Embed Size (px)
Citation preview
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THPTQG 2018.
MÃ ĐỀ 112
Câu 1: Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 2 .a Thể tích khối lăng trụ đã cho
bằng
A. 3
2 .a B. 3
4 .a C. 32.
3
a D. 34.
3
a
Mức độ 1.
Giải: Dùng công thức thể tích lăng trụ .V S h trong đó 2
S a là diện tích hình vuông, 2h a là chiều cao.
Chọn phương án A.
Câu 2: Nguyên hàm của hàm số 3 2
y x x là
A. 2
3 2 .x x C B. 4 3
1 1.
4 3
x x C C. 4 3
.x x C D. 3 2
.x x C
Mức độ 1.
Giải: Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản, chọn phương án B.
Câu 3: Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng
1
: 5
2 3
x t
d y t
z t
?
A. 1;1;3 .Q B. 1;2;5 .P C. 1;5;2 .N D. 1;1;3 .M
Mức độ 1.
Giải: Biết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian. Chọn phương án C.
Câu 4: Cho hàm số 4 2
, ,y ax bx c a b c có đồ thị như hình vẽ
bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 3. B. 1.
C. 2. D. 0.
Mức độ 1.
Giải: Kiến thức cơ bản về hàm số trùng phương. Hàm số có ba điểm cực trị. Chọn phương án A.
Câu 5: Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
A. 4 2
2.y x x
B. 3 2
3 2.y x x
C. 4 2
2.y x x
D. 3 2
3 2.y x x
Mức độ 1.
Giải: Đây là đồ thị hàm số bậc ba. Nhìn giới hạn limx
y
thì hệ số bậc ba âm nên ta chọn phương án D.
Câu 6: Từ các số 1,2,3,4,5,6,7,8 lập được bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số khác nhau?
A. 2
8 . B. 2
8.C C.
8
2 . D. 2
8.A
Mức độ 1.
Giải: Mỗi số tự nhiên có hai chữ số được lập tương ứng với cách xếp hai số trong 8 số đã cho (có thứ tự) nên
ta chọn phương án D.
Câu 7: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng : 2 3 1 0P x y z có một véctơ pháp tuyến là
A. 2
1;3;2 .n
B. 41;3;2 .n
C.
32;1;3 .n
D.
13;1;2 .n
Mức độ 1.
Giải: Biết phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian. Chọn phương án C.
Câu 8: Phương trình 2 1
5 125x có nghiệm là
A. 3.x B. 1.x C. 3.
2
x D. 5.
2
x
Mức độ 1.
Giải: Phương trình tương đương với 2 1 3 1.x x Chọn phương án B.
Câu 9: 1
lim
2 5n bằng
A. 1.
5
B. 0. C. . D. 1.
2
Mức độ 1.
Giải: Sử dụng giới hạn cơ bản 1
lim 0
n
, ta có
1
1 0lim lim 0.
52 5 22
n
n
n
Chọn phương án B.
Câu 10: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường 2
2 , 0 , 1 , 2y x y x x . Gọi V là thể tích khối
tròn xoay được tạo thành khi quay H xung quanh trục .Ox Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 2
2
1
2 .V x dx B. 2
22
1
2 .V x dx C. 2
22
1
2 .V x dx D. 2
2
1
2 .V x dx
Mức độ 1.
Giải: Biết kiến thức cơ bản phần ứng dụng tích phân tính thể tích. Chọn phương án C.
Câu 11: Với a là số thức dương tùy ý, 3
3log
a
bằng
A. 3
1 log .a B. 3
3 log .a C. 3
1 log .a D. 3
1.
log a
Mức độ 1.
Giải: Ta có 3 3 3 3
3log log 3 log 1 log .a a
a
Chọn phương án C.
Câu 12 : Trong không gian Oxyz, mặt cầu 2 2 2
: 5 1 2 3S x y z có bán kính bằng
A. 3. B. 2 3. C. 9. D. 3.
Mức độ 1.
Giải : Biết phương trình chính tắc của mặt cầu. Chọn phương án A.
Câu 13 : Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?
A. 2;3 . B. 3; .
C. ; 2 . D. 2; .
Mức độ 1. Giải : Biết nhìn bảng biến thiên, chọn khoảng nghịch biến 2;3 . Chọn phương án A.
Câu 14 : Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay có bán kính đáy r và độ dài đường sinh l bằng
A. 4.
3
rl B. 4 .rl C. 2 .rl D. .rl
Mức độ 1.
Giải : Công thức trong SGK. Chọn phương án C.
Câu 15 : Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là
A. 1 3 .i B. 1 3 .i C. 1 3 .i D. 1 3 .i
Mức độ 1.
Giải : Biết kiến thức về dạng đại số của số phức. Chọn phương án B.
Câu 16 : Giá trị lớn nhất của hàm số 4 2
13y x x trên đoạn 1;2 bằng
A. 85. B. 51.
4
C. 25. D. 13.
Mức độ 2.
Giải : 3
' 4 2y x x . Phương trình
0
' 02
2
x
y
x
.
Ta có 2 51
0 1 13 ; 2 25 ; .
2 4
y y y y
Kết luận 1;2
max 25.y
Chọn phương án C.
Câu 17 : Cho hình chóp .S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, AB a và 2 .SB a Góc giữa SB và
mặt phẳng đáy bằng
A. 0
60 . B. 0
30 . C. 0
90 . D. 0
45 .
Mức độ 1.
Giải : Góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng .SBA Ta có 01
cos 60 .
2
ABSBA SBA
SB
Chọn phương án A.
Câu 18 :
2
12 3
dx
x bằng
A. 7
2 ln .
5
B. 1 7ln .
2 5
C. 1ln35.
2
D. 7ln .
5
Mức độ 1.
Giải : 2
2
1 1
1 1 1 7ln 2 3 ln7 ln5 ln .
2 3 2 2 2 5
dxx
x
Chọn phương án B.
Câu 19 : Từ một hộp chứa 10 quả cầu màu đỏ và 5 quả cầu màu xanh , lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu.
Xác suất để lấy được ba quả cầu màu xanh bằng
A. 2.
91
B. 12.
91
C. 1.
12
D. 24.
91
Mức độ 2.
Giải : Không gian mẫu có số phần tử là 3
15455.n C
Tập A các kết quả thuận lợi cho biến cố đang xét có số phần tử là 3
510n A C . Vậy xác suất của biến cố
cần tìm là
2.
91A
n A
P
n
Chọn phương án A.
Câu 20 : Tìm hai số thực x và y thỏa mãn 2 3 3 5 4x yi i x i với i là đơn vị ảo.
A. 1; 1.x y B. 1; 1.x y C. 1; 1.x y D. 1; 1.x y
Mức độ 2.
Giải : 2 3 5 1
2 3 3 5 4 2 3 3 1 5 4 .
3 1 4 1
x x xx yi i x i x y i x i
y y
Chọn phương án A.
Câu 21 : Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại , ,C BC a SA vuông góc với mặt phẳng
đáy và .SA a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng
A. .2
a B.
2.
2
a C.
3.
2
a D. 2 .a
Mức độ 2.
Giải : Ta thấy ,BC CA BC SA BC SAC SAC SAB .
Nên kẻ AH SC tại H thì AH SBC . Do 2
; .
2
AC BC a SA a AH a Chọn phương án B.
Câu 22 : Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 2;4 và có đồ thị
như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình 3 5 0f x trên
đoạn 2;4 là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 0.
Mức độ 1.
Giải: phương trình 5
3 5 0 1;2
3
f x f x . Từ hình vẽ ta thấy phương trình có 3 nghiệm trên đoạn
2;4 . Chọn phương án C.
Câu 23: Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2
16 4xy
x x
là
A. 1. B. 0. C. 3. D. 2.
Mức độ 2.
Giải: Tập xác định 16; \ 1;0 .D
Dùng MTCT tính được 0
1
1lim ; lim
8xx
y y
nên đồ thị hàm số có duy nhất đường tiệm cận đứng 1.x
Chọn phương án A.
Câu 24: Một người gửi tiết kiệm vào một ngân hàng với lãi suất 6,1% / năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra
khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít
nhất bao nhiêu năm người đó thu được (cả số tiền gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định
trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra ?
A. 12 năm. B. 11 năm. C. 10 năm. D. 13 năm.
Mức độ 2.
Giải: Kí hiệu 0,061r là lãi suất và A là số tiền gửi ban đầu. Khi đó sau n năm số tiền người đó thu được là
1
n
nS A r . Theo giả thiết thì
12 1 log 2 11,70622211
n
rA A r n
. Chọn phương án A.
Câu 25: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm 5; 4;2A và 1;2;4B . Mặt phẳng đi qua A và vuông góc
với đường thẳng AB có phương trình là
A. 2 3 20 0.x y z B. 2 3 8 0.x y z
C. 3 3 13 0.x y z D. 3 3 25 0.x y z
Mức độ 1.
Giải: Mặt phẳng đang xét đi qua điểm A và nhận 4;6;2AB
làm véc tơ chỉ phương nên có phương trình
là 4 5 6 4 2 2 0 2 3 20 0.x y z x y z Chọn phương án A.
Câu 26: Hệ số của 5
x trong khai triển biểu thức 6 8
2 3 1x x x bằng
A. 13668. B. 13668. C. 13548. D. 13548.
Mức độ 2.
Giải: Ta có 6 8
6 8 86
6 8
0 0
2 3 1 2 3 1
k k kk k k
k k
x x x x C x C x
Hê số của 5
x là 2 3
2 3 5
6 82 3 1 13548.C C Chọn phương án D.
Câu 27: Cho 2
1
2 ln
e
x x dx ae be c với , ,a b c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đay đúng?
A. .a b c B. .a b c C. .a b c D. .a b c
Mức độ 2.
Giải: 1
1 1
2 ln 2 ln 2 2
e e
e
x x dx x x xdx e I với 1
ln
e
I x xdx
Đặt 2
1ln
;
2
u x du dx
x
xdv xdx v
khi đó 2 2 2 2
11 1
1ln
2 2 2 4 4 4
e ee
x x e x eI x dx
Do đó 2
1
1 7 1 72 ln 2 ; 2;
4 4 4 4
e
x x dx e e a b c . Chọn phương án C.
Câu 28: Xét các số phức z thỏa mãn 2 2z i z là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các
điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng
A. 2. B. 2 2. C. 4. D. 2.
Mức độ 2.
Giải: Giả sử ,z x yi x y có điểm biểu diễn là ;M x y . Khi đó
2 2 2 2 2 2 2 2z i z x y i x yi x x y y xy x y i là số thuần ảo khi và
chỉ khi 2 2
2 2 0 2 2 0x x y y x y x y . Tập hợp điểm M là đường tròn có tâm 1; 1I và
bán kính 2.R Chọn phương án A.
Câu 29: Gọi S là tập hợp tất cả giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình 1 2
9 .3 3 75 0x x
m m có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử ?
A. 5. B. 4. C. 8. D. 19.
Mức độ 2.
Giải: Đặt 3 0x
t t . Ta cần tìm m để phương trình 2 2
3 3 75 0t mt m có hai nghiệm dương phân
biệt. Tức là 2
2
0
300 3 03 0 5 10 6;7;8;9
53 75 0
mm m S
mm
. Chọn phương án B.
Câu 30: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng 1 1
:
1 2 1
x y z và mặt phẳng : 2 3 0P x y z .
Đường thẳng nằm trong P đồng thời cắt và vuông góc với có phương trình là
A.
3
.
2
x
y t
z t
B.
1
1 .
2 2
x
y t
z t
C.
1 2
1 .
2
x t
y t
z
D.
1
1 2 .
2 3
x t
y t
z t
Mức độ 2.
Giải: Đường thẳng nhận 1;2;1u
làm véc tơ chỉ phương và mặt phẳng P nhận 1; 2; 1n
làm véc
tơ pháp tuyến. Gọi d là đường thẳng nằm trong P đồng thời cắt và vuông góc với . Khi đó d nhận
; 0;2; 4u n
làm véc tơ chỉ phương và đi qua giao điểm M của ,d P . Điểm M có tọa độ 1;1;2 nên ta
chọn phương án B.
Câu 31: Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật
21 58
/
120 45
v t t t m s , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng
thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây
so với A và có gia tốc bằng 2/a m s ( a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A. Vận
tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng
A. 21 / .m s B. 36 / .m s C. 30 / .m s D. 25 / .m s
Mức độ 2.
Giải: Sau 18 giây thì A đi được quãng đường
18
2
0
1 58225
120 45
t t dt
. Còn B sau 15 giây thì đi được quãng
đường 2
15.
2
a . Do đó 2
15. 225 2.
2
a a Tại thời điểm đó vận tốc chất điểm B là 15 30.v a Chọn
phương án C.
Câu 32: Ông A dự định sử dụng hết 2
5,5m kính để làm một cái bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật
không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn
nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) ?
A. 3
1,51 .m B. 3
1,17 .m C. 3
1,40 .m D. 3
1,01 .m
Mức độ 3.
Giải: Đặt ;2x x là chiều dài và chiều rộng bể cá, còn h là chiều cao. Khi đó diện tích kính cần sử dụng là
3
32 2 4 2 4 2
5
2.5,55,5 6 2 3 3 2 3 18 4
3
xh x xh xh x x h x h
Kí hiệu V là thể tích bể cá thì 3
2 3
5
2.5,52 1,17
3
V x h m . Chọn phương án B.
Câu 33: Cho tứ diện OABC có , ,OA OB OC đôi một vuông góc với nhau, OA a và 2 .OB OC a Gọi M
là trung điểm của .BC Khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và AB bằng
A. 2.
2
a B. .a C.
6.
3
a D.
2 5.
5
a
Mức độ 2.
Giải: Dùng phương pháp tọa độ hóa (chọn 1a ). Ta xét 1;0;0 , 0;2;0 , 0;0;2 0;1;1A B C M
Khoảng cách cần tìm là ;
2 6;
36;
OM AB OA
d OM AB
OM AB
. Chọn phương án C.
Câu 34: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 2
3
xy
x m
đồng biến trên khoảng ; 6 ?
A. 2. B. 1. C. Vô số. D. 6.
Mức độ 2.
Giải: Tập xác định \ 3 .D m
2
3 2'
3
my
x m
.
Hàm số đồng biến trên khoảng 3 2 0 2
; 6 2
33 6
mm
m
. Có hai giá trị nguyên là 1; 2m m
thỏa mãn yêu cầu. Chọn phương án A.
Câu 35: Một chiếc bút chì có dạng lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy 3mm và chiều cao 200mm . Thân bút
chì được làm bằng gỗ và phần lõi được làm bằng than chì. Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao bằng chiều
dài của bút chì và đáy là hình tròn có bán kính 1mm . Giả định 3
1m gỗ có giá a (triệu đồng), 3
1m than chì có
giá 7a (triệu đồng). Khi đó giá nguyên liệu làm một chiếc bút chì như trên gần nhất với kết quả nào dưới đây
?
A. 84,5.a (đồng). B. 90,07.a (đồng). C. 8,45.a (đồng). D. 9,07.a (đồng).
Mức độ 2.
Giải:
Lục giác đều có diện tích là 2
23 3 27 36.
4 2
mm thể tích cây bút 327 3
.200 2700 3
2
V mm .
Trong đó phần than chì là 3200 mm còn phần gỗ là 32700 3 200 mm
Vậy giá tiền một chiếc bút chì là
6
9
2700 3 200 200 .7
. .10 8,446448365.
10
a a
T a a
. Chọn phương án C.
Câu 36: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 8 5 2 4
3 9 1y x m x m x đạt cực
tiểu tại 0x ?
A. 7. B. Vô số. C. 6. D. 4.
Mức độ 3.
Giải: 7 4 2 3 3 5 2
' 8 5 3 4 9 8 5 3 4 9y x m x m x x x m x m
TH1: 2
4 9 0 3 3m m Dáu của 'y khi x đi qua số 0 đổi từ sang + (chọn).
TH2: 2
4 9 0m kiểm tra dấu của 'y (loại)
TH3: 2
9 0m . Ta xét riêng hai trường hợp 3m (chọn), 3m (loại không đổi dấu khi x đi qua 0).
Vậy tập hợp giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu là 2; 1;0;1;2;3 . Chọn phương án C.
Câu 37: Cho hai hàm số ,y f x y g x . Hai hàm số 'y f x và
'y g x có đồ thị nhủ hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ
thị của hàm số 'y g x . Hàm số 5
6 2
2
h x f x g x
đồng
biến trên khoảng nào dưới đây?
A. 21; .
5
B.
174; .
4
C. 1;1 .
4
D. 213; .
5
Mức độ 3.
Giải: Ta có 5
' ' 6 2 ' 2
2
h x f x g x
Xét 1;1
4
x
thì 25
6 ;7
4
x
và theo hình vẽ thì ' 6 10f x .
Mặt khác 1;1
4
x
thì 5 9
2 3;
2 2
x
và theo hình vẽ thì 5
' 2 5
2
g x
Do đó 5 1
' ' 6 2 ' 2 0 ;1
2 4
h x f x g x x h x
đồng biến trên khoảng 1;1 .
4
Chọn C.
Câu 38: Cho khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C , khoảng cách từ C đến đường thẳng 'BB bằng 5 , khoảng cách từ
A đến các đường thẳng 'BB và 'CC lần lượt bằng 1 và 2, hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng
' ' 'A B C là trung điểm M của ' 'B C và ' 5.A M Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A. 2 5.
3
B. 15.
3
C. 5. D. 2 15
.
3
Mức độ 3.
Giải: Gọi ,H K là hình chiếu vuông góc của A lên ', ' ' 'BB CC AHK BB HK BB . Theo đề bài ta
được 1; 2; 5AH AK HK AHK vuông tại A nên suy ra ' ' ' 'ABB A ACC A .
Dùng công thức ' '
. ' ' ' ' ' '
.23 3. . .sin ' ; ' ' '
3 '
AA B AA C
ABC A B C AA B C
S SV V AA B AA C AA A M
AA
. Dò đáp án thấy có
phương án D thỏa mãn (nên cũng lười tính). Chọn phương án D.
Câu 39: Cho hàm số f x thỏa mãn 1
2
5
f và 2
3
'f x x f x
với mọi .x
Giá trị của 1f bằng
A. 4.
35
B. 79.
20
C. 4.
5
D. 71.
20
Mức độ 3.
Giải: Ta có
4
3
2
' 1
4
f x xdx x dx C
f x f x
. Thay 2x ta được 5 4 1.C C
Như vậy ta được 4
4 41 .
54
f x f
x
Chọn phương án C.
Câu 40 : Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
1 3
: 1 4 .
1
x t
d y t
z
Gọi là đường thẳng đi qua điểm
1;1;1A và có véc tơ chỉ phương 2;1;2u
. Đường phân giác góc nhọn tạo bởi d và có phương trình
là
A.
1 27
1 .
1
x t
y t
z t
B.
18 19
6 7 .
11 10
x t
y t
z t
C.
1
1 17 .
1 10
x t
y t
z t
D.
18 19
6 7 .
11 10
x t
y t
z t
Mức độ 3.
Đường thẳng d nhận véc tơ 3;4;0n
làm véc tơ chỉ phương. Ta có . 2 0n u
nên góc tạo bởi hai véc tơ
,n u
là góc tù. Vì 5 , 3n u
nên hai véc tơ 3 , 5n u
có cùng độ dài và 3 5 19;7; 10n u
là một véc tơ
chỉ phương của đường phân giác góc nhọn tại bởi d và . Như vậy đường phân giác góc nhọn này có
phương trình là
1 19
1 7 .
1 10
x t
y t
z t
Bằng thao tác kiểm tra đơn giản ta chọn phương án D.
Câu 41 : Cho phương trình 2
2 logx
m x m với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên
18;18m để phương trình đã cho có nghiệm.
A. 19. B. 17. C. 9. D. 18.
Mức độ 3.
Giải : Phương trình đã cho đưa về 2
2 log *x
x x m x m
Hàm số 2xf x x đồng biến trên nên phương trình
2 2
* : log log 2x
f x f x m x x m m x
Xét hàm số 2 ' 1 2 ln2x x
g x x g x . Phương trình 2
1' 0 log
ln2
g x x . Lập bảng biến thiên
ta thu được giá trị cần tìm của tham số m là 2
1; log
ln2
g
Dùng MTCT tính được gần đúng 2
1log 0,9139286679
ln2
g
. Do đó tập hợp giá trị nguyên của m thỏa
mãn là 17; 16;...; 1 . Chọn phương án B.
Câu 42 : Cho 0, 0a b thỏa mãn 2 2
2 2 1 4 1log 4 1 log 2 2 1 2.
a b aba b a b
Giá trị của 2a b
bằng
A. 3.
2
B. 5. C. 4. D. 15.
4
Mức độ 3.
Giải :
Ta có 2 2
2 2 1 1; 4 1 1; 4 1 1a b a b ab nên hai số 2 2
2 2 1 4 1log 4 1 ;log 2 2 1
a b aba b a b
đều
là hai số dương. Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta được
2 2 2 2
2 2 1 4 1 4 12 log 4 1 log 2 2 1 2 log 4 1
a b ab aba b a b a b
Tuy nhiên do 2 2 2 2
4 14 1 4 1 log 4 1 1
abab a b a b
Do vậy các đẳng thức phải xảy ra. Nghĩa là 2 2
2 3 3 15; 2 .
4 2 42 2 1 4
a ba b a b
a b a b
Chọn D.
Câu 43 : Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn 1;16 . Xác suất để ba
số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng
A. 683.
2048
B. 1457
.
4096
C. 77.
512
D. 19.
56
Mức độ 3.
Giải : Số phần tử không gian mẫu là 3
16 4096.
Ta tính số cách viết ra ba số để tổng của chúng là bội của 3.
Xét ba tập hợp 3;6;9;12;15X có 5 phần tử, 1;4;7;10;13;16Y có 6 phần tử, 2;5;8;11;14Z có 5
phần tử. Ba số có được chọn có tổng chia hết cho 3 nếu cả ba cùng thuộc một tập X hoặc Y hoặc Z hay mỗi số
thuộc một tập trong ba tập hợp nói trên.
Do vậy số phần tử của tập hợp thuận lợi cho biến cố bằng 3 3 3
5 5 6 3!5.5.6 1366 số 3! chỉ số hoán vị
khi cho 3 bạn A, B, C chọn ba số từ các tập hợp X, Y, Z.
Vậy xác suất của biến cố cần tìm là 683.
2048
P Chọn phương án A.
Câu 44 : Cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCD A B C D có tâm
.O Gọi I là tâm của hình vuông ' ' ' 'A B C D và điểm M
thuộc đoạn thẳng OI sao cho 1
2
MO MI (tham khảo
hình vẽ). Khi đó sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng
' 'MC D và MAB bằng
A. 6 13
.
65
B. 7 85
.
85
C. 7 13
.
65
D. 6 85
.
85
Mức độ 3.
Giải : Giả sử độ dài cạnh hình lập phương là 6. Ta thiết lập hệ trục tọa độ nhận O làm gốc trong đó các trục
, ,Ox Oy Oz cùng hướng với , ,BA BC IO
.
Khi đó 3; 3;3 , 3; 3;3 , ' 3;3; 3 , ' 3;3; 3 , 0;0; 1A B C D M . Mặt phẳng ' 'MC D nhận véc tơ
10;2;3n
làm véc tơ pháp tuyến còn mặt phẳng MAB nhận véc tơ
20;4;3n
làm véc tơ pháp tuyến.
Ta có 1 2
17 6 13cos ; sin ; ' ' .
655 13
n n MAB MC D
Chọn phương án A.
Câu 45 : Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 5 2 6 ?z z i i i z
A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
Mức độ 3.
Giải : Từ giả thiết ta có 5 2 . 6 *z z i z z i . Rõ ràng từ đây ta thấy nếu giải được mỗi giá trị
của z thì đều có được một giá trị của .z
Từ * lấy bình phương của mô đun hai vế ta được 2 22 2
25 2 6 1z z z z
Đặt 0t z ta thu được phương trình 2 4 3 2 4 3 2
26 4 4 12 37 12 11 4 4 0t t t t t t t t t
3
1 11 4 0t t t . Từ đây sử dụng MTCT giải được ba nghiệm dương. Chọn phương án B.
Câu 46 : Cho hàm số 4 21 7
6 3
y x x có đồ thị C . Có bao nhiêu điểm A thuộc C sao cho tiếp tuyến của
C tại A cắt C tại hai điểm phân biệt 1 1 2 2; , ;M x y N x y (M, N khác A) thỏa mãn
1 2 1 24 .y y x x
A. 1. B. 0. C. 3. D. 2.
Mức độ 3.
Giải : Đường thẳng MN với 1 1 2 2; , ;M x y N x y mà
1 2 1 24y y x x là đường thẳng có hệ số góc bằng
4. Gọi a là hoành độ điểm A , khi đó ta có phương trình
32 14
' 4 4 0 3; 1; 2.
3 3
y a a a a a a
Thử lại (Ở đây cần phải thử xem có thực sự tiếp tuyến này cắt lại đồ thị ở hai điểm khác A hay không)
3a phương trình tiếp tuyến là 39
4
2
y x (Chỉ có một điểm chung với đồ thị) loại
1a phương trình tiếp tuyến là 11
4
6
y x (Có ba điểm chung với đồ thị tại các điểm có hoành độ là
1; 1 2 3x x ) nhận
2a phương trình tiếp tuyến là 4
4
3
y x (Có ba điểm chung với đồ thị tại các điểm có hoành độ là
2; 2 6x x ) nhận . Vậy chọn phương án D.
Câu 47 : Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu 2 2 2
: 2 3 1 16S x y z và điểm 1; 1; 1A .
Xét các điểm M thuộc mặt cầu S sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với ,S M luôn thuộc mặt phẳng có
phương trình là
A. 3 4 2 0.x y B. 3 4 2 0.x y
C. 6 8 11 0.x y D. 6 8 11 0.x y
Mức độ 3.
Giải : Mặt cầu S có tâm 2;3; 1I và bán kính 4.R Theo định lý Pi – ta – go thì 2 2
3AM IA IM
Khi đó điểm M thuộc mặt cầu 2 2 2
1 1 1 9x y z
Tọa độ điểm M thỏa mãn hệ 2 2 2
2 2 2
4 6 2 2 06 8 4 0 3 4 2 0
2 2 2 6 0
x y z x y zx y x y
x y z x y z
. Chọn
phương án A.
Câu 48 : Cho hàm số 2
1
xy
x
có đồ thị C . Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của C . Xét tam giác
đều ABI có hai đỉnh ,A B thuộc C , đoạn thẳng AB có độ dài bằng
A. 6. B. 3. C. 2 2. D. 2 3.
Mức độ 3.
Giải : Ta giả sử hai điểm ,A B có tọa độ tương ứng là 3 3
1 ;1 ; 1 ;1A a B b
a b
. Trung điểm đoạn
thẳng AB là 3 1 1
1 ;1
2 2
a bM
a b
và dĩ nhiên 1;1I .
Trước tiên ta thấy 2 2
2 2
2 2 2 2
01 1. 0 9 0
9
a bIM AB a b
a b a b
Dĩ nhiên 2 2
0a b không thể xảy ra, vì trái lại thì 0
a b
a b
sẽ dẫn tới A B hoặc .M I
Bây giờ xét 2 2
9 *a b . Ta dùng điều kiện tiếp theo 2.
3
AB MI để thu được phương trình
22 2
2 1 1 4 9 1 19
3 4 4
a b
a b
a b a b
Thay * vào ta được 2 2
2 2
3 4a b a b a b ab
Như vậy 2
2 2
3 ; 12 6ab a b a b .
Khi đó 2
2 22
1 19 2 12 2 3AB a b a b AB
a b
. Chọn phương án D.
Câu 49 : Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S có tâm 1;0;2I và đi qua điểm 0;1;1A . Xét các điểm
, ,B C D thuộc S sao cho , ,AB AC AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá
trị lớn nhất bằng
A. 8.
3
B. 8. C. 4. D. 4.
3
Mức độ 3.
Giải : Đặt , ,AB a AC b AD c .
Khi đó bán kính mặt cầu là 2 2 2
2 2 2
3 12
2
a b cR IA a b c
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si thì 2
2 2 2 312 3 8.a b c abc abc
Mà 1 4
6 3ABCDV abc . Đẳng thức xảy ra 2.a b c Chọn phương án D.
Câu 50: Cho hai hàm số 3 23
4
f x ax bx cx và
23
4
g x dx ex , , , , .a b c d e Biết rằng đồ thị của hàm số
y f x và y g x cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt
là 2;1;3 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
đã cho có diện tích bằng
A. 125.
48
B. 253.
24
C. 125.
24
D. 253.
48
Mức độ 2.
Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là 3 230
2
ax b d x c e x . Do phương trình
này có ba nghiệm là 2;1;3 nên ta có đồng nhất thức 3 23
2 1 3
2
ax b d x c e x a x x x .
Đồng nhất hệ số tự do được 3 1
6
2 4
a a .
Diện tích hình phẳng cần tìm là 3
2
1 2532 1 3 .
4 48
S x x x dx
Chọn phương án D.
-------------------------------
