Hasan Halilčević - Osnove Elektrotehnike Modul 6

Osnove elektrotehnike Tehničar računarstva i Tehničar elektronike Modul 6

1

Zanimanje:

TEHNIČAR RAČUNARSTVA

TEHNIČAR ELEKTRONIKE

Predmet:

OSNOVE

ELEKTROTEHNIKE

Modul 6:

ČETVOROPOLI I

ELEKTRIČNI FILTRI

Profesor:

Hasan Halilčević, dipl.ing.el.teh.

Tuzla, septembar 2011.godine


2

SADRŽAJ 3. Četvoropoli 3

3.1. Različiti sistemi jednačina četvoropola 3

3.2. Ulazne impedanse četvoropola 10

3.3. Konstanta prenosa četvoropola 11

3.4. Simetričan četvoropol 15

3.5. Ekvivalentne T i Pi šeme četvoropola 18

3.6. i obrnuti četvoropol 23

3.7. Vezivanje četvoropola 23

4. Električni filtri 26

4.1. Elementarna teorija električnih filtera 26

4.2. K-filtri niskih učestanosti 29

4.3. K-filtri visokih učestanosti 30

4.4. K-filtri propusnici opsega učestanosti 32

4.5. K-filtri nepropusnici opsega učestanosti 34


3

3.ČETVEROPOLI

3.1 RAZLIČITI SISTEMI JEDNAČINA ČETVOROPOLA

U različitim oblastima elektrotehnike primjenjuju se električna kola

sa dva para krajeva, preko kojih se ovo kolo povezuje sa drugim kolima

ostvarujući funkciju koja mu je namjenjena.

Električno kolo sa dva para krajeva nazivamo četveropol. Sve četveropole

možemo podijeliti u dvije grupe : pasivne i aktivne .

U pasivnim četveropolima nema izvora energije, generator energije je

priključen na jedan par njegovih krajeva. U pasivne četveropole spadaju

telekomunikacione prenosne linije, energetski dalekovodi, transformatori,

filtri i drugo.

Aktivni četveropoli sadrže izvor energije i tu spadaju pojačavači sa

elektronskim cijevima ili poluprovodničkim elementima, ispravljači,

emisioni uređaji i drugo.

U ovom slučaju razmatrat ćemo teoriju i proračun pasivnih četveropola, za

koje važi princip uzajamnosti.

Par krajeva između kojih se priključuje izvor energije obilježen je sa 1

i 1' i nazivamo ga ulaz četveropola, a par krajeva između kojih se priključuje

potrošač nazivamo izlaz četveropla i obilježavamo ga sa 2 i 2'. Šematski je

četveropol dat na slici 3.1, sa oznakama pozitivnih smijerova napona i struja

na ulaznom i izlaznom kraju.

Slika 3.1.

Četveropoli se mogu predstaviti sa šest različitih sistema jedačina, a to su:

Y, Z, a, b, g i h parametri.

Y-parametri:

Predstavljaju zavisnost struja od napona, i u matričnom obliku taj sistem

jednačina glasi:

2

1

I

I

2221

1211

YY

YY

2

1

U

U


4

ili napisan kao sistem jednačina:

2221212

2121111

UYUYI

UYUYI

0/ 2

1

111 U

U

IY Ulazna admitansa mjerena sa strane ulaza četveropola

kada je izlaz četveropola kratko spojen.

0/ 1

2

112

U

U

IY Prenosna admitansa četveropla ulaz-izlaz kada je ulaz

četveropola kratko spojen.

0/ 2

1

221 U

U

IY Prenosna admitansa četveropola izlaz-ulaz kada je izlaz


0/ 1

2

222

U

U

IY Ulazna admitansa četveropola mjerena sa strane izlaza

četveropla kada je ulaz četveropla kratko spojen.

Z-parametri:

Predstavljaju zavisnost napona od struje. U matričnom obliku taj sistem

jednačina glasi:

2

1

U

U

2221

1211

ZZ

ZZ

2

1

I

I


2221212

2121111

IZIZU

IZIZU

0/ 2

1

111 I

I

UZ Predstavlja ulaznu impedansu mjerenu sa strane ulaza

četveropla kada je izlaz četveropola otvoren.

0/ 1

2

112

I

I

UZ Predstavlja prenosnu impedansu četveropola ulaz-izlaz

kada je ulaz četveropola otvoren.


5

0/ 2

1

221 I

I

UZ Predstavlja prenosnu impedasu četveropola izlaz-ulaz

kada je izlaz četveropola otvoren.

0/ 1

2

222

I

I

UZ Predstavlja ulaznu impedansu četveropola mjerenu sa

strane izlaza četeropola kada je ulaz četveropola otvoren.

a-parametri:

Predstavljaju zavisnost ulaznih veličina od izlaznih veličina. U matričnom

obliku taj sistem jednačina glasi.

1

1

I

U

DC

BA

2

2

I

U


221

221

DICUI

BIAUU

0/ 2

2

1 IU

UA Predstavlja prenosni broj napona četveropola ulaz-izlaz

kada je izlaz četveropola otvoren.

0/ 2

2

1 UI

UB Predstavlja prensnu impedansu četveropola ulaz-izlaz


0/ 2

2

1 IU

IC Predstavlja prenosnu admitansu četveropola ulaz-izlaz

kada je izlaz četveropola zatvoren.

0/ 2

2

1 UI

ID Predstavlja prenosni broj struje četveropola ulaz-izlaz


Za navedene a-parametre takođe vrijedi i relacija da je : AD-BC=1

b-parametri:

Predstavljaju zavisnost izlaznih veličina od ulaznih.U matričnom obliku taj

sistem jednačina glasi.

2

2

I

U

2221

1211

bb

bb

1

1

I

U


6


1221212

1121112

IbUbI

IbUbU

0/ 1

1

211 I

U

Ub Predstavlja prenosni broj napona četveropola ulaz-izlaz,


0/ 1

1

212 U

I

Ub Predstavlja prenosni broj napona četveropola ulaz-izlaz,


0/2

1

1

21 IU

Ib Predstavlja prenosnu admitansu četveropola izlaz-ulaz,


0/ 1

1

222 U

I

Ib Predstavlja prenosni broj struje četveropola izlaz-ulaz,

kada je ulaz četveropola kratko spojen.

g-parametri

Ako I1 i U2 izrazimo preko U1 i I2, dobićemo g-sistem jednačina i g-

parametre četveropola. U matričnom obliku taj sistem jdnačina glasi.

2

1

U

I

2221

1211

gg

gg

2

1

I

U


2221212

2121111

IgUgU

IgUgI

0/ 2

1

111 I

U

Ig Predstavlja ulaznu admitansu mjerenu sa strane ulaza

četveropola kada je izlaz četveropola otvoren.

0/ 1

2

112

U

I

Ig Predstavlja prenosni broj struje ulaz-izlaz kada je ulaz



7

0/ 2

1

221 I

U

Ug Predstavlja prenosni broj napona izlaz-ulaz kada je izlaz

četveropola otvoren.

0/ 1

2

222

U

I

Ug Predstavlja ulaznu impedansu četveropola mjerenu sa

strane izlaza četveropola kada je izlaz četveropola kratko

spojen.

h-parametri:

Ako U1 i I2 izrazimo pomoću I1 i U2 , dobijamo h-sistem jednačina i h-

parametre četvropola. U matričnom obliku taj sistem jednačina glasi.

2

1

I

U

2221

1211

hh

hh

2

1

U

I


2221212

2121111

UhIhI

UhIhU

0/ 2

1

111 U

I

Uh Predstavlja ulaznu impedansu mjerenu sa strane ulaza


0/ 1

2

112

I

U

Uh Predstavlja prenosni broj napona ulaz-izlaz kada je ulaz

četveropola otvoren.

0/ 2

1

221 U

I

Ih Predstavlja prenosni broj struje izlaz-ulaz kada je izlaz

četvropola kratko spojen.

0/ 1

2

222

I

U

Ih Predstvlja ulaznu admitansu mejrenu sa strane izlaza

četveropola kada je ulaz četveropola otvoren.


8

Relacije između različitih parametara četveropola.


9

Primjer 3.1

Iz poznatih “Z” parametara postupnim rješavanjem izračunati “a”

parametre.

Z-parametri a-parametri

Iz Z-parametara imamo da je :

Uvrštavanjem dobivamo :

Pa je:

Parametre C i D tražimo na sledeći način:

Kako je :

Onda je:

Primjer 3.2.

2221212

2121111

IZIZU

IZIZU

221

221

DICUI

BIAUU

2

21

2

21

221

1U

ZI

Z

ZI

2

21

112

21

211222111

2

21

11212

21

22111

2122

21

112

21

22111

UZ

ZI

Z

ZZZZU

UZ

ZIZ

Z

ZZU

IZUZ

ZI

Z

ZZU

21

21

11

Z

ZB

Z

ZA

2

21

2

21

221

1U

ZI

Z

ZI

21

22

21

1

Z

ZD

ZC


10

Iz poznatih Y-parametara postupnim rješavanjem izračunati g-parametre.

Y-parametri g-parametri

Iz y-parametara imamo da je:

Pa je:

Iz ovoga slijedi da je:

Ostali g-parametri se dobiju na sledeći način:

Kako je:

Onda je:

3.2. ULAZNE IMPEDANSE ČETVEROPOLA

Ulazna impedansa četveropola mjerena sa strane ulaza može se dobiti

pomoću a-parametara u obliku:

22

22

1

1

DICU

BIAU

I

UZul

Ako je izlaz zatvoren impedansom Z2, tada je:

222 IZU

pa dobijamo:

2221212

2121111

UYUYI

UYUYI

2221212

2121111

IgUgU

IgUgI

2

22

1

22

212

1I

YU

Y

YU

2

22

121

22

211222111

2

22

121

22

21121111

IY

YU

Y

YYYYI

IY

YU

Y

YYUYI

22

12

22

11

1

Yg

Y

Yg

2

22

1

22

212

1I

YU

Y

YU

22

22

22

12

21

1

Yg

Y

Yg


11

DCZ

BAZZU

2

21 ulazna impedansa mjerena sa strane ulaza.

Ulazna impedansa mjerena sa strane izlaza se može dobiti kao:

11

11

122121

112111

2

22

IAUC

IBUD

IbUb

IbUb

I

UZu

,

a ako je ulaz zatvoren impedansom Z1, tada je:

111 IZU , pa slijedi

ACZ

BDZZU

2

22 ulazna impedansa mjerena sa strane izlaza.

3.3. KONSTANTE PRENOSA ČETVEREPOLA

Pod konstantom prenosa napona četveropola podrazumijevamo

prirodni logaritam odnosa fazora napona na ulazu i izlazu četveropola:

Pod konstantom prenosa struje četveropola podrazumijevamo

prirodni logaritam odnosa fazora struje na ulazu i izlazu četveropola:

Kompleksni brojevi M i N nazivaju se transmitansa napona, odnosno

transmitansa struja.

Konstanta prenosa četveropola definiše se kao aritmetička sredina

konstante prenosa napona i konstante prenosa struje:

a predstavlja prirodni logaritam transmitanse četveropola koja se definiše

kao geometrijska sredina transmitanse napona i transmitanse struja:

Konstante prenosa , i, u predstavljaju kompleksne brojeve, a za njihove

realne i imaginarne dijelove imamo:

22

2

2

1 lnlnlnlnZ

BA

U

IBA

U

UMu

DCZDI

UC

I

INi

2

2

2

2

1 lnlnlnln

iu 2

1

22

11lnlnlnIU

IUMNT

uuj

j

u jjU

U

eU

eU

21

2

1

2

1lnln

2

1


12

Veličina u naziva se konstanta slabljenja napona, a veličina u predstavlja

konstantu faznog zaostajanja napona.

Za konstantu prenosa struje imamo:

Veličina , naziva se konstanta slabljenja struje, a veličina

predstavlja konstantu faznog zaostajanja struje.

Za konstantu prenosa četveropola imamo:

Veličina

naziva se konstanta slabljenja četveropola, a veličina se naziva konstanta

faznog zaostajanja četveropola.

Slabljenje se mjeri u neperima (Np) ili u manjim jedinicama, decibelima

(dB).

Odnos između ove dvije jedinice je:

1 Np = (20 log e) dB = 8,686 dB.

Fazno zaostajanje se mjeri u radijanima ili u stepenima ugla.

Primjer 3.3.

Dati su “a” parametri (A=5,B=2,C=4S) izračunati preostale parametre i

konstantu prenosa napona, struje i četveropola. Izračunati i ulaznu

impedansu mjerenu sa strane ulaza i izlaza, ako su date impedanse Z1=4 i

Z2=2 kojom je zatvoren ulaz odnosno izlaz četverepola.

D=?,Zu1=?,Zu2=?,u=?,i=?,=?.

Na osnovu poznate relacije za a-parametre AD-BC=1 imamo da je:

iij

j

i jjI

I

eI

eI

)(lnln 21

2

1

2

1

2

1

jjI

I

U

Uiu

2121

2

1

2

1

2

1lnln

2

1)(

2

1

2

1

22

11ln

2

1ln

2

1

S

S

IU

IU

8,15

9

5

18

1

D

A

BCD


13

Pa je:

Za konstante imamo da je:

Primjer 3.4.

Dati su “a” (A=5,B=10,C=0,5S) parametri izračunati preostale parametre i

konstantu prenosa napona, struje i četveropola. Izračunati i ulaznu

impedansu mjerenu sa strane ulaza i izlaza.ako je četveropol zatvoren sa

impedansama Z1=10

i Z2=30 na ulazu i izlazu.

A=5,B=10,C=0,5S.

D=?,Zu1=?,Zu2=?,u=?,i=?,=?.

Na osnovu relacije AD-BC=1 slijedi

Ulazna impedansa mjerena sa strane ulaza i izlaza četveropola je data sa:

Za konstante četveropola imamo da je:

43,021

2,9

516

22,7

22,18,9

12

8,18

210

1

12

2

21

ACZ

BDZZ

DCZ

BAZZ

u

u

03,2)28.279,1(2

1

28,28,9ln)8,18ln(

791,16ln2

25ln

i

u

2,15

15,010

1

D

A

BCD

2,210

22

5105,0

10102,1

88,92,16

160

2,1305,0

10305

1

12

2

21

ACZ

BDZZ

DCZ

BAZZ

u

u

23,2)78,267,1(2

1

78,2)5,0302,1ln(ln

67,130

105lnln

2

2

CZD

Z

BA

i

u


14

Primjer 3.5.

Dati su neki “a” parametri izračunati preostale parametre i konstantu

prenosa napona, struje i četveropola. Izračunati i ulaznu impedansu

mjerenu sa strane ulaza i izlaza. I ako su date impedanse Z1=10 i Z2=20.

A=10,B=2,C=0,1S.

D=?,Zu1=?,Zu2=?,u=?,i=?,=?.

Imamo da je:

Pa je:


Primjer 3.6.

Izračunati Zu1, Zu2, u, i, ako su dati pojedini a-parametri i Z1, Z2.

A=4, C=5, D=2, Z1=2, Z2=3

4.15

71

C

ADB

38,014

4,5

410

4,14

78,017

4,13

215

4,112

2

1

u

u

Z

Z

16,22

32,4)83,249,1(

2

1

83,217ln)215ln(

49,146,4ln3

4,14ln

i

u

12,010

2,1

10

2,01

1

D

A

BCD

29,011

2,3

10101,0

21012,0

52,912,2

2,20

12,0201,0

22010

1

12

2

21

ACZ

BDZZ

DCZ

BAZZ

u

u

53,1)75,031,2(2

1

75,012,2ln)201,012,0ln(

31,21,10ln20

210ln

i

u


15

Primjer 3.7.

Dati su neki a-parametri izračunati preostale parametre i konstantu

prenosa napona, struje i četveropola.Izračunati i ulaznu impedansu mjerenu

sa strane ulaza i izlaza.I ako su date impedanse Z1=20 i Z2=10.

A=10,B=10,D=0,5.

C=?,Zu1=?,Zu2=?,u=?,i=?,=?.

Rješenje:

Pa je:


3.4. SIMETRIČAN ČETVOROPOL

Pod simetričnim četveropolom podrazumijevamo četveropol kod koga

je raspored impedansi simetričan u odnosu na ulazne i izlazne krajeve. U

tom slučaju su ulazne admitanse pri kratko spojenom izlazu, odnosno

kratko spojenom ulazu iste, odnosno parametri Y11 i Y22 su isti. To isto važi i

za parametre Z11 i Z22 koji predstavljaju ulazne impedanse na jednom kraju

kada je drugi kraj otvoren.

Prema tome, kod simetričnih četveropola imamo samo dva nezavisna

parametra. Zavisnosti kod različitih vrsta parametara su:

Y11 = Y22

Z11 = Z22

A = D

b11 = b22

SC

B

ADC

4,010

15,010

1

2,210

22

5105,0

10102,1

88,92,16

160

2,1305,0

10305

1

12

2

21

ACZ

BDZZ

DCZ

BAZZ

u

u

23,2)78,267,1(2

1

78,2)5,0302,1ln(ln

67,130

105lnln

2

2

CZD

Z

BA

i

u


16

g11g22 - g12g21 = 1

h11h22 - h12h21 = 1

U slučaju simetričnog četveropola definiše se karakteristična

impedansa kao impedansa kojom treba zatvoriti simetričan četveropol pa da

se ista takva impedansa dobije na ulazu četveropola.

Karakteristična konstanta prenosa četveropola

je prirodni logaritam odnosa fazora ulaznog i izlaznog napona, ili odnosa

fazora ulazne i izlazne struje, kada je simetričan četveropol zatvoren svojom

karakterističnom impedansom.

Primjer 3. 8.

Dati su neki a-parametri simetrčnog četveropola. Izračunati

karakterističnu impedansu i nepoznati parametar. Izračunati i

karakterističnu konstantu prenosa.

A=10, B=5

D=?, C=?,Zc=?, c =?

Rješenje:

D=A=10

)(8,195

110101

1

SB

ADC

BCAD

Primjer 3. 9.

Dati su neki a-parametri simetrčnog četveropola. Izračunati

karakterističnu impedansu i nepoznati parametar. Izračunati i

karakterističnu konstantu prenosa.

A=20, B=50,

D=?, Zc=?, c =?

C

BZc

)ln( BCAuic

39,245,10ln)ln(

5,08,19

5

BCA

C

BZ

c

c


17

Rješenje:

Primjer 3.10.

Dati su a-parametri simetričnog četveropola koji je sa izlazne strane

zatvoren sa svojom Zc a sa ulazne strane sa 2Zc. Izračunati preostale

parametre i konstantu prenosa napona, struje i četveropola, izračunati

ulaznu impedansu mjerenu sa strane ulaza i izlaza, ako su dati

A=10,B=20.

D=?,C=?,Zu1=?,Zu2=?,u=?,i=?,c=?,=?.

Rješenje:

1

10

BCAD

AD

01,295,4

20

C

BZC


Primjer 3.11.

Dati su a-parametri simetričnog četveropola koji je sa izlazne strane

zatvoren sa svojom 2Zc a sa ulazne strane sa Zc. Izračunati preostale

parametre i konstantu prenosa napona, struje i četveropola, izračunati

ulaznu impedansu mjerenu sa strane ulaza i izlaza, ako su dat A=5, B=50.

D=?,C=?,Zu1=?,Zu2=?,u=?,i=?,=?.

69,3)ln(

5,298,7

50

BCA

C

BZ

c

c

)(98,750

120201

1

SB

ADC

BCAD

SC

B

ADC

95,420

11010

1

013,28,29

2,60

1001,2295,4

2001,2210

2

2

01,295,19

1,40

1001,295,4

2001,210

1

12

2

21

AZC

BZD

ACZ

BDZZ

ZDZC

BZA

DCZ

BAZZ

c

cu

C

c

cu

99,295,42010lnln CBAciu


18

Rješenje:

1

5

BCAD

AD

2,1048,0

50

C

BZC


3.5. EKVIVALENTNE T i Pi ŠEME ČETVEROPOLA

Dva četveropola su ekvivalentna ako imaju iste parametre. Kako je

četveropol određen sa tri nezavisna parametra, to ekvivalentni četveropol

datom četveropolu mora imati najmanje tri grane. Zavisno od toga kako su

ove grane povezane, razlikujemo T četveropol, slika 3.2, i Pi četveropol, slika

3.3.

c

c

cu

c

cu

ZAZC

BZD

ACZ

BDZZ

DZC

BZA

DCZ

BAZZ

2,1089,9

101

52,1048,0

502,105

27,108,14

152

52,10248,0

502,1025

2

2

1

12

2

21

35,269,201,22

1

2

1

69,22,10248,05lnln

01,22,102

505lnln

2

2

iu

u

u

ZCD

Z

BA

SC

B

ADC

48,050

155

1


19

Z-parametri T četveropola su :

321

2

222

22

1

22112

212

1

111

/0/

/0/

/0/

ZZII

UZ

ZII

UZZ

ZZII

UZ

Ako su poznati Z-parametri složenog četveropola, impedanse grana T

četveropola ekvivalentnog složenom četveropolu su :

12223

122

12111

ZZZ

ZZ

ZZZ

Za T četveropol možemo postaviti sljedeće jednačine ravnoteže napona:

232122

223111

)( IZIIZU

UIZIZU

Odakle se poslije dobiva da je:

2

2

3

2

2

1

2

2

31312

2

11

)1(1

)()1(

IZ

ZU

ZI

IZ

ZZZZU

Z

ZU

pa za a-parametre T četveropola imamo:

2

2

1

1

1

ZC

Z

ZA

2

3

2

3131

1Z

ZD

Z

ZZZZB

Ako su poznati a-parametri složenog četveropola, tada su impedanse grana

T četveropola ekvivalentnog složenom četveropolu:

C

AZ

11

CZ

12

C

DZ

13

Uobičajeno je da se simetričan T četveropol predstavlja kao na slici 4,

odnosno da ukupna redna impedansa iznosi 1Z .


20

Na osnovu prethodnih relacija a-parametri simetričnog T četveropola iznose:

22

11

Z

ZDA

2

11

41

Z

ZZB

2

1

ZC

pa je njegova karakteristična impedansa:

2

121

41

Z

ZZZ

C

BZC

i karakteristična konstanta prenosa:

2

1

2

1

2

1

1

1

2

1

441ln2

41

21ln

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

ZC

Kako je s druge strane C to je i za simetrični Pi četveropol

2

1

21

Z

ZC .

Primjer 3.12.

Odrediti a parametre T šeme četveropola ako su date impedanse grana

Z1=10, Z2=4, Z3=4, zatim odrediti ulaznu impedansu mjerenu sa strane

ulaza ako je taj četveropol na izlazu zatvoren sa impedansom od 10.

Odrediti još u, i i .

Rješenje:

24

411

5,34

1011

2

3

2

1

Z

ZD

Z

ZA

2425,0

125,31

25,04

11

2

C

ADB

SZ

C


11,13

5,4

59

21025,0

24105,31

DCZ

BAZZ

p

p

u

64,15,178,12

1

2

1

5,11025,02lnln

78,110

245,3lnln

iu

pu

p

u

ZCD

Z

BA


21

Primjer 3.13.

Odrediti a parametre T šeme četveropola ako su date impedanse grana

Z1=20, Z2=2, Z3=40, zatim odrediti ulaznu impedansu mjerenu sa

strane ulaza ako je taj četveropol na izlazu zatvoren sa impedansom od 5.

Odrediti još u, i i .

Rješenje:

212

4011

112

2011

2

3

2

1

Z

ZD

Z

ZA

4605,0

111211

5,02

11

2

C

ADB

SZ

C


Primjer 3.14.

Odrediti a parametre šeme četveropola ako su date impedanse grana


strane ulaza ako je taj četveropol na izlazu zatvoren sa impedansom od

20. Odrediti u, i i .

Rješenje:

5,110

511

25,120

511

2

1

3

1

Z

ZD

Z

ZA

89,316,363,42

1

2

1

16,355,021lnln

63,45

46011lnln

iu

pu

p

u

ZCD

Z

BA

9,21

5,23

515

2155,0

4605111

DCZ

BAZZ

p

p

u


22

SB

ADC

ZB

175,05

15,125,11

51


Primjer 3.15.

Odrediti a parametre šeme četveropola ako su date impedanse grana


strane ulaza ako je taj četveropol na izlazu zatvoren sa impedansom od

30. Odrediti u, i i .

Rješenje:

210

1011

35

1011

2

1

3

1

Z

ZD

Z

ZA

SB

ADC

ZB

5,010

161

101


6

5

30

5,120175,0

52025,11

DCZ

BAZZ

p

p

u

161,14,02

1

2

1

61,1175,0205,1lnln

4,020

525,1lnln

iu

pu

p

u

ZCD

Z

BA

283,22,12

1

2

1

83,2305,02lnln

2,130

103lnln

iu

pu

p

u

ZCD

Z

BA

88,5

17

100

2305,0

103031

DCZ

BAZZ

p

p

u


23

3.6. I OBRNUTI ČETVEROPOL

Dijeljenjem simetričnog T četveropola na dva jednaka dijela dobijamo

četveropol, slika 3.5., a dijeljenjem simetričnog četveropola na dva

jednaka dijela dobijamo obrnuti četveropol, slika 3.6.

Za određivanje parametara ovih četveropola možemo se služiti relacijama

koje nam važe za nesimetričan T četveropol, uzimajući da je za

četveropol:

01 Z 22 2ZZ 2

13

ZZ

a za obrnuti četveropol:

2

11

ZZ 22 2ZZ 03 Z

a-parametri obrnutog četveropola iznose:

2

1

41

Z

ZA

2

1ZB

22

1

ZC 1D

a-parametri četveropola iznose:

1A 2

1ZB

22

1

ZC

2

1

41

Z

ZD

3.7.VEZIVANJE ČETVEROPOLA

Parametre složenog četveropola možemo u pojedinim slučajevima odrediti

na taj način što prvo razložimo četveropol na više prostijih četveropola čije

parametre odredimo, pa na osnovu njih i u skladu sa načinom njihovog

povezivanja, odredimo parametre složenog četveropola.

Razmotrit ćemo sljedeće veze, a to su:

1. Redna veza

2. Paralelna veza

3. Kaskadna veza


24

Redna veza, slika 3.7. je okarakterisana time da su struje na ulaznim i

izlaznim krajevima iste za jedan i drugi četveropol, kao i za njihovu rednu

vezu, što se može izraziti u matričnom obliku kao:

2

1

I

I

2

1

I

I

"

2

1

I

I

Pored toga, zbir ulaznih napona pojedinih četveropola jednak je ulaznom

naponu njihove redene veze, a zbir izlaznih napona pojedinih četveropola

jednak je izlaznom naponu njihove redne veze, što se može izraziti u

matričnom obliku kao:

2

1

U

U

2

1

U

U

2

1

U

U

Za svaki od četveropla u serijskoj vezi možemo pisati da je:

ZU

U

2

1

2

1

I

I , i da je Z

U

U

2

1

2

1

I

I

Sabiranjem matričnih jednačina dobijamo da je :

ZZU

U

2

1 Z

I

I

2

1

2

1

I

I

odnosno, Z-matrica serijske veze dva četveropla jednaka je zbiru Z-matrica

pojedinih četveropola:

ZZZ

Paralelna veza, slika 3.8., je okarakterisana time da su naponi na ulaznim

I izlaznim krajevima isti za jedan i drugi četveropol, kao i za njihovu

paralelnu vezu, što se može izrazit umatričnom obliku kao:

'

2

'

1

U

U

"

2

"

1

U

U

2

1

U

U


25

Pored toga, zbir ulaznih struja pojedinih četveropla jednak je ulaznoj stuji

njihove paralelene veze, a zbir izlaznih struja pojedinih četveropla jednak je

izlaznoj struji njihove paralelene veze, što se može izraziti u matričnom

obliku kao:

2

1

I

I

'

2

'

1

I

I

"

2

"

1

I

I

Za svaki od četveropol a u paralelenoj vezi možemo pisati

YI

I

'

2

'

1

'

2

'

1

U

U Y

I

I

"

2

"

1

"

2

"

1

U

U

Sabiranjem matričnih jednačina dobijamo:

YYI

I

2

1 YU

U

2

1

2

1

U

U

odnosno Y-matrica paralelene veze dva četveropola jednaka je zbiru

y-matrica pojedinih četveropla.

YYY

Kaskadna veza, slika 3.9., je okarakterisana time da su izlazne veličine

jednog četveropla jednake ulaznim veličinama drugog četveropla, ulazne

veličine prvog četveropola jednake su ulaznim veličinama kaskadne veze, a

izlazne drugog četveropola jednake su izlaznim veličinama kaskadne veze,

što se može izraziti u matričnom obliku kao:


26

'

2

'

2

I

U

"

1

"

1

I

U

'

1

'

1

I

U

1

1

I

U

"

2

"

2

I

U

2

2

I

U

za pojedine četveropole možemo pisati:

aI

U

'

1

'

1

'

2

'

2

I

U a

I

U

"

1

"

1

"

2

"

2

I

U

aaI

U

1

1 aI

U

2

2

2

2

I

U

odnosno, a-matrica kaskadne veze dva četveropola jednaka je proizvodu a-

matrica pojedinih četveropola:

aaa

4.ELEKTRIČNI FILTRI

4.1. ELEMENTARNA TEORIJA ELEKTRIČNIH FILTARA

U mnogim elektrotehničkim uređajima se vrlo često postavlja zadatak :

iz signala ( napona ili struje ) sa širokim spektrom učestanosti izdvojiti, bez

slabljenja ili sa što manjim slabljenjem, samo signale određenih učestanosti

( određenog opsega učestanosti ). U ovu svrhu koriste se specijalni

četveropoli, poznati pod imenom električni filtri.

Filtri se obično grade u obliku filtarskog lanca od niza identičnih

kaskadno vezanih simetričnih T ili Π četveropola, koji se u tom slučaju zovu

ćelije filtra. Impedanse ćelija su tako odabrane da je ulazna impedansa

mjerena sa jedne i druge strane na mjestu gdje sastaju dvije ćelije jednaka

karakterističnoj impedansi ćelije. Pri tome je ulaz i izlaz filtra takođe

zatvoren karakterističnom impedansom. Ovakav režim rada filtra naziva

se usaglašeni režim.

Na slici 4.1. prikazan je filtarski lanac Π ćelija, a na slici 4.2. filtarski

lanac T

ćelija :

Slika 4.1


27

Slika 4.2.

Za filtarski lanac od n ćelija u usaglašenom režimu rada imaćemo :

Između ulazne i izlazne struje lanca postoji relacija :

Konstanta prenosa jedne ćelije je :

te ćemo za konstantu prenosa cijelog filtra imati :

odnosno konstanta prenosa filtarskog lanca je n puta veća od konstante

prenosa jedne ćelije. Za analizu filtarskog lanca dovoljno je analizirati samo

jednu njegovu ćeliju.

Da bismo odredili propusni opseg filtra, potrebno je odrediti njegovu

konstantu prenosa. U opštem slučaju, kada se radi o bilo kome simetričnom

filtru, propusni opseg možemo izračunati polazeći od relacije :

ch = ch ( + j ) = A ,

i kako je :

ch ( a + jb ) = ch a cos b + jsh a sin b ,

, nI

Ilnn

I

Iln

2

1

1n

1

f

n

2

1

1n

n

3

2

2

1

1n

1

I

I

I

I.........

I

I

I

I

I

I

1n

n

4

3

3

2

2

1

I

I..........

I

I

I

I

I

I

1n

n

4

3

3

2

2

1

U

U..........

U

U

U

U

U

U

, I

Iln

2

1


28

dobijamo dvije realne jednačine za određivanje konstante slabljenja i

konstante faznog zaostajanja :

ch cos = Re ( A )

sh sin = Im ( A ).

Propusni opseg filtra je opseg učestanosti za koje je slabljenje filtra jednako

nuli : = 0 .

Filtar sa ovakvom karakteristikom slabljenja naziva se idealni filtar.

Kod realnih filtara, zbog gubitaka u kalemovima i nemogućnosti

usaglašenog režima rada, uslov = 0 se nemože postići. Upotrebom

kvalitetnih kondenzatora i kalemova ( Q- faktor kondenzatora veći od 1000 i

Q- faktor kalema veći od 50) može se postići da slabljenje u jednom opsegu

učestanosti bude zanemarljivo malo, praktično jednako nuli, pa taj opseg

učestanosti nazivamo propusni opseg. U našem slučaju proučavaćemo samo

simetrične reaktivne filtre, čiji je propusni opseg definisan relacijom = 0.

Prema vrsti propusnog opsega filtra razlikujemo sljedeće filtre :

- filtri niskih učestanosti koji propuštaju, bez slabljenja, signale ispod

jedne određene učestanosti, koja se naziva kritična učestanost filtra ωC :

0 ≤ ω ≤ ωC ;

- filtri visokih učestanosti koji propuštaju signale učestanosti :

ωC ≤ ω < ∞ ;

- filtri propusnici opsega učestanosti za koje je propusni opseg :

ωC 1 ≤ ω ≤ ωC 2 ;

- filtri nepropusnici opsega učestanosti za koje je propusni opseg u

itervalima :

0 ≤ ω ≤ ωC 1 ωC 2 ≤ ω < ∞ ;

Filtri koji imaju osobinu da im je proizvod između redne i paralelne

impedanse konstantan u odnosu na učestanost nazivaju se k - filtri .


29

L /21

L /21

C2

4.2.K- FILTRI NISKIH UČESTANOSTI

T i ćelije K-filtra niskih učestanosti prikazane su na slikama 4.5. i 4.6.

Slika 4.5. Slika 4.6.

Za rednu i paralelnu impedansu imamo:

Pa je:

Parametar A iznosi:

Pa slijedi

Desna strana nejednačine je zadovoljena za svako 0, a lijeva strana za

kružne učestanosti:

Propusni opseg filtra je:

a nepropusni opseg je:

11 LjZ 2

21

CjZ

2

2

121 R

C

LZZ

21

21

212

2

1 CL

Cj

LjA

04

121

2

CL

C

CL

21

2

21

20

CL

21

2

CL


30

Dijagram slabljenja i faznog zaostajanja prikazan je na slici 4.7.

Slika 4.7.

4.3. K-FILTRI VISOKIH UČESTANOSTI

T i ćelije K-filtra visokih učestanosti prikazane su na

slikama 11 i 12.

Slika 11. Slika 12.

Za rednu i paralelnu vezu imamo:

Parametar A iznosi: za

Pa slijedi

L1

2L 2 2L

2

1

11

CjZ

22 LjZ

2

1

221 R

C

LZZ

21

22

1

2

11

2

1

1LCLj

CjA

0


31

Desna strana nejednačine je zadovoljena za svako: 0 , a lijeva

strana za kružne učestanosti:

Propusni opseg filtra je:

a ne propusni opseg je:

Dijagrami slabljenja i faznog zaostajanja prikazani su na slici 13

Slika 13.

04

11

1

2

LC

C

CL

122

1

122

1

CL

122

10

CL


32

4.4. K - FILTRI PROPUSNICI OPSEGA UČESTANOSTI

T i Π ćelije K - filtara propusnika opsega učestanosti prikazane su na

slikama 17 i 18 , a dobijaju se iz odgovarajućih K - filtara niskih i visokih

učestanosti čije se redne grane vežu redno , paralelne - paralelno.

Za rednu i paralelnu impedansu imamo :

1L

L

C

1Lj

C

1L

Z2

22

2

2

2

2

2

2

Cj

jj

Da bi filtar imao osobinu K - filtra , neophodno je da se njegovi parametri

izaberu tako da bude zadovoljen uslov :

Slika 17 Slika 18

Uz uslov iz predhodnog izraza imamo :

i za parametar A :

1

2

11

1

11

1L1-Z

C

Cj

CLj

.L

1

L

1

L

221 1

0

221 1

CC

CLC

2

2

1

1

221 R

C

L

C

LZZ

.

2

11

12

2

22

11

CL

CLA

12C 12C 2L1

2L 2C 22L 22L

2

2C

2

2C

1L 1C2L1


33

Nejednačina :

ima oblik :

Desna strana ove nejednačine je zadovoljena za svako , a lijeva strana

se može napisati u obliku :

….. ( * )

Pozitivni koreni trinoma u nejednačini ( * ) su :

Nejednačina ( * ) je zadovoljena kada su oba trinoma pozitivna ili oba

negativna. Kako je c1 < c2 , oba trinoma za pozitivno mogu istovremeno

biti samo pozitivna, pa je ova nejednačina zadovoljena za opseg učestanosti :

c1 c2 ,

što ujedno predstavlja i propusni opseg filtara .

Uvođenjem u razmatranje kružnu učestanost 0 u relaciji :

lako je pokazati da postoje sljedeće jednakosti :

i za granične kružne učestanosti :

04

12

1 Z

Z

0

4

11

12

2

22

11

CL

CL

0 1 2 L1- 2L 12

2

1112

2

11 CLCCLC

11

111212

C2

11

111212

C1 L

L

-

C

CLCLCL

C

CLCLCL

221 1

0L

1

L

1

CC

2

2

C

C C1 C2

2

1C1 C2

1

20C2C1 0

L

L

1

2

1

20

2

1

2

10C2

1

2

1

20

2

1

2

10C1

L

L1

L

L

C

C1

C

C

L

L1

L

L-

C

C1

C

C-


34

Za kružne učestanosti manje od 0 , impedansa Z1 je kapacitivna , a

impedansa Z2 induktivna , te se filtar ponaša kao filtar visokih učestanosti ,

dok je za kružne učestanosti veće od 0 impedansa Z1 induktivna , a

impedansa Z2 kapacitivna , odnosno filtar se ponaša kao filtar niskih

učestanosti. Ove osobine ćemo uzeti u obzir pri određivanju slabljenja i

faznog zaostajanja filtara.

Dijagrami slabljenja i faznog zaostajanja dati su na slici 19 :

Slika 19

4.5. K- FILTRI NEPROPUSNICI OPSEGA UČESTANOSTI

T i Π ćelije K - filtara nepropusnika opsega učestanosti prikazane su na

slikama 22. i 23. , a dobijaju se iz odgovarajućih ćelija K- filtara niskih i

visokih učestanosti čije se redne grane vežu paralelno , a paralelne redno .

Za rednu i paralelnu impedansu imamo :

Da bi filtar imao osobinu K- filtra , neophodno je da se njegovi parametri

izaberu tako da bude zadovoljen uslov :

i uz ovaj uslov imamo :

2

22

2

2

11

2

11

1L Z

1L

L Z

C

Cj

Cj

221 1

0221 1L

1

L

1 L

CCCLC


35

Slika 22 Slika 23

a parametar A iznosi :

Nejednačina :

ima oblik :

Desna strana ove nejednačine je zadovoljena za svako a lijeva strana

se može napisati u obliku :

Pozitivni korijeni trinoma u zadnjoj nejednačini su :

Ova nejednačina je zadovoljena kada su oba trinoma pozitivna ili oba

trinoma negativna , a to je ispunjeno za :

0 c1 c2

što ujedno predstavlja i propusne opsege filtara .

,C

L

C

LZ 2

1

2

2

121 RZ

2L1

12C 12C

2L1

2L

2C

1L

1C22L 22L

2

2C

2

2C

22

11

21

2

121

CL

CLA

04

12

1 Z

Z

0

141

22

11

21

2

CL

CL

.02222 21

2

1121

2

11 CLCLCLCL

11

112121

C2

11

112121

C1 4L

16

4L

16-

C

CLCLCL

C

CLCLCL


36

Nepropusni opseg filtara je :

c1 c2

Uvodeći u razmatranje kružnu učestanost 0 , lako je pokazati da postoje

sljedeće jednakosti :

i , za granične kružne učestanosti :

Za kružne učestanosti manje od 0 , impedansa Z1 je induktivna , a

impedansa Z2 kapacitivna , te se filtar ponaša kao filtar niskih učestanosti ,

dok je za kružne učestanosti veće od 0 impedansa Z1 kapacitivna , a

impedansa Z2 induktivna , odnosno filtar se ponaša kao filtar visokih

učestanosti .

Dijagrami slabljenja i faznog zaostajanja prikazani su na slici 24 :

Slika 24.

12

2

112

2

10210 22 CCCCCC

L

L

C

C

2

1

2

10

1

2

1

202

2

1

2

10

1

2

1

201

161

16161

16

161

16161

16

L

L

L

L

C

C

C

C

L

L

L

L

C

C

C

C

C

C

Documents

Hasan Halilčević - Osnove Elektrotehnike Modul 6