Handout Statistika Lanjut 2011

HANDOUT

STATISTIKA LANJUT

MAA 315

Oleh :

Kismiantini, M.Si.

NIP. 19790816 200112 2 001

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

2011

1

Universitas Negeri Yogyakarta

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Jurusan Pendidikan Matematika

Topik 1 : Analisis Korelasi

Analisis korelasi adalah analisis statistika yang membahas tentang derajat (kekuatan) hubungan antara

peubah-peubah.

Koefisien korelasi linear mengukur kekuatan hubungan linear antara peubah X dan Y. Koefisien

korelasi linear seringkali disebut juga dengan koefisien korelasi Pearson (ditemukan oleh Karl

Pearson pada tahun 1857-1936).

Rumus koefisien korelasi linear populasi

� = � ∑ �� − ∑ �� ∑ �� ∑ �� − �∑ �� ∑ �� − �∑ ��

Rumus koefisien korelasi linear sampel

� = � ∑ �� − ∑ �� ∑ �� ∑ �� − �∑ �� ∑ �� − �∑ ��

(a) Korelasi positif (b) Korelasi positif yang kuat (c) Korelasi positif sempurna

antara X dan Y antara X dan Y antara X dan Y

2

(d) Korelasi negatif (e) Korelasi negatif yang kuat (f) Korelasi negatif sempurna

antara X dan Y antara X dan Y antara X dan Y

(g) Tidak ada korelasi (h) Hubungan nonlinear antara X dan Y

antara X dan Y

Koefisien Determinasi bagi sampel (r2)

Nilai r2

menyatakan persentase keragaman Y yang dapat dijelaskan oleh hubungan linear

antara X dan Y.

Contoh 1:

Data berikut adalah tentang banyaknya keketidakhadiran dan nilai akhir dari tujuh mahasiswa

yang dipilih secara acak dari suatu kelas Statistika.

Mahasiswa A B C D E F G

Banyaknya ketidakhadiran (X) 6 2 15 9 12 5 8

Nilai Akhir (Y) 82 86 43 74 58 90 78

a) Buatlah diagram pencar dari data tersebut.

b) Tentukan koefisien korelasi dan maknanya.

c) Tentukan koefisien determinasi dan maknanya.

3

Penyelesaian:

a) Diagram pencar bagi X dan Y, terlihat bahwa titik-titik data mengikuti arah garis lurus.

161412108642

90

80

70

60

50

40

X

Y

Scatterplot of Y vs X

b) Koefisien korelasi r = -0,944 artinya ada korelasi negatif yang kuat antara banyaknya

ketidakhadiran dan nilai akhir, semakin banyak ketidakhadiran maka semakin menurun

nilai akhirnya

c) Koefisien determinasi r2

= 0,891, artinya sebesar 89,1% keragaman nilai akhir yang dapat

dijelaskan oleh hubungan linear antara banyaknya ketidakhadiran dan nilai akhir.

Pengujian Korelasi Populasi

Nilai koefisien korelasi antara -1 dan +1. Bila nilai r dekat +1 atau -1 maka ada hubungan linear

yang kuat. Bila nilai r dekat 0 maka hubungan linear itu lemah. Bila r samadengan 0 maka tidak

ada hubungan linear antara dua peubah tersebut.

Pengujian Hipotesis untuk signifikansi hubungan linear antara dua peubah.

1. Hipotesis

H0 : � = 0 (Tidak ada korelasi antara X dan Y)

H1 : � ≠ 0 (Ada korelasi signifikan antara X dan Y)

2. Taraf nyata: α

3. Statistik Uji:

� = ��

4. Kriteria Keputusan

H0 ditolak jika |��| > ��( !�)

4

Hipotesis Nol Hipotesis Alternatif Statistik Uji Kriteria Keputusan

H0 : � = 0 H1 : � ≠ 0 � = �# � − 21 − �

H0 ditolak jika |�| > ��( !�) H0 : � = 0

H0 : � ≥ 0

H1 : � < 0 H0 ditolak jika t < - tα(n-2)

H0 : � = 0

H0 : � ≤ 0

H1 : � > 0 H0 ditolak jika t > tα(n-2)

Latihan

Pada soal-soal berikut,

a. Tentukan mana yang sebagai peubah bebas dan peubah tak bebas

b. Buatlah diagram pencar

c. Tentukan koefisien korelasi dan maknanya

d. Tentukan koefisien determinasi dan maknanya

e. Apakah ada hubungan linear antara kedua peubah tersebut? Gunakan α = 0.05.

f. Apakah ada hubungan linear positif antara kedua peubah tersebut? Gunakan α = 0.05.

1. Seorang pendidik ingin mengetahui hubungan antara nilai skor tes dan nilai IPK dari

mahasiswa. Berikut data sampel.

Nilai skor tes 98 105 100 100 106 95 116 112

IPK 2,1 2,4 3,2 2,7 2,2 2,3 3,8 3,4

2. Seorang peneliti ingin mengetahui apakah ada hubungan antara umur dengan lamanya

seseorang melakukan olahraga per minggu. Berikut data sampelnya.

Umur 18 26 32 38 52 59

Lamanya olahraga (jam) 10 5 2 3 1,5 1

3. Seorang manajer perusahaan ingin mengetahui hubungan antara banyaknya iklan di

radio per minggu dan banyaknya penjualan (dalam jutaan rupiah) untuk suatu barang.

Berikut data sampelnya.

Banyaknya iklan di radio 2 5 8 8 10 12

Banyaknya penjualan 2 4 7 6 9 10

4. Empatbelas mahasiswa telah dipilih secara acak dan diperiksa tekanan darahnya.

Berikut data tekanan darah sistolik dan diastolik (dalam mmHg).

Sistolik 138 130 135 140 120 125 120 130 130 144 143 140 130 150

Diastolik 82 91 100 100 80 90 80 80 80 98 105 85 70 100

5




Topik 2 : Analisis Regresi Linear Sederhana

Analisis regresi adalah analisis statistika yang memanfaatkan hubungan antara dua atau lebih

peubah kuantitatif sehingga salah satu peubah dapat diramalkan dari peubah lainnya.

Model Regresi Linear Sederhana

��

dengan

Yi adalah nilai peubah tak bebas dalam pengamatan ke-i

β0 dan β1 adalah parameter

Xi adalah konstanta yang diketahui, yaitu nilai peubah bebas dari pengamatan ke-i

εi adalah galat yang bersifat acak dengan rataan E[εi]=0 dan ragam Var [εi]=σ2; εi dan εj tidak

berkorelasi sehingga peragam/kovariansi σ {εi, εj} =0 untuk semua i,j ; i ≠ j

Model regresi linear sederhana:

• Dikatakan “sederhana” karena hanya ada satu peubah bebas.

• Dikatakan “linear dalam parameter” karena tidak ada parameter yang muncul sebagai suatu

eksponen atau dikalikan atau dibagi oleh parameter lain.

• Dikatakan “linear dalam peubah bebas” karena peubah dalam model tersebut berpangkat

satu.

• Model yang linear dalam parameter dan linear dalam peubah bebas juga dinamakan model

ordo-pertama.

Bila sudah diperoleh data sampel (Xi,Yi), selanjutnya hal yang penting adalah membuat diagram

pencar antara X dan Y untuk mengetahui pola dari data. Bila pola data menunjukkan linear maka

model regresi linear sederhana dapat digunakan. Perhatikan gambar berikut.

161412108642

90

80

70

60

50

40

X

Y

Scatterplot of Y vs X

(a) (b)

(c)

ei (sisaan ke-i) adalah beda antara nilai amatan

Bagaimana mendapatkan b0 dan b1

Penduga bagi β0 dan β1 dapat diperoleh dengan met

meminimumkan jumlah kuadrat galat. Misalkan model regresi linear sederhana

dengan ( )2

,0~ σε N

iid

i maka ��

( )( ) (YYEY

n

i

i

n

i

ii

n

i

i−=−= ∑∑∑

=== 11

2

1

2ε

Selanjutnya diturunkan terhadap masing

( )( )

( )( )2

02

1

10

1

1

10

0

=+−−=

∂

∂

=+−−=

∂

∂

∑

∑

=

=

i

n

i

ii

n

i

ii

XXYL

XYL

ββ

β

ββ

β

Penduga bagi β0 adalah b0 dan penduga bagi

kedua persamaan tersebut. Sehingga diperoleh

( )∑

∑

∑∑ ∑

−

−

=

n

XX

n

YXYX

b

i

i

ii

ii

2

2

1, b

0=

6

(d)

i) adalah beda antara nilai amatan Yi dengan nilai dugaannya

1?

dapat diperoleh dengan metode kuadrat terkecil, yaitu dengan

inimumkan jumlah kuadrat galat. Misalkan model regresi linear sederhana ��

� �� .

( )) LXi

=+2

10ββ

Selanjutnya diturunkan terhadap masing-masing parameter.

0

0

=

dan penduga bagi β1 adalah b1 yang diperoleh dengan menyelesaikan

kedua persamaan tersebut. Sehingga diperoleh

( ) XbYXbYn

ii 11

1−=−= ∑ ∑ .

� � 13

ode kuadrat terkecil, yaitu dengan

��

yang diperoleh dengan menyelesaikan

13,82 � 48,60�

7

Makna dugaan koefisien regresi

Misalkan ingin mengetahui hubungan jarak tempuh kendaraan mobil dalam km (X) dengan tingkat

emisinya dalam ppm (Y).

• Plot data ternyata menunjukkan ada hubungan linear antara X dan Y

• Dicobakan model linear Yi = β0 + β1Xi + εi, diperoleh persamaan regresi ii

XY 47,5364ˆ += .

• Apa makna b0 dan b1 pada konteks ini ?

Makna dari b1 yaitu rata-rata emisi meningkat 5,47 ppm untuk setiap kenaikan jarak tempuh

kendaraan mobil 1 km (atau kenaikan jarak tempuh kendaraan mobil 1 km akan meningkatkan rata-

rata emisi yang dihasilkan mobil sebesar 5,47 ppm).

Makna dari b0 yaitu untuk mobil dengan jarak tempuh kendaraan mobil 0 km (mobil baru) maka

rata-rata tingkat emisi yang dihasilkan sebesar 364 ppm.

b0 tidak selalu bermakna

SOAL LATIHAN

1. Berikut data sampel tentang nilai mutu rata-rata (NMR) mahasiswa pada akhir tahun

pertama (Y) dan nilai ujian masuk (X).

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Xi 5,5 4,8 4,7 3,9 4,5 6,2 6,0 5,2 4,7 4,3 4,9 5,4 5,0 6,3 4,6 4,3 5,0 5,9 4,1 4,7

Yi 3,1 2,3 3,0 1,9 2,5 3,7 3,4 2,6 2,8 1,6 2,0 2,9 2,3 3,2 1,8 1,4 2,0 3,8 2,2 1,5

a) Buatlah diagram pencar X dan Y.

b) Tentukan persamaan regresi dugaannya beserta maknanya.

2. Data berikut merupakan hasil penelitian tentang hubungan antara nilai ulangan Matematika

(dalam skala nilai 10 sampai 100) dengan lama waktu belajar matematika (dalam jam selama

seminggu)

Nilai ulangan matematika 95 100 100 80 70 55 50 75 55 60 65 95

Lama waktu belajar

matematika

18 18 19 17 14 5 6 10 13 4 12 10

a) Tentukan peubah mana sebagai peubah bebas X dan peubah tak bebas Y.

b) Tentukan persamaan regresi dugaan dan berikan makna dugaan koefisien regresinya.

3. Suatu penelitian telah dilakukan untuk mengetahui hubungan antara pengeluaran untuk

iklan (X dalam jutaan rupiah) dengan penerimaan melalui penjualan (Y dalam jutaan rupiah)

pada perusahaan tertentu. Berikut ringkasan datanya :

∑ ∑∑∑∑ ====== 25440,1470,6106,500,120,1022

iiiiiiYXYXYXn

a) Tentukan persamaan regresi dugaan! Berikan maknanya.

b) Bila pengeluaran untuk iklan sebesar 16 juta rupiah, berapakah penerimaan dari hasil

penjualan?

8

4. Tabel ini menunjukkan skor tes penalaran verbal (X) dan skor tes Inggris (Y), untuk setiap

sampel acak dari 8 anak yang mengikuti kedua tes tersebut:

Anak A B C D E F G H

X 112 113 110 113 112 114 109 113

Y 69 65 75 70 70 75 68 76

a) Plot data dengan diagram pencar. Berikan penjelasan dari plot tersebut.

b) Tentukan persamaan regresi linear dugaan dan berikan maknanya

9

Universitas Negeri Yogyakarta Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Jurusan Pendidikan Matematika Topik 3 : Asumsi-asumsi dalam Analisis Regresi Linear Sederhana

Model regresi linear sederhana bergalat normal

𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 𝜀𝑖

dengan

0 dan 1 adalah parameter

Xi adalah konstanta yang diketahui nilainya

i adalah galat yang menyebar N(0,2) dan bebas satu sama lain

Asumsi-asumsi dalam analisis regresi linear sederhana adalah

a. Galat memiliki ragam yang konstan

b. Galat menyebar normal

c. Galat bersifat saling bebas

Penyelidikan terpenuhi atau tidak asumsi-asumsi tersebut dengan menggunakan analisis sisaan.

Sisaan atau nilai dugaan galat didefinisikan sebagai

𝑒𝑖 = 𝑌𝑖 − 𝑌 𝑖

Galat memiliki ragam yang konstan

Pendeteksian apakah galat memiliki ragam yang konstan atau tidak dengan menggunakan:

a. Plot sisaan (ei) dengan nilai dugaan ( 𝑌 𝑖 )

b. Plot sisaan (ei) dengan peubah bebas (Xi)

Kriterianya : Bila sisaan-sisaan tidak membentuk suatu pola tertentu maka galat memiliki ragam

yang konstan.

Perhatikan gambar berikut.

(a) Galat memiliki ragam konstan (tidak berpola) (b) Galat tidak memiliki ragam konstan (berpola)

Galat menyebar normal

Pendeteksian apakah galat menyebar normal atau tidak dengan menggunakan plot peluang

normal. Plot peluang normal bagi sisaan yaitu plot ei versus hi.

Cara membuat plot peluang normal bagi sisaan:

1. Menghitung nilai sisaan, lalu diurutkan dari kecil ke besar, selanjutnya disebut sisaan terurut

2. Menghitung hi (nilai harapan di bawah asumsi kenormalan) dengan rumus

10

ℎ𝑖 = 𝐾𝑇𝐺 𝑧 𝑖−0,375

𝑛+0,25

𝐾𝑇𝐺 = 𝐽𝐾𝐺 𝑛 − 2 , 𝐽𝐾𝐺 = 𝑌𝑖2 − 𝑏0 𝑌𝑖 − 𝑏1 𝑋𝑖𝑌𝑖

Kriterianya: bila titik-titik (sisaan-sisaan) mengikuti arah garis diagonal maka galat menyebar

normal.

Perhatikan contoh berikut:

Dari data sampel ini diperoleh Ŷ = 10 + 2X dengan KTG = 7,5. Selanjutnya akan dibuat plot peluang

normal bagi sisaan sebagai berikut.

i Xi Yi Ŷi ei Urutan naik i

ei terurut 𝑧 𝑖 − 0,375

𝑛 + 0,25 hi

1 30 73 70 3 1 -3 -4,24

2 20 50 50 0 2 -2 -2,74

3 60 128 130 -2 3 -2 -1,79

4 80 170 170 0 4 -2 -1,02

5 40 87 90 -3 5 -1 -0,33

6 50 108 110 -2 6 0 0,33

7 60 135 130 5 7 0 1,02

8 30 69 70 -1 8 2 1,79

9 70 148 150 -2 9 3 2,74

10 60 132 130 2 10 5 4,24

Galat saling bebas

a. Bila data tidak diamati secara bersamaan, melainkan dalam suatu urutan waktu maka

buatlah plot sisaan (ei) terhadap waktu. Tujuan adalah untuk melihat apakah ada korelasi

antara suku galat dengan suku galat berikutnya.

b. Bila data diamati bersamaan, untuk melihat keacakan galat percobaan dibuat plot antara

nilai dugaan galat (ei) dengan nilai dugaan respons ( Ŷi )

Gambar disamping menunjukkan

bahwa galat menyebar normal karena

titik-titik mengikuti arah garis

diagonal.

11

Kriterianya : apabila titik-titik sisaan berfluktuasi secara acak di sekitar nol maka dapat dikatakan

bahwa galat saling bebas.

Perhatikan gambar berikut.

(a) (b)

Gambar (a) Plot waktu versus sisaan menunjukkan bahwa titik-titik sisaan tidak berfluktuasi

secara acak disekitar nol maka galat tidak saling bebas.

Gambar (b) Plot nilai dugaan versus sisaan menunjukkan bahwa titik-titik sisaan berfluktuasi

secara acak disekitar nol maka galat saling bebas.

12


Jurusan Pendidikan Matematika Topik 4 : Inferensi dalam Analisis Regresi Linear Sederhana

Inferensi terhadap 1

a. Selang Kepercayaan bagi 1

Diketahui bahwa 2

1

11 ~

nt

bs

b , sehingga

1

2;

1

11

2;22

nnt

bs

btP

→ 𝑃 𝑏1 − 𝑡𝛼2

(𝑛−2)𝑠 𝑏1 ≤ 𝛽1 ≤ 𝑏1 + 𝑡𝛼2

(𝑛−2)𝑠 𝑏1 = 1 − 𝛼

dengan 𝑠2 𝑏1 =𝐾𝑇𝐺

𝑋𝑖2−

𝑋𝑖 2

𝑛

Jadi selang kepercayaan 100(1-) bagi 1 adalah 𝑏1 − 𝑡𝛼

2(𝑛−2)𝑠 𝑏1 ≤ 𝛽1 ≤ 𝑏1 + 𝑡𝛼

2(𝑛−2)𝑠 𝑏1

Misalkan diperoleh selang kepercayaan 95% bagi 1

1,89 1 2,11 Artinya diduga bahwa rata-rata Y naik sekitar antara 1,89 sampai 2,11 satuan untuk setiap kenaikan satu satuan X.

b. Uji bagi 1

Uji bagi 1=0 lawan 10 Hipotesis

H0 : 1=0 (Tidak ada hubungan linear antara X dan Y)

H1 : 1 0 (Ada hubungan linear antara X dan Y)

Taraf nyata :

Statistik Uji:

Sumber Keragaman

db JK KT Fhit

Regresi 1 JKR KTR F = KTR/KTG

Galat n – 2 JKG KTG

Total n – 1 JKT

Kriteria keputusan:

H0 ditolak jika Fhit > F(1, n – 2)

13

Perhatikan simpangan total berikut:

iiii YYYYYY ˆˆ

Jumlah kuadrat simpangan-simpangan tersebut :

JKGJKRJKT

YYYYYY iiii

ˆˆ222

JKGJKTJKR

n

XX

n

YXYX

n

YY

YXbYbYJKG

YnYJKT

i

i

ii

ii

i

i

iiii

i

2

2

2

2

2

10

2

22

𝐽𝐾𝑅 = 𝑏12 𝑋𝑖 − 𝑋 2

Hipotesis Nol

Hipotesis Alternatif

Statistik Uji Kriteria keputusan

H0 : 1 = c H1 : 1 c 𝑡 =

𝑏1 − 𝑐

𝑠 𝑏1

H0 ditolak jika |thit| > 𝑡𝛼2 𝑛−2

H0 : 1 c

H0 : 1 = c

H1 : 1 > c H0 ditolak jika thit > 𝑡𝛼 𝑛−2

H0 : 1 c

H0 : 1 = c

H1 : 1 < c H0 ditolak jika thit < −𝑡𝛼 𝑛−2

Inferensi terhadap 0

a. Selang Kepercayaan bagi 0

Diketahui bahwa 2

0

00 ~

nt

bs

b , sehingga

1

2;

0

00

2;22

nnt

bs

btP

→ 𝑃 𝑏0 − 𝑡𝛼2

(𝑛−2)𝑠 𝑏0 ≤ 𝛽0 ≤ 𝑏0 + 𝑡𝛼2

(𝑛−2)𝑠 𝑏0 = 1 − 𝛼

dengan 𝑠2 𝑏0 = 𝐾𝑇𝐺 1

𝑛+

𝑋 2

𝑋𝑖2−

𝑋𝑖 2

𝑛

Jadi selang kepercayaan 100(1-) bagi 0 adalah 𝑏0 − 𝑡𝛼

2(𝑛−2)𝑠 𝑏0 ≤ 𝛽0 ≤ 𝑏0 + 𝑡𝛼

2(𝑛−2)𝑠 𝑏0

14

Misalkan diperoleh selang kepercayaan 90% bagi 0

5,34 0 14,66 Artinya diduga bahwa rata-rata Y sekitar antara 5,34 sampai 14,66 satuan untuk X sebesar 0.

Selang kepercayaan bagi 0 ini tidak selalu memberikan informasi yang bermanfaat.

b. Uji bagi 0

Uji bagi 0=0 lawan 00 Hipotesis

H0 : 0=0

H1 : 0 0

Taraf nyata :

Statistik Uji:

𝑡 =𝑏0

𝑠 𝑏0

Kriteria keputusan:

H0 ditolak jika |thit| > 𝑡𝛼2 𝑛−2

Selang kepercayaan bagi 𝑬 𝒀𝒉

𝑌 ℎ − 𝑡𝛼2

(𝑛−2) 𝑠 𝑌 ℎ ≤ 𝐸 𝑌ℎ ≤ 𝑌 ℎ + 𝑡𝛼2

(𝑛−2)𝑠 𝑌 ℎ

dengan

𝑠2 𝑌 ℎ = 𝐾𝑇𝐺 1

𝑛+

𝑋ℎ − 𝑋 2

𝑋𝑖 − 𝑋 2

𝑌 ℎ = 𝑏0 + 𝑏1𝑋ℎ

Misalkan diperoleh selang kepercayaan 90% bagi 𝐸 𝑌ℎ dengan Xh = 65

277,4 ≤ 𝐸 𝑌ℎ ≤ 311,4

Maknanya dengan tingkat kepercayaan 90% maka rata-rata Y untuk X sebesar 65 adalah

277,4 sampai 311,4 satuan.

Selang prediksi bagi Yh(baru)

𝑌 ℎ − 𝑡𝛼2

(𝑛−2) 𝑠 𝑝𝑟𝑒𝑑 ≤ 𝑌ℎ(𝑏𝑎𝑟𝑢 ) ≤ 𝑌 ℎ + 𝑡𝛼2

(𝑛−2) 𝑠 𝑝𝑟𝑒𝑑

dengan

𝑠2 𝑝𝑟𝑒𝑑 = 𝐾𝑇𝐺 1 +1

𝑛+

𝑋ℎ − 𝑋 2

𝑋𝑖 − 𝑋 2

𝑌 ℎ = 𝑏0 + 𝑏1𝑋ℎ

15

Misalkan diperoleh selang prediksi 90% bagi 𝑌ℎ(𝑏𝑎𝑟𝑢 ) dengan Xh = 100 adalah

332,2 ≤ 𝑌ℎ(𝑏𝑎𝑟𝑢 ) ≤ 506,6

Maknanya dengan tingkat kepercayaan 90% dapat diprediksikan bahwa rata-rata Y untuk

proses berikutnya pada X sebesar 100 adalah 332,2 sampai 506,6 satuan.

SOAL LATIHAN



seminggu).


Lama waktu belajar matematika 18 18 19 17 14 5 6 10 13 4 12 10

a) Tentukan peubah mana sebagai peubah bebas X dan peubah tak bebas Y!

Anggap asumsi-asumsi dalam model regresi linear sederhana terpenuhi.

b) Tentukan selang kepercayaan 99% bagi 0 dan 1 beserta maknanya!

c) Ujilah apakah ada hubungan linear antara lama waktu belajar matematika dan nilai ulangan

matematika? Gunakan taraf nyata = 0,01.

d) Ujilah apakah 1 = 5 lawan 1 5 ? Gunakan taraf nyata = 0,01.

e) Ujilah apakah 0 = 0 atau tidak? Gunakan taraf nyata = 0,01.

f) Tentukan selang prediksi 95% bagi Yh(baru) dengan Xh = 15

2. Suatu tes diberikan pada semua mahasiswa baru. Seseorang yang memperoleh nilai di bawah 35

tidak diizinkan mengikuti kuliah matematika yang biasa, tetapi harus mengikuti suatu kelas

khusus (remedial class). Berikut ringkasan data dari nilai tes dan nilai akhir bagi 20 mahasiswa

yang mengikuti kuliah matematika yang biasa:

𝑋𝑖 = 1110; 𝑌𝑖 = 1173; 𝑋𝑖𝑌𝑖 = 67690; 𝑋𝑖2 = 67100; 𝑌𝑖

2 = 74725

a. Tentukan peubah mana sebagai peubah bebas X dan peubah tak bebas Y!

b. Tentukan persamaan regresi dugaan!

c. Bila 60 adalah nilai terendah agar lulus dari pelajaran matematika tersebut, berapakah batas

nilai tes terendah di masa mendatang untuk dapat diizinkan mengikuti kuliah tersebut?


d. Ujilah apakah ada hubungan linier antara nilai tes dan nilai akhir? Gunakan taraf nyata 0,05.

e. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi 0 dan 1 beserta maknanya.

f. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi 𝐸 𝑌ℎ dengan Xh = 75 beserta maknanya.

16

3. Suatu percobaan dilakukan pada jenis mobil baru merk tertentu, untuk menentukan jarak yang

dibutuhkan untuk berhenti bila mobil tersebut direm pada berbagai kecepatan. Data yang

diperoleh sebagai berikut:

Kecepatan (kilometer per jam) 35 50 65 80 95 110

Jarak sampai berhenti (meter) 16 26 41 62 88 119

a. Tentukan peubah mana sebagai peubah bebas X dan peubah tak bebas Y!

b. Tentukan persamaan regresi dugaan dan berikan makna dugaan koefisien regresinya!


c. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi 1 dan berikan maknanya!

d. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi 0 dan berikan maknanya!

e. Ujilah apakah ada hubungan linear antara kecepatan dan jarak sampai berhenti? Gunakan

taraf nyata = 0,05.

f. Ujilah apakah 1 positif? Gunakan taraf nyata = 0,05.

Analisis Variansi

Uji F untuk Ketidakcocokkan Model Regresi Linear Sederhana

• Uji ini mengasumsikan bahwa pengamatan-pengamatan Y untuk suatu X tertentu bersifat bebas,

tersebar normal, memiliki ragam yang sama.

• Uji ini menghendaki adanya pengamatan berulang pada satu atau lebih nilai X.

Hipotesis

H0 : E{Y} = 0+ 1X

H1 : E{Y} 0+ 1X

Atau

H0 : Tidak ada ketidakcocokan model regresi linear sederhana dengan data

H1 : Ada ketidakcocokan model regresi linear sederhana dengan data

Atau

H0 : Model regresi linear sederhana cocok

H1 : Model regresi linear sederhana tidak cocok

Taraf nyata:

Statistik Uji :

knJKGM

kKKMJF

2

Kriteria keputusan :

H0 ditolak jika Fhit > Fα(k-2,n-k)

k= menyatakan banyaknya x yang berbeda

n = banyaknya pengamatan

17

Perhatikan berikut ini:

JKKMJKGMJKG

YYYYYY ijjjijijij

ˆˆ222

Contoh:

Lakukan uji kecocokan model regresi linear sederhana dengan taraf nyata 0,05 pada data sampel berikut.

Hipotesis

H0 : E{Y} = 0+ 1X

H1 : E{Y} 0+ 1X

Taraf nyata : = 0,05

Statistik Uji : F = KTKM/KTGM

Kriteria keputusan:

n=11, k=6, db(KM)=k-2=6-2=4 ,db(GM)=n-k=11-6=5

F0,05(4,5)=5,19

H0 ditolak jika Fhit > 5,19

Hitungan:

JKG=170696-(50,722511288)-(0,48670 186200)=14742

JKGM=(28-35)2+(42-35)2+(112-124)2+(136-124)2+(160-155)2+(150-155)2+(152-152)2+(156-140)2+(124-

140)2+(124-114)2+(104-114)2=1148

JKKM=JKG-JKGM=14742-1148=13594

F=(13594/4)/(1148/5)=14,80

Kesimpulan : Karena Fhit=14,80>5,19 maka H0 ditolak

Jadi dengan taraf nyata 0,05 dapat disimpulkan bahwa model regresi linear sederhana tidak cocok

digunakan.

i Xi Yi

1 125 160

2 100 112

3 200 124

4 75 28

5 150 152

6 175 156

7 75 42

8 175 124

9 125 150

10 200 104

11 100 136

Xi Yi 𝑌 𝑗

75 28 42

35

100 112 136

124

125 160 150

155

150 152 152

175 156 124

140

200 124 104

114

18

SOAL LATIHAN

Seorang kimiawan mempelajari hubungan konsentrasi suatu larutan (Y) dengan waktu (X). Berikut data

sampel yang diperoleh:

i Xi Yi

1 9 0,07

2 9 0,09

3 9 0,08

4 7 0,16

5 7 0,17

6 7 0,21

7 5 0,49

8 5 0,58

9 5 0,53

10 3 1,22

11 3 1,15

12 3 1,07

13 1 2,84

14 1 2,57

15 1 3,10

a. Tentukan persamaan regresi linear dugaan

b. Lakukan uji F untuk memeriksa apakah ada

ketidakcocokan model bila digunakan model regresi

linear sederhana, gunakan taraf nyata 0,05.

c. Buatlah diagram pencar antara X dan Y.

19




Topik 5 : Pendekatan Matriks terhadap Analisis Regresi Linear Sederhana

Perhatikan kembali model regresi linear sederhana berikut

Yi = β0+β1Xi+εi

Bila diambil sebanyak n maka diperoleh

nnnXY

XY

XY

εββ

εββ

εββ

++=

++=

++=

10

22102

11101

M

Dalam notasi matriks dituliskan sebagai berikut

+

=

nnnX

X

X

Y

Y

Y

ε

ε

ε

β

β

MMMM

2

1

1

02

1

2

1

1

1

1

atau εβXY12 121 ××

××

+=

nnn

Perhatikan bahwa Xββββ adalah vektor nilai-nilai harapan bagi amatan-amatan Yi sebab E{Yi}= β0+β1Xi,

sehingga

{ }1221 ×

××

= βXYn

n

E

Asumsi : εεεε adalah suatu vektor peubah acak normal yang bebas dengan E{εεεε } = 0 dan �� = ��

Persamaan normal regresi linear sederhana :

� + � ∑ �� = ∑ ��

∑ �� + � ∑ �� = ∑ ��

Ditulis dalam notasi matriks

�� = �′�

→ � = ��′��′�

=

n

n

n

n

Y

Y

Y

XXXb

b

X

X

X

XXX MK

K

MMK

K2

1

211

02

1

21

111

1

1

1

111

20

=

=

∑∑∑

2

2

1

21

1

1

1

111

ii

i

n

nXX

Xn

X

X

X

XXX MMK

KXX'

=

=

∑∑

ii

i

n

nYX

Y

Y

Y

Y

XXX MK

K2

1

21

111YX'

( )

( )

−

−

−

=

∑∑∑

∑ ∑−

nX

XX

XXn i

ii

ii

2

22

1 1XX'

Uji terhadap β1

Untuk menguji apakah ada hubungan linear antara Y dengan X, dilakukan pengujian berikut :

Hipotesis :

H0 : β1 = 0

H1 : β1 ≠ 0

Taraf nyata : α

Statistik Uji :

� =�� ⁄

�� !��⁄

Kriteria Keputusan :

H0 ditolak jika Fhit > Fα(1,n-2)

YX'b'YY' −=JKG , JYY'YY'

−=

nJKT

1, ∑=

2

iYYY' , ( )

2

∑=i

YJYY'

=

11

11

L

MMM

L

J

Selang Kepercayaan bagi βk

( ){ }

( ){ }

knkkknkbstbbstb

2,2/2,2/ −−+≤≤−

ααβ

{ } ( )12 −

= XX'b KTGs , { }{ } { }

{ } { }

=

1

2

01

100

2

2

,

,

bsbbs

bbsbss b

21

SOAL LATIHAN

1. Suatu percobaan telah dilakukan untuk menentukan apakah berat seekor kambing (dalam

kilogram) dapat diprediksikan (setelah pada periode tertentu) berdasarkan jumlah makanan yang

dimakan (dalam kilogram). Berikut data yang telah dinyatakan dalam notasi matriks.

,14533379

37910

=XX' ,

31726

825

=YX' [ ],70083=YY' [ ]680625=JYY'


a) Tentukan persamaan regresi dugaan beserta maknanya.

b) Bila jumlah makanan seekor kambing sebesar 300 kg, berapakah prediksi berat kambing

tersebut?

c) Buatlah selang kepercayaan 99% bagi β1 dan berikan maknanya.

d) Tentukan koefisien korelasinya.



seminggu).


Lama waktu belajar matematika 18 18 19 17 14 5 6 10 13 4 12 10

a) Tentukan peubah mana sebagai peubah bebas X dan peubah tak bebas Y!


b) Tentukan selang kepercayaan 99% bagi β0 dan β1 beserta maknanya!

c) Ujilah apakah ada hubungan linear antara lama waktu belajar matematika dan nilai ulangan

matematika? Gunakan taraf nyata α = 0,01.

22


Jurusan Pendidikan Matematika Topik 6 : Analisis Regresi Linear Ganda

Analisis regresi linear ganda adalah analisis statistika yang digunakan untuk mengetahui

hubungan linear antara satu peubah tak bebas Y dengan beberapa peubah bebas (X1, X2, …,

Xp-1).

Model regresi linear ganda

ipipiii XXXY 1,122110

dengan :

0, 1, …, p-1 adalah parameter

Xi1, …, Xi,p-1 adalah konstanta yang diketahui nilainya

i saling bebas dan menyebar N(0,2)

i = 1, 2, …, n

Persamaan Normal

iipippipiipiip

iiipipiiii

iiipipiiii

iippii

YXXbXXbXXbXb

YXXXbXbXXbXb

YXXXbXXbXbXb

YXbXbXbnb

1

2

1112211110

2121

2

2221120

1111212

2

1110

1122110

Persamaan regresi dugaan

1,122110ˆ

pipiii XbXbXbbY

2

2122

21

2

11

21

21

2221

1211

22212

12111

1

1

1111

iiii

iiii

ii

nn

n

n

XXXX

XXXX

XXn

XX

XX

XX

XXX

XXX

XX'

ii

ii

i

n

n

n

YX

YX

Y

Y

Y

Y

XXX

XXX

2

1

2

1

22212

12111

111

YX'

YX'XX'b1

23

Memaknai Persamaan Regresi Dugaan

Misalkan : Ingin mengetahui apakah volume penjualan (Y, gros) berhubungan dengan jumlah

penduduk (X1, ribuan jiwa) dan pendapatan per kapita (X2, dolar).

Diperoleh persamaan regresi dugaannya ialah

21 00920,0496,0453,3ˆ XXY

Persamaan ini menunjukkan bahwa rataan volume penjualan diharapkan akan naik 0,496

gros bila jumlah penduduk naik 1 ribu jiwa kalau pendapatan per kapita tetap, dan bahwa

rataan volume penjualan diharapkan akan naik 0,0092 gros bila pendapatan per kapita naik 1

dolar kalau jumlah penduduk tetap. Bila jumlah penduduk sebesar 0 jiwa dan pendapatan

per kapita 0 dollar maka rata-rata volume penjualan sebesar 3,453 gros (tidak bermakna).

Uji terhadap Hubungan Regresi

Untuk menguji apakah peubah tak bebas Y berhubungan dengan peubah-peubah bebas

(X1, X2,…,Xp-1), dilakukan pengujian berikut :

Hipotesis :

H0 : 1 = 2 = … = p-1=0

H1 : Tidak semua k (k=1,2,…,p-1)sama dengan nol

Taraf nyata :

Statistik Uji :

𝐹 =𝐽𝐾𝑅 𝑝−1

𝐽𝐾𝐺 𝑛−𝑝


H0 ditolak jika Fhit > F(p-1,n-p)

JYY'YY'

nJKT

1, YX'b'YY' JKG

Uji terhadap k

Hipotesis Nol

Hipotesis Alternatif


H0 : k = c H1 : k c 𝑡 =

𝑏𝑘 − 𝑐

𝑠 𝑏𝑘

H0 ditolak jika |thit| > 𝑡𝛼2 𝑛−𝑝

H0 : k c

H0 : k = c

H1 : k > c H0 ditolak jika thit > 𝑡𝛼 𝑛−𝑝

H0 : k c

H0 : k = c

H1 : k < c H0 ditolak jika thit < −𝑡𝛼 𝑛−𝑝

12 XX'b KTGs

24

1

2

1101

111

2

01

10100

2

2

,,

,,

,,

ppp

p

p

bsbbsbbs

bbsbsbbs

bbsbbsbs

s

b

Selang kepercayaan bagi k 𝑏𝑘 − 𝑡𝛼

2(𝑛−𝑝 )𝑠 𝑏𝑘 ≤ 𝛽𝑘 ≤ 𝑏𝑘 + 𝑡𝛼

2(𝑛−𝑝 )𝑠 𝑏𝑘

Makna Selang Kepercayaan bagi k

Misal diperoleh selang kepercayaan 95% bagi β1 adalah

0,018 ≤ 1 ≤ 2,773

Artinya dengan tingkat kepercayaan 95% diduga bahwa rata-rata Y naik sekitar antara 0,018

sampai 2,773 satuan untuk setiap kenaikan satu satuan X1 bila X2 tetap.

Selang Kepercayaan Serempak bagi k

Selang kepercayaan bersama Bonferroni dapat digunakan untuk menduga beberapa

koefisien regresi secara serempak. Jika g buah parameter akan diduga secara bersamaan

(asalkan g ≤ p), maka batas-batas kepercayaan serempak dengan tingkat kepercayaan 1-

adalah

kkkkk bsBbbsBb

dengan

png

tB

2

Makna Selang Kepercayaan Serempak


penduduk (X1, ribuan jiwa) dan pendapatan per kapita (X2, dolar). Diperoleh selang

kepercayaan serempak 90% sebagai berikut : (g=2)

0,483≤1≤0,509; 0,0071 ≤2≤0,0113

Selang kepercayaan serempak ini mengindikasikan bahwa 1 dan 2 keduanya positif, hal ini

sesuai harapan teoritis bahwa volume penjualan memang harus naik jika jumlah penduduk

naik dan pendapatan per kapita naik, tentu saja asalkan peubah-peubah lain dipertahankan

konstan.

25

Koefisien Determinasi Ganda (R2)

R2 = JKR/JKT = 1- (JKG/JKT)

Koefisien ini mengukur proporsi pengurangan keragaman total di dalam Y akibat

digunakannya peubah-peubah bebas

X1,X2, …, Xp-1.

Sifat koefisien determinasi ganda : 0 R2 1.

R2 akan bernilai 0 bila semua bk = 0 (k=1,…,p-1). R2 akan bernilai 1 bila semua amatan Y

berada tepat pada permukaan respons dugaannya, Yi = Ŷi untuk semua i.

Koefisien determinasi ganda terkoreksi (𝑹𝒂𝟐)

Penambahan lebih banyak peubah bebas ke dalam model selalu akan menaikkan nilai R2

tidak pernah menurunkannya, sebab JKG tidak pernah menjadi lebih besar bila peubah

bebasnya lebih banyak, sedangkan JKT tidak akan berubah bila data responsnya tetap

sama.

Karena R2 sering bisa dibuat besar dengan cara menyertakan peubah bebas, maka ada

yang menyarankan agar ukuran ini dimodifikasi untuk mempertimbangkan banyaknya

peubah bebas di dalam model.

Koefisien determinasi ganda terkoreksi

JKT

JKG

pn

n

nJKT

pnJKGRa

11

112

Memaknai Koefisien Determinasi Ganda


penduduk (X1, ribuan jiwa) dan pendapatan per kapita (X2, dolar)

Diperoleh R2 = 0,9989, artinya bila kedua peubah saling bebas, jumlah penduduk dan

pendapatan per kapita ikut diperhitungkan maka keragaman volume penjualan dapat dikurangi

sebanyak 99,9%.

atau

sebesar 99,9% keragaman dari volume penjualan yang dapat dijelaskan oleh jumlah penduduk

dan pendapatan per kapita.

Koefisien Korelasi Ganda

Koefisien korelasi ganda R adalah akar kuadrat positif dari R2

2RR

Uji F untuk Kecocokan Model Regresi Linear Ganda

• Uji ini mengasumsikan bahwa pengamatan-pengamatan Y untuk suatu X tertentu

bersifat bebas, tersebar normal, memiliki ragam yang sama.

• Uji ini menghendaki adanya pengamatan berulang pada satu atau lebih nilai X.

26

Hipotesis

H0 : E{Y} = 0+ 1X1+ 2X2 + …+ p-1Xp-1

H1 : E{Y} 0+ 1X1 + 2X2 + …+ p-1Xp-1

Atau

H0 : Tidak ada ketidakcocokan model regresi linear ganda dengan data

H1 : Ada ketidakcocokan model regresi linear ganda dengan data

Atau

H0 : Model regresi linear ganda cocok

H1 : Model regresi linear ganda tidak cocok

Taraf nyata:

Statistik Uji:

knJKGM

pkJKKMF

Kriteria Keputusan

H0 ditolak jika Fhit > Fα(k-p,n-k)

Dengan

2 jij YYJKGM , YX'b'YY' JKG , JKGMJKGJKKM

Contoh

Perhatikan data tentang kesukaan merk berikut

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Xi1 4 4 4 4 6 6 6 6 8 8 8 8 10 10 10 10

Xi2 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4

Yi 64 73 61 76 72 80 71 83 83 89 86 93 88 95 94 100

Y : derajat kesukaan terhadap merk , X1 : kandungan uap air, X2 : kemanisan produk

k = 8, JKG = 94,3, Ŷ = 37,650 + 4,425 X1 + 4,375 X2

Ujilah ketidakcocokan model regresi linear ganda dengan taraf nyata 0,01.

Xi1 Xi2 Yij Yj

4 2 64; 61

4 4 73; 76

6 2 72; 71

6 4 80; 83

8 2

27

8 4

10 2

10 4

Hipotesis

H0 : E{Y} = 0+ 1X1+ 2X2

H1 : E{Y} 0+ 1X1+2X2


Statistik Uji:

knJKGM

pkJKKMF

Kriteria keputusan:

n=16, k=8, db(KM)=k-p=8-3=5 ,db(GM)=n-k=16-8=8, F0,05(5,8)= 3,69


Hitungan:

SOAL LATIHAN

1. Suatu penelitian telah dilakukan untuk mengetahui hubungan antara persentase

kehadiran mahasiswa (X1) dan lama belajar dalam jam per minggu (X2) terhadap nilai

akhir ujian suatu mata kuliah (Y). Sebanyak 30 mahasiswa telah dipilih secara acak untuk

menjadi subyek penelitian.

Diketahui :

079075,0010051,0640573,0

010051,00018375,0132528,0

640573,0132528,08866861,91

XX

409,251674,9810

,8880,224670,2016000,2440

2

2

2

121

21

2

iiii

iiiiii

XXXX

YXYXYY

a) Tentukan persamaan regresi dugaan dan berikan maknanya.

b) Bila dianggap asumsi-asumsi dalam analisis regresi linear ganda terpenuhi, ujilah

apakah ada hubungan antara persentase kehadiran mahasiswa dan lama belajar

dalam jam per minggu terhadap nilai akhir ujian suatu mata kuliah. Gunakan = 0,05.

c) Tentukan selang kepercayaan 95% bagi 1 dan maknanya.

d) Buatlah selang kepercayaan serempak 95% bagi 1 dan 2 beserta maknanya

e) Hitunglah koefisien determinasi ganda dan berikan maknanya.

28

f) Hitunglah koefisien korelasi ganda.

2. Seorang pegawai administrasi rumah sakit ingin mengetahui hubungan antara kepuasan

pelanggan (Y) dan umur pasien (X1, dalam tahun), tingkat keparahan penyakit (X2, dalam

indeks) dan tingkat kecemasan (X3, dalam indeks). Ia mengambil secara acak 23 pasien

dan mengumpulkan data tersebut. Berikut datanya:

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Xi1 50 36 40 41 28 49 42 45 52 29 29 43

Xi2 51 46 48 44 43 54 50 48 62 50 48 53

Xi3 2,3 2,3 2,2 1,8 1,8 2,9 2,2 2,4 2,9 2,1 2,4 2,4

Yi 48 57 66 70 89 36 46 54 26 77 89 67

i 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Xi1 38 34 53 36 33 29 33 55 29 44 43

Xi2 55 51 54 49 56 46 49 51 52 58 50

Xi3 2,2 2,3 2,2 2,0 2,5 1,9 2,1 2,4 2,3 2,9 2,3

Yi 47 51 57 66 79 88 60 49 77 52 60

Anggap asumsi-asumsi dalam model regresi linear ganda terpenuhi.

a. Tentukan fungsi regresi dugaan

b. Ujilah hubungan regresi, gunakan taraf nyata 0,01.

c. Tentukan selang kepercayaan serempak bagi 1, 2 dan 3 dengan tingkat

kepercayaan 90%. Interpretasikan hasilnya.

d. Hitung koefisien korelasi ganda dan berikan maknanya.

3. Seorang peneliti ingin mengevaluasi hubungan antara gaji tahuan peneliti matematika

golongan menengah dan senior (Y, dalam ribuan dolar) dan indeks kualitas publikasi (X1),

jumlah tahun pengalaman (X2) dan indeks kesuksesan dalam memperoleh hibah (X3).

Berikut data sampel 24 peneliti matematika golongan menengah dan senior.

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Xi1 3,5 5,3 5,1 5,8 4,2 6,0 6,8 5,5 3,1 7,2 4,5 4,9

Xi2 9 20 18 33 31 13 25 30 5 47 25 11

Xi3 6,1 6,4 7,4 6,7 7,5 5,9 6,0 4,0 5,8 8,3 5,0 6,4

Yi 33,2 40,3 38,7 46,8 41,4 37,5 39,0 40,7 30,1 52,9 38,2 31,8

i 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Xi1 8,0 6,5 6,6 3,7 6,2 7,0 4,0 4,5 5,9 5,6 4,8 3,9

Xi2 23 35 39 21 7 40 35 23 33 27 34 15

Xi3 7,6 7,0 5,0 4,4 5,5 7,0 6,0 3,5 4,9 4,3 8,0 5,0

Yi 43,3 44,1 42,8 33,6 34,2 48,0 38,0 35,9 40,4 36,8 45,2 35,1

29

Anggap asumsi-asumsi dalam model regresi linear ganda terpenuhi.

a. Tentukan fungsi regresi dugaan

b. Ujilah hubungan regresi, gunakan taraf nyata 0,05.

c. Ujilah apakah masing-masing k signifikan. Gunakan taraf nyata 0,05.

d. Tentukan selang kepercayaan serempak bagi 1, 2 dan 3 dengan tingkat

kepercayaan 95%. Interpretasikan hasilnya.

e. Hitung koefisien korelasi determinasi dan berikan maknanya.

f. Buatlah selang kepercayaan 95% bagi masing-masing k.

30


Jurusan Pendidikan Matematika Topik 7 : Asumsi-asumsi dalam Analisis Regresi Linear Ganda

Asumsi-asumsi dalam analisis regresi linear ganda adalah

a. Linearitas

b. Tidak terjadi multikolinearitas

c. Tidak terjadi heteroskedastisitas

d. Normalitas

e. Tidak ada autokorelasi

Linearitas

Model regresi linear ganda diasumsikan linear dalam parameter regresi. Asumsi linearitas dalam

regresi ganda lebih sulit dipenuhi berkaitan dimensi data yang semakin tinggi.

Asumsi ini dapat dideteksi dengan plot pencar sisaan dibakukan dengan masing-masing peubah

bebas.

Kriteria: asumsi ini terpenuhi bila pada plot ini menunjukkan titik-titik berpencar secara acak, bila

berpola maka mengindikasikan terjadinya pelanggaran asumsi. Jika asumsi linearitas tidak terpenuhi

maka lakukan transformasi pada Y dan atau peubah bebas tertentu.

Gambar 1. Plot sisaan dibakukan dengan masing-masing peubah bebas

Pada Gambar 1, pada masing-masing plot menunjukkan bahwa titik-titik berpencar secara acak

sehingga asumsi linearitas dalam parameter regresi terpenuhi.

Multikolinearitas

Multikolinearitas atau kekolinearan ganda adalah terjadinya korelasi antar peubah bebas.

Model regresi yang baik seharusnya tidak terjadi korelasi antar peubah bebas.

Metode yang banyak digunakan untuk mendeteksi adanya multikolinearitas adalah faktor inflasi

ragam (variance inflation factor/VIF) dengan rumus

1,...,2,1,)1( 12 pkRVIF kk

2

kR adalah koefisien determinasi ganda bila Xk diregresikan terhadap p-2 peubah lainnya di dalam

model.

31

Kriteria terjadinya multikolinearitas adalah VIF > 10 atau nilai TOLERANCE < 0,1

(TOLERANCE = 1/VIF)

Heteroskedastisitas

Ragam galat diasumsikan konstan dari satu pengamatan ke pengamatan lain, hal ini disebut

homoskedastisitas.

Jika ragam galat berbeda disebut heteroskedastisitas.

Model regresi yang baik adalah tidak terjadi heteroskedastisitas.

Untuk mendeteksi heteroskedastisitas adalah dengan membuat plot nilai dugaan yang

dibakukan (standardized predicted value) dengan sisaan yang dibakukan (studentized residual).

Jika ada pola tertentu (bergelombang, melebar kemudian menyempit) maka terjadi

heteroskedastisitas.

Jika tidak ada pola jelas, maka tidak terjadi heteroskedastisitas.

Gambar 2. Plot nilai dugaan dibakukan dengan sisaan dibakukan

Pada Gambar 2, plot menunjukkan bahwa titik-titik berpencar secara acak (tidak berpola) yang

mengindikasikan homoskedastisitas. (Galat memiliki ragam yang sama).

Normalitas

Galat diasumsikan berdistribusi Normal 2,0~ Ni .

Model regresi yang baik adalah distribusi data normal atau mendekati normal.

Untuk mendeteksi normalitas digunakan normal p-p plot.

Jika titik-titik (sisaan) menyebar di sekitar garis diagonal dan mengikuti arah garis diagonal, maka

model regresi memenuhi asumsi normalitas.

Jika titik-titik (sisaan) menyebar jauh dari garis diagonal dan atau tidak mengikuti arah garis

diagonal, maka model regresi tidak memenuhi asumsi normalitas.

32

Gambar 3. Plot P-P Normal

Pada Gambar 3 terlihat bahwa titik-titik dekat dengan garis diagonal sehingga galat memiliki

distribusi normal.

Autokorelasi

Bila dalam model regresi linear ganda ada korelasi antara galat pada periode t dengan galat pada

periode t-1, maka dinamakan ada masalah autokorelasi.

Model regresi yang baik adalah model regresi yang bebas dari autokorelasi.

Autokorelasi sering ditemukan pada regresi yang datanya adalah time series atau berdasarkan

waktu berkala seperti bulanan, tahunan.

Deteksi autokorelasi dengan menggunakan besaran Durbin -Watson (D-W)

n

i

i

n

i

ii

e

ee

d

1

2

2

2

1)(

Hipotesis Nol

Hipotesis Alternatif Taraf Nyata

Kriteria Keputusan

H0 : = 0

(Tidak ada

autokorelasi)

H1 : > 0

(Ada autokorelasi

positif)

Jika d > dU maka terima H0 (tidak ada autokorelasi)

Jika d < dL maka tolak H0 (ada autokorelasi positif)

Jika dL ≤ d ≤ dU , maka uji tidak meyakinkan

H1 : < 0 (Ada autokorelasi negatif)

Jika 4-d > dU maka terima H0 (tidak ada autokorelasi) Jika 4-d < dL maka tolak H0 (ada autokorelasi negatif) Jika dL ≤ 4-D ≤ dU , maka uji tidak meyakinkan

H1 : ≠ 0 (Ada autokorelasi)

2 Jika d < dL atau 4-d < dL maka tolak H0 (ada autokorelasi) Jika d > dU dan 4-d > dU maka terima H0 (tidak ada autokorelasi ) Selain itu, maka uji dikatakan tidak meyakinkan

33

SOAL LATIHAN

Sebuah studi untuk mengetahui hubungan lama bekerja dan kepuasan kerja dengan pendapatan.

Berikut data sampel dari sembilan pekerja.

Pendapatan per tahun (ribuan dolar)

Lama bekerja Indeks kepuasan kerja

47 42 54 48 56 59 53 62 66

8 4

12 9

16 14 10 15 22

5,6 6,3 6,8 6,7 7,0 7,7 7,0 8,0 7,8

Selidiki pemenuhan asumsi-asumsi dalam model regresi linear ganda.

Berikut output SPSS.

34

35


Jurusan Pendidikan Matematika Topik 8 : Jumlah Kuadrat Ekstra

Kegunaan Jumlah Kuadrat Ekstra:

a. Mengukur pengurangan JKG akibat dimasukkannya 1 atau lebih peubah bebas ke dalam

model regresi, jika diketahui peubah-peubah lain telah ada di dalam model

b. Mengukur kenaikan JKR akibat dimasukkannya 1 atau beberapa peubah bebas ke dalam

model regresi

c. Untuk menguji apakah peubah Xk dapat dibuang dari model regresi ganda

d. Untuk menguji apakah beberapa peubah bebas dapat dibuang dari model regresi ganda

Definisi Jumlah kuadrat esktra 𝐽𝐾𝑅 𝑋2 𝑋1

mengukur pengaruh marjinal akibat penambahan X2 dalam model regresi yang sudah ada X1.

𝐽𝐾𝑅 𝑋2 𝑋1 = 𝐽𝐾𝑅 𝑋1, 𝑋2 − 𝐽𝐾𝑅 𝑋1 atau

𝐽𝐾𝑅 𝑋2 𝑋1 = 𝐽𝐾𝐺 𝑋1 − 𝐽𝐾𝐺 𝑋1, 𝑋2

Perluasan

𝐽𝐾𝑅 𝑋3 𝑋1, 𝑋2 = 𝐽𝐾𝑅 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3 − 𝐽𝐾𝑅 𝑋1, 𝑋2 atau

𝐽𝐾𝑅 𝑋3 𝑋1, 𝑋2 = 𝐽𝐾𝐺 𝑋1, 𝑋2 − 𝐽𝐾𝐺 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3

Contoh 1 Perhatikan tabel berikut

18572,0496,1ˆ XY 28565,0634,23ˆ XY

Sumber variasi

JK db KT

Regresi JKR(X1)=352,27 1 352,27

Galat JKG(X1)=143,12 18 7,95

Total 495,39 19

Sumber variasi JK db KT

Regresi JKR(X2)=381,97 1 381,97

Galat JKG(X2)=113,42 18 6,30

Total 495,39 19

21 6594,02224,0174,19ˆ XXY 321 186,2857,2334,408,117ˆ XXXY

Sumber variasi

JK db MS

Regresi JKR(X1,X2)=385,44 2 192,72

Galat JKG(X1,X2)=109,95 17 6,47

Total 495,39 19

Sumber variasi

JK db KT

Regresi JKR(X1,X2,X3)=396,98 3 132,33

Galat JKG(X1,X2,X3)=98,41 16 6,15

Total 495,39 19

36

Jumlah kuadrat galat bila X1 dan X2 ada dalam model, 𝐽𝐾𝐺 𝑋1, 𝑋2 = 109,95 lebih kecil dibandingkan bila dalam model hanya ada X1, 𝐽𝐾𝐺 𝑋1 = 143,12.

Jumlah kuadrat ekstra untuk pengaruh marjinal akibat penambahan X2 dalam model regresi yang sudah ada X1.

𝐽𝐾𝑅 𝑋2 𝑋1 = 𝐽𝐾𝐺 𝑋1 − 𝐽𝐾𝐺 𝑋1, 𝑋2 = 143,12 − 109,95 = 33,17

atau 𝐽𝐾𝑅 𝑋2 𝑋1 = 𝐽𝐾𝑅 𝑋1, 𝑋2 − 𝐽𝐾𝑅 𝑋1 = 385,44 − 352,27 = 33,17

Jumlah kuadrat ekstra untuk pengaruh marjinal akibat penambahan X3 dalam model regresi yang sudah ada X1 dan X2. 𝐽𝐾𝑅 𝑋3 𝑋1, 𝑋2

= 𝐽𝐾𝐺 𝑋1, 𝑋2 − 𝐽𝐾𝐺 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3 = 109,95 − 98,41 = 11,54 atau 𝐽𝐾𝑅 𝑋3 𝑋1, 𝑋2

= 𝐽𝐾𝑅 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3 − 𝐽𝐾𝑅 𝑋1, 𝑋2 = 396,98 − 385,44 = 11,54 Dekomposisi JKR menjadi Jumlah Kuadrat Ekstra Dalam regresi ganda dapat diperoleh beberapa dekomposisi JKR menjadi Jumlah Kuadrat Ekstra. Misal untuk dua peubah bebas. 𝐽𝐾𝑇 = 𝐽𝐾𝑅 𝑋1 + 𝐽𝐾𝐺 𝑋1 Lalu substitusi 𝐽𝐾𝐺 𝑋1 dengan 𝐽𝐾𝑅 𝑋2 𝑋1

+ 𝐽𝐾𝐺 𝑋1, 𝑋2 sehingga 𝐽𝐾𝑇 = 𝐽𝐾𝑅 𝑋1 + 𝐽𝐾𝑅 𝑋2 𝑋1

+ 𝐽𝐾𝐺 𝑋1, 𝑋2 → 𝐽𝐾𝑇 = 𝐽𝐾𝑅 𝑋1, 𝑋2 + 𝐽𝐾𝐺 𝑋1, 𝑋2

Tabel 1. Contoh Tabel ANOVA dengan Dekomposisi JKR untuk Tiga Peubah X

Sumber Variasi JK db KT

Regresi

X1

X2|X1

X3|X1,X2

JKR(X1, X2, X3)

JKR(X1)

JKR(X2|X1)

JKR(X3|X1,X2)

3

1

1

1

KTR(X1, X2, X3)

KTR(X1)

KTR(X2|X1)

KTR(X3|X1,X2)

Galat JKG(X1, X2, X3) n - 4 KTG(X1, X2, X3)

Total JKT n - 1

Uji masing-masing 𝜷𝒌 = 𝟎

Bentuk 𝛽𝑘𝑋𝑘 dapat dikeluarkan dari model regresi ganda, dengan hipotesis alternatif sebagai

berikut

Hipotesis Nol Hipotesis Alternatif Statistik Uji Kriteria keputusan

H0 : 𝛽𝑘 = 0 H1 : 𝛽𝑘 ≠ 0 𝑡 =

𝑏𝑘

𝑠 𝑏𝑘

H0 ditolak jika 𝑡 > 𝑡𝛼2

(𝑛−𝑝 )

37

Hipotesis :

H0 : k= 0

H1 : k 0

Taraf nyata :

Statistik Uji :

KTG

XXXXXKTR

pn

XXJKGXXXXXJKRF

pkkk

ppkkk

1111

111111

,,,,,

,,:

1

,,,,,


H0 ditolak jika Fhit > F(1,n-p)

Uji Apakah Semua k = 0

Hipotesis :

H0 : 1 = 2 = … = p-1 = 0

H1 : Tidak semua k (k=1, …, p-1) sama dengan nol

Taraf nyata :

Statistik Uji :

KTG

KTR

pn

XXJKG

p

XXJKRF

pp

1111 ,,:

1

,,


H0 ditolak jika Fhit > F(p-1,n-p)

Uji Apakah Beberapa k = 0

Hipotesis :

H0 : q= q+1 = …= p-1= 0

H1 : Tidak semua k di dalam H0 sama dengan nol

Taraf nyata :

Statistik Uji :

KTG

XXXXKTR

pn

XXJKG

qp

XXXXJKRF

qpq

pqpq

111

11111

,,,,

,,:

,,,,


H0 ditolak jika Fhit > F(p-q,n-p)

38

Misalkan model regresi orde pertama dengan tiga peubah bebas

𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖1 + 𝛽2𝑋𝑖2 + 𝛽3𝑋𝑖3 + 𝜀𝑖

Uji apakah 𝛽3 = 0.

Hipotesis Nol Hipotesis

Alternatif


H0 : 𝛽3 = 0 H1 : 𝛽3 ≠ 0 𝐹 =

𝐽𝐾𝑅 𝑋3 𝑋1, 𝑋2 1

𝐽𝐾𝐺 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3 𝑛 − 4

H0 ditolak jika

𝐹 > 𝐹𝛼(1,𝑛−4)

Contoh 2

Dari contoh 1. Apakah X3 dapat dikeluarkan dari model regresi? Gunakan taraf nyata 𝛼 = 0.01.

Hipotesis

H0 : 𝛽3 = 0

H1 : 𝛽3 ≠ 0

Taraf nyata: 𝛼 = 0,01

Statistik Uji: 𝐹 =𝐽𝐾𝑅 𝑋3 𝑋1 ,𝑋2

1

𝐽𝐾𝐺 𝑋1 ,𝑋2 ,𝑋3 𝑛−4

Kriteria keputusan: F0,01(1,20-4) = F0,01(1,16) = 8,53

H0 ditolak jika 𝐹ℎ𝑖𝑡 > 8,53

Hitungan:

𝐹 =11,54 1

98,41 16 = 1,88

Kesimpulan:

Karena Fhit = 1,88 < 8,53 maka H0 diterima. (𝛽3 = 0)

Jadi pada taraf nyata 0,01 dapat disimpulkan bahwa X3 dapat dikeluarkan dari model regresi.

Misalkan model regresi orde pertama dengan tiga peubah bebas

𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖1 + 𝛽2𝑋𝑖2 + 𝛽3𝑋𝑖3 + 𝜀𝑖 (Model Lengkap)

Apakah 𝑋2 and 𝑋3 dapat dikeluarkan dari model regresi.

Null Hypothesis Alternative

Hypothesis

Statistik Uji Kriteria

Keputusan

H0 : 𝛽2 = 𝛽3 = 0 H1 : Tidak semua

𝛽2 dan 𝛽3 sama

dengan nol

𝐹 =𝐽𝐾𝑅 𝑋2, 𝑋3 𝑋1

2

𝐽𝐾𝐺 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3 𝑛 − 4

H0 ditolak jika

𝐹 > 𝐹𝛼(2,𝑛−4)

Contoh 3

Dari contoh 1. Apakah X2 dan X3 dapat dikeluarkan dari model regresi? Gunakan taraf nyata

𝛼 = 0,01.

39

Hipotesis

H0 : 𝛽2 = 𝛽3 = 0

H1 : Tidak semua 𝛽2 dan 𝛽3 sama dengan nol

Taraf nyata: 𝛼 = 0,01

Statistik Uji: 𝐹 =𝐽𝐾𝑅 𝑋2 ,𝑋3 𝑋1

2

𝐽𝐾𝐺 𝑋1 ,𝑋2 ,𝑋3 𝑛−4

Kriteria keputusan: F0,01(1,20-4) = F0,01(2,16) = 6,23

H0 ditolak jika 𝐹ℎ𝑖𝑡 > 3,63

Hitungan:

𝐹 =44,71/2

98,41 16 = 3,63

Hitungan:

Karena Fhit = 3,63 < 6,23 maka H0 diterima. (𝛽2 = 𝛽3 = 0)

Jadi pada taraf nyata 0,01 dapat disimpulkan bahwa X2 dan X3 dapat dikeluarkan dari model

regresi.

Koefisien Determinasi Parsial

• Untuk mengukur sumbangan marjinal satu peubah bebas X, bila semua peubah bebas

lain telah ada di dalam model.

• Model regresi ganda ordo-pertama dengan 2 peubah bebas

iiii XXY 22110

Maka koefisien determinasi parsial antara Y dan X1 bila dalam model sudah ada X2

adalah

2

212

2.1XJKG

XXJKRrY

Ukuran ini mengukur proporsi penurunan keragaman Y yang diakibatkan oleh

dimasukkannya X1 dalam model yang sebelumnya sudah ada X2.

Misalkan diperoleh

232,012,143

17,33

1

122

1.2 XJKG

XXJKRrY , artinya jika X2 dimasukkan ke dalam

model regresi yang di dalamnya sudah ada X1 maka JKG akan berkurang 23,2%.

Berikut beberapa rumus koefisien determinasi parsial

2

212

2.1XJKG

XXJKRrY ,

32

3212

23.1,

,

XXJKG

XXXJKRrY ,

31

3122

13.2,

,

XXJKG

XXXJKRrY ,

21

2132

12.3,

,

XXJKG

XXXJKRrY

321

32142

123.4,,

,,

XXXJKG

XXXXJKRrY

40

Koefisien Korelasi Parsial

a. Koefisien korelasi parsial merupakan akar kuadrat koefisien determinasi parsial.

b. Koefisien ini mempunyai tanda yang sama dengan koefisien regresi padanannya di dalam

fungsi regresi dugaannya.

Contoh 4

Dari contoh 1. Tentukan koefisien korelasi parsial X2 bila X1 sudah ada dalam model regresi?

21 6594,02224,0174,19ˆ XXY

𝑟𝑌2|1 = 𝑅𝑌2|12 = 0,232 = 0,482

Koefisien 𝑟𝑌2|1 ini bernilai positif karena b2 = 0,6594 bernilai positif.

41


Jurusan Pendidikan Matematika Topik 9 : Seleksi Model Langkah-langkah dalam membangun model

1. Pilih satu set peubah bebas 2. Sesuaikan model regresi dengan nilai VIF 3. Jika nilai VIF > 5 maka eliminasi peubah bebas yang memiliki nilai VIF tertinggi, jika

semua nilai VIF 5 maka lanjut ke langkah 5 4. Sesuaikan model regresi dengan nilai VIF untuk model yang baru (tanpa peubah yang

telah dihapus) 5. Lakukan best-subsets regression dengan peubah bebas yang tersisa

6. Daftar seluruh model yang mempunyai Cp (p+1), dengan p adalah banyaknya peubah bebas dalam model

7. Pada langkah 6, pilih model terbaik dengan menggunakan kriteria Cp, R2adj, s

8. Lanjutkan analisis yang lengkap dengan analisis sisaan 9. Perbaiki model bila ada indikasi pelanggaran asumsi 10. Gunakan model terbaik yang telah diperoleh bisa untuk prediksi dan inferensi

Best-Subset Regression Kriteria dalam memilih model terbaik pada best-subset regression:

1. Cp, pilih nilai Cp p+1 (Cp mengukur ketepatan model)

2. S, pilih nilai simpangan baku yang terkecil ( 𝑠 = 𝐾𝑇𝐺) 3. R2

adj, pilih nilai R2adj mendekati 1 (100%)

4. Prinsip parsimony, model dengan peubah bebas yang lebih sedikit adalah lebih baik daripada lebih banyak peubah bebas.

Contoh 1 Berikut hasil output Minitab Best Subsets Regression: Y versus X1, X2, X3, X4 Response is Y

Mallows X X X X

Vars R-Sq R-Sq(adj) Cp S 1 2 3 4

1 36.6 34.0 13.3 38.621 X

1 17.1 13.7 24.2 44.162 X

2 49.0 44.6 8.4 35.387 X X

2 45.0 40.2 10.6 36.749 X X

3 53.8 47.5 7.8 34.443 X X X

3 53.6 47.3 7.8 34.503 X X X

4 62.3 55.1 5.0 31.835 X X X X

Model terbaik adalah 𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋1 + 𝛽2𝑋2 + 𝛽3𝑋3 + 𝛽4𝑋4 + 𝜀, karena memiliki nilai R2

adj =

55,1 terbesar, R2 = 62,3 terbesar , Cp Mallows = 5,0 ( 5) dan S = 31,835 terkecil.

42

Forward Regression Pada metode forward regression, penambahan peubah bebas ke dalam model dilakukan satu per satu berdasarkan kekuatan koefisien korelasi.

Gambar 1. Diagram Alur untuk Forward Selection Contoh 2 Berikut hasil output Minitab Stepwise Regression: Y versus X1, X2, X3, X4 Forward selection. Alpha-to-Enter: 0.25

Response is Y on 4 predictors, with N = 26

Step 1 2 3 4

Constant -272.4 -330.7 -283.7 -330.8

X1 1.42 1.76 1.75 1.25

T-Value 3.72 4.66 4.75 3.02

P-Value 0.001 0.000 0.000 0.006

X2 -0.139 -0.119 -0.118

T-Value -2.36 -2.02 -2.18

P-Value 0.027 0.055 0.041

X3 -0.16 -0.30

T-Value -1.48 -2.52

P-Value 0.153 0.020

X4 0.131

T-Value 2.20

P-Value 0.039

S 38.6 35.4 34.5 31.8

R-Sq 36.60 48.99 53.62 62.31

R-Sq(adj) 33.96 44.56 47.29 55.13

Mallows Cp 13.3 8.4 7.8 5.0

43

Model terbaik adalah 𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋1 + 𝛽2𝑋2 + 𝛽3𝑋3 + 𝛽4𝑋4 + 𝜀, karena memiliki nilai R2adj =

55,13 terbesar, R2 = 62,31 terbesar , Cp Mallows = 5,0 ( 5) dan S = 31,8 terkecil. Backward Regression Pada metode backward regression, diawali dengan memasukan semua peubah bebas ke dalam model lalu mengeluarkan peubah bebas yang memiliki nilai R2 terkecil.

Gambar 2. Diagram Alur untuk Backward Elimination Contoh 3 Berikut hasil output Minitab Stepwise Regression: Y versus X1, X2, X3, X4

Backward elimination. Alpha-to-Remove: 0.1


Step 1

Constant -330.8

X1 1.25

T-Value 3.02

P-Value 0.006

X2 -0.118

T-Value -2.18

P-Value 0.041

X3 -0.30

T-Value -2.52

P-Value 0.020

X4 0.131

T-Value 2.20

P-Value 0.039

44

S 31.8

R-Sq 62.31

R-Sq(adj) 55.13

Mallows Cp 5.0

Model terbaik adalah 𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋1 + 𝛽2𝑋2 + 𝛽3𝑋3 + 𝛽4𝑋4 + 𝜀, karena memiliki nilai R2

adj =

55,13 terbesar, R2 = 62,31 terbesar , Cp Mallows = 5,0 ( 5) dan S = 31,8 terkecil. Stepwise Regression

Pada metode stepwise regression merupakan kombinasi antara forward dan backward.

Contoh 4 Berikut hasil output Minitab Stepwise Regression: Y versus X1, X2, X3, X4 Alpha-to-Enter: 0.15 Alpha-to-Remove: 0.15


Step 1 2

Constant -272.4 -330.7

X1 1.42 1.76

T-Value 3.72 4.66

P-Value 0.001 0.000

X2 -0.139

T-Value -2.36

P-Value 0.027

S 38.6 35.4

R-Sq 36.60 48.99

R-Sq(adj) 33.96 44.56

Mallows Cp 13.3 8.4

Model terbaik adalah 𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋1 + 𝛽2𝑋2 + 𝜀, karena memiliki nilai R2

adj = 44,56 terbesar, R2 = 48,99 terbesar ,

Cp Mallows = 8,4 (> 3) tidak memenuhi dan S = 35,4 terkecil.

45

SOAL LATIHAN

Data 1

Seorang direktur operasi penyiaran di suatu stasiun televisi ingin mempelajari tentang “jam

siaga” . Ia ingin memperoleh model terbaik untuk memprediksikan berapa jumlah jam siaga per

minggu (Y) bagi pekerja. Peubah bebas yang telah tersedia adalah jumlah pekerja yang hadir

(X1), jumlah jam istirahat (X2), jumlah jam sibuk (X3) dan total jam kerja (X4). Berikut data selama

26 minggu.

i Y X1 X2 X3 X4 i Y X1 X2 X3 X4

1 245 338 414 323 2001 14 161 307 402 207 1720

2 177 333 598 340 2030 15 274 322 151 287 2056

3 271 358 656 340 2226 16 245 335 228 290 1890

4 211 372 631 352 2154 17 201 350 271 355 2187

5 196 339 528 380 2078 18 183 339 440 300 2032

6 135 289 409 339 2080 19 237 327 475 284 1856

7 195 334 382 331 2073 20 175 328 347 337 2068

8 118 293 399 311 1758 21 152 319 449 279 1813

9 116 325 343 328 1624 22 188 325 336 244 1808

10 147 311 338 353 1889 23 188 322 267 253 1834

11 154 304 353 518 1988 24 197 317 235 272 1973

12 146 312 289 440 2049 25 261 315 164 223 1839

13 115 283 388 276 1796 26 232 331 270 272 1935

Tentukan model terbaik dengan kriteria best-subsets regression, forward selection dan backward

elimination.

Data 2

Data tentang rumah sakit. Peubah tak bebas adalah jumlah jam perawat bekerja per bulan (Y) dan

peubah bebas adalah rata-rata jumlah pasien per hari (X1), jumlah pasien yang rontgen (X2), jumlah

tempat tidur yang terisi per bulan (X3), rata-rata daya tampung pasien baru yang menginap (X4) dan

rata-rata lama pasien menginap (X5).

i Y X1 X2 X3 X4 X5

1 566,5 15,57 2463 472,9 18 4,45

2 696,8 44,02 2048 1339,8 9,5 6,92

3 1033,2 20,42 3940 620,3 12,8 4,28

4 1603,6 18,74 6505 568,3 36,7 3,9

5 1611,4 49,20 5723 1497,6 35,7 5,5

6 1613,3 44,92 11520 1365,8 24 4,6

7 1854,2 55,48 5779 1687 43,3 5,62

8 2160,6 59,28 5969 1639,9 46,7 5,15

9 2305,6 94,39 8461 2872,3 78,7 6,18

46

10 3503,9 128,02 20106 3655,1 180,5 6,15

11 3571,9 96,00 13313 2912 60,9 5,88

12 3741,4 131,42 10771 3921 103,7 4,88

13 4026,5 127,21 15543 2865,7 126,8 5,5

14 10343,8 252,90 36194 7684,1 157,7 7

15 11732,2 409,20 34703 12446,3 169,4 10,78

16 15414,9 463,70 39204 14098,4 331,4 7,05

17 18854,4 510,22 86533 15524 371,6 6,35


elimination.

Data 3

Berikut data sampel.

i Y X1 X2 X3 X4 X5 X6

1 443 49 79 76 8 15 205

2 290 27 70 31 6 6 129

3 676 115 92 130 0 9 339

4 536 92 62 92 5 8 247

5 481 67 42 94 16 3 202

6 296 31 54 34 14 11 119

7 453 105 60 47 5 10 212

8 617 114 85 84 17 20 285

9 514 98 72 71 12 -1 242

10 400 15 59 99 15 11 174

11 473 62 62 81 9 1 207

12 157 25 11 7 9 9 45

13 440 45 65 84 19 13 195

14 480 92 75 63 9 20 232

15 316 27 26 82 4 17 134

16 530 111 52 93 11 13 256

17 610 78 102 84 5 7 266

18 617 106 87 82 18 7 276

19 600 97 98 71 12 8 266

20 480 67 65 62 13 12 196

21 279 38 26 44 10 8 110

22 446 56 32 99 16 8 188

23 450 54 100 50 11 15 205

24 335 53 55 60 8 0 170

25 459 61 53 79 6 5 193

26 630 60 108 104 17 8 273

27 483 83 78 71 11 8 233

47

28 617 74 125 66 16 4 265

29 605 89 121 71 8 8 283

30 388 64 30 81 10 10 176

31 351 34 44 65 7 9 143

32 366 71 34 56 8 9 162

33 493 88 30 87 13 0 207

34 648 112 105 123 5 12 340

35 449 57 69 72 5 4 200

36 340 61 35 55 13 0 152

37 292 29 45 47 13 13 123

38 688 82 105 81 20 9 268

39 408 80 55 61 11 1 197

40 461 82 88 54 14 7 225


elimination.

48


Jurusan Pendidikan Matematika Topik 10 : Analisis Variansi Analisis variansi digunakan untuk menguji kesamaan tiga rata-rata populasi atau lebih dengan hipotesis nol 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 = 𝜇3 = ⋯ = 𝜇𝑘 , dan hipotesis alternatif : paling sedikit ada sepasang rata-rata tidak sama dengan nol (𝐻1: ∃ 𝜇𝑖 ≠ 𝜇𝑗 , 𝑖 ≠ 𝑖′, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑘).

Definisi Analisis variansi (ANAVA) adalah metode pengujian kesamaan tiga atau lebih rata-rata populasi dengan analisis variansi sampel. Metode ANAVA menggunakan distribusi F. Distribusi F mempunyai sifat-sifat berikut:

1. Distribusi F tidak simetri dengan kemiringan ke kanan. 2. Nilai F dapat 0 atau positif, tetapi tidak dapat bernilai negatif. 3. Distribusi F memiliki dua derajat bebas yaitu untuk pembilang dan penyebut.

Gambar 1. Distribusi F

Analisis Variansi Satu Arah Analisis variansi satu arah (analisis variansi satu faktor) digunakan untuk menguji tiga atau lebih rata-rata populasi dengan satu karakteristik dalam populasi. Analisis variansi digunakan pula untuk menganalisis data yang diperoleh dari rancangan percobaan. Berikut beberapa istilah yang digunakan dalam merancang percobaan. Definisi Perlakuan : suatu prosedur atau metode yang diterapkan pada unit percobaan.

Setara dengan taraf dari faktor. Unit Percobaan : unit terkecil dalam suatu percobaan yang diberi suatu perlakuan.

Unit dimana perlakuan diberikan secara acak. Satuan Pengamatan : anak gugus dari unit percobaan, tempat dimana respon

perlakuan diukur.

49

Faktor : peubah bebas yang dicobakan dalam percobaan sebagai penyusun struktur perlakuan.

Taraf : jenis-jenis suatu faktor yang dicobakan dalam percobaan Asumsi-asumsi dalam analisis variansi

1. Sampel berasal dari populasi berdistribusi normal

2. Sampel berasal dari populasi yang memiliki variansi sama 2

Ada dua pendekatan untuk menduga nilai 2 yaitu

1. Variansi antara sampel (variansi antar perlakuan) adalah penduga variansi populasi 2 berdasarkan variansi antar rata-rata sampel

2. Variansi dalam sampel (variansi akibat galat) adalah penduga variansi populasi 2 berdasarkan variansi sampel

Statistik Uji untuk Anava satu arah

𝐹 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠𝑖 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑟 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙

𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠𝑖 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙

Perhatikan kedua kasus berikut.

Pengaruh Rata-rata pada Statistik Uji F A ditambahkan 10 B

Sampel 1 Sampel 2 Sampel 3

17 16 14

13 15 17

16 15 16

16 18 17

n1 = 4 n2 = 4 n1 = 4

𝑥 1 = 5,5 𝑥 2 = 6,0 𝑥 3 = 6,0

𝑠12 = 3,0 𝑠2

2 = 2,0 𝑠32 = 2,0

Tabel A Variansi antar sampel

𝑛𝑠𝑋 2 = 4 0,0833 = 0,3332

Variansi dalam sampel

𝑠𝑝2 =

𝑠12 + 𝑠2

2 + 𝑠32

3=

3,0 + 2,0 + 2,0

3= 2,3333

Derajat Bebas Derajat bebas pembilang = k– 1 Derajat bebas penyebut = k(n - 1) k = banyaknya perlakuan, n = ukuran sampel

Sampel 1 Sampel 2 Sampel 3

7 6 4

3 5 7

6 5 6

6 8 7

n1 = 4 n2 = 4 n1 = 4

𝑥 1 = 5,5 𝑥 2 = 6,0 𝑥 3 = 6,0

𝑠12 = 3,0 𝑠2

2 = 2,0 𝑠32 = 2,0

50

Perhitungan analisis variansi untuk ukuran sampel sama

Sumber variasi Penduga bagi 𝜎2 Statistik Uji Kriteria keputusan

Antar sampel 𝑛𝑆 2 =

𝑛 𝑋𝑖 − 𝑋

2𝑘𝑖=1

𝑘 − 1 𝐹 =

𝑛𝑆 2

𝑆𝑖

2

𝑘𝑘𝑖=1

H0 ditolak jika

F > F(k-1, k(n-1))

Dalam sampel

𝑆𝑖2

𝑘

𝑘

𝑖=1

Perhitungan analisis variansi untuk ukuran sampel berbeda

Sumber variasi Penduga bagi 𝜎2 Statistik Uji Kriteria Keputusan

Antar sampel 𝑛𝑖 𝑋𝑖 − 𝑋

2𝑘𝑖=1

𝑘 − 1

𝐹 =

𝑛𝑖 𝑋𝑖 − 𝑋

2𝑘𝑖=1

𝑘 − 1 𝑛𝑖 − 1 𝑆𝑖

2𝑘𝑖=1

𝑛𝑖 − 1 𝑘𝑖=1

H0 ditolak jika F > 𝐹𝛼(𝑘−1, 𝑛𝑖−1

Dalam sampel 𝑛𝑖 − 1 𝑆𝑖2𝑘

𝑖=1

𝑛𝑖 − 1 𝑘𝑖=1

Perhitungan diatas ekuivalen dengan menghitung komponen-komponen Anava berikut :

1) JKT (Jumlah Kuadrat Total) mengukur variasi total (sekitar 𝑋 ) dalam seluruh sampel.

𝐽𝐾𝑇 = 𝑥𝑖 − 𝑥 2

JKT dapat diuraikan menjadi komponen JKP (Jumlah Kuadrat Perlakuan) dan JKG (Jumlah Kuadrat Galat).

2) JKP (Jumlah Kuadrat Perlakuan), dimaksudkan untuk JK antar sampel, mengukur variasi antara rata-rata sampel.

𝐽𝐾𝑃 = 𝑛𝑗 𝑥 𝑗 − 𝑥 2

3) JKG (Jumlah Kuadrat Galat), dimaksudkan untuk JK (dalam sampel), adalah jumlah kuadrat yang menunjukkan variasi dalam sampel.

𝐽𝐾𝐺 = 𝑛𝑗 − 1 𝑠𝑗2

Sumber variasi

Derajat bebas (db)

Jumlah Kuadrat (JK)

Kuadrat Tengah (KT)


Perlakuan k - 1 𝑛𝑗 𝑥 𝑗 − 𝑥 2 JKP /(k-1)

𝐹 =𝐾𝑇𝑃

𝐾𝑇𝐺

H0 ditolak jika F > 𝐹𝛼(𝑘−1,𝑛−𝑘) Galat n – k 𝑛𝑗 − 1 𝑠𝑗

2

JKG/(n-k)

Total n – 1 𝑥𝑖 − 𝑥 2

51

Contoh

Seorang administrator perguruan tinggi mengklaim bahwa tidak ada perbedaan rata-rata

nilai UAN siswa dari tiga SMA berbeda yang masuk perguruan tinggi tersebut. Data berikut

adalah 15 mahasiswa tahun pertama yang dipilih secara acak dari tiga sekolah tersebut

dengan masing-masing sekolah diambil 5 orang. Apakah pernyataan administrator tersebut

cukup beralasan? Gunakan taraf nyata 0,05.

SMA A SMA B SMA C

3,2 2,8 2,5

2,7 3,0 2,8

3,0 3,3 2,4

3,3 2,5 2,2

2,6 3,1 3,0

Penyelesaian: Misal 1: SMA A, 2: SMA B, 3: SMA C.

SMA A SMA B SMA C

3,2 2,8 2,5

2,7 3,0 2,8

3,0 3,3 2,4

3,3 2,5 2,2

2,6 3,1 3,0

𝑥 𝑗 2,96 2,94 2,58

𝑠𝑗 0,304959 0,304959 0,319374

𝑛𝑗 5 5 5

𝑥𝑖 = 42,4 ; 𝑥𝑖2 = 121,46; 𝑥 = 2,8267

𝐽𝐾𝑇 = 𝑥𝑖2 − 𝑛𝑥 2 = 121,46 − 15 × 2,82672 = 1,6065

𝐽𝐾𝑃 = 𝑛𝑗𝑥 𝑗2

𝑗

− 𝑛𝑥 2 = 5 × 2,962 + 5 × 2,942 + 5 × 2,582 − 15 × 2,82672

= 120,308 − 119,8535 = 0,4545

𝐽𝐾𝐺 = 𝐽𝐾𝑇 − 𝐽𝐾𝑃 = 1,6065 − 0,4545 = 1,152

Hipotesis

H0 : 𝜇1 = 𝜇2 = 𝜇3

H1 : ∃ 𝜇𝑖 ≠ 𝜇𝑗 , 𝑖 ≠ 𝑖′, 𝑖 = 1, 2, 3

Taraf nyata: = 0.05

Statistik Uji:

𝐹 =𝐽𝐾𝑃 𝑘−1

𝐽𝐾𝐺 𝑛−𝑘

Kriteria keputusan: k = 3, n = 15; F0,05(2,12) = 3,89


Hitungan:

𝐹 =0,4545/2

1,152 12 = 2,367

52

Kesimpulan:

Karena Fhit = 2,367 < 3,89 maka H0 diterima. Jadi pada taraf nyata 0,05 dapat disimpulkan bahwa tidak ada perbedaan rata-rata nilai UAN siswa dari tiga SMA berbeda yang masuk perguruan tinggi tersebut.

SOAL LATIHAN

1. Lima belas siswa kelas XI di suatu sekolah menengah pertama dengan kemampuan relatif sama telah dipilih secara acak untuk dikelompokkan dalam 3 grup yang selanjutnya diberikan perlakuan tiga metode mengajar aritmetika yang berbeda. Pada akhir semester, tes yang sama diberikan kepada lima belas siswa tersebut. Berikut tabel hasil tes dari siswa tersebut.

Metode I Metode II Metode III

48 55 84

73 85 68

51 70 95

65 69 74

87 90 67

Apakah dapat disimpulkan bahwa rata-rata hasil tes siswa dari ketiga metode itu

berbeda? Gunakan taraf nyata 0,05 dan anggap bahwa asumsi-asumsi dalam analisis

variansi terpenuhi.

2. Empat desain sirkuit komputer digital yang berbeda telah diteliti untuk dibandingkan volume suara yang muncul. Hasil berikut diperoleh:

Desain Sirkuit Komputer Digital

Volume suara (dalam dB)

1 29; 26; 27; 30

2 36; 34; 33; 35; 30

3 36; 41; 35; 39

4 42; 38; 37; 41; 45

Apakah rata-rata volume suara yang muncul sama untuk semua desain sirkuit

komputer digital? Gunakan α = 0,05. Anggap bahwa asumsi-asumsi dalam analisis

variansi terpenuhi.

53

Rancangan Acak Lengkap (RAL) (Complete Randomized Design)

Latar belakang dari rancangan acak lengkap:

a. Biasanya digunakan jika kondisi unit percobaan relatif homogen

b. Umumnya percobaan dilakukan di laboratorium

c. Unit percobaan tidak cukup besar dan jumlah perlakuan terbatas

d. Sederhana

Beberapa keuntungan dari penggunaan RAL

Bagan rancangan percobaan lebih mudah

Analisis statistika terhadap subyek percobaan sederhana

Fleksibel dalam penggunaan jumlah perlakuan dan jumlah ulangan

Kehilangan informasi relatif sedikit dalam hal data hilang dibandingkan rancangan

lain

Pengacakan dan Bagan Percobaan

Misalkan ada 3 perlakuan (A, B, C)

2 ulangan

Maka diperlukan 3 2 = 6 unit percobaan

Bagan percobaan Salah satu hasil pengacakan adalah

1 2

3 4

5 6

Tabulasi data

1 C 2 A

3 A 4 B

5 C 6 B

Ulangan Perlakuan Total Keseluruhan

A B C

1 Y11 Y21 Y31

2 Y12 Y22 Y32

Total Perlakuan (Yi.) Y1. Y2. Y3. Y..

54

Model linier aditif dalam RAL

Model Tetap

Model tetap merupakan model dimana perlakuan-perlakuan yang digunakan dalam

percobaan berasal dari populasi yang terbatas dan pemilihan perlakuan ditentukan

langsung oleh peneliti dan kesimpulan yang diperoleh terbatas hanya pada

perlakuan-perlakuan yang dicobakan saja tidak bisa digeneralisasikan.

Model Acak

Model acak merupakan model dimana perlakuan-perlakuan yang dicobakan

merupakan sampel acak dari populasi perlakuan dan kesimpulan yang diperoleh

berlaku secara umum untuk seluruh populasi perlakuan.

Model linier aditif dari RAL adalah

ijiijY

dengan

2,0~

,,2,1

,,2,1

N

rj

ai

iid

ij

Yij : pengamatan pada perlakuan ke-i dan ulangan ke-j

μ : rataan umum

i : pengaruh perlakuan ke-i

ij : pengaruh acak pada perlakuan ke-i ulangan ke-j

Asumsi untuk model tetap ialah 𝜏𝑖 = 0𝑎𝑖=1 .

Asumsi untuk model acak ialah 𝜏𝑖 𝑁 0, 𝜎𝜏2 ~

𝑖𝑖𝑑 .

Analisis pada Model Tetap

Ingin menguji persamaan dari rata-rata a perlakuan, diketahui

aiYE iiij ,,2,1,

Sehingga bentuk hipotesis

H0 : a 21 (Semua perlakuan memberikan respons yang sama)

H1 : aiiiii ,,2,1,,'

Diketahui ii

0

berakibat sehingga

,

1

1

11

11

a

i

i

a

i

ia

i

i

a

i

i

a

i

i

a

i

i

aa

55

Sehingga bentuk hipotesis diatas ekuivalen dengan hipotesis berikut

H0 : 021 a (perlakuan tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)

H1 : aii ,,2,1,0

Analisis pada Model Acak

Diketahui

22

bebas saling dan ,

konstanta ,

ijiiji

iji

ijiij

VarVar

Var

VarYVar

Sehingga bentuk hipotesisnya adalah

H0 : 02 (Keragaman perlakuan tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)

H1 : 02 (Keragaman perlakuan berpengaruh positif terhadap respons yang diamati)

Dekomposisi Jumlah Kuadrat Total

Keragaman total dapat diuraikan sebagai berikut:

Jika kedua ruas dikuadratkan maka akan diperoleh

iijiiijiij YYYYYYYYYY 2

222

Kemudian jika dijumlahkan untuk semua pengamatan

a

i

r

j

iiji

a

i

r

j

iij

a

i

r

j

i

a

i

r

j

ij

YYYY

YYYYYY

1 1

1 1

2

1 1

2

1 1

2

0 karena

Sehingga

Jumlah Kuadrat Total = Jumlah Kuadrat Perlakuan + Jumlah Kuadrat Galat

JKT = JKP + JKG

Perhitungan Analisis Variansi (Anava)

Ulangan sama Ulangan tidak sama

JKPJKTJKG

FKYJKT

FKr

Y

JKP

ar

YFK

a

i

r

j

ij

a

i

i

1 1

2

1

2

2

JKPJKTJKG

FKYJKT

FKr

YJKP

r

YFK

a

i

r

j

ij

a

i i

i

a

i

i

1 1

2

1

2

1

2

iijiij

iiijij

YYYYYY

YYYYYY

56

Tabel Analisis Variansi

Ulangan sama Ulangan tidak sama

SV db JK KT Fhitung

Perlakuan a-1 JKP KTP KTP/KTG

Galat a(r-1) JKG KTG

Total ar-1 JKT

SV db JK KT Fhitung


Galat (ri -1) JKG KTG

Total ri -1 JKT

Kriteria keputusan

H0 ditolak jika Fhit > F(a-1, a(r-1))

Kriteria keputusan

H0 ditolak jika Fhit > F(a-1, (ri -1))

SOAL LATIHAN

1. Suatu penelitian telah dilakukan untuk mengetahui pengaruh persentase kandungan

paracetamol dalam obat penurun panas terhadap waktu yang diperlukan untuk

menurunkan panas dari 39 menjadi 37. Untuk keperluan ini telah dipilih secara

acak 25 penderita sakit panas dengan suhu 39 dari usia yang hampir sama dan tanpa

keluhan sakit yang lain. Keduapuluh lima pasien tersebut dibagi secara acak menjadi

5 kelompok dan masing-masing kelompok yang terdiri dari 5 orang tersebut diberi

obat penurun panas dengan persentase kandungan paracetamol tertentu. Berikut

data tentang waktu (dalam jam) yang diperlukan oleh para pasien tersebut sampai

dengan panas badan mereka turun menjadi 37 .

Apakah ada pengaruh persentase kandungan paracetamol dalam obat penurun

panas terhadap waktu yang diperlukan untuk menurunkan panas dari 39 menjadi

37? Gunakan taraf nyata 0,05.

2. Sebuah lembaga penelitian di suatu perguruan tinggi ingin mengetahui pengaruh

metode mengajar yang digunakan dosen terhadap hasil belajar mahasiswa khusus

untuk mata kuliah Statistika Elementer. Ada berbagai macam metode mengajar

dalam pembelajaran, pada penelitian ini telah dipilih secara acak empat metode yang

dianggap sesuai dengan karakteristik mata kuliah tersebut yaitu metode ceramah,

tanya jawab, problem solving dan diskusi. Untuk keperluan itu telah dipilih secara

acak 20 kelas yang relatif seragam, dengan rata-rata kemampuan awal mahasiswa

dalam Statistika Elementer yang relatif sama. Secara acak 20 kelas tersebut dibagi

KADAR PARACETAMOL

40% 50% 60% 75% 90%

7 9 5 3 2

6 7 4 5 3

9 8 8 2 4

4 6 6 3 1

7 9 3 7 4

57

menjadi 4 kelompok, masing-masing kelompok mendapatkan pembelajaran dengan

salah satu metode tersebut. Dosen yang mengajar di kelas-kelas tersebut telah dipilih

sedemikian hingga dapat dianggap mempunyai karakteristik yang hampir sama.

Setelah pembelajaran selesai, semua kelas mendapat tes dengan soal dan waktu

yang sama. Berikut ini adalah data tentang rata-rata nilai tes mahasiswa dari ke-20

kelas yang digunakan dalam penelitian.

Kelas Metode Mengajar

Jumlah Ceramah

Tanya

Jawab

Problem

Solving Diskusi

1 8,2 7,0 8,7 6,2 30,1 2 9,2 6,8 7,5 6,8 30,3 3 9,4 5,8 9,3 7,5 32,0 4 7,5 5,3 8,9 5,5 27,2 5 6,2 8,0 7,6 5,7 27,5 Jumlah 40,5 32,9 42 31,7 147,1

a) Tentukan rancangan apa yang sesuai dengan penelitian yang dimaksud.

b) Tentukan model linear dan maknanya

c) Model tetap atau model acak? Sebutkan alasannya.

d) Anggap asumsi-asumsi dalam Anava terpenuhi, lakukan pengujian hipotesis sesuai

dengan penelitian yang dimaksud. Gunakan taraf nyata 0,05.

58

Rancangan Acak Kelompok Lengkap (RAKL) (Randomized Complete Block Design)

Alasan penggunaan rancangan acak kelompok lengkap

a. Keheterogenan unit percobaan berasal dari satu sumber keragaman

b. Mengatasi kesulitan dalam mempersiapkan unit percobaan dalam jumlah besar

c. Kelompok yang dibentuk harus merupakan kumpulan dari unit-unit percobaan yang

relatif homogen sedangkan keragaman antar kelompok diharapkan cukup tinggi

Pengacakan dan Bagan Percobaan

• Misalkan ada 6 perlakuan (P1, P2, P3, P4, P5, P6) dan 3 kelompok, maka ada 6 unit

percobaan pada setiap kelompok

• Total unit percobaan ada 36 = 18 unit percobaan

• Pengacakan dilakukan pada masing-masing kelompok

• Salah satu bagan percobaan \

Tabulasi data

Kelompok Perlakuan

Total kelompok (Y•j) P1 P2 P3 P4 P5 P6

1 Y11 Y21 Y31 Y41 Y51 Y61 Y•1

2 Y12 Y22 Y32 Y42 Y52 Y62 Y•2

3 Y13 Y23 Y33 Y43 Y53 Y63 Y•3

Total Perlakuan (Yi•) Y1• Y2• Y3• Y4• Y5• Y6• Total keseluruhan (Y••)

Model linier aditif dari RAKL

ijjiijY

Dengan

Yij : pengamatan pada perlakuan ke-i dan kelompok ke-j

μ : rataan umum

i : pengaruh perlakuan ke-i

j : pengaruh kelompok ke-j

ij : pengaruh acak pada perlakuan ke-i kelompok ke-j

2,0~

,,2,1

,,2,1

N

bj

ai

iid

ij

59

Asumsi untuk model tetap ialah

01

a

i

i dan 01

b

j

j

Asumsi untuk model acak ialah

2,0~ Niid

i dan 2,0~ Niid

j

Hipotesis Model Tetap

• Hipotesis pengaruh perlakuan

aiH

H

i

a

,,2,1,0:

0:

1

210

(perlakuan tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)

• Hipotesis pengaruh kelompok

bjH

H

j

b

,,2,1,0:

0:

1

210

(kelompok tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)

Hipotesis Model Acak

• Hipotesis pengaruh perlakuan

0:

0:

2

1

2

0

H

H

• Hipotesis pengaruh kelompok

0:

0:

2

1

2

0

H

H

Perhitungan Analisis Variansi

FKb

Y

JKP

ab

YFK

a

i

i

1

2

2

JKKJKPJKTJKG

FKYJKT

FKa

Y

JKK

a

i

b

j

ij

b

j

j

1 1

2

1

2

Tabel Analisis Variansi

SV db JK KT Fhitung


Kelompok b-1 JKK KTK KTK/KTG

Galat (a-1)(b-1) JKG KTG

Total ab-1 JKT


1. Ho ditolak jika Fhit > F(a-1, (a-1)(b-1))

2. Ho ditolak jika Fhit > F(b-1, (a-1)(b-1))

(keragaman perlakuan tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)

(keragaman perlakuan berpengaruh positif terhadap respons yang diamati)

(keragaman kelompok tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)

(keragaman kelompok berpengaruh positif terhadap respons yang diamati)

60

SOAL LATIHAN

1. Suatu penelitian akan dilakukan untuk membandingkan pengaruh jenis media

pembelajaran yang digunakan guru terhadap hasil belajar siswa kelas 2 SMA khusus

untuk pokok bahasan peluang. Jenis media yang dimaksudkan adalah cetak, audio,

visual dan berbasis komputer. Untuk keperluan tersebut telah dipilih secara acak 12

kelas, namun setelah dilakukan tes kemampuan awal ternyata kelas-kelas tersebut

dapat digolongkan menjadi 3 kelompok (kategori kemampuan awal rendah, kategori

kemampuan awal sedang, kategori kemampuan awal tinggi). Masing-masing

kelompok mendapatkan perlakuan 4 jenis media tersebut. Setelah pembelajaran

selesai, semua kelas mendapat tes dengan soal dan waktu yang sama. Berikut adalah

data tentang rata-rata nilai tes siswa dari keduabelas kelas yang digunakan dalam

penelitian.

Kategori kelas

kemampuan

awal

Jenis Media

Cetak Audio Visual Berbasis Komputer

Rendah 8,1 6,5 7,4 8,4

Sedang 8,9 6,8 6 7,4

Tinggi 7,7 5,9 5,9 9,4

Jumlah 24,7 19,2 19,3 25,2

2. Suatu percobaan yang telah dilakukan untuk mengetahui pengaruh berbagai

suplemen makanan terhadap perkembangan kecerdasan anak (diukur dengan

pertambahan skor IQ). Unit percobaan dalam hal ini anak yang tersedia berbeda

umur, karenanya dilakukan pengelompokkan menjadi 4 kelompok umur. Berikut

rata-rata pertambahan kecerdasan anak untuk keempat suplemen adalah

Jenis Suplemen A B C D

Rata-rata pertambahan skor IQ 7,5 1,5 5,75 7

Diasumsikan asumsi-asumsi dalam Anava terpenuhi. Kerjakanlah Anava berikut

dengan cara melengkapi Tabel Anava berikut:

Sumber Variasi db JK KT F hitung F tabel

Perlakuan 89,1875

Kelompok 4,7292

Galat

Total 111,9375

Lakukan pengujian hipotesis sesuai dengan yang dimaksud gunakan = 0,05 dalam

menyimpulkannya.

61

UJI LANJUT SETELAH ANALISIS VARIANSI

Uji lanjut ini hanya berlaku untuk pengujian model tetap bila hipotesis nol pengaruh

perlakuan ditolak.

Beda Nyata Terkecil (BNT) atau Least Significant Difference (LSD)

• Hipotesis

H0 : μi = μi’

H1 : μi μi’

• Taraf nyata :

• Statistik Uji :

')(

2

11

iiGdb rr

KTGtBNT


H0 ditolak jika 'ii YY > BNT

Beda Nyata Jujur (BNJ) atau Honest Significant Difference (Tukey test)

• Hipotesis

H0 : μi = μi’

H1 : μi μi’

• Taraf nyata :

• Statistik Uji :

a

i

i

gdba

ra

KTGqBNJ

1

)(,

1

• Kriteria Keputusan :

H0 ditolak jika 'ii YY > BNJ

Uji Perbandingan Berganda Duncan atau Duncan Multiple Range Test (DMRT)

• Hipotesis

H0 : μi = μi’

H1 : μi μi’

• Taraf nyata :

• Statistik Uji :

a

i

i

gdbpp

ra

KTGrR

1

)(,

1

• Kriteria Keputusan :

H0 ditolak jika 'ii YY > Rp

62

Contoh

Suatu penelitian telah dilakukan untuk mengetahui pengaruh persentase kandungan

paracetamol dalam obat penurun panas terhadap waktu yang diperlukan untuk menurunkan

panas dari 39 menjadi 37. Untuk keperluan ini telah dipilih secara acak 25 penderita sakit

panas dengan suhu 39 dari usia yang hampir sama dan tanpa keluhan sakit yang lain.

Keduapuluh lima pasien tersebut dibagi secara acak menjadi 5 kelompok dan masing-masing

kelompok yang terdiri dari 5 orang tersebut diberi obat penurun panas dengan persentase

kandungan paracetamol tertentu. Berikut data tentang waktu (dalam jam) yang diperlukan

oleh para pasien tersebut sampai dengan panas badan mereka turun menjadi 37 .

Lakukan uji lanjut setelah Anava bila hipotesis nol pengaruh perlakuan ditolak? Gunakan

taraf nyata 0,05.

Uji lanjut dengan BNT

• Hipotesis

H0 : μi = μi’

H1 : μi μi’, i i’, i = 1, 2, 3, 4, 5

• Taraf nyata : =0,05

• Statistik Uji :

'

11

)(2 ii

Gdb rrKTGtBNT

• Kriteria Keputusan : t0,025(20) = 2,086

2389,25

1

5

1880,2086,2

BNT

H0 ditolak jika 'ii YY > 2,2389

• Hitungan:

2,16,2

4,28,3

2,16,2

5 4,1

8,3 2,1

5432

5351

4341

5231

4221

YYYY

YYYY

YYYY

YYYY

YYYY

KADAR PARACETAMOL

40% 50% 60% 75% 90%

7 9 5 3 2

6 7 4 5 3

9 8 8 2 4

4 6 6 3 1

7 9 3 7 4

63

• Kesimpulan

1=2, 1=3, 3=4, 4=5

14, 15, 25, 23, 24, 35

Uji lanjut dengan BNJ

• Hipotesis

H0 : μi = μi’

H1 : μi μi’, i i’, i = 1, 2, 3, 4, 5

• Taraf nyata : =0,05

• Statistik Uji :

a

i

i

gdba

ra

KTGqBNJ

1

)(,

1

• Kriteria Keputusan : q0,05(5,20) = 4,24

2179,35

880,224,4 BNJ

H0 ditolak jika 'ii YY > 3,2179

• Hitungan:

• Kesimpulan

1=2=3, 3=4=5, 1=3=4

15, 25, 24

Uji Lanjut dengan DMRT

• Hipotesis

H0 : μi = μi’

H1 : μi μi’, i i’, i = 1, 2, 3, 4, 5

• Taraf nyata : = 0,05

2,1 6,2

4,28,3

2,1 6,2

5 4,1

8,3 2,1

5432

5351

4341

5231

4221

YYYY

YYYY

YYYY

YYYY

YYYY

64

• Statistik Uji :

a

i

i

gdbpp

ra

KTGrR

1

)(,

1

• Kriteria Keputusan : H0 ditolak jika 'ii YY > Rp

p 2 3 4 5

rp 2,95 3,10 3,18 3,25

Rp 2,24 2,35 2,41 2,47

Hitungan :

8,76,62,548,2

21345 YYYYY

254

243

231

212

353

341

332

451

442

552

24,22,1

24,22,1

24,24,1

24,22,1

35,24,2

35,26,2

35,26,2

41,28,3

41,28,3

47,25

RYY

RYY

RYY

RYY

RYY

RYY

RYY

RYY

RYY

RYY

• Kesimpulan

1=2, 1=3, 3=4, 4=5

14, 15, 25, 23, 24, 35

65


Jurusan Pendidikan Matematika Topik 11 : Asumsi-asumsi dalam Analisis Variansi Asumsi-asumsi dalam analisis variansi

1. Sampel berasal dari populasi berdistribusi normal

2. Sampel berasal dari populasi yang memiliki variansi sama 2 Uji Kesamaan Variansi (Uji Bartlett, 1937)

Hipotesis

H0 : 𝜎12 = 𝜎2

2 = ⋯ = 𝜎𝑘2 (Variansi k populasi adalah sama)

H1 : ∃𝜎𝑖2 ≠ 𝜎𝑖′

2, 𝑖 ≠ 𝑖′ , 𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑘 (Variansi k populasi tidak sama)

Taraf nyata:

Statistik Uji:

𝐵 = 𝜈𝑖 𝑙𝑛 𝜈𝑖𝑠𝑖

2/ 𝜈𝑖 − 𝜈𝑖𝑙𝑛 𝑠𝑖2

1+[ 1 𝜈𝑖 −(1 𝜈𝑖) 3 𝑘−1 ]

dengan

𝑠𝑖2 = 𝑥𝑖𝑗 − 𝑥

2𝑛𝑖𝑗 =1

𝑛𝑖 − 1

k = banyaknya perlakuan, 𝜈𝑖 = 𝑛𝑖 − 1

Kriteria keputusan:

H0 ditolak jika B > 𝜒𝛼(𝑘−1)2

Uji Normalitas (Kolmogorov-Smirnov Test)

Hipotesis

H0 : Data mengikuti distribusi normal

H1 : Data tidak mengikuti distribusi normal

Taraf nyata :

Statistik Uji:

Kriteria keputusan:

H0 ditolak jika p-value <

66

Contoh

Seorang peneliti ingin membandingkan tiga merk bola golf dengan melihat jarak bola yang

dipukul oleh teknisi. Dalam hal ini, para teknisi memiliki kemampuan bermain golf yang sama.

Berikut data tentang jarak dalam meter untuk ketiga merk bola golf.

Merk A Merk B Merk C

246 243 265

231 246 260

236 243 265

217 235 253

246 235 291

Lakukan cek asumsi-asumsi dalam analisis variansi.

Penyelesaian

Uji Kesamaan Variansi Ketiga Populasi

Hipotesis

H0 : 𝜎𝐴2 = 𝜎𝐵

2 = 𝜎𝐶2 (Variansi ketiga populasi adalah sama)

H1 : ∃𝜎𝑖2 ≠ 𝜎𝑖′

2, 𝑖 ≠ 𝑖′ , 𝑖 = 𝐴, 𝐵, 𝐶 (Variansi ketiga populasi tidak sama)

Taraf nyata: = 0,05

Statistik Uji:

𝐵 = 𝜈𝑖 𝑙𝑛 𝜈𝑖𝑠𝑖

2/ 𝜈𝑖 − 𝜈𝑖𝑙𝑛 𝑠𝑖2

1+[ 1 𝜈𝑖 −(1 𝜈𝑖) 3 𝑘−1 ]

Kriteria keputusan: k = 3, 𝜒0,05(2)2 = 5,991

H0 ditolak jika B > 5,991

Hitungan

𝐵 =12𝑙𝑛 126,2328134 −54,26244104

1+ 0,75−0,08333 /6 = 3,415

Kesimpulan

Karena B = 3,415 < 5,991 maka H0 diterima. Jadi dengan taraf nyata 0,05 dapat disimpulkan

bahwa ketiga populasi memiliki variansi yang sama.

Uji Normalitas (Kolmogorov-Smirnov Test)

Hipotesis

H0 : Data mengikuti distribusi normal

H1 : Data tidak mengikuti distribusi normal


Statistik Uji:

𝐷 = 𝑚𝑎𝑥 𝐷+, 𝐷−

67

Kriteria keputusan:

H0 ditolak jika p-value < 0,01

Hitungan:

Merk A Merk B Merk C

Kesimpulan:

a) p-value > 0,150 > 0,01 maka H0 diterima

b) p-value > 0,150 > 0,01 maka H0 diterima

c) p-value = 0,046 > 0,01 maka H0 diterima

Jadi pada taraf nyata 0,01 dapat disimpulkan bahwa masing-masing data sampel mengikuti

distribusi normal.

68




Topik 12 : Analisis Variansi Dua Arah

Analisis variansi dua arah merupakan analisis variansi yang digunakan pada rancangan

faktorial. Pengertian dua arah dalam hal ini berkaitan dengan jumlah faktor yang diteliti ada

dua.

Rancangan Faktorial

• Ciri : perlakuan merupakan kombinasi dari semua kemungkinan kombinasi dari taraf-taraf

dua faktor atau lebih.

• Keuntungan adalah mampu mendeteksi respons dari

1. Taraf masing-masing faktor (pengaruh utama)

2. Interaksi antara dua faktor (pengaruh interaksi)

Bila sudah ada dugaan kuat (ada literatur) bahwa faktor A dan faktor B tidak ada interaksi maka tidak

perlu menggunakan rancangan faktorial.

Asumsi-asumsi dalam rancangan faktorial:

1. Distribusi peubah respons adalah distribusi normal.

2. Variansi antar perlakuan adalah identik.

3. Sampel saling bebas.

Berikut beberapa contoh plot faktor A dengan faktor B.

Bila pengaruh interaksi nyata/signifikan maka

a. uji pada pengaruh utama tidak bermakna

b. pengaruh faktor A dan B tidak saling bebas

Percobaan Dua Faktor dalam Rancangan Acak Lengkap

• Latar Belakang : unit percobaan yang digunakan relatif homogen

• Misal ada dua faktor (A dan B)

Faktor A mempunyai 3 taraf (A1, A2, A3)

Faktor B mempunyai 2 taraf (B1, B2)

69

Maka kombinasi perlakuan ada 3 × 2 = 6

(A1B1, A1B2, A2B1, A2B2, A3B1, A3B2)

Ulangan ada sebanyak 3

Maka unit percobaan yang diperlukan 3 × 2 × 3 = 18.

Bagan Percobaan dan Cara Pengacakan

1 2 3 4 5 A1B1 6

7 8 9 A1B1 10 11 12

13 14 15 16 17 18 A1B1

Tabulasi Data

Ulangan A1 A2 A3 Total

B1 1 Y111 Y211 Y311

2 Y112 Y212 Y312

3 Y113 Y213 Y313

Total Y11• Y21• Y31• Y•1•

B2 1 Y121 Y221 Y321

2 Y122 Y222 Y322

3 Y123 Y223 Y323

Total Y12• Y22• Y32• Y•2•

Total Y1•• Y2•• Y3•• Y•••

Model Linier Aditif dari Faktorial RAL

( )ijkijjiijk

Y εαββαµ ++++=

dengan

( )2

,0~

,,2,1

,,2,1

,,2,1

σε N

rk

bj

ai

iid

ijk

K

K

K

=

=

=

Yijk : pengamatan pada faktor A taraf ke-i, faktor B taraf ke-j dan ulangan ke-k

μ : rataan umum

αi : pengaruh utama faktor A taraf ke-i

βj : pengaruh utama faktor B taraf ke-j

(αβ)ij : pengaruh interaksi dari faktor A taraf ke-i dan faktor B taraf ke-j

εijk : pengaruh acak pada faktor A taraf ke-i, faktor B taraf ke-j dan ulangan ke-k

Asumsi untuk model tetap ialah

( ) ( )∑ ∑∑∑= ===

====

a

i

b

j

ijij

b

j

j

a

i

i

1 111

0,0,0 αβαββα

70

Asumsi untuk model acak ialah

( ) ( ) ( ) ( )222

,0~,,0~,,0~αββα

σαβσβσα NNN

iid

ij

iid

j

iid

i

Model Tetap (Faktor A dan B tetap)

Model Acak (Faktor A dan B acak)

Model Campuran (Faktor A acak dan B tetap)

71

Model Campuran (Faktor A tetap dan B acak)

Hipotesis Model Tetap (Faktor A dan B tetap)

• Hipotesis pengaruh utama faktor A

aiH

H

i

a

,,2,1,0:

0:

1

210

K

K

=≠∃

====

α

ααα

• Hipotesis pengaruh utama faktor B

bjH

H

j

b

,,2,1,0:

0:

1

210

K

K

=≠∃

====

β

βββ

• Hipotesis pengaruh interaksi

( ) ( ) ( )

( ) bjaiH

H

ij

ab

,,2,1,,,2,1,0:

0:

1

12110

KK

K

==≠∃

====

αβ

αβαβαβ

Hipotesis Model Acak (Faktor A dan B acak)

• Hipotesis pengaruh utama faktor A

0:

0:

2

1

2

0

>

=

α

α

σ

σ

H

H

• Hipotesis pengaruh utama faktor B

0:

0:

2

1

2

0

>

=

β

β

σ

σ

H

H

• Hipotesis pengaruh interaksi

0:

0:

2

1

2

0

>

=

αβ

αβ

σ

σ

H

H

(faktor A tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)

(faktor A berpengaruh terhadap respons yang diamati)

(faktor B berpengaruh terhadap respons yang diamati)

(faktor B tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)

(Interaksi faktor A dengan faktor B tidak berpengaruh

terhadap respons yang diamati)

(Interaksi faktor A dengan faktor B berpengaruh

terhadap respons yang diamati)

(Keragaman faktor A tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)

(Keragaman faktor A berpengaruh positif terhadap respons yang diamati)

(Keragaman faktor B tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)

(Keragaman faktor B berpengaruh positif terhadap respons yang diamati)

(Keragaman faktor A dengan faktor B tidak berpengaruh terhadap respons yang diamati)

(Keragaman faktor A dengan faktor B berpengaruh positif terhadap respons yang diamati)

72

Perhitungan Analisis Variansi

JKPJKTJKG

JKBJKAJKPJKAB

FKYJKT

FKar

Y

JKB

a

i

b

j

r

k

ijk

b

j

j

−=

−−=

−=

−=

∑∑∑

∑

= = =

=

••

1 1 1

2

1

2

SOAL LATIHAN

1. Suatu penelitian telah dilakukan untuk mengetahui pengaruh jenis pupuk dan varietas padi

terhadap hasil produksi padi. Jenis pupuk yang diteliti adalah P1, P2, P3 dan P4. Dari berbagai

varietas padi yang ada, telah dipilih secara acak 3 diantaranya yaitu V1, V2 dan V3.

Mengingat terbatasnya lahan, ulangan hanya dilakukan sebanyak 3 kali untuk setiap

kombinasi perlakuannya. Percobaan dilakukan di sawah percobaan, dengan kondisi tanah,

pengairan dan penyinaran dapat dianggap relatif homogen, sehingga pengacakan secara

lengkap dapat diterapkan pada petak-petak percobaan. Berikut ini adalah data hasil produksi

padi untuk setiap petak percobaan, yang dicatat dalam kuintal.

Analisislah data tersebut sesuai maksud penelitiannya. Gunakan taraf nyata 0,05. Anggap

asumsi-asumsi dalam Anava terpenuhi

Jenis Pupuk Varietas Padi Total

V1 V2 V3

P1

64 72 74

66 81 51

70 64 65

Jumlah

P2

65 57 47

63 43 58

58 52 67

Jumlah

P3

59 66 58

68 71 39

65 59 42

Jumlah

FKbr

Y

JKA

FKr

Y

JKP

abr

YFK

a

i

i

a

i

b

j

ij

−=

−=

=

∑

∑∑

=

••

= =

•

•••

1

2

1 1

2

2

73

P4

58 57 53

41 61 59

46 53 38

Jumlah

Total

Perhatikan berikut !

A : jenis pupuk

B : varietas padi

a = 4, b = 3, r = 3

Sumber Keragaman Derajat Bebas

A a-1 = (a) – (1)

B b-1 = (b) – (1)

AB (a-1)(b-1) = (ab) – (a) – (b) +(1)

Galat ab(r-1) = (abr) – (ab)

Total abr-1 = (abr) – (1)

( )br

aaaaa

2

4

2

3

2

2

2

1+++

→

( )ar

bbbb

2

3

2

2

2

1++

→

( )r

ababababababababababababab

2

43

2

42

2

41

2

33

2

32

2

31

2

23

2

22

2

21

2

13

2

12

2

11+++++++++++

→

( )1

2

∑∑∑→

ijkY

abr

( )abr

Y2

1 •••→

2. Sebuah percobaan telah dilakukan untuk mengetahui pengaruh diabetes dan berat badan

terhadap tekanan darah diastolik. Berikut data tekanan darah diastolik (dalam mmHg) dari 20

peserta.

Berat badan normal Berat badan berlebih

Tanpa Diabetes 75, 80, 83, 85, 65 85, 80, 90, 95, 88

Diabetes 85, 90, 95, 90, 86 90, 95, 100, 105, 110

Apakah ada pengaruh interaksi antara diabetes dan berat badan terhadap tekanan darah

diastolik? Gunakan taraf nyata 0,05.

74

3. Sebuah penelitian telah dilakukan untuk mengetahui pengaruh televisi dan internet terhadap

hasil prestasi mahasiswa. Berikut data nilai IPK sebagai peubah respons.

Waktu penggunaan internet Waktu menonton televisi

Sedikit Lama

Sedikit 3,9; 4,0; 3,5 2,7; 2,5; 2,8

Lama 3,5; 3,3; 3,0 2,0; 2,4; 2,3

a) Buatlah tabel analisis variansi dua arah.

b) Buatlah gambar pengaruh interaksi televisi dan internet, interpretasikan.

TABEL

4

Appendix A

Table A-1Models with an intercept (from Savin and White)

Durbin-Watson Statistic: 1 Per Cent Significance Points of dL and dU

k’*=1

*k’ is the number of regressors excluding the intercept

k’=2 k’=3 k’=4 k’=5 k’=6 k’=7 k’=8 k’=9 k’=10

n dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU

6 0.390 1.142 ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- -----

7 0.435 1.036 0.294 1.676 ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- -----

8 0.497 1.003 0.345 1.489 0.229 2.102 ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- -----

9 0.554 0.998 0.408 1.389 0.279 1.875 0.183 2.433 ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- -----

10 0.604 1.001 0.466 1.333 0.340 1.733 0.230 2.193 0.150 2.690 ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- -----

11 0.653 1.010 0.519 1.297 0.396 1.640 0.286 2.030 0.193 2.453 0.124 2.892 ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- -----

12 0.697 1.023 0.569 1.274 0.449 1.575 0.339 1.913 0.244 2.280 0.164 2.665 0.105 3.053 ----- ----- ----- ----- ----- -----

13 0.738 1.038 0.616 1.261 0.499 1.526 0.391 1.826 0.294 2.150 0.211 2.490 0.140 2.838 0.090 3.182 ----- ----- ----- -----

14 0.776 1.054 0.660 1.254 0.547 1.490 0.441 1.757 0.343 2.049 0.257 2.354 0.183 2.667 0.122 2.981 0.078 3.287 ----- -----

15 0.811 1.070 0.700 1.252 0.591 1.465 0.487 1.705 0.390 1.967 0.303 2.244 0.226 2.530 0.161 2.817 0.107 3.101 0.068 3.374

16 0.844 1.086 0.738 1.253 0.633 1.447 0.532 1.664 0.437 1.901 0.349 2.153 0.269 2.416 0.200 2.681 0.142 2.944 0.094 3.201

17 0.873 1.102 0.773 1.255 0.672 1.432 0.574 1.631 0.481 1.847 0.393 2.078 0.313 2.319 0.241 2.566 0.179 2.811 0.127 3.053

18 0.902 1.118 0.805 1.259 0.708 1.422 0.614 1.604 0.522 1.803 0.435 2.015 0.355 2.238 0.282 2.467 0.216 2.697 0.160 2.925

19 0.928 1.133 0.835 1.264 0.742 1.416 0.650 1.583 0.561 1.767 0.476 1.963 0.396 2.169 0.322 2.381 0.255 2.597 0.196 2.813

20 0.952 1.147 0.862 1.270 0.774 1.410 0.684 1.567 0.598 1.736 0.515 1.918 0.436 2.110 0.362 2.308 0.294 2.510 0.232 2.174

21 0.975 1.161 0.889 1.276 0.803 1.408 0.718 1.554 0.634 1.712 0.552 1.881 0.474 2.059 0.400 2.244 0.331 2.434 0.268 2.625

22 0.997 1.174 0.915 1.284 0.832 1.407 0.748 1.543 0.666 1.691 0.587 1.849 0.510 2.015 0.437 2.188 0.368 2.367 0.304 2.548

23 1.017 1.186 0.938 1.290 0.858 1.407 0.777 1.535 0.699 1.674 0.620 1.821 0.545 1.977 0.473 2.140 0.404 2.308 0.340 2.479

24 1.037 1.199 0.959 1.298 0.881 1.407 0.805 1.527 0.728 1.659 0.652 1.797 0.578 1.944 0.507 2.097 0.439 2.255 0.375 2.417

25 1.055 1.210 0.981 1.305 0.906 1.408 0.832 1.521 0.756 1.645 0.682 1.776 0.610 1.915 0.540 2.059 0.473 2.209 0.409 2.362

26 1.072 1.222 1.000 1.311 0.928 1.410 0.855 1.517 0.782 1.635 0.711 1.759 0.640 1.889 0.572 2.026 0.505 2.168 0.441 2.313

27 1.088 1.232 1.019 1.318 0.948 1.413 0.878 1.514 0.808 1.625 0.738 1.743 0.669 1.867 0.602 1.997 0.536 2.131 0.473 2.269

28 1.104 1.244 1.036 1.325 0.969 1.414 0.901 1.512 0.832 1.618 0.764 1.729 0.696 1.847 0.630 1.970 0.566 2.098 0.504 2.229

29 1.119 1.254 1.053 1.332 0.988 1.418 0.921 1.511 0.855 1.611 0.788 1.718 0.723 1.830 0.658 1.947 0.595 2.068 0.533 2.193

30 1.134 1.264 1.070 1.339 1.006 1.421 0.941 1.510 0.877 1.606 0.812 1.707 0.748 1.814 0.684 1.925 0.622 2.041 0.562 2.160

31 1.147 1.274 1.085 1.345 1.022 1.425 0.960 1.509 0.897 1.601 0.834 1.698 0.772 1.800 0.710 1.906 0.649 2.017 0.589 2.131

32 1.160 1.283 1.100 1.351 1.039 1.428 0.978 1.509 0.917 1.597 0.856 1.690 0.794 1.788 0.734 1.889 0.674 1.995 0.615 2.104

33 1.171 1.291 1.114 1.358 1.055 1.432 0.995 1.510 0.935 1.594 0.876 1.683 0.816 1.776 0.757 1.874 0.698 1.975 0.641 2.080

34 1.184 1.298 1.128 1.364 1.070 1.436 1.012 1.511 0.954 1.591 0.896 1.677 0.837 1.766 0.779 1.860 0.722 1.957 0.665 2.057

35 1.195 1.307 1.141 1.370 1.085 1.439 1.028 1.512 0.971 1.589 0.914 1.671 0.857 1.757 0.800 1.847 0.744 1.940 0.689 2.037

36 1.205 1.315 1.153 1.376 1.098 1.442 1.043 1.513 0.987 1.587 0.932 1.666 0.877 1.749 0.821 1.836 0.766 1.925 0.711 2.018

37 1.217 1.322 1.164 1.383 1.112 1.446 1.058 1.514 1.004 1.585 0.950 1.662 0.895 1.742 0.841 1.825 0.787 1.911 0.733 2.001

38 1.227 1.330 1.176 1.388 1.124 1.449 1.072 1.515 1.019 1.584 0.966 1.658 0.913 1.735 0.860 1.816 0.807 1.899 0.754 1.985

39 1.237 1.337 1.187 1.392 1.137 1.452 1.085 1.517 1.033 1.583 0.982 1.655 0.930 1.729 0.878 1.807 0.826 1.887 0.774 1.970

40 1.246 1.344 1.197 1.398 1.149 1.456 1.098 1.518 1.047 1.583 0.997 1.652 0.946 1.724 0.895 1.799 0.844 1.876 0.749 1.956

45 1.288 1.376 1.245 1.424 1.201 1.474 1.156 1.528 1.111 1.583 1.065 1.643 1.019 1.704 0.974 1.768 0.927 1.834 0.881 1.902

50 1.324 1.403 1.285 1.445 1.245 1.491 1.206 1.537 1.164 1.587 1.123 1.639 1.081 1.692 1.039 1.748 0.997 1.805 0.955 1.864

55 1.356 1.428 1.320 1.466 1.284 1.505 1.246 1.548 1.209 1.592 1.172 1.638 1.134 1.685 1.095 1.734 1.057 1.785 1.018 1.837

60 1.382 1.449 1.351 1.484 1.317 1.520 1.283 1.559 1.248 1.598 1.214 1.639 1.179 1.682 1.144 1.726 1.108 1.771 1.072 1.817

65 1.407 1.467 1.377 1.500 1.346 1.534 1.314 1.568 1.283 1.604 1.251 1.642 1.218 1.680 1.186 1.720 1.153 1.761 1.120 1.802

70 1.429 1.485 1.400 1.514 1.372 1.546 1.343 1.577 1.313 1.611 1.283 1.645 1.253 1.680 1.223 1.716 1.192 1.754 1.162 1.792

75 1.448 1.501 1.422 1.529 1.395 1.557 1.368 1.586 1.340 1.617 1.313 1.649 1.284 1.682 1.256 1.714 1.227 1.748 1.199 1.783

80 1.465 1.514 1.440 1.541 1.416 1.568 1.390 1.595 1.364 1.624 1.338 1.653 1.312 1.683 1.285 1.714 1.259 1.745 1.232 1.777

85 1.481 1.529 1.458 1.553 1.434 1.577 1.411 1.603 1.386 1.630 1.362 1.657 1.337 1.685 1.312 1.714 1.287 1.743 1.262 1.773

90 1.496 1.541 1.474 1.563 1.452 1.587 1.429 1.611 1.406 1.636 1.383 1.661 1.360 1.687 1.336 1.714 1.312 1.741 1.288 1.769

95 1.510 1.552 1.489 1.573 1.468 1.596 1.446 1.618 1.425 1.641 1.403 1.666 1.381 1.690 1.358 1.715 1.336 1.741 1.313 1.767

100 1.522 1.562 1.502 1.582 1.482 1.604 1.461 1.625 1.441 1.647 1.421 1.670 1.400 1.693 1.378 1.717 1.357 1.741 1.335 1.765

150 1.611 1.637 1.598 1.651 1.584 1.665 1.571 1.679 1.557 1.693 1.543 1.708 1.530 1.722 1.515 1.737 1.501 1.752 1.486 1.767

200 1.664 1.684 1.653 1.693 1.643 1.704 1.633 1.715 1.623 1.725 1.613 1.735 1.603 1.746 1.592 1.757 1.582 1.768 1.571 1.779

5

Durbin-Watson Signif icance Tables

k’*=11


k’=12 k’=13 k’=14 k’=15 k’=16 k’=17 k’=18 k’=19 k’=20


16 0.060 3.446 ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- -----

17 0.084 3.286 0.053 3.506 ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- -----

18 0.113 3.146 0.075 3.358 0.047 3.557 ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- -----

19 0.145 3.023 0.102 3.227 0.067 3.420 0.043 3.601 ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- -----

20 0.178 2.914 0.131 3.109 0.092 3.297 0.061 3.474 0.038 3.639 ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- -----

21 0.212 2.817 0.162 3.004 0.119 3.185 0.084 3.358 0.055 3.521 0.035 3.671 ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- -----

22 0.246 2.729 0.194 2.909 0.148 3.084 0.109 3.252 0.077 3.412 0.050 3.562 0.032 3.700 ----- ----- ----- ----- ----- -----

23 0.281 2.651 0.227 2.822 0.178 2.991 0.136 3.155 0.100 3.311 0.070 3.459 0.046 3.597 0.029 3.725 ----- ----- ----- -----

24 0.315 2.580 0.260 2.744 0.209 2.906 0.165 3.065 0.125 3.218 0.092 3.363 0.065 3.501 0.043 3.629 0.027 3.747 ----- -----

25 0.348 2.517 0.292 2.674 0.240 2.829 0.194 2.982 0.152 3.131 0.116 3.274 0.085 3.410 0.060 3.538 0.039 3.657 0.025 3.766

26 0.381 2.460 0.324 2.610 0.272 2.758 0.224 2.906 0.180 3.050 0.141 3.191 0.107 3.325 0.079 3.452 0.055 3.572 0.036 3.682

27 0.413 2.409 0.356 2.552 0.303 2.694 0.253 2.836 0.208 2.976 0.167 3.113 0.131 3.245 0.100 3.371 0.073 3.490 0.051 3.602

28 0.444 2.363 0.387 2.499 0.333 2.635 0.283 2.772 0.237 2.907 0.194 3.040 0.156 3.169 0.122 3.294 0.093 3.412 0.068 3.524

29 0.474 2.321 0.417 2.451 0.363 2.582 0.313 2.713 0.266 2.843 0.222 2.972 0.182 3.098 0.146 3.220 0.114 3.338 0.087 3.450

30 0.503 2.283 0.447 2.407 0.393 2.533 0.342 2.659 0.294 2.785 0.249 2.909 0.208 3.032 0.171 3.152 0.137 3.267 0.107 3.379

31 0.531 2.248 0.475 2.367 0.422 2.487 0.371 2.609 0.322 2.730 0.277 2.851 0.234 2.970 0.193 3.087 0.160 3.201 0.128 3.311

32 0.558 2.216 0.503 2.330 0.450 2.446 0.399 2.563 0.350 2.680 0.304 2.797 0.261 2.912 0.221 3.026 0.184 3.137 0.151 3.246

33 0.585 2.187 0.530 2.296 0.477 2.408 0.426 2.520 0.377 2.633 0.331 2.746 0.287 2.858 0.246 2.969 0.209 3.078 0.174 3.184

34 0.610 2.160 0.556 2.266 0.503 2.373 0.452 2.481 0.404 2.590 0.357 2.699 0.313 2.808 0.272 2.915 0.233 3.022 0.197 3.126

35 0.634 2.136 0.581 2.237 0.529 2.340 0.478 2.444 0.430 2.550 0.383 2.655 0.339 2.761 0.297 2.865 0.257 2.969 0.221 3.071

36 0.658 2.113 0.605 2.210 0.554 2.310 0.504 2.410 0.455 2.512 0.409 2.614 0.364 2.717 0.322 2.818 0.282 2.919 0.244 3.019

37 0.680 2.092 0.628 2.186 0.578 2.282 0.528 2.379 0.480 2.477 0.434 2.576 0.389 2.675 0.347 2.774 0.306 2.872 0.268 2.969

38 0.702 2.073 0.651 2.164 0.601 2.256 0.552 2.350 0.504 2.445 0.458 2.540 0.414 2.637 0.371 2.733 0.330 2.828 0.291 2.923

39 0.723 2.055 0.673 2.143 0.623 2.232 0.575 2.323 0.528 2.414 0.482 2.507 0.438 2.600 0.395 2.694 0.354 2.787 0.315 2.879

40 0.744 2.039 0.694 2.123 0.645 2.210 0.597 2.297 0.551 2.386 0.505 2.476 0.461 2.566 0.418 2.657 0.377 2.748 0.338 2.838

45 0.835 1.972 0.790 2.044 0.744 2.118 0.700 2.193 0.655 2.269 0.612 2.346 0.570 2.424 0.528 2.503 0.488 2.582 0.448 2.661

50 0.913 1.925 0.871 1.987 0.829 2.051 0.787 2.116 0.746 2.182 0.705 2.250 0.665 2.318 0.625 2.387 0.586 2.456 0.548 2.526

55 0.979 1.891 0.940 1.945 0.902 2.002 0.863 2.059 0.825 2.117 0.786 2.176 0.748 2.237 0.711 2.298 0.674 2.359 0.637 2.421

60 1.037 1.865 1.001 1.914 0.965 1.964 0.929 2.015 0.893 2.067 0.857 2.120 0.822 2.173 0.786 2.227 0.751 2.283 0.716 2.338

65 1.087 1.845 1.053 1.889 1.020 1.934 0.986 1.980 0.953 2.027 0.919 2.075 0.886 2.123 0.852 2.172 0.819 2.221 0.789 2.272

70 1.131 1.831 1.099 1.870 1.068 1.911 1.037 1.953 1.005 1.995 0.974 2.038 0.943 2.082 0.911 2.127 0.880 2.172 0.849 2.217

75 1.170 1.819 1.141 1.856 1.111 1.893 1.082 1.931 1.052 1.970 1.023 2.009 0.993 2.049 0.964 2.090 0.934 2.131 0.905 2.172

80 1.205 1.810 1.177 1.844 1.150 1.878 1.122 1.913 1.094 1.949 1.066 1.984 1.039 2.022 1.011 2.059 0.983 2.097 0.955 2.135

85 1.236 1.803 1.210 1.834 1.184 1.866 1.158 1.898 1.132 1.931 1.106 1.965 1.080 1.999 1.053 2.033 1.027 2.068 1.000 2.104

90 1.264 1.798 1.240 1.827 1.215 1.856 1.191 1.886 1.166 1.917 1.141 1.948 1.116 1.979 1.091 2.012 1.066 2.044 1.041 2.077

95 1.290 1.793 1.267 1.821 1.244 1.848 1.221 1.876 1.197 1.905 1.174 1.943 1.150 1.963 1.126 1.993 1.102 2.023 1.079 2.054

100 1.314 1.790 1.292 1.816 1.270 1.841 1.248 1.868 1.225 1.895 1.203 1.922 1.181 1.949 1.158 1.977 1.136 2.006 1.113 2.034

150 1.473 1.783 1.458 1.799 1.444 1.814 1.429 1.830 1.414 1.847 1.400 1.863 1.385 1.880 1.370 1.897 1.355 1.913 1.340 1.931

200 1.561 1.791 1.550 1.801 1.539 1.813 1.528 1.824 1.518 1.836 1.507 1.847 1.495 1.860 1.484 1.871 1.474 1.883 1.462 1.896

6

Appendix A

Table A-2Models with an intercept (from Savin and White)

Durbin-Watson Statistic: 5 Per Cent Significance Points of dL and dU

k’*=1


k’=2 k’=3 k’=4 k’=5 k’=6 k’=7 k’=8 k’=9 k’=10


6 0.610 1.400 ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- -----

7 0.700 1.356 0.467 1.896 ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- -----

8 0.763 1.332 0.559 1.777 0.367 2.287 ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- -----

9 0.824 1.320 0.629 1.699 0.455 2.128 0.296 2.588 ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- -----

10 0.879 1.320 0.697 1.641 0.525 2.016 0.376 2.414 0.243 2.822 ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- -----

11 0.927 1.324 0.758 1.604 0.595 1.928 0.444 2.283 0.315 2.645 0.203 3.004 ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- -----

12 0.971 1.331 0.812 1.579 0.658 1.864 0.512 2.177 0.380 2.506 0.268 2.832 0.171 3.149 ----- ----- ----- ----- ----- -----

13 1.010 1.340 0.861 1.562 0.715 1.816 0.574 2.094 0.444 2.390 0.328 2.692 0.230 2.985 0.147 3.266 ----- ----- ----- -----

14 1.045 1.350 0.905 1.551 0.767 1.779 0.632 2.030 0.505 2.296 0.389 2.572 0.286 2.848 0.200 3.111 0.127 3.360 ----- -----

15 1.077 1.361 0.946 1.543 0.814 1.750 0.685 1.977 0.562 2.220 0.447 2.471 0.343 2.727 0.251 2.979 0.175 3.216 0.111 3.438

16 1.106 1.371 0.982 1.539 0.857 1.728 0.734 1.935 0.615 2.157 0.502 2.388 0.398 2.624 0.304 2.860 0.222 3.090 0.155 3.304

17 1.133 1.381 1.015 1.536 0.897 1.710 0.779 1.900 0.664 2.104 0.554 2.318 0.451 2.537 0.356 2.757 0.272 2.975 0.198 3.184

18 1.158 1.391 1.046 1.535 0.933 1.696 0.820 1.872 0.710 2.060 0.603 2.258 0.502 2.461 0.407 2.668 0.321 2.873 0.244 3.073

19 1.180 1.401 1.074 1.536 0.967 1.685 0.859 1.848 0.752 2.023 0.649 2.206 0.549 2.396 0.456 2.589 0.369 2.783 0.290 2.974

20 1.201 1.411 1.100 1.537 0.998 1.676 0.894 1.828 0.792 1.991 0.691 2.162 0.595 2.339 0.502 2.521 0.416 2.704 0.336 2.885

21 1.221 1.420 1.125 1.538 1.026 1.669 0.927 1.812 0.829 1.964 0.731 2.124 0.637 2.290 0.546 2.461 0.461 2.633 0.380 2.806

22 1.239 1.429 1.147 1.541 1.053 1.664 0.958 1.797 0.863 1.940 0.769 2.090 0.677 2.246 0.588 2.407 0.504 2.571 0.424 2.735

23 1.257 1.437 1.168 1.543 1.078 1.660 0.986 1.785 0.895 1.920 0.804 2.061 0.715 2.208 0.628 2.360 0.545 2.514 0.465 2.670

24 1.273 1.446 1.188 1.546 1.101 1.656 1.013 1.775 0.925 1.902 0.837 2.035 0.750 2.174 0.666 2.318 0.584 2.464 0.506 2.613

25 1.288 1.454 1.206 1.550 1.123 1.654 1.038 1.767 0.953 1.886 0.868 2.013 0.784 2.144 0.702 2.280 0.621 2.419 0.544 2.560

26 1.302 1.461 1.224 1.553 1.143 1.652 1.062 1.759 0.979 1.873 0.897 1.992 0.816 2.117 0.735 2.246 0.657 2.379 0.581 2.513

27 1.316 1.469 1.240 1.556 1.162 1.651 1.084 1.753 1.004 1.861 0.925 1.974 0.845 2.093 0.767 2.216 0.691 2.342 0.616 2.470

28 1.328 1.476 1.255 1.560 1.181 1.650 1.104 1.747 1.028 1.850 0.951 1.959 0.874 2.071 0.798 2.188 0.723 2.309 0.649 2.431

29 1.341 1.483 1.270 1.563 1.198 1.650 1.124 1.743 1.050 1.841 0.975 1.944 0.900 2.052 0.826 2.164 0.753 2.278 0.681 2.396

30 1.352 1.489 1.284 1.567 1.214 1.650 1.143 1.739 1.071 1.833 0.998 1.931 0.926 2.034 0.854 2.141 0.782 2.251 0.712 2.363

31 1.363 1.496 1.297 1.570 1.229 1.650 1.160 1.735 1.090 1.825 1.020 1.920 0.950 2.018 0.879 2.120 0.810 2.226 0.741 2.333

32 1.373 1.502 1.309 1.574 1.244 1.650 1.177 1.732 1.109 1.819 1.041 1.909 0.972 2.004 0.904 2.102 0.836 2.203 0.769 2.306

33 1.383 1.508 1.321 1.577 1.258 1.651 1.193 1.730 1.127 1.813 1.061 1.900 0.994 1.991 0.927 2.085 0.861 2.181 0.796 2.281

34 1.393 1.514 1.333 1.580 1.271 1.652 1.208 1.728 1.144 1.808 1.079 1.891 1.015 1.978 0.950 2.069 0.885 2.162 0.821 2.257

35 1.402 1.519 1.343 1.584 1.283 1.653 1.222 1.726 1.160 1.803 1.097 1.884 1.034 1.967 0.971 2.054 0.908 2.144 0.845 2.236

36 1.411 1.525 1.354 1.587 1.295 1.654 1.236 1.724 1.175 1.799 1.114 1.876 1.053 1.957 0.991 2.041 0.930 2.127 0.868 2.216

37 1.419 1.530 1.364 1.590 1.307 1.655 1.249 1.723 1.190 1.795 1.131 1.870 1.071 1.948 1.011 2.029 0.951 2.112 0.891 2.197

38 1.427 1.535 1.373 1.594 1.318 1.656 1.261 1.722 1.204 1.792 1.146 1.864 1.088 1.939 1.029 2.017 0.970 2.098 0.912 2.180

39 1.435 1.540 1.382 1.597 1.328 1.658 1.273 1.722 1.218 1.789 1.161 1.859 1.104 1.932 1.047 2.007 0.990 2.085 0.932 2.164

40 1.442 1.544 1.391 1.600 1.338 1.659 1.285 1.721 1.230 1.786 1.175 1.854 1.120 1.924 1.064 1.997 1.008 2.072 0.952 2.149

45 1.475 1.566 1.430 1.615 1.383 1.666 1.336 1.720 1.287 1.776 1.238 1.835 1.189 1.895 1.139 1.958 1.089 2.022 1.038 2.088

50 1.503 1.585 1.462 1.628 1.421 1.674 1.378 1.721 1.335 1.771 1.291 1.822 1.246 1.875 1.201 1.930 1.156 1.986 1.110 2.044

55 1.528 1.601 1.490 1.641 1.452 1.681 1.414 1.724 1.374 1.768 1.334 1.814 1.294 1.861 1.253 1.909 1.212 1.959 1.170 2.010

60 1.549 1.616 1.514 1.652 1.480 1.689 1.444 1.727 1.408 1.767 1.372 1.808 1.335 1.850 1.298 1.894 1.260 1.939 1.222 1.984

65 1.567 1.629 1.536 1.662 1.503 1.696 1.471 1.731 1.438 1.767 1.404 1.805 1.370 1.843 1.336 1.882 1.301 1.923 1.266 1.964

70 1.583 1.641 1.554 1.672 1.525 1.703 1.494 1.735 1.464 1.768 1.433 1.802 1.401 1.838 1.369 1.874 1.337 1.910 1.305 1.948

75 1.598 1.652 1.571 1.680 1.543 1.709 1.515 1.739 1.487 1.770 1.458 1.801 1.428 1.834 1.399 1.867 1.369 1.901 1.339 1.935

80 1.611 1.662 1.586 1.688 1.560 1.715 1.534 1.743 1.507 1.772 1.480 1.801 1.453 1.831 1.425 1.861 1.397 1.893 1.369 1.925

85 1.624 1.671 1.600 1.696 1.575 1.721 1.550 1.747 1.525 1.774 1.500 1.801 1.474 1.829 1.448 1.857 1.422 1.886 1.396 1.916

90 1.635 1.679 1.612 1.703 1.589 1.726 1.566 1.751 1.542 1.776 1.518 1.801 1.494 1.827 1.469 1.854 1.445 1.881 1.420 1.909

95 1.645 1.687 1.623 1.709 1.602 1.732 1.579 1.755 1.557 1.778 1.535 1.802 1.512 1.827 1.489 1.852 1.465 1.877 1.442 1.903

100 1.654 1.694 1.634 1.715 1.613 1.736 1.592 1.758 1.571 1.780 1.550 1.803 1.528 1.826 1.506 1.850 1.484 1.874 1.462 1.898

150 1.720 1.747 1.706 1.760 1.693 1.774 1.679 1.788 1.665 1.802 1.651 1.817 1.637 1.832 1.622 1.846 1.608 1.862 1.593 1.877

200 1.758 1.779 1.748 1.789 1.738 1.799 1.728 1.809 1.718 1.820 1.707 1.831 1.697 1.841 1.686 1.852 1.675 1.863 1.665 1.874

7

Durbin-Watson Signif icance Tables

k’*=11

*K’ is the number of regressors excluding the intercept

k’=12 k’=13 k’=14 k’=15 k’=16 k’=17 k’=18 k’=19 k’=20


16 0.098 3.503 ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- -----

17 0.138 3.378 0.087 3.557 ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- -----

18 0.177 3.265 0.123 3.441 0.078 3.603 ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- -----

19 0.220 3.159 0.160 3.335 0.111 3.496 0.070 3.642 ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- -----

20 0.263 3.063 0.200 3.234 0.145 3.395 0.100 3.542 0.063 3.676 ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- -----

21 0.307 2.976 0.240 3.141 0.182 3.300 0.132 3.448 0.091 3.583 0.058 3.705 ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- -----

22 0.349 2.897 0.281 3.057 0.220 3.211 0.166 3.358 0.120 3.495 0.083 3.619 0.052 3.731 ----- ----- ----- ----- ----- -----

23 0.391 2.826 0.322 2.979 0.259 3.128 0.202 3.272 0.153 3.409 0.110 3.535 0.076 3.650 0.048 3.753 ----- ----- ----- -----

24 0.431 2.761 0.362 2.908 0.297 3.053 0.239 3.193 0.186 3.327 0.141 3.454 0.101 3.572 0.070 3.678 0.044 3.773 ----- -----

25 0.470 2.702 0.400 2.844 0.335 2.983 0.275 3.119 0.221 3.251 0.172 3.376 0.130 3.494 0.094 3.604 0.065 3.702 0.041 3.790

26 0.508 2.649 0.438 2.784 0.373 2.919 0.312 3.051 0.256 3.179 0.205 3.303 0.160 3.420 0.120 3.531 0.087 3.632 0.060 3.724

27 0.544 2.600 0.475 2.730 0.409 2.859 0.348 2.987 0.291 3.112 0.238 3.233 0.191 3.349 0.149 3.460 0.112 3.563 0.081 3.658

28 0.578 2.555 0.510 2.680 0.445 2.805 0.383 2.928 0.325 3.050 0.271 3.168 0.222 3.283 0.178 3.392 0.138 3.495 0.104 3.592

29 0.612 2.515 0.544 2.634 0.479 2.755 0.418 2.874 0.359 2.992 0.305 3.107 0.254 3.219 0.208 3.327 0.166 3.431 0.129 3.528

30 0.643 2.477 0.577 2.592 0.512 2.708 0.451 2.823 0.392 2.937 0.337 3.050 0.286 3.160 0.238 3.266 0.195 3.368 0.156 3.465

31 0.674 2.443 0.608 2.553 0.545 2.665 0.484 2.776 0.425 2.887 0.370 2.996 0.317 3.103 0.269 3.208 0.224 3.309 0.183 3.406

32 0.703 2.411 0.638 2.517 0.576 2.625 0.515 2.733 0.457 2.840 0.401 2.946 0.349 3.050 0.299 3.153 0.253 3.252 0.211 3.348

33 0.731 2.382 0.668 2.484 0.606 2.588 0.546 2.692 0.488 2.796 0.432 2.899 0.379 3.000 0.329 3.100 0.283 3.198 0.239 3.293

34 0.758 2.355 0.695 2.454 0.634 2.554 0.575 2.654 0.518 2.754 0.462 2.854 0.409 2.954 0.359 3.051 0.312 3.147 0.267 3.240

35 0.783 2.330 0.722 2.425 0.662 2.521 0.604 2.619 0.547 2.716 0.492 2.813 0.439 2.910 0.388 3.005 0.340 3.099 0.295 3.190

36 0.808 2.306 0.748 2.398 0.689 2.492 0.631 2.586 0.575 2.680 0.520 2.774 0.467 2.868 0.417 2.961 0.369 3.053 0.323 3.142

37 0.831 2.285 0.772 2.374 0.714 2.464 0.657 2.555 0.602 2.646 0.548 2.738 0.495 2.829 0.445 2.920 0.397 3.009 0.351 3.097

38 0.854 2.265 0.796 2.351 0.739 2.438 0.683 2.526 0.628 2.614 0.575 2.703 0.522 2.792 0.472 2.880 0.424 2.968 0.378 3.054

39 0.875 2.246 0.819 2.329 0.763 2.413 0.707 2.499 0.653 2.585 0.600 2.671 0.549 2.757 0.499 2.843 0.451 2.929 0.404 3.013

40 0.896 2.228 0.840 2.309 0.785 2.391 0.731 2.473 0.678 2.557 0.626 2.641 0.575 2.724 0.525 2.808 0.477 2.829 0.430 2.974

45 0.988 2.156 0.938 2.225 0.887 2.296 0.838 2.367 0.788 2.439 0.740 2.512 0.692 2.586 0.644 2.659 0.598 2.733 0.553 2.807

50 1.064 2.103 1.019 2.163 0.973 2.225 0.927 2.287 0.882 2.350 0.836 2.414 0.792 2.479 0.747 2.544 0.703 2.610 0.660 2.675

55 1.129 2.062 1.087 2.116 1.045 2.170 1.003 2.225 0.961 2.281 0.919 2.338 0.877 2.396 0.836 2.454 0.795 2.512 0.754 2.571

60 1.184 2.031 1.145 2.079 1.106 2.127 1.068 2.177 1.029 2.227 0.990 2.278 0.951 2.330 0.913 2.382 0.874 2.434 0.836 2.487

65 1.231 2.006 1.195 2.049 1.160 2.093 1.124 2.138 1.088 2.183 1.052 2.229 1.016 2.276 0.980 2.323 0.944 2.371 0.908 2.419

70 1.272 1.987 1.239 2.026 1.206 2.066 1.172 2.106 1.139 2.148 1.105 2.189 1.072 2.232 1.038 2.275 1.005 2.318 0.971 2.362

75 1.308 1.970 1.277 2.006 1.247 2.043 1.215 2.080 1.184 2.118 1.153 2.156 1.121 2.195 1.090 2.235 1.058 2.275 1.027 2.315

80 1.340 1.957 1.311 1.991 1.283 2.024 1.253 2.059 1.224 2.093 1.195 2.129 1.165 2.165 1.136 2.201 1.106 2.238 1.076 2.275

85 1.369 1.946 1.342 1.977 1.315 2.009 1.287 2.040 1.260 2.073 1.232 2.105 1.205 2.139 1.177 2.172 1.149 2.206 1.121 2.241

90 1.395 1.937 1.369 1.966 1.344 1.995 1.318 2.025 1.292 2.055 1.266 2.085 1.240 2.116 1.213 2.148 1.187 2.179 1.160 2.211

95 1.418 1.930 1.394 1.956 1.370 1.984 1.345 2.012 1.321 2.040 1.296 2.068 1.271 2.097 1.247 2.126 1.222 2.156 1.197 2.186

100 1.439 1.923 1.416 1.948 1.393 1.974 1.371 2.000 1.347 2.026 1.324 2.053 1.301 2.080 1.277 2.108 1.253 2.135 1.229 2.164

150 1.579 1.892 1.564 1.908 1.550 1.924 1.535 1.940 1.519 1.956 1.504 1.972 1.489 1.989 1.474 2.006 1.458 2.023 1.443 2.040

200 1.654 1.885 1.643 1.896 1.632 1.908 1.621 1.919 1.610 1.931 1.599 1.943 1.588 1.955 1.576 1.967 1.565 1.979 1.554 1.991

Documents

Handout Statistika Lanjut 2011