hp1d, hp2d, hp3d

Automatyczna hp adaptacja w fortranie 90

Struktura danych (tablice VERTS, NODES, ELEMS)

Grafowa reprezentacja siatki obliczeniowej

Metoda elementów skończonych z hp adaptacją pracująca na gramatykach grafowych (1d, 2d,3d)

Obiektowa aplikacja hp MES (1d, 2d, 3d)

Obiektowa struktura danych

PROPOZYCJA PROJEKTÓW

N

Sformułowanie silne (równania różniczkowe cząstkowe)

Znaleźć RxuxR 2 pole skalarne temperatury, spełaniające

gdzie obszar w kształcie odwróconej litery L

DN

PRZYKŁAD PROBLEMU BRZEGOWEGOTRANSPORT CIEPŁA

N

D

nagn

unau

wu

0

0

brzeg

23

2sin, 3

2

rrg

Na fragmencie definiujemy warunek brzegowy Dirichleta

(temperatura wynosi 0)

Na fragmencie definiujemy warunek brzegowy Neumanna

(zakładamy że znamy pochodną w kierunku normalnym – prędkość przepływu ciepła)

D

N

SFORMUŁOWANIE SILNE I SŁABE (WARIACYJNE)

N

dSvgvl

dxvuvub

)(

),(

Vvvlvub ,

Sformułowanie silne

Znaleźć u pole skalarne temperatury, klasy spełniające 2C

DnavtrdxvvLvV 0::222

Znaleźć Vupole skalarne temperatury, spełniające

Sformułowanie słabe (wariacyjne)

N

D

nagn

unau

wu

0

0

DYSKRETYZACJA METODĄ ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH

Metoda Elementów Skończonych (MES) polega na konstrukcji podprzestrzeni skończenie wymiarowej

VVhp Rozwiązania poszukujemy w postaci kombinacji liniowej funkcji bazy przestrzeni

ihpe

hpV

21

1i

ihp

ihphphphp euuuVu

1hpe

3hpe

5hpe

2hpe 4

hpe

8hpe

16hpe

14hpe

7hpe

9hpe

17hpe

21,...,1,21

1

jeleebu jhp

i

jhp

ihp

ihp

Współczynniki (zwane „stopniami swobody”)otrzymujemy w następujący sposób:

Wstawiamy aproksymacje rozwiązania

do sformułowania słabego (wariacyjnego)

a za funkcje testujące poszczególne funkcje bazowe

Następnie rozwiązujemy uzyskany w ten sposób układ równań linowych

ihpu

DYSKRETYZACJA METODĄ ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH

N

dSvgvl

dxvuvub

Vvvlvub

)(

),(

)(),(

21

1i

ihp

ihphp euuu

21,...,1 jev jhp

N

dSegel

dxeeeeb

jhp

jhp

jhp

ihp

jhp

ihp

)(

),(

(poszukiwane )ihpu

Sformułowanie MES

DYSKRETYZACJA METODĄ ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH

21,...,1,21

1

jeleebu jhp

i

jhp

ihp

ihp

N

dSegeldxeeeeb jhp

jhp

jhp

ihp

jhp

ihp )(),(

jhpihp eeb ,

1hpe

3hpe

5hpe 2

hpe 4hpe

8hpe

16hpe

14hpe

7hpe

9hpe

17hpe

ihpe

ADAPTACJE SIATKI

• Jednorodna h adaptacja, w której wszystkie elementy na całej siatce obliczeniowej

dzielone są na 4 mniejsze elementy.

Celem adaptacji siatki jest zwiększenie dokładności rozwiązania numerycznego uzyskanego metodą elementów skończonych, poprzez zwiększanie ilości wielomianów użytych w celu aproksymacji rozwiązania

21

1i

ihp

ihphp euuu

Wyróżnia się następujące sposoby adaptacji:

ADAPTACJE SIATKI

• Jednorodna p adaptacja, w której wielomianowy stopień aproksymacji podnoszony

jest globalnie na wszystkich elementach w całym obszarze siatki.

ADAPTACJE SIATKI

• h adaptacja, w której jedynie niektóre elementy są łamane, tylko w tych miejscach obszaru obliczeniowego w których błąd rozwiązania numerycznego jest duży. W przypadku obszaru dwuwymiarowego możliwe jest złamanie elementu w kierunku poziomym, pionowym lub w obydwu kierunkach.

ADAPTACJE SIATKI

• hp adaptacja, w której jedynie niektóre elementy skończone są łamane, oraz wielomianowy rząd aproksymacji podnoszony jest jedynie na niektórych elementach.

PORÓWNANIE RÓŻNYCH METOD ADAPTACJI SIATKI

AUTOMATYCZNA hp ADAPTACJA

Automatyczne (bez ingerencji użytkownika) wygenerowanie siatki optymalnej dostarczającej rozwiązania z zadaną dokładnością.

Zaprojektowanie „ręczne” siatki optymalnej wymaga ogromnej wiedzy matematycznej i zazwyczaj nie jest możliwe.

Siatka optymalna dostarczająca rozwiązania z dokładnością 0.001%

GRAFOWA REPREZENTACJA ELEMENTU SKOŃCZONEGO

PRZYKŁAD WYWODU W GRAMATYCE GRAFOWEJ GENERUJĄCEGO STRUKTURE DWÓCH ELEMENTÓW

PRZYKŁAD WYWODU W GRAMATYCE GRAFOWEJ GENERUJĄCEGO STRUKTURE DWÓCH ELEMENTÓW

PRZYKŁAD WYWODU W GRAMATYCE GRAFOWEJ GENERUJĄCEGO STRUKTURE DWÓCH ELEMENTÓW

PRZYKŁAD WYWODU W GRAMATYCE GRAFOWEJ GENERUJĄCEGO STRUKTURE DWÓCH ELEMENTÓW

PRZYKŁAD WYWODU W GRAMATYCE GRAFOWEJ GENERUJĄCEGO STRUKTURE DWÓCH ELEMENTÓW

PRZYKŁAD WYWODU W GRAMATYCE GRAFOWEJ GENERUJĄCEGO STRUKTURE DWÓCH ELEMENTÓW

PRZYKŁAD WYWODU W GRAMATYCE GRAFOWEJ GENERUJĄCEGO STRUKTURE DWÓCH ELEMENTÓW

PRZYKŁAD WYWODU W GRAMATYCE GRAFOWEJ GENERUJĄCEGO STRUKTURE DWÓCH ELEMENTÓW

PRZYKŁAD WYWODU W GRAMATYCE GRAFOWEJ GENERUJĄCEGO STRUKTURE DWÓCH ELEMENTÓW

ALGORYTM GENERACJI REPREZENTACJI GRAFOWEJNA PODSTAWIE DANYCH WEJŚCIOWYCH UZYSKANYCH OD GENERATORA SIATKI

Lista wierzchołków (współrzędne geometryczne)

Lista krawędzi (zdefiniowane poprzez 2 wierzchołki)

Lista elementów (zdefiniowane poprzez 4 krawędzie)

Lista stopni aproksymacji dla wnętrz elementów

Wygeneruj wierzchołki (nieterminale v)

Nadaj atrybuty wierzchołkom (współrzędne geometryczne)

Wygeneruj krawędzie (nieterminale F)

Połącz krawędzie z wierzchołkami

generując nieterminale reprezentujące elementy (nieterminal iel)

Wygeneruj wnętrza elementów (nieterminale I)

Połącz wnętrza z krawędziami

Wygeneruj nieterminale brzegowe (nieterminal B oraz fake)

Nadaj atrybuty wnętrzom elementów (stopnie aproksymacji)

hp1d, hp2d, hp3d

Automatyczna hp adaptacja w fortranie 90

Struktura danych (tablice VERTS, NODES, ELEMS)

Grafowa reprezentacja siatki obliczeniowej

Metoda elementów skończonych z hp adaptacją pracująca na gramatykach grafowych (1d, 2d,3d)

Obiektowa aplikacja hp MES (1d, 2d, 3d)

Obiektowa struktura danych

PROPOZYCJA PROJEKTÓW