Hướng dẫn bài tập chương 1 - linearalgebra1.wikispaces.comlinearalgebra1.wikispaces.com/file/view/chuong+1.doc/2… · Web viewChương 1. TẬP HỢP – ÁNH XẠ -

Hướng dẫn giải bài tập chương 1

Chương 1. TẬP HỢP – ÁNH XẠ - QUAN HỆ - SỐ PHỨC_______________________________Chú ý: Sinh viên có thể tham khảo thêm các dạng bài tập khác trên các tài liệu khác và trên

website: http://www.linear.aglebra1.wikispaces.comI. Chứng minh một đẳng thức về tập hợp: Để chứng minh tập hợp A bằng tập hợp B ta cần chứng minh và , hay

và ngược lại.Ví dụ:Cho X A B là các tập hợp chứng minh rằng: X \ (A B) = (X \ A) (X \ B)Hướng dẫn:

Do đó (1)

Ngược lại,

Suy ra, (2)Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.Bài 1. Chứng minh với mọi tập A, B, C ta luôn có:

a) ;b) ;c) ;d) e) ;f) .

Hướng dẫn:

a)

Suy ra, Bao hàm thức còn lại chứng minh tương tự.Vậy, Các câu còn lại sinh viên chứng minh tương tự.Bài 2: Các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng? a) ;b) c) .Hướng dẫn:Sinh viên dựa vào các phép toán trên tập hợp. Có thể vẽ biểu đồ Venn để minh họa.

Đại số Tuyến tính 1. 1


Đối với đẳng thức sai có thể chỉ ra phản ví dụ. Bài 3: Chứng minh rằng:a) ;b) c) d) e) Hướng dẫn:

b)

Bao hàm thức ngược lại chứng minh tương tự.Suy ra, .- Các câu còn lại sinh viên làm tương tự. II. Phép thế 1) Xác định các phép thế của một tập hợpBài 1. Tìm tất cả các phép thế của mỗi tập sau và xác định dấu của mỗi phép thế: a)

b)Hướng dẫn:Dựa vào định nghĩa của phép thế là một hoán vị của các phần tử của tập hợp. Số các phép

thế của tập có n phần tử là n!.a) Ta có các phép thế sau:

b) Sinh viên làm tương tự.Bài 2. Cho X là tập hợp có n phần tử. Hỏi có thể lập được tổng cộng bao nhiêu phép thế? Trong đó, có bao nhiêu phép thế chẵn? Phép thế lẻ?Cho ví dụ khi n bằng 5. 2) Các phép toán trên phép thế:Bài 1. Cho các phép thế sau:

i) ii) iii)

a) Tính và b) Với mỗi phép thế trên hãy xác định dấu của nó, tìm phép thế nghịch đảo và dấu của phép

thế nghịch đảo đó.Hướng dẫn:Tích hai phép thế thực chất là tích của hai ánh xạ. a) Ta có:



Câu còn lại làm tương tự.b) Dựa vào định nghĩa dấu của phép thế.

Ta có . Do đó, số nghịch thế của là số lẻ nên

đây là phép thế lẻ, dấu của phép thế này bằng -1.- Các câu còn lại làm tương tự. Bài 2. Xác định dấu của các phép thế sau:

a) b) c) d)

Hướng dẫn:- Tìm số nghịch thế từ đó suy ra dấu của phép thế. Bài 3: Tính trong các trường hợp sau:

a)

b)

Hướng dẫn:Tính thực chất là lấy nghịch ảnh của phép thế và là tích hai ánh xạ Ta có

Các câu còn lại làm tương tự. III. Quan hệ:Dựa vào định nghĩa và tính chất của từng loại quan hệ: Quan hệ tương đương (thỏa các tính

chất phản xạ, đối xứng, bắt cầu); Quan hệ thứ tự (thỏa các tính chất phản xạ, phản xứng, bắt cầu).

Ví dụ:1) Trong tập xác định quan hệ hai ngôi như sau: (a b) (c d) : (a b) (c d) a + d = b + cChứng minh rằng là quan hệ tương đương.2) Cho F là tập hợp các hàm số thực liên tục trên [a b] xét xem quan hệ sau trên F có là

quan hệ thứ tự không:

Hướng dẫn:1) (a b) : a + b = b + a (a b) (a b)

(a b) (c d) :(a b) (c d) a + d = b + c

c + b = d + a (c d) (a b)



(a b) (c d) (e f ) :

(a b) (e f)

Do đó là quan hệ tương đương.

2)

Do đó là quan hệ thứ tự trên F.

Bài 1. Ký hiệu chỉ tập hợp số tự nhiên khác không trong tập xác định quan hệ hai ngôi như sau:

(a b) (c d) : (a b) (c d) ad = bc

Chứng minh rằng là quan hệ tương đương.

Hướng dẫn: (a b) : ab = ba (a b) (a b)

(a b) (c d) :(a b) (c d) ad = bc

cb = da (c d) (a b)

(a b) (c d) (e f ) :

Nếu a c e đều khác 0 thì ta có (a b) (e f)

Nếu trong a c e có một số bằng 0 giả sử a = 0 thì: a = 0 ad = 0

bc = 0 c = 0 cf = 0 e = 0 af = be (a b) (e f)

Do đó là quan hệ tương đương.

Bài 2: Trên tập số thực cho quan hệ T như sau: aTb nếu . Chứng minh T là một quan hệ tương đương.

Hướng dẫn:

. Suy ra nếu aTb thì bTa.



. Suy ra nếu aTb và bTc, thì aTc.

Vậy tập số thực cho quan hệ T như trên là một quan hệ tương đương. Dựa vào các ví dụ và bài tập trên, sinh viên làm tương tự các bài tập sau. Bài 3. Cho X là tập các điểm trong không gian và O là một điểm cố định của X. Trong X ta

xác định quan hệ như sau:P P’ khi và chỉ khi O, P, P’ thẳng hàng.a/ có phải là quan hệ tương đương trong X hay không?b/ có phải là quan hệ tương đương trong X\{O} hay không?Hướng dẫn: a) Không phải là quan hệ tương đương vì không thỏa mãn tính chất bắt cầu.

b) O, A, A thẳng hàng nên A A.

O A B thẳng hàng O B A thẳng hàng

O, A, C thẳng hàng A CBài 4. Trong tập các số nguyên xác định các quan hệ và T như sau:a b khi và chỉ khi a + b lẻa T b khi và chỉ khi a + b chẵn.Hãy xét xem các quan hệ trên có những tính chất gì?Hướng dẫn:Kiểm tra xem các quan hệ , T có thỏa những tính chất của quan hệ tương đương không?Bài 5. Cho tập . Trên tập các tập con của X xác định các quan hệ P, Q, R, S như

sau:

Hãy xét xem những quan hệ trên có những tính chất gì?Hướng dẫn:Kiểm tra các quan hệ nêu trên có thỏa các tính chất của quan hệ thứ tự không?IV. Ánh xạ:1. Kiểm tra tính chất đơn ánh, toàn ánh, song ánhDựa vào định nghĩa và các tính chất của đơn ánh, toàn ánh, song ánh.Ví dụ: Cho ánh xạ với xét xem f có là toàn ánh không? f có là đơn

ánh không? Vì sao?Hướng dẫn:



- Chọn y = –5 thì phương trình vô nghiệm, do đó f không là toàn ánh.

- Chọn y = 3 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt, do đó f không là đơn ánh.

Bài 1. Trong các ánh xạ từ X vào Y sau, ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh, song ánh. Trong trường hợp song ánh, hãy tìm ánh xạ ngược.

a. b. X = [1; 2], Y = [1;7], c.

d.

e. X = (-1; 0)

Hướng dẫn:b) Ta có f’(x) = 2x +3.

Dựa vào bảng biến thiên của hàm f(x) trên đoạn [1, 2] ta thấy f(x) là hàm đơn điệu tăng và nhận giá trị biến thiên thuộc đoạn [1;7] do đó, f(x) là song ánh.

Khi đó,

- Các câu còn lại sinh viên làm tương tự.

2. Chứng minh một đẳng thức về ánh xạ:Ví dụ:Cho ánh xạ f : X Y A và B là các tập con của X. Chứng minh:

a) f (A B) f (A) f (B)

b) Bao hàm thức ngược lại không đúng.

Hướng dẫn:a) y f (A B): y f (A B) x A B : y = f (x)

đpcm

b) Xét ánh xạ f : f (x) = 1 với mọi x ; A = {–3 0} B = {2 5}

Khi đó A B = nên f (A B) = f () = nhưng f (A) f (B) = {1} tức là không có f (A) f (B) f (A B)

Bài 1. Cho là ánh xạ, A và B là các tập con của X, C và D là các tập con của Y. Chứng minh:



Hướng dẫn:a) Lấy khi đó, tồn tại sao cho . Khi đó,

.

Suy ra, Bao hàm thức còn lại chứng minh tương tự.Vậy có, - Các câu còn lại sinh viên làm tương tự. Bài 2. Giả sử là ánh xạ và . Chứng minh:a) và ;

b) , với mọi khi và chỉ khi f là đơn ánh.

c) , với mọi khi và chỉ khi f là toàn ánh.Hướng dẫn:Dùng định nghĩa nghịch ảnh của hàm số để chứng minh các bao hàm thức. Lấy , khi đó có để . Mặt khác,

. Nhận thấy y’ = y suy ra, .

Bài 3. Cho A X hàm đặc trưng của A là A: X {0 1} xác định bởi .

Chứng minh nếu A X B X thì A B(x) = A (x). B(x) với mọi x X.Hướng dẫn:Với x tùy ý thuộc X thì x A B hay x A B

Nếu x A B thì x A B x A x B A B(x) = 0 = A (x). B(x)

Nếu x A B thì có các trường hợp sau:

x A B: khi đó A B(x) = 1 = A (x). B(x)

x A \ B: khi đó A B(x) = 0 = A (x). B(x)

x B \ A: khi đó A B(x) = 0 = A (x). B(x)

3. Tìm ảnh và nghịch ảnh của một hàm số trên một tập hợp:Bài 1: Cho ánh xạ bởi a) Xác định ;b) Cho A = [-1; 1], xác định .



Hướng dẫn:Có thể khảo sát hàm số để tìm tập giá trị và nghịch ảnh của một hàm số trên một tập hợp.a) Ta có: b) Sinh viên tự làm như bài tập nhỏ.Bài 2: V. Số phức: 1. Tính các biểu thức của số phức: Dùng các công thức tính phép cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa số phức và đưa về dạng lượng

giác. Ví dụ:Tính các biểu thức:

Hướng dẫn:

e) Ta có:

Các câu còn lại sinh viên tự làm. Bài 3. Tìm dạng lượng giác của số phức sau:a) 5;b) – 2;c) -3i;d) 1 + i;e) 1 – i;

Hướng dẫn:Muốn tìm dạng lượng giác của một số phức cần tìm r và góc .

d) Ta có:

Các câu còn lại sinh viên làm tương tự. Bài 4. Biến đổi về dạng lượng giác để tính các biểu thức sau:



e)

Hướng dẫn:Đưa về dạng lượng giác rồi áp dụng công thức Moivre để nâng lên lũy thừa.

a) Ta có .

Suy ra,

Các câu còn lại sinh viên làm tương tự. 2. Giải các phương trình lượng giác:Ví dụ:1) Tìm các số thực x, y thỏa mãn phương trình sau:a. b. Hướng dẫn:a) Ta có:2x + y + i(x + 2y) = 1 - 4i

Suy ra,

b) Làm tương tự2) Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho (1 – i )n là một số dương.

Hướng dẫn:

Ta có: 1 – i = nên (1 – i )n =

Để thỏa yêu cầu bài toán phải có:

Do đó n = 8.

Bài 1:Hãy giải các phương trình sau trên



Bài 2: Tính biết rằng

Hướng dẫn:

Do đó z2010 =

Bài 3: Cho k là số thực,

a) Tính (viết kết quả dưới dạng đại số)

b) Tìm k sao cho z là số thực, là số thuần ảo.

Hướng dẫn:

a)

b) Vì với mọi k nên không có giá trị k nào để z là số thực.

Khi k = 0 thì z là số thuần ảo.

Bài 4: Cho a, b là các số thực, tìm x và y sao cho (x + ai)(b + yi) = 4 + 3i

Hướng dẫn: Áp dụng phép toán trên số phức khai triển vế trái, áp dụng tính chất hai số phức bằng nhau đưa về giải và biện luận một hệ phương trình với hai ẩn x, y.

Bài 5: Giải phương trình sau trong tập hợp số phức:



Hướng dẫn:

Điều kiện: z ≠ 1

Đặt u = ta có phương trình u3 = 1

* Với u = 1 thì z = 0

* Với u = thì z = –

* Với u = thì z =

3. Biểu diễn hình học của một tập hợp số phức:Ví dụ:Cho hai số phức z z'.

a) Chứng minh rằng | z + z'|2 + | z – z'|2 = 2(|z|2 + |z'|2).

b) Giải thích ý nghĩa hình học của đẳng thức trên.

Hướng dẫn:a) Giả sử z = x + iy z' = x' + iy' khi đó:

| z + z'|2 + | z – z'|2 = (x + x' )2 + (y + y' )2 + (x – x' )2 + (y – y' )2

= 2x2 + 2x'2 + 2y2 + 2y'2 = 2(|z|2 + |z'|2)

b) Gọi các điểm lần lượt là biểu diễn hình học của các số phức z = x + iy z' = x' + iy'.

4

2

5O

M

M'

N

Ta có



Ý nghĩa hình học của đẳng thức: trong hình bình hành tổng bình phương hai đường chéo bằng tổng bình phương các cạnh.

Bài 1: Cho số phức z = a + ib (a b là số thực). Tìm điều kiện của a b để điểm biểu diễn của z nằm trong đường tròn tâm O bán kính 2.

Hướng dẫn: Gọi M(a, b) là điểm biểu diễn của z. M nằm trong đường tròn tâm O bán kính 2 khi và chỉ khi a2 + b2 < 4.

Bài 2: Biểu diễn hình học các số phức z thỏa các điều kiện sau:

a) | z – 2| = 2

b) | z + 1| + | z – 1| = 4

Hướng dẫn:

a) Gọi M(x y) là biểu diễn hình học của số phức z I(2 0) là biểu diễn hình học của số phức z1 = 2.

Khoảng cách từ điểm M đến điểm I (cố định) luôn bằng 2 nên tập hợp các điểm M chính là tập hợp các điểm thuộc đường tròn tâm I bán kính 2.

Sinh viên vẽ hình minh họa.

b) Gọi M(x y) là biểu diễn hình học của số phức z A(–1 0) là biểu diễn hình học của số phức z1 = –1 B(1 0) là biểu diễn hình học của số phức z2 = 1.

Tổng khoảng cách từ điểm M đến 2 điểm cố định A B luôn bằng 4 nên tập hợp các điểm M chính là tập hợp các điểm thuộc ellipse(E).

(E) có hai tiêu điểm là A B ; nửa trục lớn là a = 2; tiêu cự 2c = AB = 2; nửa trục nhỏ

do đó phương trình của (E) là .

Sinh viên vẽ hình minh họa. Bài 3: Biểu diễn trên mặt phẳng phức các tập hợp sau:

Hướng dẫn:Sinh viên làm tương tự như bài 2. BÀI TẬP CỦNG CỐ:1) Cho A B là các tập hợp chứng minh rằng:a) (A \ B) B = A Bb) Tìm điều kiện để (A \ B) B = A.

2) Cho các phương trình với là các đa thức hệ số thực. Gọi A1 A2 B lần lượt là các tập hợp nghiệm của các phương trình



. Chứng minh rằng A1 A2 = B.

3) Cho F là tập hợp các hàm số thực liên tục trên [a b] xét xem quan hệ sau trên F có là quan hệ thứ tự không:

4) Cho là tập hợp các điểm trong mặt phẳng O là một điểm cố định trong . Trong xác định quan hệ hai ngôi như sau: O A B thẳng hàng. Xét xem có là quan hệ tương đương không.

5) Giả sử là tập hợp các tam giác, là tập hợp các đường tròn trong mặt phẳng.a) Quy tắc cho tương ứng mỗi tam giác với đường tròn ngoại tiếp tam giác đó có phải là

ánh xạ từ đến không? Tại sao?b) Quy tắc cho tương ứng mỗi đường tròn với tam giác nội tiếp trong nó có phải là ánh

xạ từ đến không? Tại sao?

6) Cho tập X gồm m phần tử tập Y gồm n phần tử. Tìm số ánh xạ có thể có từ X đến Y.

Hướng dẫn:Giả sử X = { x1 x2 … xm} và Y = { y1 y2 … yn}. Khi đó phần tử xi bất kỳ trong X có n

cách chọn ảnh suy ra số ánh xạ có thể có từ X đến Y là nm.

Sinh viên có thể cho ví dụ với các giá trị cụ thể của m và n.

7) Giải phương trình sau trong tập số phức : (z + 1)6 – 2 = 0

8) Tìm số phức z thỏa:

Hướng dẫn: Đặt , thay vào phương trình giải hệ tìm được 4 nghiệm

(0 0) (–2 0) (1 ) (1 –)

Do đó có 4 số phức thỏa đkbđ: z1 = 0 ; z2 = –2 ; z3 = 1 + i ; z4 = 1 – i

9) Tính biết rằng , n là số nguyên khác không, là số thực.

10) Biểu diễn hình học các số phức z thỏa các điều kiện sau:

a) | z – 2| = 2

b) | z + 1| + | z – 1| = 4

11) Tìm số nghịch thế của phép thế sau, từ đó suy ra đâu là phép thế chẵn, đâu là phép thế lẻ:

a) b) c)

12) Cho là một phép thế thuộc , chứng minh rằng

13) Cho A X hàm đặc trưng của A là A: X {0 1} xác định bởi .

Chứng minh rằng nếu A X B X thì A B(x) = A (x) + B(x) – A B(x)



với mọi x X.

Hướng dẫn

Với x tùy ý thuộc X thì x A B hay x A B. Nếu x A B thì x A B x A x B A B(x) = 0 = A (x). B(x). Nếu x A B thì có các trường hợp x A B hoặc x

A \ B hoặc x B \ A . Tương ứng với từng trường hợp đó, xét A B(x).

14) Chứng minh rằng:a) Mỗi phép thế bậc n (n >1) đều có thể phân tích thành tích các chuyển trí dạng (k, k+1)

trong đó .b) Mỗi phép thế bậc n (n >1) đều có thể phân tích thành tích các chuyển trí dạng (1, k)

trong đó . 15) Chứng minh rằng mỗi phép thế chẵn đều có thể phân tích thành tích các vòng xích độ

dài 3.


Documents

Hướng dẫn bài tập chương 1 - linearalgebra1.wikispaces.comlinearalgebra1.wikispaces.com/file/view/chuong+1.doc/2… · Web viewChương 1. TẬP HỢP – ÁNH XẠ -