ANHANGUERA EDUCACIONAL – FAST

Curso: Matemática

Disciplina: TCC

Profº:Turma: 5ª/A Período: 5ºsem/2013

TCC – MODELAGEM MATEMÁTICA

RA:2505063414

ALUNO(A):Cleidson Silveira

Taguatinga, JUNHO/2013

Introdução

Neste pré projeto venho aqui mostra minha ideia para meu trabalho de conclusão de

curso que vem falar de modelagem matemática, que vem sendo muito pesquisada nestes

últimos 30 anos, mesmo sabendo que modelamos bem antes mesmo de sabermos o que

é a matemática. Quero neste trabalho mostra as técnicas que profissionais na área

utilizam, e que esses conhecimentos irão servi como ferramenta para atividades dentro

de sala de aula, não quero aqui da exemplos de atividades mais sim buscar mais meios

para poder executar estas atividades que ainda muitos professores ignoram as vezes por

falta de técnica e por vezes pelo grande trabalho que terá para promover tais atividades,

irei ter como base três livros e mais pesquisas da internet começarei falando um pouco

da historia passando por técnicas de modelagem e por final a inserção da modelagem

nas salas de aula.

Historia da modelagem matemática

A invenção da roda pelos sumérios no ano 3000 a.C. foi um dos primeiros

modelos matemáticos produzidos pela humanidade, observando um tronco de árvore

rolando por um declive tiveram a ideia de transportar cargas pesadas colocando-as sobre

objetos rolantes. Assim aconteceu em todas as épocas, da pré historia até os dias de

hoje, a matemática utilitária vem resolvendo problemas reais. Desta forma cientistas

vem ao longo da historia modelando. Como por exemplo, filosofo grego Tales de

Mileto (639 – 568 a.C.), que descobriu uma relação entre triângulos semelhantes e as

alturas das pirâmides, Pitágoras (570 – 500 a.C.), filosofo grego que fez uma relação do

comprimento das cordas vibratórias que formam sons em mútua harmonia, Arquimedes

(287 – 212 a.C), matemático e físico grego que criou um modelo que combina as

deduções matemáticas com resultados das experiências que podemos citar o principio

da alavanca e da balança, que hoje são leis fundamentais da estatística, René Descartes

(1596 - 1650), físico, matemático e filósofo Francês que criou vario modelos no qual

reconhece as relações entre as equações algébricas e os lugares geométricos, não

podemos esquecer de Issac Newton (1642 - 1726), matemático e filósofo inglês que foi

um dos primeiros a trabalhar cálculo diferencial, e também nas suas teorias da

gravitação universal, com esses exemplos venho mostrar alguns cientistas que ajudaram

a matemática evoluir mais também acima disso, queremos mostrar que estes e outros

não citados faziam modelagem matemática, porem o termo modelo matemático somente

foi introduzido no século XIX, por Lobachewsky (1792 - 1856), matemático russo e

Riemann (1826 – 1866), matemático alemão, que criaram os modelos propostos pela

geometrias não-euclidianas .

Surgimento da modelagem no Brasil

Aristides Barreto e Rodney Bassanezi foram os primeiros a implantar a

modelagem na educação brasileira. Barreto representou o Brasil em grandes encontros

sobre a modelagem juntamente com Bassanezi onde realizaram grandes  cursos de Pós –

Graduação  em estados brasileiros. Através das pesquisas realizadas se viu um grande

aproveitamento, onde muitos professores começaram a se inspirar em Barretos e

Bassanezi e passaram a procurar novos conhecimentos. Segundo Bassanezi (2002),

modelagem, em princípio, foi trabalhada em biomatemática, na década de 80. Nesse

momento, os estudos envolviam modelos de crescimento de processos cancerígenos. A

seguir, realizou-se uma experiência com a modelagem, com turma regular de

Engenharia de Alimentos, na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral, obtendo-se

resultados satisfatórios, e também temos nomes de D’Ambrosio e Veronez grandes

pensadores e pesquisadores matemáticos que contribuem para o avanço da modelagem

matemática no Brasil.

Modelagem Matemática

Modelagem é o processo de aproximar ou transformar problemas concretos do

mundo real em modelos de problemas que simulem de forma ótima o objetivo de estudo

e assim póder resolvê-lo para interpretar suas soluções de forma clara.

Interpretação

Processo de modelagem

Modelagem matemática é o processo que envolve a obtenção de um modelo que

tenta descrever matematicamente um fenômeno da nossa realidade para tentar

compreende-lo, criando hipóteses e reflexões sobre tais fenômenos.

Etapas da modelagem

Primeira etapa, consiste em reconhecer a existência de um problema real, no

sentido de ser significativo, isto é determinar a situação do problema a se

modelado, quer dizer, determinar o fator de impacto no mundo.

Segunda etapa, designando o problema, na segunda etapa devemos conhecer o

problema e simplificá-lo, não simplificando o problema real e sim introduzimos

hipóteses que simplificam sua abordagem.

Terceira etapa, que consiste na resolução do modelo decorrente através de

diversas áreas do conhecimento, nessa etapa é muito importante a aproximação

do modelo a considerar.

Problema original

Solução exata

Processo cognitivo

Modelo

Solução aproximada

Quarta etapa, temos a avaliação das soluções encontradas na etapa anterior de

acordo com a questão real do problema a modelar.

Quinta etapa e ultima etapa da modelagem, que devemos ter em consideração é

definir a tomada de decisão com base nos resultados obtidos.

Exemplo: desejamos combater biologicamente uma praga de insetos em uma plantação

sem o uso de substancias agroquímico, fazer uma modelagem do problema.

A estratégia a utilizar é a seguinte, controlamos a população de insetos fazendo

uma plantação inicial da planta atacada com o objetivo de atrair os insetos a serem

combatido, para posteriormente serem recolhidos.

No caso possível de obter resultados positivos, teremos determinado na verdade

o fator impacto do problema, pois , sem o uso de substâncias químicas, o custo

econômico resulta ser muito confortável, determinando dessa forma a situação problema

da primeira etapa.

A B

D C

Hipótese de simplificação Problema

concretoProblema matemático

Tomada de decisão

Resolução aproximada do problema matemático

Validação da solução

E F

I g

Supondo que a região da plantação tenha uma área retangular e que a produção

da plantação seja igual a área plantada, estamos na verdade simplificando as hipóteses

da segunda etapa.

A obtenção e resolução do modelo matemático seja x a largura da faixa ao redor

do campo retangular EFGH. Considerando um campo retangular de dimensões u=90 e

N=45 dados em metro, com um porcentual Maximo de perda p=5% as dimensões do

retângulo interior EFGH são 90-2x e 45-2x metros.

Depois desse exemplo e dessas definições de modelagem matemática vamos

citar algumas técnicas que ajudar uma modelagem mais precisa, técnicas estas mais

utilizadas por pesquisadores, matemáticos, estatísticos, são conhecimentos que os

professores que desejam aplicar atividade de modelagem, devem ter para o

enriquecimento, pois atividades como essas sempre aparecem algumas situações não

previstas então venho mostrar que não bastar somente ter conhecimentos básicos

matemática e didática mais um pouco da matemática do ensino superior.

Método dos mínimos quadrados

Métodos mínimos quadrados

Ajustes de curvas é um conjunto de técnicas numéricas que tem por objetivo

expressar algumas tendências da relação de duas grandezas. Então ela fornece uma

relação funcional de uma variável dependente y quando relacionada com a variável

independente x. desta forma quando queremos manipular, uma função complicada

y=f (x )=cos ( ecot 2x ) que estabelece uma relação entre as grandezas x e y, ou então

quando queremos encontrar uma aproximação para a função que nem são conhecidas, o

mais recomendável é fazer uma aproximação através de um ajuste de curvas.

Ajuste linear

Ajuste linear para modelo exponencial

Ajuste linear para o modelo geométrico

Ajuste quadrático

O método consiste na obtenção da curva de regressão ou ajuste de curva que

aproxime um conjunto de dados predefinidos ou valores de uma função que admite:

A={(y1, x1), (y2,x2),..., (yn,xn)} (1)

seja uma função f : R k+1 → R , y (x)=f (x ;α 1 , α 2 , ... , αk)onde α 1 , α 2 , ..., αk

são os parâmetros desconhecidos. O método dos mínimos quadrados consiste em

determinar esses parâmetros de modo que minimize o valor de

S(x; α1,α2,...,αk)=∑[j (x; α1,α2,...,αk)-1/i]² (2)

A soma consiste em minimizar a soma dos quadrados de

ε=f (x ;α 1, α 2, …, αn)−1i

(3) entre os diversos valores de Yi observados e os valores

ajustados y(xi)=f(x;α1,α2,...,αn) os valores ԑi são chamados de desvios que nada mais é

que os valores errados.

* *

* *

*

x

Definição de ajuste linear

Suponhamos que as grandezas x e y, cujas medidas são dadas por (1) se

relacionam linearmente. Um ajuste de curva é denominado linear, se a função f : R³→ R

é definida por f (x, a,b)= ax+b.

Em outras palvras, um ajuste é linear se é definida pela equação da reta

y(x)=f(x,a,b)=ax+b.

Devido a erros de medida, os valores (xi, yi) não necessariamente satisfazem a

equação (3), isto é, yi≈axi+b; para que essa equação se torne numa igualdade, devemos

levar em conta os erros ou desvios ԑ cometidos nas medidas assim ,

Yi=(axi+b)+ԑi

Portanto ԑi também depende d a e b:

ԑi(a,b)=Yi – (axi+b)

A soma dos quadrados dos desvios é dada por:

S(a,b)=∑[Yi-axi-b]²

x1 x2 x3 xn

y

yn

y3

y2

y1

Aplicando o método dos mínimos quadrados, temos que os melhores valores

para a e b ( e portanto a melhor reta) são aqueles que minimizam S(a,b).

*

* *

* * *

Como S é uma função de duas quantidades a e b, escrevemos essas condições

necessárias de mínimos comuns como:

∂ s∂ a

=0 e∂ s∂ B

=0 ou seja:

−2 ∑(xiyi−ax ² i−bxi)=0 ,−2∑(Yi−axi−b)=0

De onde obtemos as camadas equações normais.

∑xiyi=∑(bxi+ax²i)

∑yi=∑(axi+b)

a=[∑

i=1

n

xi ]❑

[∑i=1

n

yi ]−n[∑i=1

n

x iyi❑][∑

i=1

n

xi ]²−n[∑n=1

n

x ² i]

b=[∑

i=1

n

xiyi]❑

[∑i=1

n

xi ]−[∑i=1

n

x i2] [ ]∑i=1

n

yi

[∑i=1

n

xi ]²−n [∑n=1

n

x ² i ]

Exemplo: foram obtidos os seguintes dados do peso e o comprimento médio de uma

família de atuns em relação a sua idade t:

Idade Comprimento (cm) Peso (gr)

Yn

Y5

Y4

Y3

Y2

Y1

X1 x2 x3 x4 x5 xn

(t)

2 163,9 0,68

3 170,0 0,91

4 176,1 1,0

5 182,3 1,2

6 188,3 1,38

7 195,4 1,48

8 203,2 1,69

9 210,0 1,8

10 212,7 2,3

Queremos investigar a tendência deo crescimento em relação ao peso de uma família de

atuns no período de dez anos.

Soluça:

Então podemos estabelecer uma relação de dependência entre as grandezas t=idade e

y=peso do atum relacionado às grandezas, através dos pares ordenados (ti, yi),

i=1,2,...,9. De acordo com a equação () e (), n=9, devemos calcular as somas de ti, yi,

tiyi, t²i.

ti Yi tiyi t²i

2 0,68 1,36 4

3 0,91 2,73 9

4 1,0 4,00 16

5 1,2 6,00 25

6 1,38 8,28 36

7 1,48 10,36 49

8 1,69 13,52 64

9 1,8 16,20 81

10 2,3 23,0 100

∑i=1

9

ti=54 ∑i=1

9

yi=12,44 ∑i=1

9

tiyi=85,45 ∑i=1

9

t ² i=384

a=(54 ) (12,44 )−(9 )(85,45)

(54 )2−(9 )(384 )=

−9729−1309,05

=0,074

b=(85,45 ) (54 )− (384 )(12,44)

(54 )²−9 (384)=0,301

Portanto a equação que defini a reta no sentido dos mínimos quadrados é dado

por;

y (t )=0,074 ti+0,301

Esta equação define uma reta que passa pelos seguintes pontos corrigidos:

Ti y (ti )=0,074 ti+361,4

2 0,449

3 0,523

4 0,597

5 0,670

6 0,745

7 0,819

8 0,893

9 0,967

10 1,041

Ajuste linear para o modelo exponencial

Suponhamos que a formulação de um modelo matemático é definido por meio

de uma função de tipo exponencial.

y(x)=β eαx , β>0 (9)

Fazendo a mudança de variável z=lny com objetivo de transformar a equação

que define o modelo (9) na forma de uma equação de uma reta, obtemos ao tomar

logaritimo em (9).

z (x )=lny=αx+lnβ (10)

Desta forma, podemos fazer um ajuste linear para o modelo exponencial, pois é

mais fácil lidar com (10) do que com equação (9). Tomando a=α e b=ln β , a equação da

reta ajustada ou equação auxiliar é z=ax+b→f(x,a,b).

Exemplo: aumento de células cancerosas num tumor por unidade de tempo t, supondo o

tempo de duplicação das células constantes é dado através dos seguintes dados

experimentais:

Tempo (dias) Numero de Células (miles)

1,5 1,778

2,5 2,611

4,0 4,642

5,0 6,813

6,5 12,11

Com estes dados determine a dependência funcional do número de células N(x)

do tumor em relação ao tempo t mediante de um ajuste linear.

Através do gráfico de dispersão de dados (ti, Ni), i=1,...,5.

1 2 3 4 5 6 70

2

4

6

8

10

12

14

Vemos que a relação funcional procurada N(x) é da forma: N(x)=βе^(αt) β>0, α<0.

Utilizando a mudança de variável y(t)=lnN(t), obtemos (11) a expressão linear nas

novas variáveis utilizando os dados da tabelas, obtemos os dados auxiliares.

∑i=1

5

ti=9,5∑i=1

5

yi=7,481∑i=1

5

t ² i=91,75∑i=1

5

tiyi=35,201

Nas equações (7) e (8) obtemos:

a=(19,5 ) (7,481 )−(5 )(35,201)

(19,5 )2−5(91,75)=0,383

b=(32,201 ) (19,5 )−(91,75 )(7,481)

(19,5 )2−5(91,75)

Portanto, obtemos a equação da reta ajustada (reta auxilia):

y=lnN=0,383t-0,00048

Como a=α e b=lnβ obtemos β=eb=e−0,00048=0,9995a função exponencial é

N (t )=0,383 e0,9995t , ∀ t ≥ 0

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-1

0

1

2

3

4

5y=0,383t-0,00048

Ajuste da reta y=0,383t-0,00048 aos pontos (t,lnt).

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

50

100

150

200

250N(t)=0,383e^0,995t

Ajuste linear para modelo geométrico

Suponhamos que a formulação do modelo matemático é definido através de um

modelo de tipo geométrico, isto é:

Y(x)αx^β, α>0 e β>0 (12)

Tomando o logaritmo neperiano na equação (12) transformando o problema na

forma.

Lny=lnα+βlnx1 (13)

Fazendo a mudança de variável.

Y=lny e x=lnx (14)

Obtemos em (13):

Y=a+βx onde a=lnα (15)

Tomando b=β a equação da reta ajustada ou equação auxilia é

Y=a+bx (16)

Com os dados do exemplo 1da relação do peso (gr) e comprimento (cm) dos

atuns; determinar a dependência funcional do peso dos atuns y(x) em relação ao

comprimento x mediante um ajuste linear como vimos no exemplo 1, a relação

funcional que modela o problema é formulada pela função potencial:

y ( x )=α x β

Onde α é a taxa de metabolismo e β dá informações em termos matemáticos da

forma do atum. A teta ajustada da por (15) é

y=a+bx

Devemos encontrar os parâmetros a e b por meio de um ajuste:

{(xi,yi)}={(163,9;0,68),(170,0;0,91),(176,1;1,0),(182,1;1,2),(188,3;1,38),(195,4;1,38),

(200,3;1,68),(210,0;1,8),(212,7;2,3)}

Xi=lnxi Yi=lnyi xiyi X²i

5,099 -0,385 -1,963 25,999

5,135 -0,094 -0,482 26,368

5,171 0 0 26,739

5,205 0,182 0,947 27,092

5,238 0,322 1,686 27,436

5,275 0,392 2,067 27,825

5,314 0,524 2,784 28,238

5,347 0,587 3,138 28,590

5,359 0,832 4,438 28,718

∑i=1

9

xi=47,143 ∑i=1

9

yi=2,36 ∑i=1

9

xiyi=12,615 ∑i=1

9

x ² i=247,005

Aplicando o método dos mínimos quadrados para estimar os parâmetros.

a=(47,143 )−9(12,615)

(47,143 )2−9(247,005)=3,907

b=(12,615 ) ( 47,143 )− (247,005 )(2,36)

(47,143 )2−9(247,005)=20,2

Portanto, y=3,907x+20,2

Sendo a=lnα, temos que α=ea=e3,907 ≅ 49,749.Assim, obtemos y=49,749 x20,2

150 160 170 180 190 200 210 2200.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

ajuste geometrico relação peso com-primento dos atuns

Ajuste quadrático

Seja x,y duas grandezas cujas medidas são dadas por (1). Um ajuste de curvas é

denominado ajuste quadrático, se a função que relaciona as grandezas é definido por f:

f : R4 →R f ( x ;a , b , c )=a+bx+cx ², isto é, um ajuste quadratico é definido pela equação

de uma parábola.

y ( x )=f ( x ;a , b , c )=a+bx+cx ²(17)

Aplicando o método dos mínimos quadrado, determinamos os parâmetros a,b e c

minimizando a função;

S (a , b e c )=∑i=1

n

[¿ f ( x ;a ,b , c )− yi ] ²=∑i=1

n

[a+bx+c x2− yi ] ² ¿

As condições necessárias de mínimos são dadas pelas equações:

∂ S∂ a

=0∂ S∂ b

=0∂ S∂ c

=0

Isto é:

{ ∑i=1

n

¿na+b∑i=1

n

xi+c∑i=1

n

xi ²

∑i=1

n

¿a∑i=1

n

xi+b∑i=1

n

x ²i+c∑i=1

n

x4 i

∑i=1

n

¿a∑i=1

n

x ² i+b∑i=1

n

x ³ i+c∑i=1

n

x4 i

(18)

Ajustar uma parábola de mínimos quadrados da forma y(x)=a+bx+cx² para os

dados da tabela seguintes.

x 1,2 1,8 3,1 4,9 5,7 7,1 8,6 9,8

y 4,5 5,9 7 7,8 7,2 6,8 4,5 2,7

Devemos utilizar a equação (18)

x²i x³i x4 i xiyi x²iyi

1,44 1,73 2,08 5,40 6,48

3,24 5,83 10,49 10,62 19,12

9,61 29,79 92,35 21,70 67,27

4,01 117,65 576,48 38,22 187,28

32,42 185,19 1055,58 41,04 233,93

50,41 357,91 2541,12 48,28 342,79

73,04 636,06 5470,12 38,70 332,82

96,04 941,19 9223,66 26,46 259,31

∑i=1

8

x ² i=291,2 ∑i=1

8

x ³ i=42,2 ∑i=1

8

x4 i=18,9792 ∑i=1

8

xiyi=230,42 ∑i=1

8

x ² iyi=1449

∑i=1

8

xi=42,2 ,∑i=1

8

yi=46,4

Para n=8, as equações normais (18) são:

{ 8 a+42,2 b+291,20 c=46,442,2 a+291,20 b+2275,35 c=23042

291,20+2275,35 b+18971,92 c=1449

Resolvendo o problema algébrico anterior, obtemos a=2,588, b=2,065, c=-

0,2110, daí, a parábola requerida pelo método dos mínimos quadrados tem a equação:

Y=2,588 +2,065b-0,2110x².

Equações diferenciais

Variações Discretas: uma variável discreta é uma variável que toma valores

variados e isolados, ou seja não admite valores intermediários entre dois valores

específicos. O conjunto formado por valores de uma variável discreta é chamado

de conjunto discreto. Desta forma uma sequencia finita de números reais

{x1,x2,x3,...,xn} cada elemento da sequencia é chamado de valor discreto, e a

variável x recebe o nome de variável x recebe o nome de variável discreta. O

conjunto finito {x1,x2,x3,...,xn}, formandos por valores de uma variável discreta

x é denominada conjunto discreto. Em outras palavras, um conjunto é discreto se

existe uma correspondência objetiva entre os elementos de um conjunto em um

subconjunto dos números naturais {1,2,3,...,n}.

Se desejarmos encontrar um numero de um numero capturados em uma empresa

pesqueira em cada mês n durante um ano devemos usar uma sequencia finita xn

para representar o numero de peixes capturado no mês n, isto é {x1,x2,x3,...,xn}

é o conjunto discreto e o numero de peixes x é a variável discreta.

Variações continuas: seja D={y1,y2,y3,...,yn} um conjunto, a variável discreta y

está é uma relação á grandeza x através da função f: AcR→R, isto é y=f(x), ∇ x

ϵ A subconjunto próprio de R. uma variação discreta se os valores da imagem da

função f, isto é, y=f(x) pertence ao conjunto discreto D. E por sua vez a variação

total ou as vezes chamadas de y=f(x)ϵD em relação ao intervalo [x1,x2] é

definido por

∆y=y2-y1=f(x2)-f(x1) (1)

∆y também é chamado de incremento de y. Se ∆y>0 o se ∆y<o, então a função f

aumenta e diminui em tamanho respectivamente. Se ∆y=0, a função permanece

inalterada.

Inserção da modelagem no ensino

Ao percorrer do século XXI, grandes avanços tecnológicos foram surgindo e

trazendo inúmeras facilidades na vida dos seres humanos.  Com esses avanços sente-se

a necessidade de melhorar o Ensino da Matemática, que se faz presente nos avanços

tecnológicos. Assim surge a Modelagem Matemática, trazendo uma melhor forma de

ensino e aprendizagem. Aristides Barreto e Rodney Bassanezi foram os primeiros a

implantar a modelagem na educação brasileira, Bassanezi afirma que, a modelagem

consiste em pegar situações do dia-a-dia e transformar em situações matemáticas,

resolvendo da forma mais usual e que depois possam ajudar em outras situações. Já

Veronez diz que é um processo que parte do real, passa pela obtenção de um modelo e

vai para o analise e interpretação da solução. Burok explica que é algo que vai ajudar o

homem a resolver, matematicamente, os problemas do cotidiano. E D’Ambrosio coloca

que deve associar a realidade com o conteúdo e que não deve ser apenas uma solução

sem sentido, mas sim algo que tenha uma finalidade. Podemos concluir que ela veio

para melhorar, trazer um modelo que ajude a resolver problemas que se possa usar de

várias formas.

BASSANEZI (2002) mostra a importância da metodologia da modelagem matemática

da seguinte maneira:

Arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos, resolvê-los e,

então interpretar suas soluções na linguagem do mundo real, é um processo dinâmico e

atraente. Uma modelagem eficiente permite fazer previsões, tomar decisões, explicar e

entender, enfim, participar do mundo real com capacidade de influenciar em suas

mudanças. (BASSANEZI, 2002, pág.16. ).

A ciência é uma atividade desenvolvida pelo homem com a finalidade de compreender a

natureza por meio de teorias adequadas e mesmo que a natureza continue existindo sem

essas teorias, o homem necessita utilizá-las para avançar em seus conhecimentos e

tomar futuras decisões corretamente. É um fenômeno cumulativo natural e este depende

de codificações e símbolos associados a representações orais ou visuais. (BASSANEZI,

2002, pág.17).

Ainda sobre a modelagem matemática, diz Ubiratan D’Ambrosio que:

A modelagem matemática é matemática por excelência. As origens das ideias centrais

da matemática são o resultado de um processo que procura entender e explicar fatos e

fenômenos observados na realidade. O desenvolvimento dessas ideias e sua

organização intelectual dão-se a partir de elaborações sobre representações do real. A

linguagem desde a natural, até a mais específica e formal, permite compartilhar

socialmente essas ideias, estruturando-as como teoria. (BASSANEZI, 2002, prefácio).

Para Burak,

A modelagem matemática constitui-se em um conjunto de procedimentos cujo objetivo é

construir um paralelo para tentar explicar matematicamente os fenômenos do qual o

homem vive e seu cotidiano, o ajudando a fazer predições e a tomar decisões. (BURAK,

1987, p. 22).

Ela traz benefícios aos alunos desenvolvendo o pensamento lógico-matemático,

tornando mais rico o processo de ensino-aprendizagem e contribuindo de forma

significativa, para a formação do hábito da investigação. (BURAK, 2000).

A maior dificuldade que notamos para a adoção do processo de modelagem, pela

maioria dos professores de matemática, é a transposição naturalmente criada pelo

ensino tradicional onde o objeto de estudo apresenta-se quase sempre bem delineada,

obedecendo a uma sequencia de pré-requisitos e que vislumbra um horizonte claro de

chegada – tal horizonte é muitas vezes o cumprimento do programa da disciplina.

( BASSANEZI, 2002, pág.43. ).