Hf B-niveau

Matematiskformelsamling

Denne udgave af Matematisk formelsamling Hf B-niveau er udgivet af Undervisningsministeriet og gjort tilgængelig på uvm.dk.

Formelsamlingen er udarbejdet i et samarbejde mellem Matematiklærerforeningenog Undervisningsministeriet, Styrelsen for Undervisning og Kvalitet, januar 2018

Kopiering til andet end personlig brug må kun ske efter aftale med Copy-Dan.

ISBN:978-87-603-3158-9

Forfattere: Gert Schomacker, Jesper Bang-Jensen, Bodil Bruun og Jørgen Dejgaard

2

3

Forord: ”Matematisk formelsamling HF B” er udarbejdet til brug for eksaminanderne ved den skriftlige prøve og i undervisningen på hf i matematik på B-niveau. Formelsamlingen indeholder de emner, der forekommer i læreplanen for matematik på B-niveau på hf inden for både kernestof og supplerende stof. For overblikkets skyld er medtaget formler for areal og rumfang af en række elementærgeometriske figurer. Endvidere indeholder formelsamlingen en liste over matematiske standardsymboler. Hensigten hermed er dels at give eleverne et hurtigt overblik, dels at bidrage til, at undervisere og forfattere af undervisningsmaterialer kan anvende ensartet notation, symbolsprog og terminologi. Listen over matematiske standardsymboler går derfor ud over kernestoffet, men holder sig dog inden for det matematiske univers i gymnasiet og på hf. En række af formlerne i formelsamlingen er kun anvendelige under visse forudsætninger (fx at nævneren i en brøk er forskellig fra 0). Sådanne forudsætninger er af hensyn til overskueligheden ikke eksplicit nævnt. Figurerne er medtaget som illustration til formlerne, og den enkelte figur anskueliggør ofte ét blandt flere mulige tilfælde. Betydningen af de størrelser, der indgår i formlerne, er ikke altid forklaret, men vil dog være det i tilfælde, hvor betydningen ikke følger umiddelbart af skik og brug i den matematiske litteratur.

Birte Iversen

Undervisningsministeriet, Styrelsen for Undervisning og Kvalitet,

Kontor for Prøver, Eksamen og Test Januar 2018

4

Indhold

Procent- og rentesregning 5

Indekstal 5

Proportionalitet 6

Brøkregler 6

Kvadratsætninger 7

Potensregneregler 7

Ensvinklede trekanter 8

Retvinklet trekant 8

Vilkårlig trekant 9

Analytisk geometri 10

Lineære sammenhænge 13

Andengradspolynomier 14

Logaritmefunktioner 15

Eksponentielt voksende funktioner 16

Eksponentielt aftagende funktioner 17

Potensfunktioner 18

Trigonometriske funktioner 19

Differentialregning 20

Afledede funktioner 21

Grupperede observationer 22

Ugrupperede observationer 23

Lineær regression 25

Kombinatorik 26

Sandsynlighedsregning 27

Binomialfordelingen 28

Pascals trekant 30

Multiplikationstabel 31

Areal og omkreds, rumfang og overflade 32

Matematiske standardsymboler 33

Stikordsregister 38

5

Procent- og rentesregning

Begyndelsesværdi B Slutværdi S

(1) (1 )S B r

Vækstrate r (2) 1S

rB

Procentvis ændring p (3) % 100%p r= ⋅

Kapitalformel Startkapital K0

Rente p% pr. termin Kapital K efter n terminer

(4) 0 (1 )nK K r= ⋅ + , hvor 100

pr

Annuitetsopsparing Terminsindbetaling b Rentefod r Antal indbetalinger n Kapital A efter sidste indbetaling

(5) (1 ) 1nr

A br

+ -= ⋅

Annuitetslån Hovedstol G Rentefod r Antal terminsydelser n Terminsydelse y

(6)

1 (1 ) n

ry G

r -= ⋅- +

Indekstal

Værdi B S

Indekstal BI SI

(7)

S B

SI I

B S

B

IS B

I

6

Proportionalitet

x og y er proportionale Proportionalitetsfaktor k

(8) y k x y

kx

x og y er omvendt proportionale

(9) 1

y kx

x y k

Brøkregler

(10) b a b

ac c

⋅⋅ =

(11) bc

a a c

b

⋅=

(12) ab a

c b c=

⋅

(13) abcd

a d

b c

⋅=

⋅

(14) a c a c

b d b d

⋅⋅ =

⋅

(1)

(2)

y k x = ·

(2)

(1)

1y k

x= ⋅

7

Kvadratsætninger

(15) 2 2 2( ) 2a b a b ab+ = + +

(16) 2 2 2( ) 2a b a b ab- = + -

(17) 2 2( )( )a b a b a b+ - = -

Potensregneregler

(18) r s r sa a a +⋅ =

(19) r

r ss

aa

a

(20) ( )r s r sa a ⋅=

(21) ( )r r ra b a b⋅ = ⋅

(22) r r

r

a a

b b

(23) 0 1a

(24) 1r

ra

a

(25) 1 1a

a- =

(26) 1

r ra a

(27) r

s sra a

(28) a b a b⋅ = ⋅

(29) a a

b b=

(30) 12a a=

8

Ensvinklede trekanter

(31) 1 1 1a b ck

a b c

(32) 1

1

1

a k a

b k b

c k c

Retvinklet trekant

Pythagoras’ sætning (33) 2 2 2c a b

cosinus (34) cos( )b

Ac

sinus (35) sin( )a

Ac

tangens (36) tan( )a

Ab

B

A1

C

B1

A

C1

a1

c1

b1

b

c a

A

B

C

a

b

c

9

Vilkårlig trekant

Trekantens vinkelsum (37) 180A B C + + =

Trekantens areal T (38) 12

T h g

cosinusrelation (39) 2 2 2 2 cos( )c a b a b C  

sinusrelation (40) sin( ) sin( ) sin( )

a b c

A B C= =

Trekantens areal T (41) 12

sin( )T a b C= ⋅ ⋅

g

h

A C

B

A

B

C

a

b

c

10

Analytisk geometri

Ligning for linjen l gennem (0, )Q b med

hældningskoefficient a

(42) y a x b= ⋅ +

Hældningskoefficient (stigningstal) a for linjen l gennem 1 1( , )A x y og 2 2( , )B x y

(43) 2 1

2 1

y ya

x x-

=-

Skæring med y-aksen

(44) 1 1b y a x= - ⋅

Ligning for linjen l gennem1 1( , )A x y med

hældningskoefficient a

(45) 1 1( )y a x x y= ⋅ - +

Hældningsvinklen v er vinklen fra førsteaksen til l regnet med fortegn

(46) tan( )a v=

Ligning for lodret linje (47) x k=

(1)

(2)

A x y( , )1 1

B x y( , )2 2

l

Q b(0, )

v

(1)

(2) x k =

k

11

Ortogonale linjer l og m (48) 1l m a c^ ⋅ =-

Afstand AB mellem to punkter

1 1( , )A x y og 2 2( , )B x y (49) 2 2

2 1 2 1( ) ( )AB x x y y= - + -

Midtpunkt M for linjestykke AB (50) 1 2 1 2,2 2

x x y yM

æ ö+ + ÷ç ÷ç ÷çè ø

Afstand dist(P,l) fra punktet

1 1( , )P x y til linjen l med ligningen y a x b= ⋅ +

(51) 1 1

2

| |dist( , )

1

a x b yP l

a

⋅ + -=

+

(1)

(2) m

l

y a x b= ⋅ +

y c x d= ⋅ +

A y( , )x1 1

B x y( , )2 2

(1)

(2)

(2)

(1)

M

1 1( , )A x y

2 2( , )B x y

(1)

(2)

l1 1( , )P x y

12

Ligning for cirkel med centrum i ( , )C a b og radius r

(52) 2 2 2( ) ( )x a y b r- + - =

Ligning for parabel med symmetriakse parallel med andenaksen

(53) 2 2( )y a x b x c a x h k= ⋅ + ⋅ + = ⋅ - +

Toppunkt T (54)

2

( , ) , ,2 4

hvor 4

b dT h k T

a a

d b ac

æ ö- - ÷ç= ÷ç ÷çè ø

= -

Skæringspunkter 1S og 2S med førsteaksen

(55) 1 2,0 , ,02 2

b d b dS S

a a

æ ö æ ö- - - +÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø

(2)

(1)

rC a b( , )

(1)

(2)

x1 x2

T h k( , )

13

Lineære funktioner

Førstegradspolynomium, lineær funktion f

(56) ( )f x a x b

Hældningskoefficienten a (stigningstallet) ud fra 2 punkter på grafen

1 1( , )x y og 2 2( , )x y

(57) 2 1

2 1

y ya

x x

Skæring med y-aksen (58) 1 1b y a x

(1)

(2)

b 1

a

(1)

(2)

x1

y1

y2

x2

f

14

Andengradspolynomier

Andengradspolynomium p med nulpunkter (rødder)

1x og 2x

(59) 2

1 2

( )

( ) ( )

p x a x b x c

a x x x x

Nulpunkter (rødder) i p (60) 1 2

2

, ,2 2

hvor 4

b d b dx x

a a

d b ac

- - - += =

= -

Toppunkt T (61) ,2 4

b dT

a a

æ ö- - ÷ç ÷ç ÷çè ø

(1)

(2)

x1

p

x2

T

15

Logaritmefunktioner

Den naturlige logaritmefunktion

(62) ( ) ln( )f x x=

Grafen for den naturlige logaritmefunktion

(63)

Logaritmefunktionen med grundtal 10

(64) ( ) log( )f x x=

Grafen for logaritme- funktionen med grundtal 10

(65)

(1)

(2)

ln ( )x

1 e

1

(1)

(2)

log( )x

1 101

16

Eksponentielt voksende funktioner

Grafen for en eksponentielt voksende funktion f

1a> vækstraten 0r >

0k >

(66) ( )

(1 )

e , hvor ln( )

x

x

k x

f x b a

b r

b k a

(67) ( ) forf x x

(68) ( ) 0 forf x x

Fremskrivningsfaktoren a ud fra 2 punkter på grafen

1 1( , )x y og 2 2( , )x y

(69)

2 12 1 2 2

1 1

1x xx x y y

ay y

Skæring med y-aksen (70) 1

1x

yb

a

Fordoblingskonstanten 2T (71) 2 2 1T x x= -

(72) 2

log(2) ln(2) ln(2)

log( ) ln( )T

a a k= = =

(2)

(1)b

f

(2)

(1)

y1

x1 x2

2y1

T2

y b a= x

17

Eksponentielt aftagende funktioner

Grafen for en eksponentielt aftagende funktion f 0 1a< < vækstraten 0r <

0k <

(73) ( )

(1 )

e , hvor ln( )

x

x

k x

f x b a

b r

b k a

(74) ( ) 0 forf x x

(75) ( ) forf x x

Fremskrivningsfaktoren a ud fra 2 punkter på grafen

1 1( , )x y og 2 2( , )x y

(76)

2 12 1 2 2

1 1

1x xx x y y

ay y

Skæring med y-aksen (77) 1

1x

yb

a

Halveringskonstanten 12

T (78) 12

2 1T x x= -

(79)

12

1 1 12 2 2

log ln( ) ln( )

log( ) ln( )T

a a k

(2)

(1)

b

(2)

(1)

y1

x1 x2

y1

12

y b a= x

T12

18

Potensfunktioner

Potensfunktion (80) ( ) af x b x

Grafer for ( ) af x x

Bestemmelse af tallet a ud fra to punkter på grafen

1 1( , )x y og 2 2( , )x y

(81) 2 1 2 1

2 1 2 1

log( ) log( ) ln( ) ln( )

log( ) log( ) ln( ) ln( )

y y y ya

x x x x

Skæring med y-aksen (82)

1

1a

yb

x=

Når x ganges med tallet 1 xr , så ganges ( )f x med tallet 1 yr

(83) 1 (1 )ay xr r

Når x ganges med tallet k, så ganges ( )f x med tallet ak

(84) ( ) ( )af k x k f x

(2)

(1)

1

1

a < 0

a = 1

0 < < 1a

a > 1

19

Trigonometriske funktioner

Harmonisk svingning f (85) ( ) sin( )f t A t

2 1

2πT t t

Graf for harmonisk svingning f

med amplitude A og periode (svingningstid) T

(86)

( )2

(1)

T

20

Differentialregning

Differentialkvotienten 0( )f x for funktionen f i tallet 0x

(87) 0

00

0

0 0

0

( ) ( )( ) lim

( ) ( )lim

x x

h

f x f xf x

x x

f x h f x

h

Ligning for tangenten t til grafen for f i 0 0( , ( ))P x f x

(88) 0 0 0( ) ( ) ( )y f x x x f x eller y a x b= ⋅ +

hvor 0( )a f x og 0 0b y a x

Regneregler for differentiation (89) ( ( )) ( )k f x k f x

(90) ( ( ) ( )) ) ( )f x g x f x g x

(91) ( ( ) ( )) ) ( )f x g x f x g x

(92) ( ( ) ( ))

) ( ) ( ) ( )

f x g x

f x g x f x g x

(93) ( )( ) ( )f a x b a f a x b

(2)

(1)

f

tP

x0

f x( )0

21

Afledede funktioner

Funktion

Afledet funktion

( )y f x

( )dy

y f xdx

Lineær funktion (94) a x b⋅ + a

(95) k 0

Logaritmefunktion (96) ln( )x

11x

x

Eksponentialfunktioner (97) ex

ex

(98) ek x

ek xk

(99) xa

ln( )xa a

Potensfunktioner (100) ax

1aa x

(101) 11x

x

22

1x

x

(102) 12x x

121

21

2x

x

Trigonometriske funktioner (103) cos( )x

sin( )x

(104) sin( )x cos( )x

22

Grupperede observationer

Histogram

(105) Arealet af en blok svarer til intervallets frekvens

Histogram med ens intervallængder

(106) Højden af en blok svarer til intervallets frekvens

Sumkurve (107) 1Q : nedre kvartil, 25% -fraktilen

m : median, 50% -fraktilen

3Q : øvre kvartil, 75% -fraktilen

px

: p% -fraktilen

10%

10

2030

%

100%

Kumuleretfrekvens

Q1 m Q3

75

50

25

20

40

60

80

100%

Kumuleretfrekvens

xp

p

23

Ugrupperede observationer

(108) Observationerne afsat på en tallinje

Prikdiagram

(109) min: mindste observation

(110) max: største observation

Variationsbredde (111) max min-

(112) m: median (midterste observation, når antallet af observationer er ulige, ellers tallet midt mellem de to midterste observationer)

(113) 1Q : nedre kvartil

(medianen for den nederste halvdel af observationerne)

(114) 3Q : øvre kvartil

(medianen for den øverste halvdel af observationerne)

Kvartilbredde (115) 3 1Q Q-

(116) Boksplot, kassediagram

(boksens højde er uden betydning)

Kvartilsæt (117) 1 3( , , )Q m Q

Udvidet kvartilsæt (118) 1 3( , , , , )min Q m Q max

min

max

m

Q1

Q3

min Q1 m Q3 max

24

Outlier

(119) Observation, der ligger mere end halvanden kvartilbredde under nedre kvartil eller mere end halvanden kvartilbredde over øvre kvartil

Middeltal x for observations- sættet 1 2, , ... , nx x x

(120) 1 2 ... nx x x

xn

Spredning af en stikprøve

1 2, , ... , nx x x fra en population

(121)

2

1

( )

1

n

ii

x x

ns =

-=

-

å

2 2

1( ) ( )

1nx x x x

n

- + + -=

-

Venstreskæv fordeling (122) Middeltal mindre end medianen x m<

Ikke-skæv fordeling (123) Middeltal lig med medianen x m=

Højreskæv fordeling (124) Middeltal større end medianen x m>

x

x

x

25

Lineær regression

Tabel med observerede data

(125)

x 1x 2x 3x …

nx

y 1y 2y 3y … ny

Regressionslinje

(126) Bedste rette linje, graf for ( )f x a x b= ⋅ +

Punktplot og bedste rette linje

(127)

Residual (128) Forskel mellem observeret y-værdi og tilsvarende y-værdi i model

Residualtabel (129)

x 1x 2x 3x … nx

Residual 1 1 1( )r y f x= - 2 2 2( )r y f x= - 3 3 3( )r y f x= - … ( )n n nr y f x= -

Residualplot (130)

Residualspredning (131) 2 2 2

1 2 ...

2nr r r

sn

+ + +=

-

(1)

(2)

modelpunkter observerede datapunkter

f

(2)

(1)x1

x2

x3

xn

r2

rn

r3

r1

26

Kombinatorik

Multiplikationsprincip Antal mulige måder at vælge både ét element fra N og et element fra M, hvor N består af n elementer og M består af m elementer

(132) n m⋅

Additionsprincip Antal mulige måder at vælge enten ét element fra N eller ét element fra M, hvor N består af n elementer og M består af m elementer

(133) n m+

Fakultet (134) ! ( 1) ( 2) 2 1n n n n= ⋅ - ⋅ - ⋅ ⋅ ⋅

Permutationer Antal muligheder for udvælgelse af r elementer blandt n elementer, når rækkefølgen har betydning

(135) !

( , )( )!

nP n r

n r=

-

Kombinationer Antal muligheder for udvælgelse af r elementer blandt n elementer, når rækkefølgen ikke har betydning

(136) !

( , )!( )!

nK n r

r n r=

-

27

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsfelt med udfaldsrum U og sandsynligheder p

(137) ( , )U p

Udfaldsrum U med n udfald (138) Mængden af alle udfald

1 2{ , , , }nu u u⋅⋅⋅

Summen af alle sandsynligheder

(139) 1 2 3 ... 1np p p p+ + + + =

Sandsynlighedstabel (140) Udfald 1u 2u 3u … nu

Sandsynlighed 1p 2p 3p … np

Hændelse A med k udfald fra U

(141) Mængde af k udfald fra U

Sandsynlighed for hændelse A (142) Summen af de k udfalds sandsynligheder

Symmetrisk sandsynlighedsfelt

Alle sandsynligheder er lige store

(143) 1 2 3

1... np p p p

n= = = = =

Sandsynlighed for udvælgelse af et element fra A

(144) ( )k antal gunstige

p An antal mulige

= =

Sandsynlighed ved kombination af uafhængige hændelser A og B

(145) (både og ) ( ) ( )P A B P A P B= ⋅

Sandsynlighed ved kombination af hændelser A og B, som ikke har noget fælles udfald

(146) ( eller ) ( ) ( )P A B P A P B= +

28

Sandsynlighedsfordelings-tabel for en stokastisk variabel X

(147)

iX x= 1x 2x 3x … nx

( )iP X x= 1p 2p 3p … np

Søjlediagram. Højde af søjle svarer til sandsynlighed af udfald

(148)

Middelværdi af en stokastisk variabel X

(149)

1

1 1 2 2 3 3

( ) ( )n

i ii

n n

E X x P X x

x p x p x p x p

m=

= = ⋅ =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅

å

Varians af en stokastisk variabel X

(150) 2

1

Var( ) ( ) ( )n

i ii

X x P X xm=

= - ⋅ =å2 2

1 1( ) ( )n nx p x pm m= - ⋅ + + - ⋅

Spredning af en stokastisk variabel X

(151) ( ) Var( )X Xs s= =

Binomialfordeling

Binomialfordelt stokastisk variabel X med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p

(152) ( , )X b n p

Binomialkoefficient ( , )K n r (153)( )

!( , )

! !

n nK n r

r r n r

æ ö÷ç ÷= =ç ÷ç ÷ç -è ø

(154) ( , ) ( , )K n r K n n r= -

Sandsynlighedsfunktion for binomialfordelt stokastisk variabel X

(155) ( ) ( , ) (1 )r n rP X r K n r p p -= = ⋅ ⋅ -

Middelværdi m (156) n pm= ⋅

Spredning s (157) (1 )n p ps= ⋅ ⋅ -

(1)

(2)

x1 x2 x3 xn.. .

29

Statistisk usikkerhed i stikprøver

Antal elementer i stikprøven n 95% konfidensinterval for populationens sandsynlighedsparameter p estimeret ud fra stikprøveandelen p

(158)

ˆ ˆ ˆ ˆ(1 ) (1 )ˆ ˆ2 ; 2

p p p pp p

n n

é ù⋅ - ⋅ -ê ú- ⋅ + ⋅ê úê úë û

Normalfordelingsapproksimation til binomialfordelt stokastisk variabel X med middelværdi

n pm= ⋅

og spredning

(1 )n p ps= ⋅ ⋅ -

(159)

(1)

� � ��� ��2� ��3� �� 2� �� 3� ��

normale udfald

Exceptionelleudfald

Exceptionelleudfald

(1)

� � ��� ��2� ��3� �� 2� �� 3� ��

68,27%

95,45%

99,73%

30

Pascals trekant (160)

K(0,0)

K(1,0) K(1,1)

K(2,0) K(2,1) K(2,2)

K(3,0) K(3,1) K(3,2) K(3,3)

K(4,0) K(4,1) K(4,2) K(4,3) K(4,4)

K(5,0) K(5,1) K(5,2) K(5,3) K(5,4) K(5,5)

K(6,0) K(6,1) K(6,2) K(6,3) K(6,4) K(6,5) K(6,6)

K(7,0) K(7,1) K(7,2) K(7,3) K(7,4) K(7,5) K(7,6) K(7,7)

K(8,0) K(8,1) K(8,2) K(8,3) K(8,4) K(8,5) K(8,6) K(8,7) K(8,8)

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

31

Multiplikationstabel (161)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 105 112 119 126 133 140

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 104 112 120 128 136 144 152 160

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 135 144 153 162 171 180

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

11 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 143 154 165 176 187 198 209 220

12 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 168 180 192 204 216 228 240

13 13 26 39 52 65 78 91 104 117 130 143 156 169 182 195 208 221 234 247 260

14 14 28 42 56 70 84 98 112 126 140 154 168 182 196 210 224 238 252 266 280

15 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300

16 16 32 48 64 80 96 112 128 144 160 176 192 208 224 240 256 272 288 304 320

17 17 34 51 68 85 102 119 136 153 170 187 204 221 238 255 272 289 306 323 340

18 18 36 54 72 90 108 126 144 162 180 198 216 234 252 270 288 306 324 342 360

19 19 38 57 76 95 114 133 152 171 190 209 228 247 266 285 304 323 342 361 380

20 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400

Røde tal: Kvadrattal

32

Areal og omkreds, rumfang og overflade af geometriske figurer

Trekant

h højde g grundlinje

A areal 12A hg

Parallelogram

h højde g grundlinje

A areal A hg

Trapez

h højde a, b parallelle sider

A areal 12 ( )A h a b

Cirkel

r radius

A areal 2πA r

O omkreds 2πO r

Kugle

r radius

O overflade 24πO r

V rumfang 34

3πV r

Cylinder

h højde r grundfladeradius

O krum overflade 2πO rh

V rumfang 2πV r h

Kegle

h højde s sidelinje r grundfladeradius O krum overflade πO rs

V rumfang 213

πV r h

g

h

A C

B

g

h

b

h

a

r

r

r

r

h

r

h s

33

Matematiske standardsymboler

Symbol Betydning Eksempler, bemærkninger m.v.

.,.,.,. mængde på listeform 5,0,3,10 2,4,6,...

mængden af naturlige tal 1,2,3,...

mængden af hele tal ..., 2, 1,0,1,2,...

mængden af rationale tal tal, der kan skrives pq , ,p q

mængden af reelle tal

tilhører / er element i 2

;a b lukket interval 1;3 |1 3x x

;a b halvåbent interval 1;3 |1 3x x

;a b halvåbent interval 1;3 |1 3x x

;a b åbent interval 1;3 |1 3x x

er en ægte delmængde af 1,2,3 N

fællesmængde A B

Foreningsmængde A B

\ mængdedifferens \A B

A komplementærmængde \U A

Ø den tomme mængde

disjunkte mængder ØA B

mængdeprodukt 10;10 10;10

”og” i betydningen ”både og” (konjunktion)

2 5x y

”eller” i betydningen ”og/eller” (disjunktion)

2 5x x

A B

A B

A B

U A

A B

34

Symbol Betydning Eksempler, bemærkninger m.v.

”medfører”, ”hvis … så” (implikation)

22 4x x= =

”ensbetydende”, ”hvis og kun hvis” (biimplikation)

2 4 2 2x x x= =- =

1

n

ii

a

1 2 ... na a a 4

2 2 2 2 2

1

1 2 3 4i

i

!n n fakultet, n udråbstegn ! 1 2 ... for 1n n n

0! 1=

( )f x funktionsværdi af x ved funktionen f

( ) 2 1f x x , så er (4) 3f = .

Dm( )f definitionsmængden for f

Vm( )f værdimængden for f

log( )x logaritmefunktionen med grundtal 10

log( ) 10yy x x

ln( )x den naturlige logaritme- funktion

ln( ) e yy x x

ex den naturlige eksponential- funktion ex betegnes også exp(x)

xa eksponentialfunktionen med grundtal a, 0a

xb a kaldes undertiden for en eksponentialfunktion eller en eksponentiel udvikling

ax potensfunktion

ab x kaldes undertiden for en potensfunktion eller en potens- udvikling

| |x numerisk (absolut) værdi af x | 3 | 3 , | 7 | 7

| |x betegnes også abs(x)

sin( )x sinus

cos( )x cosinus

tan( )x tangens sin( )

tan( )cos( )

xx

x=

35

Symbol Betydning Eksempler, bemærkninger m.v.

1sin ( )y- omvendt funktion til sinus1

1

1

sin ( ) sin( )

sin (0,5) 30

sin betegnes også Arcsin

y x x y

1cos ( )y- omvendt funktion til cosinus1

1

1

cos ( ) cos( )

cos (0,5) 60

cos betegnes også Arccos

y x x y

1tan ( )y- omvendt funktion til tangens 1

1

1

tan ( ) tan( )

tan (1) 45

tan betegnes også Arctan

y x x y

0

lim ( )x x

f x

grænseværdien af ( )f x

for x gående mod 0x 8lim 1 3x

x

lim ( )x

f x

grænseværdien af ( )f x for x gående mod

1lim 0x x

0

( )

for

f x a

x x

( )f x går mod a

for x gående mod 0x 1 3for 8x x+

( )

for

f x a

x

¥

( )f x går mod a

for x gående mod 0 forxe x- ¥

x x-tilvækst 0x x x

,y f funktionstilvækst for ( )y f x 0( ) ( )y f f x f x

,y f

x x

differenskvotient for

( )y f x 0

0

( ) ( )f x f xy f

x x x x

0 )f x differentialkvotienten for ( )y f x i 0x 0

00

0

0 0

( ) ( )) lim

lim lim

x x

x x

f x f xf x

x x

f y

x x

f afledet funktion af ( )y f x betegnes ( ), , ( ),d

f x y f xdx

2( ( )), , , 3 1d df dy

f x xdx dx dx

( )nf den n’te afledede funktion af ( )y f x

(2) ( )f x skrives ofte ( )f x , y

eller 2

2

d y

dx

36

Symbol Betydning Eksempler, bemærkninger m.v.

AB linjestykket AB

| |AB længden af linjestykket AB

AB cirkelbuen AB

| |AB længden af cirkelbuen | |AB

”er parallel med”

”er vinkelret på” l m læses også ”l og m er ortogonale”

A vinkel A 110A eller 110A=

ABD vinkel B i trekant ABD

retvinklet trekant

midtnormalen n for linjestykket AB

bh højden fra B på siden b eller dens forlængelse

A

BC

D

hosliggendekatete til v

modståendekatete til v

hypotenuse

v

A B

n

A

B

C

a

b

chb

37

Symbol Betydning Eksempler, bemærkninger m.v.

bm medianen fra B på siden b

Bv vinkelhalveringslinjen for vinkel B

trekant ABC’s omskrevne cirkel

trekant ABC’s indskrevne cirkel

A

B

C

a

b

cmb

A

B

C

a

b

cvB

A

B

C

A

B

C

vC

38

Stikordsregister A additionsprincip 26 G grupperede observationer 22 afledet funktion 21, 35 grænseværdi 35 afstand mellem - punkter 11 H halveringskonstant 17 - punkt og linje 11 harmonisk svingning 19 amplitude 19 histogram 22 andengradspolynomier 14 hældningskoefficient 10, 13 annuitetslån 5 hændelse 27 annuitetsopsparing 5 højde 32, 36 areal højreskæv 24 - af cirkel 32 - af parallelogram 32 I ikke-skæv 24 - af trekant 9, 32 indekstal 5 - af trapez 32 indskreven cirkel 37 B binomialkoefficient 28 K kapitalformel 5 boksplot 23 kegle 32 brøkregler 6 kombinationer 26 konfidensinterval 29C cirkel 12, 32 kugle 32 cosinus 8, 34 kvadratsætninger 7 cosinusrelation 9 kvartil 22, 23 cylinder 32 L lineær funktion 13D differenskvotient 35 lineær regression 25 differentialkvotient 20, 35 linjens ligning 10 lodret linje 10E eksponentialfunktioner logaritmefunktioner 15 - aftagende 17 - voksende 16 M median (trekant) 37 ensvinklede trekanter 8 median (statistik) 22, 23, 24 middeltal 24F fakultet 26, 34 middelværdi 28 fordoblingskonstant 16 midtnormal 36 fremskrivningsfaktor 16, 17 midtpunkt 11 førstegradspolynomium 13 multiplikationsprincip 26

39

N nedre kvartil 22, 23 S sandsynlighed 27, 28, 29 normalfordelingen 29 sinus 8, 34 nulpunkt 14 sinusrelation 9 skalafaktor 8O omskreven cirkel 37 spredning 24, 28, 29 omvendt proportionalitet 6 stokastisk variabel 28, 29 ortogonale linjer 11 stokastisk usikkerhed 29 overflade af sumkurve 22 - cylinder 32 symboler 33 - kegle 32 søjlediagram 28 - kugle 32 outlier 24 T tangens 8, 34 tangent til graf 20P parabel 12 toppunkt 12, 14 parallelogram 32 trapez 32 Pascals trekant 30 trigonometriske 19, 21 p% -fraktil 22 permutationer 26 U uafhængige hændelser 27 potensfunktion 18, 21, 34 udfaldsrum 27 potensregneregler 7 udvidet kvartilsæt 23 prikdiagram 23 ugrupperede observationer 23 procentregning 5 proportionalitet 6 V variationsbredde 23 Pythagoras’ sætning 8 varians 28 venstreskæv 24R regneregler for differentiation 20 vinkelsum i trekant 9 regression, lineær 25 vilkårlig trekant 9 regressionslinje 25 vinkelhalveringslinje 37 residual 25 vinkler 36 residualspredning 25 vækstrate 5, 16, 17 retvinklet trekant 8, 36 rod, rødder 14 Ø øvre kvartil 22, 23 rumfang af - cylinder 32 - kegle 32 - kugle 32