1

TRUONGHOCSO.COM

MÃ SỐ D2 Hướng dẫn giải

TUYỂN TẬP ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012 - 2013

Môn thi: TOÁN; Khối: D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 4 3

xyx

.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho.

2. Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến của C tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có

diện tích bằng 38

.

Hướng dẫn: 1. Bài toán cơ bản – học sinh tự giải. 2. Gọi điểm 0 0;M x y là điểm thuộc đồ thị hàm số. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M là

20 0 0

02 2 20 0 0

4 93 34 34 3 4 3 4 3

x x xxy x x yxx x x

.

Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến trên với các trục tọa độ lần lượt là

2 20 0 0 0

20

4 9 4 90; ; ;034 3

x x x xA Bx

.

Diện tích tam giác AOB :

22 2 00 0 0 0 0

2 20 0 00

0

34 9 4 9 3 33 1 3 2.

38 2 8 4 9 3 312 3 1 54

AOB

x Mx x x x xS

x x xx x M

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 2 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình 2 2

2 2

8;

3 2 5 2x y x y

x yx y xy x y

.

Hướng dẫn: Phương trình thứ hai của hệ tương đương với

2 2 13 2 5 2 0 1 3 2 0

3 2x y

x y xy x y x y x yx y

Với 1x y ta có 22 2 1 21 1 8 2 3 0

3 2x y

x x x x x xx y

Với 3 2x y thì 2 7 69 35 7 1 0 ; 2 7 6910 10

y y y x

Hệ đã cho có 4 nghiệm. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân 2

0

23 4 2

sin xdxI dxsinx cos x

.

Hướng dẫn:

2

2 2 2

220 0 0

11 1

2 20 0 0

2 sin23 4 2 3 4 2 1 1

; 0 0; 12

1 1 1 11 ln 21 1 21 1

sinx d sinxsin xdx xcosxdxI dx dx dxsinx cos x sinx sin x sinx

sinx t x t x t

tdtI dt ln tt tt t

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 4 (1,0 điểm). Giải phương trình 3 3 31 2 2 42

sin x cos x sin x .

Hướng dẫn:

Phương trình đã cho tương đương với: 3 3 31 2 2 42

sin x cos x sin x

31 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2sin x cos x sin xcos x sin x cos x sin xcos x

Đặt 22 2 2 2 2 ; 1 44

sin x cos x t t sin x t sin x

.

2 23 3 2 2

11 11 4 . 3. 3 3 5 0 1 2 5 02 2 1 6

2* 1 2 ;4 2 4 2

tt tt t t t t t t tt L

t sin x x k x k k

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp .S ABC có ; ; , 60 ; 90 ; 120SA a SB b SC c ASB BSC CSA . Tính thể tích khối chóp .S ABC . Hướng dẫn: Trên các tia SB, SC lần lượt lấy các điểm B’, C’ sao cho ' 'SB SC SA a . Tam giác SAB đều nên AB a . Tam giác SBC’ vuông cân tại S nên 2B C a . Tam giác SC’A cân tại S có 120 3CS A C A a . Dễ thấy 2 2 2AB B C C A , suy ra tam giác AB C vuông tại B’ Kẻ SH vuông góc với mặt phẳng (AB’C’) ta có HA HB HC , H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AB’C’.

2 3

' ' '1 1 2 230 . .2 3 2 2 12SA B C

a a aSH SAsin V ; ' ' '

2.' ' 12

SABCSABC

SA B C

V SB SC abcVV SB SC

.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 6 (1,0 điểm). Cho ba số thực dương , ,x y z thỏa mãn điều kiện 94

xy yz zx . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 214 10 4 2P x y z y . Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có

2 2

2 2 2 28 4 ; 8 4 ; 2 42 2x xz xz y yx y z zy

Cộng từng vế ta được 2 2 210 10 4x y z xy yz xz .

Hơn nữa 2 24 2 4 4 2 3 4 4 2 3y y y y y

Do đó 94. 3 64

P . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 6, đạt được khi 1 ; 22

x y z .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng : 1d x y và các điểm 0; 1 , 2;1A B . Tứ giác ABCD là hình thoi có tâm nằm trên đường thẳng d , tìm tọa độ các điểm ,C D . Hướng dẫn: Gọi tâm hình thoi là ;1I a a . Ta có ;2 ; 2;AI a a BI a a

.

Theo tính chất hai đường chéo hình thoi

2. 0 2 0 2 0

0 0;1 0;2 , 2;1

2 2; 1 4; 1 , 2; 3

AI BI AI BI a a a a

a I C D

a I C D

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 8.a (1,0 điểm). Giải phương trình 1

33 12.27 1 3

2

xx x

.

Hướng dẫn:

Đặt 3 , 0t u u thu được phương trình 3 33 12 1 3

2uu

.

Đặt 333 1 2 3 1

2u t t u

. Ta có hệ phương trình

232 2 2

3

3 23

2 3 1 32 3 2 3 02 22 3 1

12 1 0 1 2 2 1 0 0; 3 1

1 3

u t tu t u ut t t u t u u tt u

ut u u u u u u x x log

u

Phương trình đã cho có hai nghiệm. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 9.a (1,0 điểm). Tìm tất cả các số hạng nguyên dương trong khai triển nhị thức Newton 201 1

4 215 11

.

Hướng dẫn:

Số hạng thứ k :20

4 21 2015 11

k kk

kT C

. Để là số hạng nguyên dương thì

4

20 0;4;8;12;16;2020

2

k

k kk

.

Suy ra các số hạng nguyên dương 0 10 4 8 8 2 6 12 3 4 16 4 2 20 520 20 20 20 20 2015.11 15.11 15 11 15 11 15 11 15C C C C C C .

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- B. Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn 2 2: 3 4C y x và một đường tròn C cắt

đường tròn C tại hai điểm phân biệt ,A B . Giả sử phương trình đường thẳng AB : 2x y , lập phương trình đường

tròn C có bán kính nhỏ nhất. Hướng dẫn:

4

Đường tròn đã cho có tâm 0;3I và bán kính 2R . Phương trình đường thẳng đi qua I và vuông góc với đường thẳng AB : 3 0x y .

Tọa độ trung điểm E của AB là nghiệm của hệ

13 0 1 52 ;2 5 2 2

2

xx yE

x y y

Đường tròn (C’) có bán kính nhỏ nhất khi AB là đường kính và E là tâm.

2 21

3 2 1 1 7,2 22 2

d I AB R R

Đường tròn cần tìm 2 21 5 7

2 2 2x y

.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Câu 8.b (1,0 điểm). Tìm giá trị thực của tham số m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x 3 1 2 1 0x xm m . Hướng dẫn:

Bất phương trình đã cho tương đương với 33 1 2 1 12 1

xx x

xm m

.

Xét hàm số 2

3 2 1 3 2 3 23 ; 02 1 2 1

x x x xx

x x

ln lnf x f x x

. Hàm số đồng biến với mọi x .

Mặt khác lim 0x

f x

. Bất phương trình đã cho nghiệm đúng khi 1 0 1m m .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 9.b (1,0 điểm). Tìm tọa độ điểm F thuộc đồ thị hàm số 22 3 2

1x xy

x

sao cho tổng khoảng cách từ F đến hai

đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn: Tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị lần lượt là 1; 2 1x y x .

Tọa độ điểm cần tìm 1;2 11

F a aa

(a khác 1).

Khoảng cách từ F đến đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là 1 1d a .

Khoảng cách từ F đến đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là 2 2 2

12 2 1 11 1

5 12 1

a aad

a

.

Tổng khoảng cách từ F đến hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là

1 2 4

1 1 21 2 1 .5 1 5 1 5

d d d a aa a

Đẳng thức xảy ra khi 4

1 11 15 1 5

a aa

Suy ra tọa độ điểm F cần tìm là 4 41 24 4 4 4

1 2 1 21 ;1 5 , 1 ;1 55 5 5 5

F F

.