SERIE TRIGONOMETRIC

A DE FOURIERMónica Montoya CAlexander Cortés Ll.Armando Mateus R.

CONTENIDOS1. Introducción2. Funciones Periódicas3. Ortogonalidad de las funciones

seno y coseno.4. Serie trigonométrica de Fourier.5. Ejemplo de reconstrucción de

una señal cuadrada

INTRODUCCION

El nombre se debe al matemático francés Jean Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces análisis armónico.

Es usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Tratamiento de imagen (JPEG) y audio (MP3)Reducción de ruido en señales, como el ruido blanco.Análisis de materiales y estadística.Análisis vibratorio. Acústica Óptica.

FUNCIONES PERIODICAS

Una Función Periódica f(t) cumple la siguiente propiedad para todo valor de t.

f(t)=f(t+T)

A la constante mínima para la cual se cumple lo anterior se le llama el periodo de la función

Repitiendo la propiedad se puede obtener:f(t)=f(t+nT), donde n=0,1, 2, 3,...

FUNCIONES PERIODICAS

Ejemplo: ¿Cuál es el período de la función:

Solución.- Si f(t) es periódica se debe cumplir: f(t)=f(t+T)Pero como se sabe cos(x+2kp)=cos(x) para cualquier entero k, entonces para que se cumpla la igualdad se requiere que

T/3=2k1p, T/4=2k2pEs decir,

T = 6k1 p = 8k2pDonde k1 y k2 son enteros,El valor mínimo de T se obtiene con k1=4, k2=3, es decir,T=24p

)?cos()cos(f(t) 4t

3t

FUNCIONES PERIODICAS

0 50 100 150 200-3

-2

-1

0

1

2

3

f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)

t

f(t)

24p

FUNCIONES PERIODICAS Ejemplo: la función cos(3t)+cos(p+3)t no es periódica, ya que no es un número racional.

3

3

2

1

0 5 10 15 20 25 30-2

-1

0

1

2f(t)=cos(3t)+cos((3+pi)t)

t

f(t)

ORTOGONALIDAD DE LAS FUNCIONES PERIODICAS

Se dice que un conjunto de funciones fk(t) son ortogonales en el intervalo a<t<b si dos funciones cualesquiera fm(t), fn(t) de dicho conjunto cumplen:

nmparar

nmpara0dt(t)(t)ff

n

b

anm

ORTOGONALIDAD DE LAS FUNCIONES PERIODICAS

Aunque los ejemplos anteriores se limitaron a un par de funciones, el siguiente es un conjunto de una infinidad de funciones ortogonales en el intervalo -T/2<t< T/2.

1,cosw0t, cos2w0t, cos3w0t,...,senw0t,sen2w0t,sen3w0t,...

(para cualquier valor de w0=2p/T).

Para verificar lo anterior podemos probar por pares:1.- f(t)=1 Vs. cos(mw0t):

Ya que m es un entero.

0m

)(msen2

m

T/2)(msen2

m

t)(msent)dtcos(m

00

0

2/T

2/T

0

02/T

2/T0

ORTOGONALIDAD DE LAS FUNCIONES PERIODICAS

2.- f(t)=1 Vs. sen(mw0t):

3.- cos(mw0t) Vs. cos(nw0t):

0T/2)]m(cos-T/2)m[cos(m

1

m

t)(mcost)dtsen(m

000

2/T

2/T

0

02/T

2/T0

0nmpara2/T

nmpara0t)dtt)cos(ncos(m

2/T

2/T00

ORTOGONALIDAD DE LAS FUNCIONES PERIODICAS

4.- sen(mw0t) Vs. sen(nw0t):

5.- sen(mw0t) Vs. cos(nw0t):

02/

0t)dtt)sen(nsen(m

2/

2/

00 nmparaT

nmparaT

T

n,mcualquierpara0t)dtt)cos(nsen(m2/T

2/T00

SERIE TRIGONOMETRICA DE FOURIER

Algunas funciones periódicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, llamada Serie Trigonométrica de Fourier

n= 1, 2, 3…..

SERIE TRIGONOMETRICA DE FOURIER

Dada una función periódica f(t) ¿cómo se obtiene su serie de Fourier?

Obviamente, el problema se resuelve si sabemos como calcular los coeficientes a0,a1,a2,...,b1,b2,...

Esto se puede resolver considerando la ortogonalidad de las funciones seno y coseno comentada anteriormente.

])tn(senb)tncos(a[a)t(f1n

0n0n021

CALCULO DE LOS COEFICIENTES DE LA SERIE

Multiplicando ambos miembros por cos(nw0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:

Similarmente, multiplicando por sen(nw0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:

,...3,2,1,0ndt)tncos()t(fa2/T

2/T0T

2n

,...3,2,1ndt)tn(sen)t(fb2/T

2/T0T

2n

CALCULO DE LOS COEFICIENTES DE LA SERIE

Similarmente, integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:

El intervalo de integración no necesita ser simétrico respecto al origen.

Como la ortogonalidad de las funciones seno y coseno no sólo se da en el intervalo de –T/2 a T/2, sino en cualquier intervalo que cubra un periodo completo:

(de t0 a t0+T, con t0 arbitrario)

las fórmulas anteriores pueden calcularse en cualquier intervalo que cumpla este requisito.

2/T

2/TT2

0 dt)t(fa

EJEMPLO DE LA RECONSTRUCCIÓN DE

UNA SEÑAL CUADRADAPartiendo de la serie de Fourier de la función:

Reconstruir la señal usando el principio de superposición tomado por la serie de Fourier para la función de periodo 2:

1f(t)

t. . . -1

0

1

2 . . .

-1

TERMINO 1

-2

0

2

0 2 4 6 8 10

Tiempo

SUMATORIA

-2,5

-0,5

1,5

0 2 4 6 8 10

Tiempo

A partir de:

SEGUNDO TERMINO

-1

0

1

0 2 4 6 8 10

Tiempo

SUMATORIA

-2

0

2

0 2 4 6 8 10

Tiempo

A partir de:

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0 2 4 6 8 10

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 2 4 6 8 10

A partir de:

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0 2 4 6 8 10

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 2 4 6 8 10

A partir de:

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0 2 4 6 8 10

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 2 4 6 8 10

A partir de:

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0 2 4 6 8 10

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 2 4 6 8 10

A partir de:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

A partir de:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

GRACIAS POR SU ATENCION