla con costante elastica k = 100 N/m viene lasciato andare dalla posizione x = 0,20 m con velocità iniziale nulla.

▶ Determina l’energia, la velocità massima e la legge con cui varia la velocità dell’oscillatore.

La frequenza angolare è

ω = √__k_m

= √__100 N/m_0,50 kg

= 14 rad/s

#motoarmonico

8

Onde

L’energia e la velocità massima risultano

E = 1_2

k x 2 = 1_2

(100 N/m) (0,20 m) 2 = 2,0 J

v max = ωA = (14 s −1 ) (0,20 m) = 2,8 m/s

La velocità varia nel tempo secondo la relazione

v = − ωA sen(ωt) =

= − (14 s −1 ) (0,20 m) sen [ (14 s −1 ) t ] = − (2,8 m/s) sen [ (14 s −1 ) t ]

Dimostrazione della formula per la velocità

1 La velocità della massa dipende dal punto x in cui si trova. Poiché x = A cos (ωt), scriviamo la velocità (10) in funzione del tempo:

v = ω √_______

A 2 − A 2 cos 2 (ωt) = ω √_____________

A 2[ 1 − cos 2 (ωt) ] = ωA √____

1 − cos 2 (ωt)

2 Grazie all’identità trigonometrica fondamentale

sen 2 (ωt) + cos 2 (ωt) = 1 ⇒ sen(ωt) = ± √_

1 − cos 2 (ωt)

scriviamo la relazione precedente

v = ± ωA sen(ωt)

3 La velocità è positiva quando la massa si muove nel verso positivo dell’asse x e negativa in verso opposto. Dalla posizione iniziale x = A la massa si muove nel verso negativo dell’asse x: poiché sen(ωt) è positivo per 0 < t < T/2, si ha

v = − ωA sen(ωt)

PROBLEMA L’ampiezza dell’oscillazione • pag. 28

#motoarmonico

3 Oscillazioni in presenza di attritoNella realtà l’attrito non è eliminabile, quindi ogni moto prima o poi cessa. Nel caso di un moto armonico, l’ampiezza decresce fino a quando il corpo si ferma. Questo moto è detto moto armonico smorzato. L’energia meccanica iniziale del moto è dissipata dall’attrito.

Consideriamo moti che avvengono in un fluido e che hanno velocità non troppo elevate, in modo che si possano trascurare gli effetti di turbolenza generati nel fluido.

In questi casi la forza di attrito ha modulo direttamente proporzionale a quello della velocità del corpo e verso opposto:

Fa = − βv

L’accelerazione del corpo risulta pertanto

a = F e + F a_____

m = −

k_m

x − β_m

v

che può essere riscritta comea = − ω2x − γv

➜

9


dove

● ω = √_k/m è la pulsazione dell’oscillatore armonico in assenza di attrito;

● γ = β/m è un coefficiente che tiene conto delle caratteristiche dell’attrito che il fluido esercita sul corpo; γ ha le dimensioni fisiche di un’accelerazione diviso una velocità, quindi la sua unità di misura è s−1 come per la pulsazione ω.

A seconda del valore di γ, il moto può presentare o meno oscillazioni.

Se l’attrito è piccolo (γ < 2ω), prima di fermarsi il corpo compie varie oscillazioni di ampiezza decrescente: si parla di smorzamento sottocritico.

t

x

γ < 2ω

La pulsazione delle oscillazioni risulta minore di ω:

ω′ = √_____

ω 2 − γ 2__4

= √_________

k_m

− 1_4

(β_m)

2

< ω

Di conseguenza T > T′: lo smorzamento aumenta il periodo dell’oscillazione.

Quando il fattore γ che caratterizza l’attrito è molto piccolo rispetto a ω, ossia quan-do γ << ω, si ha

ω′≈ ω = √__k_m

e quindi la pulsazione del moto oscillatorio smorzato è praticamente la stessa del moto armonico senza attrito.

Se l’attrito è grande (γ > 2ω), il corpo raggiunge la posizione di equilibrio senza alcuna oscillazione: si parla di smorzamento sovracritico o di moto sovrasmor-

zato.

t

x

γ > 2ω

10

Onde

Lo smorzamento sovracritico è realizzato da vari dispositivi che hanno lo scopo di eliminare rapidamente le oscillazioni non desiderate. Per esempio, un ammortizza-tore (all’interno della molla nella foto) è costituito da un pistone che si muove all’interno di un cilindro pieno d’olio. Il fluido oppone resistenza allo spostamento del pistone e assicura il necessario smor-zamento al telaio della moto.

La risonanza

Un oscillatore armonico con massa m e costante elastica k oscilla con la frequenza

f = 1_

2π √

__k_m

detta frequenza propria o naturale. Per mantenerlo in oscillazione in presenza di forze d’attrito è necessaria una forza esterna che integri l’energia dissipata per attri-to. Sotto l’azione di una forza esterna l’oscillatore compie oscillazioni forzate, pur-ché la forza esterna sia periodica, proprio come le spinte necessarie per mantenere in moto un’altalena.

Il maggior trasferimento di energia all’oscillatore si realizza quando la forza esterna ha frequenza uguale alla frequenza propria dell’oscillatore.

In questa situazione l’ampiezza A del moto armonico, che è legata all’energia del- l’oscillatore dalla relazione E = (1/2) kA2, aumenta nel tempo. Si raggiunge infine una situazione di regime con oscillazioni di ampiezza costante, per le quali la poten-za mediamente dissipata compensa esattamente la potenza immessa attraverso la forza esterna. Questo fenomeno è detto risonanza.

A seconda dei casi, la risonanza può avere effetti utili o dannosi.

■ La risonanza permette al padre di mantenere in moto la bambina con una piccola forza applicata con la stessa fre-quenza dell’altalena.

■ Il Takoma Narrows Bridge è stato distrutto dal vento che lo ha sollecitato con frequenze molto vicine alla sua fre-quenza propria.

FISICA QUOTIDIANA

Gli ammortizzatori

Tere

khov

Igor

/ S

hutt

ers

tock

#risonanza

Cabania

/ S

hutt

ers

tock

word

pre

ss.c

om

11


4 Onde meccaniche

■ Durante un temporale le raffiche di vento muovono gli ombrelli: il moto di traslazione dell’aria trasferisce energia cinetica agli ombrelli.

■ Il fragore di un tuono mette in movi-mento i nostri timpani, che non ricevono energia da un «vento» d’aria che si spo-sta, ma da un’onda che si propaga per kilometri.

L’aspetto distintivo di un’onda è proprio questo:

un’onda si propaga nello spazio, trasferendo energia ma non materia.

In tutti i momenti della nostra vita interagiamo con qualche tipo di onda. Attraverso la vista e l’udito riceviamo segnali dal mondo esterno sotto forma di onde luminose (luce) e onde sonore (suono).

Pur nella loro diversità, innumerevoli fenomeni naturali sono di tipo ondulatorio: per esempio, le increspature del mare e i terremoti. L’analisi delle proprietà genera-li delle onde permette di comprendere le caratteristiche comuni di questi fenomeni.

Caratteristiche delle onde meccaniche

Prendiamo in considerazione le onde meccaniche, cioè le onde che si propagano in un mezzo materiale. Le particelle del mezzo sono sottoposte a forze di richiamo, che tendono a riportarle nella loro posizione di equilibrio quando se ne allontanano.

Per esaminare le caratteristiche delle onde, consideriamo un semplice modello di mezzo materiale: una corda elastica formata da particelle connesse mediante molle.

■ Un agente esterno, detto anche sorgente, sposta alcune particelle dalla posizione di equilibrio, creando una perturbazione.

forze di richiamo

SVLuin

a / S

hutt

ers

tock

Mart

in F

ischer

/ S

hutt

ers

tock

12

Onde

■ Queste particelle tendono a tornare nella posizione di equilibrio per effetto del-le forze di richiamo esercitate dalle particelle vicine. Per reazione, sulle particelle vicine si esercitano forze che le allontanano dalle posizioni di equilibrio. In questo modo la perturbazione si propaga nel mezzo.

direzione dell’accelerazionedella particella

■ Ogni particella oscilla attorno alla sua posizione di equilibrio, per cui il suo spo-stamento medio è nullo. Oscillando, però, la particella trasmette energia alle parti-celle successive: in questo modo l’energia si trasmette attraverso il mezzo.

direzione dello spostamentodella particella

direzione della propagazionedella perturbazione

Un’onda meccanica è una perturbazione della posizione dei punti del mezzo che si propaga trasportando energia ma non materia.

Onde trasversali e onde longitudinali

Esistono due tipi fondamentali di onde meccaniche, che possiamo facilmente gene-rare su una molla molto lunga appoggiata su un tavolo.

■ Spostiamo un estremo avanti e indietro in direzione perpendicolare alla molla: si propaga una perturbazione formata da oscillazioni delle spire in direzione perpendi-colare a quella della molla.

direzione di propagazione

direzione dellospostamento

13


■ Spostiamo un estremo avanti e indietro in direzione parallela alla molla: in questo caso la perturbazione consiste in una serie di espansioni e compressioni delle spire lungo la direzione della molla.


direzione dellospostamento

In generale si distinguono:

● onde trasversali, quando le particelle del mezzo oscillano in direzione per-pendicolare alla direzione di propagazione dell’onda;

● onde longitudinali, quando le particelle del mezzo oscillano nella stessa dire-zione di propagazione dell’onda.

Per esempio le onde che si formano sulla corda di una chitarra sono trasversali, mentre il suono è costituito da onde longitudinali.

I terremoti generano onde meccaniche, dette onde sismiche, che possono essere trasversali oppure longitudinali e sono dette rispettivamente onde S e onde P, come mostrano i disegni.

Onde P

cresta dell’onda

movimento di una particella


Onde S

Onde superficiali

Le onde si propagano sulla superficie dei liquidi sotto l’azione di due forze di richia-mo: la tensione superficiale e la gravità.

FISICA QUOTIDIANAOnde sismiche

14

Onde

■ Si formano onde capillari quando la forza di ri-chiamo dominante è la tensione superficiale.

■ Le onde marine sono onde di gravitˆ: la forza di richiamo è dovuta prevalentemente alla gravità.

Le onde superficiali interessano solo uno strato di liquido al di sotto della superficie. La loro descrizione è complessa perché si tratta di una sorta di combinazione di onde trasversali e onde longitudinali.

Analizziamo il moto delle particelle del liquido nel caso di onde che si propagano dove la profondità del liquido è molto maggiore della loro lunghezza d’onda (situa-zione di acque profonde).

La direzione della velocità v di una particella cambia nel tempo a seconda della porzione d’onda in cui si trova.

v

v

direzione di propagazionedell’ondav

v

Questo accade perché i liquidi sono incomprimibili: le particelle si devono muovere spostandosi su traiettorie non rettilinee. In prossimità della superficie queste traiet-torie sono circonferenze.

v

Mass

imo R

om

eni

Tati

ana G

roze

tskaya

/ S

hutt

ers

tock

15


Quando le onde si avvicinano alla costa, la profondità del mare diminuisce e il moto delle particelle diventa molto più complesso perché viene influenzato dagli attriti col fondale. Agli effetti dell’interazione delle particelle d’acqua col fondale si devo-no, per esempio, le ondine di sabbia che si formano in prossimità delle spiagge. Inoltre quando il fondale è basso le parti più alte delle onde si muovono con veloci-tà maggiore delle altre, con il risultato che le onde si «rompono» e si trasformano nelle onde che vediamo in prossimità delle coste.

5 Dall’oscillazione delle particelle del mezzo alla propagazione dell’onda

In un’onda bisogna distinguere due moti che coinvolgono le particelle del mezzo in cui l’onda si propaga:

● il moto globale di avanzamento dell’onda, che è l’effetto combinato dei moti delle singole particelle del mezzo;

● il moto locale di oscillazione di ciascuna particella del mezzo.

Per descrivere le caratteristiche di un’onda sono utili due diverse rappresentazioni: la rappresentazione spaziale e la rappresentazione temporale.

Rappresentazione spaziale dell’onda

Ritrae il moto globale dell’onda: dà la forma dell’onda in un dato istante e corri-sponde a una «fotografia» dell’onda.

x

cresta

ventre

λ

λ

A

A

y

In essa si distinguono:

● l’ampiezza A dell’onda, cioè il massimo spostamento dalla posizione di equili-brio delle particelle del mezzo;

● la lunghezza d’onda λ, cioè la distanza fra due punti identici e successivi dell’onda, come per esempio due creste o due ventri: dopo una lunghezza uguale a λ, l’onda si ripete identica.

FISICA QUOTIDIANAOnde in spiaggia

Anjo

Kan / S

hutt

ers

tock

Kork

ut

Kazc

in / S

hutt

ers

tock

16

Onde

Rappresentazione temporale dell’onda

Ritrae il moto locale di oscillazione: dà lo spostamento di una singola particella del mezzo in funzione del tempo. In altri termini, è la legge oraria del moto di una par-ticella del mezzo investita dall’onda.

t

A

A

Ty

In essa si distinguono:

● l’ampiezza A dell’onda, cioè il massimo spostamento dalla posizione di equili-brio della particella;

● il periodo T, che è l’intervallo di tempo in cui la particella compie un’oscilla-zione completa.

I grafici seguenti mettono a confronto le due rappresentazioni.

■ Rappresentazione temporale. La legge oraria durante un’oscillazione completa di una particella P del mezzo a partire dalla posizione iniziale di coor-dinate x = 0 e y = A.

t

t

t

t

tT

y

y

1–4

T1–2

T T

A

A

yA

yA

yA

3–4

■ Rappresentazione spaziale. Foto-grafie della forma dell’onda in corri-spondenza degli istanti di tempo indicati nella legge oraria (a sinistra): notiamo l’oscillazione della particella P sulla ret-ta x = 0.

x

x

x

x

xλ λ λ

y

y

1–4

1–2

P

P

P

P

P

y

y

y

λ3–4

17


Notiamo nel grafico a destra che la cresta dell’onda, inizialmente in un punto con ascissa x = 0, si trova in un punto con ascissa x = λ dopo un tempo T uguale al pe-riodo con cui oscilla ogni particella del mezzo. Questo permette di determinare la velocità di avanzamento dell’onda nel mezzo, detta anche velocità dell’onda:

v = λ_T

(12)

Ricordando che la frequenza è legata al periodo dalla relazione f = 1/T si ha

v = λ f (13)

Le relazioni precedenti valgono per qualsiasi tipo di onda periodica.

6 La rappresentazione matematica delle onde armoniche

Un’onda si dice armonica quando i punti del mezzo in cui l’onda si propaga si muovono di moto armonico attorno alla posizione di equilibrio.

Una sorgente genera un’onda armonica su una corda quando ne muove una porzione con moto armonico.

Supponiamo di muovere l’estremo di una corda, lungo un asse y perpendicolare a essa, con moto armonico di ampiezza A e periodo T. All’istante t = 0 s la corda ha la forma spaziale rappresentata in figura.

xλ

A

y

λ3–4

λ1–4

λ1–2

In questo istante, l’equazione che lega lo spostamento y di un punto della corda alla sua ascissa x è

y(x) = A cos (2π_λ

x) (14)

A causa del transito dell’onda nel verso positivo dell’asse x, lo spostamento y di ogni punto cambia anche col passare del tempo. Vogliamo determinare la relazione che lega lo spostamento y sia al tempo t sia alla posizione x lungo la corda.

■ Considera la cresta dell’on-da che nell’istante t = 0 si trova nel punto di ascissa x(0). La cresta si propaga con la veloci-tà dell’onda v.

xx (0)

A

y v

#velocitˆonda

18

Onde

■ Al tempo t la cresta si trova nel punto di ascissa x(t) dopo aver percorso una distanza vt. Quindi

x(t) = x(0) + vt

da cui

x(0) = x(t) − vt

xx (0) x (t)

v t

y v

La velocità dell’onda è legata alla lunghezza d’onda λ e al periodo T dalla relazione v = λ/T, quindi

x(0) = x(t) − λ_T

t

Abbiamo ricavato questa relazione facendo riferimento al moto di una cresta dell’on-da, ma lo stesso risultato vale per qualsiasi punto dell’onda del quale si segua lo spostamento.

Sostituendo la precedente espressione per x(0) al posto della variabile x nell’equa-zione (14), che si riferisce all’istante t = 0, troviamo infine

y(x, t) = A cos [ 2π_λ

(x − λ_T

t) ] (15)

o, in modo equivalente,

y(x, t) = A cos [ 2π (x_λ

− t_T) ] (16)

L’argomento della funzione coseno è detto fase dell’onda.

DENTRO LA FORMULA

● Se fissiamo un istante t, la (15) e la (16) forniscono la rappresentazione spaziale dell’onda, cioè descrivono il profilo dell’onda in quell’istante.

● Se fissiamo un punto x, la (15) e la (16) forniscono la rappresentazione temporale dell’onda in quel punto, cioè stabiliscono la legge oraria con cui il mezzo oscilla in quel punto.

Fronti d’onda

Nel caso di onde che si propagano in due o in tre dimensioni,

si dice fronte d’onda l’insieme dei punti dell’onda che hanno la stessa fase.

In altri termini: in tutti i punti di un fronte d’onda la grandezza che oscilla nell’onda, per esempio lo spostamento dalla posizione di equilibrio, assume lo stesso valore in ogni istante.

Per esempio, le gocce di pioggia che cadono sulla superficie di una pozzanghera generano onde i cui fronti d’onda sono circonferenze, mentre l’esplosione di un fuoco d’artificio genera fronti d’onda che sono superfici sferiche. In entrambi i casi si parla di onde sferiche e di fronti d’onda sferici.

#ondaarmonica

DO

NO

T6

_S

TU

DIO

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hutt

ers

tock

19


Allontanandosi dall’origine dell’onda, i fronti d’onda che giungono in una piccola regione di spazio sono approssimabili con linee rette o piani. In queste situazioni si parla di onde piane e di fronti d’onda piani.

fronti d’onda sferici fronti d’onda piani

ONDE SFERICHE ONDE PIANE

7 Onde su una cordaMolte delle caratteristiche delle onde meccaniche possono essere analizzate con un semplice modello fisico: la corda elastica.

Velocitˆ di propagazione

La velocità con cui un’onda si propaga dipende dalle caratteristiche del mezzo. In generale due fattori importanti sono:

● la forza di richiamo: intensità maggiori danno luogo ad accelerazioni maggiori delle particelle che oscillano e che trasmettono la perturbazione;

● la massa degli elementi che oscillano: a parità di forza di richiamo masse mag-giori subiscono accelerazioni minori e quindi oscillano più lentamente.

Nel caso di una corda, i fattori determinanti sono:

● la tensione T →

della corda: se la corda è sottoposta a una grande tensione fra gli elementi di essa si esercitano forze di richiamo molto intense; nel caso limite in cui la tensione è nulla, sulla corda viene meno ogni forza di richiamo e quindi non si propaga nessuna onda;

● la densità lineare µ della corda, ossia la massa per unità di lunghezza: se un piccolo elemento di corda ha una grande massa, la forza di richiamo lo accelera poco; al contrario, se lo stesso elemento di corda ha una massa molto piccola, la sua accelerazione è grande.

La velocità di propagazione v di un’onda trasversale su una corda con densità lineare µ e sottoposta a una tensione T è

v = √__T_µ

(17) #ondasucorda

20

Onde

PER ESEMPIO Onde su una corda

Una corda con densità lineare 0,1 kg/m è sottoposta a una tensione di 80 N.

▶ Con quale velocità si propagano le onde sulla corda?

v = √__

80 N_0,1 kg/m

= 30 m/s

La riflessione

Quando un’onda raggiunge un estremo della corda, essa si riflette, cioè inverte il senso del moto e torna indietro. Le caratteristiche dell’onda riflessa cambiano se l’estremo è fisso o libero di muoversi.

Consideriamo un impulso che viaggia lungo una corda.

■ Estremo fisso. Quando l’impulso arriva all’estremo fisso esercita una forza verso l’alto contro il gancio cui la corda è fissata. Per reazione, il gancio esercita una forza uguale e opposta che dà luogo a un impulso riflesso invertito.

■ Estremo libero. L’estremo libero della corda è messo in movimento dall’impulso. Quando ha rag-giunto il massimo spostamento dalla posizione di equilibrio, la forza di richiamo della corda lo sposta verso la sua posizione di equilibrio. Si crea cosi un impulso identico a quello incidente che viaggia però in verso opposto.

Quando un’onda arriva sul punto di congiunzione di due tratti di corda diversi, in parte viene riflessa e in parte viene trasmessa. Bisogna distinguere se l’onda provie-ne dal tratto di corda con densità lineare minore o maggiore.

21


■ Quando l’impulso proviene dal tratto di corda con densità lineare minore, l’impulso riflesso è inver-tito.

corda pesante

impulso riflesso

impulso trasmesso

corda leggera

■ Quando l’impulso proviene dal tratto di corda con densità lineare maggiore, l’impulso riflesso non è in-vertito.

corda pesante

impulso riflesso impulso trasmesso

corda leggera

L’impulso riflesso e quello trasmesso sono generati nello stesso intervallo di tempo. Però la loro velocità aumenta al diminuire della densità lineare del tratto di corda su cui si muovono. Questo spiega perché gli impulsi sul tratto di corda più leggero sono più estesi.

Interferenza

Il fenomeno dell’interferenza si presenta quando due o più onde della stessa natura attraversano la stessa regione nello stesso istante.

■ Consideriamo l’interferenza fra due impulsi che si pro-pagano in verso opposto lun-go una corda.

■ Nella zona in cui gli impul-si si sovrappongono, lo spo-stamento di ogni punto della corda è la somma degli spo-stamenti provocati da ciascu-no degli impulsi.

■ Dopo la sovrapposizione i due impulsi si propagano in-variati.

22

Onde

Le caratteristiche viste nel caso di impulsi su una cor-da si presentano in tutti i tipi di onde che considerere-mo, per i quali vale quindi il principio di sovrappo-

sizione:

nella regione in cui si sovrappongono due o più onde, la perturbazione totale è la somma delle per-turbazioni che ciascuna di esse produrrebbe da sola.

8 Onde stazionarie su una corda con estremi fissiConsideriamo una corda con gli estremi fissi, come per esempio la corda di una chitarra. Quando viene pizzicata si formano onde che si muovono in entrambi i ver-si e si riflettono avanti e indietro negli estremi. Le onde interferiscono tra loro dando luogo a particolari configurazioni, dette onde stazionarie perché non si propagano lungo la corda ma si ripetono con regolarità. Le fotografie mostrano tre onde stazio-narie su una corda.

In un’onda stazionaria si distinguono:

● i nodi, cioè i punti stazionari che rimangono sempre fermi;

● i ventri o antinodi, cioè i punti che oscillano con l’ampiezza massima.

f1

3f1

2f1

ventri

nodi

Gli estremi della corda sono fissi e quindi sono necessariamente nodi dell’onda sta-zionaria. La successione dei punti rossi mostra come varia nel tempo la posizione di un punto della corda in corrispondenza del quale si forma un ventre.

Onde progressive e onde stazionarie

Le onde esaminate nei paragrafi precedenti sono perturbazioni che si propagano sulla corda e per questo sono dette anche onde progressive. Al contrario, nel caso

Akais

er

/ S

hutt

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tock

#ondastazionaria

© R

ichard

Megna / F

undam

enta

l P

hoto

gra

phs

23


delle onde stazionarie non vi è alcuna propagazione. Questo implica che le onde stazionarie non trasportano energia: l’energia fornita dalla sorgente esterna è accu-mulata nel moto di oscillazione dei punti della corda.

Nelle due sequenze sono visualizzati i profili di una corda in tre istanti successivi (t = 0, t = T/4, t = T/2) nel caso di un’onda progressiva e di un’onda stazionaria.

■ Onda progressiva. I punti della corda oscillano tutti con la stessa ampiezza ma con fasi diverse. I fronti d’onda, come quello marcato con un pallino, si muovono lungo la corda con la velocità dell’onda.

1–4

t = 0

t = T

1–2

t = T

■ Onda stazionaria. I punti della corda oscillano tut-ti con la stessa fase ma con ampiezze differenti. La corda oscilla in blocco in modo coordinato: su di essa non c'è propagazione.

1–4

t = 0

t = T

1–2

t = T

I modi normali di oscillazione

Le onde stazionarie su una corda sono dette anche modi normali di oscillazione della corda. A ogni modo normale corrisponde una configurazione della corda, a seconda del numero di nodi. La lunghezza d’onda λ di un modo normale è il doppio della distanza fra due nodi successivi.

Per determinare la serie armonica della corda, cioè l’insieme delle lunghezze d’on-da e delle frequenze dei suoi modi normali, osserviamo che ogni modo normale deve avere due nodi in corrispondenza degli estremi fissi della corda.

■ Il primo modo normale ha due soli nodi negli estremi della corda:

λ1 = 2L

L

λ1 = 2L

■ Il secondo modo normale ha tre nodi:

λ2 = L

λ2 = L

■ Il terzo modo normale ha quat-tro nodi:

λ 3 = 2_3

L

λ3 = L 2–3

24

Onde

Le lunghezze d’onda dei modi normali di una corda di lunghezza L sono:

λ n = 2L_n

n = 1, 2, 3, ... (18)

La lunghezza d’onda e la frequenza di un’onda sono legate dalla relazione (13), per cui

f = v_λ

dove v è la velocità di propagazione delle onde sulla corda.

Le frequenze dei modi normali di una corda di lunghezza L sono

f n = n v_

2L n = 1, 2, 3, ... (19)

Per n = 1 si ha la frequenza naturale o prima armonica della corda:

f 1 = v_

2L =

1_2L

√__F_µ

per n = 2 la seconda armonica e così via.

PER ESEMPIO La voce del violino

Una corda di violino è lunga 33 cm e ha una densità lineare di 0,38 g/m. La corda è sottoposta a una tensione di 72 N.

▶ Qual è la sua frequenza naturale?

f 1 = 1_

2L √

__F_µ

= 1_

2 (0,33 m) √____

72 N_____

3,8 · 10 −4 kg = 660 Hz

Modi normali e risonanza

Le frequenze dei modi normali della corda si chiamano anche frequenze di riso-

nanza perché sono le frequenze naturali a cui oscilla la corda.

Dopo essere stata pizzicata al centro, la corda di una chitarra oscilla con grande ampiezza alla prima armonica e con ampiezza più piccola alle armoniche superiori.

Come una corda, ogni oggetto rigido ha modi normali di vibrazione, con frequenze che dipendono dalla forma e dal materiale di cui è fatto. Quando sul corpo agisce una forza periodica con la frequenza uguale a quella di un suo modo normale, il corpo oscilla con moti di grande ampiezza.

Questo spiega per esempio le rumorose vibrazioni su un autobus alla fermata: il motore mette in oscillazione la struttura metallica dell’autobus con frequenza pros-sima a quella di un modo normale della struttura. Si realizza in questo caso un gran-de trasferimento di energia dal motore alla carrozzeria dell’autobus. Quando l’auto-bus riparte, il motore cambia il numero di giri e la sua frequenza si allontana da quelle di risonanza: il trasferimento netto di energia fra motore e carrozzeria diven-ta trascurabile.

PROBLEMA SU PIÙ CONCETTI La frequenza naturale di una corda • pag. 33

#ondastazionaria #ondasucorda

#ondastazionaria

FISICA QUOTIDIANA

Vibrazioni a bordo

➜

25

Oscillazioni e onde meccanicheLE FORMULE

Onde su una corda

■ Velocità

v = √__T_µ

■ Lunghezze d’onda dei modi normali

λ n = 2L_n

n = 1, 2, 3, ...

■ Frequenze dei modi normali

f n = n v_

2L n = 1, 2, 3, ...

densità lineare (kg/m)

tensione della corda

lunghezza della corda

Onde meccaniche

■ Velocità

v = λ f = λ_T

■ Onde armoniche

y(x, t) = A cos [2π_λ (x −

λ_T

t) ]

lunghezza d’onda

periodofrequenza

spostamento dall’equilibrio

ampiezza

Oscillatore armonico

■ Pulsazione

ω = √__k_m

= 2π_T

■ Periodo

T = 2π √__m_k

■ Frequenza

f = 1_

2π √__k_m

■ Accelerazione

a → = − k___m

x → = − ω 2 x →

■ Legge oraria

x = A cos (√__k_m

t)

■ Energia totale

E = K + U = 1_2

m v 2 + 1_2

k x 2

massa dell’oscillatore

costante elastica della molla (n/m)

periodo

ampiezza

26

ESERCIZI13

1 Oscillazioni armoniche

La fase REM del sonno è caratterizzata da oscil-lazioni dell’attività elettrica del cervello (dette onde θ) di frequenza compresa tra 4 Hz e 8 Hz.▶ Tra quali valori è compreso il periodo?

[Tra 0,13 s e 0,25 s]

Un moto armonico è descritto dall’espressione x(t) = (4 m) cos [(5,00 s−1) t] in cui sono sottintese le unità di misura: x in metri e t in secondi.▶ Calcola il periodo dell’oscillazione. [1,26 s]

Considera un moto armonico con velocità inizia-le nulla, ampiezza 30,0 cm e frequenza 25,0 Hz.▶ Scrivi l’espressione del moto.

[x(t) = (0,300 m) cos [(157 s−1) t]]

LEGGI IL GRAFICO Il grafico rappresenta la legge oraria di un corpo che oscilla con moto armonico.

1

1 2 3 4 5

t (s)

x (m)

0

–1

–2

0

2

▶ Stima l’ampiezza e il periodo dell’oscillazione.▶ Calcola la frequenza e la pulsazione.▶ Determina il modulo dell’accelerazione

– all’istante t = 2 s;– all’istante t = 3 s;– quando il corpo transita per x = 0 m.[1,5 m, 2,0 s; 0,50 Hz, 3,1 rad/s; −14 m/s2, 14 m/s2, 0 m/s2]

1

2

3

4

PROBLEMA Un beccheggio armonico#motoarmonico

Una nave viaggia prendendo le onde di prua e ha un moto di beccheggio verticale assimilabile a un moto armonico. Tra un’onda e l’altra passano 7,0 s, mentre la prua della nave si sposta in tutto di 3,0 m.▶ Determina la legge oraria del moto verticale della prua.▶ Quanto vale la sua accelerazione verticale massima?

La situaziOne fisica e iL mOdeLLO

Siamo interessati solo al moto verticale, dovuto al beccheggio. Trascuriamo quindi il moto orizzontale della nave. Nel caso di un moto armonico descritto dalla legge (6)

a → = − ω 2 x →

se all’istante t = 0 la velocità è nulla e x = A, allora per la (7) la legge oraria è

x = A cos (ωt)

La risOLuziOne

1. L’ampiezza A è la metà dello spostamento complessivo ∆s della prua:

A = ∆s_2

2. La pulsazione è inversamente proporzionale al periodo:

ω = 2π_T

3. La legge oraria è x = A cos (ωt), ossia

x = ∆s_2

cos (2π_T

t)

4. L’accelerazione massima (verso l’alto quando la prua è nel punto più basso e verso il basso quando la prua è nel punto più alto) è proporzionale al quadrato della pulsazione:

a max = ω 2 A

quindi risulta

a max = (2π_T )

2∆s_2

= 2 π 2____ T 2

∆s

5

Mettiti alla provacon 20 esercizi interattivi

ONLINE

27

OSCILLAZIONI E ONDE MECCANICHE 13

i dati e iL risuLtatO

T = 7,0 s

∆s = 3,0 m x =

3,0 m_2

cos (2π_

7,0 s t) = (1,5 m) cos [ (0,90 s −1 ) t ]

a max = 2 π 2___

(7,0 s) 2 (3,0 m) = 1,2 m/ s 2

ha sensO?

La sensazione di mal di mare è dovuta anche alle accelerazioni verticali dovute al beccheggio. Tali accelerazioni hanno valori piuttosto rilevanti, come dimostra il risultato.

PROBLEMA SIMILE

Considera la situazione del problema precedente. Il moto ondoso cambia e le onde dimezzano il periodo, mentre lo spostamento totale della prua durante ogni oscillazione diventa 5,5 m.▶ Calcola l’accelerazione verticale massima della prua. [8,9 m/s2]

6

Un oggetto sta effettuando oscillazioni armoni-che. Quando si trova a 5,0 cm dalla posizione di equilibrio l’oggetto è accelerato con a = 10 m/s2.▶ Calcola l’accelerazione quando l’oggetto si

trova a 8,0 cm dalla posizione di equilibrio.[16 m/s2]

Un oggetto attaccato a una molla di costante k = 300 N/m effettua un moto armonico di perio-do T = 0,26 s.▶ Determina la massa dell’oggetto. [0,51 kg]

La legge oraria di un oscillatore armonico è

x = (1,2 m) cos [ (35 s −1 ) t ]▶ Qual è la posizione x nell’istante t = 7,1 s.▶ E dopo 3,1 periodi dall’istante iniziale?

[−1,1 m; 0,97 m]

qUESItO ARGOMENtA Un oggetto appeso a una molla molto leggera produce un allungamen-to ∆l.▶ Dimostra che quell’oggetto attaccato alla mol-

la oscillerà con frequenza

f = √_g/∆l ____2π

indipendentemente dalla sua massa.

Una persona di 80 kg sale su un’automobile di massa 1200 kg e provoca un accorciamento delle sospensioni di 3,0 cm. Gli ammortizzatori dell’auto sono fuori uso.▶ Con quale frequenza oscillano l’auto e il pas-

seggero? [0,72 Hz]

qUESItO tROVA IL MODELLO Un nastro rea-gisce a una torsione di un angolo θ con un mo-mento di forza M proporzionale a θ: M = − kθ. La costante k (N·m/rad), analoga a quella di una molla, dipende dal-le caratteristiche del nastro. Al nastro si appende un oggetto che ha un momento d’inerzia I.▶ Dimostra che le

oscillazioni han-no una pulsazio-ne ω = √

_k/I .

Un galleggiante è formato da un lungo cilindro di materiale a bassa densità di sezione A = 4,0 cm2, appesantito da una sfera di metallo in modo che galleggi mantenendosi verticale. L’oggetto ha una massa m = 180 g ed è immerso in acqua ( d H 2 O = 1,00 g/cm3). Se lo immergi un poco e lo lasci andare, il galleggiante effettuerà alcune oscillazioni.▶ Calcola il periodo di queste oscillazioni.

[T = 1,3 s]

F

x

0

7

8

9

10

11

12

13

28

ESERCIZI

Un tubo a U di sezione A = 1,6 cm2 contiene 100 g di mercurio (densità 13,6 g/cm3). Se sposti il mercurio dalla posizione di equilibrio di un piccolo tratto x e lasci andare, il mercurio oscillerà su e giù. Trascura gli attriti.▶ Quanto vale il periodo di queste oscillazioni?▶ Se il tubo è di sezione costante e la lunghezza del mercurio nel tubo è

L, mostra che il periodo è

T = π √__2L_g

[T = 0,30 s]

2 energia e oscillazioni armoniche

Le sospensioni di una moto equivalgono a un’uni-ca molla con k = 8 · 104 N/m e oscillano con una ampiezza massima di 7 cm.▶ Quanto vale l’energia totale? [2 · 102 J]

Un oggetto di massa m = 0,82 kg è attaccato a una molla di costante elastica k = 44 N/m e sta oscillando con ampiezza A = 0,30 m.▶ Quanto vale l’energia totale del sistema?▶ Qual è la velocità massima dell’oggetto?

[2,0 J; 2,2 m/s]

x

0

F

14

15 16

PROBLEMA L’ampiezza dell’oscillazione#motoarmonico

Un oscillatore armonico oscilla con una frequenza f = 0,35 Hz. Nell’istante in cui esso si trova nella po-sizione x = 4,2 cm rispetto alla posizione di equilibrio, la sua velocità ha modulo v = 0,15 m/s.▶ Calcola l’ampiezza A del moto.


Come conseguenza della conservazione dell’energia meccanica dell’oscillatore, la velocità dell’oscillatore può essere espressa in funzione della sua posizione e dell’ampiezza delle oscillazioni. A partire dalla relazione trovata, si determina l’ampiezza del moto.

La risOLuziOne

1. La relazione tra velocità v, posizione x e ampiezza A è

v = √_________k_m ( A 2 − x 2) = √

_________k_m

√_________ A 2 − x 2 =

= ω √_________ A 2 − x 2 = 2πf √

_________ A 2 − x 2

2. Esplicitiamo l’ampiezza del moto oscillatorio:

v = 2πf √_________ A 2 − x 2 ⇒

v_2πf

= √_________ A 2 − x 2 ⇒

A 2 − x 2 = (v_

2πf )2

⇒

A = √_

(v_

2πf )2

+ x 2

i dati e iL risuLtatO

v = 0,15 m/s

f = 0,35 Hz

x = 4,2 cm = 0,042 m

A = √______________

(0,15 m/s___________

2π (0,35 Hz))2

+ (0,042 m) 2 = 8,0 cm

PROBLEMA SIMILE

Durante il moto, l’oscillatore raggiunge una velocità di modulo 0,11 m/s.▶ In quale posizione si trova? [±6,2 cm]

17

18

29


Un oscillatore armonico di massa 25 g è soggetto a una molla avente costante elastica 0,012 N/m. L’oscillatore si trova inizialmente fermo nella posizione 4,3 cm. Considera il punto P che dista dalla posizione di equilibrio A/4, dove A è l’am-piezza del moto.▶ Calcola il modulo della velocità della massa

quando transita per P. [2,9 cm/s]

Un oscillatore armonico oscilla con un periodo di 1,7 s. La sua velocità massima è 8,6 cm/s.▶ Qual è l’ampiezza del moto?▶ Qual è la distanza dalla posizione di equilibrio

in cui esso possiede una velocità di 4,1 cm/s?[2,3 cm; 2,0 cm]

DISEGNA IL GRAFICO Considera un oscillatore armonico il cui periodo di oscillazione è 1,0 s e la cui ampiezza di oscillazione è 10 cm. La posi-zione iniziale dell’oscillatore è x = 10 cm.▶ Calcola la velocità massima dell’oscillatore.▶ Traccia il grafico della velocità dell’oscillato-

re in m/s facendo variare il tempo tra 0,00 s e 1,00 s con incrementi di 0,05 s. Considera che nel primo semiperiodo la velocità deve esse-re negativa, mentre nel secondo semiperiodo essa è positiva. [0,63 m/s]

Un oggetto di massa m = 0,75 kg è attaccato a una molla di costante elastica k = 120 N/m ed è fermo. Viene poi colpito e gli viene impressa una velocità iniziale v0 = 2,4 m/s.▶ Calcola l’ampiezza dell’oscillazione di questo

oggetto. [19 cm]

qUESItO ARGOMENtA Un oscillatore armo-nico con massa m e molla di costante elastica k viene portato a una distanza A dalla posizione di equilibrio e poi lasciato libero.▶ Dimostra che il modulo della velocità dipende

dallo spostamento x secondo la legge seguente:

v = v max √_____

1 − x 2__ A 2

Un cilindro di massa m e raggio r è collegato a una molla orizzontale di costante elastica k come illustrato nella figura. Il cilindro oscilla intorno alla posizione di equilibrio della molla, rotolan-do senza strisciare sul piano orizzontale di ap-poggio. Indica con v la velocità del centro di massa del cilindro e con x la sua posizione rispet-to alla posizione di equilibrio della molla. Il mo-mento di inerzia del cilindro è

I = 1_2

m r 2

▶ Determina l’espressione dell’energia cinetica complessiva del cilindro.

▶ Confrontando tale espressione con quella dell’oscillatore armonico, ricava l’espressione della pulsazione del moto.

m

r

k

3 Oscillazioni in presenza di attrito

Un corpo di massa 100 g è soggetto a una forza di attrito di 0,01 N quando si muove in un fluido a 1 cm/s.▶ Calcola il valore della costante γ. [10 s−1]

Un oscillatore armonico smorzato con una massa di 235 g è soggetto a una forza di attrito caratte-rizzata da una costante γ = 2,2 s−1.▶ Qual è la forza di attrito che agisce sull’oscil-

latore quando la sua velocità è 2,8 cm/s?[0,014 N]

Un corpo di massa 230 g si muove sotto l’azione di una molla con costante elastica 0,45 N/m. La forza di attrito che agisce sul corpo ha modulo di-rettamente proporzionale a quello della velocità con costante di proporzionalità β = 0,017 N·s/m.

Il corpo è inizialmente fermo lontano dalla posi-zione di equilibrio.▶ Verifica che si ha uno smorzamento sottocri-

tico.

qUESItO LEGGI IL GRAFICO Il grafico rappre-senta un’oscillazione fortemente sottosmorzata.

t (s)

x (

cm) 5

0

–5

–10

–15

–20

10

15

20

25

0 0,1 0,4 0,6 0,8 1,0

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

30

ESERCIZI

▶ Determina i parametri A e ω dell’oscillazione.La legge oraria del corpo è

x = A e −

γ_2

t

cos (ω′t)

dove

ω′ = √_____

ω 2 − γ 2__4

= √________k_m

− 1_4

(β_m)

2

< ω

▶ Determina il valore del parametro γ.[20 cm; 25 s−1; 2 s−1]

4 Onde meccaniche

5 dall’oscillazione delle particelle del mezzo alla propagazione dell’onda

Un tamburello colpisce una pallina.▶ Le onde meccaniche che si generano sulla su-

perficie del tamburello sono longitudinali o trasversali?

qUESItO ARGOMENtA Un tuo amico sostiene che le particelle del mezzo in cui si propaga un’onda longitudinale si muovono con la legge x = At.▶ Ha ragione? Motiva la risposta.

Per «vedere» al buio, un pipistrello emette onde sonore con lunghezza d’onda di circa 3 mm. Le onde sonore viaggiano nell’aria a 340 m/s.▶ Qual è la frequenza delle onde? [100 kHz]

La velocità del suono in aria è 340 m/s, mentre in acqua è 1440 m/s. Il do medio è una nota con una frequenza di 262 Hz.▶ Calcola il valore della lunghezza d’onda di

questa nota quando si propaga in aria e quan-do si propaga in acqua. [1,30 m; 5,50 m]

LEGGI IL GRAFICO Il grafico seguente è la rap-presentazione spaziale nell’istante t = 1,2 s di un’onda trasversale che si propaga su una corda con velocità 11 m/s.

y (cm)

0,50 1,0 1,5 2,0

x (m)0

–2,0

–4,0

2,0

4,0

▶ Qual è l’ampiezza dell’onda?▶ Qual è la frequenza dell’onda?

DISEGNA IL GRAFICO Considera la situazione illustrata nel precedente quesito.▶ Adottando una scala opportuna, traccia il gra-

fico dell’andamento temporale dell’onda in un punto fissato.

LEGGI IL GRAFICO Il grafico seguente è la rap-presentazione temporale del moto di un punto di una corda sulla quale si propaga un’onda elastica con velocità 35 m/s.

y (cm)

t (ms)

2,0

1,00,5 1,5 2,0 2,5 3,0

0

0

–1,0

–2,0

1,0

▶ Qual è l’ampiezza dell’onda?▶ Qual è la lunghezza d’onda?

DISEGNA IL GRAFICO Considera la situazione illustrata nell’esercizio precedente.▶ Adottando una scala opportuna, traccia il gra-

fico dell’andamento spaziale dell’onda tra-sversale in un istante fissato.

Una sbarra di alluminio lunga 2,5 m sollecitata con una vibrazione a 15 kHz contiene 6,0 lun-ghezze d’onda.▶ Calcola la velocità del suono nell’alluminio.

[6300 m/s]

Una corda è attraversata da un’onda per cui in un intervallo di tempo di 14 s sono contenute 11 oscillazioni. La velocità dell’onda lungo la corda è di 22 m/s, mentre la lunghezza della corda è 35 m.▶ Quante lunghezze d’onda contiene la corda?

[1,25]

29

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31

Kir

sanov

/ S

hutt

ers

tock

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38

31


A pressione ambiente, la velocità del suono in aria dipende dalla temperatura assoluta secondo la relazione

v = √_____________

[ 402 m 2 /( s 2 ·K) ] T

La nota mi che si trova sopra al do centrale ha frequenza 330 Hz.▶ Calcola la variazione della lunghezza d’onda

del mi in aria tra −50,0 °C e 50,0 °C. [18 cm]

qUESItO FAI UN’IPOtESI La velocità di un’on-da meccanica è influenzata dalle proprietà del mezzo in cui si propaga, come per esempio la densità.▶ La velocità di propagazione di un’onda mec-

canica aumenta o diminuisce all’aumentare della densità del mezzo?

6 La rappresentazione matematica delle onde armoniche

Un’onda trasversale di ampiezza A = 150 μm si propaga alla velocità v = 5100 m/s. L’onda ha frequenza f = 35 Hz.▶ Determina l’espressione matematica dell’on-

da nell’ipotesi che essa sia approssimativa-mente un’onda armonica.

[y = (150 μm) cos [(0,043 m−1) x − (220 rad/s) t]]

L’espressione analitica di un’onda è

y = A cos [(20 m−1) x − (6800 rad/s) t]

▶ Determina la frequenza, la lunghezza d’onda e la velocità dell’onda.

[1,08 kHz; 31,4 cm; 340 m/s]

39 40

41 42

LEGGI IL GRAFICO I grafici che seguono sono le rappresentazioni spaziale e temporale di un’onda armonica.▶ Scrivi l’equazione dell’onda armonica.

–0,5

0,5

–1

1

x (m)

y

0

–1,5

1,5

–2

2

0 0,05

–0,5

0,5

–1

1

y

–1,5

1,5

–2

2

00

0,1

t (s)

0,3 0,4 0,50,20,1 0,2 0,30,250,15

L’espressione analitica di un’onda è

y (x, t) = (0,44 m) cos [(2,4 m−1) x − (13 rad/s) t]

Supponi che l’origine x = 0 m dell’asse x venga traslata verso sinistra di ∆x = λ/8.▶ Determina la nuova espressione y (x, t) dell’onda.

7 Onde su una corda

La corda del la normale (440 Hz) del pianoforte è lunga circa 40 cm e ha una massa lineare di circa 5 g/m. Su di essa le onde si propagano a circa 350 m/s.▶ Quanto vale la tensione della corda? [600 N]

Una corda d’acciaio è lunga 1,5 m e ha massa 6,6 g. Su di essa un impulso si propaga a 300 m/s.▶ A quale tensione è sottoposta la corda?

[400 N]

43

44

45 46

32

ESERCIZI

Un’onda si muove a 180 m/s su una corda tesa. Se ne aumenta la tensione del 50%.▶ Con quale velocità si muove ora un’onda sulla

corda? [220 m/s]

Un pesce di massa 2 kg è appena stato pescato con una lenza che ha una densità lineare di 2 g/m.▶ Qual è la velocità di un’onda sulla lenza?

[99 m/s]

Due corde d’acciaio, una di diametro 0,6 mm e l’altra di diametro 0,8 mm, sono sottoposte alla stessa tensione T. Sulla corda più sottile un’onda viaggia a 200 m/s.▶ A quale velocità viaggia un’onda sulla corda

più spessa? [150 m/s]

qUESItO FAI UN’IPOtESI Due fili sono fatti dello stesso materiale e hanno lo stesso diametro. Il secondo filo ha lunghezza doppia rispetto al primo. Un’onda impiega lo stesso tempo per pro-pagarsi lungo di essi.▶ Com’è possibile?

Un’onda si propaga lungo un filo di rame (densi-tà 8920 kg/m3) di diametro d = 1,0 mm sottopo-sto a una tensione T = 95 N.▶ Qual è la velocità v dell’onda? [120 m/s]

Un filo d’acciaio (densità 7500 kg/m3) ha sezio-ne 1,6 mm2. L’acciaio inox ha un carico di rottura di circa 1 kN/mm2.▶ A quale tensione deve essere sottoposto per

far sì che un’onda si muova a 300 m/s?▶ Riesce a reggere tale tensione senza spez-

zarsi? [1,1 kN]

La tensione massima cui può essere sottoposta una corda di nylon è 80 N/mm2. La densità del nylon è 1,14 g/cm3. Una corda tesa al limite della rottura è percorsa da un’onda la cui lunghezza d’onda è 75 cm.▶ Determina la frequenza dell’onda. [350 Hz]

Un’onda di equazione y = A cos (ax − bt), in cui a = 35 m−1 e b = 450 s−1, si propaga su una corda di lunghezza L = 2,3 m e di massa m = 40 g.▶ Calcola la tensione T della corda. [2,9 N]

Una corda di massa 350 g e lunghezza 31 m è sottoposta a una tensione di 18 N. La corda com-prende nella sua lunghezza 34 lunghezze d’onda di un’onda che si propaga lungo di essa. Ogni punto della corda si sposta in tutto di 3,0 mm.▶ Determina l’equazione dell’onda.

[y = (1,5 mm) cos [(6,9 m−1) x − (280 s−1) t]

8 Onde stazionarie su una corda con estremi fissi

Una corda di pianoforte è lunga 1,0 m. Su di essa un’onda viaggia a 340 m/s.▶ Qual è la frequenza naturale della corda?

[170 Hz]

Secondo la Teoria delle stringhe, alla base del nostro Universo ci sono le cosiddette stringhe, cioè oggetti che possono essere descritti come corde con una lunghezza dell’ordine di 10−35 m. Un’oscillazione su questa stringa si propaga alla velocità della luce (3 · 108 m/s).▶ Qual è l’ordine di grandezza della frequenza

naturale della stringa? [1043 Hz]

Una corda di chitarra ha la prima armonica a 196 Hz.▶ Quali sono le frequenze delle successive tre

armoniche? [392 Hz; 588 Hz; 784 Hz]

Una corda A di chitarra ha la prima armonica a 196 Hz, mentre una seconda corda B ha la prima armonica a 294 Hz.▶ Le due corde hanno delle armoniche uguali?

La corda sol di un violino è lunga 30,0 cm. Se viene posta in vibrazione con l’arco, senza premerla con le dita (nel linguaggio musicale si dice che viene suonata «a vuoto»), essa vibra a 196 Hz. Le note immediatamente più alte sulla scala sono il la, a 220 Hz, il si, a 247 Hz, il do, a 262 Hz, e il re, a 294 Hz.▶ A quale distanza dall’estremità della corda

bisogna premere col dito per suonare queste note? [3,3 cm; 6,2 cm; 7,6 cm; 10,0 cm]

47

48

49

50

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60

Silve

r-Jo

hn / S

hutt

ers

tock

33


qUESItO ARGOMENtA Su una corda tesa tra due punti fissi è presente l’onda stazionaria indi-cata nella figura.

▶ A quale modo n corrisponde l’onda staziona-ria?

La tensione della corda viene aumentata di 9 vol-te facendo in modo che la frequenza di oscilla-zione sia sempre la stessa.▶ Disegna la nuova onda stazionaria presen-

te sulla corda giustificando il ragionamento svolto.

61

PROBLEMA SU PIÙ CONCEttI La frequenza naturale di una corda#ondastazionaria #ondasucorda

Una corda d’acciaio (densità 7,87 kg/dm3) è lunga 50 cm e ha diametro 0,82 mm. La corda è fissata agli estremi e tesa con una forza T = 600 N.▶ Determina la frequenza naturale della corda.


Su una corda lunga L, con massa per unità di lunghezza μ = m/L e tesa con una forza T agli estremi, si stabilisce un’onda stazionaria che vibra con frequenze multiple intere della frequenza naturale f1:

f 1 = 1_

2L √__T_μ

La risOLuziOne

1. Note le dimensioni e la densità ρ della corda, determiniamo la sua massa lineare osservando che la corda è un cilindro, la cui sezione è un cerchio:

μ = m_L

= Vρ_L

= ALρ_

L = Aρ

essendo

A = π d 2__4

risulta

μ = π d 2__4

ρ

2. La frequenza naturale f1 è quindi

f 1 = 1_

2L √__T_μ

= 1_

2L √_____

T_

π d 2__4

ρ

= 1_

Ld √_____T_

πρ = 380 Hz

62

Una corda viene tesa tra due punti fissi che si tro-vano a una distanza di 45 cm. La tensione della corda corrisponde al peso di una massa di 3,1 kg. La frequenza naturale della corda è 93 Hz.▶ Calcola la massa della corda. [2,0 g]

Due corde hanno la stessa lunghezza, sono fatte dello stesso materiale e sono sottoposte alla stes-sa tensione. La seconda corda ha una frequenza naturale che coincide con la terza armonica della prima corda. La prima corda ha un diametro di 1,2 mm.▶ Qual è il diametro della seconda corda?

[0,40 mm]

Due corde hanno la stessa lunghezza. La prima corda ha una frequenza naturale di 340 Hz. La seconda corda è soggetta a una tensione che è

maggiore del 50% di quella della prima corda.▶ Qual è la frequenza naturale della seconda

corda? [416 Hz]

PROVA ESPERtA È possibile avere una corda vibrante con solo un estremo fissato utilizzando un filo leggero per tenere in tensione l’altro estre-mo (figura). Una corda fissata in questo modo oscilla in modo stazionario con un massimo

63

64

65

66

corda filo leggero

34

ESERCIZI

(cioè un antinodo) nel punto in cui è legata al filo. Sia L la lunghezza della corda e v la velocità dell’onda sulla corda.▶ ARGOMENtA Dimostra che la frequenza na-

turale èf1 =

v___4L

▶ FAI UN’IPOtESI Determina la formula delle frequenze fn di tutti i modi normali.

Supponi che la corda sia fissata a entrambi gli estremi tramite due fili leggeri che la tengono in tensione.▶ DISEGNA IL GRAFICO Disegna le onde stazio-

narie relative a primi due modi normali.▶ FAI UN’IPOtESI Determina la formula delle

frequenze fn dei modi normali della corda.[ fn = nv/(4L), n = 1, 3, 5;

fn = nv/(2L), n = 1, 2, 3, ...]

PROBLEMI FINALI

Risonanza a bordo

Le sospensioni di un’automobile hanno una co-stante elastica di circa 105 N/m.▶ Stima la frequenza propria, nella direzione

verticale, di un’automobile. [2 Hz]

Possibile?

Con due masse uguali e quattro molle identiche aventi costante elastica k si formano i due oscil-latori armonici raffigurati.▶ Uno dei due oscillatori ha periodo doppio

dell’altro. Quale?

kk

k

k

M

M

Uno strano oscillatore. Sarà armonico?

Un oscillatore è formato da una massa m = 280 g e da due molle di costante elastica rispettivamen-

te k1 = 12 N/m e k2 = 18 N/m. Nella situazione raffigurata la massa è nella posizione di equili-brio. Successivamente si sposta la massa fuori dall’equilibrio e la si lascia andare.▶ Dimostra che la massa compie oscillazioni ar-

moniche.▶ Calcola il periodo del moto armonico. [0,61 s]

Com’è profondo il mare

In mare aperto la lunghezza d’onda dei marosi è minore della profondità dell’acqua. In questa si-tuazione la velocità v con cui le onde si propaga-no dipende dalla loro lunghezza d’onda λ e si dimostra che

v = √__gλ_2π

▶ Verifica che le dimensioni al secondo membro sono quelle di una velocità.

▶ Calcola la velocità di propagazione di un’onda con λ = 25 m. [6,2 m/s]

Onde in acque poco profonde

In prossimità di una spiaggia, le onde del mare hanno lunghezze d’onda che sono maggiori o uguali alla profondità h dell’acqua. In queste si-tuazioni le onde si propagano con una velocità

v = √_gh

dove g è l’accelerazione di gravità.

67

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k1

m

k2

69

70

71

Mass

imo R

om

eni

35


▶ Verifica la coerenza dimensionale della for-mula.

▶ Calcola la velocità con cui si propagano le onde a 100 m dalla spiaggia (h = 10 m) e vici-no alla battigia (h = 0,5 m). [9,9 m/s; 2,2 m/s]

Onde di gravità e onde di capillarità

Sulla superficie di un liquido si propagano due tipi di onde: le usuali onde, in cui la forza di ri-chiamo è la gravità, e le increspature, dovute a effetti di tensione superficiale, dette anche onde di capillarità. Nel caso di onde che hanno lun-ghezza d’onda λ minore della profondità h del liquido, la velocità v di propagazione è data da due contributi: uno legato all’attrazione gravita-zionale e uno alla tensione superficiale γ del li-quido.

v = √__gλ_2π

+ 2πγ_ρλ

Per l’acqua di mare a 20 °C si ha γ = 7,2 · 10−2

N/m e ρ = 1,03 · 103 kg/m3.▶ Verifica che gli effetti della gravità e quelli

della tensione superficiale sono uguali quando la lunghezza d’onda assume il valore critico

λ c = 2π √__γ_ρg

▶ Determina il valore di λc nel caso dell’acqua di mare.

▶ Calcola la velocità vc con cui si propagano sulla superficie del mare onde con lunghezza d’onda λc. [1,7 · 10−2 m; 2,3 · 10−1 m/s]

La minima velocità delle onde superficiali

Sulla superficie di un liquido non si possono pro-pagare onde con lunghezza d’onda minore di un valore critico λc che dipende dalle caratteristiche del liquido. Per verificarlo osserva il grafico all’i-nizio della colonna seguente. In rosso è rappre-sentata la legge con cui varia la velocità vcap, di un’onda capillare in funzione di λ, mentre in blu è rappresentata la legge con cui varia la velocità vgra di un’onda di gravità in funzione di λ:

v cap = √__2πγ_ρλ

v gra = √__gλ_2π

dove g è l’accelerazione di gravità, γ è la tensio-ne superficiale e ρ è la densità del liquido. La relazione che esprime vcap è ottenuta trascurando gli effetti della gravità, mentre quella che espri-me vgra è ottenuta trascurando gli effetti della ten-sione superficiale.

0

0,2

0,1

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15

v (

m/s

)

λ (m)

onde di gravità

onde capillari

▶ Traccia l’andamento qualitativo della funzio-ne

v = √__gλ_2π

+ 2πγ_ρλ

▶ Imposta un foglio elettronico per tracciare il grafico esatto.

▶ Verifica che il valore minimo vc si ottiene per

λ c = 2π √__γ_ρg

▶ Spiega per quale motivo il vento sul mare non provoca onde quando ha una velocità minore di 23 cm/s.

Due molle... un moto

Una pallina di massa m = 0,60 kg è appoggiata su un piano orizzontale ed è tenuta ferma da due molle molto allungate e in tensione. Ciascuna molla è lunga l = 40 cm e la tensione è T = 80 N. Se si sposta la pallina di pochi centimetri, per-pendicolarmente alle molle, allora la lunghezza delle molle cambia pochissimo, per cui la loro tensione resta quasi invariata a 80 N. Nasce però una forza di richiamo dovuta all’angolo tra le molle, che tende a riportare la pallina e le molle in linea.▶ Determina il valore di questa forza di richia-

mo in funzione del piccolo spostamento x del-la pallina (esprimi x in metri).

▶ Determina la frequenza di oscillazione della pallina. [F = − 400 x; f = 4,1 Hz]

72

73

74

36

ESERCIZI

qUESItO FOGLIO ELEttRONICO

Oscillazioni smorzate

Per tenere conto dell’attrito, il secondo principio della dinamica per un oscillatore armonico può essere scritto nel modo seguente:

a = − k_m

x − β_m

v

Il secondo termine è dovuto all’attrito e cresce in modulo con la velocità v.▶ Modifica il foglio di calcolo del paragrafo 1 in

modo da tracciare il grafico della legge oraria di un oscillatore armonico smorzato.

tESt

Un oscillatore armonico è costituito da una mas-sa m connessa a una molla con costante elastica k. La massa parte da x = B con velocità nulla. La sua legge oraria è

A x = B cos ( √__k_m

t )

B x = B cos ( √__m_k t )

C x = k cos ( √__B_m

t )

D x = B cos √__k_m

t

E x = B cos ( m_k t )

Osserva con attenzione il grafico seguente, che riporta la legge oraria di un oscillatore armonico. Quale delle seguenti affermazioni è vera?

t (ms)

x (cm)

00 2,4 4,8

–1

–2

–3

–4

1

2

3

4

A La velocità all’istante iniziale (t = 0,0 s) è 3 cm/s.

B Il periodo del moto è T = 4,8 s.

C L’ampiezza del moto è 6 cm.D La frequenza del moto è 210 Hz.E La pulsazione del moto è 130 s−1.

Un’onda si propaga su una corda con velocità X. Indicate rispettivamente con Y e Z la lunghezza d’onda e la frequenza dell’onda, vale la relazioneA Z = XY

B X = Z/YC Z = X/YD X = Y/ZE XYZ = 1

Una corda di lunghezza D è fissata ai suoi estre-mi. La tensione della corda è 1,6 · 102 N, mentre la sua densità lineare è 0,40 kg/m. Quale delle se-guenti formule fornisce le armoniche della corda?

A fn = 20 n_D

B fn = 10 n_D

C fn = n D_10

D fn = 20π n_D

E Nessuna delle precedenti.

Due corde M e N hanno la stessa lunghezza, ma la corda M ha una densità lineare doppia rispetto alla corda N. Entrambe le corde sono fissate agli estremi e sono sottoposte alla stessa tensione. Quale delle seguenti affermazioni è vera?A Le due corde hanno la stessa serie armonica.B La prima armonica della corda N ha frequenza

minore della seconda armonica della corda N.C Le lunghezze d’onda dei modi normali delle

due corde sono uguali.D Un’onda armonica si propaga più veloce-

mente sulla corda M che sulla corda N.E Nessuna delle affermazioni precedenti è vera.

75

1

2

3

4

5

37


sei PrOntO Per La Verifica?

Per trasportare materiali e alimenti in alcuni rifugi alpini si utilizzano le teleferiche. Il cavo di una teleferica è lungo 450 m e ha una densità lineare di 2,5 kg/m. Battendo con un sasso sul cavo, il gestore del rifugio genera un’onda che si propaga sul cavo. Dal momento della percussione a quello dell’arrivo dell’onda riflessa dall’estremo a valle passano 11 s.▶ Calcola la tensione del cavo. [17 kN]

Una corda è fissata agli estremi. La lunghezza d’onda della terza armonica è 80 cm. Considera la quinta armonica della corda.▶ Determina la lunghezza d’onda.▶ Traccia la forma dell’onda. [48 cm]

La corda mi basso di una chitarra (la pri-ma corda in alto) è tesa tra due punti fissi distanti 64 cm. Quando è accordata cor-rettamente, la frequenza naturale della corda è 82 Hz. Per accordare la chitarra si agisce sulle chiavi poste al termine della tastiera, mediante le quali si può variare la tensione di ciascuna corda. Misurando la frequenza del mi basso di una chitarra, ot-tieni il valore 78 Hz.

a Spiega come devi agire sulla relativa chiave per accordare correttamente la corda del mi basso.

Dopo averla accordata correttamente, piz-zichi la corda esattamente nel punto cen-trale P, rilasciandolo dopo averlo spostato di 6 mm dalla posizione di equilibrio.

b Scrivi la legge oraria del moto di oscil-lazione di P nella direzione perpendi-colare rispetto a quella della corda nei primi istanti del moto.

c Spiega quale tra i grafici a fianco rap-presenta meglio l’andamento della leg-ge oraria di P nel corso del tempo.

Successivamente, premi la corda del mi basso in corrispondenza del primo tasto sulla tastiera della chitarra. Così facendo la corda pizzicata oscilla con la frequenza naturale di 87 Hz, corrispondente al fa.

d Calcola la distanza tra il tasto e il capo-tasto posto al termine della tastiera.

[3,7 cm]

tOtALE ....... / 100

1

..... / 20

2

..... / 25

3

..... / 15

..... / 15

..... / 10

..... / 15

IN 1 ORA

Mass

imo R

om

eni

t

y

t

y

t

y

1

2

3

Documents

CAPITOLO OSCILLAZIONI E ONDE MECCANICHE · Un beccheggio armonico • pag. 26 #motoarmonico #motoarmonico Risoluzione numerica dell’equazione del moto di un oscillatore armonico