Hidraúlica para Hidrogeólogos.pdf

UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA RIOJA Sede Universitaria Villa Unin

MANUAL

HIDRAULICA PARA HIDROGEOLOGOS

Ing Fermn C. Barraza Barraza

Ao 2005

Hidrulica para Hidrogeologos. Ing. Fermn C. Barraza B UNLaR-Villa Unin. Argentina

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El que sabe y no da lo que sabe Es porque no sabe

El que no sabe y da lo que no sabe Es porque sabe

El dar es la esencia de nuestra existencia.

A mis Alumnos

FEBABA


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INDICE GENERAL

Dedicatoria.........................................................................................................................2 Prologo...............................................................................................................................8

CAPITULO I

Generalidades ................................................................................................................ 11 Presin Hidrosttica ........................................................................................................11 Peso Especfico ...............................................................................................................14

Teorema General de la Hidrosttica ...............................................................................15 Presin Absoluta y Relativa ...........................................................................................17 Presin sobre Superficies Planas ....................................................................................18 Diagrama de Presiones ...................................................................................................24 Superficie de Nivel .........................................................................................................26 Plano de Carga Hidrosttico Absoluto ...........................................................................27 Nociones sobre Presas y Embalses .................................................................................28 Capas Acuferas ..............................................................................................................31 Principio de Pascal ..........................................................................................................31 Principio de Arqumedes ................................................................................................34 Ejercicios de Recapitulacin ..........................................................................................37

CAPITULO II

Hidrodinmica ................................................................................................................43 Movimiento permanente y no permanente .....................................................................45 Radio Medio o Hidrulico ..............................................................................................48 Principio de Torricelli .....................................................................................................51 Teorema de Bernoulli .....................................................................................................53 Significado de los Trminos de la Ecuacin de Bernoulli ..............................................58 Ejercicios de Recapitulacin ..........................................................................................61


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CAPITULO III

Lquidos Reales ..............................................................................................................75 Viscosidad Coeficiente de Viscosidad ........................................................................75 Rgimen Laminar y Turbulento .....................................................................................77 N de Reynolds Teorema de Bernoulli en los Lquidos Reales ................................................................80 Movimiento permanente de fluidos en conductos circulares .........................................81 Prdida de carga total .....................................................................................................81 Expresin de la resistencia por frotamiento en funcin de la prdida de carga .............83 Factor de Friccin o Coeficiente de resistencia de Darcy Weisbach ...........................85 Aspereza absoluta y relativa ...........................................................................................88 Prdida de carga por frotamiento para tubos rugosos en Rgimen Turbulento...............89 Diagramas de Moody Frmulas para el clculo de tuberas ..............................................................................93 Problemas de Recapitulacin ........................................................................................106

CAPITULO IV

Circulacin de Agua en los Orificios. Generalidades ...................................................127 Circulacin del Agua a travs de orificios en pared delgada ------------------------------128 Circulacin del Agua a travs de orificios en pared gruesa .........................................131 Obtencin del coeficiente de gasto ...............................................................................134 Tiempo de vaciado a travs de un orificio ....................................................................136 Orificios totalmente ahogados ......................................................................................138 Orificios parcialmente ahogados ..................................................................................139 Ejercicios de recapitulacin ..........................................................................................141

CAPITULO V

Circulacin del agua en los Vertedores. Definiciones ..................................................150


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Frmula de Francis .......................................................................................................155 Frmula de Francis en el sistema mtrico ....................................................................159 Vertedor Triangular ......................................................................................................160 Vertedores Trapeciales .................................................................................................163 Vertedor de Cipolletti ...................................................................................................164 Vertedor ahogado .........................................................................................................165 Ejercicios de recapitulacin ..........................................................................................169

CAPITULO VI

Circulacin del agua en canales ....................................................................................180 Gradiente hidrulico Diversos modos de circulacin .....................................................................................181 Rgimen Uniforme .......................................................................................................183

Frmula de Chezy ........................................................................................................184 Frmula de Bazn ..........................................................................................................187 Secciones de Mxima Eficiencia ..................................................................................188 Frmulas de Siedek, Matakiewicz y Winkel ................................................................197 Variaciones de las velocidades a lo largo de una vertical de un curso de agua ............198 Diagramas de velocidades horizontales y de velocidades medias en las verticales ....204 Curvas Istacas

Capacidad de canales de riego ......................................................................................206 Ejercicios de recapitulacin ..........................................................................................210

CAPITULO VII

Medidor de Venturi ......................................................................................................215 Tubos piezomtricos .....................................................................................................220 Tubo de Pitot Darcy ...................................................................................................220 Flotadores simples ........................................................................................................222 El Flotador compuesto ..................................................................................................222 Molinete de Woltman ...................................................................................................223


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Accin dinmica y energa de los fluidos .................................................................... 225 Fuerza o Empuje de una corriente sobre un cuerpo sumergido ...................................227 Golpe de Ariete ............................................................................................................228 Nociones sobre Mquinas y Motores Hidrulicos .......................................................232 El Sifn ....................................................................................................................... 232 Bomba de Embolo- distintos tipos ..............................................................................235 Rendimiento y Potencia necesaria ...............................................................................236 Bombas centrfugas ......................................................................................................238 Teora de las bombas centrfugas .................................................................................239 Rendimiento .................................................................................................................242 Curvas caractersticas y Rendimiento ..........................................................................243 Ejercicios de recapitulacin ..........................................................................................245

CAPITULO VIII

Sistemas de Tuberas ....................................................................................................247 A.-Tuberas en serie o compuestas ...............................................................................247

Problema de Aplicacin..........................................................................................254 B.-Tuberas en Paralelo ................................................................................................259 Solucin Problema tipo 1 Solucin Problema tipo 2

Problema tuberas en paralelo .................................................................................263 C.-Tuberas Ramificadas .............................................................................................268

Problema de Aplicacin .........................................................................................270 -Redes de Tuberas .......................................................................................................274

Problema de Aplicacin .........................................................................................278 Diagrama de Flujo del Mtodo Hardy Cross ...........................................................285

CAPITULO IX

Movimiento Permanente Uniforme en canales y cursos de agua..................................287 Frmula General de la circulacin ................................................................................287


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Frmula de Chezy .........................................................................................................288 Movimiento permanente uniforme en canales ..............................................................290 Expresin de Kutter ......................................................................................................302 Expresin de Manning ..................................................................................................306 Frmula de Bazin ..........................................................................................................306 Diseo de canales .........................................................................................................310 Criterio para el clculo de canales ................................................................................314 Clculo del caudal ........................................................................................................317 - Mtodo geomtrico ................................................................................................318 - Mtodo grfico .......................................................................................................320 Ejercicios de recapitulacin ..........................................................................................323

CAPITULO X

Informtica Aplicada a la Hidrulica ............................................................................339 -Practica de Campo........................................................................................................339 Conduccin por Caeras y Redes ................................................................................349 1.- Conduccin por Caeras o Conductos Cerrados ....................................................349 2.- Redes de Caeras ...................................................................................................354

CAPITULO XI

Programa de Prctica de Laboratorio ...........................................................................356 Actividades de Investigacin ........................................................................................402

Bibliografa .................................................................................................................403


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PRLOGO

Presento este manual a la comunidad universitaria estudiantil con toda la modestia de que soy capaz y pidiendo anticipadamente disculpa por todos los errores de hecho o de omisin que en l se encuentren, de los cuales soy el nico responsable, pero con grandes esperanzas de que el mismo sea de utilidad en el logro de la elevacin de la formacin acadmica de los alumnos de la carrera de Licenciatura en Hidrogeologa que se dicta en la sede Universitaria Villa Unin, de la Universidad Nacional de La Rioja; en la ciencia de la hidrulica y mecnica de fluidos. Esta obra no tiene, de ninguna manera, pretensiones de ser la cumbre de los conocimientos escritos sobre hidrulica y mecnica de fluidos en nuestro pas, sino que muy al contrario, tiene una clara finalidad de constituir solamente un primer paso en el aprendizaje de estas materias, para los estudiantes que tienen en su currcula las ctedras de Hidrulica General y Mecnica de Fluidos; de tal manera que queden iniciados en tales interesantes reas del saber y puedan posteriormente profundizar sobre cada uno de los distintos aspectos que comprenden estas actividades. Es este solamente un manual de elemental divulgacin y de motivacin con el cual trato, ms que ensear de iniciar y de interesar; ms que de demostrar tcnicas, de aconsejar y de orientar. Persigo con l el propsito de abrir los ojos de los estudiantes, actuales o futuros, para advertirles de lo compleja que son las actividades que tienen relacin con el estudio de un elemento tan importante para nuestras vidas como es el agua, a pesar que estamos da a da en contacto con ella y de la gran cantidad de factores que deben tenerse en cuenta en la realizacin a este preciado recurso de la naturaleza. Es la divulgacin la esencia de mi esfuerzo, y trato de esta manera de entablar una pltica con los estudiantes que me hagan el favor de leerme, comprendiendo de antemano sus inquietudes y procurando atenderlas en el alcance de mis posibilidades. Considero que haba necesidad de escribir un manual que pudiera ser utilizado sin dificultad por los estudiantes de Hidrogeologa, por los que deseen serlos y por los tcnicos que de una u otra forma se relacionan con la problemtica que significa el manejo del recurso hdrico. Lo he elaborado sobre la base de mi experiencia acadmica y docente, tomando como punto de partida mis apuntes de clases que desde hace tiempo he impartido, utilizando


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adems ideas y conocimientos aportados por un gran nmero de personas con las que he tenido conversaciones, as como saber adquirido en una gran consulta bibliogrfica. Mi propia experiencia como Ingeniero Civil se encuentra aqu captada, y muchas recomendaciones que se dan estn basadas en hechos reales a los que he tenido que afrontar, los cuales en algunas ocasiones fueron fracasos que no deben repetirse si esa experiencia es aprovechada. Como este manual va dirigido principalmente a los estudiantes y no a tcnicos de elevado nivel, me he permitido cometer una especie de sacrilegio a las normas clsicas de literatura tcnica o cientfica, que creo que estos ltimos difcilmente me perdonarn, pero que los primeros me aplaudirn: he eliminado el usual procedimiento de citar a cada paso, ya sea nombre o con un nmero de referencia, a las personas que realizaron descubrimientos, que sustentan una determinada tesis, o que han opinado o investigado respecto a algn problema tcnico o cientfico. He llevado a cabo esto no por simple capricho, sino en funcin de una mayor utilidad del manual, que de esta manera puede ser leda y aprovechada sin complicacin ni temor por parte de muchos estudiantes, a los que en general les da temor leer libros y folletos repletos de citas, que en lugar de facilitarles el aprendizaje se los dificulta y les impide un alto grado de captacin de las ideas. Creo que a nivel de divulgacin esas series de citas, a veces excesivas, no ofrecen ninguna ventaja y s interfieren seriamente con la comprensin; por lo que en vas de ser ms til opt por suprimirlas casi todas, siendo casos excepcionales las que se encuentren. Por otra parte, considero que el saber es herencia de la humanidad y no hay razn para incluir en un texto forzosamente todos los antecedentes nominales de las personas que hayan contribuido a dilucidar un determinado aspecto de la ciencia. Deseo advertir tambin que este es un manual de Hidrulica General y de Mecnica de Fluido, esto ultimo solo considera al agua como tal y con la intencin de ser orientada a los alumnos y futuros profesionales que estn haciendo y harn del agua el elemento de preocupacin profesional de sus vidas, que como tal trata de generalidades de estas ciencias, sin que sea posible profundizar demasiado en ningn tema, ya que cada uno de ellos ameritara por s solo un tratado completo. Asimismo, es lgico que antes de conocer ntimamente y con precisin sobre algn aspecto o sobre peculiaridades especficas es necesario saber las generalidades, para as comprender en conjunto los


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procesos.

Para todo aquel que comienza el estudio de una nueva rea suelen existir obstculos difciles y complicados, no tanto por el contenido en s de la materia en estudio, sino por la dispersin de los elementos de anlisis, que en lugar de serles proporcionados como un todo interrelacionado profundamente, les es dado por separado como si no hubiera relacin entre s.

Trato con este manual de cambiar lo difcil y complicado en fcil y sencillo, sin importarme para ello romper con normas establecidas. La finalidad de lograr la necesaria divulgacin de los conocimientos bsicos sobre Hidrulica General y Mecnica de Fluidos o en forma ms especifica, si es que la terminologa me lo permite Mecnica del Agua, de formar criterios y motivar, est por encima de rgidas costumbres y de protocolo.

FEBABA


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Captulo I

Generalidades.

Hidrulica: Es la parte de la fsica que estudia las leyes que rigen el comportamiento de los lquidos y particularmente el agua. La hidrulica se divide en:

1.- Hidrosttica. Es la parte de la hidrulica que estudia las propiedades de los lquidos, especialmente el agua cuando est en reposo o en equilibrio.

2.- Hidrodinmica Es la parte de la hidrulica que estudia las propiedades de los lquidos especialmente el agua cuando est en movimiento.

Presin Hidrosttica

El concepto de presin es similar al establecido en mecnica clsica. La presin es la fuerza que se ejerce sobre un elemento de superficie. Sus unidades ms comunes son: La atmsfera, la atmsfera mtrica, el milmetro de columna de agua. En el sistema mtrico tenemos la presin en Kg/m2

En el sistema Ingls tenemos la presin en libras/pie2 Estas unidades normalmente no se usan por ser muy pequeas, pero si se toma el centmetro cuadrado en vez del metro cuadrado, se tiene una unidad auxiliar a la que se le llama atmsfera mtrica que es 10000 veces mayor que la anterior. Luego:

22 100001m

Kgcm

Kg=


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En el sistema ingls en forma similar, en vez de pie2, se toma la pulgada al cuadrado y se tiene

la unidad libra/pulgada2, que es la unidad auxiliar 144 veces mayor que la libra/pie2.

22 144.lg

1pielb

pulb

=

Por otra parte:

La atmsfera es una unidad de presin equivalente al peso de una columna de mercurio de 760 mm de altura a la temperatura de cero grados Celsius, a nivel del mar.- Como el peso especfico del mercurio es 13,596 veces mayor que el del agua, una atmsfera

resulta: 223 0333,1103331359676,01 cmKg

m

Kgm

KgmxAtmsfera === y est representada

por una altura de agua de: 0,76 x 13,596 = 10,333 m.. Como una atmsfera mtrica es igual a 1Kg/cm2, se tiene que:

1 Atmsfera mtrica = 1 Kg/cm2 = 10000 Kg/m2 = 10 m columna de agua. Para pequeas presiones al dividir por 10000 los dos trminos ltimos de la expresin anterior se tiene que:

1 Kg/m2 = 1 mm columna de agua. Consideremos una cubeta que contiene mercurio y un tubo de unos 85 a 90 cm cerrado en un extremo:

Atmosfrica

h

A B

Hg

Fig.N1


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Si al tubo lo llenamos completamente con mercurio y tapando el extremo abierto lo invertimos introducindolo dentro de la cubeta, se observa que el nivel de mercurio baja en el interior del tubo hasta una cierta altura, dejando un vaco en la parte superior que recibe el nombre de Cmara Baromtrica; en la cual se considera que prcticamente existe el vaco.

Si consideramos un punto A fuera del tubo y un punto B dentro de l, como son puntos situados a la misma altura en un lquido en reposo, las presiones en ambos deben ser iguales; en el interior, la presin se debe a la columna de mercurio colocada encima de B y en A la presin es debida a la presin atmosfrica que obra sobre la superficie libre de mercurio. Para medir la presin en B se considera la altura h de la columna y el peso especfico del mercurio.

La altura de la columna baromtrica es variable con la altitud del lugar en que se realiza la experiencia, y es claro porque mide justamente el peso del espesor h de la atmsfera. Al nivel del mar es de 760 mm cuando no hay perturbaciones atmosfricas.

Este valor de la presin atmosfrica en el sistema mtrico es: PA= Presin atmosfrica = Presin de la columna de mercurio = wHgh Como:

WHg= 13586 Kg/m3 y h =760 mm = 0,76 m Se tiene que:

Patm. = 1atm. = 1 atm. Estndar = 13596 x 0,76 = 10333 Kg/m2 = 1,0333 Kg/cm2 Luego:

1 atmsfera estndar = 1,033 Kg/cm2 1 atmsfera mtrica = 1 Kg/cm2

En el sistema Ingls:

1 atmsfera = 10330 Kg/m2 = 22.lg

7,1475,102,210330

pulb

pielb

=

1 atmsfera = 14,7 x 144 = 2116 lb/pie2


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222.lg

2,1475,102,210000100001

pulb

pielb

m

Kgmtricaatmsfera ===

Ejercicio:

Si hA = 16 m y hB = 45 pie, s p = hw y w = 1000 Kg/m3 Determinar: PA y PB en:

1.- Kg/m2

2.- atmsfera mtrica

3.- atmsfera estndar 4.- lb/pie2 5.- lb/pulg.2 6.- centmetro de mercurio

Peso especfico

El peso especfico de un cuerpo slido o lquido, es el peso de la unidad de volumen. Hay que tener cuidado con esta definicin cuando se trata de fluidos como los gases, puesto que con temperatura o presin variable tienen un volumen distinto, cosa que no ocurre con los slidos y lquidos, pues se consideran prcticamente incompresibles, por eso, al tratar con el peso especfico de los gases debe mencionarse si es a temperatura o a presin constante.

En nuestro caso el agua, su peso especfico depender de las unidades que se hayan empleado para medir el peso y el volumen.

En el sistema mtrico, la unidad de peso es el kilogramo peso y la unidad de volumen es el metro cbico(m3). El peso especfico del agua en el sistema mtrico es el peso de un metro cbico de agua; aproximadamente mil kilogramos. Luego:

Wagua= 1000 Kg/m3


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En el sistema ingls la unidad de peso es la libra peso(lb), y para medir el volumen es el pie cbico. Luego el peso especfico del agua en este sistema es el peso de un pie cbico. Como sabemos que: 1 Kg = 2,2 lb 1 m = 3,28 pie

1 m3 = 35,3 pie3

Luego: wagua= 1000 33,352,2

pielb

wagua= 62,32 lb/pie3

Teorema General de la Hidrosttica.

Mediante el teorema general de la hidrosttica se determina el valor de la presin hidrosttica. Supongamos que un recipiente se encuentra lleno de un lquido y est cerrado en dos extremidades mediante los mbolos de secciones A1 y A2 respectivamente, cuya diferencia de nivel es h (ver fig.N2)

Sobre el mbolo superior se ejerce una presin p1 , y sobre el inferior una presin p2, por lo que tendremos que aplicar en ellos dos fuerzas P1 y P2 respectivamente, para mantener el sistema en equilibrio. Los valores de P1 y P2 debern cumplir la condicin: P1 = p1A1 y P2 = p2A2

P1

A1

p1

h

p2 A2 Fig.N2 P2


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El sistema se encuentra en equilibrio y los desplazamientos virtuales que pueden realizar los mbolos son mecnicamente reversibles. Luego para esta condicin de reversibilidad: La suma de los trabajos virtuales que realice el sistema durante un desplazamiento virtual del mismo, es igual a cero. Consideremos un desplazamiento virtual, por un recorrido ds1 del mbolo superior en el sentido de la fuerza P1, el trabajo virtual ser positivo y valdr:

W1 = P1 ds1 = p1A1ds1 [ ]mKg

Debido a ste desplazamiento, el mbolo inferior avanzar una longitud ds2 en el mbolo opuesto a la fuerza P2, realizando un trabajo virtual negativo que vale:

W2 = - P2ds2 = - p2A2ds2 [ ]mKg }

La masa de lquido habr realizado un pasaje de un volumen V, desde el nivel del mbolo superior al inferior, o sea en un recorrido h. Este volumen equivale al producto de la seccin del mbolo y su desplazamiento, o sea: V = A1ds1 = A2ds2 Y motiva un trabajo virtual que es positivo y vale:

Vwh = [ ]mKg

Luego aplicando el principio de los trabajos virtuales al desplazamiento reversible de los dos mbolos y del volumen del lquido V, resulta: p1A1ds1- p2A2ds2 + Vwh = 0 teniendo en cuenta que V = A1ds1 = A2ds2 se tiene que: p1V- p2V + Vwh = 0 y simplificando se tiene p1- p2 + wh = 0, finalmente tendremos:

p2 - p1 = wh

Expresin que representa el Teorema General de la Hidrosttica cuando slo acta la gravedad. Para un lquido en reposo la diferencia de la presin hidrosttica entre dos


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puntos separados por una diferencia de profundidad h, es igual al producto del peso especfico del lquido por dicha diferencia de profundidad.

Se observa que la presin hidrosttica aumenta con la profundidad, luego p2 - p1>0

p2 > p1.

Presin Absoluta y Relativa

Llamaremos presin absoluta en un punto a la presin total que existe en este punto, debido a todas las causas que estn influyendo para producirla. En la figura siguiente se tiene que la presin absoluta en el punto A es igual a la presin atmosfrica ms la presin ejercida por la columna de lquido arriba de A, o sea: pabs. = wh + patm.

Patm

h

A

Fig.N3

Se llama presin relativa a la presin que resulta de restar la presin atmosfrica de la presin absoluta. Cuando se da la presin en un punto hay que especificar la clase de presin a que se hace referencia.

En unos casos es interesante considerar la presin relativa, y en otros la absoluta, pues supongamos que tenemos una presa Fig.N4, el agua est actuando sobre la cortina tendiendo a deslizarla sobre un plano horizontal. En el clculo de la estabilidad de la


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presa, ser importante considerar la presin relativa, porque si bien es cierto que el lquido transmite sobre la pared la presin del aire, tambin es cierto que esta presin del aire se ejerce en todos sentidos con igual intensidad, cuando la atmsfera est tranquila. En cambio, si tenemos una bomba que est sacando agua de un pozo, la parte del tubo que est entre el agua del pozo y la bomba, tiene la funcin de conservar un cierto vaco lo cual, hace que la presin atmosfrica ejercida sobre la superficie libre del lquido, obligue a subir a ste dentro del tubo.

Fig.N4

Hay otros dispositivos que se utilizan para pasar un lquido de un lugar a otro y que se llaman sifones; en ellos s importa considerar la presin absoluta.

Presin sobre superficies planas

La presin en el seno de un lquido en reposo se ejerce siempre normalmente a la superficie, de tal modo que si tuviramos un vaso que contiene un lquido y hacemos orificios en varios puntos del vaso, el lquido saldr en chorro cuyas direcciones son normales a las paredes en los puntos de salida.(Fig.).

h

A G

Fig.N5


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Supongamos una superficie rectangular sumergida en el seno de un lquido, y a la que pondremos en diferentes posiciones con respecto a la superficie libre del lquido.

Primero la supondremos paralela a la superficie libre (Fig.N5), sumergida a una profundidad h. La presin en todos los puntos de esa superficie es la misma, es decir, es uniforme. Para calcular el valor de la presin es necesario conocer la profundidad h y el peso especfico w del lquido. Llamando A a un punto cualquiera de la superficie en cuestin, tenemos:

pA = wh

Para calcular la fuerza que obra sobre toda la superficie S (empuje del lquido sobre la superficie), que llamaremos F tenemos:

F = whS

En la expresin anterior S es la superficie y debe tenerse cuidado de no confundir el empuje con la presin. Si la presin es uniforme sobre una superficie determinada, la resultante de las fuerzas que estn ejerciendo sobre cada punto es el empuje o fuerza total y pasa por el centro de gravedad de la superficie.

La expresin F = whS se interpreta diciendo que: cuando la presin es uniforme sobre una superficie plana, el empuje tiene un valor igual a la intensidad de la presin en cualquier punto, multiplicado por la superficie. El empuje queda representado por un vector normal a la superficie, que pasa por el centro de gravedad de sta.

Consideremos ahora una superficie pero inclinada con respecto a la superficie libre del lquido. Aqu la presin no es uniforme en todos los puntos de la superficie, sino que va variando siendo menor en A y aumentando gradualmente hasta B (Fig.N6).


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D E

F

A

G C B

Fig.N6

El empuje debe ser normal a la superficie y ya no pasa por el centro de gravedad de sta sino ms abajo porque la resultante del sistema de fuerzas paralelas formado por las distintas presiones estar cerca de las fuerzas de mayor intensidad. El punto por donde pasa el empuje que el lquido ejerce sobre la superficie se llama centro de presiones.

Para que quede terminado el empuje es necesario determinar primero su intensidad y enseguida la localizacin del centro de presin.

En la Fig.N7 se muestran las proyecciones de cualquier superficie plana AB sujeta a la presin esttica de un lquido con superficie libre.

La superficie AB hace un ngulo cualquiera con la horizontal; prolongado el plano de esa superficie, intercepta la superficie libre del lquido segn una recta xx mostrada como un punto M en la Fig. N7.

Supongamos una faja elemental de la superficie tomada paralelamente al eje xx. La presin sobre esta faja en uniforme y a su empuje podemos llamar dF. La resultante de las dF es una fuerza que ya dijimos, cae en el centro de presin; se tiene:


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(M)xx superficie libre x x

h h hc A y F y K ds yc g x g c x c

B

Fig.N7

dF = whdS

== hdSwwhdSF

La superficie plana en su interseccin con la superficie libre da una lnea que es interesante considerar:

h = KM sen

sustituyendo en:

dSKMwdSKMwhdSwF === sensen

dSKM es el momento esttico de la superficie S con respecto al eje xx por lo tanto:

ySdSKM =

sustituyendo este valor se tiene:

F = wsen S y

Pero como:

senyh = sustituyendo en la expresin anterior, se tiene:

F = w h S

Esto quiere decir que el empuje sobre la superficie plana, tiene por valor el producto de la presin en el centro de gravedad por la superficie considerada.

La posicin del centro de presin se determina en la siguiente forma; tenemos que:


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F =w h S

Tambin: Mxx dF = dF = whydS, por sustitucin del valor de dF, de dF =whdS,

sustituyendo el valor de h = y sen:

MxxdF = wsen y2dS

Pero como: FMdFM xxxx '' = se tiene:

cFydSyw = 2sen

dividiendo entre w:

sen Ixx = S y sen yc

Esto quiere decir que la posicin del centro de presiones es independiente del lquido en

el que est sumergida la superficie: Reduciendo:

Ixx = S y yc

ySIxxyc

'

=

El numerador es el momento de inercia del rea considerada, con respecto al eje xx, el denominador es el momento esttico del rea con respecto al mismo eje. La posicin del centro de presin queda pues determinada por el cociente de un momento de inercia entre un momento esttico.

estticoMomentoinerciadeMomentoyc

.

..

=

Vamos a ver ahora tomando un eje que pasa por el centro de gravedad de la superficie S y que es adems paralelo a xx; por el teorema de los ejes paralelos se tiene:


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2'

ySII xx +=

sustituyendo en yc se tiene:

yyS

IyS

ySIyc +=+

=

2

Finalmente:

ySIyyc =

Esta expresin indica que La distancia del centro de gravedad al centro de presiones, es igual al cociente del momento de inercia con respecto a un eje central que pasa por el centro de gravedad, entre el momento esttico con respecto al eje xx .

- Deducir considerando la figura N8, la expresin p2 - p1 = w(h2 - h1), donde w es el peso especfico del lquido.

h2 h1 A p1dA1 B p2dA2 L mg

Fig.N8


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Considrese una porcin de lquido como un cuerpo libre de seccin recta transversal dA que se mantiene en equilibrio por su propio peso y la accin de las otras partculas del lquido sobre el cuerpo AB.

En A la fuerza que acta es p1dA y en B es p2dA. El peso del cuerpo libre es wV y es igual a wLdA.

Las otras fuerzas que actan sobre el cuerpo libre AB son normales a sus lados, por lo cual se anulan al ser iguales y contrarias. Al establecer la sumatoria de las fuerzas en el eje de las x, dichas fuerzas normales no es necesario considerarlas en la ecuacin. Por lo tanto.

p2dA - p1dA - wLdAsen = 0

como Lsen = h2 - h1 y simplificando se tendr:

p2 - p1 - w(h2 - h1) = 0, Por lo tanto se tiene finalmente que: p2 - p1 = w(h2 - h1)

Diagrama de Presiones

Si suponemos un lquido en reposo o en equilibrio sobre el cual acta al nivel de la superficie libre una presin p0, que puede por ejemplo ser la presin atmosfrica, la aplicacin del teorema general de la hidrosttica nos indica que a la profundidad h existir una presin p, que cumple la condicin:

p p0 = wh o bin p = p0 + wh

dicha expresin es la ecuacin de la recta por lo que vara en forma lineal. Si la representamos grficamente tendremos; en el eje vertical las profundidades y las presiones como abscisas. Se obtiene un diagrama denominado diagrama de presiones por cuanto nos indica el valor que toma la presin hidrosttica del lquido segn la profundidad.


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Presin atmosfrica

P0

h

P0 + wh

Fig.N9

Muchas veces resulta conveniente considerar solamente las presiones hidrostticas relativas y no las absolutas, prescindiendo de la accin de la exterior p0 sobre la superficie libre. Luego la aplicacin del teorema general de la hidrosttica nos da la frmula siguiente

P = wh

Por lo cual el diagrama de presiones toma la forma de un tringulo, dado que la presin de la superficie libre se ha supuesto nula. A

h

B p C

Fig.N10 De la figura N10 se tiene que:

tg = hp

y como p = wh se tendr finalmente que tg = w. Lo cual nos indicara que

la pendiente de la recta AC con respecto a la AB, es igual al peso especfico del lquido.


26

Cuando existen varios lquidos de distinta densidad no miscibles, ellos se disponen en el sentido de los pesos especficos crecientes, es decir:

w1 < w2 < w3

y el diagrama de presiones relativas toma entonces la forma de la fig. no considerando la accin de la presin p0. Se obtiene entonces: BE = w1h1 CF = w1h1 + w2(h2 h1) DG = w1h1 + w2(h2 h1) + w3(h3 h2) de acuerdo con el teorema fundamental de la hidrosttica. Adems en la poligonal AEFG, las pendientes de las rectas AE, EF y FG, van aumentando con respecto a la vertical, pues con la mayor profundidad se disponen los lquidos de mayor peso especfico, y por lo tanto los coeficientes angulares de dichas rectas son respectivamente:

tg1 = w1 tg2 = w2 y tg3 = w3

A

w1 1 h1

B E

w2 2 h2 h3

C F

w3 3

D G Fig.N11

Superficies de Nivel

Si en la frmula p = p0 + wh, tomamos h = constante, y suponiendo que la presin exterior p0 permanezca tambin constante, resulta p = constante. Ello nos permite establecer que: La presin hidrosttica es la misma para todos los puntos que tienen la


27

misma profundidad. Dichos puntos definen un plano horizontal que constituye una superficie de nivel o de igual presin.

Si suponemos que h = 0 en la expresin p = p0 + wh, tendremos que p = p0 y como p0 suele ser constante, ste es el valor de la presin en todos los puntos en que h = 0. Ellos determinan un plano horizontal que es una superficie de nivel y se llama superficie libre del lquido. Esto se verifica para masas limitadas de poca extensin en las cuales pueden considerarse las fuerzas de gravedad como verticales; para masas de gran extensin, como por ejemplo en el mar, la superficie de nivel del lquido en reposo es esfrica, siendo en cada punto normal a la direccin de la vertical del lugar.

Plano de carga hidrosttico absoluto

Partiendo de la ecuacin p = p0 + wh podemos expresar las profundidades h, refirindolas a un plano cualquiera de comparacin que dista una distancia H de la superficie libre (ver Fig. N12), resultar:

Plano de carga hidrosttico absoluto

w

p1

w

p2

w

p0

Superficie Libre

h1

h2 M1x H

x

Z1 M2

Z2 Plano de comparacin

Fig.N12


28

H = h + Z luego h = H Z reemplazando en p = p0 + wh se tiene p = p0 + w(H Z), para

el punto M1 se escribir p1 = p0 + w(H Z1) o bien 101 ZHw

pw

p+=

Es decir:

Hw

pw

pZ +=+ 011 Anlogamente para otro punto del lquido como M2; tendremos que:

p2 = p0 + w(H Z2), luego tendremos 202 ZHw

pw

p+= por lo tanto,

Hw

pw

pZ +=+ 022 , y se deduce que:

=+w

pZ 11 Hw

pw

pZ +=+ 022 = Constante.

De lo anterior se desprende que: Para un lquido en reposo la suma de la altura geomtrica ms la altura representativa de la presin en cualquier punto, es constante. Dicha suma nos define la posicin de un plano de carga hidrosttico absoluto.

Nociones sobre presas y embalses

La presa se define como un muro grueso de piedra u otros materiales que se construye a travs de un ro, arroyo, o canal, para llevar agua fuera del cauce. De mayor amplitud es el trmino dique, que se extiende a todo muro, o reparo artificial, hecho para contener las aguas. Habiendo precisado los conceptos anteriores que muchas veces son concurrentes, consideraremos como presas o diques de embalse, a los muros que tienen gran altura, sometidos al empuje hidrosttico y cuyo objeto es producir en una determinada regin una capacidad para contener agua. Estas obras fijas, se construyen en las gargantas de los ros (Fig.N13), o sea en los lugares donde se estrechan las lneas de nivel, creando en esta forma aguas arriba de la presa, un lago artificial que recibe el nombre de pantano cuando la capacidad del embalse es menor.


29

Direccin de la corriente

Presa lago o pantano

FigN13

El objeto de esta obra consiste en la utilizacin del agua almacenada a la cual se le da salida segn las circunstancia. As puede emplearse como fuente de energa construyendo una toma y un canal o tubera aguas arriba, y conduciendo el agua hacia aguas debajo de la presa se aprovecha el salto para accionar una o varias turbinas de una usina hidroelctrica.

Otras aplicaciones de un embalse seran: el riego, para lo cual se reserva el almacenaje de pocas lluviosas para el tiempo de sequa; la provisin de agua potable para poblaciones, la regulacin de crecidas, y la alimentacin de los canales de navegacin. Desde el punto de vista hidrulico: mediante una presa, se puede transformar un canal variable, en otro graduable a voluntad.

De acuerdo con el material de que estn construidas pueden ser de tierra, escollera, mampostera, hormign simple y hormign armado. Las presas de tierra son en realidad grandes terraplenes con taludes variables de 1: 3 hasta 1: 6 que parten, en obras de cierta altura, de un ancho de 6 a 12 metros en el coronamiento. Pueden tener impermeabilizacin especial, o no.

Las presas de escollera estn constituidas por macizos de piedra arrojada con pantalla impermeabilizadora, y las de mampostera y de hormign simple, se construyen del tipo


30

denominado de gravedad, con seccin triangular o trapecial, y planta rectilnea o curva. Las presas de gravedad son llamadas as por cuanto el peso propio constituye una fuerza estabilizadora. Dentro de las presas de hormign armado las ms comunes son los muros de pantalla plana, y los de pantalla abovedada o de bvedas mltiples. En los primeros la pantalla es plana, inclinada a 45, y no es continua, apoyando sobre los contrafuertes, mediante dientes que favorecen la dilatacin. En los segundos, la pantalla est constituida por una serie de bvedas, casi siempre en arco circular, con generatrices inclinadas a 45 y empotradas en los contrafuertes. El clculo de estas estructuras no corresponde a la hidrulica; pero es necesario para efectuarlo determinar previamente los empujes hidrostticos.

Supongamos un corte normal al eje de la cortina en una presa de gravedad: AB es lo que se llama paramento mojado o paramento aguas arriba; ED se llama paramento seco o paramento aguas abajo; AE se llama corona de la presa y BD es la base; H es la altura de la cortina; H-h es el libre bordo.Fig.N14

A E

H h

F C

h31

B D

Fig.N14

El agua almacenada acta con una fuerza F normal al paramento mojado, en este caso horizontal ( es la resultante de todos los empujes elementales sobre este paramento) que tiende a hacer deslizar a la cortina sobre el piso; a este deslizamiento se opone una


31

fuerza de frotamiento entre el muro y la superficie del piso y cuyo valor depende del peso del muro y de la naturaleza de estas superficies en contacto.

Capas acuferas

El agua de lluvia que cae al suelo se filtra a travs de los terrenos permeables, pero queda detenida por las capas impermeables, como por ejemplo las arcillas. La disposicin de estas capas es tal, que entre los estratos impermeables pueden existir capas acuferas, las cuales afloran en forma de manantiales o bien mediante pozos artesianos, llamados as porque fueron construidos por primera vez en la antigua provincia de Artois (Francia). El agua fluye por dichos pozos en virtud de la presin hidrosttica que posee. Ver Fig.N15

Principio de Pascal

El matemtico, fsico y filsofo Blas Pascal (1623-1662) estableci el principio que lleva su nombre: Toda presin ejercida en un punto de un lquido, se transmite ntegramente en todo sentido.

E F

A B

C D

P

Fig.N15 AB Capa acufera. CD y EF capas impermeables y P pozo artesiano


32

Este principio puede determinarse como una consecuencia del teorema general de la hidrosttica. En efecto, para un lquido sometido a la presin exterior p0 , la existente a la profundidad h, se obtiene por la frmula: p = p0 + wh

es decir que la presin que se ejerce en un punto cualquiera puede considerarse como producida por dos causas. Primero por la accin de p0 que acta desde el exterior (primer sumando), y segundo por la presin proveniente del peso del lquido(segundo sumando). Por lo tanto se deduce que la presin exterior se ha transmitido ntegramente, y adems en todo sentido, pues la aplicacin de la expresin p = p0 + wh, se refiere a cualquier punto de la masa lquida. Sea la siguiente figura:

P1 A1 A2 P2

Fig.N16

Si separamos los mbolos de seccin A1 y A2 mediante un lquido, segn el principio de Pascal, son las presiones las que se transmiten ntegramente, y por lo tanto:

2

2

1

1

AP

AP

= en Kg/m2 o Kg/cm2 , pues P1 y P2 son las fuerzas que actan y A1 , A2 las

reas de las secciones de los mbolos. De lo anterior:

2

121 A

APP = P1>P2 cuando A1>A2


33

Para demostrar este principio, considrese un prisma triangular de lquido en reposo, bajo la accin del lquido que lo rodea. Ver Fig. N17.

Y P3 Z

X P2

dz dy ds

dx

dW P1

Fig.N17

Los valores de la presin sobre las tres superficies son p1 , p2 y p3. En Z las fuerzas son iguales y contrarias, por lo que se anulan.

Sumando las fuerzas en el eje X y en Y se tiene: X = 0 P2 P3sen = 0

P2 = p2(dydz) P3 = p3(dsdz) Luego: p2dydz - p3dsdzsen = 0

Y = 0

P1 P3cos - dW = 0

P1 = p1(dxdz)

= dxdydzW

21

p1dxdz p3dsdzcos -

dxdydz21 = 0

Como dy = ds seno y dx = ds cos, las ecuaciones se reducen a las siguientes:


34

p2dydz - p3dydz = 0 simplificando se tiene que, p2 - p3 = 0 p2 = p3 y

p1 p3 -

dy21 = 0

Cuando dy tiende a cero en el lmite, la presin media se vuelve uniforme en la superficie que tiende a cero y queda definida la presin en un punto. Luego al poner dy = 0 se obtiene que P1 = p3 y de aqu que p1 = p2 = p3

Principio de Arqumedes.

El matemtico y fsico Arqumedes (287 212 a.c.), enunci el principio que lleva su nombre: todo cuerpo sumergido en un lquido, recibe un empuje de abajo hacia arriba igual al peso del volumen de lquido desalojado.

Este principio puede establecerse aplicando las leyes del equilibrio de los cuerpos. Suponiendo limitada una porcin de lquido que ocupa un volumen V (ver Fig.N18), su peso ser G, y como el fluido se encuentra en equilibrio, la resultante E de las presiones que el resto del lquido ejerce sobre el volumen V, deber ser igual y contraria a G, vale decir que equivale a una fuerza dirigida de abajo hacia arriba, igual al peso del volumen del lquido, por lo tanto: E = G = wV Siendo w el peso especfico del lquido.

V

W

G

E = wV

Fig.N18


35

Las aplicaciones de este principio son numerosas; constituye el fundamento de la flotacin, se utiliza para determinar el peso especfico de los cuerpos slidos y lquidos.

El punto de aplicacin de este empuje se encuentra en el centro de gravedad del volumen desalojado. En la figura siguiente: G es el centro de gravedad del cuerpo, P su peso, y C el centro de gravedad del volumen desalojado o de aplicacin del empuje. Para hallarse en equilibrio G y C deben hallarse sobre la misma vertical y el empuje E del agua desalojada debe ser igual al peso del cuerpo, verificndose la condicin de flotacin.

P = E

P

xG

xC

E

Fig.N19

Designando por Vc el volumen del slido, V el volumen del lquido desalojado y c el peso especfico del cuerpo y w el peso especfico del fluido; el peso P del slido estar expresado por:

P = c Vc

y el empuje o peso del volumen del lquido desalojado es E = wV por lo tanto:


36

c Vc= wV

De lo que se desprende que: si c < w Vc > V lo que significa que el

cuerpo no se sumerge totalmente, sino que flota. Si c > w, la igualdad exige que Vc < V, y por no resultar ello posible, el slido se sumergir ms, no existiendo flotacin ni equilibrio.

Si suponemos que c = w, se obtiene Vc = V y nos encontramos en el estado lmite.

De lo anterior se desprende que: Un cuerpo slido sumergido en un lquido flota cuando su peso se equilibra con el empuje hidrosttico del volumen de agua que desaloja, siendo factible ello cuando su peso especfico es inferior al del lquido.

VcxV

Fig.N20


37

Ejercicios de Recapitulacin

1.- Deducir la relacin que existe entre la atmsfera mtrica y la libra por pulgada cuadrada, y entre la dina por centmetro cuadrado y el milmetro de columna de agua. Sabemos que:

a) 1 atmsfera mtrica = 1 Kg/cm2 1libra = 0,45359 Kg 1 pulg.2 = 6,451367 cm2

Luego dividiendo las dos ltimas igualdades y teniendo en cuenta la primera expresin tendremos que:

=

= 222 070309,0451367,6

45359,0.lg

1cm

Kgcm

Kgpulibra

= 22 070309,0

.lg1

cm

Kgpulibra

1 atmsfera mtrica = cm

kg1

Por lo tanto:

mtricaatmpulibra

.07039,0.lg

1 2 =

b) 2222 1,981

9810001

98011.1

m

Kgcm

Kgcm

grcm

dinabaria ====

por lo que:

=

= 2222 1,9811,98

11cm

dinam

Kgm

Kgcm

dina

y como:

1 mm de columna de agua =

21 cm

Kg 1 mm columna de agua =

21,98 cm

dina


38

2.- Cul ser la presin hidrosttica absoluta y relativa para un ro a los 20 metros de profundidad, suponiendo que sobre la superficie libre se ejerce una atmsfera de presin?.

La presin absoluta est dada por:

p = p0 + wh 1 atmsfera =

=

22 110000 cm

Kgm

Kg

tenemos que:

p = 10000 mxm

Kgm

Kg 201000 32

+

luego, p = 30000

2

m

Kg por lo tanto:

pabsoluta = 30000

2

m

Kg o

= 23 cm

Kgpabsoluta

La presin relativa se obtiene prescindiendo de la accin exterior, por lo tanto tendremos que:

prelativa = 20000

2

m

Kg o prelativa = 2

2cm

Kg

3.- Indicar para el ejercicio anterior la forma del diagrama de presiones segn que se consideren presiones absolutas o relativas. Cul ser la posicin del plano de carga hidrosttico absoluto?

Presin Absoluta:

La posicin del plano de carga hidrosttico absoluta estar dada por:


39

=

3

20

100010000

m

Kgm

Kg

w

p = 10 m

mw

p 100 =

superficie libre

h = 20 m

3 2cmKg

Presin Relativa:

Superficie libre

h = 20 m

2 2cmKg

4.- Al sumergir un cuerpo que pesa 15 gramos en un lquido de peso especfico w

=0,90[Kg/cm3] se observa una prdida de peso de 5 gramos.- Cul es el peso especfico del cuerpo?


40

Como: E = G = wV . Tenemos que el empuje que obra en el cuerpo es: E = wV = 5 gramos Despejando V se tiene que:

3

3

.556,59,0

5cm

cm

grsgrs

w

EV ===

Por lo tanto el peso especfico del cuerpo ser igual a la relacin existente entre su peso G y el volumen que ocupa, o sea:

=== 33 7,2556,5

15cm

grscm

grsVG

wc

= 37,2 cm

grswc

5.- Un cuerpo que pesa 15 Kg reduce su peso a 12 Kg en el agua y a 12,6 Kg en otro cierto lquido. Cul es el peso especfico del lquido y el peso especfico del cuerpo?. Considerando el cuerpo sumergido en el agua de peso especfico 1 Kg/dm3 puede calcular su volumen mediante la frmula del empuje que nos da el principio de Arqumedes, siendo:

E = .V = 15 12 = 3 Kg Resulta:

3

3

.31

3 dm

dmKgKgEV ===

Al sumergir el cuerpo en el segundo lquido se produce un empuje: El = lV = 15 12,6 = 2,4 Kg


41

por lo que el peso especfico de este lquido valdr:

333 8008,034,2

m

KgdmKg

dmKg

VEl

l ====

y el peso especfico del cuerpo ser igual a la relacin entre su peso y el volumen que ocupa, o bien:

333 50005315

m

KgdmKg

dmKg

VG

c ====

6.- Una superficie rectangular, horizontal de 2x5 metros est sumergida en un lago a 15 metros de profundidad; determinar la presin en un punto de la superficie y el empuje del agua sobre ella.

Se tiene como datos: w = 1000 Kg/m3

h = 15 m S = 2x5 = 10 m2

Luego:

PA = wh = 1000 x 15 = 15000 Kg/m2

F = 15000 Kg/m2 x 10 m2 = 150000 Kg

7.- Calcular el empuje horizontal y el punto de aplicacin de un rectngulo vertical sumergido de las caractersticas de la Figura.

Como el empuje horizontal que ejerce un lquido sobre una pared plana de rea A, prescindiendo de la accin exterior, es igual al producto del peso especfico del mismo por el rea de la pared y por la profundidad de su centro de gravedad. Por lo que tenemos que el empuje horizontal est dado por:


42

E= w A ZG

Siendo para este problema ZG = e profundidad del centro de gravedad y A = bh, por lo que tenemos que:

E = w b h e Y su punto de aplicacin se hallar a la distancia:

e = ZG Yc

g G g h c

b

eAI

eY Gc += para el rectngulo A = bh, el momento de inercia IG con respecto al eje g-g vale:

12

3bhIG = reemplazando se tiene que el punto de aplicacin es:

ebh

bh

eYc 12

3

+= e

heYc 12

2

+=


43

Captulo II

Hidrodinmica.-

La hidrodinmica estudia el comportamiento mecnico de los lquidos en movimiento. En sentido ms estricto estudia el comportamiento del agua en movimiento.

Se comprende fcilmente que esta parte ha de ser ms extensa y compleja que la hidrosttica, porque el agua en movimiento presenta mltiples fenmenos y caractersticas de difcil estudio en general. Sin perjuicio de enfocar los problemas analticamente, se ha tenido que acudir a la experimentacin en todo caso, para comprobar los resultados del anlisis o para corregirlos en forma adecuada. En general el agua se mueve impulsada por su propio peso, siguiendo las leyes de la dinmica de Newton.

Filete lquido.

Una partcula lquida al moverse, describe cierta trayectoria. La materializacin de esta trayectoria se llama filete lquido. Como el espacio que acaba de recorrer una partcula, es ocupado inmediatamente por la que va detrs de la primera, la materializacin del filete lquido tambin se concibe como el hilo formado por el conjunto de molculas que, una tras otra, verifican constantemente el mismo camino que realiz la primera.

Filete lquido

Fig.N21

Vena Lquida.

El movimiento comn de varias molculas situadas unas junto a otras, constituye una serie de filetes lquidos. Vena lquida es el conjunto de todos ellos. Tambin se define


44

vena lquida y en forma general vena fluida a la limitacin de una corriente por una superficie. Cualquiera sea la forma de la vena, puede considerarse que ella est formada por una seccin plana AB, que se desplaza normalmente a lo largo de la lnea de su centro MN (ver Fig.N22), pudiendo variar de forma y de dimensiones. La lnea MN es el eje geomtrico de la vena y las secciones normales al mismo reciben el nombre de secciones transversales.

El gasto o caudal unitario de una corriente es la cantidad de lquido que pasa en la unidad de tiempo por una seccin transversal dada. Cuando el peso especfico puede considerarse constante, se refiere el gasto o caudal al volumen Q de lquido que pasa en la unidad de tiempo, siendo sus unidades prcticas el metro cbico por segundo (m3/seg.) y el litro por hora (l/hora).

Si llamamos Vp a la componente normal de la velocidad de la partcula lquida que pasa por la seccin dA, el caudal elemental es:

dQ = VpdA

donde Vp en m/seg. y dA en m2, por lo tanto tendremos que dQ en m3/seg.

Vp N eje geomtrico A

dA

M B

Fig.N22

El gasto o caudal total Q en m3/seg., que pasa por la seccin transversal A, estar dado por la integral:


45

dAVQA

p=0

extendida a toda la seccin A.

Las velocidades individuales Vp de las partculas varan en los lquidos reales a lo largo de la seccin transversal, por lo cual es necesario introducir el concepto de velocidad media.

Se define como velocidad media de una seccin transversal al cociente entre el caudal Q y el rea de la seccin, o sea:

AQV =

Donde V es la velocidad media, por lo que tendremos que V estar en m/seg. Teniendo en cuenta las dos ltimas expresiones puede tambin expresarse que:

dAVAA

QVA

p==0

1 y Q = VA

por lo que, el caudal que pasa por una seccin transversal es igual al producto de la velocidad media por el rea de la seccin.

Unidad: m3/seg. = 2..

msegm

Movimiento permanente y no permanente.

En el movimiento permanente la velocidad de las partculas no depende del tiempo, sino que es funcin de la posicin que ocupan. Por lo tanto en cualquier seccin transversal las velocidades de las partculas, no varan con el tiempo, ni tampoco la velocidad media; es decir que segn la ecuacin.


46

Q = V x A

no vara tampoco con el tiempo. Por lo que se deduce que: El movimiento de un lquido en un canal o conducto se llama permanente cuando en cualquier seccin transversal el caudal se mantiene constante, es decir se verifica que:

Q1 = Q2 = Q3 = - - - - - - - - - - - - - - - Qn

Como Q = V x A resulta que:

Q1 = V1A1 Q2 = V2A2 Q3 = V3A3 Qn = VnAn

Luego:

V1A1 = V2A2 = V3A3 - - - - - - - - - - - - - - - = VnAn = constante

Si consideramos un conducto con seccin transversal circular y con dimetro D se tendr que:

V1D12 = V2D22 = V3D32 = - - - - - - - - - - - - - - - = VnD2 = constante

Estas dos ltimas expresiones reciben el nombre de ecuacin de continuidad del movimiento permanente. Segn ella el producto de la velocidad por el rea de la seccin transversal, es constante.

El movimiento permanente puede ser uniforme o variado. Es uniforme cuando las reas de las secciones son constantes (ver Fig N23).

A1 = A2 = A3 - - - - - - - - - - - - - - - = An

Por la ecuacin de continuidad tendremos que las velocidades medias tambin lo sern, es decir:


47

V1 = V2 = V3 = - - - - - - - - - - - - - - - = Vn

A1 A2 A3 Q V1 V2 V3

Fig.N23

El movimiento permanente es variado cuando se verifica, ya sea en forma gradual o brusca, que las secciones varan, o sea:

A1 o > A2 o > A3 o > - - - - - - - - - - - o > An

Debido a la ecuacin de continuidad para mantener constante A x V, en cada seccin debe corresponder una variacin inversa de las velocidades medias; o bien:

V1 o < V2 o < V3 o < - - - - - - - - - - - - o < Vn

Vale decir que a mayor seccin corresponde menor velocidad, y recprocamente a menor seccin se produce una mayor velocidad.

En el movimiento no permanente, la velocidad de la partcula vara segn la posicin que ocupa y el tiempo, por lo tanto lo mismo suceder con el caudal que tendr distinto valor segn las secciones transversales, y en cualquiera de ellas variar tambin con el tiempo t. Puede expresarse en consecuencia que en un instante dado:

Q1 o < Q2 o < Q3

Y en general para cualquier seccin que diste una distancia x de un origen determinado resulta que:

Q = f (x,t)


48

Este movimiento se presenta cuando por cualquier causa vara el caudal de los cursos de agua, canales o conductos forzados.

Radio Medio o Hidrulico.

Imaginemos un canal de seccin rectangular, con una plantilla de ancho B y un tirante d. La parte del contorno del conducto que est en contacto con el lquido recibe el nombre de permetro mojado; lo llamaremos p y es la parte abef, es decir: p = B + 2d

a f

d

b e B

Fig.N24

Llamando A la seccin del lquido, entonces el cociente:

pA

r = ( radio hidrulico)

Imaginemos diferentes cursos de agua como los que representan la fig.N25: un tubo completamente lleno (I); otro en el que el agua llega exactamente a la mitad (II); otro en el que el agua alcanza cualquier profundidad (III); y por ltimo un canal de seccin trapecial (IV) con taludes m = cotg

D D d D/2

(I) (II) (III)


49

md

d

B

(IV) Fig.N25 En el caso (I) se tiene:

441 2

DD

D

pA

r ===pi

pi

En el caso (II) el radio hidrulico tambin vale D/4 puesto que tanto el rea como el permetro mojado se han reducido a la mitad.

En el caso (III) el clculo de un segmento circular resulta un poco laborioso, por lo que se da la tabla I a la que hay que entrar con el argumento d/D y multiplicar los valores tabulados, por: D2 y por D para obtener los respectivos de A, p y r.

En el caso (IV) el radio hidrulico, el rea de la seccin y el permetro mojado se calculan con las frmulas:

pA

r =

2mdBdA +=

212 mdBp ++=

Los valores de m comnmente empleados son: m = 0 (paredes verticales); 0,5 : 1; 1 : 1; 1,5 : 1; 2 : 1 y 3 : 1.


50

Tabla I rea, permetro mojado y radio hidrulico en conductos circulares, parcialmente llenos.

Dd

2DA

Dp

Dr

Dd

2DA

Dp

Dr

.01 .0013 .2003 .0066 .51 .4027 1.5908 .2531

.02 .0037 .2838 .0132 .52 .4127 1.6108 .2561

.03 .0069 .3482 .0197 .53 .4227 1.6308 .2591

.04 .0105 .4027 .0262 .54 .4327 1.6509 .2620

.05 .0147 .4510 .0326 .55 .4426 1.6710 .2649

.06 .0192 .4949 .0389 .56 .4526 1.6911 .2676

.07 .0242 .5355 .0451 .57 .4625 1.7113 .2703

.08 .0294 .5735 .0513 .58 .4723 1.7315 .2728

.09 .0350 .6094 .0574 .59 .4822 1.7518 .2753

.10 .0409 .6435 .0635 .60 .4920 1.7722 .2776

.11 .0470 .6761 .0695 .61 .5018 1.7926 .2797

.12 .0534 .7075 .0754 .62 .5115 1.8132 .2818

.13 .0600 .7377 .0813 .63 .5212 1.8338 .2839

.14 .0668 .7670 .0871 .64 .5308 1.8546 .2860

.15 .0739 .7954 .0929 .65 .5404 1.8755 .2881

.16 .0811 .8230 .0986 .66 .5499 1.8965 .2899

.17 .0885 .8500 .1042 .67 .5594 1.9177 .2917

.18 .0961 .8763 .1097 .68 .5687 1.9391 .2935

.19 .1039 .9020 .1152 .69 .5780 1.9606 .2950

.20 .1118 .9273 .1206 .70 .5872 1.9823 .2962

.21 .1199 .9521 .1259 .71 .5964 2.0042 .2973

.22 .1281 .9764 .1312 .72 .6054 2.0264 .2984

.23 .1365 1.0003 .1364 .73 .6143 2.0488 .2995

.24 .1449 1.0239 .1416 .74 .6231 2.0714 .3006

.25 .1535 1.0472 .1466 .75 .6318 2.0944 .3017

.26 .1623 1.0701 .1516 .76 .6404 2.1176 .3025

.27 .1711 1.0928 .1566 .77 .6489 2.1412 .3032


51

.28 .1800 1.1152 .1614 .78 .6573 2.1652 .3037

.29 .1890 1.1373 .1662 .79 .6655 2.1895 .3040

.30 .1982 1.1593 .1709 .80 .6736 2.2143 .3042

.31 .2074 1.1810 .1755 .81 .6815 2.2395 .3044

.32 .2167 1.2025 .1801 .82 .6893 2.2653 .3043

.33 .2260 1.2239 .1848 .83 .6969 2.2916 .3041

.34 .2355 1.2451 .1891 .84 .7043 2.3186 .3038

.35 .2450 1.2661 .1935 .85 .7115 2.3462 .3033

.36 .2546 1.2870 .1978 .86 .7186 2.3746 .3026

.37 .2642 1.3078 .2020 .87 .7254 2.4038 .3017

.38 .2739 1.3284 .2061 .88 .7320 2.4341 .3008

.39 .2836 1.3490 .2102 .89 .7384 2.4655 .2996

.40 .2934 1.3694 .2142 .90 .7445 2.4981 .2980

.41 .3032 1.3898 .2181 .91 .7504 2.5322 .2963

.42 .3130 1.4101 .2220 .92 .7560 2.5681 .2944

.43 .3229 1.4303 .2257 .93 .7642 2.6021 .2922

.44 .3328 1.4505 .2294 .94 .7662 2.6467 .2896

.45 .3428 1.4706 .2331 .95 .7707 2.6906 .2864

.46 .3527 1.4907 .2366 .96 .7749 2.7389 .2830

.47 .3627 1.5108 .2400 .97 .7785 2.7934 .2787

.48 .3727 1.5308 .2434 .98 .7816 2.8578 .2735

.49 .3827 1.5508 .2467 .99 .7841 2.9412 .2665

.50 .3927 1.5708 .2500 1.00 .7854 3.1416 .2500

Principio de Torricelli

Altura representativa de la velocidad. En el ao 1644 el fsico Italiano Evangelista Torricelli estableci el principio que lleva su nombre y que se refiere a la velocidad que adquiere un lquido que sale por un orificio.


52

Torricelli observ que el chorro ascendente alcanzaba casi el nivel del depsito ( Fig.N26). Por lo tanto la energa potencial que el lquido posea se transformaba en energa cintica, la cual produca un trabajo que se empleaba, parte en vencer las resistencias de la salida, y parte en elevar el lquido casi a la altura de la superficie libre.

v

H

Fig.N26

La energa potencial de una partcula lquida depende entonces del nivel de la superficie libre y vale:

Ep = mgh

Siendo m la masa de la partcula, g la aceleracin de la gravedad y h el desnivel entre la superficie libre y el orificio, o sea la altura de carga sobre el eje del orificio. Esta energa potencial, en condiciones ideales, se transforma ntegramente en energa cintica o de velocidad, cuyo valor es:

2

21

mvEc = donde v es la velocidad de salida del lquido o fluido por el orificio.

Como E = 0 (principio de conservacin de la energa) Adems E = Ep Ec = 0 Ep = Ec

Por lo tanto:

2

21

mvmgh =


53

Finalmente tenemos:

v2 = 2gh ghv 2=

La frmula anterior constituye el principio de Torricelli, el cual nos establece la velocidad de salida de un lquido por un orificio, en funcin de la altura de carga h. Esta velocidad es igual a la que adquirira un cuerpo que cae libremente de la misma altura. De lo anterior, tambin podemos despejar h, resultando que:

gvh2

2

=

Vale decir que puede calcularse en funcin de la velocidad de una partcula lquida, la altura de carga necesaria para producirla. Ella recibe el nombre de altura representativa de la velocidad.

Teorema de Bernoulli

Este teorema es bsico en hidrulica, casi todas las relaciones fundamentales de las que se parte en hidrulica estn basadas en este principio.

Supongamos un conducto de forma ms o menos caprichosa para estudiar bajo que circunstancias se produce la circulacin del agua.

V1

A1

A2

V2


54

F1

A1

xG

A2 F2

P = mg

Fig.N27

Las fuerzas que estn actuando sobre la masa lquida estn dibujadas en la Fig.N27. Desde luego est sometida a su propio peso, que es la fuerza P que pasa por su centro de gravedad G.

Por otra parte tenemos que en A1 una fuerza P1 ser P1= p1A1 donde p1 es la presin producida por la fuerza P1 en la seccin A1. De igual forma se produce la fuerza de reaccin en A2, que ser P2= p2A2.

Otras fuerzas son las reacciones del tubo que provisionalmente consideraremos normales a las paredes, aunque no lo son por efecto del rozamiento; en realidad son inclinadas oponindose al sentido de la circulacin del agua.

Estudiaremos como actan las fuerzas anteriores para provocar la circulacin del agua. Si aplicamos el principio de conservacin de la energa:

E + U + W = 0

Donde E es la variacin de la energa cintica por el efecto del movimiento de la

partcula lquida en cada seccin. U es la energa potencial de una partcula,


55

considerando un nivel de referencia y W es el trabajo efectuado por las fuerzas P1 y P2 en sus correspondientes secciones.

Luego: E = 2122 2

121

mvmv ; para un diferencial de masa dm, se tendr que:

E = 2122 2

121 dmvdmv

Tomemos un plano horizontal en la Fig.N28, consideremos un desalojamiento dl1 muy pequeo de masa lquida. Luego tambin se supondr que por la seccin 1 ha pasado un volumen muy pequeo de lquido, hay que convenir que el mismo volumen ha pasado por la seccin 2 y que el desalojamiento dl2 en A2 tiene que ser mayor que en A1 porque la seccin es menor y se est considerando rgimen permanente.

Sea:

h1 = cota de la seccin 1 h2 = cota de la seccin 2 v1 = velocidad en la seccin 1 v2 = velocidad en la seccin 2 p1 = presin del lquido en la seccin 1 p2 = presin del lquido en la seccin 2

Si hacemos:

dV = volumen de lquido desalojado dm = masa de dV dP = peso de dV w = peso especfico del agua


56

P1

A1 dl1

v1

h1 dl2 A2

v2

h2 P2

Fig.N28

Tenemos que:

P = mg luego, dP = g dm

dVwdPwVPVP

w .===

Igualando:

g dm = w dV de donde, g

wdVdm =

Los trabajos realizados por las fuerzas P1 y P2 sern: W1 = P1dl1 como P1 = p1A1 se tiene que: W1 = p1A1dl1 De forma similar tendremos que: W2 = p2A2dl2 Luego:


57

W = p2A2dl2 - p1A1dl1

La energa potencial o de posicin en las secciones 1 y 2 sern:

U = dP(h2 h1)

Por lo tanto sumando todas las energas consideradas, se tendr:

21

22 2

121 dmvdmv + p2A2dl2 - p1A1dl1 + dP(h2 h1) = 0

Como: A2dl2 = A1dl1= dV

p1dV - p2dV + dP(h1 h2) = 2122 21

21 dmvdmv

como dP = w dV y g

wdVdm =

p1dV - p2dV + w dV (h1 h2) = ( )21222 vvgwdV

Dividiendo por dV:

p1 - p2 + w (h1 h2) = ( )21222 vvgw

se tiene:

gv

gvhh

w

pw

p22

21

22

2121

=+

Finalmente pasando al primer miembro los trminos que contengan ndice 1 y al segundo los que tengan ndice 2, se tiene:


58

=

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Hidraúlica para Hidrogeólogos.pdf