limx→0+

(sinx)(sinx)sin x

xxx= limx→0+

eesin x ln sin x ln sinx

eex ln x lnx= limx→0+exp

(esinx ln sinx ln sinx− ex lnx lnx

).

Ale

limx→0+

(esinx ln sinx ln sinx− ex lnx lnx

)= limx→0+ex lnx

(esinx ln sinx

ex lnxln sinx− lnx

).

Ponieważ oczywiście limx→0+ x lnx = 0, a – co za tym idzie – limx→0+ ex lnx = 1, zajmijmy się wyraże-niem

esinx ln sinx−x lnx ln sinx− lnx == esinx ln sinx−x lnx ln sinx− esinx ln sinx−lnx lnx+ esinx ln sinx−lnx lnx− lnx =

= esinx ln sinx−x lnx lnsin xx+ (esinx ln sinx−lnx − 1) lnx.

Tutaj esinx ln sinx−lnx dąży do 1 (wykładnik dąży do zera na mocy fundamentalnej granicy limu→0+ u lnu =0 z u = x względnie u = sinx ), więc pierwszy składnik dąży do zera, a drugi można przedstawić jako

esinx ln sinx−lnx − 1x

· (x lnx).

Drugi czynnik dąży, jak już wiadomo, do zera, zaś granicę pierwszego można obliczyć korzystając zreguły de l’Hospitala:

limx→0+

esinx ln sinx−lnx − 1x

= limx→0+esinx ln sinx−lnx(cosx ln sinx+ cosx− lnx− 1).

Znów esinx ln sinx−lnx dąży do 1, a ponieważ cosx− 1 dąży do zera, wystarczy zbadać

limx→0+(cosx ln sinx− lnx) = lim

x→0+(cosx ln sinx− cosx lnx+ cosx lnx− lnx) =

= limx→0+

(cosx ln

sin xx+ lnx(cosx− 1)

).

Jak wiadomo, pierwszy składnik dąży do zera, zaś drugi można przedstawić jako (x lnx)cosx− 1x, gdzie

oba czynniki dążą do zera (choćby na mocy reguły de l’Hospitala); można również użyć przedstawienia

(x2 lnx)cosx− 1x2

, ze znaną skończoną i różną od zera granicą −1/2 drugiego czynnika. Łatwo możnateraz stwierdzić, że

limx→0+

(sinx)(sinx)sin x

xxx= 1.