ХЭСЭГbagsh.itpd.mn/fayluud/10-Математик.pdf · 2020. 5. 7. · ТООНЫ ТЭГ, СӨРӨГ ИЛТГЭГЧТЭЙ ЗЭРЭГ Тодорхойлолт: Аливаа тэгээс

I ХЭСЭГ

ҮНДСЭН УХАГДАХУУН

1. АЛГЕБР ТОО ТООЛОЛ

ТООНЫ ТЭГ, СӨРӨГ ИЛТГЭГЧТЭЙ ЗЭРЭГ

Тодорхойлолт: Аливаа тэгээс ялгаатай

тооны тэг зэрэг нэг байна.

𝒂𝟎 = 𝟏 , 𝒂 ≠ 𝟎 байна.

Тодорхойлолт: 𝒏 ∈ 𝚴 , 𝒂 ≠ 𝟎 хувьд

𝟏

𝒂𝒏= 𝒂−𝒏 ба 𝒂−𝒏 =

𝟏

𝒂𝒏 байна.

ЗЭРГИЙН ЧАНАР

n ЗЭРГИЙН ЯЗГУУР

Тодорхойлолт: n зэрэгт дэвшүүлэхэд a

тоотой тэнцдэг b тоог a тооны n

зэргийн язгуур гэх ба ξ𝒂𝒏

гэж

тэмдэглэнэ. ξ𝒂 𝒏

= 𝒃 байна. a,b- бодит

тоо , n>1 натурал тоо.

Тодорхойлолт: a тооны n зэргийн

язгуурын сөрөг биш утгыг n зэргийн

арифметик квадрат язгуур гэнэ. ξ𝑎𝑛

гэж тэмдэглэнэ. ξ𝑎𝑛

= 𝑏 ба b>0, n>1

ЯЗГУУРЫН ЧАНАР

ξ𝟔𝟒 = ±𝟖 квадрат язгуур , ξ𝟔𝟒 = 𝟖 арифметик

язгуур

РАЦИОНАЛ ТООН ИЛТГЭГЧТЭЙ ЗЭРЭГ

ТООНЫ СТАНДАРТ ХЭЛБЭР

Аливаа тоог аравтын бутархай хэлбэрт

оруулж бичээд түүнийг цэгээс өмнө тэгээс

ялгаатай нэг орон үлдэж байхаар 10-ын

зэргээр үржүүлж бичсэн хэлбэрийг

стандарт хэлбэрт оруулж бичих гэнэ.

70 = 1; ξ30= 1 ;

(−6)0 = 1;

2−5 =1

25=

1

32

(3

4)−2

= (4

3)2

=16

9

РАЦИОНАЛ ТООН ИЛТГЭГЧТЭЙ ЗЭРЭГ

Тодорхойлолт: a>0 дурын бодит тооны

хувьд ξ𝑎𝑘𝑛 тоог ξ𝒂𝒌 𝒏

= 𝒂𝒌

𝒏 гэж

тэмдэглэдэг. 𝒂𝒌

𝒏 = ξ𝒂𝒌 𝒏 байна.

Энд 𝒌𝝐𝚭; 𝒏𝝐𝚴 , 𝒏 ≥ 𝟐 Зэргийн чанарууд: n,m рационал тоо

ЖИШЭЭ БОДЛОГО

ЖИШЭЭ БОДЛОГО

𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕 = 𝟒. 𝟐𝟖𝟓𝟕 ∙ 𝟏𝟎𝟒

𝟐𝟑𝟓. 𝟓𝟔𝟏 = 𝟐. 𝟑𝟓𝟓𝟔𝟏 ∙ 𝟏𝟎𝟐

𝟎. 𝟎𝟐𝟒𝟏𝟓𝟕 = 𝟐. 𝟒𝟏𝟓𝟕 ∙ 𝟏𝟎−𝟐

𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟕𝟏 = 𝟕. 𝟏 ∙ 𝟏𝟎−𝟓

1

РАЦИОНАЛ ИЛТГЭГЧТЭЙ АЛГЕБРЫН

ИЛЭРХИЙЛЭЛ

Тодорхойлолт: Хувьсагчийн рационал

илтгэгчтэй зэрэг агуулсан илэрхийллийг

рационал илтгэгчтэй алгебрын

илэрхийлэл гэнэ.

𝑥12 + 𝑦

12 ; 5𝑏

23; 𝑥0.5 − 𝑥 + 1

АЛГЕБРЫН БУТАРХАЙН НЭМЭХ, ХАСАХ

ҮЙЛДЭЛ

Ижил хуваарьтай алгебрын бутархайг

нэмэх болон хасахдаа бутархайн

хуваарийг хэвээр үлдээж, хүртвэрүүдийг

нэмэх ба хасна.

Ижил биш хуваарьтай бутархайнуудыг

нэмэж, хасахдаа бутархайнуудыг

ерөнхий хуваарьтай болгож, ижил

хуваарьтай бутархайн нэмэх, хасах

дүрмээр гүйцэтгэнэ.

Жишээ нь:

в. 5

12𝑥−

7

18у=

15𝑦

36𝑥𝑦−

14𝑥

36𝑥𝑦=

15𝑦−14𝑥

36𝑥𝑦;

г. 𝑥2

𝑥−𝑦 +

𝑦2

𝑦−𝑥=

𝑥2

𝑥−𝑦−

𝑦2

𝑥−𝑦=

(𝑥−𝑦)(𝑥+𝑦)

𝑥−𝑦= 𝑥 + 𝑦;

Функцийн D ба Е муж

Тодорхойлолт: 𝒇: 𝑫 → 𝑬 функцийн

хувьд D олонлогийг f функцийн

тодорхойлогдох муж , E олонлогийг f

функцийн утгын муж гэж нэрлэнэ.

ሼ𝒇(𝒙) | 𝒙 ∈ 𝑫ሽ олонлогийг f функцийн

дүр гэнэ.

Жишээ нь:

Квадрат функц

Тодорхойлолт: 𝒇: ℝ → ℝ , тодорхойлогдсон ( a, b, c нь бодит тоо ба

𝑎 ≠ 0), 𝐟(𝐱) = 𝐚𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 хэлбэрийн

функцийг x хувьсагчийн хувьд квадрат

функц гэнэ. График нь: a>0 үед дээшээ

харсан парабол, a<0 үед доошоо харсан

парабол гарна.

Жишээ нь:

Жишээ нь:

1.(𝑚1

2 − 1) (𝑚1

2 + 1) = (𝑚1

2)2

− 12 = 𝑚 − 1

2. (3𝑥1

3 − 2)2

= 9𝑥2

3 − 12𝑥1

3 + 4

3. (ξ𝑥 − √𝑦)(ξ𝑥 + √𝑦) = (ξ𝑥)2 − (√𝑦)2 = 𝑥 − 𝑦

4. 𝑎 − 4 = (а1

2)2 − 22 = (𝑎1

2 − 1) (𝑎1

2 + 1)

АЛГЕБРЫН БУТАРХАЙН ҮРЖИХ, ХУВААХ

ҮЙЛДЭЛ

Жишээ нь:

D={1,2,3,4} –

Тодорхойлогдох муж

E={ a,b,c,d} –

Утгын муж

{ a , c, d} – дүр юм.

𝐟(𝐱) = 𝐚𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜

𝒂 ≠ 𝟎 , 𝒃 = 𝒄 = 𝟎 үед

𝐟(𝐱) = 𝐚𝐱𝟐

функцийн график

2

𝐲 = 𝐚𝐱𝟐 + 𝐪 Квадрат функц

𝐲 = 𝐚𝐱𝟐 + 𝐪 функцийн график нь

у = 𝐚𝐱𝟐 функцийн графикийг q>0 үед

ОУ тэнхлэгийн дагуу q нэгжээр дээш нь

q<0 үед ОУ тэнхлэгийн дагуу q нэгжээр

доош нь зөөхөд гарна.

𝐲 = 𝐚(𝐱 − 𝐩)𝟐 Квадрат функц

𝐲 = 𝐚(𝐱 − 𝐩)𝟐 функцийн график нь

у = 𝐚𝐱𝟐 функцийн графикийг p>0 үед

ОХ тэнхлэгийн дагуу p нэгжээр баруун

тийш , p<0 үед ОX тэнхлэгийн дагуу p

нэгжээр зүүн тийш шилжүүлэхэд гарна.

𝐲 = 𝐚(𝐱 − 𝐩)𝟐 + 𝒒 квадрат функц

𝐲 = 𝐚(𝐱 − 𝐩)𝟐 + 𝒒 функцийн график нь

у = 𝐚𝐱𝟐 функцийн графикийг ОХ

тэнхлэгийн дагуу p нэгжээр , ОY

тэнхлэгийн дагуу q нэгжээр зөөхөд гарна.

Параболын оройн цэгийн координат нь

O(p;q) байна.

𝐲 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 функцийн график

𝐲 = 𝐚𝐱𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 функцийн графикийг

байгуулахдаа у = 𝐚(𝐱 − 𝐩)𝟐 + 𝒒

функцийн графикт шилжүүлэн зурж

болно. Параболын оройн цэгийн

координат нь O(p;q) байна.

1. Оройн цэгийн координат олох:

𝐎(−𝐛

𝟐𝐚; −

𝐛𝟐−𝟒𝐚𝐜

𝟒𝐚) (1)

2. Тэгш хэмийн тэнхлэг нь: 𝒙 = −𝐛

𝟐𝐚

3. Тэнхлэгүүдийг огтлох цэгүүд нь:

ОХ→ 𝒙 = 𝟎 үед 𝒚 = 𝒄 байна.

OY→ y=0 үед 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎

тэгшитгэлийн x1 , x2 шийдүүд болно.

Жишээ нь:

1. a=-2<0 тул доошоо харсан парабол

байна.

2. Оройн цэг нь: (1)томьёонд орлуулан

олбол О(1;8)

3. OY огтлох цэг: x=0 ; y=6

OX огтлох цэг: y=0 буюу

−2𝑥2 + 4𝑥 + 6 = 0 тэгшитгэлийн

шийдүүд нь 𝑥1 = 3; 𝑥2 = −1 буюу

(3;0) ; (-1;0)

3

𝒚 =𝒂

𝒙 функцийн график

𝒚 =𝒂

𝒙 – функцийн график a>0 үед I, III

мөчид , a<0 үед II, IV мөчид зурагдах

Гипербол байна.

y=0 үед 1

𝑥= 0 тэгшитгэл гарах ба энэ

тэгшитгэл шийдгүй тул Ox тэнхлэгтэй

огтлолцохгүй.

𝑦 =1

𝑥; 𝑦 = −

1

𝑥 функцийн графикууд

𝒚 = 𝒂𝒙𝒏 зэрэгт функцийн график

y= -2 үед 𝑦 =1

𝑥2 ; 𝑦 = −1

𝑥2 зэрэгт

функцийн график a>0 үед I, II мөчид , a<0

үед III, IV мөчид зурагдах Гипербол

байна.

y=0 үед 1

𝑥2 = 0 тэгшитгэл гарах ба энэ

тэгшитгэл шийдгүй тул Ox тэнхлэгтэй

огтлолцохгүй.

x=0 үед 1

𝑥2 тодорхойгүй тул Оу

тэнхлэгтэй огтлолцохгүй.

Жишээ нь:

𝒚 = ξ𝒙 функцийн график

y=ξ𝑥 ба у = −ξ𝑥 функцийн графикийг

утгын хүснэгт зохиох замаар байгуулна.

Жишээ нь:

𝒚 = 𝒂𝒙 функцийн график

𝐲 = 𝐚𝐱 (a>0, a≠ 𝟏 ) хэлбэрийн функцийг

илтгэгч функц гэнэ. Утгын хүснэгт

зохиох замаар илтгэгч функцийн график

байгуулна.

a>0 үед өсөх функц

a<0 үед буурах функц

Жишээ нь:

4

МАТРИЦ

Тоонуудыг мөр ба баганаас тогтох тэгш

өнцөгт хэлбэрт оруулж бичсэн

бичлэгийг матриц гэнэ. Матрицыг

латин цагаан толгойн том үсгүүдээр

A,B,C гэх мэт тэмдэглэнэ.Матрицыг

бүрдүүлж байгаа тоог матрицын

элемент гэнэ.

3x2 хэмжээст матриц

Матрицын мөр, баганын тоог матрицын

хэмжээс гэнэ. Дээрх матриц бол 3х2 буюу

А3х2 гэнэ.

МАТРИЦ

А матрицыг ерөнхий тохиолдолд :

Матрицын а12+а23+а31=?

а12+а23+а31= 8+(-7)+(-1)= 0

ТЭНЦҮҮ МАТРИЦ

Хоёр ижил хэмжээстэй матрицын

харгалзах элемент бүр нь тэнцүү бол

тэнцүү матриц гэнэ.

бол

a11=b11 ; a12=b12; a21=b21; a22=b22 байна.

a,b,c,d тоонуудыг олоорой.

c=2 ; a=-2; 5-b=0 ; -1= d+a ;

c=2 ; a=-2; b=5; d=1

Матрицын нэмэх үйлдэл

Ижил хэмжээстэй 2 матрицыг нэмэхдээ

ижил байранд байгаа элементүүдийг

харгалзан нэмэх ба нийлбэр матриц нь

нэмэгдэхүүн матрицуудтайгаа ижил

хэмжээстэй байна.

Матрицуудын нийлбэр олоорой

ТЭГ МАТРИЦ

Аливаа А матрицын хувьд А+B=B+A=A

байх А-тай ижил хэмжээстэй В гэсэн

матрицыг тэг матриц гээд 0 гэж

тэмдэглэнэ. Тэг матрицын хэмжээс янз

бүр байж болно.

Жишээ нь:

Элементүүдийг

дугаарлахдаа мөрийн

дугаарыг эхэнд нь,

баганын дугаарыг

хойно нь бичнэ.

а12= 8

а23= -7

а31= -1

5

ЭСРЭГ МАТРИЦ

Аливаа А матрицын хувьд А+B=B+A=0

байх В гэсэн матрицыг А-ын эсрэг матриц

гээд B= -A гэж тэмдэглэнэ. 0- Тэг матриц.

B матрицын элементүүд нь А матрицын

элементүүд болох тоонуудын эсрэг тоо нь

байна.

Жишээ нь:

матрицын эсрэг нь

байна.

Матрицын хасах үйлдэл

Аливаа А матриц дээр В матрицын эсрэг

матрицыг нэмэх үйлдлийг A матрицаас В

матрицыг хасах үйлдэл гэдэг ба А+(-B)=A-

B гэж тэмдэглэнэ.

хасаарай.

хасаарай.

Матрицыг тоогоор үржүүлэх

k гэсэн бодит тоогоор А матрицыг

үржүүлнэ гэдэг нь анхны матрицын

элемент бүрийг k тоогоор үржүүлсэн

матрицыг хэлнэ.

Жишээ нь:

Матрицыг үржүүлэх үйлдэл

Аливаа А, В матрицын хувьд А∙B=C

гардаг C гэсэн матрицыг А,В-ын

үржвэр матриц гэнэ. Матрицуудыг

үржүүлэхийн тулд эхний матрицын

баганын тоо дараагийн матрицын

мөрийн тоотой тэнцүү байх ёстой ба

үржүүлээд гарсан матриц нь эхний

матрицын мөрийн тоотой тэнцүү

мөртэй, дараагийн матрицын баганын

тоотой тэнцүү баганатай байна.

Жишээ нь:

үржүүлээрэй.

6

НЭГЖ МАТРИЦ

Аливаа А гэсэн 2х2 хэмжээстэй матрицын

хувьд 𝐀 ∙ 𝐄 = 𝐄 ∙ 𝐀 = 𝐀 байх Е матриц

олддог бол уг матрицыг 2х2 хэмжээстэй

Нэгж матриц гэнэ.

𝐀 ∙ 𝐄 = 𝐀 гэсэн нөхцөлөөс гарах систем

тэгшитгэлүүдийг бодвол:

нэгж матриц гарна.

Жишээ нь:

МАТРИЦЫН ТОДОРХОЙЛОГЧ

Аливаа 2х2 хэмжээстэй А = (𝑎 𝑏𝑐 𝑑

)

матрицын хувьд 𝐚𝐝 − 𝐛𝐜 тоог уг

матрицын тодорхойлогч гэж |А|=ቚ𝑎 𝑏𝑐 𝑑

ቚ

тэмдэглэнэ.

|А|=ቚ𝒂 𝒃𝒄 𝒅

ቚ = 𝒂𝒅 − 𝒃𝒄

Жишээ нь:

, тодорхойлогч ол.

ТОДОРХОЙЛОГЧИЙН ЧАНАРУУД

Чанар1: 0 мөр ба 0 баганыг агуулсан

матрицын тодорхойлогч 0 гарна.

Чанар2: Матрицын аль нэг мөр ба

баганыг тоогоор үржүүлэхэд өөр нэг мөр

ба баганатай тэнцүү байвал тодорхойлогч

0 гарна.

Чанар3: Тодорхойлогчийн аль нэг мөр

баганын ерөнхий үржигдэхүүнийг

тодорхойлогчийн өмнө гаргаж болно.

Чанар4: Ижил хэмжээстэй квадрат

матрицуудын үржвэр матрицын

тодорхойлогч нь тус бүрийн

тодорхойлогчийн үржвэртэй тэнцүү

байна. |𝑨 ∙ 𝑩| = |𝑨| ∙ |𝑩|

Жишээ нь:

Матрицын тодорхойлогчийг ол.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Санамж

Матрицын үржих үйлдлийн хувьд: А

матрицыг А матрицаар (өөрийг нь өөрөөр нь)

үржхийг А ∙ А = 𝐴2 ; 𝐴 ∙ 𝐴 ∙ 𝐴 = 𝐴3 гэж

тэмдэглэдэг.

Жишээ нь:

бол А2 =?

(1 10 1

) ∙ (1 10 1

) = (1 20 1

)

7

УРВУУ МАТРИЦ

А матрицын хувьд 𝐀𝑩 = 𝐁𝐀 = 𝐄 нэгж

матриц байх В матриц олддог бол В

матрицыг А матрицын урвуу матриц гэх

бөгөөд А−𝟏 гэж тэмдэглэнэ.


ቚ = 𝒂𝒅 − 𝒃𝒄 ≠ 𝟎 бол

А матрицын урвууг олох томьёо :


ቚ = 𝒂𝒅 − 𝒃𝒄 = 𝟎 бол урвуугүй

матриц байна.

Жишээ нь:

1. урвуутай юу?

Урвуутай бол урвуу матрицыг

олоорой.

|А|=ቚ𝟑 −𝟒

−𝟐 𝟑ቚ = 𝟗 − 𝟖 = 𝟏 тул

урвуутай. Урвуу матриц нь:

|А|−1 =1

1(3 42 3

) = (3 42 3

) байна.

2. 𝐵 = (2 34 6

) урвууг ол.

|𝐵| = ቚ2 34 6

ቚ = 12 − 12 = 0

учир урвуугүй.

Нэг хувьсагчтай шугаман тэнцэтгэл

биш

Тодорхойлолт: ax+b хэлбэрийн хоёр

шугаман илэрхийллийг хооронд нь их

багын тэмдгээр холбосныг нэг

хувьсагчтай шугаман тэнцэтгэл биш

гэнэ. 𝒂𝒙 > 𝒃; 𝒂𝒙 + 𝒃 < 𝟎 ; 𝒂𝒙 + 𝒃 ≤ 𝟎

Тодорхойлолт: Өгсөн тэнцэтгэл бишийн

хувьсагчийн оронд орлуулахад үнэн тоон

тэнцэтгэл биш үүсгэх тоог тэнцэтгэл

бишийн шийд гэнэ.

Жишээ нь:

x=5 тоог 2х+3>x-3 тэнцэтгэл бишид

орлуулахад 13>2 гэсэн үнэн тоон

тэнцэтгэл биш үүсэх учир 5 нь уг

тэнцэтгэл бишийн шийд болно.

Харин x= -7 тоог 2х+3>x-3 тэнцэтгэл

бишид орлуулахад -11>-10 гэсэн худал

тоон тэнцэтгэл биш үүсэх учир -7 нь уг

тэнцэтгэл бишийн шийд болохгүй.


бишийг бодох

Тодорхойлолт: Өгсөн тэнцэтгэл бишийн

шийд болдог тооны олонлогийг шийдийн

олонлог гэнэ.

Өгсөн тэнцэтгэл бишийн шийдийн

олонлогийг олохыг тэнцэтгэл бишийг

бодох гэнэ.

Шийдийн олонлог нь давхцах тэнцэтгэл

бишүүдийг тэнцүү чанартай тэнцэтгэл

бишүүд гэнэ.

Жишээ нь:

2𝑥 − 5 > 0 тэнцэтгэл бишийг бодоорой.

Бодолт: 2x>5 x>5:2 x>2.5 ;

𝑥𝜖 ሿ2,5; +∞ሾ буюу 2,5-аас их тоонуудын

олонлог нь 2𝑥 − 5 > 0 тэнцэтгэл

бишийн шийдийн олонлог болно. 2,5-аас

бага тоонуудын олонлог нь энэ

тэнцэтгэл бишийн шийдийн олонлог

болохгүй.

8


бишийг бодох

Чанар: a,b,c нь бодит тоо:

1. Хэрэв а>b бол a+c>b+c байна.

2. Хэрэв a>b ба c>0 бол ac>bc байна

3. Хэрэв a>b ба c<0 бол ac<bc байна.

Өөрөөр хэлбэл тэнцэтгэл бишийн

хоёр талыг тэгээс ялгаатай сөрөг

тоогоор үржүүлэхэд тэнцэтгэл

бишийн тэмдэг эсрэгээр

өөрчлөгдөнө.

Жишээ нь:

2<5 гэсэн үнэн тоон тэнцэтгэл бишийн хоёр

тал дээр (-4) –ийг нэмбэл -2<1 гэсэн үнэн

тоон тэнцэтгэл үүснэ.

Харин 2<5 гэсэн үнэн тоон тэнцэтгэл

бишийн хоёр талыг (-4)-өөр үржүүлэхэд -

8< -20 гэсэн худал тэнцэтгэл биш үүсэх тул

сөрөг тоогоор үржихдээ тэмдгийг нь

эсрэгээр эргүүлэхэд -8> -20 болж үнэн

тоон тэнцэтгэл биш үүснэ.


бишийн систем

Тодорхойлолт: ൜𝑎1𝑥 + 𝑏1 > 𝑐1

𝑎2𝑥 + 𝑏2 > 𝑐2 тэнцэтгэл

бишийн системийг нэг хувьсагчтай

шугаман тэнцэтгэл бишийн систем гэнэ.

Тэнцэтгэл биш тус бүрийг бодоод гарсан

шийдүүдийн олонлогийн огтлолцлыг

системийн шийдийн олонлог гэнэ.

Жишээ нь:

-6< x< -2 буюу 𝒙𝝐ሿ−𝟔;−𝟐ሾ

КВАДРАТ ТЭГШИТГЭЛ

Тодорхойлолт: Хэрэв 𝒂, 𝒃, 𝒄 𝝐 ℝ бөгөөд

а ≠0; x- хувьсагч бол 𝐚𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝟎 хэлбэрийн тэгшитгэлийг квадрат тэгшитгэл

гэнэ. 𝒂, 𝒃, 𝒄- коэффициент гэх ба с-г сул

гишүүн гэнэ.

Жишээ нь:

𝐚𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝟎 квадрат тэгшитгэл

𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟏 = 𝟎 квадрат тэгшитгэлийн

хувьд : a=2 ; b= -3 ; c= 1

КВАДРАТ ТЭГШИТГЭЛ


𝐚𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝟎 хэлбэрийн квадрат

тэгшитгэлийн 𝒂, 𝒃, 𝒄- коэффициентүүд нь

бүгд 0-ээс ялгаатай байвал уг

тэгшитгэлийг гүйцэд квадрат тэгшитгэл

гэнэ.

Хэрэв 𝐚𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝟎 хэлбэрийн

квадрат тэгшитгэлийн 𝒃, 𝒄-

коэффициентүүд ядаж нэг нь 0-тэй

тэнцүү ба а ≠0 бол уг тэгшитгэлийг

гүйцэд биш квадрат тэгшитгэл гэнэ.

Жишээ нь:

а ≠ 𝟎 𝐚𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝟎 - гүйцэд квадрат тэгшитгэл

𝒄 = 𝟎 үед 𝐚𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 = 𝟎 -

хэлбэрийн гүйцэд биш квадрат

тэгшитгэл

𝒃 = 𝟎 үед 𝐚𝐱𝟐 + 𝐜 = 𝟎 -


тэгшитгэл

𝒃 = 𝒄 = 𝟎 үед 𝐚𝐱𝟐 = 𝟎 -


тэгшитгэл

9

Квадрат тэгшитгэлийн шийд

Тодорхойлолт: 𝐚𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝟎 тэгшитгэлийн хувьсагчийн оронд

орлуулахад үнэн тоон тэнцэтгэл үүсгэх

тоог уг тэгшитгэлийн шийд гэнэ. Квадрат

тэгшитгэл 1 ба 2 шийдтэй, бас шийдгүй

байж болно.

Жишээ нь:

−𝟏; 𝟏 нь 𝟐 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟏 = 𝟎 квадрат

тэгшитгэлийн шийд болох уу?

x=1 бол 2 ∙ 12 − 3 ∙ 1 + 1 = 0 0=0 үнэн

тул шийд болно.

x= -1 бол 2 ∙ (−1)2 − 3 ∙ (−1) + 1 = −6;

-6=0 худал тул шийд болохгүй.

Квадрат тэгшитгэлийн чанарууд

Чанар1: Хэрэв a,b бодит тооны хувьд

хэрэв а ∙ 𝑏 = 0 бол тэдгээрийн ядаж

нэг нь тэгтэй тэнцүү байна. Өөрөөр

хэлбэл а=0, b=0 байна.

𝐚𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 = 𝟎 гүйцэд биш квадрат

тэгшитгэлийг бодохдоо үржигдэхүүн

болгон задлаад тус бүрийг нь тэгтэй

тэнцүүлж шийдүүдийг нь олно.

𝐚𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 = 𝒙 ∙ (𝒂𝒙 + 𝒃) = 𝟎

𝒙𝟏 = 𝟎 ax+b=0 ax=-b 𝒙𝟐 = −𝒃

𝒂

Чанар2: Хэрэв 𝒙𝟐=a , a>0 бол

𝑥 = ξ𝑎 ба 𝑥 = −ξ𝑎 болно. Үүнийг

товчлон 𝑥 = ±ξ𝑎 гэж бичдэг.

𝐚𝐱𝟐 = 𝟎 хэлбэрийн гүйцэд биш квадрат

тэгшитгэлийн шийд нь 𝒙𝟏 = 𝒙𝟐 = 𝟎

Жишээ нь:

Дараах тэгшитгэлүүдийг бодоорой.

3x2 -5x= 0 𝑥 ∙ (3𝑥 − 5) = 0

𝑥1 = 0 3x-5=0 𝑥2 =5

3= 1

2

3

−4𝑥2 + 3 = −6 −4𝑥2 = −9

𝑥2 =9

4 𝑥 = ±ට

9

4 𝑥1,2 = ±

3

2

𝑥2 + 12 = 0 𝑥2 = −12

𝑥 = ξ−12 - Ямар ч бодит тооны

квадрат сөрөг тоо гарахгүй тул

энэ тэгшитгэл бодит шийдгүй.

7𝑥2 = 0 𝑥2 = 0: 7 𝑥2 = 0

𝑥1 = 𝑥2 = 0

2𝑥2 − 6 = 0 2𝑥2 = 6

𝑥2 =6

2= 3 𝑥1,2 = ±ξ3

𝑥1 = ξ3 𝑥2 = −ξ3

БИКВАДРАТ ТЭГШИТГЭЛ


𝐚𝐱𝟒 + 𝐛𝒙𝟐 + 𝐜 = 𝟎 хэлбэрийн

тэгшитгэлийг биквадрат тэгшитгэл гэнэ.

Биквадрат тэгшитгэлийг 𝒙𝟐 = 𝒚

орлуулгаар 𝒚𝟐 + 𝐛𝐲 + 𝐜 = 𝟎 хэлбэрийн

квадрат тэгшитгэлд шилжүүлж бодно.

Олсон шийдүүдээ 𝒙𝟐 = 𝒚 орлуулж

анхны тэгшитгэлийн шийдээ олно.

Жишээ нь:

Биквадрат тэгшитгэлийг бодоорой

𝐱𝟒 − 𝟕𝒙𝟐 + 𝟏𝟐 = 𝟎 𝒙𝟐 = 𝒚 гэвэл

𝒚𝟐 − 𝟕𝐲 + 𝟏𝟐 = 𝟎 болно. Квадрат

тэгшитгэлийн томьёо ашиглан бодвол:

у1 = 4; 𝑦2 = 3 болно.

𝒙𝟐 = 𝟒 ⟹ 𝑥1,2 = ±ξ4 = ±2

𝒙𝟐 = 𝟑 ⟹ 𝑥3,4 = ±ξ3

10

Квадрат тэгшитгэл бодох томьёо

Тодорхойлолт ∶ 𝒂, 𝒃, 𝒄 𝝐 ℝ а ≠ 𝟎

𝐚𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝟎 гүйцэд квадрат

тэгшитгэлийн шийдүүдийг олохдоо:

𝑫 = 𝒃𝟐 − 𝟒 ∙ 𝒂 ∙ 𝒄 - Дискриминант

1.𝑫 > 𝟎 бол ялгаатай хоёр (𝑥1 ≠ 𝑥2)

шийдтэй байна.

2.𝑫 = 𝟎 бол тэнцүү хоёр (𝑥1 = 𝑥2) шийдтэй

байна.

3.𝑫 < 𝟎 бол шийдгүй (∅) байна.

Хэрэв 𝑫 = 𝒃𝟐 − 𝟒 ∙ 𝒂 ∙ 𝒄 ≥ 𝟎 бол

𝐚𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝟎 квадрат тэгшитгэлийн

шийдүүдийг

𝒙𝟏,𝟐 =−𝒃±ξ𝑫

𝟐𝒂 томьёогоор олно.

𝒙𝟏 =−𝒃+ξ𝑫

𝟐𝒂 ; 𝒙𝟐 =

−𝒃−ξ𝑫

𝟐𝒂

Жишээ нь:

Дараах тэгшитгэлүүдийг бодоорой.

1. 𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟐 = 𝟎 a=2; b=5 ; c=2

𝑫 = 𝒃𝟐 − 𝟒 ∙ 𝒂 ∙ 𝒄 = 𝟓𝟐 − 𝟒 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 = 𝟗 > 𝟎 тул

ялгаатай хоёр шийдтэй.

𝒙𝟏,𝟐 =−𝒃±ξ𝑫

𝟐𝒂=

−5±ξ9

2∙2=

−5±3

4

𝑥1 =−5+3

4= −

1

2; 𝑥2 =

−5−3

4= −2

2. 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟕 = 𝟎 a=1; b=-4 ; c=7

𝑫 = (−𝟒)𝟐 − 𝟒 ∙ 𝟏 ∙ 𝟕 = −𝟏𝟐 < 𝟎 тул квадрат

тэгшитгэл шийдгүй.

3. 𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟓 = 𝟎 a=1; b=-10 ; c=25

𝑫 = (−𝟏𝟎)𝟐 − 𝟒 ∙ 𝟏 ∙ 𝟐𝟓 = 𝟎 = 𝟎 тул

тэгшитгэл тэнцүү хоёр шийдтэй.

𝒙𝟏 = 𝒙𝟐 =10 ± ξ0

2 ∙ 1=

10

2= 5

Шугаман тэгшитгэлийн систем

Тодорхойлолт: ൜𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝑐1

𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑐2

системийг хоёр хувьсагчтай шугаман

тэгшитгэлийн систем гэнэ.

Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийг

хангах (x;y) хос тоог олох, эсвэл хангах

тоонууд олдохгүй гэдгийг харуулах үйл

явцыг шугаман тэгшитгэлийн систем

бодох гэнэ.

Графикийн арга

а. Шугаман тэгшитгэл бүрийн

графикийг нэг координатын хавтгайд

байгуулна. Графикууд нь шулуун

байна.

б. Шулуунуудын огтлолцлын цэгийн

координат болох (x;y) хос тоог олно.

в. Энэ хос тоо нь уг шугаман

тэгшитгэлийн системийн шийд болно.

Шугаман тэгшитгэлийн систем

൜𝒂𝟏𝒙 + 𝒃𝟏𝒚 = 𝒄𝟏

𝒂𝟐𝒙 + 𝒃𝟐𝒚 = 𝒄𝟐

𝒂𝟏

𝒂𝟐≠

𝒃𝟏

𝒃𝟐≠

𝒄𝟏

𝒄𝟐 – шулуунууд

огтлолцоно. (x;y) ганц шийдтэй.

𝒂𝟏

𝒂𝟐=

𝒃𝟏

𝒃𝟐≠

𝒄𝟏

𝒄𝟐 -- шулуунууд параллель

буюу шийдгүй. ∅

𝒂𝟏

𝒂𝟐=

𝒃𝟏

𝒃𝟐=

𝒄𝟏

𝒄𝟐 -- шулуунууд давхацна.

төгсгөлгүй олон шийдтэй

Шийдийг тодорхойлох

Тэгшитгэлийн систем хэдэн шийдтэй

болохыг тодорхойл.

൜2x + y = 5

6x + 3y = 15

𝟐

𝟔=

𝟏

𝟑=

𝟓

𝟏𝟓 буюу

𝟏

𝟑=

𝟏

𝟑=

𝟏

𝟑 төгсгөлгүй олон шийдтэй.

൜2x − 3y = 04x − 6y = 5

𝟐

𝟒=

−𝟑

−𝟔=

𝟎

𝟓 буюу

𝟏

𝟐=

𝟏

𝟐≠ 𝟎 учир шийдгүй систем

байна.

11

Хоёр хувьсагчтай шугаман тэнцэтгэл биш

𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 > 𝟎 ба 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 < 𝟎 𝒂𝒙 +𝒃𝒚 ≥ 𝟎 ба 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 ≤ 𝟎 хэлбэрийн

тэнцэтгэл бишүүдийг хоёр хувьсагчтай

шугаман тэнцэтгэл биш гэнэ. Шугаман

тэнцэтгэлийн график нь шулуун байна.

Аливаа шулуун хавтгайг хоёр хагас

хавтгайд хуваадаг.

Хоёр хувьсагчтай шугаман тэнцэтгэл

бишийн шийд болох хагас хавтгайг

боломжит шийдийн муж гэнэ.

Жишээ нь:

𝒚 >𝟑

𝟐𝒙 + 𝟏 тэнцэтгэл бишийн

шийдийн олонлогийг дүрсэл.

Хоёр хувьсагчтай шугаман тэнцэтгэл

бишийн систем

൜𝒂𝟏𝒙 + 𝒃𝟏𝒚 > 𝒄𝟏

𝒂𝟐𝒙 + 𝒃𝟐𝒚 < 𝒄𝟐 бодохдоо:

а) Шугаман тэгшитгэл тус бүрийн

графикийг байгуулна.

б) Тэнцэтгэл бишүүдийн шийдүүдийн

мужийг будна.

в) Эдгээр тэнцэтгэл бишийн шийдүүдийн

огтлолцол буюу давхардсан муж нь уг

тэнцэтгэл бишийн системийн шийдийн

муж болно.

Жишээ нь:

൝

𝑥 + 𝑦 ≥ 12𝑥 + 3𝑦 ≤ 36

𝑥 < 𝑦 /: 3 ⟹ ቐ

𝑦 ≥ 12 − 𝑥

𝑦 ≤ 12 −𝑥

3

𝑦 > 𝑥

Илтгэгч тэгшитгэл

Тодорхойлолт: 𝒂𝒙 илэрхийлэл

агуулсан тэгшитгэлийг илтгэгч

тэгшитгэл гэнэ.

Бодох аргууд:

1. 𝑎 > 0 ба 𝑎 ≠ 1 ; 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑎𝑔(𝑥)

тэгшитгэлээс 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)

2. Шинэ хувьсагч оруулах арга

3. Орлуулах арга

4. Графикийн арга

Жишээ нь:

а. 𝟑𝒙𝟐+𝟐𝒙 = 𝟑𝒙+𝟔 ⟹ 𝑥2 + 2𝑥 = 𝑥 + 6

𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0 тэгшитгэлд шилжих ба

𝑥1 = 2; 𝑥2 = −3 шийдүүд нь анхны

тэгшитгэлийн шийд болно.

б. 𝟗𝒙 − 𝟒 ∙ 𝟑𝒙+𝟏 + 𝟐𝟕 = 𝟎

тэгшитгэлийг 32𝑥 − 12 ∙ 3𝑥 + 27 = 0

бичиж болно. 𝟑𝒙 = 𝒚 орлуулбал 𝒚𝟐 −

𝟏𝟐𝒚 + 𝟐𝟕 = 𝟎 y1 = 3 ; y2 = 9 гарна.

𝟑𝒙 = 𝒚 орлуулбал

ቂ3𝑥 = 3 𝑥 = 13𝑥 = 9 𝑥 = 2

Шийдийн

муж

12

Видео хичээл: Тэгш өнцөгт гурвалжны тригонометр харьцаа , Өнцгийн тригонометр утга

Видео хичээл: Тригонометр функцүүдийн чанар, эмхэтгэлийн томьёо

𝟎𝟎 − 𝟗𝟎𝟎 Синус, Косинус, Тангенс,

Котангенсийн утга

Утгын хүснэгт:

𝜶 𝟎𝟎 𝟑𝟎𝟎 𝟒𝟓𝟎 𝟔𝟎𝟎 𝟗𝟎𝟎

𝒔𝒊𝒏 ∝ 0 1

2 ξ2

2

ξ3

2

1

𝒄𝒐𝒔 ∝ 1 ξ3

2

ξ2

2

1

2

0

𝒕𝒈 ∝ 0 1

ξ3

1 ξ3 ∅

𝒄𝒕𝒈 ∝ ∅ ξ3 1 1

ξ3

0

Жишээ нь:

Дараах утгуудыг ороорой.

а. 𝑠𝑖𝑛600 =? 𝑠𝑖𝑛600 =ξ3

2

а. 𝑠𝑖𝑛450 + 𝑐𝑜𝑠450 =ξ2

2+

ξ2

2= ξ2 ;

б. 𝑡𝑔600 − 𝑐𝑡𝑔600 = ξ3 −1

ξ3=

2

ξ3

в. Тооны машин ашиглан ≈ утгыг ол.

𝑡𝑔250 ≈ 0,466

г. 𝑠𝑖𝑛670 + 𝑡𝑔230 ≈0.92+0.421≈ 0.34

Үндсэн адилтгалууд

𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 = 𝟏

( I үндсэн адилтгал )

𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶 = 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶

𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 = 𝟏 − 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶

𝒕𝒈𝜶 =𝒔𝒊𝒏𝜶

𝒄𝒐𝒔𝜶 ; 𝒄𝒕𝒈𝜶 =

𝒄𝒐𝒔𝜶

𝒔𝒊𝒏𝜶 ;

𝒕𝒈𝜶 ∙ 𝒄𝒕𝒈𝜶 = 𝟏

𝟏 + 𝒕𝒈𝟐𝜶 =𝟏

𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶

𝟏 + 𝒄𝒕𝒈𝟐𝜶 =𝟏

𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶

Жишээ нь:

Хэрэв 00 < А < 900 ба 𝒔𝒊𝒏𝑨 =𝟑

𝟓 бол

cosA=? , tgA=? , ctgA=?

𝒄𝒐𝒔𝟐𝑨 = 𝟏 − 𝒔𝒊𝒏𝟐𝑨 = 1 − (3

5)2

=

= 1 −9

25=

25

25−

9

25=

16

25;

𝒄𝒐𝒔𝑨 = ට16

25=

4

5 ;

𝒕𝒈𝑨 =𝑠𝑖𝑛𝐴

𝑐𝑜𝑠𝐴=

3

5:4

5=

3

5∙5

4=

3

4;

𝒄𝒕𝒈𝑨 =1

𝑡𝑔𝐴= 1:

3

4=

4

3= 1

1

3;

Эмхэтгэлийн томьёо

Тригонометр функцүүдийн хувьд:

𝐬𝐢𝐧(𝟗𝟎𝟎 − 𝑨) = 𝒄𝒐𝒔𝑨

𝐜𝐨𝐬(𝟗𝟎𝟎 − 𝑨) = 𝒔𝒊𝒏𝑨

𝐭𝐠(𝟗𝟎𝟎 − 𝑨) = 𝒄𝒕𝒈𝑨

𝐜𝐭𝐠(𝟗𝟎𝟎 − 𝑨) = 𝒕𝒈𝑨

Жишээ нь:

Эмхэтгэлийн томьёо хэрэглэн 450-аас

бага өнцгөөр илэрхийлээрэй.

𝑠𝑖𝑛700 = sin(900 − 200) = 𝑐𝑜𝑠200

𝑐𝑜𝑠800 = cos(900 − 100) = 𝑠𝑖𝑛100

𝑡𝑔500 = tg(900 − 400) = 𝑐𝑡𝑔400

𝑐𝑡𝑔650 = ctg(900 − 250) = 𝑡𝑔250

13

𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝜶; 𝒚 = 𝒔𝒊𝒏𝜶

www.ECONTENT.edu.mn/videoEBS/10rangi/mat24 02 сарын 03 TV хичээл үзээрэй.

𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝜶 (+) ; 𝒚 = 𝒔𝒊𝒏𝜶 (+);

𝑰 мөчид М цэгийн хувьд 𝟎𝟎 − 𝟗𝟎𝟎

𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝜶 (+) ; 𝒚 = 𝒔𝒊𝒏𝜶 (-) ;

𝑰𝑰 мөчид М цэгийн хувьд 𝟗𝟎𝟎 − 𝟏𝟖𝟎𝟎

Эмхэтгэлийн томьёо

Хэрэв 𝜶 < 𝟗𝟎𝟎 бол:

𝐬𝐢𝐧(𝟏𝟖𝟎𝟎 − 𝜶) = 𝒔𝒊𝒏𝜶

𝐜𝐨𝐬(𝟏𝟖𝟎𝟎 − 𝜶) = −𝒄𝒐𝒔𝜶

𝐭𝐠(𝟏𝟖𝟎𝟎 − 𝜶) = −𝒕𝒈𝜶

𝐜𝐭𝐠(𝟏𝟖𝟎𝟎 − 𝜶) = −𝒄𝒕𝒈𝜶

Жишээ нь:

Эмхэтгэлийн томьёо хэрэглэн хурц

өнцгөөр илэрхийлээрэй.

𝑠𝑖𝑛1700 = sin(1800 − 100) = 𝑠𝑖𝑛100

𝑐𝑜𝑠1600 = cos(1800 − 200) = −𝑐𝑜𝑠200

𝑡𝑔1400 = tg(1800 − 400) = −𝑡𝑔400

𝑐𝑡𝑔1650 = ctg(1800 − 150) = −𝑐𝑡𝑔150

𝟎𝟎 − 𝟏𝟖𝟎𝟎 хоорондох өнцгийн Синус, Косинусын утга

А. Зураг дээр 𝛼 = 540 бол

𝑠𝑖𝑛540 = 0.8; 𝑐𝑜𝑠540 = 0.6

Тооны машинаар шалгавал:

𝑠𝑖𝑛540 = 0.8; 𝑐𝑜𝑠540 = 0.58 ≈0.6 байна.

Б. Зураг дээр 𝛼1 = 1440 бол

𝑠𝑖𝑛1440 = 0.6; 𝑐𝑜𝑠1440 = −0.8

Тооны машинаар шалгавал:

𝑠𝑖𝑛540 = 0.58 ≈ 0.6 𝑐𝑜𝑠1440 =−0.8 байна.

14

http://www.econtent.edu.mn/videoEBS/10rangi/mat24

2. ГЕОМЕТР



2 тал, хоорондох өнцгөөр хэмжээгэр 3

дахь талыг олох теорем юм.

AB талын уртыг олоорой.

∆𝑨𝑩𝑪 –ны талууд a= 8; b=7; c=5 бол

∡𝐵 =? 𝑐𝑜𝑠𝐵 =52+82−72

2∙8∙5=25+64−49

80=

40

80=

1

2

cos600 =1

2 тул ∡𝐵 = 600

КОСИНУСЫН ТЕОРЕМ

ӨНЦГИЙН КОСИНУС ОЛОХ

СИНУСЫН ТЕОРЕМ

15




Жишээ нь: |OP|=|4-0|=4 нэгж зайтай. OP хэрчмийн дундаж цэгийн координат нь М(2)

BC талын уртыг олоорой.

𝐵𝐶 =12 ∙ 𝑠𝑖𝑛450

𝑠𝑖𝑛600=

12 ∙ξ22

ξ32

=12 ∙ ξ2

ξ3

=12∙ξ2∙ξ3

ξ3∙ξ3=

12∙ξ6

3= 4ξ6

𝑺𝑨𝑩𝑪 =𝑨𝑪∙𝑩𝑫

𝟐 - талбайг өндөр,сууриар

олох томьёо.

𝑺𝑨𝑩𝑪 =𝑨𝑪∙𝑨𝑩∙𝒔𝒊𝒏𝜶

𝟐 - талбайг 2 тал

хоорондох өнцгөөр олох томьёо.

Координатын хавтгайд М цэг

тэмдэглэхдээ:

ГУРВАЛЖНЫ ТАЛБАЙ ОЛОХ

КООРДИНАТЫН АРГА

O цэгийн координат O(0)

P цэгийн координат P(4)

КООРДИНАТЫН ХАВТГАЙ

16


Видео хичээл: Шулууны тэгшитгэл

Хоёр цэгийн хоорондох зай олох

𝑨(𝒙𝟏; 𝒚𝟏); 𝑩(𝒙𝟐; 𝒚𝟐); 2 цэгийн хоорондох

зай олох томьёо:

|𝑨𝑩| = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏)𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏)𝟐

Жишээ нь:

𝑨(𝟒; 𝟒); 𝑩(𝟕; 𝟎) хоёр цэгийн хоорондох

зайг олоорой.

|𝑨𝑩| = √(𝟕 − 𝟒)𝟐 + (𝟎 − 𝟒)𝟐 =

= √𝟑𝟐 + (−𝟒)𝟐 = ξ𝟗 + 𝟏𝟔 = ξ𝟐𝟓 = 𝟓

Хэрчмийн дундаж цэгийн координат олох

𝑨(𝒙𝟏; 𝒚𝟏); 𝑩(𝒙𝟐; 𝒚𝟐); бол энэ хэрчмийн

дундаж цэг 𝑪(𝒙; 𝒚) координатыг олохдоо:

𝒙 =𝒙𝟏+𝒙𝟐

𝟐; 𝒚 =

𝒚𝟏+𝒚𝟐

𝟐;

Жишээ нь:

𝑨(𝟒; 𝟒); 𝑩(𝟕; 𝟎) хэрчмийн дундаж

цэгийн координат ол.

𝒙 =𝟒+𝟕

𝟐=

𝟏𝟏

𝟐= 𝟓. 𝟓 𝒚 =

𝟒+𝟎

𝟐=

𝟒

𝟐= 𝟐

Шулууны налалт олох

𝑨(𝒙𝟏; 𝒚𝟏); 𝑩(𝒙𝟐; 𝒚𝟐); a шулуун дээр оршдог

бол

𝒎 =𝒚𝟐−𝒚𝟏

𝒙𝟐−𝒙𝟏 a шулууны налалт гэж нэрлэнэ.

Жишээ нь:

𝑨(−𝟐;𝟏); 𝑩(𝟑; 𝟒) цэгүүд өгөгдсөн бол

шулууны налалтыг тодорхойл.

𝒎 =𝟒 − 𝟏

𝟑 − (−𝟐)=

𝟑

𝟓

Шулууны налалттай тэгшитгэл

𝑨(𝒙𝟏; 𝒚𝟏); цэгийг дайрсан m налалттай

шулууны тэгшитгэл:

𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏) байна.

𝑨(𝟓;−𝟐) цэгийг дайрсан 𝒎 = −𝟑

налалттай шулууны тэгшитгэл бич.

𝒚 + 𝟐 = −𝟑(𝒙 − 𝟓)

𝒚 = −𝟑𝒙 + 𝟏𝟓 − 𝟐 = −𝟑𝒙 + 𝟏𝟑

Шулууны ерөнхий тэгшитгэл

𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎 хэлбэрийн тэгшитгэлийг

шулууны ерөнхий тэгшитгэл гэнэ. Энд

x,y- хувьсагч , a,b,c –дурын бодит тоонууд

Жишээ нь:

а. 𝒚 = −𝟑𝒙 + 𝟏𝟑 шулууны налалттай

тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрт оруулбал

3x+y-13=0 хэлбэртэй болно.

б. 5x+2y+8=0 шулууны налалт ол.

2𝑦 = −8 − 5𝑥 ; 𝑦 = −4 −5

2𝑥; 𝑚 = −

5

2

2 цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэл

𝑨(𝒙𝟏; 𝒚𝟏); ба 𝑩(𝒙𝟐; 𝒚𝟐); хоёр цэгийг

дайрсан шулууны тэгшитгэл

𝒚 − 𝒚𝟏 =𝒚𝟐 − 𝒚𝟏

𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

(𝒙 − 𝒙𝟏)

Жишээ нь:

𝑨(−𝟑;𝟒); 𝑩(𝟕;−𝟔) хоёр цэгийг дайрсан

шулууны тэгшитгэл бич.

𝒚 − 𝟒 =−𝟔 − 𝟒

𝟕 − (−𝟑)(𝒙 + 𝟑) = −(𝒙 + 𝟑)

𝒚 = −𝒙 − 𝟑 + 𝟒 𝒚 = −𝒙 + 𝟏

17

Тэнхлэгүүдтэй параллель шулууны

тэгшитгэлүүд

Ординат буюу 𝑶𝒚 тэнхлэгтэй параллель

шулууны тэгшитгэл нь: x=a

Абсцисс буюу 𝑶𝒙 тэнхлэгтэй параллель

шулууны тэгшитгэл нь: y=b

Жишээ нь:

x=2 шулуун нь Ох тэнхлэгийн 2-ыг

дайрсан Oy тэнхлэгтэй параллел босоо

шулуун байна. Харин y=2 шулуун нь

Oy тэнхлэгийн 2-ыг дайрсан Ox

тэнхлэгтэй параллел хэвтээ шулуун

байна.

Тойргийн тэгшитгэл

Координатын эх О(𝟎; 𝟎)цэг дээр

төвтэй тойргийн r радиустай тойргийн

тэгшитгэл:

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐 байна.

Жишээ нь:

а. Координатын эх дээр төвтэй, ξ23

радиустай тойргийн тэгшитгэл бич.

𝑥2 + 𝑦2 = (ξ23)2 ; 𝑥2 + 𝑦2 = 23 ;

б.4𝑥2 + 4𝑦2 = 5 тойргийн төв ба r ол.

𝑥2 + 𝑦2 =5

4; 𝑂(0; 0) 𝑟2 =

5

4; 𝑟 =

ξ5

2

Тойрогт багтсан өнцөг ба төв өнцөг

Тойрог дээр оройтой, талууд нь тойргийг

огтлох өнцгийг тойрогт багтсан өнцөг

гэнэ.

Тойргийн төв дээр оройтой өнцгийг Төв

өнцөг гэнэ. Тойргийн нумыг төв өнцгөөр

хэмжинэ.

Төв өнцөг нь тулсан нумынхаа урттай

тэнцүү байна.

Тойрогт багтсан өнцөг нь тулсан

нумынхаа хагасаар хэмжигдэнэ.

Жишээ нь:

∡𝐴𝐵𝐶 = 300 бол төв өнцгийн хэмжээг

олоорой.

∡𝑨𝑩𝑪 =∡𝑨𝑶𝑪

𝟐 учир

∡𝐴𝑂𝐶 = 2 ∙ ∡𝐴𝐵𝐶 = 2 ∙ 300 = 600

Ижил нумд тулсан өнцгүүд

Тойргийн нэг нумд тулсан бөгөөд уг

тойрогт багтсан өнцгүүд тэнцүү

Жишээ нь:

∡𝐵𝐷𝐶 =?

∡𝐴𝐵𝐶 –

багтсан өнцөг

∡𝐴О𝐶 – төв

өнцөг

∡𝐴𝐶𝐵 ба ∡𝐴𝑃𝐵

өнцгүүд нь 𝐴�̆�

нумд тулсан

тул

∡𝐴𝐶𝐵 = ∡𝐴𝑃𝐵

∡𝐵𝐴𝐶 ба ∡𝐵𝐷𝐶

өнцгүүд нь 𝐵�̆�

нумд тулж байгаа

тул ∡𝐴𝐶𝐵 =

∡𝐴𝑃𝐵 = 720 байна.

18

Мөн эдгээр сэдвүүдтэй холбоотой Видео хичээлүүд энэхүү хөтөч номтой хавсрагдан очиж

байгаа тул орж үзээд дасгал даалгавраа ажиллаарай хүүхдүүдээ.

Видео хичээл: Тойрогт багтсан дөрвөн өнцөгт

Видео хичээл: Тойрог багтаасан дөрвөн өнцөгт

Гурвалжинд багтсан тойрог

Гурвалжны гурван талыг шүргэсэн

тойргийг уг гурвалжинд багтсан

тойрог гэнэ.

Гурвалжинд багтсан тойргийн төв нь

уг гурвалжны биссектрисүүдийн

огтлолцлын цэг байна. Радиус нь

төвөөс гурвалжны талд буулгасан

перпендикулярын урттай тэнцүү.

Гурвалжинд багтсан тойрог

𝑆∆ = 𝑝 ∙ 𝑟 ∆ны талбай олох томьёо

𝑝 =𝑎+𝑏+𝑐

2 ∆ны хагас периметр олох

∆нд багтсан тойргийн радиус олох

𝑟 =𝑆∆

𝑝=

2 ∙ 𝑆∆

𝑎 + 𝑏 + 𝑐

∆ны талбай олох Героны томьёо:

𝑆∆ = √𝑝 ∙ (𝑝 − 𝑎) ∙ (𝑝 − 𝑏) ∙ (𝑝 − 𝑐)

Гурвалжны талбайг гурван талаар олох

томьёо гэнэ.

Гурвалжныг багтаасан тойрог

Гурвалжны гурван оройг дайрсан

тойргийг уг гурвалжныг багтаасан

тойрог гэнэ.

Гурвалжин багтаасан тойргийн төв

нь гурван талын дунджид татсан

перпендикуляруудын огтлолцлын

цэг байна.Багтаасан тойргийн

радиус нь түүний төвөөс гурвалжны

орой хүртлэх зайтай тэнцүү.

Гурвалжныг багтаасан тойрог

∆ныг багтаасан тойргийн радиус нь:

𝑅 =𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐

4 ∙ 𝑆∆

Жишээ нь: Гурвалжны талууд a=13,

b=14 ; c=15 бол гурвалжинд багтсан

тойргийн радиус ,гурвалжныг багтаасан

тойргийн радиусыг тус тус ол.

𝒑 =𝒂 + 𝒃 + 𝒄

𝟐=

𝟏𝟑 + 𝟏𝟒 + 𝟏𝟓

𝟐=

𝟒𝟐

𝟐= 𝟐𝟏

𝑺∆ = √21 ∙ (21 − 13) ∙ (21 − 14) ∙ (21 − 15) =

=ξ21 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 = ξ3 ∙ 7 ∙ 4 ∙ 2 ∙ 7 ∙ 2 ∙ 3 = 84;

𝒓 =𝑆∆

𝑝=

84

21= 4; 𝑹 =

13∙14∙15

4∙84= 8,125

DI=EI=FI =r

гурвалжинд

багтсан

тойргийн

радиус болно.

AO=BO=CO=R

Гурвалжныг

багтаасан

тойргийн

радиус болно.

19

Тойрогт багтсан дөрвөн өнцөгт

Хэрэв дөрвөн өнцөгтийн бүх орой

тойрог дээр оршиж байвал уг дөрвөн

өнцөгтийг тойрогт багтсан дөрвөн

өнцөгт гэнэ.

Чанар: Тойрогт багтсан дөрвөн

өнцөгтийн эсрэг өнцгүүдийн нийлбэр

1800 байна.

Тойрог багтаасан дөрвөн өнцөгт

Хэрэв дөрвөн өнцөгтийн бүх тал

тойргийг шүргэж байвал түүнийг

тойрог багтаасан дөрвөн өнцөгт гэнэ.

Чанар: Тойрог багтаасан дөрвөн

өнцөгтийн эсрэг талуудын нийлбэр

тэнцүү байна.

Жишээ нь:

Жишээ нь:

∡𝐴 + ∡𝐶 = 1800

∡𝐵 + ∡𝐷 = 1800

AB+CD=AD+BC

𝛽 + 1130 = 1800

𝛽 = 670

𝛼 + 460 = 1800

𝛼 = 1340

AB+DC=AD+BC

7+5=4+BC

BC=8

ТОЙРГИЙН ХӨВЧ, ШҮРГЭГЧ, ОГТЛОГЧИЙН ЧАНАР

20

Тойргийн хөвч болон шүргэгчийн

хооронд үүсэх өнцөг

Тойргийн AB хөвч болон A цэгт

татсан шүргэгч шулууны хоорондох

өнцөг нь АВ нумд тулсан багтсан

өнцөгтэй тэнцүү.

Огтлолцсон хөвчийн теорем

Хэрэв тойргийн AB, CD хоёр хөвчийн

огтлолцлын цэг P бол

Тойргийн огтлогч

Хэрэв тойргийн гадна орших P цэгээс

татсан хоёр шулуун тойргийг A,B,C,D

цэгээр огтолсон бол

Тойргийн шүргэгч ба огтлогч

Тойргийн гадна орших P цэгээс татсан

PB огтлогч , PK шүргэгчийн хувьд :

Жишээ нь:

𝐵𝐴 = 6 ; 𝑃𝐾 = 4; бол 𝑃𝐴 =?

∡𝐵𝐴К = ∡𝐴𝐶𝐵

𝑃𝐴 ∙ 𝑃𝐵 = 𝑃𝐶 ∙ 𝑃𝐷

𝑃𝐾2 = 𝑃𝐴 ∙ 𝑃𝐵

Энд A нь PB

огтлогчийн

тойргийг

огтлох цэг

𝑃𝐾2 = 𝑃𝐴 ∙ 𝑃𝐵

PB=x гэе.

16 = (𝑥 + 6) ∙ 𝑥

𝑥2 + 6𝑥 − 16 = 0

𝑥1 = −8 𝑥2 = 2 PA=x+6=2+6=8

Хоёр тойргийн харилцан байршил

21

Вектор ухагдахуун видео хичээл үзээрэй.

Жишээ нь: 2

AВ, CD векторууд чиглэл нь ижил, хэмжээгээрээ ижил тул AB=CD

тэнцүү векторууд

AB,CD векторуудтай EF вектор хэмжээгээрээ ижил боловч эсрэг

чиглэлтэй тул AB= -EF AB= -BA ба CD= - EF буюу CD= -DC эсрэг

векторууд юм.

2. Векторын үйлдлүүд

Векторуудыг нэмэх дүрэм : Хавтгайн аливаа А,В,С гурван цэгийн хувьд:

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ байна.

Векторуудыг хасах дүрэм: Хавтгайн аливаа А,В,С гурван цэгийн хувьд:

𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ + (− 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗) = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ байна

3.Параллел буюу коллинеар векторууд

4.Перпендикуляр векторууд

5.Хоёр векторын хоорондох өнцөг

6.Хоёр векторын скаляр үржвэр

1. �⃗⃗� (𝒙𝟏; 𝒚𝟏); �⃗⃗� (𝒙𝟐; 𝒚𝟐) ба �⃗⃗� ∙ �⃗⃗� = 𝒙𝟏𝒙𝟐 + 𝒚𝟏𝒚𝟐 2. �⃗⃗� ∙ �⃗⃗� = |�⃗⃗� | ∙ |�⃗⃗� | ∙ cos𝜶

ВЕКТОР УХАГДАХУУН

22

3. КОМБИНАТОРИК МАГАДЛАЛ

BВидео хичээл: Комбинаторик

МАГАДЛАЛ

1. Магадлалын сонгомол тодорхойлолт

ФАКТОРИАЛ

Тодорхойлолт: n ширхэг ялгаатай

зүйлийг нэг эгнээнд өрөх ялгаатай

боломжийн тоо үржвэрийн зарчмаар

𝐧 ∙ (𝐧 − 𝟏) ∙ (𝐧 − 𝟐) ∙ … ∙ 𝟑 ∙ 𝟐 ∙ 𝟏 = 𝐧! тэнцүү байна.

1-ээс n хүртлэх бүх натурал тооны

үржвэрийг n! гэж тэмдэглээд n-ийн

факториал гэж уншдаг.

Жишээ нь:

1. Ялгаатай 5 номыг тавиур дээр

нэг эгнээнд хэчнээн янзаар

байрлуулж болох вэ?

5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120 2. Ангийн 8 сурагчийг нэг эгнээнд

хэчнээн янзаар жагсаах вэ?

8! = 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ … ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 40320

3.39!

37!∙2!=

39∙38∙37!

37!∙2= 39 ∙ 19 = 741

СЭЛГЭМЭЛ

Тодорхойлолт: n ширхэг ялгаатай

зүйлээс m (𝒎 ≤ 𝒏) ширхгийг сонгож

нэг эгнээнд байрлуулсныг n-ээс m-ээр

авсан Сэлгэмэл гэнэ.

𝑨𝒏𝒎 =

𝒏!

(𝒏−𝒎)! – Сэлгэмлийн томьёо

n ширхэг ялгаатай зүйлсийг нэг эгнээнд

байрлуулсныг n-ээс n-ээр авсан сэлгэмэл

гээд 𝑷𝒏 = 𝒏! тэмдэглэнэ. 0!=1 гэж үзнэ.

Жишээ нь:

1. 5 ялгаатай номоос 3-ыг сонгон авч

тавиур дээр хэдэн янзаар өрж болох

вэ?

𝑨𝟓𝟑 =

𝟓!

(𝟓−𝟑)!=

𝟓!

𝟐!=

𝟓∙𝟒∙𝟑∙𝟐!

𝟐!=60

2. Ангийн 10 сурагчаас 3 сурагчийг

сонгон авч ангийн дарга, бүлгийн

дарга ,салаан дарга болох боломжийн

тоог ол

𝑨𝟏𝟎𝟑 =

𝟏𝟎!

(𝟏𝟎−𝟑)!=

𝟏𝟎!

𝟕!=

𝟕!∙𝟖∙𝟗∙𝟏𝟎

𝟕!= 𝟕𝟐0

ХЭСЭГЛЭЛ

Тодорхойлолт: n элементтэй

олонлогоос зохиосон m (𝒎 ≤ 𝒏)

элементтэй дэд олонлогийг n-ээс m-ээр

авсан Хэсэглэл гэнэ. Ийм бүх ялгаатай

дэд олонлогийн тоог С𝐧𝐦 хэсэглэлийн тоо

гэж уншдаг.

С𝒏𝒎 =

𝒏!

𝒎!∙(𝒏−𝒎)! – Хэсэглэлийн томьёо

Жишээ нь:

1. 5 ялгаатай номоос 3-ыг хэдэн

янзаар сонгож болох вэ?

𝑪𝟓𝟑 =

𝟓!

𝟑!∙(𝟓−𝟑)!=

𝟓!

𝟑!∙𝟐!=

𝟓∙𝟒∙𝟑!

𝟑!∙𝟐=10

3. Ангийн 10 сурагчаас 3 сурагчтай

багийг хэчнээн янзаар бүрдүүлж

болох вэ?

𝑪𝟏𝟎𝟑 =

𝟏𝟎!

𝟑!∙(𝟏𝟎−𝟑)!=

𝟏𝟎!

𝟑!∙𝟕!=

𝟕!∙𝟖∙𝟗∙𝟏𝟎

𝟔∙𝟕!= 𝟏𝟐0

23

2. Нийцтэй ба нийцгүй үзэгдэл

а. А үзэгдлийн эсрэг үзэгдлийн магадлал:

б. А,В үзэгдлүүд нийцгүй буюу эдгээр үзэгдлүүд нэгэн зэрэг илрэх боломжгүй тохиолдолд :

3. Нийлмэл үзэгдлийн магадлал

4. ГЕОМЕТРИЙН ХУВИРГАЛТ

Координатын хавтгай дээрх хувиргалт

Хувиргалтын матриц зохиох-(𝒂 𝒃𝒄 𝒅

)

Цэгийн хувь дахь тэгш хэм –Хувиргалтын матриц (−𝟏 𝟎𝟎 −𝟏

)

Тэнхлэгийн тэгш хэм- Хувиргалтын матриц OX -(𝟏 𝟎𝟎 −𝟏

) ; OY-(−𝟏 𝟎𝟎 𝟏

)

Эргүүлэлт-Хувиргалтын матриц

Параллел зөөлт- Хувиргалтын томьёо

Гомотет-Хувиргалтын матриц

Энэ сэдэвтэй холбоотой видео хичээлүүдийг дараах линкүүдээр ороод үзээрэй.

www.ECONTENT.edu.mn/videoEBS/10rangi/mat1243 TV хичээл 04 сарын 01


24



5. ӨГӨГДЛИЙН ШИНЖИЛГЭЭ

Бүлэглэсэн өгөгдлийн дунджууд

Гистограмм

Квартил, квартил хоорондын далайц

Хуримтлагдсан давтамжийн график

Цэгэн диаграмм, хандлагын шулуун, корреляц





6. ХЭМЖИГДЭХҮҮН

Тойргийн нумын урт, дугуйн сектор, сегментийн талбай

Биетийн гадаргуун талбай ба эзлэхүүн

Биетүүдийн хавтгай огтлол




II ХЭСЭГ

ДАСГАЛ ДААЛГАВАР

1. ТОО ТООЛОЛ БА АЛГЕБР

БҮХЭЛ ЗЭРЭГ , ЗЭРГИЙН ЧАНАР

𝟏. 1) 𝑥3 ∙ (𝑥2)5 = 2) (𝑎3)2 ∙ 𝑎5 = 3) (𝑎2)3 ∙ (𝑎4)2 = 4) (𝑚2 ∙ 𝑚3)4 =

5) (𝑥2)5 ∙ (𝑥5)2 = 6) (𝑥4 ∙ 𝑥)2 ∙ (𝑥5)2 = 7) (𝑎3)3 ∙ (𝑎3)4 =

2. Илэрхийллийн утгыг ол.

a) 26 ∙ 55 = 24 ∙ 54 = 23 ∙ 54 = 24 ∙ 53 =

b) (1

2)3

∙ 23 = (1

3)2

∙ 32 = 104 ∙ 0.15 =


25∙(23)

4

213 = 57∙(58)

2

522 = (25)

2

26∙4=

37∙27

(34)3=


a) (2 ∙ 522 − 9 ∙ 521): 521 = 𝑏) (5 ∙ 233 − 4 ∙ 230): 416 =

Дасгал 1

25







𝑎) (4 ∙ 322 + 7 ∙ 321) ÷ (19 ∙ 274)2 = 𝑏) 5 ∙ (3 ∙ 715 − 19 ∙ 714) ÷ (716 + 3 ∙ 715) =

𝑐) 253 ∙ 142

49 ∙ 106= 𝑑)

363 ∙ 152

184 ∙ 103= е) 5 ∙ (

1

2)8

− 3 ∙ (1

4)4

− 7 ∙ (1

16)2

=

РАЦИОНАЛЬ ЗЭРЭГ , ЗЭРГИЙН ЧАНАР

1. 𝑦1

3 ∙ 𝑦4

3 = 314

3−

12

= (𝑦−4

5)−3

= (𝑥1

3 ∙ 𝑦2

3)3

= (𝑦−4

5)−3

=

2. 2𝑦2

3 ∙ 3𝑦−4

3= 4𝑥3

5 ∙ 5𝑦3

5 = 2𝑥6

5: 5𝑥2

5= (𝑥0 ∙ 𝑦3)−2

3 = (64𝑝12𝑞−6)5

6 = (𝑥3

𝑦2)−2

∙

𝑥73

𝑦4 = (4𝑥3)

1

5 ∙ (8𝑥)2

5 = 3𝑦1

2 (𝑦1

2 + 𝑦−1

2)=

ЯЗГУУР , ЯЗГУУРЫН ЧАНАР

1. ξ814

= ξ325

= (81

3)

3

2= (𝑦

3

4)

4

5= ξ3

3∙ ξ4

3 =

2. 𝑎. ξ1132 − 1122 = b. ξ252 − 242 =

3. a. (ξ𝑥 − 3)(ξ𝑥 + 3) = b. (𝑥1

2 − 1) (𝑥1

2 + 1)=

4. a. ξ3244

ξ44 =? b.

ξ1923

ξ33 =? c. 81

3

4 =? d. 163

4 =? e. 3ξ5∗ξ2

ξ90=?

5. ξ6−ξ5

ξ6+ξ5 Бутархайн хуваарийг язгуураас чөлөөлөөрэй.

АЛГЕБРЫН ИЛЭРХИЙЛЭЛ, АЛГЕБРЫН БУТАРХАЙ

1. (𝑥1

2 − 1) (𝑥1

2 + 1) = Хялбарчлаарай.

2. Үйлдлийг гүйцэтгээрэй. a. 3

5𝑦+

7

5𝑦 b.

5

2𝑎2 −1

2𝑎2 c. 𝑎2

𝑎−𝑏−

𝑏2

𝑎−𝑏 d.

𝑦2

𝑦+1−

1

𝑦+1

3. Бутархайг хураагаарай. a. 𝑥2−25

𝑥−5 𝑏.

𝑦+6

𝑦2−36 c.

𝑥−25

ξ𝑥−5 d.

𝑦−9

ξ𝑦−3

4. Үржигдэхүүн гаргаарай. a. 13𝑎2 − 26𝑎 b. 5𝑥2 − 15𝑥

5. a.5∙𝑥

34

15∙𝑥12

b. 3∙𝑎

25

9∙𝑎15

c. 𝑎1

5 ∙ (𝑎 + 2) d. 𝑧1

6 ∙ (𝑧 − 5) хялбарчлаарай.

6. a. 14 − 𝑥2 𝑏. 6 − 𝑦2 𝑐. 3 − 𝑥2 𝑑. 𝑥2 − 4 үржигдэхүүн болгон задлаарай.

7. Хураагаарай. 28𝑥3𝑦3

14𝑥2𝑦3 ; 25𝑥2𝑦𝑧3

125𝑥𝑦𝑧

8. 1

𝑎−2+

1

𝑎−3 Илэрхийллийг хялбарчил.

9. 1

𝑎−4+

1


Дасгал 2

Дасгал 3

Дасгал 4

26

ФУНКЦ, КВАДРАТ ФУНКЦИЙН ГРАФИК

1. 𝑦 = 𝑥2 + 4𝑥 + 1 параболын оройн цэгийн координатыг олоорй.

a) 𝑥2 + 4𝑥 + 1 = (𝑥 + 𝑎 )2 − 𝑏

b) оройн цэг нь: (− 𝑎 ; 𝑏 )

2. 𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 1, 𝑔(𝑥) =4

𝑥−3 бол 𝑓(1) + 𝑔(−1) =?

a) 𝑓(1) = 𝑎

b) 𝑔(−1) = − 𝑏

c) 𝑓(1) + 𝑔(−1) = 𝑐 байна

3. 𝑓(𝑥) = 3𝑥3 − 27𝑥 + 5 байхад

a. 𝑓(−2) = 𝑎𝑏

b. 𝑓(0) = 𝑐

c. 𝑓(𝑥) = 5 үед 𝑥1 = 𝑑 𝑥2 = − 𝑒 𝑥3 = 𝑓

4. y= x2-4x-3 ôóíêöèéí ãðàôèêèéã áàéãóóëæ

à. Ôóíêöèéí ãðàôèê êîîðäèíàòûí òýíõëýã¿¿äòýé îãòëîëöîõ öýãèéí êîîðäèíàòûã

îëíî óó.

á. õ- èéí ÿìàð óòãàíä f(x)>0 , f(x)<0 , f(x)=0 íºõöë¿¿ä áèåëýõ áý

â. Ôóíêöèéí ºñºõ áà áóóðàõ çàâñðûã îëîîðîé.

ã. Ôóíêöèéí ÕÈÓ áà ÕÁÓ-ûã îëíî óó.

5. 𝑦 = ξ5𝑥 + 1 функцийн тодорхойлогдох мужийг олоорой.

ТЭГШИТГЭЛ, ТЭНЦЭТГЭЛ БИШ, СИСТЕМ

1. Дараах тэгшитгэлүүдийг бодоорой.

a) 2𝑥2 − 5𝑥 + 4 = 0 ; 𝑥2 − 7𝑥 + 12 = 0; 3𝑎2 − 6𝑎 = 0 ; 16𝑦2 − 9 = 0

b) 3𝑥 − 1 = 0; −4 ∙ 2𝑥 + 4 = 0; 2𝑥 = 3𝑥; 3𝑥2−𝑥−2=81; (3

7)3𝑥+1

= (7

3)5𝑥−9

c) 2x4-7x2-4=0 ; a4-10a2+25=0 ; y4-y2-2=0 ; x4+9x2+18=0

2. Дараах тэнцэтгэл бишүүдийг бодоод шийдийн олонлогуудыг дүрслээрэй..

а. x≤ −2 b. x+13> 15 c. 2x+3 > −3 d.-2(x − 1) +3(3 − 2x) < 3

e. -3(x − 1)-7> 3 f. -2(x − 1) +2(3 − x) > 0 g. 1< 𝑥 ≤ 3

3. à. 2x−3

4−

x+1

3>

1

2−

3−x

5 á.

2x−3

4−

x+1

5>

2x

5− 1

4. ൜𝑥 + 𝑦 = 02𝑥 + 𝑦 = 4

; ൜2𝑥 + 3𝑦 = 6𝑥 + 𝑦 = 4

Тэгшитгэлийн системийг бодоорой.

5. {6𝑥 − 7 > 405 − 2𝑥 > −8

; {4𝑥 + 5 < 25𝑥 + 3 > 15

Тэнцэтгэл бишийн системийг бодоорой.

Дасгал 5

Дасгал 6

27

6. Шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар бодоорой.

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −2 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 5 5𝑥 − 9𝑦 + 4𝑧 = 7

𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = −7 2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 3 2𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = 41

2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 1 𝑥 − 4𝑦 − 6𝑧 = 7 7𝑥 − 3𝑦 + 5𝑧 = 32

МАТРИЦ, МАТРИЦ ДЭЭРХ ҮЙЛДЛҮҮД

1. Матрицын үйлдлүүдийг гүйцэтгээрэй

А) (6 37 4

) + (−1 61 2

) Б) (3 3 18 5 2

) − (1 2 25 5 3

)

2. 𝐴 = (2 30 54 1

) матрицын А) Эрэмбийг бичээрэй Б) Матрицыг хөрвүүлээрэй

В) 𝐴−1 матрицыг эрэмбийг олоорой.

3. Матрицуудын үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгээрэй.

А) (4 72 5

) (21) Б) (

1 −2 32 −1 0

)(123) В) (

4 13 25 −3

) (2 3

−4 −3)

4. Үл мэдэгдэгч к тоог олоорой

(3 6

−1 −2) (

4 56 4

) = (48 39𝑘 −13

)

5. Дараах матрицуудын урвуу матрицыг олоорой.

А) (5 3

−2 4) Б) (

8 −33 5

) В) (1 −3

−2 4)

6. Тэнцэтгэлээс a, b, c, d үл мэдэгдэгчдийг олоорой.

A) (𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) = (1 22 −1

) (6 34 2

) Б) (𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) = 2 (2 15 3

) (1 00 1

)

ТРИГОНОМЕТР, ТРИГОНОМЕТР ФУНКЦЫН УТГА

1. Функцуудын утгыг таслалаас хойш хоёр орны нарийвчлалтайгаар олоорой.

a) sin460 б) sin790 в) 2sin790 г) 3sin150 д) 4sin75,50


a) cos460 б) cos790 в) cos790 г) 2cos150 д) 5cos75,50


a) tg460 б) a) tg790 в) tg790 г) 1/2tg150 д) 9 tg75,50

4. Sinx функцийн харгалзах утгууд дээрх өнцгийн хэмжээг олоорой.

a) 1 б) 0.5 в) 0.31 г) 0.57 д) 0.753 е) 0.999

5. cosx функцийн харгалзах утгууд дээрх өнцгийн хэмжээг олоорой

a) 0.2 б) в) 0.31 г) 0.5 д) 0.74 е) 0.999

6. tgx функцийн харгалзах утгууд дээрх өнцгийн хэмжээг олоорой.

a) 3 б) в) 8.31 г) 0.85 д) 0.6 е) 0.38

Дасгал 7

Дасгал 8

28

7. ABC гурвалжны өнцгийн хэмжээг ол.

а) Хэрэв a=14.6 см, b=14.6 см ба өнцөг АBC=650 бол өнцөг BAC нь хэд вэ?

б) Хэрэв b=43.8см, c=31.4см ба өнцөг ACB=430 бол өнцөг ABC нь хэд вэ?

в) Хэрэв b=6.5см, c=4.8см ба өнцөг BAC=710 бол өнцөг BCA нь хэд вэ?

8. а. Хэрэв sin440=0.69 бол sin1360 олоорой.

б. Хэрэв cos 570 =0.54 бол cos1260 -г олоорой.

в. Хэрэв sin75 0=0 .96 бол sin1050 -г олоорой.

г. Хэрэв cos 166 0 = -0.97 бол cos140 -г олоорой

2. ГЕОМЕТР БА ХЭМЖИГДЭХҮҮН

КООРДИНАТЫН АРГА, ШУЛУУН ба ТОЙРГИЙН

ТЭГШИТГЭЛ БИЧИХ

1. 𝑨(−𝟐; 𝟒) ; 𝑩(𝟖; 𝟔) цэгүүд өгөгдсөн бол:

a) Хоёр цэгийн хоорондох зайг олоорой.

b) Хэрчмийн дундаж цэгийн координатыг олоорой.

c) Хоёр цэгийг дайрсан шулууны налалтыг тооцоолоорой

d) Хоёр цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэл бичээрэй.

2. 𝐴𝐵𝐶 гурвалжны 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 талуудын дундаж цэгүүд харгалзан 𝑀(−2, 3), 𝑁(5,−1), 𝑃(−4,−7)

цэгүүд байв. 𝐴, 𝐵, 𝐶 оройн координат болон гурвалжны периметрийг ол.

3. Налалт нь 3

1т байх, 𝐴(0,−1) цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэл бич. Шулууны

ерөнхий хэлбэрт оруулж бичээрэй.

4. О цэг дээр төвтэй А цэгийг дайрсан тойргийн тэгшитгэлийг зохио

а. О(2,0), А(-1,2) б. О(1,-2), А(-1,2)

5. А(2,0), В(-2,6) цэгүүд өгөгдөв. АВ хэрчим диаметр нь болох тойргийн тэгшитгэл

зохиогоорой.

6. х2 − 4х + у2 = 0 тэгшитгэл тойргийн тэгшитгэл болно гэж батал. Тойргийн төвийн

координат ба радиусыг ол.

ТОЙРОГТ БАГТСАН БА ТОЙРГИЙГ БАГТААСАН ОЛОН ӨНЦӨГТ

1. Гүдгэр 13 өнцөгтийн бүх дотоод өнцгийн нийлбэрийг ол.

2. Зөв n өнцөгтийн нэг дотоод өнцөг нь 144 ̊ бол n-хэд вэ?

3. Зөв 10 өнцөгтийн нэг гадаад өнцөг нь хэд байх вэ?

4. Гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн өнцгүүдийн харьцаа 3:3:4:8 байх бол өнцгүүдийг ол.

5. Зөв n өнцөгтийн нэг гадаад өнцөг 360 бол дотоод өнцгийг ол

6. Таван өнцөгтийн талууд x+3;2x-1;3x+6;4x-3;6x бөгөөд периметр нь 85 см бол

х-ийн уртыг ол

Дасгал 9

Дасгал 10

29

7. Адил хажуут гурвалжны периметр 32 см бөгөөд суурийн урт нь 10-аас 20-ын хооронд

орших анхны тоо бол хажуу талын боломжит утгуудыг олоорой

8. Хоёр тойргийн төвүүдийн хоорондох зай 10см байв. Хоёр тойргийн радиусыг ол.

9. О цэгт төвтэй, R=3 см радиустай тойрог өгөгдөв. Хэрэв OK=5 см бол K цэгээс тойрогт

татсан шүргэгчийн уртыг олоорой.

10. O цэгт төвтэй 8 см радиустай тойрогт MN=15 см шүргэгч татав. MO хэрчмийн уртыг ол.

11. R=25 см радиустай тойргийн төвөөс 7 см зайд орших хөвчийн уртыг ол.

12. Хоёр тойргийн харилцан байршлыг нэрлэж, тэмдэглэгээ хийнэ үү.

А. B.

C. D.

ХАВТГАЙ ДАХЬ ВЕКТОР

1. 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑄𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗ ⃗ =?

2. 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑄𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑆𝑇⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑇𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ =?

3. 𝑎 = (−13) �⃗� = (2

4) бол 𝑎 + �⃗� ; 𝑎 − �⃗� ; 3𝑎 , 5�⃗� , 3𝑎⃗⃗⃗⃗ + 5�⃗� -ыг тус тус ол.

4. |а⃗ | = 4, |�⃗� | = 6, ба а⃗⃗ ∙ �⃗� = 12 бол а.cos 𝜃 =? б. 𝜃 =?

5. Векторуудын координатыг олоорой

6. Векторуудыг координатын хавтгайд дүрслээрэй

7. Векторуудыг хавтгайд дүрслээд уртыг нь олоорой.

8. 𝑎 (5; 2), �⃗� (7; -3) вектор өгчээ. 𝑎 ∙ 𝑐 = 38, �⃗� ∙ 𝑐 = 30 нөхцөлийг хангах 𝑐 векторыг ол.

Дасгал 10 Дасгал 11

30

9. AB=3см, BC=9см байх тэгш өнцөгтийн АВ талын дундаж нь М байв. 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , 𝐶𝑀 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ векторуудын уртыг

ол.

10. 𝑎 = (−22) . �⃗� = (0

2) бол а. |3𝑎 + �⃗� | b. 𝑎 ∙ �⃗� -г олоорой.

11. Хэрэв 𝑎 (𝑥 ; 1) , �⃗� (−2 ; −1 ), 𝑐 ⃗⃗ ( 3 ; −2 ) бол 𝑎 ба �⃗� + 𝑐 ⃗⃗ векторууд коллинеар байх 𝑥 - ийг

ол.

ГЕОМЕТРИЙН ХУВИРГАЛТ

1. Координатын хавтгайд F тугийг олшруулж зур.

а. 𝑐 = ( 4−8

) вектороор F тугийг зөөж

зураад, C-аар тэмдэглэ.

б. C тугийг F руу хувиргах хувиргалтыг

тодорхойл.

2. Эргүүлэлт хэрэглэн координатын хавтгайд F тугийг

олшруулж зур.

а. Координатын эх дээр төвтэй

900 эргүүлэлтээр F тугийн дүрийг ол, A- аар тэмдэглэ.

б. (-2;2) дээр төвтэй 1800 эргүүлэлтээр F

тугийн дүрийг ол, B- аар тэмдэглэ.

в. (2;-1) дээр төвтэй (-900) эргүүлэлтээр

F тугийн дүрийг зур, C- аар тэмдэглэ.

г. A тугийг F рүү хувиргах хувиргалтыг тодорхойл.

д. B тугийг F рүү хувиргах хувиргалтыг тодорхойл.

е. C тугийг F рүү хувиргах хувиргалтыг тодорхойл.

3. T дүрсийг доорх дүрсэд хувиргах хувиргалтыг ол.

а. A дүрсэд. б. B дүрсэд.

в. C дүрсэд. г. D дүрсэд.

д. E дүрсэд. е. F дүрсэд.

ё. G дүрсэд. ж. H дүрсэд

4. Өгсөн матрицаар ABCD трапецийг дүрийг ол, ямар хувиргалт болохыг тодорхойл.

A. (0 −11 0

)

Б. (−1 00 1

)

В. (−1 00 −1

)

Г. (0 11 0

)

Д. (0 1

−1 0)

Е. (−0.5 0

0 −0.5)

Дасгал 12

31

ХЭМЖИГДЭХҮҮН

1. Кубын тал ξ2 см бол гадаргуугийн талбайг ол.

2. Кубын бүтэн гадаргуугийн талбай нь 6 нэгж.кв байсан бол ирмэгийн уртыг ол.

3. Кубын эзлэхүүн 64 см3 бол түүний талсын талбайг ол.

4. Гадаргуугийн талбай нь 216 см2 байх кубын эзлэхүүнийг ол.

5. Тэгш өнцөгт параллелопипедийн гурван ялгаатай талсын талбайнууд 12, 15, 20 байв.

Параллелопипедийн бүтэн гадаргуугийн талбай ба эзэлхүүнийг олоорой.

6. Квадрат суурьтай шулуун паралелопипедийн суурийн талбай 9 см2, бүтэн гадаргуу нь 66 см2

бол түүний эзэлхүүнийг ол.

7. Цилиндрийн суурийн радиус 5, өндөр нь түүнээс 2 дахин их бол эзэлхүүнийг ол.

8. Конусын байгуулагч 𝐴𝑆 = 10 см, суурийн радиус 𝐴𝑂 = 6 см бол конусын 𝑆𝑂 өндөр ба

эзлэхүүнийг олоорой.

9. Бөмбөрцгийн радиус 3ξ3 бол эзэлхүүн нь хэд вэ?

10. Кубын 𝐴𝐵𝐶𝐷 огтлолын талбай 4ξ2 бол эзэлхүүн нь аль вэ?

a. 8ξ2м3

b. 8 м3

c. 16 м3

d. 10ξ2м3

3. ӨГӨГДӨЛ БА МАГАДЛАЛ

ӨГӨГДЛИЙН ШИНЖИЛГЭЭ

1. Нэг моодтой 6,13,14,x,4,6 өгөгдлийн моод х бол түүнийг олоорой

2. Дараах өгөгдлийн арифметик дунджийг олоорой.

3. 32 сурагчаас урьдчилсан шалгалт авчээ.

Шалгалтын дүн бүхэл 0-100 оноогоор илэрхийлэгдэнэ. 18 73 99 1 18 93 37 78 15 36 65 86 38

25 53 61 53 52 45 39 72 60 58 68 47 50 43 58 44 51 45

А. Өгөгдлүүдийг 0-9, 10-19, 20-29, 30-39, 40-49, 50-59, 60-69, 70-79, 80-89,

90-100 завсарт бүлэглээрэй.

Б. Хуримтлагдсан давтамжийн график байгуул.

4. Дараах өгөгдлийн арифметик дундаж, медиан, моод, далайц, квартиль, квартиль

хоорондын далайцыг олно уу. Хөл бөмбөгийн баг 15 удаа тоглож дараах оноо авчээ.

1 0 2 4 0 1 1 1 2 5 3 0 1 2 2 2

Завсар Давтамж

[0-3[ 3

[3-6[ 12

[6-9[ 6

[9-12[ 9

12-оос багагүй 0

Дасгал 14

Дасгал 13

A

D

B

C

32

5. 16, 25, 16, 12, 17, 15, 28, 18, 21, 23 өгөгдлийн медианыг ол.

6. 2, 3, 7, 9, 10, 11, 14, 14, 16 өгөгдлийн квартил хоорондын далайцыг ол .

7. Дараах өгөгдлийн моод бүлгийг олоорой.

Завсар ሾ1; 4ሾ ሾ4; 6ሾ ሾ6; 7ሾ ሾ7; 8ሾ ሾ8; 10ሾ

Давтамж 30 7 24 31 17

КОМБИНАТОРИК БОЛОМЖ ТООЛОХ

1. 5 хүнийг нэг эгнээнд хичнээн янзаар жагсаах боломжтой вэ?

2. Цифрүүд нь өөр хоорондоо ялгаатай ба ТЭГШ байх 3 оронтой тоо хичнээн байх вэ?

3. Тэгш өнцөгтийн оройг A,B,C,D үсгээр тэмдэглэх нийт боломжийн тоо хэд вэ?

4. Шатрын тэмцээнд 12 сурагч оролцов. Хэрэв аль ч хоёр сурагч хоорондоо нэг удаа тоглосон бол нийт

хэдэн өрөг гарсан бэ?

5. 10 хүн уулзаад бүгд хоорондоо яг нэг удаа гар барив. Нийт хэдэн гар барилт явагдсан бэ?

6. Ангийн 12 хөвгүүнээс 5 хүнтэй баг хичнээн янзаар бүрдүүлж болох вэ?

7. Ялгаатай 5 номноос 3 номыг хичнээн янзаар сонгон авч болох вэ?

8. Хоёр шоог зэрэг орхиход хоёулаа тэгш тоотой нүдээр буух ба тэдгээр нь анхны тоо байх хичнээн

нийцтэй үзэгдэл илрэх вэ?

9. Гүдгэр 20 өнцөгт хичнээн диагональтай вэ?

10. {a,b,c,d,e,f } олонлогын бүх дэд олонлогийн тоог ол.

11. 5-аар эхлэж 0-ээр төгссөн хичнээн 5 оронтой тоо байх вэ?

12. 0,2,4,6 гэсэн цифрүүдээр 4 оронтой цифр давтагдахгүй тоо хэдийг зохиож болов вэ?

13. Бүх цифр нь сондгой 4 оронтой тоо хичнээн байх вэ?

МАГАДЛАЛ, НИЙЛМЭЛ ҮЗЭГДЛИЙН МАГАДЛАЛ

1. “ДАВТАМЖ”гэдэг үгийн үсгүүдээс таамгаар хоёр үсэг сонгоход хоёулаа заримдаг гийгүүлэгч байх

үзэгдлийн магадлалыг ол.

2. 52 ширхэг хөзрөөс нэг хөзөр санамсаргүй сонгоход “бундан” эсвэл “арав” хөзөр таарах үзэгдлийн

магадлалыг ол.

3. Хоёр шоог зэрэг орхиход туссан нүднүүдийн нийлбэр 7 байх үзэгдлийн магадлалыг ол.

4. Мөнгийг хоёр удаа орхих туршилт хийв. Яг нэг нь тоогоороо буух үзэгдлийн магадлалыг ол.

5. 1-ээс 60 хүртэлх натурал тоонуудаас таамгаар нэг тоо сонгон авахад 8-ын хуваагч байх үзэгдлийн


6. Гурван оронтой тоонуудаас таамгаар нэг тоо сонгоход тэр тоо нь 5-аар эсвэл 7-аар төгсөх хоёр

үзэгдлийн ядаж нэг нь илрэх магадлалыг ол.

7. Хайрцагт 14 улаан, 6 хөх өнгийн бөмбөг байв. Хайрцгаас нэг бөмбөг таамгаар авч өнгийг бүртгээд

буцааж хийгээд дахин нэг бөмбөг авах туршилт хийв. Хоёулаа ижил өнгийн бөмбөг гарч ирэх


Дасгал 15

Дасгал 16

33

8. Сагсан бөмбөгийн 3 тамирчин шийдэнд бөмбөг шидэв. Тамирчин бүрийн оноо авахгүй байх

магадлал 0.2 бол яг нэг тамирчин оноо авах магадлалыг ол.

9. 10-аас бага натурал тооноос нэгийг сонгоход тэр нь тэгш ба анхны тоо байх үзэгдлийн магадлалыг

ол.

10. 100-аас хэтрэхгүй тоонуудаас нэг тоо сонгоход сонгосон тоо 0-ээр төгсөх эсвэл 8-д хуваагдах

үзэгдлийн ядаж нэг нь илрэх магадлалыг ол.

11. Нийцгүй A ба B үзэгдлийн магадлалууд 𝑃(𝐴) = 0.12, 𝑃(В) = 0.36 бол эдгээр үзэгдлүүдийн ядаж

нэг нь илрэх үзэгдлийн магадлалыг ол.

НЭМЭЛТ БОДЛОГУУД

1. a534× a

æ

èç

ö

ø÷ : a236

× a29æ

èç

ö

ø÷ илэрхийллийг хялбарчил.

2. 102 - 20 2 + 38+12 2æè

öø

0.5

илэрхийллийг хялбарчил.

3. 1

3a-

1- 2a1

3

1+ 2a1

3

æ

è

çç

ö

ø

÷÷

2

:4a

1+ 2a1

3æ

èç

ö

ø÷

3-

a

8a +1

æ

è

ççççç

ö

ø

÷÷÷÷÷

илэрхийллийг хялбарчил.

4. y = x2 + ax + a функцийн график Ox тэнхлэгийг шүргэдэг бол a тоог ол.

5. x+ y-1= 0, 2x-5y+1= 0 , 4x-3y-1= 0 шулуунууд бүгд нэг цэгийг дайрах уу?

6. x -8( ) x - k( ) = x2 -5kx +m бол m, k тоонуудыг ол.

7. 1;1( ) , 4;1( ), 6;3( ), 4;5( ) цэгүүд дээр оройтой дүрсийн талбайг ол.

8. Тойрог дээр 5 цэг тэмдэглэв. Эдгээр цэгүүд дээр оройнууд нь орших хичнээн гурвалжин байх вэ?

9. ABC гурвалжны AB = 20,AC =10 6 ба ABC өнцөг нь 1200 бол C оройн өнцгийг

градусаар илэрхийл.

10. log37 + log

73+ 2( ) log

37 - log

217( )log

73- log

37 илэрхийллийн утгыг тооцоол.

11. 7x+2 = 51-x тэгшитгэлийг бод.

12. Цифрүүийн нийлбэр нь 9 байх 4 оронтой тоо хичнээн байх вэ?

13. Гурвалжны нэг талын урт 2 7 , харин нөгөө хоёр тал нь 1:2 3 харьцаатай ба тэдгээрийн

хоорондох өнцөг нь 300 байв. Эдгээр талуудыг ол.

14. Уутанд 5 улаан , 4 ногоон, 3 хөх бөмбөг байв. Уутнаас таамгаар 2 бөмбөг сугалахад ижил өнгийн

бөмбөг таарах магадлалыг ол.

15. 1, 2, 3, …, 9 цифрүүдээр бичигдсэн бүх цифр нь ялгаатай 9 оронтой тооны дотор 1 ба 2 ын цифр

зэрэгцэж орсон тоо хэд вэ?

Дасгал 17

34

III ХЭСЭГ

ҮНЭЛГЭЭ

1.ТОО ТООЛОЛ

СОНГОХ ДААЛГАВАР

1. 74 ∙ 7−6 = үйлдлийг гүйцэтгээрэй.

A. 72 B. 7−2 C. 492 D. 49−2

2. ξ814

= илэрхийлийн утгыг олоорой.

A. 9 B. 8 C. 3 D. 4

3. (81

3)

3

2= илэрхийллийг хялбарчилаарай.

A. 80 B. 81

2 C.81

3 D.83

2

4. (𝑥1

2 − 1) (𝑥1

2 + 1) = Хялбарчилаарай.

A. 𝑥 − 1 B. 𝑥 + 1 C. ξ𝑥 − 1 D. ξ𝑥 + 1

5. ቚ−2 31 2

ቚ = тодорхойлогчийг олоорой.

A.7 B. -6 C. 6 D.-7

6. ξ1132 − 1122 = илэрхийллийг бод.

А. 13 B. 15 C. 16 D. 18

7. (1 1 −23 0 2

) матриц хэмжээсийг ол.

А. 2х3 B.3х2 C.2х2 D. 3х3

8. 𝐴 = (−1 −39 −4

), 𝐵 = (2 37 0

) бол А+B-г олоорой.

A.(1 012 −3

) B.(3 010 −4

) C.(2 315 −2

) D. (1 016 −4

)

9. (ξ5 − ξ2)2 −(2ξ2 − 1) ∙ (2ξ2 + 1) утгыг ол.

А. −2ξ10 − 2 B. -2ξ10 C. −4 D. 2ξ10

10. 𝑎𝑛 = −2𝑛 + 3 томьёогоор өгсөн дарааллын 5-р гишүүнийг ол.

А.7 B.-7 C.5 D.13

11. ξ27𝑥63× ට

𝑥8

81

4= илэрхийллийг хялбарчил.

A.𝑥4 B.𝑥6 C.3𝑥4 D.3𝑥6

12. A=(1 3

−1 2) бол А2- А=?

A. (−2 9−3 1

) B. (−3 6−2 −1

) C. (3 −62 1

) D. (0 62 2

)

13. 𝑎1

2 ∙ 𝑎−5

6: 𝑎−2

3 =?

A. 𝑎−1

3 B. 𝑎1

3 C. 𝑎−1 D. 1

14. 𝑦2

𝑦+1−

1

𝑦+1 = хялбарчлаарай.

A. 𝑦 + 1 B. 𝑦+1

2𝑦+2 C. 1 D. 𝑦 − 1

15. 3

5𝑦+

7

5𝑦= Үйлдлийг гүйцэтгээрэй.

A. 7

𝑦 B.

3

𝑦 C.

5

𝑦 D

2

𝑦

16. 𝑥−25

ξ𝑥−5 бутархайг хураагаарай.

A. 𝑥 − 5 B. ξ𝑥 − 5 C. ξ𝑥 + 5 D. 𝑥 + 5

17. 28𝑥3𝑦3

14𝑥2𝑦3 = хураагаарай.

A. 2𝑥 B. 𝑥 + 2 C.14𝑥𝑦 D. 2𝑥𝑦

35

18. 21 ∙ 107 ∙ (12 ∙ 10−8) Утгыг ол.

A. 14.2 B. 15 C. 25.2 D.14

19. 1

𝑎−4+

1


A. 2𝑎+6

(𝑎−4)(𝑎−2) B.

2𝑎−6

(𝑎−4)(𝑎−2) C.

2𝑎−5

(𝑎−3) D.

2𝑎−5

(𝑎−2)

20. (1

6)−2

: (1

3)−2

− (3

5)−2

Утгыг олоорой.

A.1 B. 11

9 C.−

11

9 D.-1

ЗАДГАЙ ДААЛГАВАР

1. 𝐴 = (2 1

−1 4) өгөгдөв.

𝑎) |𝐴| = 𝑎 𝑏) 𝐴−1 = (

𝑐

𝑏−

1

𝑑

1

𝑑

𝑓

𝑑

) байна.

2. 2

3𝑦 −

3

4∙ (

8

9𝑦 −

5

9𝑦) =

2

3𝑦 −

𝑎

𝑏𝑦 +

𝑐

12𝑦 =

5

12𝑦

3. (𝑥 + 2√𝑦3 )(𝑥2 − 2𝑥√𝑦3 + 4√𝑦23) = 𝑎 𝑥3 − 𝑏 𝑦

4. ξ3+ξ2

ξ3−ξ2 Бутархайн хуваарийг язгуураас чөлөөлөөрэй. (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2 томъёог ашиглана.

𝑎)хуваарийг √ 𝑎 + ට 𝑏 үржүүлье. b) Эмхэтгэвэл 𝑐 + 𝑏 ට 𝑑

Хариултаа бөглөөрэй.

2.АЛГЕБР


1. ൜𝑥 + 𝑦 = 03𝑥 − 𝑦 = 8

тэгшитгэлийн системийг бод

A. (2;−2) B. (−3; 3) C. (−1; 1) D. (2; 2)

2. Квадрат функцийн графикийг сонгоорой.

А.гипербол B. парабол C. шулуун D. тойрог

3. 𝑥2 = 64 тэгшитгэл бод.

A. ሼ−2; 2ሽ B.ሼ−8; 8ሽ C. -8 D. 8

4. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 функцын тодорхойлогдох мужийг ол.

А.ሿ − ∞;∞ሾ B.]0;∞ሾ C.]1; ∞ሾ D.[0; ∞ሿ

5. 𝑥1 = 3 ба 𝑥2 = 4 шийдтэй тэгшитгэлийг ол.

А.𝑥2 − 7𝑥 + 12 = 0 B.𝑥2 + 7𝑥 + 12 = 0 C.𝑥2 − 3𝑥 − 12 = 0 D.𝑥2 − 7𝑥 − 12 = 0

№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

36

6. −2𝑥2 + 2𝑥 + 12 < 0 квадрат тэнцэтгэл бишийг бод.

A.ሿ − ∞;−2ሾ∪ሿ3;∞ሾ B.ሿ − 2; 3ሾ C.ሿ − ∞;−2ሾ D.]3;∞ሾ

7. 𝑦 = ξ12 − 4𝑥 функцын тодорхойлогдох мужийг ол.

A.ሿ − ∞; 3ሿ B. ሿ3;∞ሾ C. ሿ − ∞;−3ሾ D. ሾ3;∞ሾ

8. ൜𝑥2 + 𝑦2 = 4𝑥 − 𝑦 = 2

тэгшитгэлийн системийг графикийн аргаар бодсон бодолтыг ол.

9. ξ𝑥 − 13

− 3 = −7 тэгшитгэлийг бодоорой.

A. 1 B. -4 C. -63 D. 63

10. 𝑥2 − 6𝑥 = −9 Квадрат тэгшитгэлийг бодоорой.

A. -3 B. 3 C. -3; 3 D. шийдгүй

11. 𝑦 = 𝑥2 − 6𝑥 + 8 Функцийн оройн цэгийн координатыг олоорой.

A. (-3;-1) B. (3;17) C. (3;-1) D. (-3;17)

12. 9 ∙ 3𝑥+1 = 27 тэгшитгэлийг бодоорой.

A. 0 B. 1 C. -1 D. -2

13. ቚ7 43𝑥 𝑥 + 2

ቚ + 1 = 0 тэгшитгэлийг бодоорой

A. 0 B.-3 C. -2 D. 3

14. x4-3x2-4=0 биквадрат тэгшитгэлийг бодоорой.

A. ሼ−2; 2ሽ B. ሼ−2;−1; 1; 2ሽ C. ሼ−1; 1; ሽ D.∅

15. 𝑦 = (2

3)𝑥 функцийн графикийг нэрлээрэй.

A. илтгэгч B. парабол C.гипербол D. зэрэгт

16. 𝑓(𝑥) =3

(𝑥−1)3 функцийн утгыг x=-2 үед тооцоол.

A. -9 B. 9 C. 1

9 D. −

1

9

17. 4 + 𝑥 ≤ −6 тэнцэтгэл бишийг бодоорой.

A. 𝑥 ≤ −14 B. 𝑥 ≥ 14 C. 𝑥 ≤ −2 D. 𝑥 ≤ −10

18. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 7𝑥 − 18 функц өгөгдөв. 𝑓(3) + 𝑓(−3) утгыг ол.

A. -16 B. -18 C. 18 D. 16

19. Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олоорой. 9𝑎2 − 8а = 0

𝐴. 0 ; −8

9 B. 0;

8

9 C. 0;

9

8 D. 0;−

9

8

20. 𝑥2 + 8𝑥 + 7 > 0 Тэнцэтгэл биш бодоорой.

A. 𝑥 ∈ሿ − ∞;−7ሾ∪ሿ1;+∞ሾ B. 𝑥 ∈ሿ − ∞; 7ሿ ∪ ሾ−1;+∞ሾ

C. 𝑥 ∈ሿ − ∞;−7ሾ∪ሿ − 1;+∞ሾ D. 𝑥 ∈ሿ − ∞;−7ሾ∪ ሾ−1;+∞ሾ

37


𝟏. 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 + 4 параболын оройн цэгийн координатыг олоорой.

c) 𝑥2 + 2𝑥 + 4 = (𝑥 + 𝑎 )2 + 𝑏

d) оройн цэг нь: (− 𝑎 ; 𝑏 )

2. (𝑥 + 1)(𝑥 + 2) = (2𝑥 + 1)(𝑥 − 2) тэгшитгэлийг 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 хэлбэрт шилжүүлж бодоорой.

a) 𝑥2 − 𝑎 𝑥 − 𝑏 = 0

b) 𝑥12 = 𝑐 ± ට 𝑑𝑓

3. 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 1, 𝑔(𝑥) =5

𝑥−3 бол 𝑓(1) + 𝑔(−2) =?

b) 𝑓(1) = 𝑎

c) 𝑔(−2) = − 𝑏

d) 𝑓(1) + 𝑔(−2) = 𝑐 байна.

4. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 8𝑥 + 6 байхад

a. 𝑓(1) = 𝑎

b. 𝑓(−3) = − 𝑏𝑐

c. 𝑓(𝑥) = 6 үед 𝑥1 = 𝑑 𝑥2 = − 𝑒 𝑥3 = 𝑓


3.ГЕОМЕТР


1. A (2; 1), B(-5; 2) цэгүүдийг дайрсан шулууны тэгшитгэл зохио.

𝐴. 𝑦 = 2𝑥 − 1 𝐵. 𝑦 = 𝑥 + 1 𝐶. 𝑦 = −1

2𝑥 +

9

7 𝐷. 𝑦 = −3𝑥 + 7

2. A(2; 4) ; B(-4 -4) хоёр цэгийн хоорондох зай ол.

A. 10 B. 8 C. 6 D. 4

3. (3;−4) ба (−7,5) цэгүүдийг дайрах шулууны налалтыг ол.

A.1 B. -1 C. -0.9 D. 0.9

4. 𝑎 =(−2;3) 𝑏 =(1;3) бол скаляр үржвэрийг ол.

A.1 B. 7 C. -1 D. -7

5. �⃗� = (−1; 6) векторын уртыг ол.

А.ξ37 B.37 C. 7 D. ξ13

6. Параллель зөөлт 𝑥1 = 𝑥 − 2, 𝑦1 = 𝑦 + 2 томъёогоор өгөгдсөн бол (−1; 2) цэг ямар цэгт шилжих вэ?

A. (1; 2) B.(3; 4) C.(−3; 4) D. (5; 6)

7. Хөвч тойргийг 5:7 харьцаатай хэсгүүдэд хуваав. Их нум дээр орой нь орших энэ хөвчийг тулсан багтсан

өнцгийг ол.

𝐴. 450 𝐵. 650 𝐶. 720 𝐷. 750

8. 𝛼 өнцгийн хэмжээг олоорой. (Зураг 1)

А. 390 B. 1560 C. 320 D. 120

№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

B

A C

O

∝

780

Зураг1

38

9. А(4; -2) цэгээс 3 зайтай орших цэгүүдийн олонлогийг ол.

𝐴. (𝑥 + 4)2 + (𝑦 − 2)2 = 3 𝐵. (𝑥 − 4)2 + (𝑦 + 2)2 = 9

𝐶. (𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 2)2 = 3 𝐷. (𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 2)2 = 4

10. 𝑠𝑖𝑛𝑡 =5

13 , 0 < 𝑡 <

𝜋

2 бол 𝑡𝑔𝑡 =?

𝐴. 12

13 𝐵.

12

5 𝐶.

5

12 𝐷. −

12

13

11. Гурвалжны хоёр тал харгалзан 8 ба 10, хоорондох өнцөгийн косинус нь 43

160 бол гурав дахь талын уртыг

ол.

𝐴. 10 𝐵. 11 𝐶. 10,25 𝐷. 10,5

12. Адил хажуут гурвалжны суурь 24, хажуу тал 15. Уг гурвалжинд багтсан тойргийн радиусыг ол.

А.2 B.3 C.4 D.5

13. 5x2+5y2-20=0 тэгшитгэлээс тойргийн төв ба радиусыг олоорой.

A. (5;5) ба 4 B. (0;0) ба 4 C. (0;0) ба 2 D. (5;5) ба 2

14. Дараах илэрхийллийг хялбарчил. 3(𝑎 + �⃗� ) − 5(2𝑎 − �⃗� ) + �⃗� =

𝐴.−7𝑎 − �⃗� 𝐵. − 7𝑎 + 9�⃗� 𝐶. − 7𝑎 + 8�⃗� 𝐷. 7𝑎 + 9�⃗�

15. 𝑎 (3; 4) ба �⃗� (m; 2) векторууд m-ийн ямар утганд перпендикуляр байх бэ?

𝐴.8

3; 𝐵. 2; 𝐶. − 2; 𝐷. −

8

3;

16. 𝑎 =(1;𝓍; 3); �⃗� = (𝑦;−3; 6) векторууд коллинеар байх 𝑥 ба 𝑦–ийн үржвэрийг ол.

A.-3 B.-1 C.1 D.3

17. BC талын уртыг олоорой.

A. 8

B. 9

C. 10

D. 11

18. Тэгш өнцөгт гурвалжны катетууд 12 ба 16 бол түүнийг багтаасан тойргийн радиусыг ол.

A. 8 B. 4 C. 10 D. 5

19. Хэрвээ A ( 3 ; 2 ) , B ( 8 ; 1 ) , D ( 2 ; 7 ) бол 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ ба 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ векторуудын хоорондох өнцгийн косинусыг

олоорой.

A. −5

13 B.

5

ξ26 C.

4

ξ26 D. -1

20. sin600 + 2cos 300 илэрхийллийн утгыг ол.

𝐴. 1 𝐵. ξ3 + 1

2 𝐶.

3

2ξ3 𝐷.

ξ3

2

21. |𝑎 | = 5 , |�⃗� | = 6 ба хоорондох өнцөг нь 600 бол 𝑎 ∙ �⃗� =?

𝐴. 30 𝐵. 15 𝐶. 5.5 𝐷. 30

39

22. 𝐴𝐵𝐶 → 𝐷𝐹𝐸 → 𝐺𝐼𝐻 ямар дараалсан хувиргалтууд вэ?

А. Гомотет, параллель зөөлт

В. Параллель зөөлт, гомотет

С. Параллель зөөлт,тэнхлэгийн хувь дахь тэгш хэм

D. Параллель зөөлт, цэгийн хувь дахь тэгш хэм


1. 𝑏 = 9 ; 𝛼 = 1200; 𝛽 = 300 бол 𝑎 =? ; 𝛾 =? ; 𝑐 =? ; 𝑅 =?

Энд : 𝑎

𝑠𝑖𝑛300 =𝑎

𝑠𝑖𝑛 𝑏𝑐0 тул a=9ට 𝑑 𝛾 = 𝑒𝑓

0 болох тул 𝑐 = 𝑔 мөн 𝑅 = ℎ байна.

2. A(1;1), B(−3;4), C(3;2) цэгүүд өгөгдөв.

a. AB хэрчмийн урт 𝑎 байна.

b. AB шулууны тэгшитгэл 𝑏 𝑥 + 𝑐 𝑦 − 𝑑 = 0 байна.

c. C цэгээс AB шулуун хүртэлх зай 𝑒 болно.

d. ABC гурвалжны талбай 𝑓 байна.


4. ӨГӨГДЛИЙН ШИНЖИЛГЭЭ


1. 7,12,0,3,11,5,21,103,132,9 өгөгдлийн квартил хоорондын далайцыг ол.

A. 17 B. 15 C. 16 d. 18

2. Инженерийн ажлын хоног, авах цалин хоёрыг корреляцаар илэрхийлнэ үү

A.Эерэг корреляц B.Сөрөг корреляц C.Тэг корреляц D.Тодорхойлох боломжгүй

3. Дараах өгөгдлийн моод бүлэг аль нь вэ?

Завсар ሾ1; 4ሾ ሾ4; 6ሾ ሾ6; 7ሾ ሾ7; 8ሾ ሾ8; 10ሾ

Давтамж 30 7 24 31 17

A. ሾ1; 4ሾ B. ሾ6; 7ሾ C. ሾ7; 8ሾ D.ሾ8; 10ሾ

4. Дурын бодит тооны утга авч болдог өгөгдлийг .................. гэнэ.

A. Дискрет өгөгдөл B.Тасралтгүй өгөгдөл C.Бүлэглэсэн өгөгдөл

5. Квартил хоорондын далайц нь:

A. Дээд квартил, доод квартилын ялгавар B. ХИУ ба ХБУ-ын ялгавар

C. Дээд квартил, доод квартилын нийлбэр D. ХИУ, ХБУ-ын нийлбэр

6. Аливаа тооны өгөгдлийн утгуудыг агуулсан тоон завсрыг тодорхой жижиг завсрууд болгон хувааж уг

жижиг завсарт харьяалагдах утгуудын давтамжаар үүссэн өгөгдлийг ......... гэнэ.

A. Дискрет өгөгдөл B.Тасралтгүй өгөгдөл C.Бүлэглэсэн өгөгдөл

№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

40

7. Доод квартил гэдэг нь:

A. Дээд доод квартилын ялгавар C. Медианы зүүн талд орших өгөгдлийн медиан

B. Медианы баруун талд орших өгөгдлийн медиан D. ХИУ, ХБУ-ын нийлбэр

8. 17, 25, 16, 12, 17, 15, 28, 18, 21, 23 медианыг ол.

A. 17.5 B. 17 C. 15 D. Медиангүй

9. 2, 3, 7, 9, 10, 11, 14, 14, 16 өгөгдлийн квартил хоорондын далайцыг ол

А. 7 B. 9 C.5 D.14

10. Гистограммаас нийт давтамжийн талбайг ол.

A. 80 B.250 C. 360 D.10

11. Адил насны 5 сурагчийн өндрийн дунджийг ол.

Сурагчын нэр А Б В Г Д

Өндөр (см) 154 156 164 178 162

Алхмын урт 45 55.5 67.5 78 57

A.163.8 B.162.8 C.161.8 D.160.8

12. Үйлдвэрийн ажилтнууд 500, 700, 560, 850, 670, 495 мянга, үйлдвэрийн дарга 3 сая төгрөгийн цалинтай

бол чи энэ үйлдвэрт ажилд орвол дунджаар хэдэн төгрөгний цалин авах вэ?

A. 630 мянга B. 495 мянга C. 850 мянга D. 970 мянга

13. Математикийн олимпиадад оролцсон сурагчид 25,22,16,15,15,10,9,8,7,7,7,7,6,6,5,5,5,5,4,3,1,0,0,0 оноо

авсан бол 50%-иас дээш амжилттай оролцсон сурагчдын тоог ол.

A. 15 B. 5 C. 21 D. 24

14. Дараах өгөгдлийн арифметик дунджийг олоорой.

Завсар ሾ5; 6ሾ ሾ6; 7ሾ ሾ7; 8ሾ ሾ8; 10ሾ

Давтамж 23 13 12 3

A.12.75 B. 6.2 C. 13.5 D.6.4

15.

Завсар [1, 3[ [3,4[ [4, 5[ [5, 6[ [6, 7[ [7,8[ [8, 10[

Давтамж 4 35 33 23 13 12 3

A. Моод бүлэг [3,4[ арифметик дундаж ≈ 4.9

B. Моод бүлэг [1, 3[ арифметик дундаж ≈ 4.8

C. Моод бүлэг [3,4[ арифметик дундаж ≈ 4.7

D. Моод бүлэг [4, 5[ арифметик дундаж ≈ 4.9

41


1. Дараах өгөгдлөөр гистограмм байгуулна уу.

Оруулсан

бөмбөгний тоо

Сурагчдын тоо Завсрын урт Давтамжийн нягт

2-4 10 2 5

5-6 6 2 3

7-8 5 2 2.5

9-10 2 2 1

2. Дараах өгөгдлийн моод бүлэг нь [9,13[ бол хүснэгтэн дэх үл мэдэгдэх утгыг ол.

Завсар [1,5[ [5,9[ [9,13[ [13,17[ [17,21[

Давтамж 30 25 63 9

3. Нэг ангийн 10 сурагчид математик, физикийн хичээлүүдээр ЭЕШ өгөв.

Математик 560 486 623 458 725 699 365 400 702 561

Физик 471 595 735 672 487 503 613 581 765 634

а. Математикийн хичээлийн дундаж оноог ол b. Физикийн хичээлийн дундаж оноог ол

c. Аль хичээлийг илүү амжилттай өгсөн бэ?


5.КОМБИНАТОРИК, МАГАДЛАЛ


1. 4 хүнийг нэг эгнээнд хичнээн янзаар жагсаах боломжтой вэ?

A.4 B.12 C.16 D.24

2. Квадратын оройг A,B,C,D үсгээр тэмдэглэх нийт боломжийн тоо хэд вэ?

A.36 B.28 C.24 D.16

3. Шатрын тэмцээнд 8 сурагч оролцов. Хэрэв аль ч хоёр сурагч хоорондоо нэг удаа тоглосон бол нийт

хэдэн өрөг гарсан бэ?

A.8 B.56 C.28 D.16

4. 6 хүн уулзаад бүгд хоорондоо яг нэг удаа гар барив. Нийт хэдэн гар барилт явагдсан бэ?

A.6! B.6!

2 C.𝐶6

1 D.𝐶62

5. Ангийн 8 хөвгүүнээс 6 хүнтэй баг хичнээн янзаар бүрдүүлж болох вэ?

A.56 B.14 C.28 D. 2420

6. Ялгаатай 6 номноос 3 номыг хичнээн янзаар сонгон авч болох вэ?

A.𝐶96 B.𝐶6

3 C.𝐶93 D. 18

7. “МАГАДЛАЛ”гэдэг үгийн үсгүүдээс таамгаар хоёр үсэг сонгоход хоёулаа эгшигт гийгүүлэгч

байх үзэгдлийн магадлалыг ол.

А. 3

28 В.

1

7 С.

3

10 D.

3

5

№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

42

8. 52 ширхэг хөзрөөс нэг хөзөр санамсаргүй сонгоход “цэцэг” эсвэл “хатан” хөзөр таарах үзэгдлийн


А. 1

13 В.

3

13 С.

1

4 D.

4

13

9. Хоёр шоог зэрэг орхиход туссан нүднүүдийн нийлбэр 8 байх үзэгдлийн магадлалыг ол.

A.0 B.7

36 C.

5

36 D.

5

12

10. Мөнгийг хоёр удаа орхих туршилт хийв. Ядаж нэг нь сүлдээрээ тусах үзэгдлийн магадлалыг ол.

A. 1

4 B.

1

2 C.

3

4 D. 1

11. 1-ээс 60 хүртэлх натурал тоонуудаас таамгаар нэг тоо сонгон авахад 8-ын хуваагч байх үзэгдлийн


A.1

15 B.

7

60 C.

2

15 D.

1

20

12. Гүдгэр 15 өнцөгт хичнээн диагональтай вэ?

A.90 B.210 C.105 D.225

13. Сурагч шалгалтын 20 асуултын 19-ийг бэлдсэн. Багш шалгалтанд 3 асуулт тавихад яг хоёрыг нь

хариулах магадлалыг ол.

A.1

20 B.

3

20 C.

9

10 D.

19

20

14. Нэг хайрцагт 3 хар, 2 цагаан бөмбөг, нөгөө хайрцагт 4 хар, 1 цагаан бөмбөг байв. Хайрцаг бүрээс

нэг, нэг бөмбөг таамгаар гаргаж ирэх туршилт хийхэд ядаж нэг цагаан бөмбөг гарч ирэх магадлалыг

ол.

A.0.3 B.0.48 C.0.52 D.0.6

15. Уутанд 8 шар, 16 ногоон өнгийн чихэр байв. Уутанд гараа оруулан тэмтэрч чихэр гаргаж ирэхэд

ногоон өнгөтэй байв. Дахин нэг чихэр гаргаж ирэхэд шар байх магадлалыг олоорой.

A. 16

23 B.

8

23 C.

14

25 D.

8

24

16. Буудлагын 3 тамирчин бай буудав. Тамирчин бүрийн онох магадлал 0.9 бол ядаж нэг тамирчин байг

онох магадлалыг ол.

A. 0.001 B. 0.243 C. 0.5 D. 0.999

17. Уутанд 10 улаан, 5 шар чихэр байв. Уутнаас нэг чихэр таамгаар авч өнгийг нь бүртгээд буцааж

хийсний дараа дахин нэг чихэр таамгаар авах туршилт хийв. Ижил өнгөтэй хоёр чихэр гарч ирэх

үзэгдлийн магадлалыг олоорой.

A. 1

3 B.

2

3 C.

2

9 D.

5

9

18. 1 ба 2-р машинаар үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүн стандартад тохирох үзэгдлийн магадлал харгалзан

0.8 ба 0.9 бол санамсаргүйгээр авсан бүтээгдэхүүн стандартад тохирох үзэгдлийн магадлалыг ол.

A. 0.28 B. 0.98 C. 0.72 D. 0.02

19. Хайрцагт 4 цагаан 3 хар бөмбөг байв. Хайрцгаас таамгаар 2 бөмбөг авах туршилт хийхэд ижил

өнгөтэй бөмбөгнүүд гарч ирэх үзэгдлийн магадлалыг ол.

A.1

7 B.

2

7 C.

3

7 D.

4

7

20. 52 модтой хөзрөөс таамгаар 2 хөзөр сугалахад хүн хөзөр таарах магадлалыг ол.

A.3

13 B.

11

13×17 C.

6

13 D.

20

13×17

43


1. 10 ууттай чихэрээс 4 нь цагаан, бусад нь ногоон өнгийн ууттай байв. Таамгаар 3 ууттай чихэр авахад

a. Нэг нь цагаан өнгөтэй байх

b. 2-оос цөөнгүй нь цагаан өнгөтэй байх

c. Ядаж нэг нь цагаан өнгөтэй байх үзэгдлүүдийн магадлалыг тус тус ол.

2. Гурван тамирчин бай буудав. Тамирчин тус бүрийн онох магадлал харгалзан 0.8, 0.9, 0.7

a. Гурвуулаа онохгүй үзэгдлийн магадлалыг ол.

b. Яг нэг тамирчин онох үзэгдлийн магадлалыг ол.

c. Ядаж нэг тамирчин онох үзэгдлийн магадлалыг ол.

3. 100 сурагчийн 60 нь сагсан бөмбөг, 50 нь хөл бөмбөг, 20 нь хоёулангаар нь хичээллэдэг. Тэдгээрээс нэг

сурагчийг таамгаар сонгон авахад

a. Сагсан бөмбөг эсвэл хөл бөмбөгөөр хичээллэдэг байх магадлалыг ол.

b. Энэ хоёр спортын алинаар нь ч хичээллэдэггүй байх магадлалыг ол.

c. Зөвхөн сагсан бөмбөгөөр хичээллэдэг байх магадлалыг ол.

4. Хайрцаг 9 улаан 4 хөх бөмбөг байв. Хайрцгаас нэг бөмбөг таамгаар авч өнгийг нь бүртгээд буцааж

хийлгүйгээр дахин нэг бөмбөг таамгаар авах туршилт хийв.

a. Хоёулаа улаан байх магадлалыг ол.

b. Улаан, хөх байх магадлалыг ол.

c. Хөх, улаан байх магадлалыг ол.

IV БҮЛЭГ

ТЕСТИЙН ХАРИУ

1.ТОО ТООЛОЛ

2.АЛГЕБР

3.ГЕОМЕТР

4. ӨГӨГДӨЛ

5.МАГАДЛАЛ

№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

B C B A D B A D B B A B B D D C A C B B

№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

A B B A A A A A C B C A D A A D D B B D

№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

D A C B A C D A B C B C C B D A A C A C B D

№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

C A C A A C B A B C B

№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

D C C D B B A D C C A A B C B D D C C B

44

Documents

ХЭСЭГbagsh.itpd.mn/fayluud/10-Математик.pdf · 2020. 5. 7. · ТООНЫ ТЭГ, СӨРӨГ ИЛТГЭГЧТЭЙ ЗЭРЭГ Тодорхойлолт: Аливаа тэгээс