HIDRAULIKA 2 vežbe · 2020-04-28 · HIDRAULIKA 2 vežbe Teorijske osnove: Primena metode karakteristika za proračun neustaljenog tečenja u otvorenim tokovima Napomena: I ovaj

Tekst pripremljen na Građevinskom fakultetu Univerziteta u Beogradu – Katedra za hidrotehniku i vodno-

ekološko inženjerstvo – kabinet za hidrauliku

HIDRAULIKA 2 vežbe

Teorijske osnove: Primena metode karakteristika za proračun neustaljenog tečenja u otvorenim tokovima

Napomena: I ovaj tekst predstavlja sažetak dela teorije opisane u skriptama „Računska hidraulika-

otvoreni tokovi“ (M. Ivetić). Kroz tekst, navode se poglavlja skripti koja se preoporučuju studentima da

pročitaju pre izrade zadatka.

Osnovne jednačine linijskog (1D) neustaljenog tečenja u otvorenim tokovima (Sen-Venanove jednačine) su

takodje hiperboličkog tipa, pogodne za primenu metode karakteristika.

Polazi se od jednačina u kojima, kao osnovne zavisno promenljive figurišu dubina (h) i brzina (v):

Dinamička jednačina: 𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑔

𝜕h

𝜕𝑥− 𝑔𝐼𝑑 +

𝐶𝜏

2

𝑣2

𝑅= 0 (1)

Jedn. kontinuiteta: 𝜕h

𝜕𝑡+

𝐴

𝐵

𝜕v

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕ℎ

𝜕𝑥= 0 (2)

gde su: t – vreme, x – prostorna koordinata duž toka, Id – podužni pad dna korita, A – površina poprečnog preseka,

B – širina vodenog ogledala.

Uvođenjem nove promenljive:

𝑐 = √𝑔𝐴

𝐵 (3)

uz pretpostavku: 𝜕𝐴𝜕ℎ⁄ = 𝐵, jednačine (1) i (2) se mogu izraziti kao sistem (videti Poglavlje 4 skripti):

𝜕(𝑣+2𝑐)

𝜕𝑡+ (𝑣 + 𝑐)

𝜕(𝑣+2𝑐)

𝜕𝑥+ 𝑀 = 0 (4)

𝜕(𝑣−2𝑐)

𝜕𝑡+ (𝑣 − 𝑐)

𝜕(𝑣−2𝑐)

𝜕𝑥+ 𝑀 = 0 (5)

gde je uvedena oznaka M za članove koji se odnose na trenje i silu težine:

𝑀 = −𝑔𝐼𝑑 +𝐶𝜏

2

𝑣2

𝑅 (6)

Ako se sada uvede zavisno promenljiva x(t), takva da je:

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑣 ± 𝑐 (7)

sistem jednačina (4) i (5) se svodi na sistem koji se sastoji od 4 obične diferencijalne jednačine:

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑣 + 𝑐

𝑑(𝑣+2𝑐)

𝑑𝑡+ 𝑀 = 0

} (8)

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑣 − 𝑐

𝑑(𝑣−2𝑐)

𝑑𝑡+ 𝑀 = 0

} (9)

Ako se podsetimo primene metode karakteristika kod rešavanja matematičkog modela elastičnog udara u cevima

pod pritiskom, vidimo da je oblik jednačina identičan, pri čemu se razlikuju samo karakteristične veličine u

pojedinim članovima.

Kao i ranije, jednačine (7) predstavljaju linije u ravni prostor-vreme (x,t), koje zovemo karakteristike (pozitivna i

negativna karakteristika, zavisno od znaka u jednačini).

Osnovna razlika u odnosu na primenu metode karakteristika kod tečenja u cevima se odnosi na brzinu propagacije

poremećaja. Dok je kod matematičkog modela elastičnog udara ta brzina mogla da se usvoji kao konstantna (zbog

čega su karakteristike prave linije), ovde je brzina propagacije (c) istog reda veličine kao i brzina toka (v), pri

9. zadatak Metoda karakteristika – tečenje sa slobodnom površinom



čemu zavisi od dubine vode. Zbog toga, u opštem slučaju karakteristike nisu prave linije, kao što je to slučaj kod

cevi pod pritiskom. Ova činjenica znatno otežava primenu metode karakteristika u praksi. Stoga metoda

karakteristika nije mnogo zastupljena u primeni, ali se može efikasno koristiti, na primer, kod problema sa

približno horizontalnim dnom, relativno velikim dubinama i malim brzinama, odnosno kod problema u kojima

trenje nije dominantno.

Slika 1. Pozitivna (levo) i negativna (desno) karakteristika

Sa Slike 1 vidimo da međusobni položaj tačaka A i B, u odnosu na tačku P (u kojoj tražimo rešenje za nepoznatu

brzinu i dubinu) nisu unapred poznati (kao što je to bio slučaj kod tečenja u cevima), već je taj položaj deo rešenja.

Drugim rečima, simultano je potrebno rešavati sledeći sistem jednačina u kojima figurušu 4 nepoznate (vP, hP, xP

i tP):

(𝑣𝑃 + 2𝑐𝑃) = (𝑣𝐴 + 2𝑐𝐴) + ∫ (−𝑀)𝑑𝑡𝑡𝑃

𝑡𝐴

𝑥𝑃 = 𝑥𝐴 + ∫ (𝑣 + 𝑐)𝑑𝑡𝑡𝑃

𝑡𝐴

(𝑣𝑃 − 2𝑐𝑃) = (𝑣𝐵 + 2𝑐𝐵) + ∫ (−𝑀)𝑑𝑡𝑡𝑃

𝑡𝐵

𝑥𝑃 = 𝑥𝐵 + ∫ (𝑣 − 𝑐)𝑑𝑡𝑡𝑃

𝑡𝐵

Za ocenu vrednosti integrala na desnim stranama prethodnih jednačina, potrebno je primeniti neku od metoda

numeričke integracije. Tako se dolazi do numeričkog modela. Na primer, najjednostavniji način bi bila primena

Ojlerove metode:

(𝑣𝑃 + 2𝑐𝑃) = (𝑣𝐴 + 2𝑐𝐴) − (𝑡𝑃 − 𝑡𝐴)𝑀𝐴

𝑥𝑃 = 𝑥𝐴 + (𝑡𝑃 − 𝑡𝐴)(𝑣𝐴 + 𝑐𝐴)

(𝑣𝑃 − 2𝑐𝑃) = (𝑣𝐵 − 2𝑐𝐵) − (𝑡𝑃 − 𝑡𝐵)𝑀𝐵

𝑥𝑃 = 𝑥𝐵 + (𝑡𝑃 − 𝑡𝐵)(𝑣𝐵 − 𝑐𝐵)

gde se vrednosti integrala računaju na osnovu vrednosti promenljivih na početku vremenskog intervala (tačke A i

B).

Ako se zanemare sila težine (pad dna) i trenje, odnosno, ako iz prethodnih jednačina uklonimo član M, numerička

šema se znatno pojednostavljuje. Vidi se da u tom slučaju vrednosti (𝑣 ± 2𝑐) (koje se nazivaju Rimanove

invarijante) ostaju konstantne duž pozitivne, odnosno negativne karakteristike:

(𝑣 + 2𝑐) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. duž pozitivne karakteristike, i

(𝑣 − 2𝑐) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. duž negativne karakteristike.



HIDRAULIKA 2 vežbe

9. zadatak Metoda karakteristika – tečenje sa slobodnom površinom



*** Objašnjenje uz vežbu ***

U kanalu u kom miruje voda, u jednom trenutku počne da se upumpava neka količina vode (prema zadataom

hidrogramu), i potrebno je kako će se tokom vremena promeniti brzine i dubine u 3 preseka (uzvodni, na sredini

kanala i nizvodni).

Da bi se rešile dve nepoznate u svakom od preseka, potrebno je postaviti dve jednačine – parcijalne diferencijalne

jednačine koje opisuju tečenje sa slobodnom površinom (Sen-Venanove), sastoje se od jednačine održanja mase

(10) i jednačine održanja količine kretanja (11) i u slučaju prizmatičnih kanala se mogu zapisati u sledećem obliku:

𝜕ℎ

𝜕𝑡+

𝐴

𝐵∙

𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣 ∙

𝜕ℎ

𝜕𝑥= 0

(10)

𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑔 ·

𝜕ℎ

𝜕𝑥− 𝑔 · 𝐼𝐷 + 𝑔 · 𝑛2 ·

𝑣|𝑣|

𝑅4

3⁄= 0

(11)

gde su:

h – dubina vode

B – širina vodenog ogledala

v – srednja profilska brzina vode

t – vreme

x – prostorna kooordinata

A – površina poprečnog preseka

ID – podužni nagib dna kanala (u decimalnom obliku)

g – gravitaciono ubrzanje

n – Maningov koeficijent trenja (jednačina se često piše tako da se sila trenja opisuje pomoću koeficijenta napona

trenja, Cτ, umesto Maningovog koeficijenta. Veza ove dve veličine je: 𝐶𝜏 = 2 ∙ 𝑔 ∙ 𝑛2 ∙ 𝑅−1/3)

R – hidraulički radijus

Članovi u dinamičkoj jednačini (11) pokazuju sledeće:

𝜕𝑣

𝜕𝑡 - Lokalno ubrzanje

𝑣 ∙𝜕𝑣

𝜕𝑥 - Konvektivno ubrzanje

𝑔 ·𝜕ℎ

𝜕𝑥 - sila pritiska u pravcu toka po jedinici mase

−𝑔 · 𝐼𝐷 - komponenta sile težine u pravcu toka po jedinici mase

𝑔 · 𝑛2 ·𝑣|𝑣|

𝑅4

3⁄ - sila trenja po jedinici mase

ho

Q Const.

1 2 3

0 L/2 L

x



Jednačine (10) i (11) se mogu rešiti nekom od numeričkih metoda za dinamički talas ili metodom karakteristika.

Metoda karakteristika predstavlja jednu od najopštijih metoda rešavanja neustaljenog tečenja vode. Slično kao i

kod tečenja vode u cevima pod pritiskom, matematički postupak rešavanja podrazumeva da se parcijalne

diferencijalne jednačine koje opisuju tečenje (jednačina održanja mase i jednačina održanja količine kretanja)

svedu na obične diferencijalne jednačine, koje mogu numerički da se reše. Svođenje parcijalnih diferencijalnih

jednačina na obične uključuje grupisanje parcijalnih izvoda funkcije (dubine i brzine, ili njihove kombinacije)

tako da oni formiraju pun izvod.

Podsetnik – veza punog i parcijalnog izvoda 𝑑𝑣(𝑥, 𝑡)

𝑑𝑡=

𝜕𝑣

𝜕𝑡+

𝜕𝑣

𝜕𝑥∙

𝑑𝑥

𝑑𝑡

Pun izvod funkcije koja zavisi od dve promenljive (npr. brzine koja zavisi od prostorne koordinate i vremenskog

trenutka, v(x, t)) po jednoj promenljivoj jeste zbir parcijalnog izvoda po toj promenljivoj (𝜕𝑣

𝜕𝑡) i parcijalnog

izvoda po drugoj promenljivoj pomnoženog izvodom promenljive po promenljivoj (𝜕𝑣

𝜕𝑥∙

𝑑𝑥

𝑑𝑡).

Izražavanjem dubine, h, pomoću brzine prostiranja gravitacionih talasa c (𝑐 = √𝑔 ∙𝐴

𝐵 ) i grupisanjem parcijalnih

izvoda tako da se formira pun izvod***, dve parcijalne diferencijalne jednačine (10 i 11) se svode na četiri

obične diferencijalne (12, 13, 14, 15):

𝑑(𝑣 + 2 ∙ 𝑐)

𝑑𝑡= −𝑀

koja važi duž pozitivne karakteristike: 𝑑𝑥


(12)

(13)

𝑑(𝑣 − 2 ∙ 𝑐)

𝑑𝑡= −𝑀

koja važi duž negativne karakteristike: 𝑑𝑥


(14)

(15)

gde je:

𝑀 = −𝑔 · 𝐼𝐷 + 𝑔 · 𝑛2 ·𝑣|𝑣|

𝑅4

3⁄

(16)

*** Detalje izvođenja pogledati u delu sa teorijskim osnovama

Jednačine (13) i (15) je moguće nacrtati u računskom prostoru (računski prostor na horizontalnoj osi ima prostor,

a na vertikalnoj ima vreme), i te krive predstavljaju karakteristike. Na slici 2 nacrtana je familija pozitivnih

(jednačina (13), plave) i familija negativnih karakterstika (jednačina (15), žute). Nagib tangente u svakoj tački

linije koja predstavlja karakteristiku je dat jednačinom (13) za pozitivne, odn. jednačinom (15) za negativne

karakteristike. Na slici 2 prikazan je samo jedan deo karakteristika koje se mogu povući. U svakoj tački računskog

prostora se može definisati pozitivna i negativna karakteristika (makar one bile i imaginarne).



Slika 2. Računski prostor (x,t) sa nacrtanom familijom pozitivnih (plave) i negativnih (žute) karakteristika za

slučaj mirnog tečenja, Fr < 1. Smer brzine v u smeru pozitivnog dela x-ose, v > 0. Nagib tangente u svakoj

tački karakteristike je dat jednačinama (13) i (15). Obratiti pažnju na znak u jednačinama i na oznaku prostorne

koordinate i vremenskog trenutka

Na slici 3 prikazan je računski prostor sa karakteristikama koje odgovaraju burnom tečenju, tj. uslovu da je Fr > 1.

Slika 3. Računski prostor (x,t) sa nacrtanom familijom pozitivnih (plave) i negativnih (žute) karakteristika za

slučaj burnog tečenja, Fr > 1. Smer brzine v u smeru pozitivnog dela x-ose, v > 0. Nagib tangente u svakoj tački

karakteristike je dat jednačinama (13) i (15)

*** Pitanja za razmišljanje ***

1. Koja brzina je veća pri mirnom tečenju: srednja profilska brzina, v, ili brzina prostiranja gravitacionih

talasa, c? Od čega zavisi odnos ove dve brzine? Šta je Frudov broj?

2. Zašto je ugao koji tangente na linije negativnih karakteristika zaklapaju sa x-osom oštar za slučaj

burnog tečenja? Primetiti da u slučaju mirnog tečenja negativne karakteristike zaklapaju tup ugao sa x-

osom.

C+

C+

C+

C+

C+

C- C

-

C-

C-

C-

t

x xi

tn

tm

xj

C+

C+

C+

C+

C+

C-

C-

C-

C-

C-

t

x xi

tn

tm

xj



3. Kako se prostiru poremećaji u burnom, a kako u mirnom tečenju?

4. Da li se nagib karakteristika pri određenom režimu tečenja poklapa sa prostiranjem poremećaja pri tom

režimu? Pogledati sliku 4 kako se prostiru karakteristike iz jedne tačke (gde je npr. upao kamen i

napravio poremećaj) za slučaj mirnog (levo) i burnog (desno) tečenja.

Slika 4. Računski prostor (x,t) sa karakteristikama za slučaj mirnog (levog) i burnog tečenja (desno) koje kreću

iz tačke P

5. Kakav je nagib negativne karakteristike kada je Fr = 1?

6. Na slici 6 prikazano je da je za mirno tečenje potrebno poznavati 2 granična uslova: jedan sa uzvodne i

jedan sa nizvodne strane. Ujedno, potrebno je poznavati i dva početna uslova za svaku računsku tačku

domena (npr. dubinu i brzinu). Koliko je potrebno poznavati graničnih uslova i gde za slučaj burnog

tečenja?

Slika 6. Računski prostor (x,t) sa karakteristikama za slučaj mirnog tečenja sa prikazanim potrebnim brojem

graničnih (obeleženo sa (1)) i početnih uslova (isprekidane, odn. imaginarne karakteristike koje ulaze u domen,

obeleženo sa (2))

*** Uprošćenje ***

Često se razmatraju kanali koji imaju jako mali pad (praktično horizontalno dno) i u njima se dodatno zanemari

trenje. U tom slučaju je M (jednačina 16) jednako nuli, a jednačine (12) i (14) postaju:

𝑑(𝑣 + 2 ∙ 𝑐)

𝑑𝑡= 0

koja važi duž pozitivne karakteristike: 𝑑𝑥


(17)

(13)

𝑑(𝑣 − 2 ∙ 𝑐)

𝑑𝑡= 0

koja važi duž negativne karakteristike: 𝑑𝑥


(18)

(15)

C- C+ C

-

C

+

Fr < 1 Fr > 1

t t

x x

uzvodno nizvodno 2x nizvodno



Ako je izvod funkcije jednak nuli (kao što je u slučaju jednačina 17 i 18) to znači da je ta funkcija konstantna.

Drugim rečima, važi sledeće:

𝐼+ = (𝑣 + 2𝑐) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. duž pozitivne karakteristike, tj 𝑑𝑥


𝐼− = (𝑣 − 2𝑐) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. duž negativne karakteristike, tj 𝑑𝑥


Izrazi I+ i I- se nazivaju Rimanove invarijante. PRIMETITI: Rimanove invarijante imaju 2c, a nagib samo 1c!

*** Rešavanje zadatka primenom Rimanovih invarijanti u zoni prostog talasa ***

Metoda karakteristika koja se primenjuje za rešavanje ovog zadatka predstavlja ručni postupak. Potrebno je:

1. Odrediti početne uslove (vrednosti promenljivih – brzine i dubine u svim delovima kanala)

2. Odrediti granične uslove (uzvodni granični – hidrogram; nizvodni granični – konstantan nivo)

3. Skicirati računski prostor na kom su ucrtani granični uslovi

4. U računskom prostoru nacrtati mrežu karakteristika na osnovu kojih će se primenom Rimanovih

invarijanti rešiti nepoznate veličine.

Primer:

Na osnovu ovoga je potrebno skicirati računski prostor.

1, 2, 3 – obeležje preseka (na početku, na sredini i na kraju kanala)

A, B, C – oznake karakteristika

Na slici 7 nacrtan je računski prostor (x,t), sa čije leve strane je uzvodni granični uslov (hidrogram), sa desne

strane nizvodni granični uslov (konstantan nivo). Nacrtane su i dve karakteristike:

- Karakteristika A –plava – poslednja neporemećena pozitivna karakteristika čiji je nagib 𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑣𝑜 + 𝑐𝑜

- Karakteristika M – žuta – poslednja neporemećena negativna karakteristika čiji je nagib 𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑣𝑜 − 𝑐𝑜

Primetiti da na crtežu postoje sledeće zone:

1. Neporemećena

2. Zona prostog talasa (sve karakteristike iz jedne familije krivih, u ovom slučaju negativne, dolaze

isključivo iz neporemećene zone; oivičena je poslednjom neporemećenom pozitivnom i poslednjom

neporemećenom negativnom karakteristikom)

3. Zona složenog talasa

L (m) = 100

B (m) = 5

ho (m) = 3 Početni uslov

vo (m/s) = 0



Slika 7. Računski prostor (x,t), uzvodni (levo, hidrogram) i nizvodni (desno, nivogram) granični uslovi.

Neporemećena zona (zeleno), Zona prostog talasa (sve negativne karakteristike u ovu zonu dolaze iz

neporemećene zone), Zona složenog talasa (sve karakteristike nose poremećaje)

ho

Q Const.

1 2 3

0 L/2 L

Q x h 1 2 3

t t t

Neporemećena zona

h = ho, v = vo

Zona prostog talasa

Sve C- karakteristike u ovoj zoni dolaze iz

neporemećene zone

Zona složenog talasa




Označene tačke za proračun.

Primetiti kako je nagib dve negativne karakteristike koje su nacrtane isti (𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑣0 − 𝑐0)

Za svaku od tačaka koje odgovaraju za sada povučenim karakteristikama, potrebno je odrediti vreme koje im

odgovara.

Tačka A1.

𝑡𝐴1 = 0𝑠; ℎ𝐴1 = ℎ0 = 3 𝑚; 𝑣𝐴1 = 0 𝑚/𝑠

Tačka A2.

𝑡𝐴2 = 𝑡𝐴1 + 𝐿

2⁄

𝑣0 + 𝑐0= 0 𝑠 +

1002⁄

0 + √9.81 ∙ 3= 9.22 𝑠

U gornjoj jednačini pri proračunu gravitacione brzine primenjeno je 𝑐0 = √𝑔 ∙𝐴0

𝐵= √𝑔 ∙ ℎ0, L/2 je dužina puta

koja se pređe brzinom (vo + co).

ℎ𝐴2 = ℎ0 = 3 𝑚; 𝑣𝐴2 = 0 𝑚/𝑠

Q x h 1 2 3

t t t

Neporemećena zona

h = ho, v = vo

A1

A2

A3 = M3

M2

M1

tM1

tM2

tA3 = tM3

tA2

tA1

C+

C-

C-

?



Dubina i brzina u tački računskog prostora A2 može se dobiti i korišćenjem metode karakteristika:

C+ iz A1: 𝑣𝐴1 + 2 ∙ 𝑐𝐴1 = 𝑣𝐴2 + 2 ∙ 𝑐𝐴2

i C- iz neporemećene zone: 𝑣0 − 2 ∙ 𝑐0 = 𝑣𝐴2 − 2 ∙ 𝑐𝐴2

Smenom da je c= √𝑔 ∙ ℎ, može se odrediti ℎ𝐴2 = ℎ0 = 3 𝑚 odn. 𝑣𝐴2 = 0 𝑚/𝑠 (što je unapred bilo poznato jer

je karakteristika A uočena kao poslednja neporemećena pozitivna karakteristika, a sve negativne karakteristike

koje joj idu u susret su takođe neporemećene).

Zaključak: susret dve neporemećene karakteristike = neporemećeno stanje

Tačka A3 odn. Tačka M3.

𝑡𝐴3 = 𝑡𝑀3 = 𝑡𝐴1 + 𝐿

𝑣0 + 𝑐0= 0 𝑠 +

100

0 + √9.81 ∙ 3= 18.43 𝑠

ℎ𝐴3 = ℎ𝑀3 = ℎ0 = 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑖č𝑛𝑖 𝑢𝑠𝑙𝑜𝑣 = 3 𝑚; 𝑣𝐴3 = 𝑣𝑀3 = 0 𝑚/𝑠

Tačka M2.

𝑡𝑀2 = 𝑡𝑀3 + 𝐿

2⁄

|𝑣0 − 𝑐0|= 18.43 𝑠 +

1002⁄

|0 − √9.81 ∙ 3|= 27.65 𝑠

Da bi se odredila dubina i brzina tačke M2, potrebno je odrediti odakle stiže pozitivna karakteristika do tačke M2.

To će, za sada, biti preskočeno. Ono što je bitno, jeste da posle 27.65 s, u preseku 2 počinje složen talas.

Rešenje za brzinu i dubinu u ovoj tački se traži u preseku C+ koja stiže do M2 i negativne karakteristike M (iz M3).

Tačka M1.

𝑡𝑀1 = 𝑡𝑀3 + 𝐿

|𝑣0 − 𝑐0|= 18.43 𝑠 +

100

|0 − √9.81 ∙ 3|= 46.08 𝑠

Dubina i brzina u tački M1 se određuju iz sledećih uslova:

1. Granični uslov – poznat protok, tj poznata je veza između dubine i brzine:

𝑄(𝑡𝑀1) = ℎ𝑀1 ∙ 𝐵 ∙ 𝑣𝑀1 = 21 𝑚3/𝑠. Protok je očitan sa grafika za 46.08 s.

2. C- iz M3

𝑣𝑀3 − 2 ∙ 𝑐𝑀3 = 𝑣𝑀1 − 2 ∙ 𝑐𝑀1

tj. 𝑣𝑀3 − 2 ∙ √𝑔 ∙ ℎ𝑀3 = 𝑣𝑀1 − 2 ∙ √𝑔 ∙ ℎ𝑀1 → 0 − 2 ∙ √9.81 ∙ 3 = 𝑣𝑀1 − 2 ∙ √9.81 ∙ ℎ𝑀1

Ove dve jednačine se rešavaju probanjem….

ℎ𝑀1 = 3.67 𝑚; 𝑣𝑀1 = 1.15 𝑚/𝑠

Sličan postupak se sada ponavlja – povlači se nova pozitivna karakteristika (na Slici 9, obeležena sa B) i računaju

se sve nepoznate veličine u tri preseka. Ovaj postupak treba primeniti onoliko puta koliko je potrebno da bi se

dobilo dovoljno podataka za crtanje grafika promene dubine i brzine u presecima 1, 2, i 3. Npr. treba povući

karakteristiku koja je 2s posle A, pa jos 2s, … pa da se pogodi 8s, pa 9s itd.




Dodata pozitivna karakteristika B (tB1 = 2s).

Tačka B1.

𝑡𝐵1 = 2𝑠; (proizvoljno izabrano)

Dubina i brzina u tački B1 se određuju iz sledećih uslova:

1. Granični uslov – poznat protok, tj poznata je veza između dubine i brzine:

𝑄(𝑡𝐵1) = ℎ𝐵1 ∙ 𝐵 ∙ 𝑣𝐵1 = 6 𝑚3/𝑠. Protok je očitan sa grafika za 2 s.

2. C- iz neporemećene zone

𝑣0 − 2 ∙ 𝑐0 = 𝑣𝐵1 − 2 ∙ 𝑐𝐵1

tj. 𝑣0 − 2 ∙ √𝑔 ∙ ℎ0 = 𝑣𝐵1 − 2 ∙ √𝑔 ∙ ℎ𝐵1 → 0 − 2 ∙ √9.81 ∙ 3 = 𝑣𝐵1 − 2 ∙ √9.81 ∙ ℎ𝐵1

Ove dve jednačine se rešavaju probanjem….

ℎ𝐵1 = 3.21 𝑚; 𝑣𝐵1 = 0.374 𝑚/𝑠

Tačka B2.

𝑡𝐵2 = 𝑡𝐵1 + 𝐿

2⁄

𝑣𝐵1 + 𝑐𝐵1= 2 𝑠 +

1002⁄

0.374 + √9.81 ∙ 3.21= 10.35 𝑠

Q x h 1 2 3

t t t

Neporemećena zona

h = ho, v = vo

A

M

C+

C-

C-

C-

tB3

tB2

tB1

B2

B3

B1



Dubina i brzina u tački računskog prostora B2 može se dobiti:

1. C+ iz B1: 𝑣𝐵1 + 2 ∙ 𝑐𝐵1 = 𝑣𝐵2 + 2 ∙ 𝑐𝐵2

2. C- iz neporemećene zone: 𝑣0 − 2 ∙ 𝑐0 = 𝑣𝐵2 − 2 ∙ 𝑐𝐵2

Ove dve jednačine mogu da se saberu i tako reši brzina, a onda …. ℎ𝐵2 = 3.21 𝑚 odn. 𝑣𝐵2 = 0.374 𝑚/𝑠

Tačka B3

𝑡𝐵3 = 𝑡𝐵1 + 𝐿

𝑣𝐵1 + 𝑐𝐵1= 2 𝑠 +

100

0.374 + √9.81 ∙ 3.21= 18.71 𝑠

1. C+ iz B1: 𝑣𝐵1 + 2 ∙ 𝑐𝐵1 = 𝑣𝐵3 + 2 ∙ 𝑐𝐵3

2. Granični uslov poznata dubina

ℎ𝐵3 = ℎ0 = 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑖č𝑛𝑖 𝑢𝑠𝑙𝑜𝑣 = 3 𝑚; 𝑣𝐵3 = 0.748 𝑚/𝑠

Potrebno je postupak sprovesti za 4s, 6s, 8s, 9s… onoliko koliko je potrebno da se napravi dijagram promene

brzine i dubine.

Ceo zadatak ima:

Matematički postupak, početne i granične uslove, skiciran računski prostor sa svim karakteristikama (slike 7, 8,

9), proračun tačaka u računskom prostoru i grafici promene dubina i brzina.

U nastavku je dat oblik dijagrama (crteže shvatiti samo okvirno).



*** Procena uticaja trenja ***

Ovaj deo proračuna je dovoljno sprovesti samo za jednu tačku, kako bi se pokazao uticaj trenja. U okviru teorijskih

osnova je dat način rešavanja diferencijalne jednačine duž pozitivne karakteristike između tačaka A i P:

(𝑣𝑃 + 2𝑐𝑃) = (𝑣𝐴 + 2𝑐𝐴) − (𝑡𝑃 − 𝑡𝐴) ∙ 𝑀𝐴

Koji može da se prilagoditi proračunu između tačaka B1 i B2 (tačke su izabrane proizvoljno), na osnovu kojih

može da se sračuna dubina i brzina u tački B2 sa uticajem trenja.

(𝑣𝐵2 + 2𝑐𝐵2) = (𝑣𝐵1 + 2𝑐𝐵1) − (𝑡𝐵2 − 𝑡𝐵1) ∙ 𝑀𝐵1

ℎ𝐵1 = 3.21 𝑚; 𝑣𝐵1 = 0.374 𝑚/𝑠

𝑡𝐵1 = 2𝑠; 𝑡𝐵2 = 10.35 𝑠

Dubina i brzina u tački B2 se određuje iz pozitivne karakteristike iz B1 i negativne karakteristike iz neporemećene

zone:

1. (𝑣𝐵2 + 2 ∙ 𝑐𝐵2) = (𝑣𝐵1 + 2 ∙ 𝑐𝐵1) − (𝑡𝐵2 − 𝑡𝐵1) ∙ (−𝑔 ∙ 0 + 𝑔 · 𝑛2 ·𝑣𝐵1|𝑣𝐵1|

𝑅𝐵14

3⁄)

2. 𝑣0 − 2 ∙ 𝑐0 = 𝑣𝐵2 − 2 ∙ 𝑐𝐵2

Documents

HIDRAULIKA 2 vežbe · 2020-04-28 · HIDRAULIKA 2 vežbe Teorijske osnove: Primena metode karakteristika za proračun neustaljenog tečenja u otvorenim tokovima Napomena: I ovaj