GUIA DE EJERCICIOS PARA CALCULO

DIFERENCIAL E INTEGRAL I

ITAM, Agosto 1998. G. Grabisnky

1

INTRODUCCION

La siguiente lista de ejercicios constituye una gu��a para el estudiante del cursoCALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I y es tal s�olo eso, una gu��a, en consecuenciaes incompleta por de�nici�on. La selecci�on de los ejercicios pretende re ejar la variedad yla profundidad que se pide del estudiante.

Considero �util que se haga uso de esta gu��a en el entendido de que su s�olo estudio noes su�ciente por lo que hago un llamado al estudiante a profundizar m�as en cada tema y ahacer m�as ejercicios de cada tipo, especialmente aqu�ellos en el que se sienta menos seguroy para todo esto el trabajo de clase, los apuntes y nuestro texto son fundamentales.

Las preguntas de los ex�amenes departamentales no ser�an necesariamente iguales aalgunos de estos ejercicios, sin embargo s�� podr�an ser similares tanto en su contenido as��como en su complejidad.

Hago votos para que el lector encuentre en estas p�aginas un apoyo m�as para el curso.

G. Grabinsky.

2

EJERCICIOS

1. Encuentra un conjunto soluci�on de cada una de las siguientes igualdades y desigual-dades:

(a)

j2x+ 4j+ 5 = 11

(b)

jx2 + 2j � 3

(c) ����1� x

x� 4

���� > 0

(d)

x2 � 4

3x� 1

(e)

4x2 + 5

2 + x� 1

(f)

x

2 + x� 2x

(g)

jx+ 5j < 2 jx� 1j(h) ���� 13x � 1

27

���� < 0:1

(i) ����3x+ 2

x� 11

3

���� < 0:2

(j)

(2x� 3)(x+ 5)

�x2 + 6x� 6� 0

(k)

(x� 1)(x+ 1)x

x2 � x� 12< 0

3

2. Escribe los siguientes intervalos como el conjunto soluci�on de una desigualdad de laforma jx� x0j < � para algunas x0 2 R y � > 0

(a)

I = (0; 3)

(b)

I = (�3; 2)(c)

I = (3; 3+ a)

3. Prueba:ja+ bj = jaj+ jbj , ab � 0

4. Prueba por inducci�on:Si a1; a2; : : : ; an 2 R entonces ja1 + a2 + � � �+ anj � ja1j+ ja2j+ � � �+ janj

5. Muestra con ejemplos que la suma, resta, producto y conciente de dos n�umerosirracionales podr��a no dar como resultado un n�umero irracional.

6. Enuncia con todo detalle la propiedad arquemidiana y el axioma del supremo.

7. Usa la propiedad arquimediana para probar que

si 0 < x < y entonces existe n 2 N tal que 1 < n�xy

�8. Sin probarlo pero justi�cando brevemente obt�en el supremo de S si:

(a)

S =

�1

2;2

3;3

4;4

5; : : :

�

(b)

S = f:7; :78; :787; :7878; : : :g(c)

S = fx 2 Q : x2 < 2g

9. Proporciona un ejemplo de un conjunto acotado S consistente solamente de n�umerosirracionales tal que su supremo sea un n�umero racional.

10. Escribe los siguientes decimales peri�odicos como cociente de dos n�umeros enteros:

(a)

4:017

(b)

�6:1532

4

(c)

�15:7915(d)

0:012345

11. Encuentra un mn�umero racional y uno irracional entre:

a =

p2

7y b =

p5

11

12. Qu�e signi�ca la a�rmaci�on "Q es denso en R " ?

13. Detrmina el dominio de las siguientes funciones:

(a)

f(x) =

s4� x2

x2 � 5x+ 6+

s4x

x2 + 1

(b)

f(x) =

sx(x� 1)(x� 5)

x2 + 2x+

1

(x2 � 9)2

(c)

f(x) =px2 � 9 +

p4� x2

14. Traza la gr�a�ca de y = f(x) si:

(a)

f(x) =

8>>>>>>><>>>>>>>:

�2 si x � �3�x+ 1 si �3 < x < �1jxj+ 1 si �1 � x < 2

0 si x = 21� x si 2 < x � 31 si 3 < x

(b)

f(x) =

8><>:jxj � 2 si jxj � 1�x2 si 1 < jxj � 2�4 si jxj > 2

15. Traza la gr�a�ca de y = f(x) si:

(a)

f(x) = jx� 3j+ 3

5

(b)

f(x) = 3� jxj

(c)

f(x) = jjxj � 3j

(d)

f(x) = jx2 � 9j+ 3

(e)

f(x) = jx2 � 5x+ 6j

16. Completa la siguiente tabla:

f g g � fa. 3x+ 7 2x� 1

b. 1x x

c. x2 jxj

d. xx�1

xx�1

e. 1 + 1x x

f.px� 5

px3 � 5

17. Sup�on quef(x) = 2x� 3

obt�eng; h : R! R

tales quef(g(x)) = x+ 7 y h(f(x)) = x+ 7; 8 x 2 R

18. Prueba que las siguientes funciones y = f(x) son biyectivas y obt�en x = f�1(y) si:

(a)

f : R! R; con f(x) = mx+ b; (m 6= 0)

(b)

f : (�1; 1)! R; con f(x) =x

1� jxj

6

(c)

f : R! R; con f(x) = (x� 3)3 � 1

19. De�ne:

f(x) =

(1x si x < 0px si x � 0

y g(x) =

(1x2

si x < 0�px si x � 0

Determina f � g; g � f; f � f; g � g; 1g y fg as�� como sus dominios. Cu�ales son sus

dominios ? Traza la gr�a�ca de cada una.

20. Calcula la inversa de cada una de las funciones invertibles del ejercicio anterior.

21. Obt�en los siguientes l��mites

(a)

limx!3

x2 � 6x+ 9

x2 � 9

(b)

limx!0

p4 + 3x� p

4� 3x

x

(c)

limx!a�

px� p�ajx+ aj ; (a < 0)

(d)

limx!9+

j81� x2jpx� 3

(e)

limx!�1+

x2 + x+ 1

�j1 + xj(f)

limx!1

p2� x� 1

2�px+ 3

(g)

limx!0

x

r1

x2� 1

(h)

limx!0+

1

x1

2

� 1

(�x) 13

!

7

(i)

limx!1

sx

x2 � 1� 1� x

4x

(j)

limx!�1

�px2 + x+ 1�

px2 � x+ 1

�

(k)

limx!0

sin2 x

1� cosx

(l)

limx!0

x tanx

cosx� 1

(m)

limx!0

sin(ax)

sin(bx); b 6= 0

(n)

limx!�2�

sin(x+ 2)

j4� x2j

(o)

limx!0

sin x� tanx

x2 tanx

(p)

limx!1

1

xsin x

(q)

limx!1

x+ cos x

x+ sin x

(r)

limx!0

sin((sin x))

sin x

22. Sup�on quelimx!0+

f(x) = A y limx!0�

f(x) = B

Calcula en t�erminos de a y B los siguientes l��mites unilaterales:

8

(a)

limx!0+

f(x3 � x)

(b)

limx!0+

f(x2 � x4)

(c)

limx!0�

f(x� sin x)

23. Usa los teoremas sobre l��mites para obtener:

(a)

limx!�1

�2f(x) + g2(x)

�22h(x)� g(x)

(b)

limx!�1

f2(x) g(x)

(2h(x) + 1)3

Si limx!�1

f(x) = 3; limx!�1

g(x) = 2; limx!�1

h(x) = �1

24. Si limx!4f(x)�5

(x�2)2+1 = 3, prueba que limx!4 f(x) existe y obt�en su valor.

25. Sup�on que f est�a de�nida en una vecindad V de x0 = 7 pero no necesariamente enx0 y que:

1

2��x� 7

4

�2� f(x) � 1

2+

�2x� 14

7

�48 x 2 V � fx0g

Obt�en limx!7 f(x).

26. Sea f : (0;1)! R una funci�on tal que

2x� 3

x< f(x) � 2x2 + 8x+ 7

x28 x > 0

Calcula limx!1 f(x)

27. Determina � = �(�) > 0 tal que si 2 < x < 2 + � entonces jx2 + 3x� 4� 6j < �

28. Prueba formalmente que:

(a)

limx!�3�

�x2 + 2x+ 1 = �16

(b)

limx!0

1

x2 + 1= 1

9

(c)

limx!3

f(x) = 1; si

f(x) =

8><>:

(x� 3)2 si x < 32 si x = 3

j2� xj si x > 3

(d)

limx!0

f(x) = 1 si

f(x) =

(1� x si x < 01 + x2 si x > 0

29. Prueba:

Si limx!x0

f(x) = 0 y jg(x)j �M 8 x 6= x0 (M > 0 constante)

entonceslimx!x0

f(x) g(x) = 0:

Concluye que:

limx!0

x sin

�1

x

�= 0

30. Sup�on que f satisface:

jf(x)� lj �M jx� x0j2; (M > 0 constante)

Prueba formalmente que limx!x0 f(x) = l

31. Sea � 2 (0; 1) �ja. Determina � = �(�) > 0 que garantice que si 0 < jx � 1j < �entonces j 1x � 1j < �

32. Prueba formalmente que:

(a)

limx!1

x2 + x

x2 � 1= 1

(b)

limx!2�

10

(x� 2)3= �1

(c)

limx!�1

x

x� 1= 1

(d)

limx!1

x2 + 3

x+ 1=1

10

(e)

limx!�1

1

x2 + 1= 0

(f)

limx!�1

px2 + 1 =1

33. De�ne

f(x) =

8>>>>><>>>>>:

p1� x2 si 0 � x < 1

a si x = 1bx� 1 si 1 < x < 2

c si x = 2x2 + dx� 3 si 2 < x � 3

Determina el valor de a; b; c; d.

34. De�ne

f(x) =

8><>:

ax+ 1 si 0 < x < 12x� x2 si 1 � x � 2

x2 � bx+ 4 si 2 < x � 3

Determina el valor de a; b.

35. Determina los valores de a y b para que la funci�on

f(x) =

8><>:�x2 + bx+ 3 si x < �2

7 si x = �2(x� a)2 si x > �2

sea continua en R.Traza la gr�a�ca �nal.

36. Sea

f(x) =

8><>:�1 si x < 00 si x = 01 si x > 0

y seag(x) = x(1� x2)

Determina todos los puntos en los que f � g y g � f son discontinuas.

37. Proporciona ejemplos de funciones f y g tales que:

(a) Ni f ni g son continuas en x0 = 2 pero f + g, f � g, fG son continuas en x0

(b) g es discontinua en x0 = 0, f es discontinua en g(x0) pero f � g es continua enx0.

38. Obt�en la forma anal��tica y traza la gr�a�ca de una funci�on f que posea las siguientespropiedades:

(a)

D(f) = [�4; 4]

11

(b)

f(�4) = f(�2) = 1 y f(2) = f(4) = 2

(c) f es continua por la derecha en 2, f es continua s�olo por la izquierda en -2, esdiscontinua en 0 y es continua en todos los dem�as puntos.

(d)

limx!�2�

f(x) = 0 y limx!2�

f(x) = 1

39. Sean f; g : [a; b]! R continuas tales que f(a) < g(a) y f(b) > g(b). Demuestra queexiste c 2 (a; b) tal que f(c) = g(c).

40. Demuestra quex3 � 19x+ 1 y 21� 2x2

coinciden en tres y s�olo tres valores de x.

41. Seaf : [0; 1]! [0; 1]

continua. Usa el Teorema del Valor Medio de Bolzano para probar que existe

c 2 [0; 1] tal que f(c) = 1� c

42. Demuestra que todo polinomio c�ubico tiene al menos una raiz real.

43. Obt�en dydx y evalua en x0 si:

(a)

y =

1 + x�

1

3

1 + x1

2

!4

; x0 = 1

(b)

y =q(3x2 + 1)(2x+ 2

px); x0 = 1

44. Si

u(1) = 2 ; u0(1) = 2

v(1) = 5 ; v0(1) = 0

Determina:

(a) 2u+

pv

u2 + 4v

!0(1)

(b) pu+ 2uv

u+ 2v

!0(1)

12

45. Sup�on quef 0(3) = 2; f 00(3) = 1; g(0) = 3; g0(0) = 1; g00(0) = 0

calcula (f � g)00(0). Si adem�as f(3) = �2, obt�en �f3�00 (3).46. La funci�on y = ax2+ bx+ c pasa por el punto P(1; 2) y es tangente a la recta y = x

en el origen. Determina a; b; c.

47. Sea f derivable en x0 y f(x0) = 0. Demuestra que si g es continua en x0 (s�olocontinua!) entonces fg es derivable en x0 y (fg)0(x0) = f 0(x0)g(x0). Sugerencia:usa la de�nici�on de derivada. Concluye que:

xjxj; x1=3 sin x; x2=3 sin x; (1� cos x)qjxj

son todas derivables en x0 = 0 y determina el valor de sus derivadas en x0.

48. Sea

f(x) =

(0 si x = 0

1�cos xx si x 6= 0

Usa la de�nici�on de derivada para probar que f 0(0) = frac12.

49. Para que valores de a; m; b se tiene que la funci�on:

f(x) =

8><>:

3 si x = 0�x2 + 3x+ a si 0 < x < 1

mx+ b si 1 � x � 2

Satisface las hip�otesis del Teorema del Valor Medio ?.

50. Seanf; g : [a; b]! R

continuas y derivables en (a; b). Sup�on que

f(a) = g(a) y que f(b) = g(b)

Demuestra que existe c 2 (a; b) tal que f 0(c) = g0(c).

51. Seaf : [a; b]! R

continua y derivable en (a; b). Si f(b) < f(a) entonces existe c 2 (a; b) tal quef 0(c) < 0.

52. Seaf : R! R

derivable. Sup�on que existe c 2 R tal que f 0(x) < 0 si x 2 (�1; c) y f 0(x) > 0 six 2 (c;1). Prueba que f(x) � f(c) 8 x 2 R (aplica TVM).

53. Seaf : [�8; 27]! R

de�nida por f(x) = x2=3. Muestra que la conclusi�on del Teorema del Valor Mediono se satisface. Por qu�e?

13

54. Seanf; g : [a; b]! R

continuas y derivables en (a; b). Si f(a) = g(a) y f 0(x) < g0(x) 8 x 2 R entoncesprueba que f(x) < g(x) 8 x 2 [a; b]

55. Seaf : [a; b]! R

continua y derivable en (a; b). Sup�on que f 0(x) 6= 0 8 x 2 (a; b), demuestra que f esinyectiva.

56. Seaf : [a; b]! R

continua y derivable en (a; b) y tal que jf 0(x)j �M 8 x 2 (a; b); M > 0. Demuestraque

jf(x)� f(y)j �M jx� yj 8 x; y 2 [a; b]

57. Prueba:

(a) Sea f(x) = 1x y 0 < a < b (�o a < b < 0), entonces

f(b)� f(a) = f 0(c)(b� a) si y s�olo si c =pab

(b) Sea f(x) = Ax2 +Bx + C; A 6= 0, entonces

f(b)� f(a) = f 0(c)(b� a) si y s�olo si c =a+ b

2

58. Sea f : [a; b] ! R continua y derivable en (a; b) y tal que f 0(x) 6= 0 8 x 2 (a; b) yf(a) f(b)< 0. Prueba que existe c 2 (a; b) �unico con f(c) = 0.

59. Usa el Teorema de Rolle para probar que la ecuaci�on tanx = 1�x tiene soluci�on en(0; 1). (Sugerencia: considera f(x) = (x� 1) sen x y calcula f(0); f(1); f 0(x))

60. Sea f : [a; b]! R continua y derivable dos veces en (a; b). Sup�on que f tiene tresraices en [a; b]. Prueba que f 0 tiene al menos dos raices en (a; b) y que f 00 tiene almenos una ra��z en (a; b).

61. Encuentra las coordenadas de los puntos en donde la gr�a�ca de la relaci�on x2+ y3 =2xy tiene una tangente horizontal.

62. Halla las coordenadas de los puntos en donde la curva x2 + xy + y2 = 7 intersectaal eje X y prueba que las rectas tangentes a la curva en esos puntos son paralelas.Obt�en tambi�en los puntos donde

dy

dx=

dx

dy= 0

63. Encuentra la ecuaci�on de la recta tangente y la de la recta normal a la gr�a�ca de lacurva 2xy + �sen y = 2� en el punto P(1; �=2)

64. Encuentra la ecuaci�on de la recta tangente y la de la recta normal a la gr�a�ca de lacurva xsen (2y) = y cos(2x) en el punto P(�=4; �=2)

14

65. Veri�ca que las gr�a�cas de las curvas siguientes son perpendiculares en P(1; 2):

16x2 � 9y2 = 20

9x2 + 4y2 = 25

Adem�as, halla las ecuaciones de las rectas tangentes en ese punto e identi�ca lascurvas.

66. La recta normal a la curva x2+ 2xy = 3y2 a trav�es del punto P(1; 1) intersecta a lacurva en otro punto. Determina las coordenadas del otro punto.

67. Calcula d2ydx2

en el punto indicado:

(a)

y3 + y = 2 cosx; P(0; 1)

(b)

x1

3 + y1

3 = 4; P(8; 8)

(c)

x2y2 = 9; P(�1; 3)

(d)

y2 � 2x� 4y = 1; P(�2; 1)

68. Una part��cula se mueve en el plano xy sobre la curva y = x1

2 en el primer cuadrantede tal modo que la distancia desde el origen aumenta a raz�on de una unidad porsegundo. Determina la raz�on en la que cambian la abscisa y la ordenada en elinstante en que x = 3

69. Una part��cula se mueve sobre la gr�a�ca de y = x2 en el plano xy a una velocidadconstante de 10 cm/s . Denota por � el �angulo que forma la recta que une al origencon P(x; x2). Determina como cambia � respecto al tiempo en el instante en quex = 3.

70. En un tanque en forma de cono circular recto invertido se vierte agua a la raz�on de720 cm3/min. El tanque tiene una altura de 200 cm y el radio en la parte superior esde 60 cm. Cu�an r�apido sube el nivel de agua cuando el tanque est�a a un octavo desu capacidad y cuanto se tarda en llenar el tanque?. El volumen de un cono circularrecto de altura h y de radio r es de V = 1

3�r2h.

71. Arena cae sobre un mont��culo de forma c�onica a una tasa constante de 10 cm3/s. Sila altura del cono siempre es tres octavos del d��ametro de la base, determina:

(a) C�omo cambia la altura del cono.

(b) C�omo cambian la altura y el radio del cono en el instante en que la altura delcono ha alcanzado los 60 cm.

15

72. El �area super�cial lateral S de un cono circular recto se relaciona con el radio de labase r y la altura h de la manera siguiente:

S = �rpr2 + h2

(a) C�omo se relaciona dSdt con dr

dt si h no cambia respecto al tiempo t.

(b) C�omo se relaciona dSdt con dr

dt y dhdt si r y h cambian rescto al tiempo t.

73. Sup�on que la relaci�on de demanda de un cierto producto es p + 2q + pq = 38 endonde q se mide en miles de unidades y p es el precio en d�olares por unidad. Sup�onadem�as que el precio p (y en consecuencia la demanda q) cambian semanalmente, esdecir p es una funci�on del tiempo.

(a) A qu�e ritmo est�a cambiando la demanda si el precio est�a disminuyendo a raz�onde 0.40 d�olares por semana, a un nivel de demanda de q = 4, ?

(b) Qu�e ocurre ahora si el precio est�a aumentando a raz�on de 0.20 d�olares porsemana al mismo nivel de demanda?

74. Traza con todo detalle la gr�a�ca de las siguientes funciones y = f(x) indicandocuando corresponda:

(a) Dominio y rango. Intersecciones con los ejes.

(b) M�aximos y m��nimos relativos (las coordenadas) as�� como los puntos singulares(coordenadas).

(c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

(d) Intervalos de concavidad positiva y negativa. Puntos de in exi�on (coorde-nadas).

(e) As��ntotas verticales, horizontales y oblicuas.

(f) C�alculo de l��mites relevantes.

(g) T�erminos dominantes.

Si:

(a)

f(x) = x4 + 8x3 + 18x2 � 1

(b)

f(x) = 3x4 � 4x3 + 6

(c)

f(x) = (x2 � 1)5

(d)

f(x) =4x

x2 + 4

16

(e)

f(x) =x2 � 3x

x+ 1

(f)

f(x) =x3 + x� 2

x� x2

(g)

f(x) =x3 + 2

2x

(h)

f(x) =3

2x2

3 � 3

5x5

3

(i)

f(x) =px+

1px

(j)

f(x) = x1

2 (2� x)3

2

75. Traza la gr�a�ca de una funci�on continua en su dominio y que cumpla con todas lassiguientes propiedades:

(a) D(f) = R n f�1g(b) f 0(x) > 0 si x 2 (�1;�1) [ (0;1)

(c) f es decreciente en (-1,0)

(d) El �inico punto cr��tico es x = 0; f(0) = 2

(e) limx!�1� f(x) =1 = limx!�1+ f(x)

(f) f tiene as��ntota oblicua y = x+ 1

(g) limx!�1 f(x) = 1

76. Halla el �area m�axima y la longitud correspondiente de los catetos que puede tenerun tri�angulo rect�angulo cuya hipotenusa mide 5 unidades.

77. Determina las coordenadas del punto (x0; y0) perteneciante a la gr�a�ca del semic��r-culo y =

p16� x2 m�as pr�oximo a (1;

p3)

78. Sean a; b � 0 tales que a+ b = 20. Maximiza y minimiza:

(a) ab

(b) a2 + b2

(c)pa+

pb

17

(d) a+pb

79. Determina las dimensiones que debe tener una caja rectangular con tapas cuadradasque minimicen el costo de fabricaci�on si el material de los costados cuesta el cu�adrupledel de las tapas y si el volumen debe ser de 1 m3.

80. Se va a construir un campo deportivo de forma rectangular de largo x y rematadoen cada extremo por un semic��rculo de radio r. Si el per��metro total debe ser de 400m, determinar las dimensiones que maximicen el �area.

81. Sea m 2 (1;1) constante. Prueba que (desigualdad de Bernoulli)

(1 + x)m � 1 +mx 8 x � �1

y obt�en el m��nimo de

f(x) = (1 + x)m �mx en [�1;1)

82. Prueba que la suma de un n�umero positivo y su rec��proco es mayor o igual que 2 yque es igual a 2 si y s�olo si el n�umero es igual a 1.

83. Hallar el menor valor de aquella constante positiva m tal que haga:

mx+1

x� 2 � 0 8 x > 0

84. Obt�en el valor m�aximo de f(x) = cotx�p2 cscx en (0; �)

85. Una agencia de viajes ofrece el siguiente plan para un tour sobre las siguientes bases:Para un grupo de 50 personas (grupo m��nimo) el costo es de $200 por persona. Porcada persona adicional y hasta llegar a 80 (grupo m�aximo) la tarifa de todas laspersonas se reduce en $2. Si el costo �jo de la agencia es de $6000 y de $32 por cadaviajero, determina el tama~no del grupo que maximiza la utilidad y cu�al es �esta.

86. Una librer��a puede obtener un cierto libro a un costo de $3 por cada uno. La librer��aha estado vendiendo el libro a $15 por ejemplar y a esate precio vende 200 ejemplarespor mes. Con objeto de estimular las ventas, la librer��a est�a planeando bajar eseprecio y estima que por cada d�olar de reducci�on en el precio del libro se vender�an20 libros m�as al mes.

(a) A qu�e precio debe venderse el libro para generar el mayor bene�cio posible, ycu�al es �este.

(b) Qu�e cantidad adicional de libros es vendida al nuevo precio ?

87. Un estudio de productividad efectuado en una f�abrica, indica que un trabajadormedio que inicia su labor a las 8:00 AM habr�a producido Q(t) = �t3 + 9t2 + 12tunidades de producto t horas despu�es del inicio.

(a) En que momento de la ma~nana es el trabajador m�as e�ciente ?.Se de�ne el momento de e�ciencia m�axima aqu�el en el que el ritmo de pro-ducci�on es m�aximo, tambi�en conocido como el punto de bene�cios decrecientes

(b) Proporciona un argumento que justi�que los dos nombres dados a ese punto.

18

88. Cada m�aquina de una maquiladora puede producir 50 unidades por hora. El costode puesta a punto es de 80 d�olares por m�aquina, mientras que el costo de operaci�ones de 5 d�olares por hora para todas las m�aquinas. Cu�antas m�aquinas deben usarsepara producir 8000 unidades al menor costo posible y cu�al es este costo m��nimo ?.

89. El cierta f�abrica el costo de puesta a punto es proporcional al n�umero de m�aquinasempleadas y el costo de operaci�on es inversamente proporcional al n�umero de m�a-quinas empleadas. Demuestra que el costo total de operaci�on es m��nimo cuando elcosto de puesta a punto es igual al costo de operaci�on.

90. Halla la ecuaci�on de la curva en el plano xy que pasa a trav�es de P(1; 0) y cuyapendiente en cada punto es 3

px. Traza su gr�a�ca.

91. Halla f(x) tal que:

(a) dydx = 1

x2+ x; (x > 0); y = 1 si x = 2

(b) d2ydx2

= 0; dydx = 2; y = 2 si x = 0

(c) d2ydx2

= 2x3; dydx = 1 si x = 1; y = 1 si x = 1

92. Calcula los siguientes l��mites como integrales de�nidas y calcula su valor:

(a)

limn!1

1

n3+

4

n3+ � � �+ n2

n3

!

(b)

limn!1

nXk=1

(3

�k

n

�2� 7

�k

n

�+ 2

)�1

n

�

(c)

limn!1

sen��n

�+ � � �+ sen

�(n�1)�

n

�n

93. Escribe las siguientes integrales de�nidas como el l��mite de sumas de Riemann as��como en el ejercicio anterior:

(a)

Z 1

0

p1� s2 ds

(b)

Z 1

0cos(�� + 2) d�

(c)

Z 3

2(3t2 + 2t� 11)

3

2

19

94. Se sabe que

Z 4

�1f(x) dx = 5;

Z 2

�1f(x) dx = 3 y

Z 4

2g(x) dx= �1

calcular:

(a)

Z 4

2(7f(x) +

p2g(x))dx

(b)

Z 2

4(�5f(x) + 2x)dx

95. Prueba que el valor de Z �

2

0

p1 + cosx dx

no puede excederp2� ni ser menor que �

2 .

96. Sin calcular la integral y usando solamente m�etodos geom�etricos demuestra que

1

2<

Z 2

1

dx

x<

3

4

97. CalculaR ba jtj dt en los siguientes casos:

(a) a < b < 0

(b) a < 0 < b

(c) 0 < a < b

98. Sup�on que

(a) f es continua y queR 21 f(x) dx = 4. Prueba que existe c 2 [1; 2] tal que f(c) = 4.

(b) f; g : [a; b] ! R son continuas (a < b) y queR ba [f(x) � g(x)] dx = 0. Prueba

que existe c 2 [a; b] tal que f(c) = g(c). (Usar el TVM para integrales)

99. Calcula

(a)

limh!0

1

h

Z h

0tan t dt

(b)

limh!0

1

h

Z x+h

x

du

u+pu2 + 1

20

100. Evalua las siguientes integrales de�nidas:

(a)

Z 4

1

(1 +pu)

1

2pu

du

(b)

Z 1

0

13p(1 + 7s)2

ds

(c)

Z 2

0

2t3pt4 + 9

dt

(d)

Z �2

�2

4

cospup

udu

(e)

Z �

3

0

tan �p2 sec �

d�

(f)

Z �

2

0

sen v cos vp1 + 3sen 2v

dv

(g)

Z �2

4

�2

25

cospxq

xsenpxdx

(h)

Z 3�

�cot2

�a

6

�da

101. Donde est�a el error:Z �

0sec2 t dt =

Z �

0

d

dttan t dt = tan tj�0 = 0 ?

102. Sea

y = x2 +Z x

1

dt

t

Prueba que y satisface:

(a) y(1) = 1

21

(b) y0(1) = 3

(c) y00(x) = 2� 1x2

103. Resuelve:

(a) Sea T (x) =R x0

ds1+s2

demostrar que T : R! R es creciente y que P(0; 0) es su�unico punto de in exi�on.

(b) Sup�on que x =R y0

dtp1+4t2

Demustra que y00 es proporcional a yy0 . (Usa la relga

de Leibniz)

104. Calcula F 0(x) si:

(a)

F (x) =Z 3

x

p1 + 3u7 du

(b)

F (x) =

Z senx

cosx

dt

1 + t2

(c)

F (x) =

�Z x

0

p1 + s2 ds

�2

105. Halla f(4) si:

(a)

Z x2

0f(t) dt = x cos(�x)

(Dos soluciones)

(b)

Z f(x)

0t2 dt = � cos(�x)

(c) Z 0

f(x)

pt dt = � cos(�x)

106. El �area de una regi�on en el plano xy entre el eje X y la gr�a�ca de la funci�on continuano negativa y = f(x) entre x = 1 y x = b es igual

pb2 + 1 � p

2 8 b > 1. Hallaf(x).

107. Sup�on que:

F (t) + C =

Zf(t) dt; C constante

demuestra que: Zf(at + b) dt =

1

aF (at + b) + C; a 6= 0

22

108. Sea f : [0; 1]! R continua. Prueba:

Z 1

0f(t) dt = �

Z 1

0f(1� t) dt

109. Sea F (x) una primitiva de f(x) = senxx (x > 0). Expresa

Z 3

1

sen (2t)

tdt

en t�erminos de F .

110. Obt�en el �area de la regi�on limitada por:

(a) La curva y2 = 4x y la recta 4x� 3y = 4

(b) La recta y � x� 4 = 0 y la curva y = x2 � 2

(c) Las curvas y = sen x, y = cos x entre �=4 y 5�=4

(d) La curva y =px y la recta x + y = 6

(e) Las curvas y = cos(�x=2) y y = 1� x2 en el primer cuadrante.

(f) Las curvas x = y2 � 1 y x = jyjp1� y2

(g) Las curvas x = 3y � y2 y la recta x+ t = 3

(h) Las curvas x = tan2 y y x = � tan2 y en ��=4 � y � �=4

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