ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-----------------

ĐÀO THỊ BÍCH THẢO

PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội- Năm 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-----------------

ĐÀO THỊ BÍCH THẢO

PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

Mã số: 60440107

Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS VŨ ĐỖ LONG

Hà Nội- Năm 2014

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Vũ Đỗ Long đã tận tình

hƣớng dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi và thƣờng xuyên động viên để tác giả hoàn

thành luận văn này.

Tác giả trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo Bộ môn Cơ học, Trƣờng đại học Khoa

học Tự nhiên, ĐHQGHN và các thầy, cô trong Khoa Toán – Cơ – Tin học đã quan

tâm, giúp đỡ và tạọ điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian tác giả học tập và nghiên

cứu tại Khoa.

Tác giả xin cảm ơn các nhà khoa học, các thầy cô giáo trong seminar Cơ học

vật rắn biến dạng đã có những góp ý quý báu trong quá trình tác giả thực hiện

luận văn.

Tác giả xin cảm ơn các thầy, cô giáo, các cán bộ Phòng Sau đại học, Trƣờng Đại

học Khoa học Tự nhiên – ĐHQGHN đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình

nghiên cứu của tác giả.

Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình và các bạn bè thân thiết của tác giả,

những ngƣời đã luôn ở bên cạnh động viên và giúp đỡ tác giả hoàn thành luận

văn này.

Tác giả

Đào Thị Bích Thảo

MỤC LỤC

TỔNG QUAN ............................................................................................................. 1

Chƣơng 1 - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ ...................................... 3

1.1 Một số khái niệm cơ bản .................................................................................... 3

1.2. Phép biến đổi tọa độ ......................................................................................... 5

1.2.1. Hệ tọa độ Đề các ............................................................................................ 5

1.2.2. Hệ tọa độ cong ............................................................................................... 8

1.2.3. Phép biến đổi tọa độ ...................................................................................... 9

1.2.4 Tenxơ metric trong không gian Euclide ....... Error! Bookmark not defined.

1.3. Thành phần vật lý của tenxơ ........................... Error! Bookmark not defined.

1.3.1. Tenxơ hạng nhất .......................................... Error! Bookmark not defined.

1.3.2. Tenxơ hạng hai ............................................ Error! Bookmark not defined.

1.3.3. Khai triển cụ thể ........................................... Error! Bookmark not defined.

1.4. Đạo hàm hiệp biến .......................................... Error! Bookmark not defined.

1.4.1. Đạo hàm véctơ cơ sở ................................... Error! Bookmark not defined.

1.4.2. Kí hiệu Christoffel ....................................... Error! Bookmark not defined.

1.4.3. Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng nhất ...... Error! Bookmark not defined.

1.4.4. Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng hai ........ Error! Bookmark not defined.

Chƣơng 2 - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠError! Bookmark

not defined.

2.1. Ứng dụng tenxơ xác định phƣơng trình cân bằng- chuyển động. ......... Error!

Bookmark not defined.

2.2. Ứng dụng tenxơ xác định các thành phần liên hệ biến dạng- chuyển vị Error!

Bookmark not defined.

2.3. Ứng dụng tenxơ trong bài toán vỏ mỏng ........ Error! Bookmark not defined.

2.3.1 Trình bày lý thuyết vỏ mỏng đàn hồi ........... Error! Bookmark not defined.

2.3.2. Thành phần biến dạng của vỏ mỏng ............ Error! Bookmark not defined.

2.3.3. Phƣơng trình cân bằng ................................. Error! Bookmark not defined.

2.3.4 Khai triển cho vỏ trụ, vỏ cầu ........................ Error! Bookmark not defined.

1

TỔNG QUAN

Tenxơ là một khái niệm trong toán học phục vụ cho việc thiết lập và giải quyết

các vấn đề vật lý trong nhiều lĩnh vực nhƣ cơ học môi trƣờng liên tục, lý thuyết đàn

hồi, lý thuyết tƣơng đối rộng… Tenxơ lần đầu tiên đƣợc nghiên cứu bởi các nhà

toán học Tullio Levi-Civita và Gregorio Ricci- Curbastro cùng một số nhà toán học

khác. Trong luận văn này tenxơ đƣợc sử dụng để biểu diễn quan hệ ánh xạ giữa các

tập véctơ hình học.

Để giải các bài toán trong lý thuyết đàn hồi ngƣời ta thƣờng sử dụng hệ các

phƣơng trình cân bằng, phƣơng trình chuyển động, hệ thức Côsi liên hệ biến dạng -

chuyển vị. Việc thiết lập các phƣơng trình đó dựa trên các hệ tọa độ cong nhƣ hệ tọa

độ trụ, hệ tọa độ cầu ,….là tƣơng đối phức tạp. Vì vậy trong các bài báo hay các

giáo trình cơ học nói chung thƣờng chỉ nêu ra trực tiếp phƣơng trình cân bằng, hệ

thức Côsi mà không nói rõ các bƣớc biến đổi để thu đƣợc kết quả.

Luận văn trình bày rõ ràng các khái niệm, phép tính cơ bản, các phép biến đổi

của tenxơ. Trên cơ sở đó vận dụng các phép tính của tenxơ để xác định các phƣơng

trình liên hệ biến dạng - chuyển vị, các phƣơng trình cân bằng- chuyển động trong

hệ tọa độ cong bất kỳ. Từ kết quả trên sau khi biến đổi, tác giả đã thu đƣợc các

phƣơng trình liên hệ biến dạng – chuyển vị cũng nhƣ hệ phƣơng trình cân bằng

trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu.

Luận văn bao gồm phần mục lục, tổng quan, hai chƣơng, phần kết luận và tài

liệu tham khảo. Nội dung chính của luận văn bao gồm:

- Chƣơng 1 trình bày khái niệm, thành phần vật lý của tenxơ, một số phép tính

của tenxơ và đạo hàm hiệp biến của ten xơ hạng nhất, hạng hai. Đồng thời

tác giả cũng trình bày cách biến đổi để thu đƣợc hệ véctơ cơ sở, tenxơ mêtric

hiệp biến và phản biến, các thành phần của kí hiệu Christoffel, hệ số Lamé

trong hệ tọa độ cong, cụ thể là hệ tọa độ trụ và cầu, từ đó giúp ích cho việc

xác định các phƣơng trình cân bằng- chuyển động, phƣơng trình liên hệ biến

dạng- chuyển vị ở chƣơng 2.

2

- Chƣơng 2 vận dụng các hệ thức cơ sở của phép tính tenxơ để xây dựng các

phƣơng trình cân bằng- chuyển động và xây dựng các phƣơng trình liên hệ

biến dạng- chuyển vị. Đồng thời cũng trình bày ứng dụng của tenxơ trong bài

toán vỏ mỏng, cụ thể hơn là áp dụng khai triển cho vỏ trụ và vỏ cầu.

Nội dung của luận văn sẽ đƣợc trình bày chi tiết dƣới đây:

3

Chƣơng 1 - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ

1.1 Một số khái niệm cơ bản

Định nghĩa

Tenxơ là trƣờng hợp riêng của hệ thống phần tử, các thành phần của hệ là hằng số

hoặc là hàm số xác định trong hệ cơ sở đã cho, với phép biến đổi tuyến tính của hệ

cơ sở các thành thay đổi theo một quy luật xác định.

Hệ thống kí hiệu

Các kí hiệu trong hệ thống đặc trƣng bởi một hay nhiều chỉ số trên và dƣới.

Ví dụ nhƣ .

Theo quy ƣớc: các chỉ số bằng chữ la tinh lấy cá giá trị 1,2,3. Ví dụ, nếu kí hiệu

nghĩa là biểu thị 1 trong 3 phần tử biểu thị 1 trong 9 phần tử

, , , ,

Hạng của tenxơ

Hạng của tenxơ xác định bằng số lƣợng chỉ số trong kí hiệu tenxơ. Nhƣ phụ thuộc

vào một chỉ số nên là hệ thống hạng 1 bao gồm 3 hạng tử. phụ thuộc vào 2

chỉ số nên là hệ thống hạng 2 bao gồm phần tử.

Tổng quát: hệ thống phụ thuộc n chỉ số là hệ thống hạng n gồm phần tử.

Quy ƣớc về chỉ số

Chỉ số trong hệ thống tenxơ tuân theo quy ƣớc: “ Trong một biểu thức, nếu chỉ số

lặp lại 2 lần , nó biểu thị tổng đó từ 1 đến 3”. Chỉ số nhƣ vậy là chỉ số câm nên nó

có thể thay bằng chữ khác.

Ví dụ:

Hệ thống đối xứng

Xét hệ thống hạng hai

4

Nếu thay đổi chỗ của 2 chỉ số cho nhau, các thành phần của hệ thống không thay

đổi dấu giá trị thì hệ thống gọi là hệ thống đối xứng.

.

Nếu thay đổi vị trí của 2 chỉ số cho nhau, thành phần của hệ thống chỉ thay đổi dấu

mà không thay đổi giá trị tuyệt đối thì hệ thống là hệ thống phản đối xứng.

Ví dụ hệ thống Kronecker

nếu

nếu là hệ thống đối xứng

Mở rộng cho hệ có nhiều hệ số

Hệ thống đối xứng với hai chỉ số nào đấy, nếu thành phần của nó không thay đổi

khi đổi chỗ hai chỉ số đó cho nhau.

Ví dụ: Nếu hệ thống đối xứng theo 2 chỉ số thì

Hệ thống Levi-Civita là một hệ thống phản đối xứng hạng 3

khi 2 chỉ số bất kỳ bằng nhau

khi là hoán vị chẵn của các số 1, 2, 3.

khi là hoán vị lẻ của các số 1, 2, 3

Cụ thể: ,

,

Cách thành phần còn lại của .

Loại tenxơ

Loại tenxơ (phản biến, hiệp biến, hỗn hợp) đƣợc xác định bởi vị trí của chỉ số.

5

Hệ thống hạng hai gọi là tenxơ hiệp biến hạng hai.

Hệ thống hạng hai gọi là tenxơ phản biến hạng hai.

Hệ thống hạng hai gọi là tenxơ hỗn hợp hạng hai

1.2. Phép biến đổi tọa độ

1.2.1. Hệ tọa độ Đềcác

Xét trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc

với véc tơ cơ sở

(Hình 1)

là véctơ bán kính của

điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác.

Véc tơ đƣợc biểu diễn dƣới dạng

(1.1)

Xét điểm Q là lân cận của điểm P.

là độ dài bình phƣơng vô cùng nhỏ của

O

Hình 1.

6

Do trong hệ tọa độ Đềcác hệ các véctơ cơ sở là các véctơ đơn vị và

trực giao nên tích vô hƣớng =0 nếu , nếu nên .

Suy ra:

a. Các phép tính đối với tenxơ hạng nhất ( vectơ)

Xét một hệ thống có các thành phần trong hệ cơ sở .

Phép cộng

Nhân với một số

Nhân vô hƣớng

Nhân véctơ

Hay viết dƣới dạng:

7

Tích hỗn hợp

Tích tenxơ ( ký hiệu tích tenxơ là )

b. Các phép tính đối với tenxơ hạng hai. Tenxơ hạng cao

Đối với tenxơ hạng hai và tenxơ hạng cao, các phép tính cũng đƣợc thực hiện tƣơng

tự nhƣ đối với tenxơ hạng nhất.

Chú ý là phép tính cộng, trừ chỉ áp dụng đƣợc với các tenxơ cùng hạng và cùng

loại. Phép nhân có thể thực hiện với hai tenxơ có hạng bất kỳ.

Ví dụ: xét tenxơ hạng hai :

Phép cộng

Phép trừ

8

Phép nhân vô hƣớng

Tích tenxơ

Phép nhân( tích tenxơ) của các ten xơ dẫn đến tenxơ hạng cao hơn với chú ý sau các

phép cộng và nhân tenxơ, chỉ số dƣới vẫn là chỉ số dƣới, chỉ số trên vẫn là chỉ số

trên.

1.2.2. Hệ tọa độ cong

Hệ tọa độ cong với hệ véc

tơ cơ sở (Hình 2).

là véctơ bán kính

của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ

cong.

Biểu diễn véc tơ dƣới dạng :

Lấy điểm là lân cận của điểm .

O

Hình 2

9

Độ dài bình phƣơng của véc tơ vô cùng nhỏ đƣợc xác định bằng

Trong đó

Phép tính đối với vectơ

Cho hai véctơ và

Phép cộng, trừ

Tích vô hƣớng

1.2.3. Phép biến đổi tọa độ

Bán kính của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác biểu diễn dƣới

dạng:

Với các véc tơ cơ sở là không đổi.

Trong tọa độ cong bất kỳ, các biến liên hệ với tọa đồ Đề các trong

miền đang xét bằng phép biến đổi thuận nghịch liên tục vi phân đƣợc, đơn trị.

và

Jacôbiên của 2 phép biến đổi thuẩn nghịch đều khác không.

10

Ta có:

Suy ra 2 ma trận là nghịch đảo của nhau.

Ta kí hiệu :

hay

(1.3)

Các véctơ thay đổi từ điểm này sang điểm khác gọi là

hệ véctơ cơ sở hiệp biến của hệ tọa độ cong. Trong đó

là véc tơ tiếp tuyến với đƣờng tọa độ ;

là véc tơ tiếp tuyến với đƣờng tọa độ ;

là véc tơ tiếp tuyến với đƣờng tọa độ .

Cùng với hệ véctơ cơ sở , ta đƣa vào hệ véctơ cơ sở phản biến liên hệ theo hệ

thức sau

(1.4)

Nếu xét một lân cận vô cùng nhỏ của điểm P trong tọa độ cong, thì chuyển dịch vô

cùng nhỏ từ tới điểm cho ta vi phân vô cùng nhỏ của véc tơ bán

kính của điểm .

11

Tài liệu tham khảo

[1]. Đào Huy Bích(2000), Lý thuyết đàn hồi, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội.

[2]. Đào Huy Bích, Nguyễn Đăng Bích(2003), Cơ học môi trường liên tục, NXB

Đại Học Quốc Gia Hà Nội.

[3]. A. W. Joshi (1995), Matrices and Tensors in Physics, 3rd ed. Wiley.

[4]. D.A Danielson(2003), Vectors and Tensor In Engineering And Physics:

Second Edition, Westview Press.

[5]. Bernard Schutz (1980), Geometrical Methods of Mathematical Physics,

Cambridgr University Press.

[6]. Gantmacher FR (1959), The Theory of Matric, Chelsea Publishing Company,

New York.

[7]. Halmos PR (1958) Finite- Dimensional Vecctor Space, Van Nostrand, New

York.

[8]. I.N. Broustein, K.A. Semendyayev, G. Musiol,H. Muehlig (2004), Handbook

of Mathematics, Spinger, Berlin Heidelberg New York.

[9]. J.H. Heinbocked (2001), Introduction to Tensor Calculus and Continuum

Mechanics, Trafford Publishing.

[10]. Mikhail Itskow, Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers, Spinger

Dordrecht Heidelberg London New York.

[11]. Ralph Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu (1988), Tensor Analysis, and

Applications, 2nd ed, Springer-Verlag, New York.

[12]. R.Bishop, S.Goldberg (1980), Tensor Analysis on Manifolds, New York:

Dover.

[13]. R.Aris (1989), Vectors, Tensors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics,

New York: Dover.

[14]. Sokolnikoff IS (1964), Tensor Analysis, Theory and Applications to Geometry

and Mechanics of Continua, John Wiley & Sons, New York.