I ХЭСЭГ

ҮНДСЭН УХАГДАХУУН

1. Натурал илтгэгчтэй зэрэг

№ Чанар Жишээ Дасгал бодлого

1 :

2 ;

3

4

5

6

7 (

)

, (

)

(

)

8 (

);

(

)

(

);

(

)

(

);

9 ;

;

;

2. Тооны стандарт дүрс

3. Нэг гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлэх

4. Олон гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлэх

Жишээ:

1. 3𝑝 + 2𝑞 6 18𝑝 + 12𝑞

2. 𝑥 − 1 −4 −4𝑥 + 4

Бие дааж бодоорой.

1. 𝑎 + 3 4

2. −7 2𝑦 + 5

3. −5𝑥 + 4𝑦 2𝑦

4. −6𝑥 5𝑦 − 2𝑥

5. 2𝑎 − 5𝑏 + 𝑏𝑐 −3

6. 2𝑥2 − 5𝑥𝑦 + 𝑦2 2𝑥𝑦

Жишээ:

1. 𝑥 + 2 𝑥 + 3 𝑥2 + 3𝑥 + 2𝑥 + 6 𝑥2 + 5𝑥 + 6

Бие дааж бодоорой.

1. 𝑎 + 1 𝑎 − 2

2. 3𝑚 − 2 2𝑚 − 1

3. 3𝑎 + 2𝑏 𝑎 − 𝑏

4. 𝑥2 + 3𝑥 + 2 𝑥 − 5

Стандарт хэлбэр

1 ≤ 𝑎 ≤ 10 нөхцөлд тохирох 𝑎 тоо

бүрийг 𝑛 ∈ 𝑍 𝑎 10𝑛 дүрстэй бичиж

болно

Жишээ

149000000 1.49 108 0.02 2 10;2 19 10;5 1.9 10;4

1

5. Хураангуй үржүүлэхийн адилтгал

6. Хялбар модультай тэгшитгэл

7. Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн систем

Томьёо

𝑎2 − 𝑏2 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 −

квадратуудын ялгавар

𝑎 + 𝑏 2 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 −

нийлбэрийн квадрат

𝑎 − 𝑏 2 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 −

ялгаврын квадрат

Жишээ

𝟓+ 𝟒𝒄 𝟐 25 + 2 5 4𝑐 + 16𝑐2 25 + 40𝑐 + 16𝑐2

𝟑𝒂 𝟐 − 𝟒𝟐 9𝑎2 − 16

𝟔𝒕− 𝟏 𝟐 36𝑡2 − 12𝑡 + 1

Хялбар модультай тэгшитгэл

𝑥1 𝑎; 𝑥2 −𝑎

𝑎 0

𝑎 ∅

𝑥 𝑎 тэгшитгэл нь

1. 𝑎 > 0 үед хоѐр шийдтэй

2. 𝑎 0 үед нэг шийдтэй

3. 𝑎 < 0 үед шийдгүй

Жишээ

x − 3 5 x1 8

x − 3 −5 x2 −2

1. 𝐱 𝟑 x 3; x −3

2. 𝐱 − 𝟑 𝟓

3. 𝟐𝐱 𝟎 2x 0 x 0

4. 𝟐𝐱 + 𝟏 + 𝟕 𝟔

2x + 1 −1 x ∅

Нэмэх аргаар бодох алхам

Стандарт хэлбэр 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 𝒄

𝒂𝟏𝒙 + 𝒃𝟏𝒚 𝒄𝟏

I. Тэгшитгэлүүдийг стандарт хэлбэрт

оруулна

II. Тэгшитгэлүүдийг тоогоор үржүүлэх,

аль нэг хувьсагчийн өмнөх

коэффициентийг эсрэг тоо болгоно

III. Үүссэн тэгшитгэлүүдийг гишүүнчлэн

нэмнэ

IV. Гарсан нэг хувьсагчтай шугаман

тэгшитгэлийг бодно

V. Шийдийг гарсан тэгшитгэлүүдийн аль

нэгэнд орлуулж бодоод нөгөө

хувьсагчийг олно

VI. Системийн шийдийг шалгана

https://studio.youtube.com/video/Ql61wId

qoA4/edit?c=UCXX6aSRLJvPipubSOvY99qQ

Жишээ

2𝑥 + 𝑦 5 𝑥 − 2𝑦 10 −2

2𝑥 + 𝑦 5

−2𝑥 + 4𝑦 −20 +

5𝑦 −15

𝑦 −3

𝑥 − 2𝑦 10 –д орлуулъя 𝑥 − 2 −3 10 𝑥 10 − 6 b 𝑥 4 Шалгая

2 4 + −3 5 4 − 2 −3 10

√

2

8. Квадрат тэгшитгэл

9. Хялбар рационал тэгшитгэл

10. Нэг хувьсагчтай шугаман тэнцэтгэл биш

Квадрат тэгшитгэл бодох томьёо

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 𝟎 𝒂 𝟎

𝐷 𝑏2 − 4𝑎𝑐

𝑥1 ;𝑏:√𝐷

2𝑎 𝑥1

;𝑏;√𝐷

2𝑎

Жишээ

𝟑𝒙𝟐 + 𝟏𝟒𝒙+ 𝟏𝟔 𝟎 𝑎 3 𝑏 14 𝑐 16 𝐷 142 − 4 3 16 4

𝑥1 ;14:√4

2 3

;14:2

6 −

12

6 −2

𝑥2 ;14;2

6 −

16

6 −

8

3 −2

2

3

Гүйцэт биш квадрат тэгшитгэл бодох

𝑥1,2 ∓ −𝑐

𝑎

I. 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 𝟎 𝒂 𝟎 үед

𝑥 𝑎𝑥 + 𝑏 0

𝑥 0 ; 𝑎𝑥 + 𝑏 0 → 𝑥 −𝑏

𝑎

II. 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 𝟎 𝒂 𝟎 үед

Хэрэв 𝑎, 𝑐 тоонууд ижил тэмдэгтэй

байвал өгсөн тэгшитгэл шийдгүй

байна

Жишээ

4𝑥2 1 ⇒ 𝑥2 1

4

I. 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 𝟎

𝑥 2𝑥 + 1 0

𝑥 0 ба 2𝑥 + 1 0 → 𝑥 −1

2

Шийд { 𝑥1 0, 𝑥2 −1

2 }

II. 𝟒𝒙𝟐 − 𝟏 𝟎

шийд нь 𝑥1,2 ± 1

4 ±

1

2

Хялбар рационал тэгшитгэл

𝑚

𝑎1𝑥:𝑏1

𝑛

𝑐1𝑥:𝑑1 ( 𝑎1𝑥:𝑏1≠0

𝑐1𝑥:𝑑1≠0 ) ба

𝑎2𝑥:𝑏2

𝑐2𝑥:𝑑2 𝑘 хэлбэрийн тэгшитгэлийг

хялбар рационал тэгшитгэл гэнэ.

Энд 𝑥 хувьсагч бусад нь тогтмол тоо

Жишээ

20𝑥 − 40 5𝑥 + 5

15𝑥 45

𝑥 3

𝟔

𝒙 𝟐 → 𝟔 2𝑥 → 𝑥 3

𝟏𝟎

𝒙:𝟏

𝟓

𝟐𝒙;𝟒 → 10 2𝑥 − 4 5 𝑥 + 1

Тодорхойлолт

𝑎𝑥 + 𝑏 > 0 эсвэл 𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0 хэлбэрт

шилждэг тэнцэтгэл бишийг шугаман

тэнцэтгэл биш гэж нэрлэдэг.

Шугаман тэнцэтгэл бишийн

системийг хэрхэн бодох талаарх

дараах видео хичээлийг үзээрэй

https://youtu.be/y7D8kPcLd1A

Жишээ

𝟓 𝒙− 𝟏 + 𝟕 ≤ 𝟏 − 𝟑 𝒙+ 𝟐

5𝑥 − 5 + 7 ≤ 1 − 3𝑥 − 6

−8𝑥 − 7 ≥ 0

𝑥 ≤ −7

8 шийд нь 𝑥 ∈ −∞; −

7

8

−7

8 𝑥

Квадрат тэгшитгэл бодох томьѐоны хувилбарууд-видео https://youtu.be/-i9FCIdnKLo

Квадрат тэгшитгэлд шилуүүлэн бодох тэгшитгэл https://youtu.be/v_eBNfOzEbQ

3

11. Давхар тэнцэтгэл биш

12. Дараалал

13. Магадлал

Тодорхойлолт

𝑑 > 𝑎𝑥 + 𝑏 > 𝑐 𝑑 ≥ 𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0, 𝑑 > 𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0, 𝑑 ≥ 𝑎𝑥 + 𝑏 > 0 хэлбэрт

шилждэг тэнцэтгэл бишийг давхар

тэнцэтгэл биш гэж нэрлэдэг.

Жишээ

2 < 𝑥 ≤ 4 𝑥 ∈ 2; 4

o 𝟒 < 𝒙 < 𝟖 𝑥 ∈ 4; 8

o 𝟑 < 𝟐𝒙− 𝟏 ≤ 𝟕 → 4 < 2𝑥 ≤ 8 →

4 8 𝑥

2 4 𝑥

Арифметик прогресс

𝑎1; 𝑎2; 𝑎3; 𝑎4; ………

𝑑 −ялгавар 𝑎1- нэгдүгээр гишүүн

𝑎𝑛 𝑎1 + 𝑛 − 1 𝑑 – ерөнхий гишүүний

томьёо https://econtent.edu.mn/videoEBS/8rangi/mat/66

Жишээ

1; 3; 5; 7; … арифметик прогрессийн

ерөнхий гишүүний томьѐог ол. 10-р

гишүүн хэдтэй тэнцүү вэ?

d=2 𝑎1 1 𝑎𝑛 1 + 𝑛 − 1 2

𝑎𝑛 1 + 2𝑛 − 2 𝒂𝒏 𝟐𝒏− 𝟏

𝑎10 2 10 − 1 19 Геометр прогресс

𝑏1; 𝑏2; 𝑏3; 𝑏4; ………

𝑞 −ногдвор 𝑏1- нэгдүгээр гишүүн

𝑏𝑛 𝑏1 𝑞𝑛;1 – ерөнхий гишүүний

томьёо

Жишээ

3; 6; 12; 24;… геометр прогрессийн

ерөнхий гишүүний томьѐог ол. 10-р

гишүүн хэдтэй тэнцүү вэ?

q=2 𝑏1 3 𝒃𝒏 𝟑 𝟐𝒏;𝟏

𝑏10 3 29

Нэгдэл олонлогийн элементийн тоо (чадал) –г олох

𝑨 ∪ 𝑩 𝑨 + 𝑩 − 𝑨 ∩ 𝑩

Хоѐр олонлогийн нэгдлийн элементийн тоог олохдоо:Олонлог тус бүрийн элементийн

тооны нийлбэрээс огтлолцлолын элементийн тоог хасна

Дэд олонлог

𝑛 элементтэй олонлогийн ялгаатай дэд олонлогийн тоо 𝟐𝒏 байна

Олонлог

Ерөнхий шинж чанартай ялгаатай юмсын цуглуулгыг олонлог гэнэ.

Олонлогийг A,B,C… гэх мэт латин цагаан толгойн том үсгээр, элементийг жижиг үсгээр

тэмдэглэнэ. а нь А олонлогийн элемент бол 𝑎 ∈ 𝐴 гэж тэмдэглэнэ. А олонлогийн

элементийн тоог чадал гэж нэрлээд 𝑨 гэж тэмдэглэдэг.

4

14. Урвуу пропорционал хамаарал

тодорхойлолт Чанар Жишээ

;

томьёогоор өгсөн

функцийг урвуу

пропорционал

хамаарал гэнэ.

−тоог урвуу

пропорционалын

коэффициент

гэнэ.

(өөрөөр хэлбэл нэг

хувьсагчийг

ихэсгэхэд нөгөө

хувьсагч эсэргээрээ

буурдаг)

хувьсагч хувьсагчид урвуу пропорционал бол нэг хувьсагчийн хоѐр

утгын харьцаа нөгөө хувьсагчийн

харгалзах утгуудын урвуутай тэнцүү

байна ( 1; 1); 2; 2

4 ажилтан нэг ажлыг 4 цаг

хийдэг бол 8 ажилтан хэдэн

цаг хийх вэ?

Бодолт:

Ч1: (4;4) (8;x)

4

4

8 → x 2 цаг

Ч2: Ажилтны тоо ихэсэх

тусам зарцуулах цаг бага байх

учир урвуу хамааралтай байна.

Мөн ажилтны тоо 2 дахин их

болсон тул зарцуулах цаг

эсэргээрээ 2 дахин бага байна.

Иймд 8 ажилтан 2 цагт хийж

дуусгана.

Хэрэв хувьсагч хувьсагчид урвуу

пропорционал бөгөөд эдгээрийн утга

эерэг бол −ийн утгыг хэд дахин

ихэсгэхэд (багасгахад) хувьсагчийн харгалзах утга төдий дахин багасна

(ихэснэ).

Жишээ1:

Тариалангийн компани тарианы газрыг 3 трактор 60цагт хагалдаг бол мөн газрыг ижил

ажлын бүтээмжтэй 12 трактор ямар хугацаанд хагалах вэ?

Бодолт: урвуу хамаарал байна. трактор 12 3 4 дахин ихэссэн учир хугацаа 4 дахин

багасна. 60

4 12 цагт хагалж дуусна.

Жишээ2:

Дугуйтай хүн 10 км/ц хурдтай явж А суурингаас В суурин орохдоо 6 цаг зарцуулав.Тэр хүн

мөн замаар буцахдаа 12км/ц хурдтай явсан бол ямар хугацаа зарцуулах вэ?

Бодолт: хурд 12

10 1.2 дахин ихэссэн учир хугацаа 1.2 дахин багасна. Иймд

6

1.2 5 цаг

зарцуулна.

Магадлал

Тухайн үзэгдлийн илрэх

боломжийн тоон үзүүлэлтийг

магадлал гэнэ. Магадлалыг

олохдоо үзэгдлийн илрэх

боломжийн тоог нийт

боломжийн тоонд харьцуулна.

Магадлалыг 𝑃 үсгээр

тэмдэглэнэ.

Жишээ

Жишээ бодлого: 1-ээс 100 хүртлэх тоогоор дугаарласан

100 билетээс нэгийг таамгаар сугалахад түүний дугаарт

5-ын цифр орсон байх магадлалыг ол.

Бодолт: Эхлээд 1-100 хүртлэх тоон дотроос 5-ын цифр

орсон тоо хэд байгааг олъѐ. 5, 15, 25, 35, 45, 50, 51, 52,

53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 65, 75, 85, 95 гэсэн 19 тоо

байна. Нийт 100 билетээс нэг билет сонгох боломж нь

100. Иймд илрэх боломжийн тоо 19, нийт боломжийн

тоо 100 байгаа тул магадлал нь 𝑃 19

100 байна.

Магадлал сэдвийн видео хичээлийн линк

Эгэл үзэгдлийн магадлал https://econtent.edu.mn/videoEBS/8rangi/mat/1066

5

15. Функц

Шугаман функцийн урвууг олох

𝑦 2𝑥 + 1 функцийг авч үзье

1. 𝒙- г 𝒚- ээр илэрхийлнэ

𝑦 − 1 2𝑥 → 𝑥 𝑦;1

2

2. 𝒚 → 𝒙,𝒙 → 𝒚 сольвол

𝑦 𝑥;1

2 болно. Үүнийг 𝑦 2𝑥 + 1 функцийн урвуу функц гэнэ.

𝑓 𝑥 2𝑥 + 1 гэж тэмдэглэвэл түүний урвуу функцийг 𝑓;1 𝑥 𝑥;1

2 гэж бичиж болно.

Шулууны өнцгийн коэффициент

Өгсөн шулууны x1, y1 ; x2, y2

хос цэг бүрийн хувьд

𝒚𝟏;𝒚𝟐

𝒙𝟏;𝒙𝟐

𝒚𝟐;𝒚𝟏

𝒙𝟐;𝒙𝟏 харьцааг өгсөн

шулууны өнцгийн коэффициент

буюу налалт гэнэ. Шулууны

өнцгийн коэффициент ихэвчлэн 𝒌

үсгээр тэмдэглэдэг

Хоёр цэгийн хооронох зай олох

Координатын хавтгайд

𝐴 𝑥1,𝑦1 ,𝐵 𝑥2,𝑦2 цэгүүд өгөгдсөн

байг. 𝐴,𝐵 цэгүүдийн хоорондох зай

𝐴𝐵 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2 − 𝑦1 2

байна.

https://youtu.be/W4CHDN7l48E

Жишээ

𝐴 5,2 ,𝐵 2,6 цэгүүдийн хоорондох зайг ол.

Бодолт: томьѐондоо орлуулбал

𝐴𝐵 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2 − 𝑦1

2

2 − 5 2 + 6 − 2 2 −3 2 + 42 √6 + 16

√25 5.

Ингээд 𝐴,𝐵 цэгүүдийн хоорондох зай 5 байна

Хоёр цэгийн дундаж цэгийн

координатыг олох

Координатын хавтгайд

𝐴 𝑥1,𝑦1 ,𝐵 𝑥2,𝑦2 цэгүүд өгөгдсөн

байг. 𝐴,𝐵 цэгүүдийн дундаж цэгийг

𝑀 𝑥,𝑦 гэж тэмдэглэвэл, 𝑀 цэгийн

координат 𝑥 𝑥1:𝑥2

2,𝑦

𝑦1:𝑦2

2

байна.

https://youtu.be/9PteoQnw21M

Жишээ

5,4 ,𝐵 3,2 цэгүүдийн дундаж цэгийн

координатыг ол.

Бодолт: 𝐴,𝐵 хоѐр цэгүүдийн дундаж цэгийг

𝑀 𝑥,𝑦 гэж тэмдэглэвэл, 𝑥 5:3

2 4,𝑦

4:2

2 3

болж, 𝑀 цэгийн координат 𝑀 4,3 болно

Жишээ

𝑦 3𝑥 − 2 шулууны тэгшитгэлээс өнцгийн

коэффициентийг ол.

Бодолт: уг шулуун дээр орших дурын 2 цэг авъя

1, 1 ; 2,4 томьѐондоо орлуулбал

𝑘 𝑦1−𝑦2𝑥1−𝑥2

4−1

2−1

3

1 3

𝒌 𝟑

https://econtent.edu.mn/videoEBS/8rangi/mat/126

видео хичээлийн линк

Шулууны график зурах https://youtu.be/qjVGjYAfGr4

Урвуу пропорционал хамаарлын график https://econtent.edu.mn/videoEBS/8rangi/mat/680

Шугаман тэгшитгэлийн системийг графикийн аргаар бодох

https://econtent.edu.mn/videoEBS/8rangi/mat/265

6

16. Геометр

17.

Гүдгэр олон өнцөгт

Гүдгэр 𝑛 өнцөгтийн бүх дотоод

өнгийн нийлбэр олох томьѐо

𝑛 − 2 1800

Гүдгэр 𝑛 өнцөгтийн бүх гадаад

өнгийн нийлбэр 3600 байна

гүдгэр 𝑛 өнцөгтийн бүх

диагоналийн тоо олох томьѐо 𝑛;3 𝑛

2

Жишээ

Гүдгэр 10 өнцөгтийн дотоод өнцгийн

нийлбэрийг ол. Хэдэн диагональтай вэ?

10 − 2 180° 1440° - дотоод өнцгийн

нийлбэр

𝑑 10;3 10

2 7 5 35 - диагональтай

Жишээ

Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузыг ол

4см

3см

𝑥

Бодолт:

𝑥2 4см 2 + 3см 2

𝑥2 16см2 + 9см2

𝑥2 25см2

𝑥 5см

Пифагорын теорем

Тэгш өнцөгт гурвалжны

гипотенузын квадрат нь

катетуудын квадратуудын

нийлбэртэй тэнцүү

𝒄𝟐 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐

𝑏

𝑎 𝑐

https://youtu.be/A9VnTyb6Ivw

Гурвалжны талбай

𝑆 𝐴𝐵 𝐶𝐻

2

Гурвалжны талбайг олохдоо

суурийг түүнд татсан өндрөөр

үржүүлээд хоѐрт хуваана.

Мөрдлөгөө

1. Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай катетуудын

үржвэрийн хагастай тэнцүү байна.

2. Өндөр нь ижил хоѐр гурвалжны талбайн

харьцаа, сууриудын харьцаатай тэнцүү

байна.

3. Суурь нь ижил хоѐр гурвалжны талбайн

харьцаа өндрүүдийн харьцаатай тэнцүү

байна.

Параллелограмм

Талбай 𝑆 𝑎 ℎ

𝑃 𝑎 + 𝑏 2

Трапец

− бага суурь − их суурь − өндөр

- дундаж шугам 𝑎:𝑏

2

𝑺 буюу 𝑺 𝒂:𝒃

𝟐 𝒉

7

Тойргийн урт, дугуйн талбай

𝜋 ≈ 3.14 байх тогтмол тоо

D- тойргийн диаметр

𝑟- тойргийн радиус

Тойргийн урт 𝑪 𝟐𝝅𝒓 𝝅 𝑫

Дугуйн талбай 𝑺 𝒓𝟐 𝝅

Цилиндрийн гадаргуун талбай

V 𝑆 ℎ 𝜋𝑟2ℎ

Цилиндрийн хажуу гадаргуун талбай нь

суурийн тойргийн уртыг өндрөөр үржүүлсэнтэй

тэнцүү. 𝑺хг 𝟐𝝅𝒓 𝒉

Цилиндрийн гадаргуун талбай:

𝑆г 𝑆хг + 2 𝑆с 2𝜋𝑟 ℎ + 2 𝜋𝑟2 2𝜋𝑟 𝑟 + ℎ

Призмийн гадаргуун талбай

𝑆г 𝑆хг + 2 𝑆с

𝑆хг 𝑃с ℎ

V 𝑆с ℎ

Призмийн гадаргуун талбай:

Эзлэхүүн:

Төсөөгийн чанар

Төсөөтэй дүрсүүдийн

Талуудын харьцаа 𝑎1

𝑎2 𝑘

Периметрийн харьцаа 𝑃1

𝑃2 𝑘

Талбайн харьцаа 𝑆1

𝑆2 𝑘2

Төсөөтэй биетүүдийн

Талуудын харьцаа 𝑎1

𝑎2 𝑘

Гадарггуун талбайн харьцаа 𝑆1

𝑆2 𝑘2

Эзлэхүүний харьцаа 𝑉1

𝑉2 𝑘3

Тойрогт багтсан өнцөг

Орой нь тойрог дээр орших, талууд

нь тойргийг огтлох өнцгийг тойрогт

багтсан өнцөг гэнэ.

Тойрогт багтсан аливаа өнцөг нь

тулсан нумынхаа хагасаар

хэмжигдэнэ. ∡𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶

2

8

18. Статистик

Видео хичээлийн линк

Төсөөтэй гурвалжнууд ба талбайн харьцаа https://econtent.edu.mn/videoEBS/8rangi/mat

Төсөөтэй гурвалжны чанар https://youtu.be/_V5Qe1re5uM

Нэг төрлийн дараалсан хувиргалт https://econtent.edu.mn/videoEBS/8rangi/mat/1567

Гомотет хувиргалт https://econtent.edu.mn/videoEBS/8rangi/mat/1184

Магадлал сэдвийн видео хичээлийн линк

Өгөгдөл цуглуулах https://econtent.edu.mn/videoEBS/8rangi/mat/538

Өгөгдлийг дүрслэх (гистограмм) https://econtent.edu.mn/videoEBS/8rangi/mat/811

Бүлэглэсэн өгөгдлийн далайц ба дунджууд

https://econtent.edu.mn/videoEBS/8rangi/mat/10354

Гурвалжны медиан

Гурвалжны медиан ба хүндийн төв гэсэн видео хичээлийг үзэж судлаарай

хүүхдүүдээ https://youtu.be/1a7J2kDpy7Q

Огтлолцсон 2 шулуун

,

Хоѐр шулууны огтлолцолд 4 өнцөг

үүснэ. Эдгээр нь дараах чанартай

ба , ба босоо өнцгүүд

нийлбэр нь 1800 байх 2

өнцгийг хамар өнцөг гэнэ

+ 1800 + 1800

+ 1800 + 1800

параллель 2 шулууныг 1 шулуунаар огтлох

𝑎 ∥ 𝑏

,

+ 1800 + 1800

+ 1800 + 1800

ба , ба өнцгүүдийг солбисон өнцөг

гэнэ

9

II ХЭСЭГ

ЖИШЭЭ БОДЛОГО

Цөм хөтөлбөр

1. Трапецын талбай олох томьѐог бодлого бодоход хэрэглэх

Жишээ: 44-р нүүрний №69 бодлогыг тайлбарлая (Адил хажуут трапец биш).

Бодолт: Трапецийн талбай нь сууриудын

нийлбэрийн хагасыг өндрөөр үржүүлсэнтэй

тэнцүү.

168 8:34

2 ℎ ℎ 8 м.

2. Периметртэй холбоотой хүндэвтэр бодлого

43-р нүүрний №67* бодлогыг ихэнх сурагч бодоогүй

байсан.

Бодолт:

+ 12

2 6

+ 10

2 5

+ 13

2 6.5

}

− 6 − 5 1

+ 6.5}

+ 1 + 6.5

7.5

2 7.5 2 15.

Энэ бодлогод 11 нь илүүц өгөгдөл юм.

3. Координатын хавтгайн өгсөн цэгүүдэд оройтой дүрсийн талбайг олох

.

Жишээ: №68а

Бодолт: Зургаас ажиглавал гурвалжны нэг

тал нь 8 ба энэ талын

өндөр нь 3 байна. Иймд талбай нь 8 3

2

12 гэж олдоно.

4. Өмнөх ангид үзсэн “Төсөөгийн чанар”-ыг бодлого бодоход хэрэглэх

Жишээ: 44-р нүүрний №75* бодлогыг тайлбарлая.

Бодолт: Будагдсан гурвалжин түүнийг агуулсан том

гурвалжинтай төсөөтэй учраас төсөөгийн харьцаа бичье.

5

2

7 гэдгээс

10

7 гэж гарах тул будагдсан гурвалжны

талбай нь

2 1

7

2

10

7 байна.

10

Академик хөтөлбөр-Алгебр

1. Бутархайн хуваарь 0-тэй тэнцүү байж болохгүйг ямагт тооцож үздэг байх

Жишээ: №306д-г бодоход 1 6, 2 2 гэсэн хоѐр шийд гарах боловч 2 − 4

бутархайн хуваарьт байгаа тул 2 − 4 0 буюу 2 байх ѐстой. Иймд тэгшитгэл

6 гэсэн ганц шийдтэй байна.

2. Бутархай илэрхийллийг ерөнхий хуваарьт оруулахдаа утга санааг нь зөв ойлгох

Жишээ: (Сурагчдын гаргадаг алдаа ерөнхий хуваарьт оруулж чадаагүйгээс тооцооллын

алдаа гаргах, Ижил хуваарьт оруулсан боловч хуваарийг орхисон ноцтой алдаа гаргах)

Бодолт:

5

3:2√2+

5

3;2√2

5 3;2√2

3:2√2+

5 3:2√2

3;2√2

5(3;2√2)

(3:2√2)(3;2√2)+

5(3:2√2)

(3:2√2)(3;2√2)

5(3;2√2):5(3:2√2)

(3:2√2)(3;2√2)

15;10√2:15:10√2

32;(2√2)2

30

9;8 30.

Мөн энэ бодлогыг бодохдоо квадратуудын ялгаврын томьѐо, нийлбэр ба ялгаврын

квадратын томьѐог мэдэхгүй, эсвэл учрыг нь сайтар ойлгоогүйгээс болж алдаа гаргах

магадлалтай

2 − 2 − + + 2 2 + 2 + 2 − 2 2 − 2 + 2

3. Тэнцэтгэл үнэн болохыг батлахад тэнцүү чанартай хувиргалт хийж болно.

Жишээ:

Бодолт: 13 − 4√3 2√3 − 1 ( 13 − 4√3)2

(2√3 − 1)2 13 − 4√3 12 −

4√3 + 1 13 − 4√3 13 − 4√3. Сүүлчийн илэрхийлэл үнэн тул эхний илэрхийлэл

үнэн болох нь батлагдав.

4. №318 бодлого

Жишээ: №318а

Бодолт: 2 − 4 + 3 (2 + √3)2− 4(2 + √3) + 3 4 + 4√3 + 3 − 8 − 4√3 + 3 2.

Академик хөтөлбөр-Геометр

1. Геометрийн бодлогыг бодохдоо заавал зургийг нь гортиг, шугам, харандаа хэрэглэн

цэвэр нямбай, зөв зурж байх

2. “Тэгш өнцөгт гурвалжны 30 өнцгийн эсрэг орших катет нь гипотенузын хагастай

тэнцүү” гэсэн чанарыг зөрүүлэн хэрэглэхгүй байх

Жишээ: №490б-г бодохдоо 60 өнцгийн эсрэг катетийг гипотенузийн хагастай тэнцүү

гэж андуурснаар тооцооллын алдаа гаргадаг

Бодолт: Дээрх чанараар 2ℎ болно.

Пифагорын теоремээр

2ℎ 2 ℎ2 + 92 гэдгээс ℎ 3√3 см гэж гарна.

Харин гурвалжны талбай нь 18 3√3

2 27√3 см

2

байна.

3. Жишээ: Зарим сурагч №491а-г бодохдоо зөвхөн гипотенузын уртыг олдог

Бодолт: Пифагорын теоремээр 2 52 + 122 25 + 144

169 13 болно.

Энэ бичлэгийг 2 52 + 122 25 + 144 √169 13 гэж буруу

бичдэг

Одоо бодлогын хариуг олъѐ. Гурвалжны талбайг хоѐр янзаар олж

тэнцүүлбэл 5 12

2

13

2 ℎ

5 12

13

60

13 .

11

4. №495

№495а

Бодолт: Пифагорын теоремээр

ℎ2 132 − 52 169 − 25 144 ℎ 12 болно.

Трапецийн талбайг томьѐо ашиглан олъѐ.

10:20

2 12 180.

№495б

Бодолт: Тэгш өнцөгт гурвалжны 30

өнцгийн эсрэг катет нь гипотенузын хагастай

тэнцүү байдаг тул 8

2 4 болно.

Пифагорын теоремоор ℎ2 82 − 42 64 −

16 48

ℎ √48 4√3 болно. Трапецын талбайг

олъѐ. 8:16

2 4√3 48√3 .

№495в

Бодолт: Пифагорын теоремоор ℎ2 + ℎ2

(9√2)2

2ℎ2 162 ℎ2 81 ℎ 9 гэж

гарна.

Трапецын талбайг олъѐ.

6:24

2 9 135 .

Академик хөтөлбөр-Сонгон

1. Дугуй ширээ тойрон 25 хүү ба 25 охин сууж байв. Эдгээр дотор хоѐр хөрш нь хүү байх

хүүхэд олдоно гэж батал.

Бодолт: Эсрэгээс нь баталъя. Ширээний бүх суудлыг дугаарлая. Хэрэв -р байранд хүү

суусан бол − 2 ба + 2-р байранд заавал охин сууна. Тэгш дугаартай суудалд тооны

хүү, харин сондгой дугаартай суудалд 25 − тооны хүү суусан гэвэл x{ , 25 − } ≥

13 байна. Сондгой дугаартай суудалд 13-аас цөөнгүй хүү суусан гэе. Сондгой дугаартай

суудалд суусан хүүхдүүд хүү, охин гэж сөөлжлөх ѐстой. Гэтэл 25 сондгой дугаартай

суудлын 13-аас цөөнгүйд нь хүү байгаа тул зөрчил үүснэ.

Цөм хөтөлбөр

1. Сурах бичгийн 46-р нүүр

№89a

Бодолт: параллелограмм учраас эсрэг талууд нь тэнцүү

буюу 4 м байна. ∥ ∡ ∡

∡ 4 м болно.

Иймд + 2 + 4 6 м гэж гарах тул

параллелограммын периметр нь 2 4 + 6 20 м байна.

12

№89б

Бодолт: адил хажуут трапецэд ба өндрүүд

татвал 3 м болно.

∡ 120 ∡ 30 болно. Тэгш өнцөгт

гурвалжны нэг өнцөг нь 30 бол энэ өнцгийн эсрэг орших

катет нь гипотенузийн хагастай тэнцүү байдаг тул

2 2 3 6 м болно. Иймд трапецийн периметр нь

6 + 8 + 6 + 14 34 м байна.

№89в

Бодолт: ∡ 60 ∡ 30

2

18

2

9 см болно.

Иймд квадратын периметр нь 4 9 36 см

байна.

№90

Бодолт: Трапецийн дундаж шугам нь

сууриудтайгаа параллель байдаг тул нь

гурвалжны дундаж шугам болно. Гурвалжны

дундаж шугам нь харгалзах суурийн хагастай

тэнцүү байдаг тул

2

4

2 2 болно.

Үүнтэй адилаар

2

4

2 2 байна.

Мөн трапецийн дундаж шугам нь сууриудын нийлбэрийн хагастай тэнцүү байдаг тул

:

2

4:10

2 7 гэдгээс − − 7 − 2 − 2 3 гэж гарна.

№91а

Бодолт: нь параллелограмм учраас

∡ ∡ 90 байна.

гэж өгөгдсөн тул ∡ ∡ 45

болно. Пифагорын теоремээр 2 + 2 312

гэдгээс 2 961

2 гэж гарна. диагональ

параллелограммын өндөр болох тул

талбай нь 2 961

2 480.5 байна.

№91б

Бодолт: ∡ 135 ∡ 45

∡ 45

12 болно. Иймд

адил хажуут трапецийн талбай :

2

10:34

2 12 264 байна.

13

№92

Бодолт:

2

20

2 60 6

см болно.

Иймд трапецийн талбай 16:20

2

6 108 см2 байна.

2. Сурах бичгийн 47-р нүүр

№1

Бодолт: Зөв 5 өнцөгтийн нэг дотоод өнцөг нь 5;2 180

5 108 байна. Харин

дотоод өнцөгтэй хамар өнцгийг гадаад өнцөг гэх тул нэг гадаад өнцөг нь 180 − 108

72 байна. Иймд зөв 5 өнцөгтийн гадаад өнцгийн нийлбэр нь 5 72 360 байна.

(Аливаа олон өнцөгтийн гадаад өнцгийн нийлбэр 360 байдаг.)

№2

Бодолт: өнцөгтийн дотоод өнцгийн нийлбэрийг олох томьѐо − 2 180

байдаг. Зөв өнцөгт учраас нэг дотоод өнцөг нь өгөгдсөн тул ;2 180

140

тэгшитгэлийг бодоход 9 гэж гарна. Харин дотоод өнцгийн нийлбэр нь 7 140

980 6айна.

№3а

Бодолт: 90 + 120 + + 160 + 130 + 110 6 − 2 180 110.

№3б

Бодолт: 5 + 2 + 5 + 10 + 4 + 15 + 8 + 8 + 3 + 5 5 − 2

180 20.

№3в

Бодолт: + 7 + − 9 + 3 − 18 180 40.

+ 21 + + 17 + 180 62 .

№5а

Бодолт: + 3 + 2 − 1 + 3 + 6 + 4 − 3 + 6 85 5.

№5б

Бодолт: Хамгийн урт талын урт 30, хамгийн богино талын урт 8 гэж гарах ба

нийлбэр нь 38 гэж гарна.

Иймд 38 < 85 байна.

№6

Бодолт: 10-аас 20-ын хооронд орших анхны тоонууд нь 11, 13, 17, 19 байна.

Хажуу талын уртыг гэвэл 2 + 11 32 10.5 см (10.5 + 10.5 > 11 тул

гурвалжин үүснэ.)

2 + 13 32 9.5 см (9.5 + 9.5 > 13 тул гурвалжин үүснэ.)

2 + 17 32 7.5 см (7.5 + 7.5 < 17 тул гурвалжин үүсэхгүй.)

2 + 19 32 6.5 см (6.5 + 6.5 < 19 гурвалжин үүсэхгүй.)

Иймд хажуу талын боломжит утгууд нь 10.5 ба 9.5 байна.

Академик хөтөлбөр-Алгебр

1. Сурах бичгийн 89-р нүүр

№323а

Бодолт: 4 2 + 6 9 2 − 15 5 2 − 21 0 5 − 21 0 1 0, 2 4.2

№324а

Бодолт: − 15 3 108 − 5 2 − 15 324 − 15 2 324 1,2 ±√324 ±18

14

№325а

Бодолт: 3 − 8 2 − 4 − 6 2 + 5 − 2 5 + 2 96

9 2 − 48 + 64 − 16 2 + 48 − 36 + 25 2 − 4 96

18 2 36 2 2 1,2 ±√2

№326а

Бодолт: 5 2:9

6−

4 2;9

5 3

5 5 2 + 9 − 6 4 2 − 9 90

25 2 + 45 − 24 2 + 54 90 2 −9. Аливаа тооны квадрат сөрөг тоо байж

болохгүй тул тэгшитгэл шийдгүй.

№326б

Бодолт: 3 2;11

8+

37; 2

6 10

3 3 2 − 11 + 4 37 − 2 240

9 2 − 33 + 148 − 4 2 240

5 2 125 2 25 1,2 ±5

.

№329а

Бодолт: Тэгшитгэл нэг шийдтэй байхын тулд 2 + + илэрхийлэл бүтэн

квадрат байх ѐстой. Бүтэн квадрат ялгавал 2 + + ( 2 + + 2

4) −

2

4+

( +

2)2

− 2

4+ болох тул –

2

4+ 0 2 − 4 0

− 4 0 1 0, 2 4 гэж гарна. 0 үед 2 0 0 гэсэн нэг

шийдтэй, харин 4 үед 2 + 4 + 4 0 + 2 2 0 −2 гэсэн нэг

шийдтэй байна.

Академик хөтөлбөр-Сонгон

1. Шатрын хөлөг дээр цагаан ба хар ноѐныг идэлцэхгүй байхаар хичнээн янзаар байрлуулж

болох вэ?

Бодолт: Хар ноѐныг 64 нүд дамжуулан байрлуулж, цагаан

ноѐныг түүнтэй идэлцэхгүй байхаар бусад нүднүүдэд

байрлуулан тоолъѐ.

a) Хар ноѐныг буланд байрлуулахад цагаан ноѐн 60 нүдэнд

байрлах боломжтой.

Энэ тохиолдолд 4 буланг тооцвол 64 4 256 боломжтой.

b) Хар ноѐныг булангаас ялгаатай захын нүдэнд

байрлуулахад цагаан ноѐн 58 нүдэнд байрлах боломжтой.

Энэ тохиолдолд тийм захын нүд 24 байхыг тооцвол 24

58 1392 боломжтой.

c) Дээрх хоѐр байрлалаас бусад нүдэнд хар ноѐныг байрлуулахад цагаан ноѐн 55 нүдэнд

байрлах боломжтой. Энэ тохиолдолд 36 55 1980 боломжтой.

Иймд нийт боломжийн тоо 256 + 1392 + 1980 3628 байна.

2. Цагаан толгойн үсгүүдийн дурын дарааллыг үг гэж үзье. Жишээ нь: А, Б, В үсгүүдийг

нэг, нэг удаа ашиглан АБВ, АВБ, БАВ, БВА, ВАБ, ВБА гэсэн 6 үг бичиж болно. Харин А

үсгийг хоѐр удаа, В үсгийг нэг удаа ашиглан ААВ, АВА, ВАА гэсэн 3 үг бүтээж болно.

“МАТЕМАТИК” гэсэн үгийн үсгүүдийн байрыг сэлгэж хичнээн ялгаатай үг үүсгэж

болох вэ?

Бодолт: М, А, Т үсгүүд тус бүр хоѐр давтагдсан тул 9

2 2 2

3 4 5 6 7 8 9

2 2 3 5 6 7 8

9 45360 ширхэг ялгаатай үг үүснэ.

15

3. Нэгэн улс 20 хоттой. Аль ч хоѐр хот нь хоорондоо агаарын замаар холбогдсон бол энэ

улс хэдэн агаарын замтай вэ?

Бодолт: Хот бүр бусад 11 хоттой агаарын замаар холбогдсон ба аль ч хоѐр хотыг

холбосон нэг зам байгаа тул энэ улс нийт 20 19

2 190 агаарын замтай.

Академик хөтөлбөр-Геометр

1. Сурах бичгийн 40-р нүүр

№500

Бодолт: ба гэе.

Пифагорын теоремээр 2 + 2 2 буюу 2 2 2

болно.

Энэ нь 2 болохыг харуулж байна.

№501а

Бодолт: 1 га = 10000 м2 байдаг учраас 27 га = 27*10000 м

2 = 270000 м

2 болно.

№501б

Бодолт: 27 га = 27*10000 м2 = 270000 м

2 = 270000/1000000 = 0.27 км

2.

№502

Бодолт: 2 + 42

5 4 }

+ 21

4

5

} 4

5+

21

35

3 4

35

3

140

3 46

2

3 см

2.

№503

Бодолт: Бодлогын өгөгдлөөс параллелограммын

өндрүүд 4 см, 6 см гэж гарна. Өмнөх бодлоготой

адилаар

2 + 24 6 4

} + 12

2

3

}

2

3+ 12

36

5 4

36

5

144

5 28

4

5 см

2.

№504

Бодолт: Пифагорын теоремээр 2

292 − 212

841 − 441 400 20 см

болно.

45 20 900 см2.

16

III ХЭСЭГ

ДАСГАЛ БОДЛОГО

1. { ; ; ; ; } ; { ; ; ; ; ℎ} { ; ; ; ; ; } ; { ; ; ; } олонлог

өгөгдөв .

a. ∪ = ? b. ∪ =? c. ∩ =? d. ∩ =?

2. Үйлдлийг гүйцэтгэ

a. 43

20+ 7

1

60

b. −23

5 3

6

13

c. 4 11

2+ 6 1

1

4

d. (83

4− 5

1

4) 3.2 − 4

1

4 2.4

e. 31

3 2

3

5−

1

10 2

2

5

3. Энгийн бутархай болгоорой

a. 0. 3 b. 0.1 2 c. 7.0 1

d. 7. 01 e. 0.1 15 f. 0. 453

4. Нэг гишүүнтийг зэрэг дэвшүүл

a. 3 2 3

b. 4 2

c. 34 54

d. (−1

2 )

5

e. 25 0.25 255

5. Нэг гишүүнтүүдийг үржүүлэх ба хуваах үйлдэл

a. −25 5 −0.2 2 3

b. 3 0 7

c. 12 7 4 4 6 2

d. 17 5

15

e. −5 4 2 2

6. + + + томьёогоор хувирга

a. + 2 2+ 2 +

2=

b. 2 + 4 2 2 + 2 + 2

c. 2 + 2 2 + 2 + 2=…

d. 6 + 4 2 2 + 2 + 2=

e. (1

2 +

2

3 )

2

2 + 2 + 2=

7. − − + томьёогоор хувирга

a. − 2 2+ 2 +

2=

b. 3 − 2 2 2 + 2 + 2=

c. 2 − 1 2 2 + 2 + 2=

d. 5 − 2 2 2 + 2 + 2=

e. 2 2 − 3 2 2 2 + 2 + 2=

8. Үржвэр болго

a. 2 + 2 + 1

b. 4 2 + 4 + 2

c. 2 − 6 + 9 2

d. 25 2 + 20 + 4 2

e. 36ℎ2 − 48ℎ + 16 2

9. Томьёо ашиглан дутууг гүйцээж хялбарчил

a. 4 2 − + 9 2

b. 36 2 − + 16 2 c. 4 2 + 12 +

d. 1 + + 49 2

e. 169 2 − + 256 2

10. − − + томьёогоор хувирга

a. 2 − 2

b. 16 2 − 36 2

c. 169 2 − 256 2

d. 1 − 144 2

e. 9 2 − 25 2

11. Квадратуудын ялгавар болгоорой

a. 4 + 7 4 − 7

b. 9 2 − 7 9 2 + 7

c. 2 + 2 2 − 2

d. 4 2 − 8 2 3 4 2 + 8 2 3

17

12. 383 + 373нийлбэр 75д хуваагдах уу?

13. 993 − 743ялгавар 25д хуваагдах уу?

Тэгшитгэл ба тэнцэтгэл биш

14. Дараах тэгшитгэлийг бодоорой

a. 35 − 11 3 + 21

b. 25 − 12 45 − 8

c. 3 2 − 4 − 2 5 + 3 20

d. 5 3 − 5 8 2 − 3 e. − 4 − − 3 4 − 3 2 1 +

15. тэгшитгэлийг бодоорой

a. 3 ;2

4 7

b. 5

4+ 4.5

c.

6 5

d. 5

8 ;1 14

e. 10

:1

5

2 ;4

16. тэгшитгэлийг бодоорой

a. 8 ;1

5−

50;2

9

3 :3

4+ 1

b. 5 :1

3−

16;

6

9 :1

7+ 3

c. 2 ;5

7+

3

3 ;7

3

d. 3 ;1

5−

5 :1

6

:1

8− 3

e. 2 3 :1

5+

2

3 + 1

2

3

17. Модультай шугаман тэгшитгэлийг бодоорой

a. 5 − 10 + 5 15

b. 2 + 3 18

c. − 3 + 14 7

d. 2- 2 − 5 7

e. -6+ − 4 −6

f. + 3 − 6 2 18. Тэгшитгэлийнсистемийг бодоорой

a. − 6 175 + 6 13

b. 40 + 3 1020 − 7 5

c. 5 − 22 + 3 15

d. 3 − 7 12−6 + 4 0

e. 0,5 − 0,6 0

0,4 + 1,7 10,9

19. Дараах квадрат тэгшитгэлүүдийг бодоорой.

а) 5 2 − 15 0

б) 2 + 10 − 39 0

в) 2 2 − 5 + 2 0

г) 4 2 − 12 + 9 0

д) 5 2 + 4 − 12 0

20. Нэг хувьсагчтай шугаман тэнцэтгэл бишийг бодоорой

a. 4 + 13 ≤ 25

b. 2 − 3 > 8

c. + 2 < 8

d. t+5 ≤ 6 e. 3 + 2 ≥ 2 f. −1.5 ≤ −4.25

21. Давхар тэнцэтгэл бишүүдийг бодож, шийдийг нь тоон шулуун дээр дүрсэл a. 4 < 2 < 8

b. −2 ≤ −2 < 8

c. −3 > −2 − 3 ≥ −10

d. 4 ≥ + 1 ≥ 0

e. −12 ≤ 5 − < 12

22. Дараах тэнцэтэл биш бодож, шийдийг нь тоон шулуун дээр дүрсэл

a. 4 − 2 ≤ 3 + 5 b. 6 − 8 > 5 + 2 c. 6 − 2 > 7 + 4)

d. 6 − 4 − 5 + 1 ≤ 9 e. 2 − 5 + 3 − 5 ≤ 4

23. Дараах системийг бодоорой

a. 3 − 1 > 53 − 1 < 11

b. {−8 + 2 ≥ 16−8 + 2 ≤ −3

c. {9 + 4 ≥ −49 + 4 ≤ 4

d. {7 − 7 < −77 − 2 > 21

e. {10 − 7 < 210 − 7 > −5

18

24. Өгүүлбэртэй бодлого

a. 3-н ангид нийт 119 сурагч байв. 1-р ангийн сурагчийн тоо 2-р ангийнхаас 4-өөр

их ба 3-р ангийнхаас 3-аар бага байв. Анги тус бүрт хичнээн сурагч байсан бэ?

b. Сургуулийн дэргэдэх туршлагын талбайгаас 1800 кг ногоо хураажээ. Хураасан

нийт төмс нь сармиснаас 5 дахин их. Харин байцаа сармиснаасаа 120 кг-аар их.

Ногоонуудын төрөл тус бүрээс хэдэн кг хураасан бэ?

c. Нэг агуулахад хөгөөгөөс хоѐр дахин их тариа байжээ. 1-р агуулахаас 750 т тариа

авч 2-рт хийхэд 2 агуулахад ижил хэмжээний тариатай болжээ. Анх агуулах тус

бүрт хэдэн т тариа байсан бэ?

d. 4°-ийн 70 л усыг 24°-ийн температуртай болгохын тулд 80°-ийн ус хэдэн

литрийг нэмэх вэ ?

e. 35%-ийн 500гр чихрийн уусмал дээр хэдэн гр ус нэмэхэд 10%-ийн уусмал

гарган авах вэ?

f. 75%-ийн 300гр уусмалыг 25%-ийн уусмал болгохын тулд хэдэн гр ус нэмэх вэ?

25. Хөдөлгөөний бодлого

a. Моторт завины тогтмол усанд явах хурд ба урсгалын хурдны харьцаа 36:5- тай

адилаар харьцана. Моторт завь урсгал сөрж А ба В суурингийн хооронд 6 цаг 50

минут явсан бол буцаж ирэхдээ хэдэн цаг явсан бэ?

b. Хоѐр машин А ба В хотоос зэрэг угталцан гарч нэг нь зөрснөөсөө хойш 4 цаг

яваад В-д ,нөгөө нь 9 цаг яваад А хотод хүрчээ. Тэд хоѐр хотын хооронд тус бүр

хэдэн цаг явсан бэ?

c. Хоѐр машин А ба В хотоос зэрэг угталцан гарч нэг нь зөрснөөсөө хойш 16 цаг

яваад В-д нөгөө нь 25 цаг яваад А хотод хүрчээ. Тэд замд тус бүр хэдэн цаг явсан

бэ?

d. Моторт завь хоѐр буудлын хоорондох зайг урсгал уруудаж 10 цаг, урсгал сөрж

15 цаг явав. Уруудах хурд нь өгсөх хурдаас 8км –ээр илүү бол хоѐр буудлын

хоорондох зайг ол.

e. Автомашин А ба В хотын хоорондох зайг 10 цаг явах ѐстой байв. Тэр эхлээд

40км/цаг хурдтайгаар замын хагасаас 100км дутуу замыг яваад, цааш хурдаа

20км/цаг –аар нэмэгдүүлж, тогтоосон хугацаандаа хүрэв. Автомашины дундаж

хурдыг ол.

f. А хотоос В хот руу дугуйтай хүн гарчээ. Араас нь 1,5 цагийн дараа 2 дахь

дугуйтай хүн гарчээ. I дугуйтай хүний 5,25 цаг явах зайг II 423 цаг явдаг бол II

дугуйтай хүн I хүнийг хэдэн цагийн дараа гүйцэх вэ?

26. Өгүүлбэртэй бодлогыг систем тэгшитгэл зохиож бод.

a. Сурагч 3 дэвтэр, 2 харандаа худалдан авахад 69 төг төлөв. Өөр хүүхэд 2 дэвтэр, 4

харандаа авахдаа 78 төг төлсөн бол дэвтэр, харандаа тус бүрийн үнийг олоорой.

b. Хоѐр тооны нийлбэр 110, ялгавар нь 42 бол хоѐр тоог ол.

c. Сургуулийн зааланд сандал хийжээ. Хэрэв сандал болгон дээр 5 хүүхэд

суулгавал 8 сандал дутна. Сандал болгон дээр 6 хүүхэд суулгавал 2 сандал илүү

гарна. Зааланд хэдэн сандал, хичнээн хүүхэд байсан бэ?

d. Тахиа, туулай хоѐр нийлээд 40 , хөлийн тоо нь 130 байсан бол хэдэн тахиа, хэдэн

туулай байсан бэ?

e. Тэгш өнцөгтийн периметр 60см. Талуудын ялгавар нь 20см бол талуудыг ол.

f. Гурвалжны нэг өнцөг 400 , нөгөө хоѐр өнцгийн ялгавар нь 18

0 бол өнцгүүдийг

ол.

Дараалал

27. 8,13,18,..............Арифметик прогрессын ялгавар ба эхний 6 гишүүнийг бич

28. 1= −4 d=3 бол Арифметик прогрессын эхний 5 гишүүнийг бич.

29. 2 + 3 томьѐогоор илэрхийлэгдэх дарааллын эхний 6 гишүүн ба 100-р

гишүүнийг ол.

19

30. =300 − 2 томьѐогоор өгөгдсөн дарааллын 5 ба 100-р гишүүнийг ол.

31. 9,11,13,15....... Арифметик прогрессын -р гишүүний томьѐог бич.

32. 1,2,4,8, 5, 6, 7 ........ геометр прогрессын гишүүдыг ол, өсөх ,буурахыг тогтоо.

33. 1,1

2,1

4,1

8, 5, 6, 7 .........геометр прогрессын ноогдворыг ол, эхний 7 гишүүнийг бич.

34. 4,8,16.....геометр прогрессын дараагийн 3 гишүүнийг ол.

35. 1= −4,6 d = −5 бол Арифметик прогрессын ерөнхий гишүүний томьѐог

бич. 30=?

36. =− 2n−13 томьѐогоор илэрхийлэгдэх дарааллын эхний 4 гишүүн ба 100-р

гишүүнийг ол.

37. 25,24,23.............Арифметик прогрессын ерөнхий гишүүний томьѐог бич. 61-р

гишүүнийг ол.

38. -25,-20,-15......... Арифметик прогрессын ерөнхий гишүүний томьѐог бич. 11-р

гишүүнийг ол.

39. 1 = 31 d=−4 Арифметик прогрессын ерөнхий гишүүний томьѐог бич. 24-р

гишүүнийг ол.

40. 1, 2,18,20, , 5, 6,…… Арифметик прогрессын Мөн мэдэгдэхгүй байгаа

гишүүдийг ол.

41. 10, 2,14, 4,..... Арифметик прогрессын d=? Мөн мэдэгдэхгүй байгаа гишүүдийг ол.

Функц

42. Өгсөн функцийн урвуу функцийг олоорой

a. − + 6

b. − 4

c. 8 −

d. 3

e. 4 ;2

5

43. −5 + 6 функцийн аргментийн ямар утганд фунцийн утга 6; 8; 100 байх вэ?

44. −12

функцийн хувьд дараах хүснэгтийг нөхөөрэй.

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y

45. Шулууны графикийг байгуул

a. 6 −

b. 4

c. 5 − 5 25

d. −2

e. 8 − 10

Геометрын бодлого

46. Гүдгэр n өнцөгтийн бүх дотоод өнцгийн нийлбэрийг а. 7 б. 8 в. 9 г.

10 д. 12 үед тус тус тооцоолоорой 47. Гүдгэр долоон өнцөгтийн дараалсан дөрвөн өнцгийн нийлбэр 540°ба эдгээрийн нэг

өнцөг нь 160°; нөгөө гурван өнцгийн харьцаа 2:3:5 байв. Харин үлдсэн гурван

өнцөгтийн харьцаа 1.5:2.5:5 бол долоон өнцөгтийн өнцгүүдийг ол.

48. Гүдгэр 8 өнцөгтийн хөрш биш орой дахь 4 өнцгийн нийлбэр 680° ба эдгээрийн бага

нь 75°; нөгөө гурван өнцгийн харьцаа 1:2:2 байв. Харин үлдсэн дөрвөн өнцгийн

харьцаа 4.5:6.5:3:6 бол найман өнцөгтийн өнцгүүдийг ол.

49. Гүдгэр 9 өнцөгтийн дөрвөн орой дахь гадаад өнцгүүдийн нийлбэр нь 120° тэдгээрийн

харьцаа 2:3:3:4 байв. Харин үлдсэн таван гадаад өнцгийн харьцаа 4:6.5:5.5:2.2:5.8 бол

гүдгэр есөн өнцөгтийн дотоод өнцгүүдийг олоорой!

50. Гүдгэр 10 өнцөгтийн хөрш биш таван орой дахь гадаад өнцгийн нийлбэр нь 160° ба

эдгээрийн хамгийн их нь 45°,хамгийн бага нь 15° үлдсэн гурван өнцгийн харьцаа нь

3:4:3 байв. Үлдсэн таван орой дахь дотоод өнцгийн харьцаа 5:2:3:8:7 бол гүдгэр

арван өнцөгтийн дотоод өнцгүүдийг олоорой!

20

51. 8 өнцөгтийн талууд ; + 1 ; + 2 ; + 3 ; + 4 ; − 3; − 5 ; + 5 ба периметр нь 79 см бол х-ийг олоорой, Хамгийн урт ба хамгийн богино талын уртыг олоорой

52. байх адил хажуут гурвалжны периметр 20 см нь медиан ба

гурвалжны периметр 12 см бол медианы уртыг ол

53. Ромбын диагоналиуд нь 18 см ба 24 см бол талбайг ол.

54. Трапецийн талбай 336 м2 байв .

a. Сууриуд харгалзан 16 м ба 64 м бол өндрийг олоорой.

b. Нэг суурь нь 26 м , нөгөө суурь нь 24 м бол өндөрийг олоорой

55. ∡ 90°; ∡AOB=∡BOC=∡COD бол AOB ба COD өнцгүүдийн биссектрисээр

үүсгэгдсэн өнцгийг ол.

56. OD нь ∡EOC өнцгийн биссектрис, OB нь ∡AOC өнцгийн биссектрис. Хэрэв

∡DOB=84 бол ∡AOE-ийг ол.

57. AOB өнцөг нь AOC өнцгийн хэсэг нь болно. ∡AOC=104°,∡AOB=3 бол ∡AOB-ийг ол.

58. мэдэгдэхгүй байгаа талуудыг олоорой

59. Мэдэгдэхгүй байгаа өнцгийг олоорой

60. мэдэгдэхгүй байгаа өнцгийг олоорой

21

61. мэдэгдэхгүй байгаа өнцгийг олоорой

62. нумын хэмжээ 78° бол х өнцгийг олооро

63. MQP нумын хэмжээ 84° бол х өнцгийг олоорой.

Талбай эзлэхүүн

64. Дугуйн өгсөн хэсгийн талбай болон харгалзах нумын уртыг тооцоолж ол

22

65. Дугуйн хэсэг болон тэгш өнцөгтөөс тогтсон дүрсийн талбай болон хүрээний уртыг ол

66. х - ээр тэмдэглэсэн хэмжээг ол

67. Дүрсийн талбайг ол

68. Дүрсийн талбайг ол

23

69. Призмийн гадаргуун талбайг ол

70. Цилиндрийн эзлэхүүнийг ол.

а. 2 , ℎ 7.5 б. 2 , ℎ 7 в. 3 , ℎ 7 71. Цилиндрийн хажуу гадаргуу болон зарим хэмжээг зургаар өгчээ. a. Мэдэгдэхгүй байгаа хэмжээг ол. b. Гадаргуун талбайг ол.

24

IV ХЭСЭГ

СОРИЛ

Сорил 1

1. 59588 тоог 3 тэмдэгтээр тоймло.

2. 5 ( 3)

2

1

3. − 37

15 −1

2

3

4. Дараах тэгшитгэлийг бодоорой. 2:2

;3 6

5. − 10 6 тэгшитгэл бод.

6. Бат, Туяа хоѐрын мөнгөний зөрөө 600₮ба тэр хоѐрын мөнгөний нийлээд 3000₮ болно. Бат,

Туяа хоѐр тус бүр хэдэн төгрөгтэй байсан бэ?

7. 6 − 3 > 12тэнцэтгэл бишийг бод

8. −1 < 3 − 2 ≤ 15 давхар тэнцэтгэл бишийн хамгийн бага бүхэл шийдийг олоорой.

9. Хамар өнцгүүдийн харьцаа 5:7 бол тэдгээр өнцгүүдийг ол.

10. Аль нь тэгш өнцөгт гурвалжны талууд вэ?

а. 5; 4; 8 б.13; 12; 5 в. 9; 13; 7 г. 2; 5; 6

11. Мэдэгдэхгүй байгаа хэрчмийн уртыг олоорой.

12. Шугаман тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргаар бодоорой. 2 − 7

−3 + 2 −10

13. Адил хажуут трапецийн их суурь 8см, бага суурь 4см ба хажуу талын урт 3см бол өндрийг

ол.

14. А хотоос 60км/ц хурдтай автобус хөдөлснөөс хойш 2 цагийн дараа түүний араас

автомашин гарч, 3 цагийн дараа автобуснаас 60км-ээр түрүүлсэн байв. Автомашин ямар

хурдтай вэ?

15. Параллель зөөлтөөрх −3; 0 цэгийн дүр нь 1 2; 2 бол 4;−1 цэг ямар цэгт

зөөгдөх вэ?

25

Сорил 2

1. 29175 тоог 4 тэмдэгтээр тоймло.

2. 5 ( 3)

2

1

3. + 39

16 2

3

4

4. Дараах тэгшитгэлийг бодоорой. 3 ;2

;4 5

5. + 9 11 тэгшитгэл бод.

6. Хоѐр тооны нийлбэр 34, ялгавар 8 бол уг хоѐр тоог ол.

7. 4 + 1 < 16тэнцэтгэл бишийг бод

8. −2 ≤ 4 − 3 < 13 давхар тэнцэтгэл бишийн хамгийн их бүхэл шийдийг олоорой.

9. Гурвалжны өнцгүүдийн харьцаа 3:5:7 бол тэдгээр өнцгүүдийг ол.

10. Аль нь тэгш өнцөгт гурвалжны талууд вэ?

а. 5; 4; 9 б.14; 8; 9 в. 4; 5; 3 г. 2; 4; 6

11. Мэдэгдэхгүй байгаа хэрчмийн уртыг олоорой.

12. Шугаман тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргаар бодоорой.

4 − 3 −7− + 3

13. Адил хажуут трапецийн их суурь 9см, бага суурь 5см ба хажуу талын урт 3см бол өндрийг

ол.

14. А хотоос 60км/ц хурдтай автобус хөдөлснөөс хойш 2 цагийн дараа түүний араас

автомашин гарч, 3 цагийн дараа автобуснаас 60км-ээр түрүүлсэн байв. Автомашин ямар

хурдтай вэ?

15. Параллель зөөлтөөрх −3; 0 цэгийн дүр нь 1 2; 2 бол 4;−1 цэг ямар цэгт

зөөгдөх вэ?

26

Сорил 3

1. 4 ( 2)

3

8

2. 0.0052 0.001

3. Олон гишүүнтийг үржүүлээрэй. 3 − 7 3 + 7

4. Гурвалжны үл мэдэгдэх талыг олоорой.

5. 3 2 − 15 2 ерөнхий үржигдэхүүн хаалтнаас гарга.

6. 2 − 6 ≤ + 11 тэнцэтгэл бишийг бод.

7. − 5 7 тэгшитгэлийн шийдийг олоорой.

8. Тэгшитгэлийг бодоорой 2 − − 90 0

9. Арифметик прогресс өгөгджээ 2, 5, 8, 11.... бол 18

10. 52 модтой хөзрөөс санамсаргүйгээр 1-ийг сугалахад “гил” таарах үзэгдлийн эсрэг

үзэгдлийн магадлал хэд вэ?

a. 3

4 b.

2

9 c.

1

8 d.

1

4

11. Олон өнцөгтийн мэдэгдэхгүй өнцгийг олоорой.

12. Баяр 80 онооны шалгалтаас 76 оноо авчээ. Ямар үнэлгээ авсан бэ?

13. Дүрсийн талбайг ол.( ≈ 3.14 гэж тооцно )

14. 3 − 2 12 + 17

тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргаар бодоорой.

15. 12, 20, 17, 22, 31, 45, 38, 59, 40, 55, 10, 54, 33, 32, 27, 21, 19, 11, 10, 9, 48, 30, 42, 14, 27

a. Ямар нэг тэнцүү завсарт бүлэглээрэй

b. Зураасны аргаар бүртгээрэй

c. Давтамжийн хүснэгт хийгээрэй

d. Гистограммаар дүрслээрэй

10 см

6 см

𝑏

125o

110o x

4см

10см

27

Сорил 4

1. 2 2 2 3 2

2. 34,205 105

3. Олон гишүүнтийг үржүүлээрэй. 16 2 − 9 2

4. Гурвалжны үл мэдэгдэх талыг олоорой.

5. 8 2 3 − 12 3 2 ерөнхий үржигдэхүүн хаалтнаас гарга.

6. 4 ≤ 5 − 1 ≤ 9 тэнцэтгэл бишийг бод.

7. 5 − 3 тэгшитгэлийн шийдийг олоорой.

8. 1 , 4 , 7 , 10 бол 20

9. Тэгшитгэлийг бодоорой 2 − 11 + 28 0

10. 32 модтой хөзрөөс санамсаргүйгээр 1-ийг сугалахад “цэцэг” хөзөр таарах үзэгдлийн

эсрэг үзэгдлийн магадлал хэд вэ?

11. Олон өнцөгтийн мэдэгдэхгүй өнцгийг олоорой.

12. Бат 80 онооны шалгалтаас 87.5 VII үнэлгээ авчээ. Хэдэн оноо авсан бэ?

13. Дүрсийн талбайг ол.

( ≈ 3.14 гэж тооцно )

14. 2 − 3 12 + 11

тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргаар бодоорой.

15. 25, 36, 11, 29, 23, 11, 29, 31, 52, 48, 52, 30, 18, 21, 16, 42, 33, 22, 36, 28, 15, 36, 20, 23, 49

a. Ямар нэг тэнцүү завсарт бүлэглээрэй

b. Зураасны аргаар бүртгээрэй

c. Давтамжийн хүснэгт хийгээрэй

d. Гистограммаар дүрслээрэй

130o 152

o

x

4см

10см

12 см

6 см

𝑏

28

9 см

6 см

10 см

Сорил 5

1. 2 тэрбумыг 10-ын зэрэг хэлбэрээр бич.

а. 2 107 b. 2 108 c. 2 109 d. 2 1010

2. 2 2 3

9

3. 50000₮ -ийг жилийн 8%-ийн хүүтэй банкинд хадгалуулав. 2 жилийн дараа хэд болсон

байх вэ?

4. Илэрхийллийг хялбарчил. 10; 2

100; 2

5. Ерөнхий үржигдэхүүн хаалтнаас гарга. 20 7 2 + 10 3 4

6. 6 − 3 > 12тэнцэтгэл бишийг бод.

7. 3 − 9 6

8. Тэгшитгэлийг бодоорой 3 2 − − 70 0

9. Арифметик прогресс үүсгэх 4 тооны мэдэгдэхгүй байгаа тоонуудыг олоорой.

9, , 13,

10. Зөв 5 өнцөгтийн нэг гадаад өнцгийн хэмжээ

11. Туршилтын дүнд илрэх бүх эгэл үзэгдлүүдийн олонлог {3, 5, 7, 9} ба 3 0.2 ,

5 0.3 , 7 0.4 бол 9 - г олоорой.

12. Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз 5см, нэг катет 3 см бол нөгөө катетыг ол.

13. Нийлмэл дүрсийн талбайг ол.

a. 64.26 2 b. 86. 13 2

c. 28.26 2 d. 72.13 2

14. 3 − 5 −6 + 2 9

тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргаар бодоорой.

15. Шалгалтын дүн өгөгдөв.

67, 69, 58, 80, 74, 59, 58, 87, 70, 40, 57, 56, 57, 83, 64, 61, 41, 58, 73, 47, 59, 68, 51, 57, 30, 47, 43

a. Ямар нэг тэнцүү завсруудад бүлэглээрэй.

b. Зураасны аргаар бүртгээрэй.

c. Давтамжийн хүснэгт хийгээрэй.

d. Гистограммаар дүрслээрэй.

29

Сорил 6

1. 1 тэрбумыг 10-ын зэрэг хэлбэрээр бич.

а. 107 b. 1 108 c. 1010 d. 109

2. 3 4 3 (3

2);2

3. Барааны үнэ жил бүр 6%-р буурдаг бол 5000₮-ний үнэтэй бараа 2 жилийн дараа хэдэн

төгрөгний үнэтэй болох вэ?

4. Илэрхийллийг хялбарчил. 3: 2

9; 2

5. Ерөнхий үржигдэхүүн хаалтнаас гарга. 12 5 3 + 6 3 4

6. 3 − 1 ≤ 15 тэнцэтгэл бишийг бод.

7. 4 − 3 5

8. Арифметик прогресс үүсгэх 4 тооны мэдэгдэхгүй байгаа тоонуудыг олоорой.

7, , 13,

9. Зөв 6 өнцөгтийн нэг гадаад өнцгийн хэмжээг олоорой

10. Тэгшитгэлийг бодоорой 2 − 6 + 55 0

11. Туршилтын дүнд илрэх бүх эгэл үзэгдлүүдийн олонлог { , , , } ба 0.1 ,

0.2, 0.3 бол - г олоорой.

12. Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз 10 см, нэг катет 6 см бол нөгөө катетыг ол.

13. Нийлмэл дүрсийн талбайг ол.

14. − 4

2 + 5 15 тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргаар бодоорой. ( 3оноо)

15. Сурагчийн дүн өгөгдөв.

90, 60, 80, 74, 59, 58, 87, 70, 40, 57, 56, 57, 83, 64, 61, 41, 58, 73, 47, 59, 68, 55, 57, 30, 47, 43

a. Ямар нэг тэнцүү завсруудад бүлэглээрэй.

b. Зураасны аргаар бүртгээрэй.

c. Давтамжийн хүснэгт хийгээрэй.

d. Гистограммаар дүрслээрэй.

5 см 10 см

4см

см

30

Сорил 7

1. Илэрхийллийг хялбарчил. 4 2 2

3

2. Илэрхийллийг олон гишүүнт хэлбэртэй бич. + 2 2

3. Илэрхийллийн утгыг ол. 8.169 105

4. Ерөнхий үржигдэхүүн хаалтнаас гарга. 3 5 − 6 3

5. Тэнцэтгэлбишийг бод. 3 − 1 ≤ 12

6. Тэгшитгэлийг бод. 4 + 20 24

7. 4см талтай квадратын диагоналийн уртыг ол.

8. 21

4 тооны 50% болох тоог ол

9. 100, 70, 40 … арифметик прогрессийн 10-р гишүүнийг ол.

10. Параллелограммын талууд 16см, 27см хурц өнцөг нь 300 бол

параллелограммын талбайг ол.

11. Өгсөн функцийн урвуу функцийг ол. 2 + 6

12. Систем тэгшитгэлийг нэмэх аргаар бод.

3 + 7

5 − 8 31

13. Периметр нь 22см байдаг гурвалжны нэг медиан нь уг гурвалжныг 12см ба 16см

периметр бүхий 2 гурвалжинд хуваадаг бол энэхүү медианы уртыг ол.

14. 4,10,16,.... дарааллын хувьд

a) Ерөнхий гишүүний томьѐог бич

b) 25-р гишүүнийг олоорой.

15. 8А анги 50 сурагчтай. Тэдний сонирхон хичээллэдэг дугуйлангийн төрлийг дугуй

диаграммаар харуулав

a) Спортын болон бүжгийн төрлөөр нийт хэдэн сурагч хичээллэдэг вэ?

b) Математикийн дугуйланд хамрагдсан сурагчдын тоог зургийн болон бүжгийн

дугуйланд хамрагдсан сурагчдын тооны нийлбэрт харьцуул.

c) Энэхүү өгөгдлийг ашиглан баганан диаграмм байгуулаарай.

20%

20% 40%

20%

8А

Бүжиг Спорт Математик Зураг

31

Сорил 8

1. Илэрхийллийг хялбарчил. 4 2 6

8

2. Илэрхийллийг олон гишүүнт хэлбэртэй бич. 2 − 3 2

3. Илэрхийллийн утгыг ол. 2738 10;3

4. Ерөнхий үржигдэхүүн хаалтнаас гарга. 5 4 − 10 3

5. Тэнцэтгэл бишийг бод. −6 1 − ≥ 12

6. Тэгшитгэлийг бод. 3 − 4 11

7. Квадратын диагоналийн урт 8см бол талуудыг ол.

8. 3,9,27 … геометр прогрессийн 5-р гишүүнийг ол.

9. Адил хажуут трапецын сууриуд 14см,24см хажуу тал нь 13см бол трапецын талбайг ол.

10. Өгсөн функцийн урвуу функцийг ол. 3 − 6

11. Систем тэгшитгэлийг нэмэх аргаар бод.

2 + 4

3 − 2 27

12. 3 − 1 функцийн график дараах цэгүүдийн алийг нь дайрахгүй вэ?

a.M(1;0) b.N(3;26) c. K(0;-1) d.Q(-1;1)

13. Мэдэгдэхгүй байгаа өнцгийг ол

Сорил 9

1. + шулуун нь координатын эх болон М(-3;6) цэгийг

дайрдаг бол a-коэффициентийг ол

2. 2 + 1 2 + 3 − 2 − 1 2 26

3. 1

3

1

4 . a.

4

12 b.

7

24 c.

3

12 d.

6

24

4. 119 113

111

5. A={2,4,6,8,10,12}; B={1,2,3,4} бол A ба B олонлогуудын огтлолцол олонлог аль нь вэ?

6. Хамар өнцгийн нэг нь нөгөөгөөсөө 5 дахин их бол эдгээр өнцгүүдийг олоорой.

7. Зүй тогтлыг олж дараагийн гурван гишүүнийг бичээрэй. 11,23,35,....,....,....

8. 4,8,16,..... геометр прогрессийн хувьд

a) Ногдворыг олоорой.

b) Ерөнхий гишүүний томьѐог бич

c) 8-р гишүүнийг олоорой.

9. −5,3 , 1, −1 , 9,5 бол

a) гурвалжинг координатын хавтгайд байгуул.

b) гурвалжны талуудын уртыг олоорой.

c) гурвалжинг −3 шулууны хувьд тэгш хэмтэй хувиргаарай.

10. Дараах тэгшитгэлийг бодоорой. 2:2

;3 6

11. Шугаман тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргаар бодоорой.

2 − 7

−3 + 2 −10

12. x+6≤2-x<8+x давхар тэнцэтгэл бишийг бодоорой

13. Мэдэгдэхгүй байгаа өнцгийг ол

32

Сорил 10

1. Хоѐр литрийн савтай жүүснээс 1590 милуусны дараагаар саванд ямар хэмжээний жүүс

үлдэх вэ? лилитрийг

2. Арифметик прогресс үүсгэх 3 тооны мэдэгдэхгүй байгаа тоог олоорой. −2, , 12

3. 5кг гурил 6000 төгрөг бол 13кг гурил хэдэн төгрөг болох вэ?

4. Үет бутархайг энгийн бутархай хэлбэрт бичээрэй. 4. 24

5. Мэдэгдэхгүй байгаа өнцгийг олоорой.

6. “ШАЛГАЛТ” гэдэг үгнээс нэг үсэг сугалахад тэр нь А үсэг байх магадлал хэд вэ?

7. Хоѐр оронтой 3-т хуваагддаг тоонуудын олонлог хэдэн элементтэй вэ?

8. Утгыг олоорой. 75 73

9. 3 + 4 72 + 8

.

10. Үйлдлийг гүйцэтгэ. 3 − 2 2 − 1

11. 1:4500 масштабаар зурагдсан хаусны урт 6 см бол бодит хэмжээг олоорой

12. Тэнцэтгэл бишийн шийдийг тоон шулуун дээр дүрсэл. Тоон завсар хэлбэрээр бичээрэй.

5 − 8 > 19

Сорил 11

1. 6 сая төгрөгний 3% нь хэдтэй тэнцүү вэ?

2. Дугуйтай хүн 20минутад 6км зам явсан бол түүний хурдыг м/с – ээр илэрхийлээрэй.

3. Дараах тоонуудыг өсөхөөр эрэмбэлээрэй. 5

7 , −1, 0.6, −1

3

4

4. 3.1925 −ийг 2 тэмдэгтээр тоймлоорой.

5. −3 < ≤ 6 давхар тэнцэтгэл бишийн шийдийг олоорой.

6. Утгыг олоорой. 2992 − 1012

7. 3 − 9 15 тэгшитгэл бод.

8.

:8

3

8 тэгшитгэлийг бодоорой.

9. Дараах тэгшитгэлийг бодоорой. 3 2 − 1 − 5 − 3 + 6 3 − 4 83

10. Илэрхийллийг хялбарчилаарай.

2 10 − 3 − 5 5 + 3 + 5(3 2 − 4 − 6 )

11. Олон гишүүнт ба нэг гишүүнтийн үржвэрийг олоорой.

11

2 2 (4 2 3 −

2

7 4 −

3

14 5)

12.

x 910

104 0

113 0 106 0

R=6см

h=8см V=?

33

Сорил 12

1. 8.169 105 утгыг ол

2. 3.5839 тоог 3 тэмдэгтээр тоймлоорой.

3. 20

:2 5 бол

4. 3 0 бол

5. −3 , 2 цэгүүдийн хоорондох зай хэд вэ?

6. 8 − 6 < 10 тэнцэтгэл бишийн шийдийг ол.

7. Аль гурвал нь тэгш өнцөгт гурвалжны талууд болох вэ?

a. 3, 4, 5 b. 14, 12, 5 c 9, 13, 7

8. Мэдэгдэхгүй байгаа хэрчмийн уртыг олоорой.

a. 18 b. 17 c. 16 d. 19

9. Кино театрт шинээр гарч буй киног үзэж буй үзэгчдийн тоог 10 өдрийн турш тэмдэглэжээ.

678, 657, 589, 690, 730, 694, 560, 587, 677, 565

a) Киног нийт хэдэн хүн үзсэн бэ?

b) Өдөрт дунджаар хэдэн хүн уг киног үзсэн бэ?

c) Өгөгдлийг (үзэгчдийн тоог) тэнцүү завсарт бүлэглэн тохирох диаграммаар

дүрслээрэй.

10. 2 + 52 − 7

.

11. . Шийдийг тоон шулуун дээр дүрсэлж, тоон завсар

хэлбэрээр бич.

11 < 4 − 1 ≤ 19

12. мэдэгдэхгүй байгаа талын уртыг олоорой.

𝑥 𝑦 4

3

6

A

B

C

D

4 4.5

16 x

34

Сорил 13

1. 837 10;2 утгыг ол

2. 7951 тоог 1 тэмдэгтээр тоймлоорой.

3. 30

1.5 10 бол

4. −1 бол

5. −2 , 3 цэгүүдийн хоорондох зай хэд вэ?

6. 3 + 7 > 28 тэнцэтгэл бишийн шийдийг ол.

7. Аль гурвал нь тэгш өнцөгт гурвалжны талууд болох вэ?

a. 3, 4, 6 b. 13, 12, 5 c 9, 13, 7

8. Мэдэгдэхгүй байгаа хэрчмийн уртыг олоорой.

9. Цайны газар үйлчлүүлж буй үйлчлүүлэгчдийн тоог 10 өдрийн турш тэмдэглэжээ.

580, 589, 618, 624, 534, 650, 560, 545, 648, 562

a) нийт хэдэн хүн үйлчлүүлсэн бэ?

b) Өдөрт дунджаар хэдэн хүн үйлчлүүлсэн бэ?

c) Өгөгдлийг (үйлчлүүлэгчийн тоог) тэнцүү завсарт бүлэглэн тохирох диаграммаар

дүрслээрэй.

10. 2 − 5 5 + 5 10

.

11. . Шийдийг тоон шулуун дээр дүрсэлж, тоон

завсар хэлбэрээр бич. 14 < 2 + 2 ≤ 20

12. мэдэгдэхгүй байгаа талын уртыг олоорой.

y 13 x

2

12 A

B

C

D

5 10

19 x

35

Сорил 14

1. −30 − −12 (−3

2)

2. 12 3 − 3 2 3 + 4 − 1 − 5 + 7

3. 0.25 , 0.05 бол 2; 2

:

4. 2 3 − 5 − 7 − 2 −25 тэгшитгэлийн шийдийг ол

5. Дараахь цэгүүдийн аль нь − 4 + 1 шулуун дээр оршихгүй вэ?

. 0; 1 . 2; −7 . 10;−39 . 8; 30

6. −2 2 + 6 −2

7. 25 2+ +9 2 олон гишүүнтийг 2 гишүүнтийн квадрат болгож нөх

8. 2:3

18< 0 тэнцэтгэл бишийн шийдийг ол.

9. 0;1;3;4 цифрүүдээр цифрүүд нь ялгаатай 3 оронтой тоо хэдийг зохиож болох вэ?

10. 22 2 3 ; 2

;2 2 2 ?

11. Хоѐр тооны нийлбэр 140; ялгавар нь 24 бол уг тоонуудыг тэгшитгэлийн систем

зохиож бод.

12. 6 ;6

:6+ (

3

:6−

2

2:12 :36)

3 :16

2;36

13.

Сорил 15

1. −56 − −24 (−6

7)

2. −3 2 3 + 4 − 1 + 12 3 − 5 + 7 илэрхийлэл хялбарчил

3. 0.25 , 0.05 бол :

2; 2

4. −4 3 + 2 + 3 2 + 5 19 тэгшитгэлийн шийдийг ол

5. Дараахь цэгүүдийн аль нь − 3 + 1 шулуун дээр оршихгүй вэ?

. 0; 1 . −2; 7 . −3; 10 . 5; −18

6. − 2 + 8 3

7. 36 2− +16 2 олон гишүүнтийг 2 гишүүнтийн квадрат болгож нөх

8. 12;5

42≥ 0 тэнцэтгэл бишийн шийдийг ол.

9. 0;2;3;4 цифрүүдээр цифрүүд нь ялгаатай 3 оронтой тоо хэдийг зохиож болох вэ?

10. 32 2 3 ; 2

;3 2 2 ?

11. Хоѐр тооны нийлбэр 120; ялгавар нь 28 бол уг тоонуудыг тэгшитгэлийн систем

зохиож бод.

12. 3 ;3

:3+ (

5

:3−

11

2:6 :9)

5 :4

2;9 илэрхийллийг бод.

13.

36

Сорил 16

1. 3 1 − ≤ 5 − 1

2. 9 2;25 2

5 ;3

3. + 2 23 − 4 6

4. 5 − 1 2 − 25 2 + 7

5. − 1 6 5 5

6. −3 < 2 − 1 < 4

7. − 1 3

8. 5:

2 ;1 −

1

3

9. 7;−2 , 5;−1

10. 50

480

11. 3 − 2; ; 8

12. −5; 3 , 1;−1 9; 5

13. Адил хажуут гурвалжны тал 17см, суурь нь 16см бол өндрийг олоорой

14. − 7 8 13 26 1

15. 2 8 3 16 1

Сорил 17

1. −0.3 1 − 2 2.9 тэгшитгэлийг бод

2. 7;6

2+ 10 <

20 :1

3+ 2

3. − 2 3 − 5 + 3 3 − 2 2 − 9 2 + 7

4. 4 2;25 2

5 ;2

1415

213 714

5 :10

:2 2

5. + 2 23 − 4 6

6. −2 < 2 + 5 < 3

7. − 3 8

8. 5:

2 ;1 −

1

3

9. Тоог тэмдэгтийн тоогоор тоймлоорой. 598(1 тэмдэгтээр); 267.48( 4 тэмдэгтээр), 0.0027(2

тэмдэгтээр), 0.82(1 тэмдэгтээр)

10. − 2 3 2 + 2

11. Адил хажуут гурвалжны суурь хажуу талаасаа 2 дахин бага, периметр нь 20 см бол

гурвалжны талуудыг олоорой

12. Хэрэв <A:<B:<C=2:3:7 бол гурвалжны өнцгүүдийг ол

13. − 1 2 − 5 ≤ + 4 2

14. Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз 10 см , нэг катет 8см бол уг гурвалжны талбайг ол

15. 3√36 − 4√121 + √625

16. (21

3)2

− −3 2 (3

4);2

37