0

I ) MATEMATİK TEMELLER

A) TANIMLAR VE İŞLEMLER

B) KARTEZYEN DİFERANSİYEL OPERATÖRLER

C) YEREL DİK KOORDİNAT SİSTEMLERİNDE DİFERANSİYEL OPERATÖRLER

D) DIRAC DELTA FONKSİYONU

E) 1-BOYUTTA FOURIER DÖNÜŞÜMÜ

F) "MOMENTUM" UZAYI DEĞİŞKENLERİ

G) 3-BOYUTTA FOURIER DÖNÜŞÜMÜ

1

A) TANIMLAR ve İŞLEMLER

1. Vektörler ve Skalarlar

Vektörlerin ne olup, ne olmadıkları eğitimin değişik kademelerinde çekingen bir biçimde ve

azar azar öğretilen bir konudur. [ Boy ve yöne sahip nesne ] veya [ Sıralı 3 elemanlı küme ]

veya [ Konum: ( , , )r x y z gibi davranan ifade ] olarak sunulan vektör kavramının gerçek

tanımı ileride, uzay-zaman simetrileri konusunda yapılacaktır. Şimdilik bir vektörün

kartezyen bileşenleri kullanılarak = , ,x y zA A A A biçiminde ifade edildiği ile yetineceğiz.

2. İşlemler

Eşitlik için , , x x y y z zA B A B A B A B olması gerekir; toplama ve

çıkartma ise C , C , C x x x y y y z z zC A B A B A B A B ile

verilir. Çarpma ise üç başlık altında incelenecektir.

i) Bir sayı (skalar) ile çarpılma : , , x x y y z zB k A B k A B k A B k A

ii) Sonucu skalar olduğu için ‘Skalar çarpım’ olarak adlandırılan çarpım :

x x y y z zs A B A B A B A B

Bu işlemle ilintili bir kavram da A A A A olarak tanımlanan, vektörün boyu

veya Norm’udur. ˆ A

AA

da ‘Birim vektör’ olarak adlandırılır. Bu adın gerekçesi

ˆ ˆ 1A A sağlayarak, birim Norm’a sahip oluşudur.

iii) Sonucu vektör olduğu için ‘Vektörel çarpım’ olarak adlandırılan çarpım :

, , x y z z y y z x x z z x y y xC A B C A B A B C A B A B C A B A B

Bu işlemin B A A B özelliği ve dolayısıyla 0A A oluşu dikkat

çekmektedir. Genellikten ayrılmadan A vektörü x-yönünde , B vektörü ise x-y

2

düzleminde olacak şekilde kartezyen koordinat sistemi yeniden yönlendirilerek

, 0 , 0A A ve cos , sin , 0B B B seçimi yapılınca cos A B AB

olduğu görülür. , 0A B için 0A B oluşu cos 0 90 , 270o o

veya A ve B ’nin birbirine dik olduğunun göstergesidir. Aynı yaklaşımla A B

vektörünün boyu sin AB , yönü ise hem A hem de B ’ye dik olmaktadır.

Toplama ve skalar ile çarpılma kuralları uyarınca herhangi bir A vektörünün

, , 1,0,0 0,1,0 0,0,1x y z x y zA A A A A A A olarak yazılması sonucu kartezyen

birim vektörleri bulunur : ˆ ˆ ˆ 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1x y z .

3. Geometri

Yukarıda incelenen özellikler bazı geometrik kavramların karakterleri hakkında ipuçları verir.

Mesela düzlem polar koordinatlarda 1 tany

x

olarak tanımlanan açı’nın

diferansiyeli 2 2 2 2

2

1

1

x dy y dx x dy y dxd

y x x yx

olarak yazılınca pay’daki

ifadenin r dr , payda’nın ise 2r olduğu görülür. Bu da d ’nin bir vektör olduğuna

ve 2

ˆ = =

r dr r drd

r r

ile verildiğine işaret etmektedir, dolayısıyla

ˆ 2

r dr d dd d

r r r

sağlanır.

Diğer geometrik kavramları da sonsuz küçük vektörlerle inşa etmek mümkündür :

Uzunluk : d ; Yüzey : 1 2 dS d d

Hacım : 1 2 3 dV d d d

ve son olarak da Katı Açı : 2 2 2

ˆ 4

dS dSr dSd

r r r

olarak

tanımlanırlar.

3

4. Alanlar

Eğer bir skalar belli bir uzay parçasının her noktasında tanımlı ise r olur ve bir

‘Skalar alan’ olarak adlandırılır. Aynı durum W W r olan bir vektör için geçerli ise bu

sefer bir ‘Vektör alanı’ söz konusudur. Bir odadaki sıcaklık dağılımı , ,T x y z , bir skalar

alana, İstanbul boğazındaki su akıntısının hız dağılımı v v , ,x y z ise bir vektör alana

örnektir.

B) KARTEZYEN DİFERANSİYEL OPERATÖRLER ( DO )

1.

Matematik eğitiminin ilk aşamalarında kolaylık sağlaması açısından bağımsız değişken

sayısının az tutulması, hatta 1 ile sınırlanması doğaldır. Ancak içinde yaşadığımız Uzay-

Zaman, problemlere gerçekçi bir yaklaşım için 3 + 1 = 4 bağımsız değişkeni zorunlu

kılmaktadır. Zaman değişkeni biraz ertelense bile gerçekçi bir geometrinin , ,r x y z

ile oluşturulması gerekir. Herhangi bir , ,r x y z fonksiyonunun diferansiyeli

d dx dy dzx y z

olarak yazılınca, ilk akla gelen bu ifadeyi biri

, ,dr dx dy dz vektörü olmak üzere, iki vektörün skalar çarpımı olarak yorumlamak

olacaktır. Diferansiyel , , , ,d dx dy dzx y z

olarak yazıldığında ortaya

çıkan , , x y z

vektör görünümlü ifade sembolü ile gösterilir. Biraz

soyutlama yapılarak “Nabla” diferansiyel operatörü , ,x y z

olarak

tanımlanır.

4

Her 3 bileşenli ifadeye vektör denemez ancak , ,x y z

için bu yakıştırmanın

geçerli olduğunun ispatı, bölüm sonunda problem olarak verilecektir.

2. A ve A

Elde böyle bir vektör diferansiyel operatör olunca herhangi bir

, , x y zA r A r A r A r vektör alanı ile oluşturulacak

yx z

AA AA

x y z

veya

ˆ ˆ ˆ

x y z

x y z

Ax y z

A A A

işlemlerinin de

tanımlanması doğaldır.

3. 2 ve 2 A

Son olarak A ve A işlemlerinin bileşimi olan 2

tanımlanır. Dönmeler altında değişmeyen 2 2 2

2

2 2 2

x y z

, Laplace operatörü

olarak adlandırılır ve geniş uygulama alanı vardır. Bu operatörün sadece skalarlara değil,

2 A Z olarak vektörlere de etki edebileceği görülmektedir.

4. Vektör DO Çiftleri

, , işlemlerinin iki tanesinin üstüste uygulanmasından sadece beş geçerli ve

anlamlı ifade elde edilir :

2 , , , , A A A .

5

0 , 0A olduğu kolayca gösterilir. Geri kalan üçü ise

aralarında 2 A A A özdeşliğini sağlarlar.

C) YEREL DİK KOORDİNAT SİSTEMLERİNDE DO

1. Jacobian

Kartezyen koordinat sistemlerinin en önemli özelliği birim vektörlerin yönlerinin konumdan

bağımsız olmasıdır; dolayısıyla herhangi bir noktadaki x ile, bambaşka bir noktadaki y

birim vektörleri ˆ ˆ 0x y , ˆ ˆ ˆ x y z benzeri eşitlikleri sağlarlar. Ancak doğanın

simetrileri açısından kartezyen koordinatlar her zaman elverişli değildir. Mesela kartezyen

koordinatlarda küre denklemi 2 2 2 2 x y z R iken küresel koordinatlarda tek

değişken cinsinden r R olarak yazılır. Kartezyen dışı 1 2 3, ,q q q koordinat sistemleri

oluştururken yeni koordinatların en azından yerel olarak dik olma şartı aranacaktır. Böylece

verilen bir noktada 1 2ˆ ˆ 0q q , 1 2 3

ˆ ˆ ˆ q q q ve benzeri ifadeler geçerliliğini

koruyacaktır. Kartezyen koordinatlar: 1 2 3, , , ,x y z r r r ’ dan yerel dik koordinatlar

1 2 3, ,q q q ’e geçerken başlangıç noktası ; , 1,2,3j j iq q r i j tanımları ve

bunların ters yüz edilmesi sonucu erişilen ; , 1, 2,3i i jr r q i j ifadeleri olacaktır.

Bu aşamada koordinat sistemi değişikliğinin alanları ve hacımları kaçınılmaz bir biçimde

yamulttuğu hesaba katılmalıdır. x-y düzleminde : 3,4 , : 4,3P Q noktalarının

kartezyen koordinatlarda akla getirdiği alan 3 , 4 , 3 , 4x x y y

doğrularının belirlediği 1 birimlik alandır. Öte yandan aynı noktalar polar koordinatlarda

: 5 , 53 , : 5 , 37o oP r Q r olarak ifade edildikleri için 5r eğrisi

ve 53 , 37o o doğruları arasında hiç bir alan kalmadığı görülür. Ancak iki

koordinat sisteminde de PQ uzaklığının 2 olması doğru çözüm yolunu göstermektedir:

koordinat sistemleri değişse bile iki nokta arasındaki uzaklık aynı kalır. Dolayısıyla çıkış

noktası çok yakın iki nokta arasındaki uzaklığın, veya uzaklık karesinin, değişmezliği olacaktır.

6

1 2 3

1 2 3

x x x

dx dq dq dqq q q

ile dy ve dz için yazılacak benzeri ifadeler

matris gösteriminde

1

1 2 3

2

1 2 3

3

1 2 3

=

x x xdqdx

q q q

y y ydqdy

q q q

z z zdqdz

q q q

biçiminde özetlenebilir.

Kısmi türevlerden oluşan 3 3 matris “Jacobian” olarak adlandırılır ve J ile gösterilir.

İki nokta arasındaki uzaklığın karesi 1

1 2 3 2

3

dx dq

dx dy dz dy dq dq dq dq

dz dq

J J

olarak yazılırsa, koordinat sisteminin yerel dik olma şartının J J çarpımının pozitif ve

diyagonal bir matris olmasına eşdeğer olduğu anlaşılır.

2. Metrik Fonksiyonları ve Birim Vektörler

Pozitif ve diyagonal bir matris olan “Metrik” matrisi G ise 2

i ijij

h G olmak

üzere G J J olarak tanımlanır ve dx

dx dy dz dy

dz

ifadesi de

1 1

1 1 2 2 3 3 2 2

3 3

h dq

h dq h dq h dq h dq

h dq

biçimini alır. Böylece dx dy dz ’nin yerini alacak

uzunluklar i i id h dq olmaktadır. Bu noktada yerel dik koordinat sistemlerinde hacım

elemanının 1 2 3 1 2 3 1 2 3 d d d h h h dq dq dq , alan vektör elemanlarının da

2 3 2 3 3 1 3 1 1 2 1 2 , , h h dq dq h h dq dq h h dq dq ile verileceği görülmektedir.

1 11 12 13

2 21 1 22 2 23 3

3 31 32 33

= = +

dx dq j j j

dr dy dq j dq j dq j dq

dz dq j j j

J ve

7

31 2

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 2 3

1 1 1

xx x

qq q

y y yd d d

h q h q h q

z z z

q q q

eşitliklerinin

karşılaştırılmasından 1

ˆ

i

i

i i

i

x

q

yq

h q

z

q

olduğu anlaşılır.

Dolayısıyla en kestirme yol : sonucun birim vektör olacağı bilindiğine göre Jacobian

matrisinin sütunlarını normalize ederek ˆiq birim vektörlerini bulmak, normalizasyon için

gerekli bölmeyi yaparken kullanılan ifadeyi de ih olarak belirlemektir.

3. Alternatif Tanım

Kartezyen koordinatlarda tanımlanan diferansiyel operatör işlemlerini yerel dik

koordinatlarda da ifade edebilmek için 31 2

1 2 3

qq q

x x q x q x q

benzeri kısmi türev zincir kuralları kullanmak uzun ve zahmetli bir yoldur. Bunun yerine

1 2 3

1 2 3

d dr dq dq dqq q q

ile verildiğine ve

1 1 2 2 3 3 , , dr h dq h dq h dq olduğuna göre

1 1 2 2 3 3

1 1 1 , ,

h q h q h q

olarak kolayca yazılır.

8

4. A ve A Alternatif Tanımları

Ancak A ve A ifadeleri için kestirme bir geometrik yaklaşım benimsenerek

dS kapalı bir yüzey üzerindeki alan elemanı, V de bu kapalı yüzeyin içinde kalan hacım

olmak üzere 0

V

A dSA

VLim

ve

d kapalı bir eğri boyunca yol elemanı, S de bu kapalı eğrinin içinde kalan alan olmak

üzere 0

ˆ S

A dA S

SLim

kullanılır. Uzun ancak basit işlemler sonucu

2 3 1 3 1 2 1 2 3

1 2 3 1 2 3

1

h h A h h A h h AA

h h h q q q

ve

1 1 2 2 3 3

1 2 3 1 2 3

1 1 2 2 3 3

ˆ ˆ ˆ

1

h q h q h q

Ah h h q q q

h A h A h A

bulunur.

Karmaşık hesaplarda emniyet açısından başlangıç noktasının

1

2 3

q

h h 2

3 1

q

h h 3

1 2

q

h h

A = 1q

2q

3q

1 1h A 2 2h A 3 3h A

olması tavsiye edilir.

9

5. 2 Alternatif Tanım

Laplace operatörü 2 ise

2 2 3 3 1 1 2

1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3

1

h h h h h h

h h h q h q q h q q h q

olmaktadır;

ancak bu operatörün gereğinde vektörlere de etkili olacağı unutulmamalıdır.

6. İki Temel Teorem

0

V

A dSA

VLim

eşitliği 0V koşulundan dolayı yerel bir ifadedir.

Öte yandan komşu iki hacmın ortak duvarlarından birinde pozitif olan A dS , ötekisinde

negatif olacağı için net katkı sıfır olur. Bu işlem ortak duvarı olmayan sınıra kadar

sürdürülerek, yerelden globale bir genelleme sağlanır ve V S

A dV A dS elde

edilir. Aynı mantıkla S

A dS A d olmaktadır.

7. Elektrodinamik İçin Notasyon Uyarısı

Küresel koordinatlarda bir merkez noktasından uzaklığı ifade eden r değişkenini, silindir

koordinatlarda z-ekseninden uzaklığı ifade etmek için de kullanmak karışıklığa yol açar.

Genelde ile gösterilen bu değişken, elektrodinamikte yük yoğunluğu sembolü olarak da

işlev yaptığı için silindir koordinatlarda yerine s kullanmak gerekir.

D) DIRAC DELTA FONKSİYONU

x Dirac Delta Fonksiyonu : 0 0

0

xx

x

; 1dx x

;

10

x x sağlayan bir ifadedir. f x x a f a x a ve

xax

a

özellikleri kolayca gösterilir. f x x a f a x a oluşu

dx f x x a f a

delta fonksiyonunun eleme özelliğine yol açar.

f x ifadesini 0of x sağlayan bir ox noktası etrafında değerlendirmek

için Taylor açılımı . . .o o of x f x f x x x kullanılıp

. . .

o

o o o

o

x xf x f x f x x x

f x

elde edilir. 0f x

denkleminin tüm çözümleri göz önüne alınınca da

1

Nn

n n

x xf x

f x

,

mesela 0a için 2 2

2 2

x a x ax a

a a

bulunur.

0 < 0

1 0

x xdx x U x

x

eşitliği Dirac Delta ve Birim Basamak fonksiyonları

arasındaki ilişkiyi belirler. Delta fonksiyonunun türev temsili doğal olarak

dU x

xdx

olmaktadır. Delta fonksiyonunun integral temsili için ise sonucu

sıçrama yapan bir belirli integral seçilip, türev alınır :

sin = 2 1

kxdk SGN x U x

k

sonucunun türevi

cos 2 dk kx x

verir. Bu sonuca sin 0i dk kx

eklenerek

1

exp2

x dk ikx

, veya daha genel

1

exp2

x x dk ik x x

integral temsili bulunur.

11

E) 1-BOYUTTA FOURIER DÖNÜŞÜMÜ

Dirac delta fonksiyonunun eleme özelliği f x dx x x f x

ve integral temsili 1

exp2

x x dk ik x x

kullanılarak

1 1

exp exp 2 2

f x dk ikx dx ikx f x

elde edilir. Bu noktada

1

exp 2

f k dx ikx f x

: Fourier dönüşümü ,

1

exp 2

f x dk ikx f k

: Ters Fourier dönüşümü

tanımları yapılır.

Önemli bir uyarı : Zaman-Frekans eşlenik değişken çiftinin Fourier dönüşüm formüllerinde

Minkowski metriğinden kaynaklanan bir işaret farkı vardır ve

Fourier dönüşümü : 1

exp 2

f dt i t f t

,

Ters Fourier dönüşümü : 1

exp 2

f t d i t f

ile verilir.

Daha soyut bir yaklaşım : , f x x f f k k f tanımlarından yola

çıkarak ve , dx x x dk k k

1 1 Tamamlık bağıntıları ve

exp exp

2 2

ikx ikxx k k x

özdeşliklerini kullanarak

1

exp 2

f k k F dx k x x f dx ikx f x

(Fourier)

12

1

exp 2

f x x f dk x k k f dk ikx f k

(Ters Fourier)

dönüşümlerini elde etmektir.

F) "MOMENTUM" UZAYI DEĞİŞKENLERİ

Kuantum fiziğinin yanısıra elektrodinamik hesaplarda da, konum uzayı kadar "momentum"

uzayına gerek vardır. İki uzay arasında geçişleri sağlayan dönüşümler, 3 katlı integraller

olarak karşımıza çıkar. Bu yüzden bunlarda yer alan exp i k r teriminin veya kısaca

k r ifadesinin değişik koordinat sistemlerinde yazılışı çok önemlidir. Kartezyen

koordinatlarda , , , , , x y z x y zr x y z k k k k k r k x k y k z kolayca

yazılır. Ancak yerel dik sistemlerde momentum koordinatlarını dikkatle tanımlamak gerekir.

Silindir koordinatlarda cos , sin , r s s z oluşuna paralel olarak

cos , sin , zk k biçiminde tanımlanır ve cos zk r s k z

elde edilir. Küresel koordinatlarda ise sin cos , sin sin , cosr r r r

oluşuna paralel olarak sin cos , sin sin , cosk k k k biçiminde

tanımlanır ve sin sin cos cos cosk r r k elde edilir. İncelenen

problemlerin simetrileri bu karmaşık ifadeleri integral aşamasında basitleştirecek olsa da yola

en genel biçimlerle başlamak, simetrileri kullanarak ifadeleri kademe kademe basitleştirmek

en sağlıklı yoldur. Diğer bir önemli bilgi ise exp i k r ifadesinin küresel koordinatlarda

küresel harmonikler ve hatta Legendre polinomları kullanarak açılımını veren Rayleigh

bağıntısıdır : *

0

ˆˆexp 4 m m

m

i k r i j kr Y r Y k

0

ˆˆ 2 1 i j kr P r k

.

13

G) 3-BOYUTTA FOURIER DÖNÜŞÜMÜ

3-Boyutta, benzer yaklaşımlarla elde edilen

3

32

1 exp

2f k d r ik r f r

: Fourier dönüşümü ,

3

32

1 exp

2f r d k ik r f k

: Ters Fourier dönüşümü

formülleri geçerli olacaktır. Önemli bir nokta: kartezyen olmayan koordinat sistemlerinde

momentumun da uzay koordinatlarından ayrı ve kendine has yön değişkenleri olması

gereğidir. Yukarıda değinildiği gibi silindir koordinatlarda

cos , sin , r s s z ve cos , sin , zk k ,

küresel koordinatlarda ise sin cos , sin sin , cos r r r r

sin cos , sin sin , cos k k k k kullanmak gerekir.

3-Boyutta Fourier dönüşümlerinin önemli bir özel hali küresel simetriye sahip fonksiyonların

dönüşümleridir. f r f r durumunda

3

32

1 exp

2f k d r ik r f r

integralinde 3 , , d r k r r skalar

oldukları için f k de skalar olmak zorundadır ve f k f k olur.

Sonuç k 'nın yönünden bağımsız olduğu için, genellikten ayrılmadan 0 , 0 , k k

alınır ve

1

2

3 1 02

1 exp

2f k d dw r dr ikrw f r

0

2 1 sin r dr kr f r

k

elde edilir.

14

Bu özel durum Hankel dönüşümü olarak adlandırılır ve

0

2 1 sin f k r dr kr f r

k

: Hankel

0

2 1 sin f r k dk kr f k

r

: Ters Hankel

dönüşüm formülleri kullanılır. Bazı önemli ve yararlı Hankel dönüşümleri tablo olarak

aşağıda verilmektedir:

f r f k

2

4

rr

r

3

2

1

2

exp r

r

2 2

2 1 k

exp oik r

r 2 2

2 1

ok k

1

r

2

2 1 k

15

PROBLEMLER

P.1 ) Konum bileşenleri, dönme işlemi altında = R R 1 (3) SO R

sağlayan bir dönme matrisi yardımıyla =

dx dx

dy dy

dz dz

R olarak dönüşür.

Vektörlerin "Dönmeler altında konum gibi davranan ifade" tanımından yola çıkarak, konum

bileşenlerine göre türevlerin de =

x x

y y

z z

R biçiminde

dönüştüklerini, dolayısıyla 'Nabla Operatörü'nün de bir vektör olduğunu ispat edin.

P.2 ) 0A olduğunu, dolayısıyla 0B durumunda B A

yazılabileceğini gösterin.

P.3 ) 0 olduğunu, dolayısıyla 0E durumunda E V

yazılabileceğini gösterin.

P.4 ) 2 W W W özdeşliğini ispatlayın.

P.5 ) Bir vektör alanı W r , , , o o o or x y z noktasında , , oW F G H

değerini alıyor. oW vektörünün silindir koordinat bileşenlerini hesaplayın.

16

P.6 ) Bir vektör alanı W r , , , o o o or x y z noktasında , , oW F G H

değerini alıyor. oW vektörünün küresel koordinat bileşenlerini hesaplayın.

P.7 ) cos , sin , x s y s z z olarak tanımlanan , , s z

silindir koordinatlar için , , s zh h h metrik fonksiyonlarını , ˆˆ ˆ , , s z birim

vektörlerini , , W , W , 2 ifadelerini elde edin.

P.8 ) sin cos , sin sin , cos x r y r z r

olarak tanımlanan , , r küresel koordinatlar için , , rh h h metrik

fonksiyonlarını , ˆ ˆˆ , , r birim vektörlerini , , W , W , 2

ifadelerini elde edin. 2 ifadesini cos w kullanarak yeniden yazın.

P.9 ) 2 2

, , 2

x y z z

olarak tanımlanan , , z silindir

parabolik koordinatlar için , , zh h h metrik fonksiyonlarını , ˆ ˆ ˆ , , z birim

vektörlerini , , W , W , 2 ifadelerini elde edin.

P.10 ) 2 2

cos , sin , 2

x y z

olarak tanımlanan

, , parabolik koordinatlar için , , h h h metrik fonksiyonlarını ,

ˆ ˆˆ , , birim vektörlerini , , W , W , 2 ifadelerini elde

edin.

17

P.11 ) 1 1

2 22 2 2 2 , , x y y x y y z z

koordinat sisteminde , , zh h h metrik fonksiyonlarını , ˆ ˆ ˆ , , z birim

vektörlerini , , W , W , 2 ifadelerini elde edin; 2 0

Laplace denklemini exp zZ z ik z özel durumu için 'Değişkenlerine Ayrıştırın' .

P.12 ) z x iy kompleks değişkeni kullanarak yazılan 2

* 0

z z

DD 'ini

basitleştirin.

P.13 ) A B ifadesinin açılımını yapın.

P.14 ) ctn ˆ D r

r

için D ifadesini hesaplayın.

P.15 ) cos , sin x r y r , cos , sin x yk k

Düzlem Polar koordinatlarda SO(2) simetrisine sahip , f r f r fonksiyonunun

Fourier dönüşümü ( 2-Boyutta Hankel dönüşümü ) formülünü elde edin.

İpucu : 0

1 cos sinnJ d n

P.16 ) f k g k h k çarpımının Ters Fourier dönüşümünü Dirac gösterimi kullanarak

yapın ve 1

2

f g h x dx dx f x x x g x h x

Çifte Katlama ifadesini elde edin.

18

P.17 ) a) k V B vektör çarpım ifadesinde, bir x

y

z

V

V

V

vektörüne etki edecek

k işleminin

0

0

0

z y

z x

y x

k k

k k

k k

matrisi ile temsil edilebileceğini gösterin,

b) 1 V B V B k k çözümünün mümkün olmadığını gösterin,

c) k V c skalar çarpım ifadesinde ise k işleminin matris temsilinin

x y zk k k olduğunu gösterin,

d) son olarak iki işlemi bir arada ele alıp k V B denkleminin bir bileşenini feda edip,

onun yerine k V c denklemini yerleştirerek elde edilen, mesela 0zk için

0

0

z y x x

z x y y

x y z z

k k V B

k k V B

k k k V c

matris denkleminden V vektörünü elde edin.

İpucu : e.g.

2 2

2 2

2 2 2

2

1 =

x y y z z xx x

y z x x y y z y

z x y z

z y z z x z

k k k k k kV B

V k k k k k k Bk k k k

V ck k k k k

Bu 'Teklik' şartını taşımıyan çözüm, bir anlamda V ve V verilince, V

vektörünün elde edilebileceği konusunda (Helmholtz teoremi) umut vermektedir.