GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL EN COORDENADAS CURVILÍNEAS

Sean (u,v,w) coordenadas curvilíneas definidas por las ecuaciones de transformación:

x=x(u,v,w) , y=y(u,v,w), z=z(u,v,w) ; donde 0,,,,

≠

wvuzyxJ

Sea φ(u,v,w) una función escalar y ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )u vF u v w P u v w e Q u v w e R u v w e= + + w una función vectorial definidas ambas en las coordenadas curvilíneas (u,v,w). Entonces:

ww

vv

uu

∇∂∂

+∇∂∂

+∇∂∂

=∇φφφφ

[ ] [ ] [ ]wwFv

vFu

uFF ∇

∂∂

+∇

∂∂

+∇

∂∂

=∇

wwFv

vFu

uFF ∇

∂∂

+∇∂∂

+∇∂∂

=∇

wwFv

vFu

uFF ∇×

∂∂

+∇×∂∂

+∇×∂∂

=×∇

GRADIENTE, DIVERGENCIA, ROTACIONAL Y LAPLACIANO

EN COORDENADAS CURVILÍNEAS ORTOGONALES

Se puede demostrar que en coordenadas curvilíneas ortogonales:

w

w

v

v

u

u

hew

hev

heu =∇=∇=∇ ,,

Al usar estas relaciones en las expresiones anteriores se obtiene:

ww

vv

uu

ewh

evh

euh ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=∇φφφφ 111

[ ] [ ] [ ]ww

vv

uu

ewF

he

vF

he

uF

hF

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

=∇111

1 ( ) ( ) (v w u w u v

u v w

F h h P h h Q hh h h u v w

∂ ∂ ∂ ∇ = + + ∂ ∂ ∂ )h R

1u u v v w w

u v w

u v w

h e h e h e

Fh h h u v w

h P h Q h R

∂ ∂ ∂∇× =

∂ ∂ ∂

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

=∇wh

hhwvh

hhvuh

hhuhhh w

vu

v

wu

u

wv

wvu

φφφφ 12