. Численное интегрирование

Квадратурные формулы прямоугольников

Пусть требуется найти значение интеграла I Римана

b

а

dx)x(fI для некоторой заданной на отрезке ]b,a[ функции

)x(f . Хорошо известно, что для функций, допускающих на

промежутке ]b,a[ конечное число точек разрыва первого рода, такое

значение существует, единственно и может быть формально получено

по определению:

]x,...,x,x[]b,a[

]xx[

)xx)((fI

n10

1iii

n

1i

1iii

n

lim

, (5.1)

где n

0iix - произвольная упорядоченная система точек отрезка

]b,a[ такая, что

n,0xb,xx,axmax n1ii0 ,

а i - произвольная точка элементарного промежутка ]xx[ 1ii .

Приближенные формулы для вычисления определенных

интегралов называют квадратурными формулами или формулами

численного интегрирования.

Геометрический смысл определенного интеграла состоит в

следующем: вычисление

b

а

dx)x(fI при 0)x(f равносильно

построению квадрата, равновеликого криволинейной трапеции с

основанием ]b,a[ и крышей )x(f .

Простые квадратурные формулы можно вывести

непосредственно из определения интеграла, т.е. из представления

(5.1). Зафиксировав некоторое 1n , будем иметь

n

1i

1iii )xx)((fI (5.2)

Это приближенное равенство назовем общей формулой

прямоугольников (площадь криволинейной трапеции приближенно

заменяется площадью ступенчатой фигуры, составленной из

прямоугольников, основаниями которых служат отрезки ]x,x[ i1i ,

а высотами – ординаты )(f i .

Чтобы из общей формулы (5.2) получить правило приближенного

вычисления интеграла, воспользуемся свободой расположения точек

ix , разбивающих промежуток интегрирования ]b,a[ на

элементарные отрезки ]x,x[ i1i , и свободой выбора точек i на

этих отрезках.

Условимся в дальнейшем пользоваться равномерным

разбиением отрезка ]b,a[ на n частей точками ix с шагом n

abh

, полагая

1n,...,2,1i,bx,hxx,ax n1ii0 (5.3)

При таком разбиении формула (5.2) принимает вид

n

1i

i1iii ]x,x[),(fhI (5.4)

Рассмотрим три случая расположения точек i на элементарных

отрезках ]x,x[ i1i .

1. Квадратурная формула левых прямоугольников.

Пусть 1ii x . Тогда из (5.4) получаем

n

1i

1i

л

пр )x(fhII (5.5)

2. Квадратурная формула правых прямоугольников

Пусть ii x . Тогда имеем

n

1i

i

п

пр )x(fhII (5.6)

3. Квадратурная формула средних прямоугольников

Пусть 2

hx,

2

hx),xx( ii1iii1i2

1i

.

Точка i берется посередине между точками 1ix и ix . отсюда

получаем

n

1i

i

n

1i

1i

ср

пр )2

hx(fh)

2

hx(fhII (5.7)

Остаточный член (глобальной погрешности) квадратурной

формулы средних прямоугольников имеет вид:

2

nпр h)(f24

ab)h(R , )b,a(n . (5.11)

Как видно из формулы (5.11), при увеличении числа n

элементарных промежутков, на которые разбивается промежуток

интегрирования ]b,a[ по формуле средней точки (5.7) убывает

пропорционально квадрату шага h . Нетрудно убедиться, что

погрешность численного интегрирования непрерывно

дифференцируемой функции по формулам левых и правых

прямоугольников (5.5), (5.6) убывает по линейному закону.

Квадратурные формулы Нютона-Котеса

Подстановка в интеграл

b

а

dx)x(f вместо функции )x(f ее

интерполяционного многочлена Лагранжа той или иной степени n

приводит к семейству квадратурных формул, называемых формулами

Ньютона-Котеса.

Как было показано в Главе 1, функция ]b,a[C)x(f1n

может быть единственным образом представлена в виде

)x(R)x(L)x(f nn , где

∏∑

≠ -

-n

0j

ij ji

jn

0i

in)xx(

)xx()x(f)x(L - интерполяционный многочлен

Лагранжа,

)x(П)!1n(

)(f)x(R 1n

)1n(

n

ξ-остаточный член,

)b,a(),xx(П)x(П i

n

0i1n

.

Если система узлов интерполирования n

0iix совпадает с

точками разбиения (5.3) отрезка ]b,a[ с шагом h , то замена

переменной qhxx 0 преобразует многочлен Лагранжа к виду

n

0i

iin

0niq

)nq)...(1q(q

)!in(1i

)x(f)1()qhx(L

(5.12)

Для того, чтобы использовать такое выражение )x(L n вместо

)x(f в

b

а

dx)x(f , нужно изменить границы интегрирования

(значению ax соответствует значение 0q , а bx - значение

nq ) и учесть, что hdqdx .

Таким образом, получаем

n

0

n

0i

iindq

iq

)nq)...(1q(q

)!in(1i

)x(f)1(hI .

Это равенство, переписанное в виде

n

0i

ii

b

a

)x(fK)ab(dx)x(fI (5.13)

и есть квадратурная формула Ньютона-Котеса, где

dq)iq(

)nq)...(1q(q

n

1

)!1n(!i

)1(K

n

0

in

i (5.14)

- коэффициенты Котеса.

Свойства коэффициентов Котеса.

n

0i

i 1K.1 , если 1)x(f , то 0]f[R n

ini KK.2

На самом деле, формулы (5.13)-(5.14) определяют семейство

квадратурных формул. Параметром этого семейства является число

n - степень интерполяционного многочлена, которым заменяется

подынтегральная функция.

Рассмотрим несколько простейших частных случаев,

соответствующих небольшим значениям n .

При этом конкретные квадратурные формулы будем получать как

на основе общих формул (5.13)-(5.14), используя для этой цели

свойства коэффициентов Котеса, так и используя вместо многочлена

Лагранжа (5.12) эквивалентный ему (в силу единственности) первый

интерполяционный многочлен Ньютона:

1. Квадратурная формула трапеций.

Пусть 1n , т.е. имеется всего две точки 0x и hxx 01 .

Заменим подынтегральную функцию )x(f многочленом

Лагранжа )x(L1 , построенным по двум узлам ( 10 x,x ).

)x(L)x(f 1 .

Используя свойства коэффициентов Котеса, находим:

2/1KKKK

1KK

1010

10.

Тогда формулы (5.13) дают следующее выражение

)yy(2

)xx(I

,)y2

1y

2

1)(xx(dx)x(f

1001

x

x

1001

1

0

Получена простейшая квадратурная формула трапеций, к

которой легко прийти и из геометрических соображений.

Остаточный член этой формулы найдем интегрированием

остаточного члена )x(R 1 формулы линейной интерполяции,

преобразованного к виду:

)1q(qh2

)(f)qhx(R)x(R

2

011

Имеем

)h(O]f[R

h)(f

dq)qq()(fh

dq)qq(h)(f

h)f(R

x

x

3

1

31

1

0

2

3

22

1

12-

22

ξ1

0

2. Квадратурная формула Симпсона (формула парабол).

Положим в (5.15) 2n , т.е. проинтерполируем функцию )x(f по

трем точкам: 0x , hxx 01 и h2xx 02 .

Заменим подынтегральную функцию )x(f многочленом

Лагранжа )x(L 2 , построенным по трем точкам ( 210 x,x,x ).

)x(L)x(f 2

Используя свойства коэффициентов Котеса, находим:

1KKK

KK

210

20

Из формулы (5.14) при 2n получаем

2

0

2

0

23

2

2

0

02

0

6

12

2

3

34

123

4

1

0

21

020

1

2

1)q

qq(dq)qq(dq

)q(

)q)(q(q

)!(!

)(K

и

6

4K,

6

1KK 120 .

Тогда формулы (5.13) дают следующее выражение

)f(R)yyy(h

)f(R)yyy)(xx(dx)x(f

x

x

22102210024

36

1

6

4

6

1-

2

.

Итак, )yy4y(3

hdx)x(f 210

x

x

2

0

. (5.17)

Полученное приближенное равенство называется простейшей

формулой Симпсона.

Остаточный член этой формулы найдем интегрированием

остаточного члена )x(R 2 формулы квадратичной интерполяции,

преобразованного к виду:

где ]xx[ 20 .

)2q)(1q(qh!3

)(f)qhx(R)x(R

3

022

ξ

Но здесь нельзя воспользоваться интегральной теоремой о

среднем при интегрировании остаточного члена )qhx(R 02 , как

это было в случае 1n (функция )2q)(1q(q меняет знак на

промежутке ]2,0[ ).

Остаточный член формулы Симпсона имеет вид:

5IV

2 h90

)(f)f(R

ξ, где )xx( 20

.

Составные квадратурные формулы

Применение формул Ньютона - Котэса высоких порядков, т.е. при

больших значениях параметра Nk может быть использовано при

достаточно высокой гладкости подынтегральной функции )x(f .

Более употребительными являются квадратурные формулы,

получающиеся путем дробления промежутка интегрирования на

большое число мелких частей, интегрирование на каждом из которых

производится с помощью простейших формул невысокого порядка

(формул трапеций и Симпсона).

1. Общая формула трапеций.

n

1i

n

1i

i

3n

1i

i1i

x

x

b

a

)(f12

h)yy(

2

hdx)x(fdx)x(f

i

1i

, где

)x,x( i1ii .

)h(O]f[R5

2 ≈

Отсюда следует, что искомое значение интеграла можно

приближенно найти по формуле

)y2

1y...yyy(

2

1

n

abdx)x(f nn210

b

a

. (5.18)

Погрешность формулы (5.18) равна

n

1i

i

3

тр )(y12

hR .

По обобщенной теореме о среднем значении функции на отрезке

существует такая точка )b,a(т , что

)ab)((f)(yh m

n

1i

i

Таким образом, остаточный член формулы трапеций (5.18) есть

)h(O]b,a[),(fh12

)ab(R

2

mm

2

тр . (5.19)

2. Составная формула Симпсона.

На основе простейшей формулы Симпсона (5.17) и ее

остаточного члена запишем равенство

)(f90

h)yy4y(

3

hdx)x(f i

IV5

i21i22i2

x

x

i2

2i2

, где

)x,x( i22i2i . (5.20)

Выполнив разбиение (5.3) так, чтобы число элементарных

промежутков m2n было четным, исходный интеграл представляем

суммой интегралов вида (5.20):

m

1i

i

IV5m

1i

m

1i

i21i22i2

x

x

b

a

)(f90

h)yy4y(

3

hdx)x(fdx)x(f

i2

2i2

Отсюда получается формула численного интегрирования

)yyy(h

)yyy(h

)yyy(h

dx)x(fmmm

b

a

212224322104

34

34

3

,

которая называется формулой Симпсона.

Остаточный член формулы Симпсона

)h(O]b,a[),(f)ab(h

)(hfh

Rcc

IV

m

i

i

IV

симпс

4

4

1

4

1802

180

(5.21)

Таким образом, можно сказать, что замена подынтегральной

функции )x(f на промежутке интегрирования ]b,a[ , разбитом на n

частей с шагом h , кусочно-линейной функцией приводит к

приближенному значению интеграла (5.18) с ошибкой, убывающей при

0h (согласно(5.19)) по квадратичному закону. Если же сделать

кусочно-квадратичную интерполяцию по сдвоенным элементарным

промежуткам ]x,x[],...,x,x[],x,x[ m22m24220 , то ошибка

получаемого приближенного равенства в соответствии с (5.20) будет

убывать уже пропорционально четвертой степени (5.21). Этим

обусловливается популярность формулы Симпсона, так как

повышение порядка точности интерполяции на единицу повлекло

повышение точности интегрирования на два порядка.