Hasan Halilčević - Osnove Elektrotehnike Modul 5

Osnove elektrotehnike Modul 5

1

Zanimanje:

TEHNIČAR RAČUNARSTVA

TEHNIČAR ELEKTRONIKE

Predmet:

OSNOVE

ELEKTROTEHNIKE

Modul 5:

ANALIZA SLOŽENIH KOLA

NAIZMJENIČNE STRUJE

Profesor:

Hasan Halilčević, dipl.ing.el

Zlatica Babić-Smajić, dipl.ing.el

Tuzla, septembar 2010.godine


2

SADRŽAJ 1. Metode rješavanja složenih električnih kola 3

1.1. Rješavanje složenih električnih kola primjenom I i II KZ 3

1.2. Metoda konturnih struja 4

1.3. Metoda potencijala čvorova 11

1.4. Tevenenova teorema 19

1.5. Nortonova teorema 28

2. Oscilatorna kola 31

2.1. Prosto rezonantno kolo 31

2.2. Rezonancija u prostom rezonantnom kolu 34

2.3. Rezonantno kolo sa nesavršenim kalemom 36

2.4. Q-faktor kalema 40

2.5. Rezonantno kolo sa nesavršenim kondenzatorom 45

2.6. Prosto antirezonantno kolo 49

2.7. Antirezonantno kolo sa nesavršenim kondenzatorom 51

2.8. Antirezonantno kolo sa nesavršenim kalemom 57

LV1. Prosto rezonantno oscilatorno kolo 61

LV2. Rezonantno kolo sa nesavršenim kalemom 64

LV3. Prosto antirezonantno kolo 67

LV4. Antirezonantno kolo sa nesavršenim kondenzatorom 69


3

1.METODE RJEŠAVANJE SLOŽENIH ELEKTRIČNIH KOLA

1.1 RJEŠAVANJE SLOŽENIH ELEKTRIČNIH KOLA POMOĆU

PRVOG I DRUGOG KIRHOFOVOG ZAKONA

Osnovni pojmovi koje je potrebno poznavati da bi mogli primijeniti za

rješavanje složenih električnih kola:

grana je dio strujnog kruga u kojem teče ista struja,

čvor je tačka gdje se spajaju 3 ili više grana ,

kontura se sastoji iz onoliko grana koliko je potrebno da se zatvori

strujni krug . Smjer orjentacije je proizvoljan,

nezavisna kontura je ona koja ima bar jednu granu koja ne pripada

ni jednoj konturi.

Prvi Kirhofov zakon :

n

i

k

j

ji II1 1

Vektorski zbir svih struja koje ulaze u jedan čvor jednaka je vektorskom

zbiru struja koje izlaze iz čvora, ili :

0I1

i

n

i

Vektorski zbir svih struja koje ulaze odnosno izlaze iz jednog čvora

jednaka je nuli. Pri tome za struje koje ulaze u čvor usvaja predznak “+”, a

za struje koje izlaze iz čvora predznak “-“.

Drugi Kirhofov zakon :

0E1 1

k

n

k

m

i

ii IZ

Vektorski zbir svih EMS, napona i padova napona u zatvorenom

elekričnom kolu jednaka je nuli.

Pozitivne ems su one koje djeluju u smjeru obilaženja konture, a

pozitivni padovi napona su oni kod kojih struja, kroz imedansu, teče istim

smjerom kao i smjer obilaženja konture.

Pri rješavanju složenih električnih kola primjenom ova dva zakona postavlja

se onoliko jednačina koliko imamo nepoznatih struja (n jednačina). Po

prvom Kirhofovom zakonu se postavlja (nč-1) jednačina, a po drugom

Kirhofom zakonu

n-(nč-1) jednačina.


4

1.2. METODA KONTURNIH STRUJA

Metoda direktne primjene Kirhofovih zakona za rješavanje elektičnih

kola, odlikuje se složenom matematičkom procedurom, koja se sastoji u

rješavanju velikog broja jednačina. Zbog toga je bilo opravdano nastojanje

da se definišu nove metode i metodološki postupci sa osnovnim ciljem da se

smanji broj jednačina i pojednostavi procedura rješavanja.

Metoda konturnih struja takođe počiva na primjeni Kirhofovih

zakona, ali je broj jednačina znatno reduciran, čime je matematička

procedura značajno pojednostavljena. Metoda direktne primjene Kirhofovih

zakona predstavlja konstituisanje ng jednačina, dakle onoliko jednačina

koliko ima grana, odnosno nepoznatih struja u kolu. Maksvel je definisao

metodu konturnih struja, koja počiva na postavljanju ng - (nč - 1) jednačina

tj. onoliko jednačina koliko je u prethodnoj metodi postavljeno primjenom

drugog Kirhofovog zakona. On je razmatranje sveo na struje u nezavisnim

konturama, dok struje u zajedničkim granama za dvije i više kontura

rješava kao algebarski zbir usvojenih konturnih struja.

Opšti oblik jednačine konturnih struja glasi:

Z11IK1 + Z12IK2 + ...... + Z1kIkn = EK1

Z21IK1 + Z22IK2 + ...... + Z2KIKn = EK2

.

.

.

Zk1IK1 + Zk2IK2 + ...... + ZkKIKn = Ekn

- Elementi:

Zii (i = 1............n)

zovu se sopstvene impedanse konture i predstavljaju zbir svih impedansi

koje čine “i” konturu. Predznak elemenata Zii je pozitivan.

- Ako su dvije grane iste konture induktivno spregnute ili dva elementa

jedne grane tada u zbir sopstvene impedanse konture ulazi i dvostruka

vrijednost međusobne induktivne impedanse sa odgovarajućim predznakom.

- Elementi:

Zij (i =1............n, j =1..........n, i j)

zovu se međusobne impedanse izmedju “i” i “j” konture. Predznak elementa

Zij je pozitivan ako se smjerovi konturnih struja poklapaju, a negativan ako

su smjerovi konturnih struja suprotni.


5

- Ako izmedju dvije različite grane konture “i” i “j” postoji induktivna

sprega, tada u međusobnoj impedansi Zij postoji član međusobne

induktivnosti impedansi tih grana sa odgovarajućim predznakom.

Za ove elemene vrijedi da je Zij = Zji.

- Elementi:

EKi (i =1.......n)

zovu se elektromotorne sile konture i predstavljaju zbir ems iz ovih grana

konture računajući u pozitivnom smjeru konture. U ovaj zbir ulaze i

ekvivalentni naponski generatori dobiveni dualnom zamjenom strujnih

generatora.

- Elementi:

Ik1, Ik2, Ik3,………. Ikn su konturne struje.

Redoslijed rješavanja zadatka:

Prvo se odrede nezavisne strujne konture i izvrši se proizvoljna

orjentacija tih kontura. Zatim se primjenjujući opšti oblik “Metoda

konturnih struja” postavi odgovarajući sistem jednačina. Rješavanjem ovog

sistema jednačina izračunavamo vrijednosti konturnih struja. Struje

pojedinih grana se dobijaju na sledeći način:

Ako struja teče kroz nezavisnu granu onda se gleda da li se njen

smjer poklapa sa smjerom konture (pozitivna) ili se ne poklapa (negativna),

pošto su vrijednosti iste.

Ako struja teče kroz granu koja je sastavni dio dvije konture, opet se

gleda smjer struje grane sa smjerom konturnih struja. Nakon određivanja

predznaka vrši se sabiranje (oduzimanje) konturih struja.

Prilikom rješavanja zadataka metodom konturnih struja, treba znati

da dolazi u obzir slučajevi sa naponskim generatorom. Ukoliko imamo

strujne - pretvaramo ih u naponske.


6

Primjer 1.2.1

Metodom konturnih struja odrediti struje u granama kola.

4,1,2,10,5 32131 RRRVEVE

E 1

5 V E 2 1 0 V

R 1

2 R 2

1

R 3

4

I 1 I 2 I 3

I I I

3322

1221

)(

)(

EIRRIR

EIRIRR

III

III

10)41(1

51)12(

III

III

II

II

3/*1051

578,13513

III

IIII

II

III07,122,33 II II

AI

I

II

II

II

II

III

III

78,114

25

2514

30153

513

AII

AIII

AII

II

III

I

78,1

85,278,107,1

07,1

3

2

1

Uz pomoć programa “Tina” može se uraditi simulacija ovog kola sa

mjerenjem struja u granama kola. Podaci mogu biti dati kao rezultati

mjerenja u šemi ili izdvojeni u posebnu tabelu.


7

E1 5E2 10

R1 2

R2 1

R3 4

I1 I2 I3 -1,79A2,86A-1,07A

Primjer 1.2.2.

E 1

V 2

E 2 4 V

R 1

1 2

R 2

1

R 5

4

I 1 I 2 I 5

R 4

2 R 3

2

I 3

I 4

I

I I I I I

421

42

54321

21

RRRRR

VEVE

2522

2121421

1121

)(0

)(

0)(

EIRRIRI

EEIRIRRRIR

EIIRIRR

IIIIII

IIIIII

IIIIII


8

AII

AII

II

II

II

II

III

II

IIII

III

II

II

III

II

IIIII

IIIIII

IIII

IIII

IIII

IIII

IIIIIII

IIII

IIIIIIIIII

IIIIII

III

IIIII

IIIIII

III

55,0469,0*545

69,052

363652

42573

653

3/1419

653

21620

2453

5445

214

213

4510

421)121(1

201)21(

AII

AII

AII

AIII

AIII

AI

I

I

II

III

II

I

IIIII

III

I

I

I

IIII

69,0

55,0

89,0

24,169,055,0

34,055,089,0

89,0

89,0

1469,0*19

1419

5

4

3

2

1

Simulacijom kola na računaru dobivamo sledeće vrijednosti.

E1 2

E2 4R1 1

R2 1

R5 4

I1 I2 I5

R4 2

R3 2

I3

I4 -538,46mA

846,15mA 692,31mA-1,23A-307,69mA


9

Primjer 1.2.3.

Primjenom metode konturnih struja odrediti struje u kolu:

VE

X

X

R

C

L

4

2

4

2

EIjXjXIjXjX

IjXjXIjXjXR

IICLICL

IICLICL

2

02

42824

024442

III

III

IjjIjj

IjjIjj

462

022

III

III

IjjI

IjI

6,02,0

026,0

jI

jI

II

I

Poslije simulacije na računaru dobivamo:

R1 2

C1 1,59m

L1 12,74m L1 12,74m

C1 1,59m

+

E

I1

I2I3 632,02mA -161,57°

894,24mA -26,55°

632,16mA -71,53°

T

Real part

-1.00 -500.00m 0.00 500.00m 1.00

Ima

gin

ary

pa

rt

-1.0

-0.5

0.0

0.5

I3 = 632.02mA

I2 = 894.24mA

I1 = 632.16mA

AjII

AjIII

AjII

II

III

I

6,02,0

8,04,0

2,06,0

3

2

1

AI

AI

AI

632,0

894,0

632,0

3

2

1


10

Primjer 1.2.4.

Primjenom metoda konturnih struja odrediti struje kroz pojedine grane.

3.4,2,3,2 21 LC XXRVEVE

Ajj

j

j

jI

IjI

IjIJI

IjIj

IjIj

IjIJ

JIIj

IjIj

IjjIj

IjIj

EIXjXIjX

EIjXIjXR

I

II

III

II

III

III

III

III

III

III

IICLIC

IICIC

81,0135,0148

12020

122

122*

122

10

10122

101642

1016)42(

12416

24)42(

4/*34

24)42(

3)43(4

24)42(

)()(

)()(

2

1

AjI

j

j

j

j

jI

jjI

jIj

jIjj

II

II

II

II

II

24,024,0

1

24,054,0*

24,054,0

24,054,0

324,354,0

3)81,0135,0(4

+

AjII

AjjjIII

AjII

II

III

I

24,054,0

57,0405,024,054,081,0135,0

81,0135,0

3

2

1

AI

AI

AI

591,0

699,0

82,0

3

2

1


11

1.3.METODA POTENCIJALA ČVOROVA

Ova metoda se odnosi na kola sa strujnim izvorima. U kolu se

pronađu svi čvorovi i jedan od njih se uzme za referentni. U odnosu na taj

čvor se računaju potencijali drugih čvorova, kao i njihovi međusobni

potencijali. Ukupan broj jednačina je nč -1 gdje je nč broj čvorova u el . kolu.

Opšti oblik jednačina za jedno el.kolo je :

2ččnn22č221č21

1ččnn12č121č11

IUY........UYUY

IUY.........UYUY

.

.

.

čnčnnn2č2n1č1n IUY.......UYUY

Yii….su sopstvene admitanse “ i – tog “ kola čvora i predstavljaju algebarski

zbir admitansi onih grana koje su svojim krajem vezane za čvor “ i ” .

Preznak im je pozitivan.

Yij….su međusobne admitanse čvorova “ i ” i “j” . Predznak im je negativan.

Iči – se zovu aktivne struje čvora “i” i predstavljaju algebarski (vektorski )

zbir aktivnih struja koje ulaze (izlaze) iz “i” – tog čvora . Ovdje treba voditi

računa i o strujama strujnih generatora koji su dobijeni iz naponskih

generatora .

Naponi Uij se računaju kao Uij = Vči – Včj.

Primjer 1.3.1.

AI

AI

R

R

RR

G

G

3

4

4

5

2

2

1

3

2

41


12

VUU

U

IIURRRR

GG

69,0145,1

345,025,02,05,0

1111

1010

10

2110

4321

AR

UIURI

AR

UIURI

AR

UIURI

AR

UIURI

RR

RR

RR

RR

1725,04

69,00

138,05

69,00

345,02

69,00

345,02

69,00

3

10

31033

2

10

21022

4

10

41044

1

1011011

Provjera:

44

345,01725,0138,0345,034

432121

RRRRGG IIIIII

Nakon simulacije na računaru dobivamo sledeće vrijednosti za struje u kolu.

Primjer 1.3.2.

5

4

2

3

1

3

2

1

2

1

R

R

R

AI

AI

G

G

R1 2 R2 5 R3 4 R4 2

I1 I2 I3 I4

Ig1 4

Ig2 3

U10 689,66mV

344,83mA172,41mA137,93mA344,83mA


13

220

32

10

3

120

3

10

31

111

111

G

G

IURR

UR

IUR

URR

7,0345,02,0

2,012,07,0

2010

2010

UU

UU

1,2315,014,0

2,004,014,0

2010

2010

UU

UU

VUU 91,69,1275,0 2020

VU

VU

U

55,0

55,07,0

2,01

10

20

10

AR

UU

R

UIURI

AR

UIURI

AR

UIURI

272,15

91,655,00

727,14

91,60

273,02

5,00

3

2010

3

1231233

2

2022022

1

1011011

Provjera:

727,13272,1

272,11273,0

223

311

III

III

G

G

Primjer 1.3.3.

5

4

2

1

1

3

2

4

3

2

1

3

2

1

R

R

R

R

AI

AI

AI

G

G

G

1

2 3

0


14

3230

322

2130

2

20

21

10

1

13020

1

10

41

111

1111

0111

GG

GG

G

IIURRR

IIUR

URR

UR

IUUR

URR

475,05,0

15,05,1

22,1

3020

302010

2010

UU

UUU

UU

VU

U

VU

67,1

0

33,5

10

20

30

AR

UUIURI

AR

UUIURI

AR

UIURI

AR

UIURI

665,22

33,50

67,11

67,10

33,14

33,50

333,05

67,10

2

302022322

1

201011211

3

30

33033

4

1041044

Provjera:

Čvor 1. 114 III G 67,12333,0

Čvor 3. 3232 IIII GG 33,1665,213

Primjer 1.3.4.

Metodom potencijala čvorova odrediti struje u kolu

4,1,2,10,5 32131 RRRVEVE


15

VUU

U

U

U

R

E

R

EU

RRR

85,27

20207

4

20

4

7

4

1010

4

142

4

10

2

5

4

11

2

1

111

1010

10

10

10

3

3

1

110

321

AI

R

EUI

EURI

UERI

O

075,1

2

585,2

0

1

1

11

1

11011

10111

AI

R

EUI

EURI

UERI

78,1

4

1085,2

0

3

3

3103

31033

10333

AI

R

UI

URI

85,2

1

85,2

0

2

2

10

2

1022

Primjer 1.3.5.

Metodom potencijala čvorova odrediti struje u kolu. Poznati su podaci.

4,2,1,4,2 5432121 RRRRRVEVE


16

VU

U

UUU

VU

U

UU

UU

UU

UU

76,2

38,197

16738,31672

69,1

4426

1672

28728

1672

7*44

20

20

202010

10

10

2010

2010

2010

2010

1

4

4

7

2

1

1

2

2

1

2

1

2

11

1111

1111

2010

2010

2

220

542

10

4

1

120

4

10

431

UU

UU

R

EU

RRRU

R

R

EU

RU

RRR

4*44

7

2

1

2*22

12

2010

1010

UU

UU


17

AI

R

EUI

EURI

UERI

AI

R

EUI

EURI

UERI

AI

R

UI

URI

AI

R

UUI

UURI

UURI

AI

R

UI

URI

24,1

1

476,2

0

31,0

1

269,1

0

69,0

4

76,2

0

53,0

2

76,269,1

0

84,0

2

69,1

0

2

2

220

2

22022

20222

1

1

110

1

11011

10111

5

5

205

2055

4

4

2010

4

201044

102044

3

3

10

3

1033

Primjer 1.3.6.

Metodom potencijala odrediti struje u kolu

3.4,2,3,2 21 LC XXRVEVE


18

AjI

j

j

jX

UIUjXI

AjI

jj

R

EUI

UERI

VjU

j

jU

jUj

jUj

JU

jj

jX

E

R

EU

jXjXR

C

C

LLC

56,0405,0

4

62,127,20)(

81,0135,0

2

62,17,0

2

262,127,2

0

62,127,2

083,05,0

1

112

1

2

1

112

34

2

1

3

3

2

2

3

1

4

1

2

1

111

2

102102

1

1

1101

10111

10

10

10

10

10

2

1

110

1

AjI

j

j

j

jI

jX

EUI

EUjXI

UEjXI

L

L

L

24,054,0

3

67,173,0

3

367,127,2

0

3

3

210

3

2103

1023


19

1.4. TEVENENOVA TEOREMA

Posmatrajmo složenu linearni mrežu, proizvoljne konfiguracije, i uočimo

njenu granu, ili dio grane, koji sačinjava otpornik R. Dio mreže, bez uočenog

otpornika, šematski je predstavljen pravougaonikom A (simbol A znači da

je mreža aktivna, tj. da sadrži proizvoljan broj naponskih i strujnih

generatora u svojim granama) u gornjem lijevom kutu slike otpornik R je

izdvojeno naznačen i priljučen između krajeva a i b. Krajevi a i b mogu

predstavljati dva čvora posmatrane mreže ali i dvije tačke u presjeku jedne

grane koja može sadržati i druge redno vezane otpornike i generatore.

Prema tevenenovoj teoremi mreža se u odnosu na krajeve a i b ponaša

kao naponski generator čija je EMS ET , jednaka naponu između krajeva a i

b kada je otpornik R uklonjen, a unutrašnja otpornost generatora , RT , je

jednaka ekvivalentnoj otpronosti mreže, gledane se strane krajeva a i b

kada su sve ems naponskih generatora i struje strujnih generatora u mreži

jednake nuli.

Napon Uab pri uklonjenom otporniku R ustvari predstavlja napon praznog

hoda imeđu krajeva a i b dijela aktivne mreže unutar pravougaonika A.

Prilikom određivanja ekvivalentne otpornosti RT dijela mreže unutar

pravougaonika, a gledano sa strane krajeva a i b elektromotorne sile svih

naponskih generatora u struje strujnih generatora moraju se anulirati, ali

unutrašnje otpornosti generatora moraju ostati na svojim mjestima. U

slučaju idealnog strujnog generatora unutrašnja otpornost je beskonačna, pa

se cijela grana koja sadrži ovakav generator može ukoniti. Mrežu iste opšte

konfiguracije kao što je ona u pravougaoniku A, ali u kojoj su sve ems i

struje strujnih generatora poništene, nazvaćemo pasivnom mrežom i u

daljem izlaganju ćemo je označiti pravougaonikom P. prema tevenenovoj

teoremi, struja u otporniku je :


20

RR

EI

T

T

(4.1)

gdje je ET Uab napon na priključcima a i b kada su ovi otvoreni.

RT nalazimo na sljedeći način

1) otpojimo granu u kojoj tražimo struju

2) kratko spojimo sva naponske generatore , a ostavimo njihove unutrašnje

otpore te nađemo ekvivalentni otpor,što je ustvari RT0.

Postupak primjene Tevenenove teoreme je sljedeći:

1. Otpojimo granu kroz koju treba izračunati struju

2. Odredimo otpor između tačaka gdje smo otpojili granu tako što

naponske generatore kratko spojimo a strujne otpojimo ostavljajući pri

tome njihove unutrašnje otpore.

3. Odredimo TE kao napon između tačaka gdje smo otpojili granu i

4. Izračunamo struju po formuli I = RR

E

T

T

, gdje je

I – struja koju računamo

R – otpor u grani kroz koju teče struja koju računamo.

TE i TR je definisano u gornjem djelu teksta.

Primjer 1.4.1.

3

2

1

2

3

2

1

1

R

R

R

VE

67,0

21

2121

RR

RRRRRT


21

VE

RR

REEEIR

RR

EI

ERRI

T

TT

33,121

22

21

212

21

1

112

ARR

EI

T

TR 363,0

367,0

33,1

3

3

Primjer 1.4.2.

Tevenenovom teoremom odrediti struju 2I u kolu

4,1,2,10,5 32131 RRRVEVE

33,36/2042

4*5*

33,36/2042

2*10*

33,16

8

42

42

31

312

31

13

1

31

31

RR

REE

RR

REE

RR

RRR

T

T

T


22

AI

RR

EEI

EERRI

EERIRI

T

TT

TTT

TTT

85,2

33,2

66,6

33,11

33,333,3

)(

0

2

2

212

2122

21222

Nakon simulacije na računaru dobivamo:

R1 2 R2 1 R3 4

E1 5 E2 10

I2 2,86A

R1 2 R3 4

E1 5 E2 10

Et 6,67V

R1 2 R3 4

+

Rt 1,33ohms

Primjer 1.4.3.

4

2

1

4

2

5

43

21

2

1

R

RR

RR

VE

VE

5,141

41

21

21

5231

T

T

R

RRRRR

5

16

41

44

3

4

21

22

52

522

31

311

RR

REE

RR

REE

T

T

ARR

EEI

NT

TT 54,0214


23

Primjer 1.4.4.

Tevenenovom teoremom odrediti struju 4I u kolu

4,2,1,4,2 5432121 RRRRRVEVE

AI

RR

EEI

EERRI

ERIERI

T

TT

TTT

TTT

54,0

46,3

78,1

46,12

2,333,1

)(

0

4

4

214

2144

14244

Primjer 1.4.5.

1

2

3

3

2

43

21

1

2

1

RR

RR

AI

VE

VE

G

67,11

12

124

32

32

432 RRR

RRRRRRT

VE

RR

REE

VE

RR

REE

R

RR

RR

RR

RRR

T

T

T

T

T

T

2,3

5/1641

4*4*

33,1

3/421

2*2*

46,18,066,05

4

3

2

41

4*1

21

2*1**

2

52

522

1

31

311

52

52

31

31


24

VRIE

VRR

REE

GT

T

313

112

13

412

32

32

1

AI

RR

EEEI

EEERRI

T

TT

TTT

09,1

09,167,3

231

0

1

1

1211

21111

Primjer 1.4.6.

?

________

5

3

2

2

5

3

3

2

1

2

1

I

R

R

R

VE

VE

2,1

32

3221 RRRT

VRR

REE

ERRI

EIR

T

T

332

35

21

21

121

2

ARR

EEI

EERRI

T

T

TT

161,02,15

23

0

3

23

233


25

Primjer 1.4.7.

3

2

3

2

1

1

R

R

AIG

21RRT

VRIE GT 62311

ARR

EI

T

T 2,132

6

2

2

Primjer 1.4.8.

2

3

1

3

2

1

3

2

1

2

1

1

R

R

R

VE

VE

AIG

75,0

31

3121 RRRT

VRR

RRIE GT 75,075,01

21

2111


26

VRR

REE

EIR

ERRI

T

T

5,031

12

21

112

21

121

AI

RR

EEEI

EEERRI

T

TT

TTT

636,0

75,2

75,1

275,0

35,075,0

0

3

3

2213

2233

Primjer 1.4.9.

VE

X

X

R

C

L

4

2

4

2

33,1

3

4

6

8

244

244jj

jjjj

jjj

jXjXjX

XjXjXZ

CLL

CLLT

V

jjj

jj

JXJXjX

jXjXEE

CLL

CLT

3

4

244

244

AjI

jjj

ZjXR

EI

EZjXRI

TC

T

TTC

2,06,0

66,02

33,1

3

422

3

4


27

Primjer 1.4.10.

Za izmjenično kolo na slici Tevenenovom teoremom odrediti struju I3 ako je

dato

R=6[]

XL1=1[]

XL2=2[]

XC=4[]

U1=4[V]

U2=8[V]

A53

20j36

jXRZ

EI

3

j2

jXjX

jXjXZ

V33,566,266,2EEE

V66,2j2j

j8

jXjX

jXjXIE

jX

UI

V66,2j3

j8

j2j

j24

jXjX

jXjXIE

jX

UI

CT

T3

2L1L

2L1LT

2T1TT

2L1L

2LL22T

2L

22

2L1L

2L111T

1L

11


28

,TN RR TGNG

1.5. NORTONOVA TEOREMA

U predhodnom poglavlju pokazano je da se proizvoljna linearna

mreža u odnosu na svoje krajeve a i b može zamijeniti ekvivalentnom

tevenenovim naponskim generatorom , čija je ems ET Uab , a unutrašnja

otpornost RT Rekv.

Pošto se svaki naponski generator, sem idealnog meže zamijeniti

ekvivalentnim strujnim generatorom, to se i posmatrana mreža na slici

može zamijeniti ekvivalentnim strujnim generatorom , koji se naziva

nortonov generator (slika .c). Na osnovu formula ekvivalencije naponskog i

strujnog generatora, i struja Nortonovog strujnog generatora je :

a paralelna otpornost odnosno provodnost

Na osnovu prethodnog proizilazi da je struja Nortonovog generatora,

IN , ustvari struja kratkog spoja tevenenovog generatora , odnosno mreže

koju ovaj generator predstavlja . Prema tome,

gdje je IKS struja kroz kratki spoj između tačaka a i b mreže na slici a.

Paralelna otpornost Nortonovog generatora je jednaka ekvivalentnoj

otpornosti mreže na slici a. gledane sa strane krajeva a i b , kada su sve ems

i struje strujnih generatora u mreži jednake nuli: ekvNekvN GG odnosno RR

Na osnovu svega rečenog Nortonova teorema se može iskazati na

sljedeći način :

Električna mreža se u odnosu na bilo koja dva svoja priključka ponaša kao

(nortonov) sturujni generator , čija je struja IN jednaka struji kroz kratak

spoj između posmatranih priključaka, a paralelna otpornost mu je jednaka

T

TN

R

EI

KSN II


29

ARR

RII

RR

RR

RR

RRR

AII

II

AR

UI

AR

UI

N

NN

U

U

U

UN

KN

U

U

4,0

8

2,12

6,9

2,7

2

2

32

32

11

11

13

2

23

1

11

ekvivalentnoj otpornosti mreže, gledane sa strane ovih priključaka , kada su

sve ems naponskih generatora i struja strujnih generatora poništene.

Primjer 1.5.1.

Za kolo na slici odrediti struju I2 metodom Nortonovog generatora pri datim

vrijednostima:

R1=R3=20[]

R2=16[]

Ru1=Ru2=5[]

U1=36[V]

U2=48[V]

Primjer 1.5.2.

Metodom Nortonove teoreme odrediti struju I3 ako je dato:

R1=R2=4[]

R3=6[]

U1=8[V]

U2=12[V]

Rješenje :

AR

UI 2

1

1

1

AR

UI 3

2

2

2

IN=IK=I1-I2= - 1A

ARR

RII

RR

RRR

N

N

N

N

25,0

2

3

3

21

21


30

Primjer 1.5.3.

Za kolo na slici Nortonovom teoremom odrediti struju I3 uz dato:

jXL1=jXL2=2[]

R=2[]

jXc=1[]

U1=4[V]

U2=6[V]

Rješenje :

jIII

jjX

UI

jjX

UI

K

C

L

8

6

2

21

2

2

1

1

1

AjXRZ

ZII

jjXjX

jXjXZ

LN

NK

CL

CLN

8

2

3

Primjer 1.5.4.

Nortonovom teoremom odrediti struju 1I u kolu

3.4,2,3,2 21 X LCXRVEVE

Ajj

j

j

jjX

EI

jj

j

jjj

jj

jXjX

jXjXZ

L

N

CL

CLN

3

3*

3

3

12*12

43

)4(*3

)(

)(*

2

AjI

jj

j

j

jjZR

EEI

EEZRI

EZIERI

VjjIZE

N

N

NN

NN

NNN

81,0135,0

140

12020

1444

12020

122

122*

122

10

122

212

)(

0

12)(*12*

1

1

11

111

1111


31

2.OSCILATORNA KOLA

2.1. PROSTO REZONANTNO KOLO

Pod prostim rezonantnim kolom podrazumijevamo rednu vezu

kalema induktivnosti L, zanemarivih gubitaka, i kondenzatora C,

zanemarive aktivne provodnosti, sl.1.

Slika 1

Ako je ovakvo kolo bilo priključeno na prostoperiodični izvor napona

e(t), prekidač u položaju 1, u kolu će postojati elektromagnetna i

elektrostatička energija, čiji se iznosi takođe mijenjaju po

prostoperiodičnnim zakonima.

Prebacimo prekidač P iz položaja 1 u položaj 2, u trenutku kada je

struja u kolu jednaka nuli. Elektromagnetna energija kola je tada takođe

jednaka nuli, a elektrostatička energija je maksimalna i iznosi:

.22

12

2

C

QCUW m

ce

Kako i poslije prebacivanja prekidača u položaj 2 u kolu postoji

izvijesna energija (u ovom slučaju elektrostatička), u kolu će teći neka

struja, mada u kolu ne postoji aktivan izvor energije. Struja kroz kolo i

naponi na krajevima elemenata biće u ovom slučaju prostoperiodične

funkcije vremena dok za kolo prepušteno samo sebi kažemo da se nalazi u

sopstvenom režimu. Za određenje napona i struje u kolu za svaki trenutak,

koristimo jednačinu ravnoteže napona, koja određuje režim u kolu poslije

prebacivanja prekidača u položaj 2:

0 CL uu

Na osnovu ovih jednačina imamo da je:

),sin()( 00 tIti m

Gdje je: LC

10 i ,0 mm QI pa je izraz za struju dat u obliku:

.sin)( 00 tQti m


32

Tako da su napon na krajevima kondenzatora i opterećenje kondenzatora

dati izrazima 1 i 2 :

,cos)( 0tC

Q

C

qtu m

c (1)

,cos)( 0tQtq m (2)

a napon na krajevima kalema:

.cos)( 0tC

Qtu m

L

Sve veličine u kolu su prostoperiodične, a kružna učestanost 0 se

naziva sopstvena kružna učestanost kola.

Data je izrazom: ,2

10

LCf

a perioda oscilacija (Tompsonov obrazac): .2 LCT

Slika2

U prostom rezonantnom kolu u sopstvenom režimu nema gubitaka

energije, jer smo ih zanemarili, a u toku jedne periode dolazi do

naizmjenične razmjene energije između kondenzatora i kalema.

Elektrostatička i elektromagnetna energija date su izrazom:

,22

1 22

C

qCuw ce 2

2

1Liwm

Sa dijagrama se vidi da u prvoj četvrtini periode q opada, a i raste po

apsolutnoj vrijednosti, tj. elektrostatička energija opada, a elektromagnetna

raste :

4

0T

t


33

Zbir ove dvije energije mora da je u svakom trenutku konstantan, jer

prosto rezonantno kolo predstavlja zatvoreni energetski sistem.

Povećanje elektromagnetne energije u prvoj četvrtini periode vrši se

na račun smanjenja elektrostatičke energije. Kondenzator se u ovom slučaju

ponaša kao generator. U drugoj četvrtini periode struja se smanjuje po

apsolutnoj vrijednosti, a količina elektriciteta povećava, odnosno

elektromagnetna energija se smanjuje, a elektrostatička energija se

povećava:

24

Tt

T

Slika 3

U ovom slučaju kalem se ponaša kao generator energije. U drugoj

polovini periode, promjena energije se vrši na isti način kao u toku prve

polovine periode. Perioda promjene energije je dva puta manja od sopstvene

periode kola.

Dijagrami energije dati su na slici 2.i 3.

Tada su naponi na krajevima kalema i kondenzatora:

tLItC

Qu m

mL 000 coscos , t

C

It

C

Qu mm

C 0

0

0 coscos

Uvodeći veličinu :

,1

0

0C

L

CLZC

Pa dobijemo da je:

,cos 0tIZu mCL ,cos 0tIZu mCc

CZ se naziva karakteristična impedansa kola.


34

2.2. REZONANCIJA U PROSTOM REZONANTNOM KOLU

Ako se prosto rezonantno kolo priključi na prostoperiodični naponski

generator, struja kroz kolo će biti takođe prostoperiodična:

),sin(2)( tEte

),sin(2)( tIti

gdje je :

Z

EI Z

CL

1

90 pri C

L

1

90 pri .1

CL

Vidimo da modul impedanse kola i njen argument zavisi od

učestanosti spoljašnjeg generatora, te će i vrijednost struje i njen argument

takođe zavisiti od učestanosti spoljašnjeg generatora.

Impedansa kola biće minimalna pri uslovu :

C

L

1

=0 0

1

LC

Tada će imati vrijednost nula. Struja u kolu će tada imati beskonačnu

vrijednost, argument impedanse skače sa vrijednosti 90 do 90.

U ovom slučaju kažemo da je u kolu nastupila idealna rezonancija, a

na osnovu naprijed izvedenog ,uslov za to je da je križna učestanost spoljaš-

njeg generatora jednaka sopstvenoj kružnoj učestanosti kola.

U ovom slučaju generator se ponaša kao da su mu krajevi u kratkom

spoju i ne ulaže nikakvu energiju za održavanje struje u kolu, jer je napon

na njegovim krajevima jednak nuli. Kalem i kondenzator se ponašaju kao

prosto rezonantno kolo u sopstvenom režimu, u kome se vrši samo izmjena

elektrostatičke i elektromagnetne energije.

Uslov za pojavu rezonancije u kolu možemo postići bilo promjenom

učestanosti generatora, bilo promjenom vrijednosti parametara kola.

Promjenom parametara kola dolazi do promjene impedanse kola,

argumenta impedanse i struje u kolu.

Krive linije koje pokazuju promjene ovih veličina kada se mijenja

učestanost generatora ili neki od parametara kola nazivaju se krive

rezonancije i imaju analitičke oblike :

LX L C

XC

1 Z= CL XX =

CL

1


35

CL

190

CL

EI

1

CL

190

12

2

LC

LCELIUL

.

1

12

LC

E

CUC

Slika 4

Primjer 2.1.

Parametri prostog rezonantnog kola su: L = 1mH, C = 10pF,

priključenog na prostoperiodični napon oblika tEte sin2)(

E = 2V, f = 1,5MHz. Odrediti napon na pojedinim elementima i struju u

kolu i odrediti sopstvenu učestanost.

kC

X

LX

f

C

L

6,1042,9

10

1042,9

1

101042,9

11

1042,9101042,9

1042,9105,114,322

5

5116

336

66


36

2.3. REZONANTNO KOLO SA NESAVRŠENIM KALEMOM

Ako omska otpornost kalema nije zanemarljiva, pa izgled takvog kola

je predstavljen na slici 5

Ako se prekidač iz položaja 1 prebaci u položaj 2 i kolo prepusti samo

sebi, režim u kolu će biti određen jednačinom naponske ravnoteže:

0 CLR uuu

Slika 5

Struja u kolu u sopstevnom režimu će biti data izrazom

).sin()( 0 teIti S

tS

Gdje SSS jp

Sp se naziva sopstvena kompleksna učestanost kola.

LC

QI

S0

0

.sinsin)( 00 teIteLC

Qti S

t

S

t

S

SS

Vidimo da se i u ovom slučaju javljaju oscilacije stuje, ali

pseudoperiodičnog tipa. Struja u kolu se postepno smanjuje, jer se jedan dio

energije kola stalno gubi zbog postojanja otpornosti R.

Struja u kolu će pasti na nulu, kada se sva el. energija pretvori u

toplotnu, a oscilacije u kolu će nestati.

Ovakav režim možemo postići ako kolo priključimo na generator koji

daje pseudoperiodičan napon:

)sin()( 0 teEte t

Struja u kolu će imati beskonačno veliku vrijednost ako kompleksnu

učestanost generatora podesimo tako da je jednaka sopstvenoj kompleksnoj

učestanosti kola :


37

Spp 2)2

(1

L

R

LCS

Za ovaj slučaj kažemo da je nastupila idealna rezonansa. Ako

promijenimo učestanost generatora mijenjat će se impedansa kola i njen

argument, tj. i struja kroz kolo, ali će ona uvijek imati konačnu vrijednost:

)1

(C

LjRZ

, 22 )1

(C

LRZ

R

CL

arctg

1

,

Ako se kružna učestanost generatora podesi tako da je jednaka

sopstvenoj učestanosti pseudoperiodičnih oscilacija u kolu, kažemo da je u

kolu nastupila prava rezonancija:

.)2

(1 2

L

R

LCS

Ako su parametri kola i učestanosti generatora izabrani tako da je

reaktivna otpornost kola jednaka nuli, kažemo da je nastupila fazna

rezonancija.

01

C

LX

0

1

LC

Struja ima maksimalnu vrijednost (što nije uvijek slučaj pri faznoj

rezonanciji), a naponi na kalemu i kondenzatoru su u svakom trenutku isti

po efektivnoj vrijednosti, ali suprotnog su znaka.

Posmatrano kolo se ponaša kao da nema kalema i kondenzatora, tj.

kao da je ovaj dio kola u kratkom spoju, a generator ne ulaže rad za

održavanje elektrostatičke i elektromagnetne energije. U kolu se vrši

izmjena ove dvije energije, kao i u slučaju prostog rezonantnog kola u

sopstvenom režimu.

Krive rezonancije podrazumijevaju promjenu efektivne vrijednosti

impedanse, njenog ugla, efektivne vrijednosti struje i napona na pojedinim

elementima kola, mogu se nacrtati na osnovu relacija:

22 )1

(C

LRZ

R

CL

arctg

1

222 )1()(

LCCR

CEI

222 )1()(

LCCR

CRERIUR

222

2

)1()(

LCCR

LCELIUL

.

)1()(

1

222

LCCR

EI

CUC


38

Na slici 6 prikazane su krive rezonancije dobijene promjenom kružne

učestanosti generatora, pri čemu su L i C konstantni, a R parametar

familije krivih.

Učestanosti pri kojima su napon na kondenzatoru i na kalemu

maksimalni date su izrazima:

2

0

2

1 )(21)(5,01

CR

R

L

R

LC

.

)(21)(5,0

1

2

0

22

CR

RRCLC

Maksimalna efektivna vrijednost napona kondenzatora je:

22

max

)(12)2

(C

C

C

R

RR

ER

L

RC

L

CR

EU

Ako je otpornost kola mala, vrijednost napona na kondenzatoru može

biti i više puta veća od napona generatora, čak toliko velika da dođe do

proboja dijalektrika kondenzatora. Napon na kondenzatoru neće premašiti

napon generatora ako izaberemo da je:

.2

CRR

Slika 6.


39

Primjer 2.2.

Odrediti napone na R, L, C elementima za slučaj fazne rezonance ako

je dato mHLRnFCVE 2,50,50,2 . Sopstvenu i kompleksnu

učestanost kola.

?,,,,

50

2

50

2

0

sCLR pUUU

nFC

mHL

R

VE

22

0

2

3

930

2

1

500,121022

50

2

1000001050102

11

SS

S

L

R

LC

s

rad

L

R

s

rad

LC

s

radS

S

99215

1025,15610105,1210 6102325

VEU

s

radjjp

RO

SSS

2

10215,995,12 3

VCR

EI

CU

VR

ELILU

CO

LO

850105010

21

850

210210

95

00

35

00

VUU COLO 8

Primjer 2. 3.

Za rezonantno kolo sa nesavršenim kalemom poznato je

kHzfnFCkR 100,5,1 .

Odrediti induktivnost L tako da napon na kalemu bude maksimalan.

Odrediti i sopstvenu učestanost.

2

02

21

CR

R

C

LRC 2

LC

10

2

2

222

2

22

2

22

2

2

2

C

CRL

CRLC


40

mHL 310948,3

8696,11

1041052

102510104231029

186102

kHzLC

f 09,411051032

1

2

1

1030

Primjer 2.4.


kHzfmHLkR 100,5,1 . Odrediti kapacitete C da napon na

kondenzatoru bude maksimalan za datu sopstvenu frekvenciju.

2

01 21

CR

R

C

LRC 2 f 21

pFC

RfL

LC

482

1020739

1010

1010102542

1052

22

24

3

61062

3

2222

kHzf

LCf

5,102

1082,41052

1

2

1

0

1230

2.4.Q-FAKTOR KALEMA

Pojave u rezonantnom kolu sa nesavršenim kalemom znatno zavise

od veličine aktivne otpornosti kalema. Ovom otpornošću ne treba smatrati

samo čistu omsku otpornost kalema, od čije veličine zavisi količina

oslobođene toplote u kalemu, već i otpornosti koje potiču od drugih pojava,

kao što su skin-efekat, međusobni uticaj zavojaka kalema. i itd.

Ekvivalentni otpor za ove pojave zavisi od učestanosti, te se može

govoriti o ekvivalentnom otporu kalema samo za određenu učestanost. Zbog

toga se kao karakteristika kalema uvodi Q-faktor kalema, koji predstavlja

količnik njegove reaktivne i aktivne otpornosti i koji je u velikom opsegu

promjene učestanosti konstantan:

,)(

2 max

R

mL

w

w

R

LQ

gdje je

- (w max)m - maksimalna elektromagnetna energija

- w R -energija gubitaka u kalemu u toku jedne periode.


41

- Q- faktor za slučaj fazne rezonancije je:

CRC

L

RR

LQLO

0

0 11

Često je od interesa odrediti opseg učestanosti u kome efektivna

vrijednost struje neće pasti ispod neke unaprijed definisane granice.

Obično je ta granica 2 puta manja vrijednost maksimalne

efektivne vrijednosti struje, sl 7.

.2

maxIIgr

Opseg učestanosti za koji je prethodna zadovoljena relacija naziva se

propusni opseg, a može se definisati i kao opseg u kome je aktivna snaga

kola veća od polovine maksimalne snage koja se u kolo ulaže pri faznoj

rezonanciji.

Pa vrijedi :

.

2)

1( 22 R

E

CLR

E

).1

(C

LR

Slika 7

Ukoliko je širina propusnog opsega manja, kažemo da je kolo

selektivnije, a stepen selektivnosti kola se definiše kao odnos učestanosti

kola pri faznoj rezonanciji i širine propusnog opsega:

LOQR

L

00


42

Selektivnost kola jednaka je Q-faktoru kola za učestanost fazne

rezonancije.

Pomoću Q-faktora mogu se definisati i naponi na krajevima

kondenzatora i kalema pri faznoj rezonanciji:

COU = LOU = .1

0

0

EQR

EL

R

E

CLO

QLO faktor kalema pokazuje koliko je puta vrijednost napona na kalemu i

kondenzatoru veća od napona na krajevima kola pri faznoj rezonanciji.

Primjer 2.5.


100,500 LQR za MHzf 1 . Odrediti kapacitet C da napon na

kondenzatoru bude maksimalan za datu učestanost i odrediti sopstvenu

frekvenciju.

??

1

100

500

0

fC

MHzf

Q

R

L

mHL

f

RQL

R

fL

R

LQ LO

L

96,7102

100500

2

2

6

2

01 21

CR

R

C

LRC 2

pFC

FC

RfL

LC

18,3

1018,31008,5003

1092,15

1096,71025,01042

1096,72

22

2

12

6

3

626122

3

2222

MHzf

MHzf

LCf

0003,1

00034,1

1018,31096,72

1

2

1

0

0

1230


43

Primjer 2.6.

Za rezonantno sa nesavršenim kalemom poznato je 0=100 000 rad/s.

Voltmetri V1=50V i V2=52,1V pokazuju aktivne vrjednosti pri faznoj

rezonanciji. Odrediti vrjednost priključenog napona E i širinu propusnog

opsega f.

0=100 000 rad/s

V1=50V

V2=52.1V

E=? UC0=V1

f=? UR0=E

Rješenje:

V2=2

1

22

0

2

0 VEUU CR

VVVE 65,14501,52 222

1

2

2 E=14,65V

0

0

LQ

ff , QL0= 415,3

65,14

5010 E

V

E

UC

)(9,4660415,32

100000

2 0

0 HzQ

fL

Primjer 2.7.

Za rezonantno kolo sa nesavršenim kalemom poznata je učestalost f0=200

Hz i širina propusnog opsega f=4KHz. Odrediti pokazivanje voltmetra V2 i

vrijednost priključenog napona E. Ako instrument V1 pokazuje aktivnu

vrjednost V1=100V pri faznoj rezonanciji.

f0=200KHz

f=4KHz

V1=100V (=0)

V2=?

E=?

Rješenje:

50104

102003

3

0

0

f

fQL


44

?,,

10

3

50

10

2

0

1

VEQ

MHzf

VV

R

mHL

LO

+

E

R

C

L

V+

V2V+

V3

V+

V1

EQR

ELLIU LL 0000

VVUL 10010

E= VQ

U

L

L 250

100

0

0

)(02,1004100002

0

2

0

22

12 VUUEVV RL

Primjer 2.8.

Za rezonantno kolo poznato je R=50 , L=10mH i pokazivanje

voltmetra (efektivna vrijednost napona na otporniku) V1=3V pri rezonantnoj

učestanosti (fazna) fc= 10MHz. Odrediti pokazivanje voltmetra V2 (napon na

rednoj vezi zavojnice i kondezatora) i faktor dobrote QLO i vrijednost E,

napon na kondenzatoru V3.

0

3

2

1

COLO

RO

UUV

VE

VEU

50

101010102 36

00

R

LQLO

12566LOQ

kVEQU LOLO 7,37312566


45

2.5. REZONANTNO KOLO SA NESAVRŠENIM KONDENZATOROM

U slučaju da kondenzator nije idealan već da njegov dielektrik

posjeduje neku konačnu provodnost G, tada o njoj moramo voditi računa, te

će rezonantno kolo imati oblik dat na slici 10.

Sopstveni režim u kolu, prekidač u položaju 2, određen je

jednačinama:

0 CL uu

GC iii

Slika 10

Rješavanjem ovih jednačina dobivamo izraz za napon na kondenzatoru

teEtu S

t

CS

sin)( 0

, gdje je

ssS jC

G

LCj

C

Gp

2

2

1

2

Prethodna relacija određuje sopstvenu kompleksnu učestanost kola sa

nesavršenim kondenzatorom.

Idealna rezonancija u rezonantnom kolu sa nesavršenim

kondenzatorom nastupiće ako je kompleksna učestanost jp

generatora pseudoperiodičnog napona:

teEe t

t sin0)(

jednaka sopstvenoj kompleksnoj učetanosti ps kola:

C

Gs

2

2

2

1

C

G

LCs

Struja na krajevima kola tada ima beskonačno veliku vrijednost.

Prava rezonancije u kolu sa nesavršenim kondenzatorom nastupiće

ako je kružna učestanost prostoperiodičnog generatora:

tEe t sin2)(

jednaka sopstvenoj kružnoj učestanosti s kola:


46

2

2

1

C

G

LCs

Struja u ovom slučaju neće biti u fazi sa naponom niti će njena

efektivna vrijednost biti maksimalna, što se može lako pokazati. Perioda

prinudnih oscilacija jednaka je periodi sopstvenih oscilacija kola čiji su

krajevi kratko spojeni.

Fazna rezonancija u kolu sa nesavršenim kondenzatorom nastupiće u

slučaju da je ukupna reaktivna otpornost kola jednaka nuli:

2222

1

CG

CLj

CG

G

CjGLjZ

Uslov se svodi na:

022

CG

CLX

odakle se dobijaju dva rješenja:

01

2

2

1

C

G

LC

Prvo rješenje odgovara jednosmjernoj struji, tada su uvijek struja i

napon u faznom skladu.

Za razliku od kola sa nesavršenim kalemom, kod kola sa nesavršenim

kondenzatorom efektivna vrijednost struje u kolu neće pri faznoj rezonanciji

biti maksimalna, jer vrijednost impedanse kola nije minimalna za

učestanost 2.

Kada efektivna vrijednost struje u kolu dostigne svoju maksimalnu

vrijednost kažemo da je u kolu nastupila amplitudska rezonancija. Ako je

kružna učestanost generatora promjenljiva, uslov amplitudske rezonancije

se izražava u obliku:

0d

dZ

Rješenje jednačine je:

2

2

2

2 12

1

C

G

LCC

G

LC

Napomenimo da se amplitudska rezonancija može postići i

promjenom nekog drugog parametra kola.

U slučaju kola sa nesavršenim kalemom, učestanosti fazne i

amplitudske rezonancije su se poklapale, jer je struja imala maksimalnu

vrijednost pri faznoj rezonanciji.

U slučaju kola sa nesavršenim kondanzatorom, učestanosti prave,

fazne i amplitudske rezonancije se razlikuju. Ove tri učestanosti su iste


47

samo kada se otpornost kalema i provodnost kondenzatora mogu

zanemariti.

Slično kao i kod kalema, kvalitet kondenzatora se može definisati

preko Q- faktora:

G

e

cG

CQ

max2

Uobičajeno je da se vrijednost Q- faktora kondenzatora zadaje za

učestanost 0:

LGL

C

GG

CQCO

0

0 11

Krive rezonancije se za ovaj slučaj crtaju sličnim postupkom kao i za

kolo sa nesavršenim kalemom.

Primjer 2.9.

Za rezonantno kolo sa nesavršenim kondezatorom poznato je R=10 , =106

rad/s. Odrediti L i C tako da pri faznoj rezonanciji ulazna ipedansa kola

bude 1 odrediti QL0 i kompleksnu učestalost.

R=10

=104 rad/s

Rješenje:

11

CjG

LjZ

222

2

*1

*1

CG

CjGCj

CjG

CjG

CjGLj

CjG

CjG

CjG

LCLGjZ

01222222

jCG

CLj

CG

GZ

01222222

CG

CL

CG

G

222 CGG

FGGC

3.01.01.010

11 2

6

2

H

CG

CL

3

10*3.0*101.0

10*3.02662

6

222

sMradLC

/054.110*3.0*10*3

11

660


48

sradG

CQC /10*1666.0

10*3.0*2

1.0 6

6

00

sradGC

G

LCSS /10*041.110*1666.010*054.1

2

1 6662622

0

2

SSS

SS

S

C

jp

sradC

G

LC

sradC

G

CRG

CQ

sradLC

HCG

CL

HGGC

CGG

CG

CL

CG

G

/10041,1101666,010054,12

1

/101666,0103,02

1,0

2

16,310103,010054,1

/10054,1103,0103

11

3103,0101,0

103,0

31,01,010

11

01

6262622

0

2

6

6

66

0

0

0

6

660

2662

6

222

2

6

2

222

222222


49

2. 6. PROSTO ANTIREZONANTNO KOLO

Pod prostim antirezonantnim kolom podrazumijevamo paralelnu vezu

idealne zavojnice induktivnosti L i idealnog kondenzatora kapacitivnosti C,

slika 11.

Ako se prekidač, prema slici 11 , otvori i kolo prepusti samo sebi, kroz

kolo će i dalje proticati struja, jer u njemu je prilikom isključenja postojala

neka energija koja to omogućuje.

Slika 11.

Ako prekidač ostavimo zatvoren i mijenjamo učestanost

prostoperiodičnog generatora, struja na krajevima kola (kroz generator) će

se mijenjati, jer se mijenja ukupna admitansa kola:

L

CB

1

(1)

Učestanost generatora za koju struja na krajevima kola ima

vrijednost nula naziva se učestanost antirezonancije, a kada vlada, kažemo

da je u kolu nastala idealna antirezonancija.

LC

10 (2)

Impedansa u tom slučaju beskonačno velika, a argument impedanse

se skokovito mijenja sa – 90o na vrijednost -90.

Unutar samog antirezonantnog kola će i dalje teći struja,

antirezonancije, koja će biti jednaka:

CEEL

II CL 0

0

1

(3)

Generator ne ulaže nikakav rad za održavanje struje, a kolo se

ponaša kao da je otkačeno od generatora.

Procesi koji se u njemu dešavaju su isti kao kod prostog rezonantnog

kola prepuštenom samom sebi.


50

Krive antirezonancije, slika 12. možemo nacrtati prema relacijama:

LC

Z

1

1

EL

CI

1

(4)

Slika 12.

Primjer 2. 10.

Za prosto rezonantno kolo odrediti struju koju daje generator za

slučaj 2

0 , 0 i 02 , ako je poznato FCmHLVE 1,10,5 .

FC

mHL

VE

1

10

5

s

rad

LC1000010

101010

11 4

630

a) za 0 Z 0B 0I

b) za 02 EL

CI

1


51

AI

EL

EL

I

075,0

1010102

53

2

3

2

11

4

34

00

2

0

2

0

c) za 2

0

AE

L

I 075,0

10102

10

54

3

2

11

4

34

0

2

0

2

0

2. 7. ANTIREZONANTNO KOLO SA NESAVRŠENIM

KONDENZATOROM

U slučaju da kondenzator nije idealan, već da njegov dielektrik

posjeduje neku konačnu provodnost G, tada antirezonantno kolo ima oblik

prikazan na slici 13.

Slika 13.

Ako se prekidač otvori, sopstveni režim u kolu će biti isti kao i

sopstveni režim rezonantnog kola sa nesavršenim kondenzatorom, pa će

sopstvena kompleksna učestanost kola iznositi:

ss jC

G

LCj

C

Gp

2

2,12

1

2 (5)

Idealnu antirezonanciju postići ćemo u ovakvom kolu ako kompleksnu

učestanost jp generatora pseudoperiodičnog napona

)sin()( 0 teEte t (6)

podesimo tako da je jednaka sopstvenoj kompleksnoj učestanosti kola:


52

C

Gs

2

2

2

1

C

G

LCs (7)

Struja na krajevima kolaje u ovom slučaju jednaka nuli.

Ako je generator prostoperiodičan, tada se uslov idealne

antirezonancije ne može postići. U kolu će se postići prava antirezonancija

ako je kružna učestalost prostoperiodičnog generatora:

tEte sin2)(

jednaka sopstvenoj učestalosti s, kola:

2

2

1

C

G

LCs (8)

U ovom slučaju perioda prinudnih oscilacija jednaka je periodi

sopstvenih oscilacija kola čiji su krajevi otvoreni.

U kolu će nastati fazna antirezonancija ako je reaktivna provodnost

kola jednaka nuli:

01

L

CB

0

1

LC (9)

Struja i napon su u fazi, admitansa ima svoju minimalnu, a

impedansa maksimalnu vrijednost:

GYY min G

ZZ1

max (10)

Pri faznoj antirezonanciji, struje u kalemu i kondenzatoru imaju istu

efektivnu vrijednost, a suprotnog su znaka:

EL

jIL

0

1

CEjIC 0 (11)

Kolo se ponaša kao da nema kalema i kondenzatora, ovaj dio kola je

otvoren, generator ne ulaže rad za održavanje struja u ovom dijelu kola, a u

kalemu i kondenzatoru dolazi do naizmjenične izmjene elektrostatičke i

elektromagnetne energije.

Kod antirezonantnog kola je zanimljivo razmotriti slučaj kad je na

njegovim krajevima priključen strujni generator struje i0(t) .


53

Tada je napon na krajevima pri idealnoj antirezonanciji beskonačno

veliki, a pri faznoj antirezonanciji ima maksimalnu vrijednost koja iznosi:

G

IUU

g max (12)

gdje je Ig efektivna vrijednost struje prostoperiodičnog strujnog generatora.

Krive rezonancije se mogu crtati za slučaj da je kolo priključeno na

naponski generator ili na strujni generator.

a) naponski generator

2

2 1

LCGY

2

2 1

LCGEI

G

LC

arctgv

1

GEIG

CEIC EL

IL

1 (13)

Na slici 14 prikazane su krive antirezonancije za slučaj da je kružna

učestanost generatora promjenljiva, da je provodnost G parametar familije

krivih i da su L i G konstantni.

Slika 14.

b) strujni generator

2221

LCLG

LIU

g

2221

LCLG

LGII

g

G

222

2

1

LCLG

LCLI

g

C

2221

LCLG

II

g

L

(14)


54

Izlazi za struje su u potpunosti dualni izrazima za napone za slučaj

rezonantnog kola sa nesavršenim kondenzatorom.

Uobičajeno je da se i ovdje kao parametar uvede, umjesto provodnosti

G, Q- faktor kondenzatora za učestanost o, kao i pojam propusnog opsega.

Propusni opseg se definiše kao opseg učestanosti u kome efektivna

vrijednost napona na krajevima kola ne opada ispod vrijednosti 2 puta

manje od efektivne vrijednosti napona pri faznoj antirezonanciji (opseg u

kome je snaga u kolu veća od polovine maksimalne snage). Kolo je

priključeno na strujni generator prostoperiodične struje, pa je:

21

2

2G

I

LCG

I gg

(15)

Relacija (15) je dualna odgovarajućoj relaciji za rezonantno kolo sa

nesavršenim kalemom, pa je:

LCC

G

C

G 1

22

2

2,1

(16)

Širina propusnog opsega je:

C

G 21 (17)

Stepen selektivnosti:

COQL

C

GG

C

100

(18)

Qco faktor kondenzatora pokazuje takođe koliko su puta struje u kalemu i

kondenzatoru veće od struje generatora pri faznoj antirezonanciji:

gCO

gg

LC IQG

I

LG

ICII

0

0

1

(19)

Primjer 2. 11.

U antirezonantnom kolu s nesavršenim kondenzatorom poznato je

FCG 10,1,0 , s

rad510 i mAA 101 pri faznoj razonanciji. Odrediti

pokazivanje ampermetra A2, A3, A5 i napon izvora.


55

s

rad

C

G 3

61010

1010

1,0

1010

104

5

0

COQ !ACGCOC IIIQI 43 AAG III

mAQ

II

CO

AG 110

10

1010 33

1

mVmA

G

IUGUI G

G 101,0

1

2

5

2

42 AAA III mAII AA 1015

Primjer 2. 12.

U antirezonantnom kolu poznato je G=1S, kHzfkHzf 200,5

struja IA1=5mA kroz ampermetar A1 pri faznoj antirezonanciji. Odrediti

pokazivanje ampermetra A2, A3, A4, A5 i induktivnost L kao kapacitivnost C

i napon na kondenzatoru.

40105

10200

5

3

3

00

12

f

fQ

mAII

CO

AA

mAmAIQII

I

I

IQ ACOA

A

A

A

ACO 20054014

2

4

1

4


56

0

200

3

45

A

AA

I

mAII

43 10

1

1052

1

22

f

GC

C

Gf

C

G

FC 85,31

6102

0

22

0

01085,311044

1

2

111

CfC

LLC

mVU

S

mA

G

I

G

IU

C

AGC

5

1

52

Primjer 2.13.

U antirezonantnom kolu poznato je 100R , AC 1 i s

rad5

0 10 .

Ampermetar A1 pokazuje IA1=30mA pri faznoj antirezonanci. Odrediti

pokazivanje ampermetra A2, A3, A4, A5, napon izvora U i induktivnost L.

0

COQ

1001,0

10110

11

65

0

G

CQ

RCC

G

CO

mAmA

Q

II

I

IQ

CO

AA

A

ACO 3

10

3012

2

1

00

COQ

C

G

G

C

C

GQCO

00

SG 01,0

mAII

mAII

AA

AA

30

3

15

24

mAIII AAA 15,30303 222

5

2

43

VmVRIU A 3,0300100103 3

4

HL

mHL

2,0

199


57

mHC

LLC

1,01010

1116102

0

0

HL 100

Primjer 2.14.

U antirezonantnom kolu poznato je mHL 1 , kHzf 2 i kHzf 100 ,

struja kroz ampermetar A1 je IA1=10mA pri faznoj antirezonanci. Odrediti

pokazivanje ampermetra A2, A3, A4, A5, kapacitet C i provodnost G.

mAII AA 1012

50102

101003

3

0

f

fQCO

mAmAIQI ACOA 500105024

mAII AA 50045

03 AI

31022

0

0101104

111

L

CLC

nF53,20

39 10210535,22

SG 84,31

2.8. ANTIREZONANTNO KOLO SA NESAVRŠENIM KALEMOM

Ako se otpornost kalema ne može zanemariti, antirezonantno kolo

ima oblik prikazan na slici 15.

Ako se prekidač otvori, pojave u kolu će biti iste kao u rezonantnom

kolu sa nesavršenom zavojnicom, pa je sopstvena kompleksna učestanost

kola:

ss jL

R

LCj

L

Rp

2

2,12

1

2 (20)


58

Slika 15.

U kolu će nastupiti idealana antirezonancija ako je kompleksna

učestanost sss jp generatora pseudoperiodičnog napona:

)sin()( 0

tEtet

jednaka sopstvenoj kompleksnoj učestanosti p, kola:

Spp L

Rs

2

2

2

1

L

R

LCs (21)

U ovom slučaju je na krajevima kola struja jednaka nuli.

U kolu će nastupiti prava antirezonancija ako je kružna učestanost

generatora prostoperiodičnog napona:

)sin(2)( tEte

jednaka sopstvenoj kružnoj učestanosti , kola:

2

2

1

L

R

LCs (22.)

U ovom slučaju, perioda prinudnih oscilacija je jednaka periodi

sopstvenih oscilacija kola čiji su krajevi otvoreni.

Fazna antirezonancija nastupiti u kolu za slučaj da je ukupna

reaktivna provodnost kola jednaka nuli:

222 )(

1

LR

LCj

LR

R

LjRCjY


59

0)( 22

LR

LCB

(23)

Rješenja jednačine (23.)

01

2

2

1

L

R

LC (24)

Prvo rješenje odgovara jednosmjernom naponu, a tada su struja i

napon uvijek u fazi.

Za učestanost fazne antirezonancije modul admistanse nije

minimalan. U kolu će nastupiti amlitudska antirezonancija za slučaj da je

admitansa kola minimalna, što odgovara minimalnoj struji u kolu, ako je

ono priključeno na naponski generator. U slučaju da je kružna učestanost

generatora promjenjiva, uslov amlitudske antirezonancije se može izraziti u

obliku:

0d

dY (25)

Rješenje jednačine (25):

2

2

2

2 121

L

R

LCL

R

LC

(26)

Antirezonantno kolo sa nesavršenim kalemom se u praksi najčešće

primjenjuje kao prekidač struje. Naime, ako je kružna učestanost

generatora jednaka kružnoj učestanosti LC

10 , impedansa kola će biti

vrlo velika, a struja na krajevima kola vrlo mala, praktično jednaka nuli. Za

učestanosti bliske vrijednosti o vrijednost impedanse kola brzo opada.

Primjer 2.15.

Za antirezonantno kolo sa nesavršenom zavojnicom poznato je 10R i

s

rad610 . Potrebno je odrediti L i C tako da ulazna admitansa kola bude

SY 310 pri faznoj antirezonanci.


60

3

222222

3

222

3

10

10

101

LR

LCj

LR

R

LjR

LjRCj

LjRCjY

3

22210

LR

R

i

222 LR

LC

HY

YRRL

5,99

10

101010

10

113

23

6

2

pFLR

LC 995

10990010100

105,991212

6

222

s

rad

L

RS

6

61005,0

105,992

10

2

s

rad

LC

6

1260 10178,3

10995105,99

11

s

radSS

62

0 10177,3


61

Prezime i ime Razred

Vježba broj 1. PROSTO REZONANTNO OSCILTORNO

KOLO

Datum: Ocjena: Profesor:

1. Cilj vježbe:

Upoznavanje sa prostim rezonantnim oscilatornim kolom.

2. Zadatak vježbe:

a) Odrediti sopstvenu kružnu frekvenciju prostog rezonantnog

oscilatornog kola.

b) Odrediti sopstvenu frekvenciju rezonantnog oscilatornog kola.

c) Snimiti i nacrtati zavisnost struje u kolu u funkciji od frekvencije.

d) Snimiti i nacrtati zavisnost napona na kalemu u funkciji od

frekvencije.

e) Snimiti i nacrtati zavisnost napona na kondenzatoru u funkciji od

frekvencije.

f) Snimiti i nacrtati zavisnost impedance kola u funkciji od frekvencije.

3. Opis vježbe:

Spojiti prosto rezonantno oscilatorno kolo. Priključiti voltmetar

paralelno sa kalemom. Priključiti voltmetar paralelno sa kondenzatorom.

Spojiti ampermetar u seriju sa kalemom i kondenzatorom. Na signal

generatoru pri konstantnoj amplitudi mijenjati frekvenciju signala i pri tim

vrijednostima izmjeriti struju u kolu i napone na kalemu i kondenzatoru.

Na osnovu dobivenih rezultata nacrtati AFK (zavisnost veličine od

frekvencije).


62

4. Pitanja za pripremu vježbe:

1. Iz čega se sastoji prosto rezonantno oscilatorno kolo?

2. Kako se računa sopstvena kružna frekvencija?

3. Kako se računa sopstvena frekvencija?

4. Kako se računa period spostvenih oscilacija?

5. Koliki je napon na kondenzatoru pri rezonantnoj frekvenciji?

6. Koliki je napon na kalemu pri rezonantnoj frekvenciji?

7. Kolika je struja u kolu pri rezonantnoj frekvenciji?

8. Kolika je impendansa u kolu pri rezonantnoj frekvenciji?

5. Popis korištene opreme:

- Signal generator__________________________

- 2 voltmetra_______________________________

- Ampermetar______________________________

- Kalem___________________________________

- Kondenzator_____________________________

- spojni kabl

6. Tabelarni i grafički prikaz rezultata ogleda

f(Hz) 1 10 100 1K 10K 100K frez 0.9frez 1.1frez

I

UL

UC

Z


63

7. Zaključak

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________


64


Vježba broj 2. REZONANTNO OSCILTORNO KOLO SA

NESAVRŠENIM KALEMOM


1. Cilj vježbe:

Upoznavanje sa rezonantnim kolom sa nesavršenim kalemom.

2. Zadatak vježbe:

a) Odrediti sopstvenu kružnu frekvenciju rezonantnog oscilatornog kola

sa nesavršenim kalemom.

b) Odrediti sopstvenu frekvenciju rezonantnog oscilatornog kola sa

nesavršenim kalemom.

c) Snimiti i nacrtati zavisnost struje u kolu u funkciji od frekvencije.

d) Snimiti i nacrtati zavisnost napona na otporniku u funkciji od

frekvencije.

e) Snimiti i nacrtati zavisnost napona na kalemu u funkciji od

frekvencije.

f) Snimiti i nacrtati zavisnost napona na kondenzatoru u funkciji od

frekvencije.

g) Snimiti i nacrtati zavisnost impedance kola u funkciji od frekvencije.

h) Odrediti Q-faktor kola?

i) Odrediti širinu propusnog opsega?

3. Opis vježbe:

Spojiti rezonantno oscilatorno kolo sa nesavršemin kalemom.

Pklirjučiti voltmetar paralelno sa otpornikom. Priključiti voltmetar

paralelno sa kalemom. Priključiti voltmetar paralelno sa kondenzatorom.

Spojiti ampermetar u seriju sa otpornikm, kalemom i kondenzatorom. Na

signal generatoru pri konstantnoj amplitudi mijenjati frekvenciju signala i

pri tim vrijednostima izmjeriti struju u kolu i napone na otporniku, kalemu

i kondenzatoru. Na osnovu dobivenih rezultata nacrtati AFK (zavisnost

veličine od frekvencije).


65


1. Iz čega se sastoji rezonantno oscilatorno kolo sa nesavršenim

kalemom?


3. Kako se računa frekvencija pri kojoj je napon na kalemu

maksimalan?

4. Kako se računa frekvencija pri kojoj je napon na kondenzatoru

maksimalan?

5. Kolika je struja u kolu pri rezonantnoj frekvenciji?

6. Kolika je impendansa u kolu pri rezonantnoj frekvenciji?


- Signal generator__________________________

- 3 voltmetra_______________________________

- Ampermetar______________________________

- Otpornik_________________________________

- Kalem___________________________________

- Kondenzator_____________________________

- spojni kabl


f(Hz) 1 10 100 1K 10K 100K frez f1 f2

I

UR

UL

UC

Z


66

7. Zaključak

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________


67


Vježba broj 3. PROSTO ANTIREZONANTNO OSCILTORNO

KOLO


1. Cilj vježbe:

Upoznavanje sa prostim antirezonantnim oscilatornim kolom.

2. Zadatak vježbe:

a) Odrediti sopstvenu kružnu frekvenciju prostog antirezonantnog

oscilatornog kola.

b) Odrediti sopstvenu frekvenciju prostog antirezonantnog oscilatornog

kola.

c) Snimiti i nacrtati zavisnost struje kalema u kolu u funkciji od

frekvencije.

d) Snimiti i nacrtati zavisnost struje kondenzatora u kolu u funkciji od

frekvencije.

e) Snimiti i nacrtati zavisnost struje u kolu u funkciji od frekvencije.

f) Snimiti i nacrtati zavisnost impedance kola u funkciji od frekvencije.

g) Snimiti i nacrtati zavisnost admitanse kola u funkciji od frekvencije.

3. Opis vježbe:

Spojiti prosto atinrezonantno oscilatorno kolo. Spojiti ampermetar u

seriju sa kalemom. Spojiti ampermetar u seriju sa kondenzatorom. Spojiti

ampermetar sa paralenom vezom LC elemenata. Na signal generatoru pri

konstantnoj amplitudi mijenjati frekvenciju signala i pri tim vrijednostima

izmjeriti ukupnu struju u kolu i struje kroz kalem i kondenzator. Na osnovu

dobivenih rezultata nacrtati AFK (zavisnost veličine od frekvencije).


1. Iz čega se sastoji prosto antirezonantno oscilatorno kolo?



68

3. Kako se računa sopstvena frekvencija?

4. Kolika je struja u kolu pri antirezonantnoj frekvenciji?

5. Kolika je impendansa u kolu pri antirezonantnoj frekvenciji?


- Signal generator_________________________

- Voltmetar_______________________________

- 2 ampermetra____________________________

- Kalem___________________________________

- Kondenzator_____________________________

- spojni kabl



I

IL

IC

Z

Y

7. Zaključak

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________


69


Vježba broj 4. ANTIREZONANTNO OSCILTORNO KOLO SA

NESAVRŠENIM KONDENZATOROM


1. Cilj vježbe:

Upoznavanje sa antirezonantnim oscilatornim kolom sa nesavršenim

kondenzatorom

2. Zadatak vježbe:

a) Odrediti sopstvenu kružnu frekvenciju antirezonantnog oscilatornog

kola sa nesavršenim kondenzatorom.

b) Odrediti sopstvenu frekvenciju antirezonantnog oscilatornog kola sa

nesavršenim kondenzatorom.

c) Snimiti i nacrtati zavisnost struje kroz otpornik u kolu u funkciji od

frekvencije.

d) Snimiti i nacrtati zavisnost struje kalema u kolu u funkciji od

frekvencije.

e) Snimiti i nacrtati zavisnost struje kondenzatora u kolu u funkciji od

frekvencije.

f) Snimiti i nacrtati zavisnost struje u kolu u funkciji od frekvencije.

g) Snimiti i nacrtati zavisnost impedance kola u funkciji od frekvencije.

h) Snimiti i nacrtati zavisnost admitanse kola u funkciji od frekvencije.

3. Opis vježbe:

Spojiti atinrezonantno oscilatorno kolo sa nesavršenim

kondenzatorom. Spojiti ampermetar u seriju sa otpornikom. Spojiti

ampermetar u seriju sa kalemom. Spojiti ampermetar u seriju sa

kondenzatorom. Spojiti ampermetar sa paralenom vezom RLC elemenata.

Na signal generatoru pri konstantnoj amplitudi mijenjati frekvenciju

signala i pri tim vrijednostima izmjeriti ukupnu struju u kolu i struje kroz


70

otpornik,kalem i kondenzator. Na osnovu dobivenih rezultata nacrtati AFK

(zavisnost veličine od frekvencije).


1) Iz čega se sastoji antirezonantno oscilatorno kolo sa nesavršenim

kondenzatorom?

2) Kako se računa sopstvena kružna frekvencija?

3) Kako se računa sopstvena frekvencija?

4) Kolika je struja u kolu pri antirezonantnoj frekvenciji?

5) Kolika je impendansa u kolu pri antirezonantnoj frekvenciji?


- Signal generator_________________________

- Voltmetar_______________________________

- 3 ampermetra____________________________

- Otpornik_________________________________

- Kalem___________________________________

- Kondenzator_____________________________

- spojni kabl



I

IR

IL

IC

Z

Y


71

7. Zaključak

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Documents

Hasan Halilčević - Osnove Elektrotehnike Modul 5