Higher Order Samplingと平滑化スプラインによる電子 ......Higher Order Samplingと平滑化スプラインによる電子エネルギー分布のサンプリング方法の開発

Higher Order SamplingHigher Order Samplingと平滑化スプラインによると平滑化スプラインによる

電子エネルギー分布のサンプリング方法の開発電子エネルギー分布のサンプリング方法の開発

T.Kimura*, K.Satoh and H.Itoh (Muroran Institute of Technology)

Development of novel sampling technique of electron energy distributionby higher order sampling and spline

木村太朗* 佐藤孝紀伊藤秀範（室蘭工業大学）

2007年放電学会年次大会平成19年11月15日芝浦工業大学(豊洲校舎)

MURORAN INSTITUTEMURORAN INSTITUTEOF TECHNOLOGYOF TECHNOLOGY

背景背景

放電の性質の理解が要求されるガスレーザ，半導体プラズマプロセシング，有害化学物質の除去など

気体放電プラズマの応用範囲気体放電プラズマの応用範囲

放電の性質放電の性質

放電を構成する粒子

気体分子・原子

電子電子

電子の挙動電子の挙動

電子スオームパラメータ

によって表現される

電子の平均速度電子の衝突周波数電離係数

電子エネルギー分布電子エネルギー分布から求められる

励起分子イオンラジカル光子

生成

電子エネルギー分布を求める方法電子エネルギー分布を求める方法

実験による方法（プローブ法）

計算機シミュレーションによる方法 Monte Carlo Monte Carlo simulation(MCSsimulation(MCS))定量的に最も正しい結果が求められる

電極近傍の非平衡領域での電子エネルギー分布が求められる

MCSMCSにおける電子エネルギーのサンプリングにおける電子エネルギーのサンプリング((Standard Sampling Standard Sampling : : SS)SS)

ヒストグラムによるCounting

0.12

0.10

0.08

0.06

0.04

0.02

0.00

ener

gy d

ensi

ty d

istri

butio

n

4035302520151050electron energy[eV]

0.12

0.10

0.08

0.06

0.04

0.02

0.00

ener

gy d

ensi

ty d

istri

butio

n


実際の結果

0℃, 1TorrのCF4ガス

E/p = 400Td平衡領域にてサンプリング

bin幅 = 5.0 eV

bin幅 = 0.04 eV

高次のサンプリング高次のサンプリング((Higher Order Sampling : HOS)Higher Order Sampling : HOS)[1][1]

[1] Peter L. G. Ventzek, Kazutaka Kitamori : J. Appl. Phys. 75. 15. 3785 (1994)

従来の方法では，一つの従来の方法では，一つのbinbinは電子数の情報しか持たなかったは電子数の情報しか持たなかった




binbinの中の電子数の密度勾配を表現できれば，の中の電子数の密度勾配を表現できれば，広い広いbinbin幅でも詳細な分布を求められる幅でも詳細な分布を求められる




χχχ dfPf i∫−=

1

100 )()(

21


1

111 )()(

23


1

122 )()(

25

多項式の形状を記憶

･･･

8877665544

33221100

)()()()()()()()()(

fPfPfPfPfPfPfPfPfPfi

χχχχχχχχχ

++++++++= 10 =P χ=1P

2/)13( 22 −= χP

iはbinの番号を表す

LegendreLegendre多項式多項式

･･･

ii

ii

εεεεε

χ−

+−=

+

+

1

1 )(2

χで規格化-1 1 MURORAN INSTITUTEMURORAN INSTITUTE

OF TECHNOLOGYOF TECHNOLOGY

binの境界上で連続するとは限らない

binbinの中の電子数の密度勾配を表現できれば，の中の電子数の密度勾配を表現できれば，広い広いbinbin幅でも詳細な分布を求められる幅でも詳細な分布を求められる

LPWS(LegendreLPWS(Legendre Polynomial Weighted Sampling)Polynomial Weighted Sampling)法法[1][1]

MURORAN INSTITUTEMURORAN INSTITUTEOF TECHNOLOGYOF TECHNOLOGY[1] Peter L. G. Ventzek, Kazutaka Kitamori : J. Appl. Phys. 75. 15. 3785 (1994)







分布の重なり



B-splineのsupport関数







全体として連続した電子エネルギー分布

オーバーラップサンプリング･･･冗長性オーバーラップサンプリング･･･冗長性

本研究の目的本研究の目的


スプライン関数とスプライン関数とHigher Order SamplingHigher Order Samplingによってによって

オーバーラップサンプリングなしでオーバーラップサンプリングなしで連続した電子エネルギー分布を求める連続した電子エネルギー分布を求める

平滑化スプライン平滑化スプライン[2][2]ととHOSHOSによる電子エネルギー分布の求め方による電子エネルギー分布の求め方

[2] 吉村和美他：「パソコンによるスプライン関数」，東京電機大学出版局 (1988)

①①HOSHOSによって分布を求めるによって分布を求める

②いくつかの点を抽出する

③平滑化スプラインによって標本値を１本の線でつなぎ電子エネルギー分布を求める


①HOSによって分布を求める

②いくつかの点を抽出する②いくつかの点を抽出する





2つの標本点






2つの標本点










⎪⎩

⎪⎨⎧

≥−

<=− + )()(

)(0)(

33

jj

jj xxxx

xxxx

)()())(()( 21, jiiiiji xxxxxxxxxP +++ −−−−= L

∑ ∑−

=

+

=

+

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ −

⋅+=2

1

2

,

3

1 )()(

)()(n

i

i

ij jji

ji xP

xxbxpxf

3次の平滑化スプライン f (x)


②いくつかの点を抽出する

③③平滑化スプラインによって標本値を平滑化スプラインによって標本値を１本の線でつなぎ電子エネルギー分１本の線でつなぎ電子エネルギー分布を求める布を求める

計算条件計算条件


CF4 (0℃，1Torr)

Cathode Anode

E/p = 400 Td

SST実験における電子の挙動を追跡

2.0 cm

サンプリング時のbin 幅：HOS = 5.0 eV, SS = 0.04 eV

x

初期エネルギー分布：平均1eVのMaxwell-Boltzmann分布

平衡領域平衡領域 ((x x =1.20=1.20～～1.21cm) 1.21cm) の電子エネルギー分布の比較の電子エネルギー分布の比較


80

60

40

20

0ener

gy d

ensi

ty d

istri

butio

n (x

10-3

)


SS(n0=1,000, ∆ε=0.04eV)HOS( n0=1,000, ∆ε=5eV)



80

60

40

20

0ener

gy d

ensi

ty d

istri

butio

n (x

10-3

)


SS(n0=1,000, ∆ε=0.04eV)sampled points ( n0=1,000)present( n0=1,000)



80

60

40

20

0ener

gy d

ensi

ty d

istri

butio

n (x

10-3

)


SS(n0=500,000, ∆ε=0.04eV)present( n0=1,000)

80

60

40

20

0ener

gy d

ensi

ty d

istri

butio

n (x

10-3

)


SS(n0=500,000, ∆ε=0.04eV)present( n0=1,000)present( n0=10,000)


1/50の電子数でSSと同様な結果が求められた

電子エネルギー分布の空間変化のサンプリング（陰極近傍：電子エネルギー分布の空間変化のサンプリング（陰極近傍：xx = 0.10= 0.10～～0.11cm0.11cm））


0.16

0.14

0.12

0.10

0.08

0.06

0.04

0.02

0.00

ener

gy d

ensi

ty d

istri

butio

n


SS (n0 = 500,000, ∆ε = 0.04eV)present ( n0 = 10,000)present ( n0 = 50,000)

0.16

0.14

0.12

0.10

0.08

0.06

0.04

0.02

0.00

ener

gy d

ensi

ty d

istri

butio

n


SS (n0 = 500,000, ∆ε = 0.04eV)present ( n0 = 50,000)sampled points ( n0 = 50,000)

標本点の個数の問題標本点の個数の問題


緩やかなピーク：標本点が密

急なピーク：標本点が疎

0.16

0.14

0.12

0.10

0.08

0.06

0.04

0.02

0.00

ener

gy d

ensi

ty d

istri

butio

n


SS (n0 = 500,000, ∆ε = 0.04eV)present (spb=10, n0 = 50,000)present (spb=20, n0 = 50,000)present (spb=40, n0 = 50,000)present (spb=80, n0 = 50,000)

電子エネルギー分布と標本点の個数電子エネルギー分布と標本点の個数((spbspb))の関係の関係


(spb : sampled points par bin)

0.16

0.14

0.12

0.10

0.08

0.06

0.04

0.02

0.00

ener

gy d

ensi

ty d

istri

butio

n


SS (n0 = 500,000, ∆ε = 0.04eV)present (spb=10, n0 = 50,000)present (spb=20, n0 = 50,000)present (spb=40, n0 = 50,000)present (spb=80, n0 = 50,000)

電子エネルギー分布と標本点の個数電子エネルギー分布と標本点の個数((spbspb))の関係の関係

(spb : sampled points par bin)

1つのbin当りの標本点は40が妥当であると考えられる

電子エネルギー分布の空間変化のサンプリング電子エネルギー分布の空間変化のサンプリング

平衡領域

SS (n0 = 500,000, ∆ε = 0.04eV)present(n0 = 50,000, spb=40)

陰極近傍

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

ener

gy d

ensi

ty d

istri

butio

n


x = 0.0～0.01 cm0.16

0.14

0.12

0.10

0.08

0.06

0.04

0.02

0.00

ener

gy d

ensi

ty d

istri

butio

n


x = 0.10～0.11 cm

80

60

40

20

0ener

gy d

ensi

ty d

istri

butio

n (x

10-3

)


x = 1.20～1.21 cm

陽極近傍

80

60

40

20

0ener

gy d

ensi

ty d

istri

butio

n (x

10-3

)


x = 1.99～2.00 cm

まとめまとめ


HOSと平滑化スプラインの組合わせによる電子エネルギー分布の新しいサンプリング方法を開発した

今回開発した方法によって，平衡状態の場合には，SSの1/50程度の初期電子数でも正確な電子エネルギー分布が得られた

電子エネルギー分布の形状が鋭いピークを持つ場合，初期電子数だけでなく標本点の個数を増加させなければ，正確な電子エネルギー分布が得られなかった

一つのbin当りの標本点の個数(spb)を40個として電子エネルギー分布をサンプリングした場合，SSの1/10程度の初期電子数でも，どの空間に対しても正確な電子エネルギー分布が得られた

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