Guía de trabajo autónomo (modalidad impresa) Semana 1: del 27 … · 2020. 8. 12. · Guía de trabajo autónomo (modalidad impresa) Semana 1: del 27 al 30 de abril Matemática

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Guía de trabajo autónomo (modalidad impresa)

Semana 1: del 27 al 30 de abril

Matemática

Profesor: Luis Jiménez Montero

El trabajo autónomo es la capacidad de realizar tareas por nosotros mismos, sin necesidad de que el profesor esté presente.

1. Me preparo para hacer la guía Pautas que debo verificar antes de iniciar mi trabajo.

Materiales o recursos que voy a necesitar

El profesor sugiere:

• Materiales: cuaderno, borrador, lápiz, calculadora.

Condiciones que debe tener el lugar donde voy a trabajar

Espacio cómodo, agradable, ventilado, sin ruido (donde pueda concentrarme)

Tiempo en que se espera que realice la guía

3 horas

2. Voy a recordar lo aprendido en clase.

Indicaciones El profesor:

• Realice el repaso propuesto para el tema de circunferencia, con la guía propuesta.

• Lea y analice las páginas 2 y 3 del presente material: Circunferencia ¿Qué es una circunferencia? ¿Y cómo se ubica en el plano cartesiano?

3. Pongo en práctica lo aprendido en clase.

Indicaciones • Investigue con su familia: determine ejemplos de circunferencia en objetos o situaciones de la vida cotidiana, ¿qué cosas de la casa tiene forma de circunferencia?

• Explique con sus propias palabras ¿qué es una circunferencia?, ¿cuáles son sus características?

• Lea las páginas 3, 4 y 5 para que resuelva la Actividad 1.

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Circunferencia

¿Qué es una circunferencia? Una circunferencia es lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de otro punto fijo denominado centro. A la distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia se llama radio.

¿Y cómo se ubica en el plano cartesiano? Analicemos la siguiente figura.

Note la figura adjunta corresponde a un plano cartesiano, un eje 𝑥 (horizontal) y un eje 𝑦 (vertical).

En este plano cartesiano se ubica una circunferencia.

Note que la medida del radio es 4.

Además, el centro es el punto (2, −3) El 2 corresponde al eje 𝑥 El −3 corresponde al eje 𝑦

En resumen, en la figura anterior se obtiene los siguientes resultados:

Radio: 4

Centro: (2, −3)

¡Recuerde! En los puntos, siempre se escribe

primero en valor de 𝑥 y de segundo el valor de 𝑦.

( x , y )

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Práctica 1 A. En cada caso, determine la ecuación de la circunferencia dado los siguientes datos. Ejemplo

1. Centro: (2, −5) Radio: 4 Ecuación: (𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 5)2 = 16 2. Centro: (3, −2) Radio: 5 Ecuación: ________________________________

3. Centro: (−6,7) Radio: 6 Ecuación: ________________________________

4. Centro: (−2,1) Radio: 2 Ecuación: ________________________________

5. Centro: (13, −23) Radio: 16 Ecuación: ________________________________

6. Centro: (0,7) Radio: 2√34 Ecuación: __𝑥2 + (𝑦 − 7)2 = 136____________ Cuando se tiene cero en alguna de las coordenadas del centro, se omite en la ecuación

Cuando el radio corresponde a una raíz, se eleva: (2√34 )2

= 136

7. Centro: (3,0) Radio: 3√5 Ecuación: ________________________________

8. Centro: (−1,0) Radio: √2 Ecuación: ________________________________

9. Centro: (0,0) Radio: 2√3 Ecuación: ________________________________

10. Centro: (4, −12) Diámetro: 12 Ecuación: ___(𝑥 − 4)2 + (𝑦 + 12)2 = 36_______ La medida del diámetro equivale a la de dos radios. Entonces, si 𝑑 = 12 entonces 𝑟 = 6 por lo tanto 62 = 36

11. Centro: (4,0) Diámetro: 40 Ecuación: ________________________________

12. Centro: (0,0) Diámetro: 2 Ecuación: ________________________________

Cambian de signo

Se eleva al cuadrado: 42 = 16

𝑥 𝑦

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B. En cada caso, determine el centro y el radio dada la ecuación de la circunferencia.

1. Ecuación de la circunferencia: (𝑥 − 6)2 + (𝑦 + 9)2 = 81 Centro: (6, −9) Radio: 9

2. Ecuación de la circunferencia: (𝑥 − 6)2 + (𝑦 + 9)2 = 81 Centro: ___________ Radio: ______________

3. Ecuación de la circunferencia: (𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 7)2 = 49 Centro: ___________ Radio: ______________

4. Ecuación de la circunferencia: (𝑥 + 6)2 + (𝑦 − 5)2 = 25 Centro: ___________ Radio: ______________

5. Ecuación de la circunferencia: 𝑥2 + (𝑦 + 9)2 = 40 Centro: _ (0, −9) ___ Radio: _2√10________ Como 𝑥2 no tiene más números, está acompañado de cero

Al sacar raíz cuadrada a 40 no da exacta: √40 = 2√10

6. Ecuación de la circunferencia: (𝑥 + 1)2 + 𝑦2 = 12 Centro: ___________ Radio: ______________

7. Ecuación de la circunferencia: 𝑥2 + (𝑦 − 2)2 = 8 Centro: ___________ Radio: ______________

8. Ecuación de la circunferencia: (𝑥 + 1)2 + 𝑦2 = 5 Centro: ___________ Radio: ______________

9. Ecuación de la circunferencia: 𝑥2 + 𝑦2 = 18 Centro: ___________ Radio: ______________

10. Ecuación de la circunferencia: 𝑥2 + 𝑦2 = 2 Centro: ___________ Radio: ______________

Se saca raíz cuadrada: √81 = 9

Cambian de signo

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C. En cada caso, determine el centro, el radio y la ecuación de la circunferencia dada su gráfica.

1.

Solución Note que el centro es (−4, 3) Además Note que el hacia la derecha Si se toma horizontal, la parte más alta de la circunferencia llaga hasta 𝑥 = 2 la circunferencia llaga hasta 𝑦 = 9 y como en centro en 𝑥 es −4, y como en centro en 3 es 3, entonces 𝑟 = 2 − −4 = 6 entonces 𝑟 = 9 − 3 = 6

Así; 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 (−4, 3) 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 = 6 Ecuación (𝑥 + 4)2 + (𝑦 − 3)2 = 36

2. Centro: ____________ Radio: ______________

Circunferencia: ___________________________

3. Centro: ____________ Radio: ______________ Circunferencia: ___________________________



cambia se eleva 62

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Autoevaluación Con el trabajo autónomo voy a aprender a aprender Reviso las acciones realizadas durante la construcción del trabajo.

Con mis lápices de colores, pinto la manita correspondiente al responder las siguientes preguntas:

¿Leí las indicaciones con detenimiento?

¿Subrayé las palabras que no conocía?

¿Busqué en el internet o consulté con un familiar lo que no entendía?

¿Me devolví a leer las indicaciones cuando no comprendí qué hacer?

Con el trabajo autónomo voy a aprender a aprender

Valoro lo realizado al terminar por completo el trabajo. Con mis lápices de colores, pinto la manita correspondiente al responder las siguientes preguntas:

¿Leí mi trabajo para saber si es comprensible lo escrito o realizado?

¿Revisé mi trabajo para asegurarme si todo lo solicitado fue realizado?

¿Me siento satisfecho con el trabajo que realicé?

Explico ¿Cuál fue la parte favorita del trabajo?

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¿Qué puedo mejorar, la próxima vez que realice la guía de trabajo autónomo?

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Semana 2: del 04 al 08 de mayo

Matemática










3 horas



• Lea y analice las páginas 8 y 9 del presente material: Circunferencia ¿Cómo determinar la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano? ¿Se puede determinar la ecuación de la recta de una gráfica? ¿Qué son puntos interiores, exteriores y puntos de la circunferencia?


Indicaciones • Invente un ejemplo en el que se utilice los puntos internos y externos de la circunferencia.

• Explique con sus propias palabras ¿qué son puntos internos y externos a una circunferencia?, ¿cuáles son sus características?


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Circunferencia

¿Cómo determinar la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano? Para determinar la distancia entre dos puntos ubicados en el plano cartesiano, se utiliza la siguiente fórmula:

𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2

Veamos un ejemplo.

Determinar la distancia entre los puntos (2, −5) y (−4, 2)

Suponga que, tomando como referencia la banca de un

parque, una persona está ubicada 2 m al este (a la

derecha) y 5 m al sur (hacia abajo).

Igual, desde la banca en el centro del parque, un árbol se

ubica a 4 m al oeste (a la izquierda) y 2 m al norte (hacia

arriba).

Así, tenemos los puntos: Hombre (2, −5) y Árbol (−4, 2)

Aplicando la fórmula de distancia: 𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2

𝑑 = √(−4 − 2)2 + (2 − −5)2

𝑑 = √85 = 9,2

Por lo tanto, el hombre se encuentra a 9,2 m del árbol.

¿Se puede determinar la ecuación de la recta de una gráfica? Primero se debe determinar el centro de la

circunferencia.

Note que el centro es (−6, 4)

Luego se necesita un punto en la circunferencia (en el borde).

El punto (−2, 1) está marcado en la circunferencia.

Con estos dos puntos: (−6, 4) y (−2, 1)

utilizamos la fórmula de distancia.

𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2

𝑑 = √(−2 − −6)2 + (1 − 4)2 = 5 Con el centro: (−6, 4) y el radio: 5, utilizamos la fórmula de la ecuación de la circunferencia

(𝑥 + 6)2 + (𝑦 − 4)2 = 25

𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2

𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2

Recuerde El centro cambia

de signo, El radio se eleva

52 = 25

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¿Qué son puntos interiores, exteriores y puntos de la circunferencia?

Se dice que un punto es interior a la circunferencia si la distancia de este al centro es menor al radio; es decir, si queda

dentro de la circunferencia.

Un punto es exterior a la circunferencia si la distancia de este al centro es mayor al radio; es decir, si queda fuera de la

circunferencia.

Cuando la distancia del punto al centro es igual al radio se dice que es un punto de la circunferencia; queda en el borde.

Ejemplo

En la gráfica se presentan la circunferencia (𝑥 − 4)2 + (𝑦 + 2)2 = 25 y los puntos 𝐶(6, −4), 𝐵(1,2) y 𝐷(−4,3). Se podrían clasificar de la siguiente forma:

𝐶(6, −4) 𝑥 𝑦

𝐵(1,2) 𝑥 𝑦

𝐷(−4, 3) 𝑥 𝑦

Punto interior Punto de la circunferencia Punto exterior

(𝑥 − 4)2 + (𝑦 + 2)2 = 25 (6 − 4)2 + (−4 + 2)2 = 8 < 25

(𝑥 − 4)2 + (𝑦 + 2)2 = 25 (1 − 4)2 + (2 + 2)2

= 25 = 25

(𝑥 − 4)2 + (𝑦 + 2)2 = 25 (−4 − 4)2 + (3 + 2)2

= 89 > 25 Resultado menor ⇒ interior Resultado igual ⇒ punto de la circunferencia Resultado mayor ⇒ exterior

¡Observe! Se toma la ecuación de la

circunferencia y se sustituyen los valores 𝑥 y 𝑦 del punto.

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Práctica 2

A. En cada caso, determine la ecuación de la circunferencia representada en la gráfica.

1.

Solución Primero hay que determinar Rara el radio, se necesita el centro de la circunferencia. un punto de la circunferencia. Con los dos puntos se utiliza

la fórmula de distancia para determinar el radio. (2, −4) (5, −1)

𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2

𝑑 = √ (5 − 2)2 + (−1 − −4)2 = 3√2

Entonces, centro: (2, −4) radio: 3√2 Circunferencia: (𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 4)2 = 18

2. Centro: ____________ Radio: ______________ Circunferencia: __________________________




𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2

Recuerde la Práctica 1

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B. En cada caso, determine si los puntos dados son interiores, exteriores o puntos de la circunferencia. 1. Circunferencia: (𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 3)2 = 98 Puntos: 𝐴(−5, 4), 𝐵(1, 3), 𝐶(4,8)

2. Circunferencia: (𝑥 + 4)2 + (𝑦 − 8)2 = 149 Puntos: 𝐴(6, −3) ______________________

𝐵(−7, 9) ______________________

𝐶(3, −2) ______________________

3. Circunferencia: (𝑥 + 6)2 + (𝑦 + 9)2 = 116 Puntos: 𝐴(−10, 0) ______________________

𝐵(−2, 1) ______________________

𝐶(−6, 4) ______________________

4. Circunferencia: (𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 3)2 = 89 Puntos: 𝐴(3, −5) ______________________

𝐵(1, 10) ______________________

𝐶(5, −6) ______________________

5. Circunferencia: 𝑥2 + (𝑦 + 2)2 = 26 Puntos: 𝐴(4, 1) ______________________

𝐵(−2, 3) ______________________

𝐶(1, 3) ______________________

6. Circunferencia: (𝑥 − 4)2 + 𝑦2 = 74 Puntos: 𝐴(−3, −5) ______________________

𝐵(13, 10) ______________________

𝐶(−2, 1) ______________________

7. Circunferencia: 𝑥2 + 𝑦2 = 4 Puntos: 𝐴(2, 0) ______________________

𝐵(0, 1) ______________________

𝐶(−3, 0) ______________________

(𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 3)2 = 98 𝐴(−5, 4) Sustituir 𝑥 y 𝑦 en la ecuación (−5 − 2)2 + (4 + 3)2 Se compara el resultado = 98 = 98 Si es igual al resultado de la ecuación, entonces es un punto de la circunferencia

(𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 3)2 = 98 𝐵(1, 3) Sustituir 𝑥 y 𝑦 en la ecuación (1 − 2)2 + (3 + 3)2 Se compara el resultado = 37 < 98 Si es menor al resultado de la ecuación, entonces es un punto interior

(𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 3)2 = 98 𝐶 (4,8) Sustituir 𝑥 y 𝑦 en la ecuación (4 − 2)2 + (8 + 3)2 Se compara el resultado = 125 > 98 Si es igual al resultado de la ecuación, entonces es un punto exterior

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C. Resuelva las siguientes situaciones problema.

1. Tomando como centro el parque de una ciudad, una torre celular se ubica a 0,1 km al este y 0,3 km sur con un alcance de 2,6 km a la redonda. a. Determine la ecuación de circunferencia que representa el alcance de la antena.

Solución: Centro: 0,1 km al este y 0,3 km sur ⇒ (0.1 , −0.3) (Primero 𝑥 “este”, segundo 𝑦 “sur”) Radio: 2.6

Circunferencia (𝑥 − 0,1)2 + (𝑦 + 0.3)2 = 6.76

b. Desde el parque, una persona se encuentra 1 km al norte y 2 km al oeste. Determine si esta persona recibe señal desde la torre anterior. Solución: Punto: 1 km al norte y 2 km al oeste ⇒ (−2 , 1) (Primero 𝑥 “oeste”, segundo 𝑦 “norte”)

Hay que determinar si el punto (−2 , 1) es interior a la circunferencia (𝑥 − 0,1)2 + (𝑦 + 0.3)2 = 6.76

Se sustituye 𝑥 = −2 y 𝑦 = 1 ⇒ (−2 − 0,1)2 + (1 + 0.3)2

6,1 < 6,76

Punto interior

Por lo tanto, la persona recibe señal desde la torre.

2. En una cartulina se va a pintar una luna llena para luego recortarla. Se determina el punto central de la cartulina. Desde este punto, el centro de la luna se ubica 10 cm a la izquierda y 5 cm hacia abajo. El radio de la luna será de 14 cm. a. Determina la ecuación de la circunferencia que representa la luna en la cartulina.

b. La cartulina tiene un hueco ubicado del punto central, 1 cm a la izquierda y 6 cm hacia arriba. Determina si el hueco queda adentro o afuera del dibujo de la luna.

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Semana 3: del 11 al 15 de mayo

Matemática










3 horas



• Realice el repaso propuesto para el tema de circunferencia, con la guía propuesta.

• Lea y analice la página 15 del presente material: Circunferencia ¿Qué es una recta tangente? ¿Qué es una recta secante? ¿Qué es una recta exterior?


Indicaciones • Invente un ejemplo en el que se utilice rectas tangentes o secantes a la circunferencia.

• Explique con sus propias palabras ¿qué son las rectas tangentes, secantes y exteriores a una circunferencia?, ¿cuáles son sus características?


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Circunferencia

¿Qué es una recta tangente? Una recta es tangente a la circunferencia cuando solo interseca a esta en un único punto.

¿Qué es una recta secante? Una recta es secante a la circunferencia si interseca la circunferencia en dos puntos.

¿Qué es una recta exterior? Una recta es exterior a la circunferencia si no interseca la circunferencia.

¡Observe! Esta recta es 𝑦 = 8

Cuando la recta es horizontal es de la forma 𝑦 = “al número”

¡Observe! Esta recta es 𝑥 = 6

Cuando la recta es vertical es de la forma 𝑥 = “al número”

¡Observe!

Esta recta es 𝑦 = −4 pues es una recta

horizontal

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Práctica 3

A. En cada caso, dibuje las rectas dadas en el plano cartesiano.

1. Rectas: 𝑥 = 4 𝑥 = −3 𝑦 = 5 𝑦 = −2 Solución

𝑥 = 4 𝑥 = −3 𝑦 = 5 𝑦 = −2 Siempre que sea 𝑥 = a un número, la gráfica será vertical, pasando en este caso, por 4 en 𝑥.

Se agrega a la gráfica otra recta vertical ahora pasando por −3 en el eje 𝑥.

Cuando es 𝑦 = a un número, la recta es horizontal, en este caso, pasando por 5 en 𝑦.

Por último, se agrega otra gráfica horizontal pasando por −2 en el eje 𝑦.

2. Rectas: 𝑥 = 6 𝑥 = −4 𝑦 = 2 𝑦 = −4

1. Rectas: 𝑦 = 7 𝑦 = −3 𝑥 = −5 𝑥 = 7

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B. Dibuje las siguientes rectas en el plano y determine si son secantes, tangentes o exteriores a la circunferencia. 1. Rectas: 𝑦 = −4 𝑥 = 7 𝑦 = −10

Solución

2. La recta 𝑦 = 9 es _____________________

La recta 𝑥 = .4 es _____________________

La recta 𝑥 = 1 es _____________________

3. La recta 𝑦 = 8 es _____________________

La recta 𝑦 = 6 es _____________________

La recta 𝑥 = −3 es _____________________

4. La recta 𝑥 = 1 es _____________________

La recta 𝑥 = 4 es _____________________

La recta 𝑦 = 2 es _____________________

𝑦 = −4 𝑥 = 7 𝑦 = −10 Se ubica −4 en 𝑦 y se traza una recta horizontal. Note que toca en dos puntos a la circunferencia.

𝑦 = −4 es secante

Una vez ubicado 7 en 𝑥, se traza una recta vertical. En este caso, la recta solo toca un punto de la circunferencia.

𝑥 = 7 es tangente

Ahora se ubica 10 en 𝑦 y se traza una recta horizontal. En esta ocasión, la recta no interseca a la circunferencia.

𝑦 = −10 es exterior

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C. En cada caso, determine si las rectas dadas son secantes, tangentes o exteriores a la circunferencia. 1. Circunferencia: (𝑥 − 4)2 + (𝑦 + 5)2 = 49 𝑦 = −5, 𝑦 = −12, 𝑦 = 6

𝑥 = 11, 𝑥 = −8, 𝑥 = 0 Solución Primero se determina el centro de la circunferencia: (4, −5) y el radio 𝑟 = √49 = 7 El centro en 𝑥 es 4. Restar y sumar el radio a 4: [4 − 7 , 4 + 7] = [−3, 11]

Como 𝑥 = 11 está en el extremo del intervalo [−3, 11] entonces es tangente. Como 𝑥 = −8 está afuera del intervalo [−3, 11] entonces es exterior. Como 𝑥 = 0 está adentro del intervalo [−3, 11] entonces es secante.

El centro en 𝑦 es −5. Restar y sumar el radio a −5: [−5 − 7 , −5 + 7] = [−12, 2]

Como 𝑦 = −5 está adentro del intervalo [−12, 2] entonces es secante. Como 𝑦 = −12 está en el extremo del intervalo [−12, 2] entonces es tangente. Como 𝑦 = 6 está afuera del intervalo [−12, 2] entonces es exterior.

2. Circunferencia: (𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 1)2 = 64 Rectas: 𝑥 = 6 _____________________ 𝑦 = 2 _____________________ 𝑦 = 10 _____________________

3. Circunferencia: (𝑥 − 3)2 + 𝑦2 = 36 Rectas: 𝑦 = 0 _____________________ 𝑦 = 9 _____________________ 𝑥 = 5 _____________________

4. Circunferencia: (𝑥 − 7)2 + (𝑦 + 3)2 = 100 Rectas: 𝑦 = 10 _____________________ 𝑥 = 13 _____________________ 𝑦 = 17 _____________________

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