PREPARACION CUARTO PARCIAL

CALCULO VECTORIAL

Vladimir Moreno G. *

Departamento de Matematicas

Pontificia Universidad Javeriana

Bogota

Colombia

13 de mayo de 2015

Resumen

El objetivo de este material es orientar sobre los temas que se eva-luaran en el cuarto parcial, guiar el estudio de cada uno de ustedes ysugerir problemas a resolver.

*vladimir.moreno@javeriana.edu.co; Avenida La Esperanza, Calle de La felicidad, Es-tado: Nirvana; celphone: 314 1592653.

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1. Logstica de la prueba

1.1. Lugar, fecha y tiempo

i) Lugar: Edificio 53 - Aula 412.

ii) Fecha: Mayo 28 de 2015.

iii) Hora: 9:00 a.m.

iv) Duracion: 110 minutos.

1.2. Formato de la prueba

La prueba consistira de:SECCION A: Un total de 10 preguntas de seleccion multiple con

respuesta unica y cinco opciones de respuesta. La respuesta seleccionadapor usted debera marcarse con esfero. Cada respuesta tendra un valorde 0,2

SECCION B: Un total de 4 preguntas abiertas. Cada una tendra unvalor de 0,75. En cada pregunta, la respuesta tendra un valor de 0,25 yel proceso valdra 0,50. Es importante que usted sea ordenado, pulcro alescribir y de caligrafia humanamente legible.

1.3. Condiciones iniciales y de frontera para laprueba.

X Al parcial el alumno solo podra ingresar lapiz, borrador, esfero detinta negro, calculadora cientfica basica.

X No esta permitido el uso de apuntes, libros, computadores, Tablets,Calculadoras, Celulares; estos deberan estar apagados y guardadosen la maleta.

X Las maletas se colocaran en el escritorio destinado al profesor.X La hora de ingreso al parcial sera las 8 : 55 a.m, GTM Bogota.X El flujo de entrada al aula sera solamente en la franja 8 : 55 a.m.

9 : 10 a.m..

X El flujo de salida del aula de cada estudiante sera solamentecuando entregue la prueba o maximo a las 10 : 55 a.m.

X Durante la prueba no se podra hablar ni hacer preguntas referentesal tema evaluado.

1.4. Formulas

En el parcial se daran las siguientes formulas:

Green Stokes GaussC Pdx+Qdy =

( Qx P

y)dA

C F dr =

S

( F) ndS S

F ndS = B

( F)dV

2

Coordenadas cilindricas Coordenadas esfericas

x = r cos x = cos siny = r sin y = cos sin sinz = z z = sin

dV = rdzdrd dV = 2 sinddd

2. Contenidos a evaluar.

El cuarto parcial cubre el ultimo tema trabajado, es decir integralesde linea y de superficie que implican los conceptos de trabajo, circulacion,flujo a traves de una curva, flujo a traves de una superficie, calculo de ladivergencia y el rotacional de un campo vectorial y su interpretacion.

Para esta evaluacion usted debera estar en capacidad de hacer lo si-guiente:

X Calcular integrales dobles y triples, incluyendo cambio de variable,en las cuales: la frontera es dada por medio de una figura o pormedio de una ecuacion.

X Cambiar el orden de integracion.X Calcular el area y volumen de ciertos cuerpos, sin hacer integracion,

al interpretar las integrales

dA,

f(x, y)dA o

BdV .

X Determinar centroides de ciertos cuerpos geometricos y usarlos paracalcular integrales de la forma

xdA,

ydA,

BxdV ,

BydV ,

BzdV

X Reconocer la orientacion de una curva o superficie.X Verificar el Teorema de Green.X Aplicar el Teorema de Green.X Verificar el Teorema de Stokes.X Aplicar el Teorema de Stokes.X Verificar el Teorema de Gauss.X Aplicar el Teorema de Gauss.

3. Prerrequisitos

Es conveniente que para un sano y positivo estudio usted disfrutedesarrollando los ejercicios y problemas que al final de esta gua se dan.

Para verificar su preferencia por el estudio, al momento de ingresar alparcial final usted debera entregar los ejercicios y problemas de esta guadesarrollados al 100 %.

4. Teorema de Green. Ejercicios

Teorema 4.1 (Flujo hacia el exterior de una curva simple cerrada). Elflujo hacia el exterior de un campo vectorial F(x, y) = M(x, y)~i+N(x, y)~j

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a traves de una curva simple cerrada C, orientada positivamente, es iguala la integral doble de la divergencia de F, sobre la region encerrada porC.CF nds =

C

(Mdy Ndx

)=

(M

x+N

y

)dA =

Fds

Teorema 4.2 (Circulacion de un campo vectorial alrededor de una curvasimple cerrada). La circulacion de F(x, y) = M(x, y)~i+N(x, y)~j alrededorde una curva simple cerrada C en el plano, orientada positivamente, esigual a la integral doble de (F) ~k, sobre la region encerrada por C.CFTds =

C

(Mdx+Ndy

)=

(N

x My

)dA =

(F)~kds

PROBLEMAS

1) Verifique el Teorema de Green.

A) F = (x2y)~i+(x+y2)~j, es la region rectangular con verticesen (0, 0), (2, 0), (2, 1) y (0, 1).

B) F = 2y~i+ x~j, es la region semicircular x2 + y2 a2, y 0C) F = (3y,4x), es la region elptica x2 + 2y2 4D) F = (x2y+x, y3xy2), es la region interior a la circunferencia

x2 + y2 = 9 y exterior a la circunferencia x2 + y2 = 4

2) Halle el valor de la integral de lneaC(x4y5 2y)dx+ (3x+ x5y4)dy

donde C es la curva orientada dada en la siguiente ilustracion:

3) Repita el ejercicio anterior para la integral de lneaC(x4y5 2y2)dx+ (3x2 + x5y4)dy

4) Halle la circulacion orientada positivamente y el flujo hacia el exte-rior del campo F y la curva CA) F = (x+ y)~i (x2 + y2)~j; C: region triangular limitada por las

rectas y = 0, x = 1 y y = x.

4

B) F = (x + ex sin y)~i + (x + ex cos y)~j; C: el laso derecho de lalemniscata r2 = cos 2

5) Halle el area:

A) Encerrada por la hipocicloide:

~r(t) = a cos3 t~i+ a sin3 t~j

B) Comprendida entre la elipsex2

9+y2

4= 1 y la circunferencia

x2 + y2 = 25

5. Teorema de Stokes. Ejercicios

Teorema 5.1. Teorema del rotacional Sea S una superficie orientada,suave a trozos y acotada en R3. supongamos que la frontera de S es unacurva simple cerrada, suave a trozos, cuya orientacion es consistente conla de S. Sea F un campo vectorial cuyas componentes tienen derivadasparciales continuas y tal que la superficie S esta contenida en su dominio.Entonces

S

F dS =CF ds

PROBLEMAS

1) Verifique el Teorema de Stokes.

A) S : x2 + y2 + 5z = 1; z 0, orientada por la normal exterior. Elcampo vectorial es F = xz~i+ yz~j + (x2 + y2)~k

B) S : x =

16 y2 z2, orientada por la normal extrerior. Elcampo vectorial es F = x~i+ y~j + z~k.

C) S : es la superficie en forma de silo que resulta de la union entrelas dos superficies suaves S1, orientada por la normal exterior yS2, donde S1: x

2+y2 = 9, 0 z 8; y S2: x2+y2+(z8)2 = 9,z 8, orientada por la normal exterior. El campo vectorial esF = (x3 + xz + yz2, xyz3 + y7, x2z5)

D) S : T (u, v) = (u cos v, u sin v, v), 0 u 1, 0 v pi2

, orientada

por la normal exterior. El campo vectorial es F = z~i+ x~j + y~k.

2) Sea S la superficie definida por y = 10 x2 z2, con y 1, orien-tada con la normal exterior. El campo vectorial es F = (2xyz +5z, ex cos(yz), x2y). Determine el flujo del campo F hacia el exteriorde S.

3) Sea S la superficie definida por z = 44x2y2, con z 0, orientadacon una normal exterior con componente en ~k no negativa. El campo

vectorial es F = x3~i+ ey2~j + zexy~k. Halle el valor de:

S

F dS

4) i) Verifique que la curva r(t) = (cos t, sin t, sin 2t), se encuentrasobre la superficie z = 2xy.

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ii) Evalue la integral de lnea:C

(y2 + cosx)dx+ (sin y + z2)dy + xdz

donde C es la curva cerrada parametrizada en el numeral I)5) Sea S : la superficie consistente de las seis caras del cubo con vertices

en los puntos (a,a,a), siendo a > 0, orientada con la normalexterior. Halle el flujo del campo F = x2yz3~i+ x2y~j + xex sin(yz)~k

6) Halle el trabajo realizado por el campo de fuerzas F = (xyz ex,xyz, x2yz + sin z) sobre una particula que se mueve a lo lar-go de la lnea poligonal que ABCA donde A = (0, 0, 0), B = (1, 1, 1)y C = (0, 0, 2).

7) Sea C una curbva simple cerrada qu es encuentra en el plano 2x 3y + 5z = 17. Demuestre que la integral de lnea:

C(3 cosx+ z)dx+ (5x ey)dy 3ydz

depende solamente del area encerrada por C y su orientacion, perono de su forma particular ni su ubicacion en el plano.

6. Teorema de Gauss. Ejercicios

Teorema 6.1. Teorema de la divergencia Sea B un solido acotadoen R3 cuya frontera S es una superficie orientada hacia el exterior deB, suave a trozos. Sea F un campo vectorial cuyas componentes tienenderivadas parciales continuas y tal que el solido B esta contenido en sudominio. Entonces

S

F dS =

B FdV

PROBLEMAS

1) Verifique el Teorema de la divergencia.

A) B = {(x, y, z) R3 : 0 z 9 x2 y2}; F = x~i+ y~j + z~kB) B = [0, 1][0, 1][0, 1], el cubo unitario. F = (yx, yz, xy)C) B = {(x, y, z) R3 : x2 + y2 + 1 z 5}; F = x2~i+ y~j + z~k

D) B = {(x, y, z) R3 : aa x2 + y2 + z2 b2}; F = x~i+ y~j + z~kx2 + y2 + z2

E) B = {(x, y, z) R3 : 0 x2 + y2 1; 0 z 1}; F = x~i+y~j+z~k

F ) B = {(x, y, z) R3 : 1 x2 + y2 2; 0 z 1}; F = x~i+y~j+z~k

2) Utilice el Teorema de Gauss para hallar el volumen del solido acotadopor los paraboloides z = 9 x2 y2 y z = 3x2 + 3y2 16.

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3) Sea S la superficie z = e1x2y2 ; z 1, orientada por la normal

exterior (hacia arriba), y sea F = x~i+y~j+(22z)~k. Use el Teoremade Gauss para calcular la integral de flujo:

S

F dS

4) Utilice el Teorema de Gauss para hallar el flujo neto del campovectorial F, hacia el exterior de la frontera del solido B dado.

A) B = {(x, y, z) R3 : x2 + y2 + z2 a2};F = x3~i+ y3~j + z3~k

B) B = {(x, y, z) R3 : 1 x2 + y2 + z2 2};F =

x2 + y+z2x~i+

x2 + y+z2y~j +

x2 + y+z2z~k

C) B = {(x, y, z) R3 : 1 x2 + y2 2;1 z 2};F = ln(x2 + y2)~i ( 2z

xtan1 y

x)~j + z

x2 + y2~k

5) Considere el campo vectorial

F = (x2 4xy)~i 6yz~j + 12z~kEntre todos los cubos B = {(x, y, z) R3 : 0 x a, 0 y b, 0 z 1},halle el cubo para el cual el flujo total de F hacia el exterior de lasseis caras del cubo es el mayor posible.

6) Considere un solido B con superficie S, satisfaciendo las condicionesdel Teorema de la divergencia. Demuestre que el volumen de Besta dado por:

vol(B) =1

3S

F ndS

7) Sea S la superficie de la porcion de la bola x2 + y2 + z2 a2, que seencuentra en el primer octante, y sea f(x, y, z) = ln

x2 + y2 + z2.

Calcule el valor de la integral de flujo:S

f ndS

8) Utilice el toerema de la divergencia para calcular la integral de flujo:S

F dS

donde F = zex2~i + 3y~j + (2 yz7)~k y S es la union de las cinco

caras superiores (tapa y las cuatro caras laterales) del cubo unitario[0, 1] [0, 1] [0, 1]. Observe que z = 0, la cara inferior del cubo, noes parte de la superficie del cubo.

Referencias

[1] Calculus Early Transcendentals, Pearson Editorial, (2014), WilliamBriggs , Lyle Cochran , Bernard Gillett and Eric Schulz

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