Probabilidad: Introduccin

CARRERA

: SERVICIO SOCIAL -PSICOPEDAGOGIA

ASOGNATURA: ESTADISTICA I

DOCENTE

: FERNANDO GAITERO AVALOS

Probabilidad: Introduccin

La probabilidad mide la frecuencia con la que aparece un resultado determinado cuando se realiza un experimento.

Ejemplo: tiramos un dado al aire y queremos saber cual es la probabilidad de que salga un 2, o que salga un nmero par, o que salga un nmero menor que 4.

El experimento tiene que ser aleatorio, es decir, que pueden presentarse diversos resultados, dentro de un conjunto posible de soluciones, y esto an realizando el experimento en las mismas condiciones. Por lo tanto, a priori no se conoce cual de los resultados se va a presentar:

Ejemplos: lanzamos una moneda al aire: el resultado puede ser cara o cruz, pero no sabemos de antemano cual de ellos va a salir.

En la Lotera de Navidad, el "Gordo" (en Espaa se llama "Gordo" al primer premio) puede ser cualquier nmero entre el 1 y el 100.000, pero no sabemos a priori cual va a ser (si lo supiramos no estaramos aqu escribiendo esta leccin).

Hay experimentos que no son aleatorios y por lo tanto no se les puede aplicar las reglas de la probabilidad.

Ejemplo: en lugar de tirar la moneda al aire, directamente seleccionamos la cara. Aqu no podemos hablar de probabilidades, sino que ha sido un resultado determinado por uno mismo.

Antes de calcular las probabilidades de un experimento aleatorio hay que definir una serie de conceptos:

Suceso elemental: hace referencia a cada una de las posibles soluciones que se pueden presentar.

Ejemplo: al lanzar una moneda al aire, los sucesos elementales son la cara y la cruz. Al lanzar un dado, los sucesos elementales son el 1, el 2, .., hasta el 6.

Suceso compuesto: es un subconjunto de sucesos elementales.

Ejemplo: lanzamos un dado y queremos que salga un nmero par. El suceso "numero par" es un suceso compuesto, integrado por 3 sucesos elementales: el 2, el 4 y el 6

O, por ejemplo, jugamos a la ruleta y queremos que salga "menor o igual que 18". Este es un suceso compuesto formado por 18 sucesos elementales (todos los nmeros que van del 1 al 18).

Al conjunto de todos los posibles sucesos elementales lo denominamos espacio muestral. Cada experimento aleatorio tiene definido su espacio muestral (es decir, un conjunto con todas las soluciones posibles).

Ejemplo: si tiramos una moneda al are una sola vez, el espacio muestral ser cara o cruz.

Si el experimento consiste en lanzar una moneda al aire dos veces, entonces el espacio muestral estara formado por (cara-cara), (cara-cruz), (cruz-cara) y (cruz-cruz).

Probabilidad: Relacin entre sucesos

Entre los sucesos compuestos se pueden establecer distintas relaciones:

a) Un suceso puede estar contenido en otro: las posibles soluciones del primer suceso tambin lo son del segundo, pero este segundo suceso tiene adems otras soluciones suyas propias.

Ejemplo: lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: a) que salga el nmero 6, y b) que salga un nmero par. Vemos que el suceso a) est contenido en el suceso b).

Siempre que se da el suceso a) se da el suceso b), pero no al contrario. Por ejemplo, si el resultado fuera el 2, se cumplira el suceso b), pero no el el a).

b) Dos sucesos pueden ser iguales: esto ocurre cuando siempre que se cumple uno de ellos se cumple obligatoriamente el otro y viceversa.

Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga nmero par, y b) que salga mltiplo de 2. Vemos que las soluciones coinciden en ambos casos.

c) Unin de dos o ms sucesos: la unin ser otro suceso formado por todos los elementos de los sucesos que se unen.

Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga nmero par y b) que el resultado sea mayor que 3. El suceso unin estara formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6

d) Interseccin de sucesos: es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de dos o ms sucesos que se intersectan.

Ejemplo: lanzamos un dado al aire, y analizamos dos sucesos: a) que salga nmero par, y b) que sea mayor que 4. La interseccin de estos dos sucesos tiene un slo elemento, el nmero 6 (es el nico resultado comn a ambos sucesos: es mayor que 4 y es nmero par).

e) Sucesos incompatibles: son aquellos que no se pueden dar al mismo tiempo ya que no tienen elementos comunes (su intereseccin es el conjunto vacio).

Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un nmero menor que 3, y b) que salga el nmero 6. Es evidente que ambos no se pueden dar al mismo tiempo.

f) Sucesos complementarios: son aquellos que si no se da uno, obligatoriamente se tiene que dar el otro.

Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un nmero par, y b) que salga un nmero impar. Vemos que si no se da el primero se tiene que dar el segundo (y viceversa).

Clculo de probabilidades

ProbabilidadComo hemos comentado anteriormente, la probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se d un determinado resultado (suceso) cuando se realiza un experimento aleatorio.

La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento, entre 0% y 100%):

El valor cero corresponde al suceso imposible: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga el nmero 7 es cero (al menos, si es un dado certificado por la OMD, "Organizacin Mundial de Dados").

El valor uno corresponde al suceso seguro: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier nmero del 1 al 6 es igual a uno (100%).

El resto de sucesos tendr probabilidades entre cero y uno: que ser tanto mayor cuanto ms probable sea que dicho suceso tenga lugar.

Cmo se mide la probabilidad?Uno de los mtodos ms utilizados es aplicando la Regla de Laplace: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles.

P(A) = Casos favorables / casos posiblesVeamos algunos ejemplos:

a) Probabilidad de que al lanzar un dado salga el nmero 2: el caso favorable es tan slo uno (que salga el dos), mientras que los casos posibles son seis (puede salir cualquier nmero del uno al seis). Por lo tanto:

P(A) = 1 / 6 = 0,166 (o lo que es lo mismo, 16,6%)

b) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un nmero par: en este caso los casos favorables son tres (que salga el dos, el cuatro o el seis), mientras que los casos posibles siguen siendo seis. Por lo tanto:

P(A) = 3 / 6 = 0,50 (o lo que es lo mismo, 50%)

c) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un nmero menor que 5: en este caso tenemos cuatro casos favorables (que salga el uno, el dos, el tres o el cuatro), frente a los seis casos posibles. Por lo tanto:

P(A) = 4 / 6 = 0,666 (o lo que es lo mismo, 66,6%)

d) Probabilidad de que nos toque el "Gordo" de Navidad: tan slo un caso favorable, el nmero que jugamos (qu triste...), frente a 100.000 casos posibles. Por lo tanto:

P(A) = 1 / 100.000 = 0,00001 (o lo que es lo mismo, 0,001%)

Merece la pena ...... Por cierto, tiene la misma probabilidad el nmero 45.264, que el nmero 00001, pero cul de los dos compraras?

Para poder aplicar la Regla de Laplace el experimento aleatorio tiene que cumplir dos requisitos: a) El nmero de resultados posibles (sucesos) tiene que ser finito. Si hubiera infinitos resultados, al aplicar la regla "casos favorables / casos posibles" el cociente siempre sera cero.

b) Todos los sucesos tienen que tener la misma probabilidad. Si al lanzar un dado, algunas caras tuvieran mayor probabilidad de salir que otras, no podramos aplicar esta regla.

A la regla de Laplace tambin se le denomina "probabilidad a priori", ya que para aplicarla hay que conocer antes de realizar el experimento cuales son los posibles resultados y saber que todos tienen las mismas probabilidades.

Y si el experimento aleatorio no cumple los dos requisitos indicados, qu hacemos?, ponemos una denuncia?No, no va a ser necesario denunciar a nadie, ya que en este caso podemos acudir a otro modelo de clculo de probabilidades que se basa en la experiencia (modelo frecuentista):

Cuando se realiza un experimento aleatorio un nmero muy elevado de veces, las probabilidades de los diversos posibles sucesos empiezan a converger hacia valores determinados, que son sus respectivas probabilidades.

Ejemplo: si lanzo una vez una moneda al aire y sale "cara", quiere decir que el suceso "cara" ha aparecido el 100% de las veces y el suceso "cruz" el 0%.

Si lanzo diez veces la moneda al aire, es posible que el suceso "cara" salga 7 veces y el suceso "cruz" las 3 restantes. En este caso, la probabilidad del suceso "cara" ya no sera del 100%, sino que se habra reducido al 70%.

Si repito este experimento un nmero elevado de veces, lo normal es que las probabilidades de los sucesos "cara" y "cruz" se vayan aproximando al 50% cada una. Este 50% ser la probabilidad de estos sucesos segn el modelo frecuentista.

En este modelo ya no ser necesario que el nmero de soluciones sea finito, ni que todos los sucesos tengan la misma probabilidad.

Ejemplo: si la moneda que utilizamos en el ejemplo anterior fuera defectuosa (o estuviera trucada), es posible que al repetir dicho experimento un nmero elevado de veces, la "cara" saliera con una frecuencia, por ejemplo, del 65% y la "cruz" del 35%. Estos valores seran las probabilidades de estos dos sucesos segn el modelo frecuentista.

A esta definicin de la probabilidad se le denomina probabilidad a posteriori, ya que tan slo repitiendo un experimento un nmero elevado de veces podremos saber cual es la probabilidad de cada suceso.

Probabilidad de sucesos

Probabilidad de sucesosAl definir los sucesos hablamos de las diferentes relaciones que pueden guardar dos sucesos entre s, as como de las posibles relaciones que se pueden establecer entre los mismos. Vamos a ver ahora cmo se refleja esto en el clculo de probabilidades.

a) Un suceso puede estar contenido en otro: entonces, la probabilidad del primer suceso ser menor que la del suceso que lo contiene.

Ejemplo: lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: a) que salga el nmero 6, y b) que salga un nmero par. Dijimos que el suceso a) est contenido en el suceso b).

P(A) = 1/6 = 0,166

P(B) = 3 / 6 = 0,50

Por lo tanto, podemos ver que la probabilidad del suceso contenido, suceso a), es menor que la probabilidad del suceso que lo contiene, suceso b).

b) Dos sucesos pueden ser iguales: en este caso, las probabilidades de ambos sucesos son las mismas.

Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga nmero par, y b) que salga mltiplo de 2. Las soluciones coinciden en ambos casos.

P(A) = 3 / 6 = 0,50

P(B) = 3 / 6 = 0,50

c) Interseccin de sucesos: es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de los dos o ms sucesos que se intersectan. La probabilidad ser igual a la probabilidad de los elementos comunes.

Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga nmero par, y b) que sea mayor que 3. La interseccin de estos dos sucesos tiene dos elementos: el 4 y el 6.

Su probabilidad ser por tanto:

P(A B) = 2 / 6 = 0,33

d) Unin de dos o ms sucesos: la probabilidad de la unin de dos sucesos es igual a la suma de las probabilidades individuales de los dos sucesos que se unen, menos la probabilidad del suceso interseccin

Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga nmero par, y b) que el resultado sea mayor que 3. El suceso unin estara formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6.

P(A) = 3 / 6 = 0,50

P(B) = 3 / 6 = 0,50

P (A B) = 2 / 6 = 0,33

Por lo tanto,

P (A u B) = (0,50 + 0,50) - 0,33 = 0,666

e) Sucesos incompatibles: la probabilidad de la unin de dos sucesos incompatibles ser igual a la suma de las probabilidades de cada uno de los sucesos (ya que su interseccin es el conjunto vacio y por lo tanto no hay que restarle nada).

Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un nmero menor que 3, y b) que salga el nmero 6.

La probabilidad del suceso unin de estos dos sucesos ser igual a:

P(A) = 2 / 6 = 0,333

P(B) = 1 / 6 = 0,166

Por lo tanto,

P(A u B) = 0,33 + 0,166 = 0,50

f) Sucesos complementarios: la probabilidad de un suceso complementario a un suceso (A) es igual a 1 - P(A)

Ejemplo: lanzamos un dado al aire. el suceso (A) es que salga un nmero par, luego su complementario, suceso (B), es que salga un nmero impar.

La probabilidad del suceso (A) es igual a :

P(A) = 3 / 6 = 0,50

Luego, la probabilidad del suceso (B) es igual a:

P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0,50 = 0,50

Se puede comprobar aplicando la regla de "casos favorables / casos posibles":

P(B) = 3 / 6 = 0,50

g) Unin de sucesos complementarios: la probabilidad de la unin de dos sucesos complementarios es igual a 1.

Ejemplo: seguimos con el ejemplo anterior: a) que salga un nmero par, y b) que salga un nmero impar. La probabilidad del suceso unin de estos dos sucesos ser igual a:

P(A) = 3 / 6 = 0,50

P(B) = 3 / 6 = 0,50

Por lo tanto,

P(A U B) = 0,50 + 0,50 = 1

Probabilidad condicionada

Las probabilidades condicionadas se calculan una vez que se ha incorporado informacin adicional a la situacin de partida:Ejemplo: se tira un dado y sabemos que la probabilidad de que salga un 2 es 1/6 (probabilidad a priori). Si incorporamos nueva informacin (por ejemplo, alguien nos dice que el resultado ha sido un nmero par) entonces la probabilidad de que el resultado sea el 2 ya no es 1/6.Las probabilidades condicionadas se calculan aplicando la siguiente frmula:

Donde:P (B/A) es la probabilidad de que se de el suceso B condicionada a que se haya dado el suceso A.P (B A) es la probabilidad del suceso simultneo de A y de BP (A) es la probabilidad a priori del suceso AEn el ejemplo que hemos visto:P (B/A) es la probabilidad de que salga el nmero 2 (suceso B) condicionada a que haya salido un nmero par (suceso A).P (B A) es la probabilidad de que salga el dos y nmero par.P (A) es la probabilidad a priori de que salga un nmero par.Por lo tanto:P (B A) = 1/6P (A) = 1/2P (B/A) = (1/6) / (1/2) = 1/3Luego, la probabilidad de que salga el nmero 2, si ya sabemos que ha salido un nmero par, es de 1/3 (mayor que su probabilidad a priori de 1/6).2 ejemplo:En un estudio sanitario se ha llegado a la conclusin de que la probabilidad de que una persona sufra problemas coronarios (suceso B) es el 0,10 (probabilidad a priori).Adems, la probabilidad de que una persona sufra problemas de obesidad (suceso A) es el 0,25 y la probabilidad de que una persona sufra a la vez problemas de obesidad y coronarios (suceso interseccin de A y B) es del 0,05.Calcular la probabilidad de que una persona sufra problemas coronarios si est obesa (probabilidad condicionada P(B/A)).P (B ( A) = 0,05P (A) = 0,25P (B/A) = 0,05 / 0,25 = 0,20Por lo tanto, la probabilidad condicionada es superior a la probabilidad a priori. No siempre esto es as, a veces la probabilidad condicionada es igual a la probabilidad a priori o menor.Por ejemplo: probabilidad de que al tirar un dado salga el nmero 2, condicionada a que haya salido un nmero impar.La probabilidad condicionada es en este caso cero, frente a una probabilidad a priori de 1/6.Probabilidad compuesta

La probabilidad compuesta (o regla de multiplicacin de probabilidades) se deriva de la probabilidad condicionada:La probabilidad de que se den simultneamente dos sucesos (suceso interseccin de A y B) es igual a la probabilidad a priori del suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso B condicionada al cumplimiento del suceso A.La frmula para calcular esta probabilidad compuesta es:

Ejemplo 1 : Estudiamos el suceso A (porcentaje de varones mayores de 40 aos casados) y el suceso B (varones mayores de 40 aos con ms de 2 hijos) y obtenemos la siguiente informacin:Un 35% de los varones mayores de 40 aos estn casados. De los varones mayores de 40 aos y casados, un 30% tienen ms de 2 hijos (suceso B condicionado al suceso A).Calcular la probabilidad de que un varn mayor de 40 aos est casado y tenga ms de 2 hijos (suceso interseccin de A y B).Por lo tanto:P (A) = 0,35P (B/A) = 0,30P (A ( B) = 0,35 * 0,30 = 0,105Es decir, un 10,5% de los varones mayores de 40 aos estn casados y tienen ms de 2 hijos.2 ejemplo: Estudiamos el suceso A (alumnos que hablan ingls) y el suceso B (alumnos que hablan alemn) y obtenemos la siguiente informacin:Un 50% de los alumnos hablan ingls. De los alumnos que hablan ingls, un 20% hablan tambin alemn (suceso B condicionado al suceso A).Calcular la probabilidad de que un alumno hable ingls y alemn (suceso interseccin de A y B).Por lo tanto:P (A) = 0,50P (B/A) = 0,20P (A ( B) = 0,50 * 0,20 = 0,10Es decir, un 10% de los alumnos hablan ingls y alemn.Teorema de la probabilidad total

El Teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de probabilidades condicionadas:Ejemplo: supongamos que si llueve la probabilidad de que ocurra un accidentes es x% y si hace buen tiempo dicha probabilidad es y%. Este teorema nos permite deducir cul es la probabilidad de que ocurra un accidente si conocemos la probabilidad de que llueva y la probabilidad de que haga buen tiempo.La frmula para calcular esta probabilidad es:

Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestro ejemplo, que ocurra un accidente) es igual a la suma de multiplicar cada una de las probabilidades condicionadas de este suceso con los diferentes sucesos A (probabilidad de un accidente cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por la probabilidad de cada suceso A.Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito:Los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es decir, que contemplen todas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el 100%).Ejemplo: al tirar una moneda, el suceso "salir cara" y el suceso "salir cruz" forman un sistema completo, no hay ms alternativas: la suma de sus probabilidades es el 100%Ejemplo: al tirar un dado, que salga el 1, el 2, el 3, o el 4 no forman un sistema completo, ya que no contempla todas las opciones (podra salir el 5 o el 6). En este caso no se podra aplicar el teorema de la probabilidad total.Ejercicio 1: En un saquito hay papeletas de tres colores, con las siguientes probabilidades de ser elegidas:a) Amarilla: probabilidad del 50%.b) Verde: probabilidad del 30%c) Roja: probabilidad del 20%.Segn el color de la papeleta elegida, podrs participar en diferentes sorteos. As, si la papeleta elegida es:a) Amarilla: participas en un sorteo con una probabilidad de ganar del 40%.b) Verde: participas en otro sorteo con una probabilidad de ganar del 60%c) Roja: participas en un tercer sorteo con una probabilidad de ganar del 80%.Con esta informacin, qu probabilidad tienes de ganar el sorteo en el que participes?:

1.- Las tres papeletas forman un sistema completo: sus probabilidades suman 100%2.- Aplicamos la frmula:

Luego, P (B) = (0,50 * 0,40) + (0,30 * 0,60) + (0,20 * 0,80) = 0,54Por tanto, la probabilidad de que ganes el sorteo es del 54%.

Ejercicio 2: Van a cambiar a tu jefe y se barajan diversos candidatos:a) Carlos, con una probabilidad del 60%b) Juan, con una probabilidad del 30%c) Luis, con una probabilidad del 10%En funcin de quien sea tu prximo jefe, la probabilidad de que te suban el sueldo es la siguiente:a) Si sale Carlos: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 5%.b) Si sale Juan: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 20%.c) Si sale Luis: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 60%.En definitiva, cual es la probabilidad de que te suban el sueldo?:

1.- Los tres candidatos forman un sistema completo2.- Aplicamos la frmula: P (B) = (0,60 * 0,05) + (0,30 * 0,20) + (0,10 * 0,60) = 0,15Por tanto, la probabilidad de que te suban el sueldo es del 15%. Lo llevas claro amigo...Teorema de Bayes

El Teorema de Bayes viene a seguir el proceso inverso al que hemos visto en el Teorema de la probabilidad total:Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso B (que ocurra un accidente).Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (estaba lloviendo o haca buen tiempo?).La frmula del Teorema de Bayes es:

Tratar de explicar estar frmula con palabras es un galimatas, as que vamos a intentar explicarla con un ejemplo. De todos modos, antes de entrar en el ejercicio, recordar que este teorema tambin exige que el suceso A forme un sistema completo.Ejercicio 1: El parte meteorolgico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana:a) Que llueva: probabilidad del 50%.b) Que nieve: probabilidad del 30%c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.Segn estos posibles estados meteorolgicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente:a) Si llueve: probabilidad de accidente del 10%.b) Si nieva: probabilidad de accidente del 20%c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estabamos en la ciudad no sabemos que tiempo hizo (nev, llovo o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades:

Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 60%, nieve con el 30% y niebla con el 10%).Una vez que incorporamos la informacin de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se denominan "probabilidades a posteriori".Vamos a aplicar la frmula:

a) Probabilidad de que estuviera lloviendo:

La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el da del accidente (probabilidad a posteriori) es del 71,4%.b) Probabilidad de que estuviera nevando:

La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%.c) Probabilidad de que hubiera niebla:

La probabilidad de que hubiera niebla es del 7,1%.Independencia de sucesos

Dos sucesos son independientes entre s, si la ocurrencia de uno de ellos no afecta para nada a la ocurrencia del otro:Ejemplo: el suceso estatura de los alumnos de una clase y el color del pelo son independientes: el que un alumno sea ms o menos alto no va a influir en el color de su cabello, ni viceversa.Para que dos sucesos sean independientes tienen que verificar al menos una de las siguientes condiciones:P (B/A) = P (B) es decir, que la probabilidad de que se de el suceso B, condicionada a que previamente se haya dado el suceso A, es exactamente igual a la probabilidad de B.Ejemplo: la probabilidad de que al tirar una moneda salga cara (suceso B), condicionada a que haga buen tiempo (suceso A), es igual a la propia probabilidad del suceso B.P (A/B) = P (A) es decir, que la probabilidad de que se de el suceso A, condicionada a que previamente se haya dado el suceso B, es exactamente igual a la probabilidad de A.Ejemplo: la probabilidad de que haga buen tiempo (suceso A), condicionada a que al tirar una moneda salga cara (suceso B), es igual a la propia probabilidad del suceso A.P (A ( B) = P (A) * P (B) es decir, que la probabilidad de que se de el suceso conjunto A y B es exactamente igual a la probabilidad del suceso A multiplicada por la probabilidsad del suceso B.Ejemplo: la probabilidad de que haga buen tiempo (suceso A) y salga cara al tirar una moneda (suceso B), es igual a la probabilidad del suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso BSi el suceso A es independiente del suceso B, entonces el suceso B tambin es independiente del suceso A.Ejemplo 1: analicemos dos sucesos:Suceso A: la probabilidad de que haga buen tiempo es del 0,4Suceso B: la probabilidad de tener un accidente es del 0,1Suceso interseccin: la probabilidad de que haga buen tiempo y tener un accidente es del 0,08Veamos si se cumple alguna de las condiciones sealadas:P (B/A) = P (A ( B) / P (A) = 0,08 / 0,4 = 0,2 (que no es igual a P (B))P (A/B) = P (A ( B) / P (B) = 0,08 / 0,6 = 0,133 (que no es igual a P (A))P (A ( B) = 0,08 (que no es igual a P (A) multiplicado por P (B))Por lo tanto, no se cumple ninguna de las tres condiciones sealadas por lo que estos dos sucesos no son independientes, sino que existe algn grado de dependencia entre ellos.Ejemplo 2: analicemos dos sucesos:Suceso A: la probabilidad de que haga buen tiempo es del 0,4Suceso B: la probabilidad de salir cara al lanzar una moneda es del 0,5Suceso interseccin: la probabilidad de que haga buen tiempo y que salga cara es 0,2Veamos si se cumple alguna de las condiciones sealadas:P (B/A) = P (A ( B) / P (A) = 0,2 / 0,4 = 0,5 (igual que P (B))P (A/B) = P (A ( B) / P (B) = 0,2 / 0,6 = 0,4 (igual que P (A))P (A B) = 0,2 (igual a P (A) multiplicado por P (B))Por lo tanto, estos dos sucesos s son independientes.Ejercicios y problemas de aplicacin

1. Hallar la probabilidad de sacar una suma de 8 puntos al lanzar un dado.

2. Hallar la probabilidad de sacar por suma o bien 4, o bien 11 al lanzar dos dados.

3. Se escriben a azar las cinco vocales. Cul es la probabilidad de que la e aparezca la primera y la o la ltima.

4. Cul es la probabilidad de sacar dos bolas negras de una urna que contiene 15 bolas blancas y 12 negras, sin reintegrar la bola extrada?

5. Una urna contiene 12 bolas blancas y 8 negras. Si se sacan dos bolas al azar. Cul es la probabilidad de que sean del mismo color?

6. Una urna contiene 12 bolas blancas y 8 negras. Cul es la probabilidad de sacar dos bolas negras reintegrando la bola extrada?

7. De una baraja espaola de 40 cartas Cul es la probabilidad de sacar un caballo seguido de un tres, reintegrando l primera carta? Y sin reintegrarla?

8. Si la probabilidad de que ocurra un suceso es 1/3. Cul es la probabilidad de que se realice efectuando 4 pruebas.

9. Se sacan dos cartas de una baraja de 40 Cul es la probabilidad de que sean un caballo y un tres, reintegrando? Y sin reintegrar?

10. Una urna contiene 8 bolas blancas, 5 negras y 2 rojas. Se extraen tres bolas al azar y se desea saber:

a) La probabilidad de que las tres bolas sean blancas.

b) La probabilidad de que dos sean blancas y una negra.

11. Se extraen 3 cartas de una baraja de 40:

a) Cul es la probabilidad de que sean tres sotas.

b) Y de que sean un as, un dos y un tres?

c) Y de que salga un rey, seguido de un cinco y ste de un siete?

12. Una urna contiene dos bolas blancas y tres negras. Otra contiene seis blancas y cuatro negras. si extraemos una bola de cada urna. Cul es la probabilidad de que sean las dos negras?

13. Al lanzar dos veces un dado Cul es la probabilidad de que la suma de puntos sea divisible por tres?

14. Con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5 se escriben todos los nmeros posibles de tres cifras, sin repetir cifras en cada nmero. si se seala un nmero al azar:

a) Cul es la probabilidad de que sea mltiplo de 4?

b) Y de que sea mltiplo de 3?

15. Una caja contiene 8 bolas rojas, 4 azules y 6 verdes. Se extraen 3 bolas al azar y se desea saber:

a) La probabilidad de que las tres sean rojas.

b) La probabilidad de que dos sean rojas y una verde.

c) La probabilidad de que dos sean azules y la otra de otro color.

d) La probabilidad de que todas sean de distinto color.

e) La probabilidad de que todas sean del mismo color.

16. Se lanza un dado 6 veces. Cul es la probabilidad de que salga algn 1 en los 6 lanzamientos?

17. Una caja contiene 2 bolas blancas, 3 negras y 4 rojas. Otra contiene 3 blancas, 5 negras y 4 rojas. Se toma una bola al azar de cada caja. Qu probabilidad hay de que sean del mismo color?

18. En una urna hay 50 bolas, aparentemente iguales, numeradas del 1 al 50. Qu probabilidad hay de sacar, una a una, las 50 bolas en el orden natural?

19. La probabilidad de acertar en un blanco de un disparo se estima en 0,2. La probabilidad de acertar en dos disparos ser p1=0,04; p2=0,36; p3=0,12. Determinar qu respuesta el la correcta.

20. Cul es la probabilidad de torpedear un barco, si slo se pueden lanzar tres torpedos y la probabilidad de impacto de cada uno se estima en un 30 %?

21. Se considera el experimento aleatorio lanzar dos veces un dado. Cul es la probabilidad de obtener nmero par en el segundo lanzamiento condicionado a obtener impar en el primero? Son dependientes o independientes estos sucesos? Por qu?

22. A un congreso asisten 80 congresistas. De ellos 70 hablan ingls y 50 francs. Se eligen dos congresistas al azar y se desea saber:

a) Cul la probabilidad de que se entiendan sin intrprete?

b) Cul es la probabilidad de que se entiendan slo en francs?

c) Cul es la probabilidad de que se entiendan en un solo idioma?

d) Cul es la probabilidad de que se entiendan en los dos idiomas?

23. En una bolsa hay 8 bolas rojas, 10 negras y 6 blancas. Tres nios sacan, sucesivamente, dos bolas cada uno, sin reintegrar ninguna. Hallar la probabilidad de que el primero saque las dos rojas, el segundo las dos negras y el tercero las dos blancas?

24. Se lanza un dado n veces Cul es la probabilidad de sacar al menos un 6 en los n lanzamientos?25. Se realiza el experimento aleatorio de lanzar sucesivamente cuatro monedas al aire y se pide:

a) La probabilidad de obtener a lo sumo tres cruces.

b) La probabilidad de obtener dos caras.

26. Una pieza de artillera dispone de 7 obuses para alcanzar un objetivo. en cada disparo la probabilidad de alcanzarlo es 1/7. Cul es la probabilidad de alcanzar el objetivo en los 7 disparos?

27. La probabilidad de que un hombre viva ms de 25 aos es de 3/5, la de una mujer es de 2/3. Se pide:

a) La probabilidad de que ambos vivan ms de 25 aos.

b) La probabilidad de que slo viva ms de 25 aos el hombre.

c) La probabilidad de que slo viva ms de 25 aos la mujer.

d) La probabilidad de que viva ms de 25 aos, al menos, uno de los dos.

28. Si de una baraja de 40 cartas se eligen 4 al azar, determinar:

a) La probabilidad de elegir dos reyes.

b) La probabilidad de que tres de las cartas sean del mismo palo.

c) La probabilidad de que todos los nmeros sean menores de siete.

29. Se lanzan tres monedas sucesivamente y se consideran los siguientes sucesos:

A= obtener cruz en el primer lanzamiento.

B= obtener alguna cara.

C= obtener dos cruces.

Se desea saber:

a) Si A y B son incompatibles.

b) Si A y B son independientes.

c) Si A y C son incompatibles.

d) Si A y C son independientes

30. De las 100 personas que asisten a un congreso 40 hablan francs, 40 ingls, 51 castellano, 11 francs e ingls, 12 francs y castellano y 13 ingls y castellano. Se eligen al azar dos asistentes y se desea saber:

a) Cul es la probabilidad de que ninguno hable francs?

b) Cul es la probabilidad de que hablen castellano?

c) Cul es la probabilidad de que sen entiendan slo en castellano?

d) Cul es la probabilidad de que slo hablen un idioma?

e) Cul es la probabilidad de que hablen los tres idiomas?

31. Un dado est cargado de modo que al lanzarlo, la probabilidad de obtener un nmero es proporcional a dicho nmero. Hallar la probabilidad de que, al lanzar el dado, se obtenga un nmero par.

32. En una encuesta realizada entre 24 alumnos resulta que 18 fuman ducados, 12 celtas y 8 de las dos clases. Se eligen tres alumnos al azar y se desea saber:

a) Cul es la probabilidad de que los tres fumen?

b) Cul es la probabilidad de que dos, exactamente dos, fumen ducados.

33. Si de 800 piezas fabricadas por una mquina salieron 25 defectuosas y se eligen 5 de aqullas al azar. Cul es la probabilidad de que haya alguna defectuosa entre las cinco elegidas?

34. Se tiene tres urnas de igual aspecto. En la primera hay 3 bolas blancas y 4 negras; en la segunda hay 5 negras y en la tercera hay 2 blancas y 3 negras. Se desea saber:

a) Si se extrae una bola de una urna, elegida al azar, cul es la probabilidad de que la bola extrada sea negra.

b) Se ha extrado una bola negra de una de las urnas. Cul es la probabilidad de que haya sido extrada de la 2 urna?

35. En un hospital especializado en enfermedades de trax ingresan un 50 % de enfermos de bronquitis, un 30 % de neumona y un 20 % con gripe. La probabilidad de curacin completa en cada una de dichas enfermedades es, respectivamente, 0,7; 0,8 y 0,9. Un enfermo internado en el hospital ha sido dado de alta completamente curado. Hallar la probabilidad de que el enfermo dado de alta hubiera ingresado con bronquitis.

36. Hay una epidemia de clera. Un sntoma muy importante es la diarrea, pero ese sntoma tambin se presenta en personas con intoxicacin, y, an, en personas que no tienen nada serio. La probabilidad de tener diarrea teniendo clera, intoxicacin y no teniendo nada serio es de 0,99; 0,5 y 0,004 respectivamente. Por otra parte, se sabe que el 2% de la poblacin tiene clera, el 0,5 % intoxicacin y el resto (97,5 %), nada serio. Se desea saber:

a) Elegido un individuo de la poblacin Qu probabilidad hay de que tenga diarrea?

b) Se sabe que determinado individuo tiene diarrea Cul es la probabilidad de tenga clera?

37. La probabilidad de que un artculo provenga de una fbrica A1 es 0,7, y la probabilidad de que provenga de otra A2 es 0,3. Se sabe que la fbrica A1 produce un 4 por mil de artculos defectuosos y la A2 un 8 por mil.

a) Se observa un artculo y se ve que est defectuoso. Cul es la probabilidad de que provenga de la fbrica A2?

b) Se pide un artculo a una de las dos fbricas, elegida al azar. Cul es la probabilidad de que est defectuoso?

c) Se piden 5 artculos a la fbrica A1 Cul es la probabilidad de que haya alguno defectuoso?

38. En una poblacin animal hay epidemia. El 10 % de los machos y el 18 % de las hembras estn enfermos. Se sabe adems que hay doble nmero de hembras que de machos y se pide:

a) Elegido al azar un individuo de esa poblacin Cul es la probabilidad de que est enfermo?

b) Un individuo de esa poblacin se sabe que est enfermo Qu probabilidad hay de que el citado individuo sea macho?

39. En una clase mixta hay 30 alumnas, 15 estudiantes que repiten curso, de los que 10 son alumnos, y hay 15 alumnos que no repiten curso. Se pide:

a) Cuntos estudiantes hay en la clase?

b) Elegido al azar un estudiante Cul es la probabilidad de que sea alumno?

c) Elegido al azar un estudiante Cul es la probabilidad de que sea alumna y repita el curso?

d) Elegidos al azar dos estudiantes Cul es la probabilidad de que ninguno repita curso?

40. La probabilidad de que un alumno apruebe Matemticas es 0,6, la de que apruebe Lengua es 0,5 y la de que apruebe las dos es 0,2. Hallar:

a) La probabilidad de que apruebe al menos una de las dos asignaturas.

b) La probabilidad de que no apruebe ninguna.

c) La probabilidad de que se apruebe Matemticas y no Lengua.

41. En una urna hay cuatro bolas numeradas con los dgitos 1, 3, 4 y 6. Se extraen dos bolas a la vez:

a) Escribe el Espacio muestral

b) Cul es la Probabilidad de que las dos sean impares?

c) Cul es la Probabilidad de que la suma sea Par?

42. En una urna hay dos bolas blancas y una negra. Se extrae una bola, se mira el color y se devuelve a la urna. Se extrae, de nuevo, otra bola:

a) Escribe el Espacio muestral

b) Cul es la Probabilidad de que las dos sean Blancas?

c) Cul es la Probabilidad de que al menos una sea blanca?

43. En un grupo de 4 de Educacin Secundaria Obligatoria hay 27 estudiantes, 10 son chicas. Sabemos que 7 chicos tienen suspensas las Matemticas y hay un total de 17 chicos y chicas que las han aprobado.

a) Calcula la Probabilidad de que al elegir al azar un estudiante sea una chica que ha aprobado Matemticas.

b) Calcula la Probabilidad de que al elegir al azar un estudiante sea un chico con las Matemticas suspensas.

c) c)Calcula la Probabilidad de que al elegir al azar un estudiante con las Matemticas suspensas sea una chica.

44. De una baraja espaola (40 cartas) se extrae una carta. Si sale un Oro o una Copa se lanzan dos monedas, si sale una espada se lanza una moneda y si sale bastos no se lanza ninguna.

a) Cul es la Probabilidad de que salga alguna cara?

b) Cul es la Probabilidad de que salga un Oro y adems no salga ninguna cara?

c) Cul es la Probabilidad de que salgan dos caras?

45. Se lanza un dado. Si sale un nmero par se lanzan dos monedas, si sale impar se lanza una moneda.

a) Cul es la Probabilidad de que salga alguna cara?

b) Cul es la Probabilidad de que salga un nmero impar y adems no salga ninguna cara?

c) Cul es la Probabilidad de que salgan tres caras?

46. En un invernadero hay flores de dos especies (tulipanes y rosas) y de dos colores (rojos y blancos). Se sabe que hay un 60 % de tulipanes, de los cuales la mitad son rojos, y un 40 % de rosas, de las cuales una cuarta parte son blancas.

a) Calcular la probabilidad de que al escoger al azar una flor sea un tulipn blanco.

b) Calcular la probabilidad de que al escoger al azar un tulipn este sea blanco.

c) Calcular la probabilidad de que al escoger al azar una flor blanca sea un tulipn.

d) Calcular la probabilidad de que al escoger al azar una flor sea blanca.

47. En una urna (A) hay tres bolas blancas y dos negras y en otra urna (C) hay tres bolas negras y dos blancas. Se saca una carta de una baraja espaola de cuarenta cartas y si sale una figura se extrae una bola de la urna A, si no sale figura se extrae una bola de la urna C.

a) Calcular la Probabilidad de sacar una bola blanca.

b) Son independientes los sucesos: B = {sacar una bola blanca} y A = {sacar una figura}?

48. Tenemos dos urnas A y B. La urna A contiene 2 bolas negras, 3 bolas rojas y 1 bola verde. La urna B contiene 3 bolas negras, 3 bolas rojas y 2 bolas verdes. Lanzamos un dado al aire y si sale un nmero menor que 3 sacamos una bola de la urna A y si sale 3, 4, 5 6 sacamos una bola de la urna B.

a) Cul es la probabilidad de que la bola extrada sea verde?

b) Sabiendo que ha salido la urna A Cul es la probabilidad de que la bola extrada sea verde?

c) Cul es la probabilidad de que salga la urna A y la bola sea verde?

d) Sabiendo que la bola obtenida es verde Cul es la probabilidad de que sea de la urna A?

49. Sabemos que en dos pueblos (que denominaremos A y B) hay la siguiente distribucin de personas segn sexo:

En el pueblo A hay 180 mujeres y 120 hombres.

En el pueblo B hay 90 mujeres y 110 hombres.

Para hacer una estadstica, se elige uno de los dos pueblos atendiendo a su poblacin (se sabe que P(A) = 3/5 y que P(B) = 2/5 ) y se escoge una persona que resulta que es una mujer. Calcular la Probabilidad de que sea del pueblo B.

50. Tenemos dos urnas A y B. La urna A contiene 2 bolas negras, 5 bolas rojas y 1 bola blanca. La urna B contiene 3 bolas negras, 3 bolas rojas y 2 bolas blancas. Lanzamos un dado al aire y si sale un nmero menor que 5 sacamos una bola de la urna A y si sale 5 6 sacamos una bola de la urna B.

a) Cul es la probabilidad de que la bola extrada sea blanca?

b) Sabiendo que la bola obtenida es blanca Cul es la probabilidad de que sea de la urna A?

51. Se toman cuatro cartas diferentes de Una baraja, dos cincos, un seis y un siete. Las cartas se ponen boca abajo sobre una mesa y se mezclan al azar. Determnese la probabilidad de que al darles la vuelta, todas las cartas estn ordenadas en orden creciente, si los dos cincos son indistinguibles.

52. De una urna con cinco bolas, dos blancas y tres negras, se extraen dos bolas sin reemplazamiento. Calclese la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos:

A = Las dos bolas extradas son del mismo color.

B = Se extrae al menos una bola blanca.

53. Tras un estudio realizado sobre los taxistas de una ciudad espaola, se ha observado que e1 70% tiene ms de 40 aos Y de stos el 60% es propietario del vehculo que conduce. Tambin se ha averiguado que el porcentaje de taxistas que no superando los 40 aos, es propietario del vehculo que conduce se reduce al 30%. Se pide: La probabilidad de que un taxista, elegido al azar, sea propietario del vehculo que conduce. Se elige un taxista al azar, y se comprueba que es propietario del vehculo que conduce cul es la probabilidad de que tenga ms de 40 aos?

54. Sean A y B sucesos asociados a un experimento aleatorio. Sabiendo que P(A) = l/3, P(B) = 1/5 y P(A U B) =7/15, hallar:

La probabilidad de que se verifiquen A y B.

La probabilidad de que se verifique A y no B.

La probabilidad de que no se verifiquen ni A ni B.

La probabilidad de que no verifique A si no se ha verificado B.

55. Una urna A contiene 6 bolas blancas Y 4 negras, una segunda urna B contiene 5 bolas blancas y 2 negras. Se selecciona una urna al azar Y de ella se extraen 2 bolas sin reemplazamiento. Calcular la probabilidad de que:

Las dos bolas sean blancas.

Las dos bolas sean del mismo color.

Las dos bolas sean de distinto color.

56. De una baraja espaola de 40 cartas, se eligen al azar simultneamente cuatro cartas. Hallar:

La probabilidad de que se hayan elegido al menos dos reyes.

La probabilidad de que tres de las cuatro cartas sean del mismo palo.

57. La cuarta parte de las participantes en un congreso son espaolas. La probabilidad de que una congresista desayune t si es espaola es un octavo y la probabilidad de que tome t si es extranjera, es un tercio. Si se elige una congresista al azar:

a) cul es la probabilidad de que desayune t?

b) cul es la probabilidad de que no sea espaola si desayuna t?

c) cul es probabilidad de que sea espaola si no desayuna t?

58. En una ciudad en la que hay doble nmero de hombres que de mujeres, hay una epidemia. El 6% de los hombres y el 11 % de las mujeres estn enfermos. Se elige al azar un individuo. Calcular la probabilidad de:

a) que sea hombre.

b) que est enfermo.

c) que sea hombre, sabiendo que est enfermo.

59. Una persona despistada tiene ocho calcetines negros, seis azules y cuatro rojos, todos ellos sueltos. Un da, con mucha prisa, elige dos calcetines al azar. Hallar la probabilidad de:

a) que los dos calcetines sean negros.

b) que los dos calcetines sean del mismo color.

c) que al menos uno de ellos sea rojo.

d) que uno sea negro y el otro no.

60. Tres personas viajan en un coche. Si se supone que la probabilidad de nacer en cualquier da del ao es la misma y sabemos que ninguno ha nacido en un ao bisiesto: hallar la probabilidad de que solamente una de ellas celebre su cumpleaos ese da. calcular la probabilidad de que al menos dos cumplan aos ese da.

61. En cierto instituto se ofrecen informtica y teatro como asignaturas optativas. El grupo A consta de 30 estudiantes, y los grupos B y C tienen 35 cada uno. El 60 por ciento del grupo A ha elegido teatro, as como el 20 por ciento del grupo B y el 40 por ciento del C; el resto han elegido informtica.

62. Si se pregunta a un estudiante elegido al azar, hallar la probabilidad de que haya optado por informtica. Si un estudiante ha elegido teatro, calcular la probabilidad de que pertenezca a1 grupo B.

63. Se sabe que se han eliminado varias cartas de una baraja espaola que tiene cuarenta. La probabilidad de extraer un as entre las que quedan es 0,12, la probabilidad de que salga una copa es 0,08 y la probabilidad de que no sea ni as ni copa es 0,84. Hallar la probabilidad de que la carta extrada sea as o copa. Calcular la probabilidad de que la carta sea el as de copas. Se puede afirmar que entre las cartas que no se han eliminado est el as de copas? Cuntas cartas se han suprimido?

64. Se sabe que en cierta poblacin, la probabilidad de ser hombre y daltnico es un doceavo y la probabilidad de ser mujer y daltnica es un veinticincoavo. A La proporcin de personas de ambos sexos es la misma. Se elige una persona al azar.

a) Si la persona elegida es hombre, hallar la probabilidad de que sea daltnico.

b) Si la persona elegida es mujer, hallar la probabilidad de que sea daltnica.

c) Cul es la probabilidad de que la persona elegida padezca daltonismo?

65. A una reunin llegan Carmen, Lola y Mercedes acompaadas de sus respectivas parejas Juan, Fernando y Luis. Se eligen dos personas al azar. Obtener el espacio muestral correspondiente a este en experimento. Calcular la probabilidad de que las dos personas sean pareja. Hallar la probabilidad de que las dos personas sean del mismo sexo.

66. En una bolsa hay bolas numeradas: nueve con un 1, cinco con un 2 y seis con un 3. Sacamos una bola y vemos que nmero tiene:

a) Escribe su distribucin de Probabilidad.

b) Calcula su media y su desviacin tpica.

67. En una cierta poblacin se sabe que el 20% de las personas adultas habla correctamente el Ingls. Se eligen al azar 10 personas. Halla la probabilidad de:

a) Al menos tres personas hablen correctamente el Ingls.

b) Alguna persona hable correctamente el Ingls.

c) Tan solo dos personas hablen correctamente el Ingls.

68. El 11 % de los billetes de lotera de Navidad reciben algn premio. En una familia se juegan diez participaciones de distintos nmeros. Hallar la Probabilidad de:

a) Les toquen tres premios nicamente.

b) Les toque algn premio.

69. Un tipo de pilas elctricas tiene una duracin media de 50 horas, con una desviacin tpica de 5 horas. Suponiendo que sigue una distribucin Normal, halla la probabilidad de que, al comprar una de esas pilas dure:

a) entre 40 y 50 horas.

b) menos de 45 horas.

c) ms de 50 horas.

70. La probabilidad de que una copa de cristal se rompa al ser transportada es del 1%. Si se transportan 10.000 copas

a) Cul es el nmero esperado de copas rotas?

b) Cual es la probabilidad de que se rompan ms de 200 copas?

c) Cual es la probabilidad de que se rompan entre 100 y 300 copas?

71. Simultneamente se sacan dos cartas de una baraja de 40 cartas y se tira un dado. Cul es la probabilidad de que las cartas sean sotas y el nmero del dado sea par?

72. En una baraja de 40 cartas se toman tres cartas distintas. Calcular la probabilidad de que las tres sean nmeros distintos.

73. Escogidas cinco personas al azar, cul es la probabilidad de que al menos dos de ellas hayan nacido en el mismo da de la semana.

74. Las probabilidades de que cada uno de tres aviones A, B y C cumpla su horario previsto son 0,7; 0,8 y 0,9; respectivamente. El comportamiento de cada avin no depende de los otros. Calcula las probabilidades de que cumplan el horario:

a) Los tres aviones

b) Al menos, dos de ellos.

75. Una mosca se mueve por las aristas de una habitacin que tiene forma de cubo. Cuando llega a un vrtice elige al azar una de las tres aristas que salen de l y la recorre hasta el vrtice siguiente, donde procede de manera similar. Si la mosca est en un vrtice, cul es la probabilidad de que llegue al vrtice diametralmente opuesto, despus de haber recorrido exactamente 3 aristas? Y si ha de recorrer exactamente 4 aristas?

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