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GRANDEZAS
PROPORCIONAIS Aulas 01 a 03
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz
Sumário GRANDEZAS............................................................................................................................................................. 1
O QUE É UMA GRANDEZA? ..................................................................................................................................... 1
PRELIMINAR 1 ..................................................................................................................................................... 1
PRELIMINAR 2 ..................................................................................................................................................... 1
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS (GDP) .......................................................................................... 1
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS (GIP) ......................................................................................... 2
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2
DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS ............................................................. 2
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2
VARIÁVEL PROPORCIONAL A VÁRIAS OUTRAS ....................................................................................................... 3
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 1
AULA 01
GRANDEZAS O QUE É UMA GRANDEZA? Entenderemos por grandeza tudo aquilo que pode ser
medido.
Exemplos: Distância, velocidade, comprimento, ...
PRELIMINAR 1 Considere as grandezas a seguir.
X: quantidade, em gramas, de comida
Y: valor pago pela comida
Sabendo-se que por 100g de comida são pagos 4 reais
e que por 200g de comida são pagos 8 reais, responda:
a) Quanto se paga por 1kg de comida?
b) Ao se calcular a razão dos valores associados
das grandezas X e Y, em cada caso, o que se
pode observar?
c) Ao se calcular o produto dos valores associados
das grandezas X e Y, em cada caso, o que se
pode observar?
PRELIMINAR 2 Considere as grandezas a seguir.
X: módulo da velocidade, em km/h, de uma pessoa
Y: tempo de deslocamento da pessoa
Sabendo-se que a 5 km/h a pessoa percorre um trajeto
em 2h e que a 10 km/h ela o percorre em 1h, responda:
a) Em quanto tempo ela percorrerá o trajeto a
uma velocidade de 20 km/h?
b) Ao se calcular a razão dos valores associados
das grandezas X e Y, em cada caso, o que se
pode observar?
c) Ao se calcular o produto dos valores associados
das grandezas X e Y, em cada caso, o que se
pode observar?
Considere uma grandeza 𝑋, com medidas 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, …
positivas e uma grandeza 𝑌, com medidas
𝑦1, 𝑦2, 𝑦3, …, também positivas. Tais que
𝑿 𝒀
𝑥1 𝑦1
𝑥2 𝑦2
𝑥3 𝑦3
⋮ ⋮
𝑥𝑛 𝑦𝑛
GRANDEZAS DIRETAMENTE
PROPORCIONAIS (GDP) Diremos que uma grandeza 𝑌 é DIRETAMENTE
PROPORCIONAL a uma grandeza 𝑋, se A RAZÃO de
medidas correspondentes de 𝑌 para 𝑋 for
CONSTANTE.
Simbolicamente, podemos ter
𝑦
𝑥= 𝑘, com 𝑘 ∈ ℝ+
∗
Aplicando-se na tabela acima, tem-se 𝑦1
𝑥1=
𝑦2
𝑥2= ⋯ = 𝑘
Obs.1: Uma vez escrita essa sequência de igualdades,
basta escolher duas “partes” convenientes e resolver a
equação montada.
Obs.2: Note que, cada 𝑦 é encontrado multiplicando-
se cada 𝑥 pelo valor de 𝑘.
CUIDADO com pensamentos simplistas!!
Note que não se trata apenas de “quando um
aumenta o outro também aumenta”, mas sim de
“quando uma grandeza é multiplicada por um
número, então a outra também é multiplicada pelo
mesmo número”!
Reflita: Nos primeiros anos de vida, é normal
que a altura de uma pessoa aumente à medida que
sua idade aumenta. Mas não há proporcionalidade,
nesse caso. Ou seja, as grandezas IDADE (anos) e
ALTURA (em metros) não são GDP, mesmo uma
aumentando enquanto a outra também aumenta.
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 2
GRANDEZAS INVERSAMENTE
PROPORCIONAIS (GIP) Diremos que uma grandeza 𝑋 é INVERSAMENTE
PROPORCIONAL a uma grandeza 𝑌, se O PRODUTO
de medidas correspondentes de 𝑋 e 𝑌 for
CONSTANTE.
Simbolicamente, podemos ter
𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑘, com 𝑘 ∈ ℝ+∗
Aplicando-se na tabela da página anterior, tem-se
𝑥1 ∙ 𝑦1 = 𝑥2 ∙ 𝑦2 = ⋯ = 𝑘
Obs.3: Uma vez escrita essa sequência de igualdades,
basta escolher duas “partes” convenientes e resolver a
equação montada.
Obs.4: Note que, cada 𝑦 é encontrado dividindo-se o
valor de 𝑘 pelo seu respectivo 𝑥.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. Duas grandezas 𝑌 e 𝑋 são diretamente proporcionais e
suas medidas estão relacionadas conforme tabela
abaixo
Y 2 4 b 8 d
X a 36 54 c 108
Determine os valores de 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑.
1.2. Na tabela abaixo, temos as medidas de duas grandezas
𝑌 e 𝑋 que são inversamente proporcionais.
Y a 20 25 c
X 15 b 10,8 9
Determine 𝑎, 𝑏 e 𝑐
1.3. As grandezas 𝑋 e 𝑌 são inversamente proporcionais e
têm suas medidas relacionadas conforme tabela a
seguir, em que 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑐 ⋅ 𝑑 ≠ 0
X a b c d
Y 2 4
3
8
5
20
7
Determine os menores valores naturais de 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑.
AULA 02
DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE E INVERSAMENTE
PROPORCIONAIS
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1. Divida o número 180 em partes diretamente
proporcionais a 2, 3 e 5.
2.2. Paulo, Ana e Luís formaram uma sociedade e
investiram, respectivamente, R$ 2.500,00,
R$ 3.500,00 e R$ 4.000,00 num fundo de
investimentos. Ao final de um ano, a aplicação
estava com um saldo de R$ 12.500,00. Se os três
investidores resgatarem somente o rendimento e
o dividirem em partes diretamente proporcionais
aos valores investidos, de quanto será a diferença
positiva entre os valores recebidos por Ana e
Paulo?
TAREFA 1 – Unid. 1 – Cap. 3: Ler da página 14 à 20. Dê
atenção às Observações 1 e 2, ao tópico 3.6 e aos
exercícios resolvidos 13, 14 e 15.
Fazer: PSA 21, 22, 23, 30, 31, 32, 33, 34 e 35.
Desafio: PSA 20
CUIDADO com pensamentos simplistas!! DE NOVO!
Note que não se trata apenas de “quando um
aumenta o outro diminui”, mas sim de “quando uma
grandeza é multiplicada por um número, a outra
grandeza é multiplicada pelo inverso desse número”.
Por exemplo, se uma triplica, a outra vai a 1/3.
MAIS PARA APLICAÇÃO DO QUE PARA MATÉRIA NOVA
O que veremos a seguir são algumas
aplicações clássicas nas quais utilizamos os
conhecimentos sobre Grandezas Diretamente e/ou
Inversamente Proporcionais. Ou seja, você não está
aprendendo uma matéria nova, está aprendendo
como utilizar a matéria da aula anterior em algumas
situações.
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 3
2.3. Divida o número 1260 em partes inversamente
proporcionais a 3, 5 e 6.
2.4. As prefeituras das cidades A, B e C construíram
uma ponte sobre o rio próximo a estas cidades. A
ponte fica a uma distância de 10 km de A, 12 km de
B e 18 km de C. O custo da construção, R$ 7.095,00,
foi dividido em partes inversamente proporcionais
às distâncias das cidades à ponte. Qual foi o gasto
que coube à prefeitura da cidade A?
AULA 03
VARIÁVEL
PROPORCIONAL A
VÁRIAS OUTRAS EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 3.1. Para alimentar 15 vacas durante 11 dias são
necessários 2.200 kg de milho. Retirando-se
7 vacas, em quanto tempo serão consumidos
1.280 kg?
3.2. Quinze operários furam uma vala de 80 m de
comprimento em 10 dias trabalhando 8 horas por
dia. Quantos dias serão necessários para que 32
operários furem outra vala de 100 m de
comprimento, trabalhando 12 horas por dia e cuja
dificuldade seja 3
5 maior?
GABARITO
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
1.1. 𝑎 = 18; 𝑏 = 6; 𝑐 = 72; 𝑑 = 12
1.2. 𝑎 = 18; 𝑏 = 13,5; 𝑐 = 30
1.3. 𝑎 = 210; 𝑏 = 140; 𝑐 = 168; 𝑑 = 300
2.1. 𝑎 = 36; 𝑏 = 54; 𝑐 = 90
2.2. 𝑅$ 125,00
2.3. 𝑎 = 600; 𝑏 = 360; 𝑐 = 300
2.4. 𝑅$ 29.700,00
3.1. 12 dias
3.2. 6,25 dias = 6 dias e 3 horas (de trabalho)
TAREFA 2 – Unid. 1 – Cap. 3: Ler o tópico 3.8 (p.23), o
Exercício 18, o tópico 3.9 e o Exercício 19. Além disso,
fazer os PSA 26 e 27.
NOVAMENTE, NÃO É MATÉRIA NOVA!
Lembra da tal “Regra de três composta”?
Então, mais uma vez, o que faremos na próxima aula
é mostrar como um bom domínio da parte de
Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais
faz com que você não precise decorar novas regras
para fazer esse tipo de questão.
TAREFA 3 – Unid. 1 – Cap. 3: Ler os Exercícios 20, 21,
22, 23, 24 e 25. Além disso, fazer os PSA 37, 38 e 43.