FısicaGuıa de Materia

HidrodinamicaModulo Electivo

III Medio

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Nicolas Melgarejo, Veronica SaldanaLicenciados en Ciencias Exactas, U. de ChileEstudiantes de Licenciatura en Educacion, U. de Chile

1. Fluidos en movimiento

A continuacion estudiaremos el comportamiento de fluidos en movimiento en funcion de propiedadescomo la presion y densidad. Tal estudio de la dinamica de los fluidos puede ser en extremo compleja alaumentar el numero de factores que influyen su comportamiento, por lo que en este caso nos centraremosen el caso mas ideal de todos para el cual definiremos un fluido ideal que tiene ciertas caracterısticasespeciales que simplificara el estudio.

1.1. Flujo ideal

Cuando un fluido se mueve puede presentar un comporta-miento “ordenado” en donde las trayectorias de las partıculasdentro del flujo no se cruzan entre sı, en tal caso diremos quese trata de un flujo laminar o estacionario, para el cuallas partıculas forman capas o laminas que se mueven sin quehaya un intercambio significativo de partıculas entre laminasvecinas. Si por el contrario el fluido es mas bien “desorde-nado” en donde las trayectorias de las partıculas dentro delflujo se curvan, cruzan y enroscan, diremos que estamos en presencia de un flujo turbulento.

Esto ocurre cuando un flujo que se comporta como laminar sobrepasa cierta velocidad crıtica quedescribe la ecuacion de Reynolds, la cual depende de la viscosidad, densidad y diametro de la tuberıa,entre otros. Un flujo turbulento se caracteriza por ser irregular y poseer torbellinos o vortices, los queejercen friccion sobre el fluido y disipan parte de la energıa. Es a esta friccion u oposicion al movimientoa la que llamamos viscosidad, cumpliendose que: cuando un fluido es mas viscoso existe mayorfriccion entre sus capas, lo que hace mas difıcil el movimiento, siendo la viscosidad analoga alroce entre dos superficies rugosas.

En este sentido diremos que un flujo ideal es aquel que es:

No viscoso: Las laminas no interactuan entre sı, ni con las paredes que lo contienen.

Incompresible: La densidad es constante independiente de la presion ejercida.

Estacionario: Toda partıcula sigue una trayectoria definida que no se cruza con la de las otraspartıculas.

No rotacional: No presenta remolinos o vortices.

1.2. Lıneas de flujo

Se le denomina a las lıneas que representan la trayectoria uniforme de una partıcula pequena dentrode un flujo laminar, tal partıcula describe la misma trayectoria que una partıcula de fluido que va enfrente, de este modo el vector velocidad en un punto es tangente a la lınea de flujo en tal lugar.

2

La magnitud de la velocidad de un fluido esta directamente relacionada con la distancia entre las lıneasde flujo, siendo mayor la rapidez en los sectores en donde las lıneas estan mas juntas que en aquellos dondeestan dispersas unas de otras.

1.3. Ecuacion de continuidad

Tomemos en cuenta un flujo laminar que circula por unatuberıa que posee una seccion transversal no uniforme co-mo se muestra en la figura. Si la tuberıa no posee aguje-ros donde se pueda perder o agregar fluido, el volumenque pasa por cualquier seccion transversal del tu-bo es el mismo, a pesar de que se ensanche o seangoste. En particular, podemos decir que la cantidad defluido que entra es igual a la cantidad que sale de la tu-berıa.

Cuando el flujo es continuo aumenta su rapidez en las zonas en donde el tubo es angosto y la disminuyeen las zonas anchas, todo esto para que se cumpla que el volumen que pasa es igual siempre. Veamosun analisis matematico de lo que hemos descrito fenomenologicamente para un intervalo de tiempo ∆t,en tal caso por la cara 1 del tubo de area A1, ha entrado una cantidad de volumen que se desplaza unadistancia ∆x1. En ese mismo tiempo ha salido fluido del tubo por la cara 2 de area A2, desplazandoseuna distancia ∆x2. Por lo tanto, el volumen de entrada es:

Ventrada = A1 · ∆x1

y el de salida es:

Vsalida = A2 · ∆x2

Como el volumen de entrada y salida deben ser iguales tenemos que:

Ventrada = Vsalida

A1 · ∆x1 = A2 · ∆x2

Como todo esto ocurrio en un mismo intervalo de tiempo ∆t:

A1 · ∆x1

∆t=A2 · ∆x2

∆t

Lo que puede ser reescrito como:

3

A1 · v1 = A2 · v2 (1)

donde v1 y v2 son las rapideces del fluido en los dos puntos analizados. La ecuacion (1) se conoce como laecuacion de continuidad de un fluido y es una consecuencia de considerar la conservacion de la materiaen el proceso. Podemos decir que el producto de la rapidez por el area de la seccion transversal por dondepasa el fluido es constante a lo largo de la tuberıa, a esa cantidad constante se le ha dado el nombre decaudal Q, la cual posee unidades de volumen sobre tiempo que en el sistema internacional corresponde

a[m3

s

].

Q = A · v = A · ∆x

∆t=

V

∆t(2)

donde A · ∆x es igual a un volumen V . Otra manera de interpretar la ecuacion (2) es afirmar que elarea transversal de una tuberıa es inversamente proporcional a la rapidez del fluido en tal punto, lo cualcorrobora lo que hemos descrito antes fenomenologicamente.

. Ejemplo

Si por una manguera de diametro interior 5 · 10−2[m] circula agua a 3[cms

]¿cuanto es el flujo dentro de

la manguera? Si se adhiere al final de la manguera otra de diametro interno 2, 5 · 10−2[m], ¿cuanto varıael flujo? ¿Que rapidez tendra el agua en la manguera adicional?

Solucion: El flujo se define como Q = A · v, como conocemos el diametro de la manguera y la rapi-dez del fluido podemos calcularlo considerando que la manguera es un cilindro de cara circular.

Q = A · v= π · r2 · v

= π ·(

5 · 10−2[m]

2

)2

· 3 · 10−2[ms

]≈ 3, 68 · 10−8

[m3

2

]= 3, 68 · 10−2

[cm3

s

]El principio de continuidad nos dice que el flujo Q permanece constante, por lo tanto, no varıa. Por otraparte, la rapidez cambia al pasar por una zona mas estrecha, de hecho es un diametro 2 veces menor alanterior, lo que implica una disminucion de 4 veces entre un area y la otra, por lo tanto, la rapidez debeaumentar cuatro veces para que el producto de rapidez y area, que es el flujo, permanezca constante.Ası la rapidez v2 en la manguera adicional sera:

v2 = 4 · 3, 68 · 10−2

[cm3

s

]= 0, 1472

[cm3

s

]

Desafıo...

En una tuberıa en donde no hay fugas de fluido, ¿cuanto debe cambiar el radio dela tuberıa para que la rapidez disminuya nueve veces? Respuesta

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1.4. Principio de Bernoulli

En el siglo XVIII el cientıfico suizo Daniel Barnoulli estudio el comportamiento de flujos de fluidos entuberıas, descubriendo un principio que lleva su nombre y puede ser enunciado como:

En el lugar donde la velocidad de un fluido aumenta, su presion interna disminuye.

Siguiendo la logica de las lıneas de flujo que explicamos anteriormente, donde las lıneas se encuentranmas cercanas unas de otras la rapidez es mayor y por el principio de Bernoulli la presion interna es menor.Por el contrario, si las lıneas estan mas separadas la rapidez es menor y, por lo tanto, la presion interna esmayor. Una consecuencia notable de este principio es que al tener un fluido laminar con burbujas de aireen su interior como se muestra en la figura, las burbujas crecen al pasar por los sectores mas estrechosdel tubo, donde la rapidez es mayor y la presion interna es menor.

Este principio puede ser deducido desde el principio de conservacion de la energıa mecanica, aunqueBernoulli increıblemente lo desarrollo mucho tiempo antes de que se formalizara el concepto de energıa.El analisis energetico en lıquidos es muy complejo, pero al considerar un fluido ideal como el que hemosdefinido, solo tenemos que fijarnos en tres terminos de la energıa: la potencial gravitatoria, cinetica yel trabajo ejercido por las fuerzas de presion. En un flujo uniforme la suma de estas tres componentes(cinetica, potencial, trabajo) en un punto de la tuberıa, es igual que la suma en cualquier otro puntode la misma lınea de flujo. Por ejemplo, si la elevacion de la tuberıa no cambia, la energıa potencialpermanecera constante y quedaran solo los terminos del trabajo de la presion y la energıa cinetica, porlo tanto, cuando uno de estas dos variables aumenta, la otra debe disminuir: si la presion aumenta enun punto, la velocidad disminuye en el mismo lugar.

Consideremos una tuberıa como la que se mues-tra en la figura por la que circula un fluido idealque viaja de la cara 1, a una altura h1, a la cara2, a una altura h2. Es evidente que para que en-trara y saliera flujo, este tuvo que cruzar toda lacanerıa, pero para efectos de energıa en el siste-ma en determinado tiempo ∆t, es equivalente es-tudiarlo como un movimiento del fluido contenidoen la seccion ∆x1 hasta la cara 2 del recipiente.Esto debido a que el unico cambio en el sistemaen el intervalo ∆t esta dado por los volumenesque entran y salen, lo demas permanece invarian-te.

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El trabajo sobre un sistema mecanico se evidencia en un aumento de la energıa cinetica o de su energıapotencial, por lo tanto, el trabajo total W sobre un sistema es igual a la suma de la variacion de la energıacinetica ∆K mas la variacion de la energıa potencial ∆U :

∆K + ∆U = W (3)

El trabajo mecanico debido a las fuerzas externas es efecto directo de la presion sobre las caras 1 y 2siendo igual a:

W = F1 · ∆x1 − F2 · ∆x2

El signo negativo del trabajo sobre la cara 2 se debe a que la fuerza F2 tiene sentido opuesto almovimiento del flujo ∆x2. Escrito en terminos de la presion externa en cada cara:

W = P1 ·A1 · ∆x1 − P2 ·A2 · ∆x2

Notar que A1 · ∆x1 es igual al volumen V1, ası mismo A2 · ∆x2 es igual al volumen V2:

W = P1 · V1 − P2 · V2

Pero por continuidad sabemos que la cantidad de volumen V1 que entra es igual al volumen V2 quesale de la canerıa, por lo que V1 = V2 = V , entonces:

W = P1 · V − P2 · V (4)

Por otra parte, la variacion de energıa potencial entre A y B es igual a:

∆U = m · g · h2 −m · g · h1

Y la variacion de la cinetica se puede expresar como:

∆K =1

2m · v2

2 − 1

2m · v2

1

Si reemplazamos ∆K y ∆U en la ecuacion (3):

1

2m · v2

2 − 1

2m · v2

1 +m · g · h2 −m · g · h1 = W

Como sabemos el valor de W en funcion de la presion y volumen por la ecuacion (4), la reemplazamosen la expresion anterior:

1

2m · v2

2 − 1

2m · v2

1 +m · g · h2 −m · g · h1 = P1 · V − P2 · V

Ahora despejamos la presion dividiendo por el volumen en ambos lados de la ecuacion:

1

2

m

V· v2

2 − 1

2

m

V· v2

1 +m

V· g · h2 −

m

V· g · h1 = P1 − P2

Pero mV no es otra cosa que la densidad ρ, finalmente la ecuacion queda como sigue:

1

2ρ · v2

2 − 1

2ρ · v2

1 + ρ · g · h2 − ρ · g · h1 = P1 − P2

Agrupando terminos finalmente obtenemos la ecuacion de Bernoulli:

6

P1 +1

2ρ · v2

1 + ρ · g · h1 = P2 +1

2ρ · v2

2 + ρ · g · h2 (5)

Podemos generalizar la ecuacion anterior diciendo que:

P +1

2ρ · v2 + ρ · g · h = constante (6)

Una consecuencia de este resultado es poder afirmar que la presion esta directamente relacionada conla energıa y la ecuacion de Bernoulli no es mas que una expresion de la energıa por unidad de volumen enun sistema. En este sentido se establece que la suma de la presion interna, la energıa cinetica porunidad de volumen mas la energıa potencial por unidad de volumen se mantiene constanteen cualquier punto de la tuberıa.

. Ejemplo

Una piscina cilındrica tiene un agujero muy pequeno en su pared a 40 centımetros de la superficie. Sila piscina se llena hasta los 2 metros de profundidad, ¿con que rapidez saldra el chorro de agua por el

agujero? ¿que sucederıa si cambiamos el agua por agua salada con una densidad de ρsalada = 1.030[kgm3

]?

Solucion: Para resolver este ejercicio debemos darnos cuenta que la presion que afecta la superficie delagua en la piscina es igual a la presion en la salida del agujero, la cual equivale a una presion atmosfericaP0. Ademas, como el agujero es muy pequeno comparado con la piscina, podemos considerar que elnivel del agua desciende muy lentamente, lo que implica que la rapidez del fluido dentro de la piscina esdespreciable (vsuperficie = 0). Aplicando el principio de Bernoulli:

P0 +1

2ρ · v2

superficie + ρ · g · hsuperficie = P0 +1

2ρ · v2

agujero + ρ · g · haguero

ρ · g · hsuperficie =1

2ρ · v2

agujero + ρ · g · haguero

1

2ρ · v2

agujero = ρ · g · hsuperficie − ρ · g · haguero

v2agujero = 2 · g · (hsuperficie − hagujero)

vagujero =√

2 · g · (hsuperficie − hagujero)

(7)

Las alturas hsuperficie y hagujero se miden desde el suelo, ya que vienen de la energıa potencial, por lo tanto,hsuperficie = 2[m] y hagujero = 160[cm] = 1, 6[m]. Reemplazando estos valores en la ecuacion (7) nos da unvalor final de vagujero = 2, 8

[ms

]Notar que la rapidez del agua al salir del agujero solo depende de las alturas a la superficie y al agujero,y no tiene dependencia con la densidad, por lo tanto, tener la piscina con agua dulce o salada da igual yaque al calcular la rapidez dara el mismo resultado.

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1.5. Aplicaciones del principio de Bernoulli

Al sujetar una hoja frente a la boca y soplarsobre la cara superior, el papel se levanta. Esto sedebe a que la presion interna del aire en movimien-to P1, contra la cara superior del papel, es menorque la presion atmosferica P2 sobre la cara inferior,ya que a mayor rapidez de flujo la presion dismi-nuye.

Consideremos el viento que sopla sobre el techo de una ca-sa de dos aguas como muestra la figura. En los sectores dondelas lıneas de flujo estan mas cercanas unas de otras la rapidez esmayor , por lo tanto, la presion interna es menor. Por su par-te la presion dentro de la casa sobre el techo es mayor que laexterior, lo que en ocasiones puede llegar a levantar el techo oincluso la casa completa, como ocurre en las tormentas de vien-to.

1.5.1. Aeronautica

Si ahora lo que vuela no es el techo de una casa, sinoque el ala de un avion, quizas no nos parezca raro quealgo que pesa muchas toneladas pueda elevarse por losaires sin problemas. Tanto el ejemplo de la hoja de papelcomo el techo de la casa presentan el mismo principioque el ala de un avion: una presion mayor en la carainferior los empuja hacia arriba. Tal efecto se lograen las alas de avion haciendo fluir con mayor rapidezel aire en la cara superior que en la inferior, para estose disponen las alas con un angulo particular llamadoangulo de ataque. Como resultado es posible ver en untunel de viento las lıneas de flujo en la cara superior masproximas unas de otras, lo que implica que la rapidezdel viento en la cara superior es mayor.

Otro factor importante, a parte de la presion en el ala, es el area en la cual se ejerce tal presion,siendo la fuerza neta mayor cuando el area de aplicacion es grande. A esta fuerza se le denomina fuerzade sustentacion.

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1.5.2. Maquina de Venturi

En 1.797 el fısico italiano Giovanni Battista Venturi,basado en el principio de Bernoulli, construyo un arte-facto para medir velocidades de fluidos dentro de unatuberıa. El medidor de Venturi consiste basicamente enun tubo vertical de diametro variable por el cual circulael fluido al que se desea medir la velocidad. La diferenciade presion entre la zona angosta y ancha se realiza me-diante una manguera en forma de U que conecta ambossectores, la cual contiene un lıquido de densidad conoci-da funcionando como manometro. Midiendo la diferen-cia de alturas en la manguera se obtiene la diferencia depresiones entre los dos sectores, lo que permite calculara la su vez velocidad del fluido.

1.5.3. Efecto Bernoulli en un balon

Es muy probable que hayas visto algun jugador de futbol lanzar un tiro libre o un corner de tal modoque el balon toma una trayectoria curva espectacular. Del mismo modo en el beaseball un pıtcher puedelanzar una bola de tal manera que describa una curva al acercarse al bateador. Lo que ocurre es que unbalon arrastra una diminuta capa de aire al girar, la cual se acrecienta al tener costuras como la pelotade futbol o ser aterciopelada como el caso de una pelota de tenis. La pequena capa de aire en movimientoque arrastra la pelota produce un estrechamiento de las lıneas de flujo en un lado del balon.

Como se muestra en la figura, si el balon gira horariamente las lıneas de flujo se estrechan en la partesuperior, por lo tanto, en la cara inferior existe una presion mayor, la que ejerce una fuerza sobre lasuperficie baja del balon que lo empuja hacia la zona de baja presion. Resultado de esto es que la pelotadescriba una trayectoria curva que cotidianamente llamamos efecto o chanfle.

1.6. Roce y velocidad terminal

Cuando se estudia la caıda vertical de un objeto, en primera instancia despreciamos la accion delroce con el aire para hacer mas facil su estudio. Pero si queremos conocer lo que ocurre en realidad, esnecesario considerar los efectos de esta fuerza que se opone al movimiento, la cual tiene directa relacioncon la viscosidad del medio.

1.6.1. Viscosidad

La viscosidad es una propiedad de los fluidos relacionada directamente con la friccion interna delas capas de flujo, de tal modo decimos que un fluido es viscoso cuando presenta dificultad para su

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movimiento debido a que existe mayor roce entre las capas de flujo. Podemos expresar esta propiedadde la materia como una oposicion al movimiento que ejercen los fluidos. La viscosidad puede serexplicada mediante la fuerza de cohesion entre las moleculas que lo componen, por lo tanto, depende dela temperatura y el estado fısico del material. Por ejemplo, los gases son menos viscosos que los lıquidos,el aceite es menos viscoso que la miel, ya que la cohesion de las moleculas de miel son mas fuertes que lasde aceite. Pero si calentamos la miel se vuelve menos viscosa, razon por la cual es mas facil mover unacuchara en la miel caliente que cuando esta frıa.

1.6.2. Velocidad terminal

Cuando un objeto se deja caer en un ambiente distinto del vacıo, no describira una caıda libre, ya queel medio reaccionara con una fuerza de roce que guarda directa relacion con la viscosidad del lugar y lasuperficie del objeto que cae. Cuando la velocidad relativa entre el flujo y el objeto es menor a un ciertovalor crıtico, la resistencia que ofrece el medio se debe casi exclusivamente por el efecto de viscosidad, encaso contrario ya no estarıamos en presencia de un fluido laminar y las ecuaciones son mas complejas.

Stokes en el siglo XIX estudio la caıda de un objeto esferico dentrode un flujo viscoso, llegando a la conclusion de que la esfera no presen-taba una aceleracion constante, mas bien noto que los objetos aceleranhasta cierto lımite para el cual mantienen una velocidad invariante quellamo rapidez terminal o velocidad terminal si consideramos su di-reccion y sentido hacia abajo. Por lo tanto, la grafica de un cuerpo quecae en presencia de fuerzas de roce debidas a la viscosidad del medio esuna curva con crecimiento cada vez menor, hasta llegar a ser constantecomo se muestra en la imagen.

Stokes describio la fuerza de roce del medio viscoso sobre una esfera como:

F = 6 · π · η · r · v (8)

donde η es el coeficiente de viscosidad, r el radio del objeto esferico y v la velocidad instantanea quelleva este. Mientras la esfera cae, la velocidad instantanea crece hasta que la suma de las magnitudes dela fuerza de roce o de Stokes F y el empuje E, es igual a la magnitud de la fuerza peso P . En tal caso,la fuerza neta sobre la esfera es cero y el cuerpo no acelera mas, alcanzando su rapidez lımite. Si ladensidad del objeto es ρo, la densidad del fluido es ρf y el volumen de la esfera V = 4

3πr3, despejamos la

magnitud de la velocidad:

E + F = P

ρf · V · g + 6 · π · η · r · v = ρo · V · g

6 · π · η · r · v = ρo ·4

3πr3 · g − ρf · 4

3πr3 · g

v =2

9

r2 · gη

(ρo − ρf )

(9)

Desafıo...

Si desde la azotea de un edificio se dejan caer dos balones de tenis, pero uno de ellosse rellena con balines de acero. ¿Cual de los dos llega primero al suelo? Respuesta

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La velocidad v de la ecuacion (9) no es cualquiera, sinoque corresponde a la velocidad terminal del objeto. Es im-portante notar que si mantenemos constante el coeficientede viscosidad y aumentamos el radio del objeto, la veloci-dad terminal aumenta proporcionalmente al cuadrado de talvariacion. Por otro lado, es posible verificar que entre masviscoso sea un medio, menor sera la velocidad terminal quepuede alcanzar un objeto.

Desafıo...

Un paracaidista salta desde una avioneta que vuela a mucha altura. Al caer por losaires su rapidez va aumentando a cada segundo, ¿que ocurre con la aceleracion delparacaidista? ¿aumenta, disminuye o permanece constante? Respuesta

Desafios resueltos

3 Desafıo I: Por el principio de continuidad sabemos que el flujo Q es constante e igual al productodel area y la rapidez. Como el area es A = π · r2, la rapidez es igual a:

v =Q

A=

Q

π · r2

Luego, para que la rapidez disminuya a la novena parte debemos aumentar el radio tres veces, deeste modo la nueva rapidez vf sera:

vf =Q

π · (3 · r)2=

Q

π · 9 · r2=

Q

9 ·A=

1

9v

Volver

3 Desafıo II: El balon con balines llega primero, esto se debe a que al tener mayor masa su velocidadterminal sera mas grande y por lo mismo llegara primero al suelo. Volver

3 Desafıo III: A pesar que el paracaidista gana velocidad en un principio, la aceleracion por su parte vadisminuyendo hasta llegar a cero cuando el paracaidista ha alcanzado su velocidad lımite o terminal.Volver

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Bibliografıa

[1 ] Fısica 3◦ Educacion Media, Santillana (2010)Luis Pavez, Javier Jimenez, Esteban Ramos.

[2 ] Fısica General, Tercera edicion, Harla. Mexico (1981)Beatrız Alvarenga, Antonio Maximo.

[3 ] Fısica Tomo I, Tercera edicion, Mc Graw-Hill. Mexico (1992)Raymond A. Serway.

[4 ] Fısica Conceptual, Novena edicion, Pearson Educacion. Mexico (2004)Paul Hewitt.

[5 ] Introduccion a la Fısica, Septima edicion, Editorial Kapelusz, Argentina (1958)Alberto Maiztegui, Jorge Sabato.

[6 ] Manual de preparacion PSU ciencias modulo optativo, Fısica, Ediciones UniversidadCatolica de Chile, Chile (2004)Miguel Ormazabal Dıaz-Munoz, Oscar Bravo Lutz, Luz Marıa Gazzolo Torrealba.

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