I. GIỚI THIỆU

Trung tâm Đào tạo E-learning Cơ hội học tập cho mọi người

Bài 1: Tập hợp – Quan hệ - Ánh xạ 1

BÀI 1

TẬP HỢP – QUAN HỆ - ÁNH XẠ

I. GIỚI THIỆU

Xin chào các anh/ chị học viên!

Rất hân hạnh được gặp các anh/ chị trong Bài 1 môn Đại số tuyến tính.

Tập hợp là một trong những khái niệm cơ bản của Toán học. Ta cần tìm hiểu khái niệm

về tập hợp, sau đó là mối quan hệ giữa các tập hợp, các phép toán về tập hợp.

Trong các quan hệ giữa các tập hợp thì quan hệ hai ngôi đóng vai trò quan trọng. Từ đó,

ta sẽ xét các quan hệ cơ bản: quan hệ tương đương và quan hệ thứ tự.

Sau đó, nội dung của chương này trình bày khái niệm về ánh xạ. Các ánh xạ cơ bản được

xét là đơn ánh, song ánh và toàn ánh. Tiếp đó, xét ánh xạ ngược, thu hẹp và mở rộng một ánh

xạ. Cuối chương xét lực lượng của tập hợp.

Bài học này gồm có 07 nội dung:

1. Tập hợp

2. Quan hệ hai ngôi

3. Ánh xạ

4. Tóm lược

5. Bài tập

6. Câu hỏi trắc nghiệm

7. Đáp án câu hỏi trắc nghiệm

II. MỤC TIÊU:

Sau khi học xong Bài I, anh/ chị sẽ:

- Hiểu về tập hợp và các phép toán về tập hợp.

- Nắm được khái niệm về quan hệ giữa các tập hợp, đặc biệt là quan hệ hai ngôi và các

quan hệ cơ bản: quan hệ tương đương và quan hệ thứ tự.

- Khái niệm về ánh xạ với các ánh xạ cơ bản: đơn ánh, song ánh, toàn ánh. Tiếp đó là

ánh xạ ngược, thu hẹp và mở rộng một ánh xạ.

- Cuối cùng là lực lượng của tập hợp.

- Giải được các bài toán thông thường về tập hợp, quan hệ, ánh xạ theo cách tự luận và

theo trắc nghiệm.



III. NỘI DUNG PHẦN LÝ THUYẾT

3.1. TẬP HỢP

3.1.1 . KHÁI NIỆM VỀ TẬP HỢP

Tập hợp

Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học (người ta không định nghĩa). Tuy nhiên,

người ta hiểu tập hợp là một số các phần tử được ghép lại với nhau bởi một tính chất nào đó.

Các ví dụ:

(1) Tập hợp sinh viên của Viện Đại học Mở.

(2) Tập hợp các số nguyên.

- Để chỉ x là một phần tử của tập A , ta viết x A .

- Nếu y không thuộc A , ta viết y A .

- Tập hợp không chứa phần tử nào gọi là tập rỗng, ký hiệu . Ví dụ, tập các nghiệm

thực của phương trình 2 1x là tập rỗng.

Một số khái niệm và ký hiệu cần thiết

Mệnh đề toán học là một khẳng định toán học hoặc là đúng hoặc là sai (không có nhập

nhằng), ký hiệu bởi các chữ in ,...,, CBA

Ví dụ:

812: A là mệnh đề đúng.

04: B là mệnh đề sai.

Nếu từ mệnh đề A đúng suy ra mệnh đề B cũng đúng thì ta viết: BA (đọc là A kéo

theo B ).

Ví dụ: )()( cbcaba

Nếu BA và AB thì ta viết BA (đọc là A tương đương B , hay là A khi và

chỉ khi B , hay A là điều kiện cần và đủ để có B ).

Ví dụ: )()( abba

Để chỉ với mỗi phần tử x của tập X đều có tính chất )(xp , ta viết: )(: xpXx

Ví dụ: 01: 2 xRx

Để chỉ có ít nhất một phần tử x của tập X có tính chất )(xp , ta viết: )(: xpXx

Ví dụ: 045: 2 xxRx . Ta có 4,1 21 xx



3.1.2. CÁCH XÁC ĐỊNH MỘT TẬP HỢP

Có 2 cách:

Cách 1: Cách liệt kê. Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp.

Ví dụ: , , - tËp hî p gåm 3 phÇn tö.A a b c A

Cách 2: Cách đặc trưng. Gọi p là tính chất đặc trưng của tất cả các phần tử của tập hợp

A , ta viết: | , cã tÝnh chÊt A x x p

Ví dụ: Tập hợp các số chẵn | 2 , nguyªnp m m n n .

3.1.3. CÁC TẬP HỢP SỐ THƯỜNG GẶP

(1) Tập hợp các số tự nhiên: 0,1,2,3,..., ,... ; * 1,2,3,..., ,...N n N n

(2) Tập hợp các số nguyên: ..., ,..., 2, 1,0,1,2,..., ,...Z n n

(3) Tập hợp các số hữu tỷ: , lµ çc sè nguyªn 0p

Q p q qq

Các số hữu tỷ có thể viết thành các số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn.

Chẳng hạn, 3 4

0.75; 1.333... 1 34 3

(4) Một số vô tỷ là một số có thể viết dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Chẳng hạn 2 1.414213563..., 3.14159...

(5) Tập hợp tất cả các số hữu tỷ và vô tỷ gọi là tập số thực, ký hiệu là R.

3.1.4. QUAN HỆ GIỮA CÁC TẬP HỢP

Tập hợp con

A là tập hợp con của B khi mọi phần tử của ®Òu thuéc vÒ A B(Hình 1.2).

Ký hiệu A B .

A

B

Hình 1.2



Đọc

bao hµm trong

chøa

lµ tËp con cña

A B

B A

A B

Ví dụ: N Z Q R

* Theo quy ước A

* Do định nghĩa A A

* Tính bắc cầu

A B

A CB C

Sự bằng nhau của 2 tập hợp

Nếu một phần tử bất kỳ của tập hợp A đều thuộc về tập hợp B và ngược lại, mỗi phần tử

của tập hợp B đều thuộc về tập hợp A thì ta nói vµ A B bằng nhau.

A BA B

B A

Ví dụ:

,1,...,

1,..., ,

A x

B x

3.1.5 CÁC PHÉP TOÁN VỀ TẬP HỢP

. Phép hợp

Định nghĩa 1.1: Hợp của hai tập vµ A B là tập hợp tạo bởi tất cả các phần tử thuộc A

hoặc thuộc B (Hình 1.3).

Ký hiệu A B .

B

A

Hình 1.3



Đọc hî p A B.

hoÆc x A B x A x B

Ví dụ:

, , ,, , , , ,

, , ,

A a b c dA B a b c d e f

B c d e f

Tính chất 1.1

1 tÝnh lòy ®¼ng

2 tÝnh giao ho¸n

3 tÝnh kÕt hî p

4

A A A

A B B A

A B C A B C

A A A

Phép giao

Định nghĩa 1.2: Giao của hai tập hợp vµ A B là tập hợp tạo bởi các phần vừa thuộc A

và vừa thuộc B (Hình 1.4).

Ký hiệu A B . Đọc giao A B

vµ x A B x A x B

Tính chất 1.2

1 tÝnh lòy ®¼ng

2 tÝnh giao ho¸n

3 tÝnh kÕt hî p

4

A A A

A B B A

A B C A B C A B C

A A

Chú ý: Khi A B thì ta nói vµ A B rời nhau.



Tính chất 1.3 (Tính chất chung của và )

:)()()()1( CABACBA tính chất phân phối đối với

:)()()()2( CABACBA tính chất phân phối đối với

Chứng minh tính chất (1):

x Ax A

x A B C x Bx B C

x C

x A

x A Bx Bx A B A C

x A x A C

x C

A B C A B A C

Ngược lại:

x A Bx A B A C

x A C

x Ax A

x Bx B

x Ax C

x C

x A B C A B A C A B C

Hiệu của hai tập hợp

Định nghĩa 1.3: Hiệu của tập A và tập B là tập tạo bởi tất cả các phần tử thuộc A mà

không thuộc B (Hình 1.5).

Ký hiệu \ vµ A B x A x B .

A

B

Hình 1.5



Tập bù

Khi th× \A E E A gọi là bù của trong A E , ký hiệu hay EC A A (Hình 1.6).

Ví dụ: Gọi A là tập nghiệm của phương trình 2 3 2 0 1x x

Gọi B là tập nghiệm của phương trình 2 4 3 0 2x x

Giải (1) 1 20 1, 2 1,2a b c x x A

Giải (2) 1 20 1, 3 1,3a b c x x B

1,2,3 ; 1 ; \ 2A B A B A B

Luật DeMorgan:

, ta cã

A B 1

2

A B E

A B

A B A B

Xét chứng minh (1)

x A

x A B x A Bx B

x Ax A B

x B

Tích của 2 tập hợp (tích Đề các)

Định nghĩa 1.4: Tích của tập hợp A với tập hợp B (theo thứ tự ấy) là tập hợp gồm tất

cả các cặp thứ tự ,x y với vµ x A y B (Hình 1.7).

Ký hiệu hoÆc .A B A B . Đọc là nh©n A B

A

E

A

Hình 1.6



, vµ yx y A B x A B

.RR

y

x

.AB B

A

0

R

R

Hình 1.7. Mặt phẳng tọa độ xOy được đồng nhất với tích Đề các RR

Chú ý:

Tích của hai tập hợp không có tính giao hoán vì , , nÕu ; 2,3 3,2x y y x x y .

Ví dụ: 1,3 ; 2,A B x

. .A B B A

Phân hoạch

Ta nói các tập con 1 2, ,..., cña tËp nA A A X tạo nên một phân hoạch của X nếu:

1

1n

i

i

A X

2 i jA A i j

3.2. QUAN HỆ HAI NGÔI

3.2.1. KHÁI NIỆM VỀ QUAN HỆ HAI NGÔI

Giả sử cho tập X khác rỗng và một tính chất R được thỏa mãn với một số cặp phần tử

, nµo ®ã cña a b X . Khi đó, ta nói cã quan hÖ a R với b và viết là aR b , còn R được gọi

là một quan hệ hai ngôi trong X .

Ví dụ:

1. Trong tập R mọi số thực, quan hệ " " hoÆc quan hÖ " "a b a b là các quan hệ

hai ngôi.

2. Trên tập *N các số nguyên dương, " lµ - í c sè cña "a b là quan hệ hai ngôi.

. 2,1 , 2,3 , ,1 , ,3B A x x

. 1,2 , 1, , 3,2 , 3,A B x x



3.2.2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA QUAN HỆ TRONG MỘT TẬP HỢP

Quan hệ R trong tập X (tức R 2X ) có thể có các tính chất sau:

- Tính phản xạ: aR , (tøc lµ ,a a X a a R , )a X .

- Tính đối xứng: aR b b R a (tøc lµ ,a b R th× ,b a R ).

- Tính phản đối xứng: (aR vµ b bR )a a b .

- Tính bắc cầu: (aR ) vµ (b bR )c a R c .

Ví dụ:

Trong tập hợp mọi đa thức của một biến số thực, quan hệ bằng nhau có mọi tính chất

nói trên.

Các quan hệ định nghĩa trong các mục dưới đây tỏ ra đặc biệt quan trọng trong nhiều

lĩnh vực toán học.

3.2.3. QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG

Quan hệ R trong tập X gọi là quan hệ tương đương nếu nó có tính phản xạ, đối xứng,

bắc cầu.Trong trường hợp này, ta viết ~ thay v× a b aR b .

Ví dụ: Quan hệ đồng dạng giữa các tam giác; quan hệ cùng tỉnh của một tập hợp dân

một thành phố là các ví dụ trực quan của quan hệ tương đương.

Các lớp tương đương: Giả sử ~ là một quan hệ tương đương trong X. Với mỗi phần tử

,a X ta ký hiệu C a là tập hợp mọi phần tử thuộc X tương đương với a và gọi là lớp

tương đương chứa a .

| ~C a x X x a

Do tính phản xạ ~a a nên mỗi tập con C a không rỗng. Hơn nữa, nếu

th× C a C b C a C b .

Thật vậy, giả sử c C a C b , thì ta có:

vµ c C a c C b

Tức là ~ vµ ~ , hay ~ ~c a c b b c a. Từ đó, do tính bắc cầu, suy ra ~b a . Vậy

b C a .

Lập luận tương tự cũng có , tøc lµ a C b C a C b .



Ta thu được định lý: Một quan hệ tương đương trong X xác định một phân hoạch của X,

mỗi phần tử của phân hoạch này là một lớp tương đương.

Họ các lớp tương đương này được gọi là tập thương, ký hiệu / ~X .

Ví dụ: Trong tập các số nguyên Z

Xét quan hệ R: a R 2 ví i , ,b a b p a b p Z .

Ta có:

(aR )a 2 0 ph¶n x¹a a p p

(aR )b 2 2 (a b p b a p b R ) ®èi xønga

2 ; 2

2 b¾c cÇu

a b p b c q

a c a b b c p q

Vậy R là một quan hệ tương đương.

Ta có 2a b p

- Lớp tương đương ứng với 0b là các số chẵn.

- Lớp tương đương ứng với 1b là các số lẻ.

3.2.4. QUAN HỆ THỨ TỰ

Định nghĩa 1.5: Quan hệ R trong X gọi là quan hệ thứ tự (hay quan hệ thứ tự bộ phận)

nếu có tính phản đối xứng và bắc cầu.

Nếu ngoài ra, với bất kỳ hai phần tử nào ,x X y X đều có xR y hoặc

y R x thì quan hệ thứ tự gọi là thứ tự toàn phần (hay thứ tự tuyến tính).

Khi R là một quan hệ thứ tự trong X, ta nói X được xếp thứ tự bởi R thay vì xR y ta

viết x y và đọc " bÐ h¬n " hoÆc " ®i tr- í c "x y x y . Ta viết y x và đọc là

" lí n h¬n " hoÆc " ®i sau "y x y x .

Nếu vµ ta viÕt hay x y x y x y y x .

Ví dụ 1: Quan hệ < hoặc thông thường trong tập hợp các số thực là các quan hệ thứ tự

toàn phần, R là tập được sắp thứ tự.

Ví dụ 2: Quan hệ " " tøc lµ béi sè cña trong *a b a b N là quan hệ thứ tự bộ phận. Tập X

trong đó đã xác định một quan hệ thứ tự gọi là tập được sắp xếp.



3.3. ÁNH XẠ

3.3.1. KHÁI NIỆM VỀ ÁNH XẠ

Định nghĩa 1.6: Cho X và Y là hai tập hợp tùy ý khác rỗng. Nếu có một quy tắc f ứng

mỗiphần tử x X với mỗi phần tử y Y thì người ta nói có một ánh xạ từ X vào Y, ký hiệu

:f X Y hoặc x X y Y .

Tập X gọi là miền xác định hay nguồn của ánh xạ, tập Y gọi là đích của ánh xạ.

Phần tử y Y ứng với phần tử x X bởi quy tắc đã cho gọi là ảnh của phần tử x , ký

hiệu y f x .

Nói riêng, khi X và Y là các tập hợp số thì khái niệm ánh xạ trở thành khái niệm hàm số.

Cho :f X Y là một ánh xạ từ X vào Y

lµ tËp con cña

lµ tËp con cña

A X X

B Y Y

Ta gọi ảnh của A bởi f là tập con B của Y xác định bởi:

f A f x x A

Đặc biệt f X , ảnh của miền xác định X được gọi là miền giá trị của ánh xạ f và ký

hiệu bởi

Imf X f

Nghịch ảnh của tập con B Y bởi ánh xạ f là tập con của X xác định bởi:

1f B x X f x B

Khi: 1 1, ta viÕt thay v× ; thay v× A x B y f x f x f y f y và gọi tắt là

ảnh của x và nghịch ảnh của y theo trình tự tương ứng.

Cần để ý là 1 ,f B B , có thể là tập rỗng.

3.3.2. ĐƠN ÁNH – TOÀN ÁNH – SONG ÁNH

Trong số các ánh xạ, các ánh xạ dưới đây giữ vai trò quan trọng:

Ánh xạ f gọi là đơn ánh nếu 1 2 1 2 th× f x f x x x , nói cách khác hai phần tử

khác nhau sẽ có ảnh khác nhau.



Ánh xạ f gọi là toàn ánh, nếu f X Y , nói cách khác y Y đều tồn tại

sao cho x X f x y .

Một ánh xạ vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh gọi là song ánh. Ta cũng gọi nó là ánh xạ

một đối một (ánh xạ 1 – 1).

Nếu :f X Y là đơn ánh thì : Imf X f sẽ là toàn ánh, và do đó là song

ánh.

ánh xạ :f X X cho bởi ,f x x x X gọi là ánh xạ đồng nhất trên X, ký hiệu

là Xi . Dễ thấy, Xi là song ánh. Trường hợp X = R là tập mọi số thực thì Ri chính là ánh xạ

y x thông thường.

Ví dụ:

1. Ánh xạ 3 tõ vµo x f x x R R là một đơn ánh.

2. Ánh xạ xx f x e là đơn ánh, còn ánh xạ 2 3x f x x là song ánh.

3.3.3. ÁNH XẠ NGƯỢC (CỦA MỘT SONG ÁNH)

Giả sử :f X Y là song ánh thì với bất kỳ y Y đều tồn tại duy nhất một phần tử

sao cho x X f x y .

Ánh xạ 1 :f Y X xác định bởi: 1f y x y f x gọi là ánh xạ ngược f.

Vậy, ánh xạ ngược của 1f lại là ánh xạ f, vậy f và

1f là cặp song ánh ngược.

Ví dụ:

Ánh xạ :f R R xác định bởi 3f x x có ánh xạ ngược 1 3f x x

3.3.4. THU HẸP VÀ MỞ RỘNG MỘT ÁNH XẠ

Giả sử :f X Y là một ánh xạ, A X là tập con thực sự của X.

ánh xạ : x¸c ®Þnh bëi ,g A Y g x f x x A gọi là thu hẹp của ánh xạ f trên tập

A, ta ký hiệu Ag f .

Nếu: ' , ' th× ¸nh x¹ ' sao cho ,X X X X X Y h x f x x X gọi là mở rộng của f

lên tập X.



3.3.5. LỰC LƯỢNG CỦA TẬP HỢP

Khái niệm “lực lượng” (power) là sự trừu xuất hóa của khái niệm số lượng thông thường

của các tập hữu hạn.

Ví dụ: Với tập các số 1,2,… n ta đặt En = 1,2,..,n

Rõ ràng, mỗi tập hợp hữu hạn gồm n phần tử được đánh số bởi n số nguyên dương ai , i

= 1,2,…,n ta đặt: 1 2 3, , ,..., nA a a a a

Thực chất, việc đánh số hay việc đếm số phần tử là sự thiết lập một song ánh f từ tập n

số tự nhiên En 1,2,..., n vào tập A. Nhận xét đó giúp ta đưa vào khái niệm lực lượng của

một tập hợp bất kỳ.

Định nghĩa 1.7:

Cho hai tập hợp A và B khác rỗng (hữu hạn hoặc vô hạn). Nếu tồn tại một song ánh

:f A B thì ta nói A và B đồng lực lượng.

Tập có cùng lực lượng với tập En gọi là tập hữu hạn.

Rõ ràng, hai tập hữu hạn đồng lực lượng khi và chỉ khi chúng có cùng số phần tử.Vậy

khái niệm “cùng lực lượng” là sự khái quát hóa khái niệm “cùng số lượng” thông thường.

Nếu A và B đồng lực lượng, ta nói A tương đương với B và viết BA

Tập có cùng lực lượng với tập số N gọi là tập vô hạn đếm được.

Tập vô hạn không cùng lực lượng với tập N gọi là tập không đếm được.

Người ta chứng minh được rằng tập các số thực R là tập không đếm được.

Các tập hữu hạn, hoặc vô hạn đếm được thường được gọi chung là đếm được.

3.3.6. QUY NẠP TOÁN HỌC

Quy nạp toán học thường được sử dụng để chứng minh các mệnh đề dạng n P(n), trong đó

n là số nguyên dương tùy ý.

Quá trình chứng minh P(n) là đúng với mọi số nguyên dương n bao gồm hai bước:

1. Bước cơ sở: Chỉ ra mệnh đề P(1) là đúng.

2. Bước quy nạp: Chứng minh phép kéo theo P(n) P(n + 1) là đúng với mọi số

nguyên dương n, trong đó người ta gọi P(n) là giả thiết quy nạp.

Khi hoàn thành cả hai bước chúng ta đã chứng minh P(n) là đúng với mọi số nguyên

dương, tức là đã chứng minh P(n) là đúng.



Ví dụ: Bằng quy nạp toán học, hãy chứng minh rằng tổng n số nguyên dương lẻ đầu tiên

là n2.

Giải: Gọi P(n) là mệnh đề “tổng n số nguyên dương lẻ đầu tiên là n2”. Đầu tiên ta cần

làm bước cơ sở, tức là phải chỉ ra P(1) là đúng. Sau đó phải chứng minh bước quy nạp, tức là

cần chỉ ra P(n + 1) là đúng nếu giả sử P(n) là đúng.

Bước cơ sở: P(1) hiển nhiên là đúng vì 1 = 12.

Bước quy nạp: Giả sử P(n) đúng, tức là với mọi n nguyên dương lẻ ta có:

1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = n2

Ta phải chỉ ra P(n + 1) là đúng, tức là:

1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) + (2n + 1) = (n + 1)2

Do giả thiết quy nạp ta suy ra:

1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) + (2n + 1)

= [1 + 3 + 5 + … + (2n - 1)] + (2n + 1)

= n2

+ (2n + 1) = (n + 1)2

Đẳng thức này chứng tỏ P(n + 1) được suy ra từ P(n).

Vì P(1) là đúng và vì mệnh đề kéo theo P(n) P(n + 1) là đúng với mọi n nguyên

dương, nguyên lý quy nạp toán học chỉ ra rằng P(n) là đúng với mọi n nguyên dương.

IV . TÓM LƯỢC

Anh/ chị đã được học về Tập hợp - quan hệ - ánh xạ. Anh/ chị cần ghi nhớ các vấn đề sau:

- Hiểu về tập hợp và các phép toán về tập hợp.

- Nắm được khái niệm về quan hệ giữa các tập hợp, đặc biệt là quan hệ hai ngôi và các

quan hệ cơ bản: quan hệ tương đương và quan hệ thứ tự.

- Khái niệm về ánh xạ với các ánh xạ cơ bản: đơn ánh, song ánh, toàn ánh. Tiếp đó là

ánh xạ ngược, thu hẹp và mở rộng một ánh xạ.

- Cuối cùng là lực lượng của tập hợp.

- Giải được các bài toán thông thường về tập hợp, quan hệ, ánh xạ theo cách tự luận và

theo trắc nghiệm.

Bài tiếp theo anh/ chị sẽ được học về Định thức và ma trận.

Chúc anh/ chị học tập tốt!



V. HỆ THỐNG BÀI TẬP _ CÓ LỜI GIẢI

Bµi 1: Cho hai tËp hîp X vµ Y

a. X¸c ®Þnh çc tËp hîp

;A X X Y B X X Y

b. Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó X = Y lµ:

X Y X Y

Gi¶i:

a. Ta cã vËy X X Y X X Y A X

B X X Y X X X Y

X X Y A X

b. CÇn: X Y X X X X

§ñ: Gi¶ sö cã X Y X Y

1

2

X X Y X X Y X Y

X X Y

X Y X Y Y X Y Y X Y

Y X Y

Tõ (1) vµ (2) suy ra X = Y.

Bµi 2: Chøng minh r»ng:

a.

b.

A B C AB AC

A B C AB AC

Gi¶i:

a. Ta lËp luËn theo çch bao hµm 2 chiÒu

ChiÒu : LÊy ,x y A B C , ta cã:

,

hay ,

,

VËy A B C 1

x y ABx A

y B C y B y C x y AC

x y AB AC

AB AC



ChiÒu : LÊy , , ta cã

,

,

,

VËy 2

x y AB AC

x Ax y AB x A

y By B Cx y AC

y C

x y A B C

AB AC A B C

Tõ (1) vµ (2), ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.

b. ChiÒu : LÊy , , ta cãx y A B C :

,

,

,

VËy 3

ChiÒu : LÊy , , ta cã

,

VËy AB AC A B C 4

x Ax y AB

y Bx y AC

y C

x y AB AC

A B C AB AC

x y AB AC

x Ax A

y By B C

y C

x y A B C

Tõ (3) vµ (4), ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.

Bµi 3: Cho lµ mét hä çc bé phËn cña E. H·y x¸c ®Þnh çc quan hÖ sau:

0 0a. NÕu th×

b. ;

x F x F

x F x F x F x F

X X X X

X X X X

Gi¶i:

a. Theo ®Þnh nghÜa ta cã:

: 1

: 2

x F

x F

X x x x X

X x x x X



Gi¶ sö 0: nhng

x F

x X x x X X

VËy 0 0

x F

X X X X

.

Gi¶ sö 0 0, v× nªn X X X x .

Tõ (2) ta cã 0:x F x F

x x X x X X X

.

b. Ta cã:

phñ ®Þnh : ,

,

x F

x F

X x x x X x x x X

x x x X X

T¬ng tù:

phñ ®Þnh : ,

,

x F

x F

X x x x X x x x X

x x x X X

Bµi 4: Cho f lµ mét ¸nh x¹ tõ E vµo F.

Chøng minh r»ng f lµ toµn ¸nh khi vµ chØ khi ®èi víi mçi

tËp G vµ víi çc ¸nh x¹ g vµ h bÊt kú tõ F vµo G, ta cã:

1g f h f g h

Gi¶i:

Theo gi¶ thiÕt:

: ; , :f E F g h F G

CÇn (): Gi¶ sö f lµ toµn ¸nh vµ g f h f .

Khi ®ã:

, :y F x y f xg h

g y g f x h f x h y

§ñ () Gi¶ sö cã (1)

B»ng ph¶n chøng, gi¶ sö f kh«ng ph¶i lµ toµn ¸nh. Cho C vµ

C’ lµ 2 phÇn tö kh¸c nhau cña G. Ta chän:



: ,

,:

, ' Do gi¶ thuyÕt kh«ng ph¶i lµ toµn ¸nh

g y F g y C

y f E h y Ch

y f E h y C f

Ta cã:

,x E f x y f E g f x h f x

V× ,g y h y C y f E

Nhng theo çch chän g h , ®iÒu nµy m©u thuÉn víi (1). VËy

f ph¶i lµ toµn ¸nh.

Bµi 5: Cho f lµ mét ¸nh x¹ tõ E vµo F.

Chøng minh r»ng f lµ ®¬n ¸nh khi vµ chØ khi víi mçi tËp D

vµ víi çc ¸nh x¹ g vµ h tõ D vµo E, ta cã:

1f g f h g h

CÇn : Gi¶ sö f lµ ®¬n ¸nh vµ f g f h .

Khi ®ã:

: do lµ ®¬n ¸nhz D f g z f h z f g z h z g h

§ñ : Gi¶ sö cã (1)

Ta chän:

: '

: "

'

"

' " ' "

g z D g z x

h z D h z x

z D f g z f x

f h z f x

f g z f h z g z h z

f x f x x x

VËy f lµ ®¬n ¸nh.

Bµi 6: Cho f lµ ¸nh x¹ tõ E vµo F.

A, B lµ çc tËp con cña E.

' ',A B lµ çc tËp con cña F.

Chøng minh r»ng:



1 1 1

a.

b. vµ cho vÝ dô ®Ó cã

c. ' ' ' '

f A B f A f B

f A B f A f B f A B f A f B

f A B f A f B

1 1 1

1 1

d. ' ' ' '

e. ? Cho vÝ dô ®Ó cã

f A B f A f B

A f f A A f f A

Gi¶i:

a. LËp luËn theo bao hµm hai chiÒu:

?f A B f A f B

Gi¶ sö :y f A B x A B y f x

hay :x x A x B y f x y f A

Hay y f B y f A f B

VËy 1f A B f A f B

?f A f B f A B

1 1

2 2

1 2

Gi¶ sö

hay :

hay :

, hay :

VËy 2

y f A f B y f A

y f B x A y f x

x A y f x

x A B x x x x y f x y f A B

f A f B f A B

Tõ (1) vµ (2) suy ra f A f B f A B .

b. Gi¶ sö :y f A B x A B y f x

vµ :

vµ

x x A x B y f x

y f A y f B y f A f B

VÝ dô ®Ó cã f A B f A f B

Cho , , ; 1,2E a b c F vµ x¸c ®Þnh bëi:

1 vµ 2f a f b f c

Cho , vµ ,A a c B b c



1,2f A f B F

VËy f A f B F

MÆt kh¸c A B c

VËy 2f A B f c F

Do ®ã f A B f A f B .

c. LËp luËn theo bao hµm hai chiÒu:

1 1 1' ' ' ' ?f A B f A f B

1

1 1

1 1

Gi¶ sö ' ' ' '

' hay '

' hay '

' ' 3

x f A B f x A B

f x A f x B

x f A x f B

x f A f B

1 1 1' ' ' ' ?f A f B f A B

1 1 1 1

1

Cho ' ' ' hay '

' hay '

' '

' ' 4

x f A f B x f A x f B

f x A f x B

f x A B

x f A B

Tõ (3) vµ (4) suy ra 1 1 1' ' ' 'f A B f A f B

d. LËp luËn theo bao hµm hai chiÒu:

1 1 1' ' ' ' ?f A B f A f B

1

1 1

1 1

Gi¶ sö ' ' ' '

' vµ '

' vµ '

' ' 5

x f A B f x A B

f x A f x B

x f A x f B

x f A f B

1 1 1' ' ' ' ?f A f B f A B



1 1 1 1

1

Cho ' ' ' vµ '

' vµ '

' '

' ' 6

x f A f B x f A x f B

f x A f x B

f x A B

x f A B

Tõ (5) vµ (6) suy ra 1 1 1' ' ' 'f A B f A f B

e. Gi¶ sö: 1x A f x f A x f f A

Cho vÝ dô:

2

1: 0,2 , ,f E F A E R F R f x x

1 1

1 2

1 2

1 1

0 0, 2 4, 0,4

,

0 0 0 0

4 4 4 2,2

0,4 2, 0,2

f f f A B

f f A f B x E y B y f x

B f x R x

B f x R x

f f A f x A

Bµi 7:

H×nh 1.8

4

3

2

1

B

y

0 x 1 2 -

1

-

2



1 2

1 2 1 2

Cho :

vµ lµ 2 phÇn bÊt biÕn theo .

Hái vµ cã bÊt biÕn theo ?

f E E

A A f

A A A A f

Gi¶i:

Theo gi¶ thiÕt, ta cã 1 1 2 2 vµ f A A f A A

1 2 1 2 1 2f A A f A f A A A

VËy 1 2A A bÊt biÕn theo f.

1 2 1 2 1 2f A A f A f A A A

VËy 1 2A A bÊt biÕn theo f.

Bµi 8: XÐt hai tËp cã thø tù E vµ F, trong ®ã thø tù cho bëi

trªn c¶ hai tËp. H·y x¸c ®Þnh quan hÖ R sau ®©y. X¸c ®Þnh trªn

E F cã ph¶i lµ quan hÖ thø tù kh«ng?

,x y R

'', '

hay ' vµ '

x xx y

x x y y

Gi¶i:

a. Ph¶n x¹: ,x y R ,x y v× ' vµ 'x x y y

b. Ph¶n ®èi xøng:

1 1,x y R 2 2 2 2, vµ ,x y x y R ?

1 1 1 1 2 2, , ,x y x y x y

+ NÕu 1 2 2 1 hay x x x x ? Kh«ng thÓ v× ta sÏ kh«ng cã 1 1,x y R

2 2 2 2, vµ ,x y x y R 1 1,x y cïng mét lóc.

+ NÕu 2 1

1 2 1 2

2 1

vµ vµ x x

x x y yy y

, khi ®ã 1 2 2 1 vµ x x y y .

c. B¾c cÇu:

1 1,x y R 2 2 2 2, vµ ,x y x y R ?

3 3 1 1, ,x y x y R 3 3,x y .

Ta xÐt tÊt c¶ çc trêng hîp cã thÓ x¶y ra:

+ NÕu 1 2 2 3 1 3 vµ khi ®ã x x x x x x



1 2 2 3 2 3 1 3

1 2 1 2 2 3 1 3

1 2 1 2 2 3 2 3 1 3 1 3

NÕu vµ , khi ®ã

NÕu , vµ khi ®ã

NÕu , vµ , khi ®ã ,

x x x x y y x x

x x y y x x x x

x x y y x x y y x x y y

Bµi 9: Cho :f E F vµ T lµ ¸nh x¹ t¬ng ®¬ng trªn F.

Ngêi ta x¸c ®Þnh quan hÖ R trªn E bëi x R y f x Tf y

Chøng minh r»ng R còng lµ quan hÖ t¬ng ®¬ng.

Gi¶i:

a. Ph¶n x¹ cña R

, v× lµ ph¶n x¹ trªn f x F T F f x Tf x x R x

VËy R lµ ph¶n x¹.

b. §èi xøng cña R

Gi¶ sö x R y

Ta cã x R y f x Tf y

V× T ®èi xøng f y Tf x y R x

VËy x R y y R x

c. B¾c cÇu cña R

Gi¶ sö x R y vµ y R z. Ta cã :

x R y f x Tf y

y R z f y Tf z

V× T lµ b¾c cÇu f x Tf z x R z

VËy x R y vµ y R z x R z.

Bµi 10: Cho A vµ B lµ hai bé phËn kh¸c rçng cña tËp E vµ ¸nh

x¹ f:

P E P A P B

,X A X B X

a. Chøng minh r»ng f lµ ®¬n ¸nh A B E .

b. Chøng minh r»ng f lµ toµn ¸nh A B .

c. Khi f lµ song ¸nh, h·y x¸c ®Þnh 1f .

Gi¶i:

a. ChiÒu : Gi¶ sö f lµ ®¬n ¸nh.



Ta sÏ chøng minh tõ ®ã .f A B f E A B E

, ,

, ,

f A B A A B B A B A B

f E A E B E A B

f A B f E

V× f lµ ®¬n ¸nh nªn A B E .

ChiÒu : Gi¶ sö A B E

Ta sÏ chøng minh , 'X X P : ' 'E f X f X X X

' , ', '

'

'

' '

'

' '

f X f X A X B X A X B X

A X A X

B X B X

A X B X A X B X

A B X A B X

E X E X X X

b. ChiÒu : Gi¶ sö f lµ toµn ¸nh, ta chøng minh r»ng

A B

,y z P A P (B X P ) : ,E f x y z

nhng ,f x A X B X nªn hÖ ph¬ng tr×nh:

1A X y

B X z

ph¶i cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm.

Ta chän vµ y A B z , nghÜa lµ:

A X A B

B X

Khi ®ã X chøa vµ . Do ®ã, .A B B X A B

ChiÒu : Gi¶ sö A B th× hÖ (1) cã Ýt nhÊt mét nghiÖm

y z v×



A y z A y A z

A A X A B X

A X A B X y X

y y

B y z B y B z

B A X B B X

B A X B B X

X B X z z

c. Gi¶ sö f lµ song ¸nh. Khi ®ã:

vµ A B E A B

NghiÖm ë trªn lµ duy nhÊt v×:

A B B X y z A B y z

EX y z X y z

Do ®ã:

1 :f P A P B P E

,y z y z

VI. CÂU HỎI TỰ ĐÁNH GIÁ

Câu 1. Cho 0 , 0 , . 0A x f x B x g x C x f x g x víi

y f x vµ y g x x¸c ®Þnh trªn toµn bé R. Khi ®ã:

A. C A B C. C A B

B. C A B D. C A B

Câu 2. XÐt hai tËp A vµ B nh trong Bµi 1 vµ

2 2 0D x f x g x . Khi ®ã:



A. D A B C. D A B

B. D A B D. D A B

Câu 3. Gi¶ sö y f x x¸c ®Þnh trªn toµn bé R vµ cho

0A x f x , 0E x f x , 0F x f x . Khi ®ã:

A. A E F C. A E F

B. A E F D. A E F

Câu 4. Gi¶ sö y g x x¸c ®Þnh trªn toµn bé R vµ cho

0I x g x , 0G x g x , 0H x g x . Khi ®ã:

A. B G H B. B G H

C. B G H D. B G H

Câu 5. Quan hÖ nµo trong çc quan hÖ sau lµ quan hÖ thø tù:

A. a R b a b (a chia hÕt cho b)

B. aSb a vµ b kh«ng nguyªn tè cïng nhau.

C. 2 2aTb a b

D. 3 3aUb a b a b .

Câu 6. Cho 2 ¸nh x¹ : \ 0 vµ :f R R g R R ®îc x¸c ®Þnh nh

sau:

2

1 2: ; :

1

xf x g x

x x

A. f lµ ®¬n ¸nh C. g lµ ®¬n ¸nh

B. f lµ toµn ¸nh D. g lµ toµn ¸nh

VII. Đáp án câu hỏi

1. A 2. A 3. B 4. A 5. A 6. A

Documents

I. GIỚI THIỆU