Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében

ROBOTIKA

X. Előadás

Robot manipulátorok II.Direkt és inverz kinematika

Infobionika

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 2

Tartalom• Direkt kinematikai probléma• Denavit-Hartenberg konvenció és algoritmus• Műveleti tér, munkatér és a csuklóváltozók

tere• Kinematikai redundancia• Inverz kinematikai probléma

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 3

Direkt kinematikaA manipulátor kinematikai láncot alkot. A lánc egyik vége egy végponthoz van rögzítve. A lánc másik végén egy végberendezés (szerszám, fogó stb.) található.A manipulátor mechanikai szerkezetét a mozgás szabadsági foka határozza meg. Az egyes szabadsági fokok általában egy-egy csuklóhoz tartoznak (csukló változók)Direkt kinematika célja: a végberendezés pozíciójának és orientációjának kiszámítása a csukló változók függvényében.

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 4

Direkt kinematika

A végberendezés bázisához tartozó pozíció és orientáció leírása

Az Ob-x

by

bz

b bázisra vonatkozó direkt kinematikai függvényt a

következő homogén transzformációs mátrix adja meg:

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 5

Direkt kinematikaAhol q a csuklóváltozók (n x 1-es) vektora, n

e, s

e

és ae a végberendezéshez rögzített bázis

egységnyi hosszúságú vektorai, pe a

végberendezés bázisának origója (az alap bázisban). n

e, s

e, a

e és p

e a q vektor függvénye

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 6

Két szegmensű síkbeli kar

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 7

Két szegmensű síkbeli kar munkatere

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 8

Koordináta-transzformáció nyílt kinematikai láncban

Az n. bázis 0. bázishoz képesti pozícióját és orientációját a következő transzformáció adja meg:

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 9

Denavit-Hartenberg konvencióLegyen i az i-1. és i. szegmenst összekötő csukló tengelyének száma A Denavit-Hartenberg konvenció célja: az i. bázis definiálása

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 10

Denavit-Hartenberg konvenció● Legyen zi az i+1. csuklóhoz tartozó mozgás tengelye● Legyen az Oi origó a zi tengely valamint a zi-1 és zi tengelyek

közös normálisának metszéspontjában● Legyen Oi' a közös normális és a zi-1 tengely

metszéspontjában

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 11

Denavit-Hartenberg konvenció● Jelöljük ki az xi tengelyt zi-1 és zi közös normálisa mentén úgy,

hogy az i. szegmenstől az i+1. szegmens felé mutasson● Jelöljük ki az yi tengelyt úgy, hogy jobb sodrású

koordinátarendszert kapjunk

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 12

Denavit-Hartenberg konvencióA konvenció a következő esetekben nem adja meg egyértelműen a bázist:

● a 0. bázisnál csak z0 iránya van megadva, O0 és x0 tetszőlegesen kijelölhető

● az n. bázisnál zn nem egyértelműen definiált (mivel nincs n+1. csukló), xn-nek pedig merőlegesnek kell lennie a zn-1 tengelyre.

● Az n. csukló általában rotációs, ezért zn iránya ekkor megegyezhet zn-1 irányával

● ha két egymás utáni tengely párhuzamos, akkor a közös normálisuk nem egyértelműen definiált

● ha két egymás utáni tengely metszi egymást, akkor xi iránya tetszőleges

● ha az i. csukló transzlációs, akkor zi-1 iránya tetszőleges

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 13

Denavit-Hartenberg konvencióAz i. bázis i+1. bázishoz képesti pozícióját és helyzetét egyértelműen meghatározzák:

● Az Oi és Oi' közötti ai távolság● Oi' di-vel jelölt koordinátája a zi-1 tengelyen

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 14

Denavit-Hartenberg konvencióA zi-1 és zi tengelyek közötti αi szögAz xi-1 és xi tengelyek közötti θi szög

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 15

Denavit-Hartenberg konvencióA négy paraméter közül kettő (ai és αi) minden esetben konstans, és csak az i. szegmens által összekötött csuklók geometriájától függA maradék két paraméter közül csak az egyik változik az i-1. és i. szegmenst összekötő csukló típusától függően:

● ha az i. csukló rotációs, akkor θi

● ha az i. csukló transzlációs, akkor di

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 16

Denavit-Hartenberg konvencióAz i-1. és i. bázis közötti koordináta-transzformáció:

● Válasszuk ki az i-1. bázist● A kiválasztott bázist toljuk el a zi tengely mentén di-

vel, majd forgassuk el a zi-1 tengely körül θi szöggelA transzformáció átviszi az aktuális bázist az i'-vel jelölt bázisba, és a következő homogén transzformációs mátrixszal írható le:

Ai 'i−1=[ci −si 0 0

si ci 0 00 0 1 d i0 0 0 1

]

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 17

Denavit-Hartenberg konvenció● Az i' bázist az xi' tengely mentén toljuk el ai-vel, és

forgassuk el αi szöggel az xi' tengely körül● így az aktuális bázis átkerül az i. bázisba

A transzformáció homogén mátrixa a következő:

Aii '=[1 0 0 ai

0 ci −si 00 si ci 00 0 0 1

]

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 18

Denavit-Hartenberg konvencióA két transzformáció kompozíciója (jobbról történő szorzással):

Aii−1qi=Ai '

i−1Aii '=[ci −si ci si si ai ci

si ci ci −ci si ai si0 si ci d i0 0 0 1

]

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 19

Denavit-Hartenberg algoritmus1. Keressük meg, és sorszámozzuk be a csuklók tengelyeit, határozzuk meg a z0, zn-1 tengelyek irányát2. Jelöljük ki a 0. bázist a következőképp: jelöljük ki az origót a z0 tengelyen, és válasszuk meg az x0 és y0 tengelyeket úgy, hogy jobb sodrású koordinátarendszert alkossanak. (Előnyös, ha a 0. bázis egybeesik az alap bázissal)Hajtsuk végre a 3-5. lépéseket i=1-től n-1-ig3. Jelöljük ki az Oi origót zi ill. a zi-1 és zi tengelyek közös normálisának ill. zi-nek a metszéspontjában. Ha a zi-1 és zi tengelyek párhuzamosak, és az i. csukló rotációs, akkor az origót di=0 távolságra jelöljük ki; Ha az i. csukló transzlációs, akkor Oi-t tetszés szerinti referencia pozícióban jelöljük ki (pl. mechanikai határhelyzetben)

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 20

Denavit-Hartenberg algoritmus4. Jelöljük ki az xi tengelyt zi-1 és zi közös normálisán úgy, hogy az i. csuklótól az i+1. csukló felé mutasson5. Válasszuk meg az yi tengelyt úgy, hogy jobb sodrású koordinátarendszert kapjunkA befejezés:6. Jelöljük ki az n. bázist. Ha az n. csukló rotációs, akkor a zn tengely legyen párhuzamos zn-1-gyel, ha pedig transzlációs, akkor zn tetszőleges lehet. Az xn tengelyt a 4. lépésnek megfelelően válasszuk meg.7. i=1-től n-ig írjuk le az ai, di, αi, θi paramétereket8. A 7. lépésben leírt paraméterek alapján számítsuk ki i=1-től n-ig az Ai

i-1(qi) transzformációs mátrixokat.

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 21

Denavit-Hartenberg algoritmus9. Számítsuk ki a Tn0(q)=A1

0 ... Ann-1 homogén

transzformációs mátrixot, amely megadja az n. bázis 0. bázishoz képesti pozícióját és helyzetét.10. T0

b és Ten felhasználásával számítsuk ki a

Teb(q)=T0

bTn0Te

n mátrixot, amely megadja a végberendezés bázisának alap bázishoz képesti pozícióját és helyzetét.

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 22

Három szegmensű síkbeli kar

Denavit-Hartenberg paraméterek:

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 23

Három szegmensű síkbeli karMivel minden csukló rotációs, ezért a homogén transzformációs mátrix a következő:

ahol αi=0 és di=0, i=1,2,3, azaz:

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 24

Három szegmensű síkbeli kar

A kiszámított direkt kinematikai függvény a következő:

ahol:

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 25

Gömbi karDenavit-Hartenberg paraméterek:

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 26

Gömbi karAz egyes csuklókhoz tartozó transzformációs mátrixok:

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 27

Gömbi kar

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 28

Gömbi kar

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 29

Gömbi karAz egyes csuklókhoz tartozó transzformációs mátrixok:

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 30

Gömbi karA direkt kinematikai függvény:

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 31

Antropomorf kar

Denavit-Hartenberg paraméterek:

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 32

Antropomorf karA homogén transzformációs mátrix:

Értékei az egyes csuklókra:

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 33

Antropomorf karA direkt kinematikai függvény:

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 34

Gömbcsukló

Denavit-Hartenberg paraméterek:

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 35

GömbcsuklóA homogén transzformációs mátrixok:

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 36

GömbcsuklóA transzformációs mátrixok értékei az egyes csuklókra:

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 37

Gömbcsukló

A direkt kinematikai függvény:

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 38

A műveleti tér és a csuklóváltozók tereA végberendezés helyzete leírható a következő m dimenziós vektorral, ahol

x=[p]Ahol p adja meg a végberendezés pozícióját, φ pedig az orientációját

A végberendezésre vonatkozó feladatok (műveletek) független paraméterekkel definiálhatók.

x tere: műveleti tér

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 39

A műveleti tér és a csuklóváltozók tereA csuklóváltozók terét (konfigurációs teret) a csuklóváltozók vektorai alkotják:

q=[q1

⋮qn]

rotációs csuklónál qi=θ, transzlációs csuklónál pedig qi=di. A direkt kinematikai függvény tehát megadható a következőképp is: x=k(q), ahol k egy megfelelő (általában nemlineáris) vektor-vektor függvény

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 40

A műveleti tér és a csuklóváltozók terePélda: tekintsük a három szegmensű síkbeli kartA végberendezés pozícióját és orientációját meghatározza:px (végberendezés x-koordinátája)py (végberendezés y-koordinátája)φ (végberendezés x0-tengellyel bezárt szöge)Emlékeztető: a rsz. homogén transzformációs mátrixa

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 41

A műveleti tér és a csuklóváltozók terePélda (folyt.):A direkt kinematikai függvény felírható a következőképp:

Három csuklóváltozóhoz tehát legfeljebb három független műveleti térbeli változó tartozhat.

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 42

MunkatérA munkatér az a térbeli halmaz, amelyet a végberendezés bázisának origója be tud járni, ha a manipulátor az összes fizikailag lehetséges mozgást elvégzi

elérhető munkatér: az a térbeli halmaz, amelyet a végberendezés origója elérhet legalább egyféle orientációval

“jobbkezes” munkatér: az a térbeli halmaz, amelyet a végberendezés origója többféle orientációval is elérhet

(Hatnál kevesebb szabadságfokkal rendelkező manipulátor nem érhet el tetszőleges pozíciót és orientációt a 3 dimenziós térben)

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 43

Munkatérn szabadságfokú manipulátor esetén az elérhető munkatér a direkt kinematikai függvény pozícióra vonatkozó koordinátafüggvényeinek képtere, azaz:

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 44

Pontosság és megismételhetőségHa a valós rendszer méretei különböznek a névleges (modell-) adatoktól, akkor eltérés lesz a ténylegesen elért és a direkt kinematikai függvény által számolt pozíció között.

A lehetséges eltérés mértékét nevezzük pontosságnak (értéke tipikusan 1 mm alatt van), amely függ a manipulátor méreteitől és felépítésétől

A megismételhetőség megadja a manipulátor képességének mértékét arra, hogy visszatérjen egy előzőleg már elért pozícióba (tanításon alapuló irányítási módszereknél van különös jelentősége)

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 45

Kinematikai redundanciaA manipulátor kinematikailag redundáns, ha a mozgás szabadságfoka nagyobb, mint a megvalósítandó feladathoz szükséges független változók száma.

n: csuklóváltozók terének dimenziójam: műveleti tér dimenziójar: az adott feladat megvalósításához szükséges műveleti térbeli paraméterek száma

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 46

Síkbeli kar kinematikai redundanciája

csak végberendezés pozíció:funkcionális redundancian=3=m=3, r=2

végberendezés pozíciója és orientációja: nem redundánsn=m=r=3

4 szabadságfokú síkbeli kar: mindig redundánsn=4, m=3

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 47

Direkt kinematika (összefoglalás)A direkt kinematikai egyenletek lehetséges formái:

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 48

Inverz kinematikai problémaInverz kinematikai probléma: adott a végberendezés pozíciója és orientációja, határozzuk meg a csuklóváltozók értékeit!

q=k−1 x

A probléma megoldása alapvető ahhoz, hogy a végberendezésre vonatkozó előírt mozgásokhoz előállíthassuk a csuklóváltozók szükséges értékeit

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 49

Inverz kinematikai problémaA probléma nehézségei:

● A megoldandó egyenletrendszer általában nemlineáris, ezért nem mindig található zárt alakú megoldás.

● Több megoldás is létezhet.

● Végtelen számú megoldás is létezhet (pl. kinematikailag redundáns manipulátoroknál)

● Előfordulhat, hogy a manipulátor szerkezete miatt nem létezik megoldás

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 50

Három szegmensű síkbeli kar

direkt kinematikai függvény

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 51

Három szegmensű síkbeli kar●A végberendezés megadott pozíciójához és orientációjához tartozó θ1, θ2, θ3 csuklóváltozó értékeket keressük.●A pozíciót és orientációt a következő minimális paraméterezéssel adjuk meg:

px, py koordinátákaz x0-tengellyel bezárt φ szög

●A direkt kinematikai függvényt tehát felírhatjuk az alábbi alakban:

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 52

Három szegmensű síkbeli karTudjuk, hogy:

W-re, a 2. bázis origójára a következő egyenletek igazak:

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 53

Három szegmensű síkbeli kar

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 54

Három szegmensű síkbeli karAkkor létezik megoldás, ha

Ekkor

2005 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 55

Három szegmensű síkbeli karHelyettesítsük vissza θ2-t a következő egyenletekbe:

Így a következő egyenleteket kapjuk: