Elettrostatica – Il campo elettricoragusa/2016-2017/elettromagnetismo... · m = −F el • La forza ... • †Schey H. - Div, Grad, Curl And All That; An Informal Text on Vector

Prof. Francesco RagusaUniversità degli Studi di Milano

Anno Accademico 2016/2017

Elettromagnetismo

Elettrostatica – Il campo elettrico

Lezione n. 2 – 6.10.2016

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 26

La Forza Elettrostatica è Conservativa• Un'importantissima proprietà della Forza Elettrostatica (Forza di Coulomb) è che si tratta di una forza conservativa• Dipende dalla natura centrale della forza • Le cariche possono (in generale sono) mantenute nelle posizioni assegnate da forze non elettriche• Possiamo comunque immaginare di spostare una carica da una posizione

all'altra con un movimento estremamente lento, bilanciando istante per istante la forza elettrica che agisce sulla carica in esame

• Consideriamo il lavoro fatto per spostare una carica q2che interagisce con una carica q1 posta nell'origine• Calcoliamo il lavoro seguendo una traiettoria arbitraria da rA a rB• Suddividiamo la traiettoria in segmenti con gusci sferici centrati a r = 0

x

y

z

q1

q2q2

rA

rB

x

y

z

q1

q2q2

rA

rB


La Forza Elettrostatica è Conservativa• Consideriamo lo spostamento ds compreso fra i duegusci concentrici posti a r e r + dr• La carica q2 è in equilibrio sotto l'effetto delle

forze elettrica e meccanica Fm = − Fel

• La forza elettrica Fel in quel punto è• Il lavoro è

• Il prodotto scalare è la proiezione di ds lungola direzione radiale• Vale per un ds qualsiasi purché fra i due gusci • Il lavoro per spostare una carica

da rA a rB è pertanto

x

y

q1

q2 ds

drFm

Fel

Dipende solo dalle posizioniiniziale e finale Non sono più vettori

r

α


La Forza Elettrostatica è Conservativa• Una traiettoria arbitraria può intersecare i gusci più di una volta• Ad esempio la traiettoria in figura• Ci sono tre spostamenti all'interno dei gusci

fra r e r + dr: ds1, ds2, ds3

• Tutti e tre gli spostamenti hanno una proiezione radiale che ha la stessa lunghezza (in modulo): dr• Tuttavia due sono nel senso positivo e uno nel senso negativo

• Il campo elettrico ha sempre lo stesso modulo(il modulo di r è costante sul guscio)• Il contributo al lavoro dello spostamento ds2 cancella uno degli altri due• Rimane un solo contributo• È facile convincersi che rimangono solo i contributi che sommati danno ancora una volta

• Il lavoro non dipende dalla particolare traiettoria ma solo dal punto di partenza e quello di arrivo

x

y

q1

q2

ds1

ds2

ds3

dr


La Forza Elettrostatica è Conservativa• C'è un modo più formale per rendersi conto che il lavoro dipende solo dalle distanze radiali dall'origine dei punti di partenza e di arrivo della traiettoria• La traiettoria può essere espressa in forma parametrica†

• Il vettore tangente è

• Consideriamo il lavoro (ricordiamo che Fm = − Fel )

• †Schey H. - Div, Grad, Curl And All That; An Informal Text on Vector Calculus 3rd ed - Norton, 1997. p. 66


Energia di un sistema di cariche• Ci limitiamo a sistemi elettrostatici in cui le cariche sono ferme• Come abbiamo visto la forza elettrostatica è conservativa• In generale le cariche mantenute nelle posizioni date da forze non elettriche• Possiamo comunque immaginare di spostare una carica da una posizione all'altra con un movimento estremamente lento, bilanciando istante per istante la forza elettrica che agisce sulla carica in esame• In presenza di altre cariche sulla carica in esame

sarà esercitata una forza elettrostatica Fel• Durante il moto è applicata una forza Fm che

bilancia la forza Fel

• Nel corso del movimento la forza Fm

• Potrà "frenare" la carica• Angolo fra Fm e ds maggiore di π/2• Lavoro negativo, energia guadagnata dalsistema meccanico, persa dal sistema elettrostatico

• Potrà "spingere" la carica• Angolo fra Fm e ds minore di π/2• Lavoro positivo, energia persa dal sistema meccanico, guadagnata dal sistema elettrostatico

A

BFel

Fmds


Energia di un sistema di cariche• L'energia elettrostatica di un sistema di cariche è definita come il lavoro fatto sul sistema (energia guadagnata dal sistema elettrostatico) per costruireuna data configurazione di cariche elettriche inizialmente poste all'infinito

• Consideriamo il caso più semplice• Un sistema di due cariche poste a distanza d• Consideriamo una carica q1 posta nell'origine• Trasportiamo una carica q2 dall'infinito a una

distanza d dalla prima carica• Per semplicità lungo una traiettoria rettilinea• Il lavoro fatto sul sistema elettrostaticoè dato dall'integrale

• Il segno di questo integrale deve essere trattato con cura• L'inversione dell'ordine degli estremi di integrazione introduce un segno meno• Determiniamo prima il segno del risultato sulla base di un ragionamento fisico• Dopo capiremo la matematica

x

y

z

q1

q2d

q2 +∞


Energia di un sistema di cariche• Supponiamo, per fissare le idee, che le due cariche abbiano lo stesso segno• La forza elettrica Fel su q2 è repulsiva, diretta nel senso positivo

dei vettori posizione che partono dall'origine• La forza meccanica Fm è diretta verso l'origine

• Lo spostamento è diretto verso l'origine • Ricordiamo il lavoro

• Lo spostamento e la forza sono nella stessa direzione• L'integrando, il lavoro infinitesimo dW, è positivo

• D'altro canto, l'integrale che abbiamo introdotto

• Il segno è negativo, diverso da quanto avevamo previsto

x

y

z

q1

q2d

FelFm


Energia di un sistema di cariche• Evidentemente l'integrale non è stato definito correttamente• Il motivo risiede nel fatto che gli estremi di integrazione sono nell'ordine

inverso rispetto al verso crescente della variabile r• Pertanto se si invertono gli estremi di integrazione occorre anche fare la

sostituzione dr → − dr

• Un altro modo per definire correttamente l'integrale è considerare il lavoro che vogliamo calcolare come• Il lavoro necessario per spostare la carica dal punto a distanza d fino

all'infinito, cambiato di segno


Il Campo Elettrico• La legge di Coulomb permette di trovare le forze che si esercitano fra le cariche elettriche che costituiscono un sistema elettrostatico• È tuttavia particolarmente interessante formulare il problema in modo differente• Si definisce un sistema elettrostatico fatto da N cariche elettriche

q1, … qj, … qN poste nelle posizioni r1, … rj, … rN• Ci si chiede qual è la forza che viene esercitata su una carica q0 posta in

una posizione arbitraria r0

• La legge di Coulomb fornisce immediatamente la risposta

• A questo punto introduciamo il campo elettrico E nel punto r0 come il rapporto fra la forza F e la carica q0

• Il campo elettrico E(r) permette di calcolare la forza su una carica arbitraria q in una posizione arbitraria r: F = q E(r)

evidentemente

Abbiamo usato il principiodi sovrapposizione (linearità)


Il Campo Elettrico• Per fissare meglio i concetti appena esposti consideriamo in maggiore dettaglio un caso molto semplice• Il campo elettrico di una carica puntiforme q1 posta nel punto r1

• La formula precedente, specializzata al caso di una sola carica è

• Il versore punta dalla posizione r1 in cui è posta lacarica al punto r0 dove vogliamo conoscere il campo

• Semplifichiamo ulteriormente ponendo la carica nell'originer1 = 0 e chiamando r invece che r0 il punto generico• Il versore diventa il versore che

dall'origine punta a r, cioè • In definitiva il campo elettrico di una carica puntiforme è x

y

z


Il Campo Elettrico• Quanto fatto fino a ora non aggiunge nulla alla legge di Coulomb• Vedremo tuttavia che il concetto di campo ha delle implicazioni molto

importanti che potremo apprezzare completamente quando tratteremo fenomeni variabili nel tempo

• Nell'esempio descritto le N cariche elettriche avevano una posizione fissata• In generale sono tenute nelle posizioni date da forze di tipo non elettrico

che mantengono le cariche nelle posizione date• Quando introdurremo i conduttori tratteremo problemi in cui le cariche possono muoversi• Il questi casi occorre assicurarsi che l'introduzione della carica q0 non

modifichi la posizione delle cariche• In pratica q0 deve essere molto piccola• Si esprime questo requisito modificando la definizione di campo elettrico

• Questa espressione definisce matematicamente il campo elettrico• Tuttavia sperimentalmente si scontra con la circostanza che la carica più piccola osservata è la carica dell'elettrone e• Sperimentalmente si chiede che la carica q0 non modifichi il sistema


Il Campo Elettrico• Continuiamo a elaborare il concetto di campo• Il sistema di N cariche elettriche q1, … qj, … qN genera una proprietà dello spazio• Ad ogni punto dello spazio è assegnato un vettore, il vettore di E(r), che

descrive in modo esauriente l'interazione di una carica arbitraria q con il sistema di N cariche

• Le N cariche sono le sorgenti del campo• Si dice anche che le N cariche elettriche generano il campo elettrico E

• Nello spazio vuoto, fissate le cariche elettriche (il loro valore e la loro posizione) il campo elettrico può essere calcolato con la formula

• Nella materia o in presenza di conduttori occorre sviluppare dei metodi più potenti per calcolare il campo elettrico• Si utilizzano le equazioni differenziali alle derivate parziali• Si fissano opportune condizioni al contorno


Il Campo Elettrico• Sottolineiamo un aspetto importante di questa formulazione• Il campo elettrico è una proprietà locale dello spazio• In linea di principio, potrebbe succedere che

• In un dato punto dello spazio una carica di valore q Coulomb sente una forza F

• Nello stesso punto una carica del valore 2q potrebbe sentire una forza diversa da 2F

• La forza potrebbe dipendere dalla disposizione e dai valori di tutte le cariche che costituiscono il sistema, inclusa la carica 2q

• Se fosse così l'introduzione del Campo Elettrico sarebbe inutile• Invece la conoscenza del campo in un punto e nell'intorno è tutto quello che

serve per determinare la forza su una carica arbitraria• Non importa come il campo è stato generato• Questo è il significato dell'aggettivo "locale"


Visualizzazione del Campo Elettrico• Con il calcolo del Campo Elettrico si assegna ad ogni punto rdello spazio un vettore E(r)• È sottinteso che E(r) è un vettore applicato nel punto r• La visualizzazione di un campo elettrico con metodi grafici è difficile• Comunque inadeguata. Un'approssimazione• Il metodo più utilizzato è quello delle linee di campo• Si tratta di linee curve che sono tangenti al campo elettrico in ogni punto• Consideriamo per cominciare il campo elettrico di una carica puntiforme• Tracciamo una linea allontanandoci dalla carica positiva richiedendo che sia

sempre tangente a E(r)• Lo stesso per le altre• Notiamo che le linee "escono"

dalla carica positiva• È una sorgente• Per una carica negativa la

situazione è analoga• Le linee "entrano" nella

carica negativa• È un pozzo


Visualizzazione del Campo Elettrico• Consideriamo adesso il campo generato da una carica q+ = +3 e una carica q− = −1 (unità arbitrarie)• Tracciamo una linea allontanandoci dalla carica positiva richiedendo

che sia sempre tangente a E(r)• Lo stesso per le altre

Alta densità di lineecampo elettrico elevato

Bassa densità di lineecampo elettrico piccolo


Visualizzazione del Campo Elettrico

?

• Si potrebbe dare una definizione analitica delle linee di campo• Un breve accenno e un esempio si trovano nel testo di Mazzoldi, Nigro, Voci• Non ci addentreremo nella descrizione analitica delle linee di campo• Potreste utilizzare il vostro computer e le tecniche di programmazione dei

laboratori di informatica per rappresentare graficamente alcuni campi elettrici

• È bene tenere presente alcune proprietà delle linee di campo• In ogni punto la tangente alla linea dà la

direzione del campo elettrico• La densità locale delle linee di campo è

maggiore dove il campo elettrico è più intenso• In pratica si disegnano un numero di linee proporzionale al valore delle cariche positive• Termineranno sulle cariche negative o all'infinito

• Le linee di campo non si incrociano mai• Se si incrociassero nel punto di incrocio il campo elettrico avrebbe due direzioni simultaneamente


Visualizzazione del Campo Elettrico• Le linee di campo originano dalle cariche positive

e terminano su quelle negative• Oppure possono partire o terminare all'infinito

• Il numero di linee che originano da una carica (o terminano su una carica) è proporzionale alla grandezza della carica• Caso particolare: in un sistema con due cariche uguali tutte le linee che originano dalla carica positiva terminano sulla carica negativa• Eventualmente passando per l'infinito

• Anche per sistemi con più di una carica, a distanze molto piccole dalle cariche puntiformi le linee di campo sono radiali


Distribuzioni di carica• Fino ad ora abbiamo considerato solo cariche puntiformi• Particelle cariche di dimensioni trascurabili• Matematicamente punti senza dimensione• Risulta tuttavia conveniente generalizzare il concetto di carica e ammettere che la carica possa essere una sorta di sostanza continua caratterizzata da una densità volumetrica di carica ρ ( Coulomb/m3)• Un volume dV = dxdydz contiene una carica dq

• Abbiamo già visto che la materia contiene dell'ordine di 1023 elettroni per cm3

• Un numero estremamente elevata che giustifica la trattazione continua• Almeno finché dV è piccolo ma sempre di dimensioni macroscopiche, non atomiche

• Naturalmente la densità di carica è, in generale, una funzione della posizione• Accanto alla densità volumetrica si usano anche

• La densità superficiale σ: dq = σ dS

• La densità lineare λ: dq = λ dl


Distribuzioni di carica• Richiamiamo la formula scritta per il calcolo del campo elettrico• Per una data configurazione di cariche puntiformi

• La formula può essere generalizzata al caso di distribuzioni continue di carica• Consideriamo un oggetto con una generica

distribuzione di carica descritta dalla funzione ρ(r)• Individuiamo un volume dV = dxdydz ≡ d3r all'interno• La sua carica è ρ(r)d3r• È la generalizzazione di qj

• La somma è sostituita da un integrale• Il campo in r0 è

• Il versore punta dalla carica al punto r0

• L'integrale è esteso a tutto il volume dell'oggetto

x

y

z

r0

r


Campo generato da un anello• Consideriamo un anello di carica Q e di raggio r.Calcolare il campo elettrico in un generico punto sull'asse• Supponiamo che le dimensioni trasversali

dell'anello sia trascurabili rispetto al raggio r• Possiamo modellizzarlo come una distribuzionelineare di carica di densità λ = Q/(2πr)

• Consideriamo un elemento di carica sull'anello• La lunghezza dell'elemento è dl = r dθ• La carica dell'elemento è dQ = λdl• Consideriamo un punto ad altezza h dal piano che contiene l'anello di carica• La distanza del punto considerato dall'elemento di carica è d• Il modulo del campo elettrico è dE• Il campo elettrico generato dall'elemento forma un angolo α con l'asse z• La proiezione lungo l'asse zdel campo è dEz = dE cosα• La proiezione perpendicolare all'asse z si elide con il contributo dell'elemento sull'anello posto ad un angolo θ + π

• Il campo elettrico totale si trova integrando Ez su θ• Per z < 0 il campo cambia segno• Sufficiente considerare h con segno

x

y

z

θ

h α


Campo all'interno di un guscio sferico• Calcolare il campo elettrico all'interno di un guscio sferico cavo di raggio R e carica totale Q distribuita uniformemente sulla superficie• Il guscio può essere modellizzato come una distribuzione

di carica superficiale uniforme σ = Q/4πR2

• Consideriamo un generico punto P all'interno del guscio, a distanza c dal centro• Non si perde generalità nella soluzione se si

considera il punto P sull'asse z• Il problema può adesso essere risolto suddividendo ilguscio in tanti anelli e utilizzare la soluzione trovataper il campo generato da un anello (sull'asse)• Un generico anello è individuato dall'angolo polare θ• E dalla sua estensione trasversale infinitesima dθ• La superficie dell'anello è

• La carica dell'anello è

• L'altezza (con segno) del punto P sul piano dell'anello

x

y

z

RPc

P

θ

c

cdθ θ0


Campo all'interno di un guscio sferico• Riepilogando

• Il campo generato dall'anello è

• Sostituendo

θc

dθ θ0


Campo all'interno di un guscio sferico

• Pertanto

• Operiamo un cambio di variabile

• I limiti di integrazione diventano• Sostituendo (cambiando l'ordine di integrazione)


Campo all'interno di un guscio sferico

• L'integrale si trova nelle tabelle di integrali• Posto

• Nel nostro problema

• Calcoliamo esteso fra gli estremi di integrazione

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