I N U G ESTRUCTURAS IA E N APUNTE DE CLASE I L Tangenciales... · TEOREMA DE CAUCHY O DE RECIPROCIDAD Considérese en la figura 4 el elemento plano de dimensiones dx y dy y espesor

I

N

G

E N I E R I

A

TENSIONES TANGENCIALES DEBIDAS AL ESFUERZO DE CORTE

ESTRUCTURAS IA

APUNTE DE CLASE

U

N

L

P

ING. ASDRÚBAL E. BOTTANI

AÑO 2005

Piet Mondrian, Cuadro Nro 1 Basilea, Colección privada

FACULTAD DE INGENIERIA - UNLP DEPTO. DE CONSTRUCCIONES - CATEDRA DE ESTRUCTURAS I A APUNTE DE CLASE

AÑO 2005 1

INDICE 1. ALCANCE 1 2. INTRODUCCION 1 3. TEOREMA DE RECIPROCIDAD 5 4. SECCION RECTANGULAR 7 5. SECCION CIRCULAR 11 6. SECCIONES DE ESPESOR DELGADO

6.1 HIPOTESIS GENERALES 13

6.2. SECCION ABIERTA CON SIMETRIA BIAXIAL 16

6.3. SECCION CERRADA CON SIMETRÍA UNIAXIAL

PLANO DE CARGA SEGUN EL EJE DE SIMETIA 21

6.4. SECCIONES ABIERTAS DE SIMETRIA UNIAXIAL

PLANO DE CARGA NORMAL AL EJE DE SIMETRÍA 27

6.5 CENTRO DE CORTE 30 7. EJEMPLO NUMERICO 33 8. BIBLIOGRAFÍA 39


AÑO 2005 2

1.- ALCANCE: El objeto de este apunte es presentar el estado tensional que aparece en las secciones normal y longitudinal de un elemento estructural sometido a flexión recta con esfuerzo de corte no nulo. Se presentará una descripción general del fenómeno en el caso de las secciones macizas y luego se prestará particular atención al caso de las secciones de espesor delgado, en las cuales se estudiará no solamente la distribución tensional, sino también los efectos que produce la asimetría de la sección transversal. 2.- INTRODUCCIÓN: Considérese el caso de una viga de longitud L simplemente apoyada en los extremos A y B, como la de la figura 1, sometida a la acción de una carga P en la mitad de la luz. En la figura se observan las reacciones en A y B iguales a P/2, y los diagramas de esfuerzos característicos Qy y Mz, tomando como ejes de referencia locales al eje x coincidente con el eje longitudinal de la viga y los ejes z e y los ejes principales de inercia de la sección. El plano de cargas coincide con el eje y:

FIGURA 1 Analizando un elemento de longitud dx como el indicado en la figura, se observa que la cara a la distancia x está solicitada por la acción de un momento flector Mz, mientras que la cara a la distancia x+dx está solicitada por la acción de ese momento flector Mz incrementado en la cantidad dMz en razón de la presencia del esfuerzo de corte Qz. Muchos autores llaman a este estado de solicitación como flexión transversal, para distinguirlo del caso de la flexión simple en la cual el esfuerzo de corte es nulo.

En la figura 2 se indican el diagrama de tensiones normales σx que se obtiene aplicando las fórmulas deducidas para el caso de la flexión simple para materiales con un comportamiento elástico lineal (ley de Hooke), según la hipótesis de Bernoulli-Navier de conservación de las secciones planas antes y después de la deformación. Se observa que el diagrama que se obtiene para la cara x+dx difiere con el de la cara x en que fibra a fibra las tensiones se han incrementado en un dσ de acuerdo con el incremento registrado del momento flector dMz.


AÑO 2005 3

σ σ σ

FIGURA 2

Nuevamente cortando el elemento esta vez con un plano paralelo al plano x-z que pasa por la sección a una altura y del baricentro como se muestra en la figura 3a, se observa que la resultante de las tensiones normales F sobre la cara a la distancia x, es menor que la resultante de las tensiones normales F+dF sobre la cara x+dx. Si embargo el elemento bajo análisis debe estar en equilibrio pues es parte de un conjunto estructural que está en equilibrio. Resulta entonces evidente que para que efectivamente se cumpla el equilibrio debe existir una fuerza FQ aplicada en la sección longitudinal que está a la altura y que equilibre la fuerza resultante dF:

dx

σ σ σ

FQ

ab

dc

F F+dF

F

F+dF

y

x Gz

GM M+dMG

Qy Qy

b(y)

FIGURA 3A FIGURA 3B

La fuerza FQ es la resultante de tensiones que actúan en el plano de la sección longitudinal abcd y están orientadas según el eje x. Este tipo de tensiones que actúan en el plano de la sección se denominan tensiones tangenciales y se identifican por la letra τ, con dos subíndices: el primero indica el eje normal a la sección donde actúan, en este caso el y, y el segundo el eje en la dirección según la cual actúan, en este caso el x, es decir que esta es una tensión τyx . Es importante destacar que estas tensiones están actuando en una sección longitudinal


AÑO 2005 4

Hipótesis : La fuerza FQ se distribuye uniformemente en la sección longitudinal abcd.

Por lo tanto el valor de la tensión τxy se puede calcular si se conociera FQ de la siguiente forma: τxy: FQ/Aabcd

τyx = FQ (1) b(y) dx Planteando entonces el equilibrio en la dirección longitudinal se tiene: FQ = dF con dF = ∫A dσdA ymáx τyx b(y) dx = ∫ dσ dA (2) y1 Siendo dσ = dM y Jz

Como dM es independiente de la variable y, lo mismo que Iz, estos dos factores salen fuera de la integral, con lo que la ecuación (2) queda expresada de la siguiente forma

ymáx τyx b(y) dx = dM ∫ y dA (2a) Jz y1 La integral de la ecuación 2a no es otra cosa que el momento estático de la sección normal entre y1 e ymáx con respecto al eje baricéntrico z: ymáx Sz = ∫ y dA (3) y1 Sz es el momento estático de la sección normal del elemento que tiende a deslizar longitudinalmente respecto del eje baricéntrico z. Por otro lado teniendo en cuenta las relaciones existentes entre el esfuerzo de corte Q y el momento flector Mz, se puede reemplazar dM por:

dMz = Qy dx Por lo tanto la tensión buscada resulta:

τyx = Qy Sz (4) b(y) Jz

La fórmula (4) es la fórmula de Colignon que da las tensiones tangenciales en una sección longitudinal

a una altura y1 del eje baricéntrico en función del esfuerzo de corte Qy que solicita a la sección normal.


AÑO 2005 5

3. TEOREMA DE CAUCHY O DE RECIPROCIDAD

Considérese en la figura 4 el elemento plano de dimensiones dx y dy y espesor unitario sometido a la acción de una tensión tangencial τyx en la cara cuya normal es paralela al eje y, y una tensión tangencial τxy en la cara cuya normal es paralela al eje x. En las caras a las distacias dx y dy actúan las respectivas tensiones tangenciales incrementadas en la variación dx y dy.

τxy+dτxy

τyx+dτyx

τyx

τxy

dx

dy dy

τyx+(δτyx/δy)dy

τyx

τxy

dx

τxy+(δτxy/δx)dx

FIGURA 4

Analizando el equilibrio de momento respecto al baricentro del elemento se puede escribir: τxy dy dx/2 + (τxy + (δτxy/δx)dx) dy dx/2 – τyx dx dy/2 – (τyx + (δτyx/δy)dy)dx dy/2 = 0

Desarrollando los paréntesis se observa que el producto dx dy dx/2 y dy dx dy/2 son diferenciales de orden superior que se pueden despreciar por lo que la ecuación resultante es: τxy dy dx/2 + τxy dy dx/2 – τyx dx dy/2 – τyx dx dy/2 = 0

que resulta:

τxy = τyx (5)


AÑO 2005 6

Conclusiones: 1.- La presencia de tensiones tangenciales en una cara implica necesariamente la presencia de

tensiones tangenciales de igual valor en la cara normal, determinando su sentido de manera que ambas concurren o divergen de la arista común. Este es el teorema de Cauchy o de reciprocidad.

2.- La integración de las tensiones τxy en toda a sección normal deben dar por resultante el

esfuerzo de corte Q que solicita a la sección. Qy =∫τxydA (6)

De esta manera en el caso de la figura 3b, la presencia de las tensiones tangenciales en las secciones longitudinales τyx implican necesariamente tensiones tangenciales en la sección transversal que se denotan por τxy, y que se calculan por la fórmula 4 deducida en el punto 2, resultando el estado tensional el que se indica en la figura 5A y 5B:

dx

σ σ σ

ab

dcσx

σx+dσx

y

x Gz

GM M+dMG

Qy Qy

b(y)

τxy

τyxτxy

τxyτyx

FIGURA 5A FIGURA 5B Consecuencias: De acuerdo al teorema de reciprocidad en los bordes libres de la sección las tensiones tangenciales deben tener la dirección de la tangente al borde pues si tuviera una componente según la normal, necesariamente debería haber una tensión tangencial sobre la superficie libre longitudinal de igual valor que esta componente, y dado que esta última es nula por ser la superficie libre de la pieza, lo debe ser la componente normal. 1.- En el caso de bordes no paralelos al eje “y” las tensiones tangenciales en la sección transversal deben tener la dirección de dicho borde y por lo tanto además de una tensión τxy, existe otra tensión τxz que desvíe la dirección de la resultante según dicha tangente.

2.- En los bordes superior e inferior de la sección, las tensiones τxy también deben anularse pues esos bordes son bordes libres.


AÑO 2005 7

En la figura 6 se visualizan los dos conceptos antes enunciados los cuales revisten gran importancia

para el tratamiento de las tensiones de corte en las secciones de espesor delgado que se verán en los próximos apartados.

ab

dcσx

σx+dσx

y

x Gz

b(y)

τxy

τyx

τxy

τxz

τxVer detalle

DETALLE TENSIONES EN EL BORDE:

COMPONENTE EN Z

COMPONENTE EN YRESULTANTE

BORDE SUP:τxy=0

BORDE INF:τxy=0

FIGURA 6 4. SECCION RECTANGULAR: Como primer ejemplo se estudiará el caso de la repartición de tensiones tangenciales en la sección rectangular de ancho b y altura h. La tensión tangencial τxy=τyx a una altura y respecto del eje baricéntrico z, viene dada por la fórmula (4):

τyx = Qy Sz b(y) Jz Sz es el momento estático respecto del eje baricéntrico de la parte de la sección normal comprendida entre las coordenadas y e ymáx, es decir del área transversal del elemento en el que se analiza el equilibrio longitudinal, que se ha sombreado en la figura 7b: Sz = b . (h/2 - y).yg1

Sz = b . (h/2 - y).(h/2 + y)/2 Sz = b . (h2/4 - y2)/2 De donde: τxy = Q b (h2/4 – y2)/2 b b.h3/12

τxy = 6Q (h2/4 – y2) (7) b.h3


AÑO 2005 8

Conclusiones:

1.- La ley de distribución de tensiones tangenciales τxy es parabólica (fórmula 7). 2.- El valor máximo se ubica en coincidencia del eje baricéntrico z que es el eje neutro en flexión simple. 3.- La integración de las τxy a toda el área de la sección normal da por resultado Qy

τxymáx: 6Qy h2/4

b h3

τxymáx: 3 Qy (7) 2 A En las figuras 7a y 7b se visualizan las conclusiones obtenidas

σ σ σ

τxy

y

x Gz

GM M+dMG

Qy Qy

b

σ

σ σ

τyxτyx

τxy

τxy

τxymáx

FIGURA 7A FIGURA 7B


AÑO 2005 9

Ejemplo E.1:

Compárese el momento admisible de una viga con el esquema de cargas de la figura 1 y sección normal rectangular compuesta por dos secciones de dimensiones b x h, cuando no exista vinculación entre ambas y cuando están vinculadas por pasadores separados longitudinalmente una distancia e:

En el primer caso ambas secciones se deforman en forma independiente la una de la otra, produciéndose un deslizamiento relativo en la superficie de contacto como se muestra en la figura 8a de forma que el momento admisible está dado por la suma de los momentos admisibles que son capaces de soportar cada una de las secciones individuales. En el segundo caso, figura 8b, el pasador impide el deslizamiento mutuo y hace que la sección compuesta se comporte como una única sección de dimensiones b x 2h. Pero como ahora el eje neutro se ubica en la superficie de potencial deslizamiento, el pasador debe absorber el esfuerzo de corte longitudinal que se había denominado FQ en la figura 3b producto de la tensiones de corte en la sección longitudinal.

P1

P1/2

P2

P2/2P2/2P1/2

e

FIGURA 8a FIGURA 8b En las figuras 9a y 9b se indican los diagramas de tensiones normales debidas a la flexión en el primer y segundo caso analizados respectivamente, observándose que en el caso 2 la tensión tangencial máxima se produce en correspondencia del eje neutro, por lo que el esfuerzo de corte longitudinal FQ en dicha sección es máximo.


AÑO 2005 10

h

b

h Madm1

σadmb

hh

σadm

Madm2

Q Qτxymáx

=τyxmáx

FIGURA 9a FIGURA 9b

Caso 1: Madm1 : σadm bh2/6 x 2 Madm1 : σadm bh2/3 P1: Madm1 4/L Caso 2: Madm2 : σadm b(2h)2/6 Madm2 : σadm 2bh2/3 : 2 Madm1 P2: Madm2 4/L : 2P1 Se observa que la capacidad de carga de la sección compuesta se duplica respecto a la que tienen las dos secciones actuando en forma independiente la una de la otra. Cálculo del esfuerzo en el pasador FQ: FQ: τyx b.e τyx: 3/2 Q/A τyx: 3/2 (P2/2)/(b.2h) FQ: 3 P2/(8bh)


AÑO 2005 11

5. SECCION CIRCULAR: Como se ha señalado en párrafos anteriores, en el caso de bordes libres por un cuestión de equilibrio las tensiones tangenciales en la sección normal deben tener la dirección tangente al borde. Esto trae como consecuencia que en el caso de secciones con bordes curvilíneos o no paralelos al eje y, debe haber necesariamente tensiones τxy y τxz. Para el estudio de la distribución de las tensiones tangenciales en la sección circular se formulan las dos hipótesis siguientes: 1.- Las tensiones τxy son constantes a una distancia y=cte del eje baricéntrico, es decir no varían con la coordenada z. 2.- Las tensiones τxz a una altura y = constante, varían con la coordenada z de manera que la resultante entre τxy y τxz en cada punto de la línea y=cte, se crucen donde se cruzan las tangentes al borde de la sección en esa coordenada y.

τxy

M

A Bτxz α

τxy

BA

M

α

b(y)

R R

b(y1)

α1

M

z

y

z

y

z

y

C

FIGURA 9A FIGURA 9B FIGURA 9C

La figura 9a resume las dos hipótesis formuladas: las tensiones tangenciales τxy son constantes en todo el segmento AB de coordenada y= cte. Por otro lado las tensiones τxz en cada punto C de ese segmento tienen un valor tal que la resultante entre τxy y τxz en C tenga la dirección CM siendo M el punto donde se cruzan las tangentes extremas en A y B. Se observa entonces que en el eje neutro las tensiones tangenciales resultantes son coincidentes con las tensiones τxy, y que por otro lado en el eje y, es decir z=0, las τxz son también nulas. Esto último resulta razonable si se consideran condiciones de simetría cuestión sobre la que se insistirá en más adelante.


AÑO 2005 12

El cálculo de las tensiones τxy se realiza de igual manera que para la sección rectangular, aplicando la fórmula (4):

τyx = Qy Sz (4) b(y) Jz

En este caso b es función de la altura y y Sz es el momento estático de la sección cuyo equilibrio longitudinal es el que se analiza, sección rayada en la figura 9b.

Observando la figura 9c se tiene:

El momento estático del área diferencial de ancho b(y1) y altura dy1 es:

dS : b(y1). dy1 . y1

Haciendo el siguiente cambio de variables: y1 : R cosα1 dy1: R senα1 dα1 b(y1): 2R senα1 Reemplazando en dS

dS : 2R senα1 R cosα1 Rsenα1dα1 dS: 2R3 sen2α1 cosα1 dα1

α

S: ∫0 2R3 sen2α1 cosα1 dα1 Sea u: senα1 y du: cosα1 dα1 Entonces : α S : ∫2R3u2du : 2R3 u3/3 : 2R3 (sen3α1) /3 : 2R3 (sen3α)/3 0

senα : (R2 – y2)1/2 y sen3α : (R2 – y2)3/2 R R3

S : 2/3 (R2 – y2)1/2 (a ) b(y) : 2R senα : 2R (R2 – y2)1/2 :

R b(y) : 2(R2 – y2)1/2 (b ) Jz : π R4/4 (c ) Reemplazando (a) , (b) y (c ) en la fórmula (4) se obtiene la tensión tangencial τxy a cualquier altura y: τxy : Qy 2/3 (R2 – y2)3/2 2 (R2 – y2)1/2 πR4/4 Que simplificando y considerando que πR2 es igual al área A se tiene:

τxy : 4 Qy (R2 – y2) (8) 3 A R2


AÑO 2005 13

Se observa que la variación de τxy resulta parabólica al igual que la sección rectangular, y que:

Para y: R τxy: 0 (borde libre) Para y: 0 τxymáx: 4/3 Qy/A (eje baricéntrico)

6. SECCIONES DE ESPESOR DELGADO: 6.1. HIPÓTESIS GENERALES En las barras con secciones normales de espesor delgado sometidas a flexión y corte, el valor de las tensiones tangenciales debidas al esfuerzo de corte tiene mayor significación que en aquellas con sección maciza . También la forma en que se distribuyen en la sección normal es un factor de importancia en el comportamiento del elemento estructural en su conjunto. El procedimiento para determinar la distribución de las tensiones tangenciales en la sección normal es análogo al utilizado para el caso de secciones macizas. Sea la sección de la figura 11A la sección normal de una barra simplemente apoyada como la de la figura 1, en un tramo de longitud dx analícese el equilibrio longitudinal de la porción elemental que se obtiene al seccionarlo longitudinalmente por la línea 1-1 (área sombreada de la figura 11A). En la figura 11B se ven las fuerzas actuantes sobre ese elemento. Para que exista equilibrio longitudinal debe existir la fuerza FQ que se aplicada en el área abcd, apareciendo por tanto las tensiones tangenciales en las secciones longitudinales que den como resultante a FQ.

z

y

G

t

1

1

t ab

dc

F

F+dF

dx

FQ

FIGURA 11A FIGURA 11B


AÑO 2005 14

El corte longitudinal se realiza por la línea 1-1 que es normal a la línea media de la sección , es decir según el espesor de la sección, y no por una paralela al eje neutro como se hacía en el caso de las secciones macizas. De esta forma se puede formular la siguiente hipótesis: Las tensiones tangenciales longitudinales se distribuyen uniformemente en la sección abcd, resultando entonces constantes en todo el espesor t de la línea de corte 1-1.

Como consecuencia del teorema de reciprocidad, en la sección transversal hay tensiones

tangenciales que tienen la dirección de la línea media de la sección y sus sentido estará determinado por el sentido de la tensión tangencial en la sección longitudinal.

Si la línea de corte 1-1 no hubiera sido normal a la línea media de la sección no se podría haber

formulado la hipótesis anterior, pues en coincidencia de los puntos a y b (bordes) habría una componente de la tensión de tangencial perpendicular a la superficie libre en abierta contradicción con el teorema de reciprocidad.

La figura 12 ilustra los conceptos señalados, pudiéndose observar que las tensiones tangenciales en la

sección normal tienen la dirección de la línea media y por lo tanto cambiarán de dirección en la medida que ésta así lo haga, es decir ya no resulta conveniente calcular las tensiones según los ejes z e y de la sección.

z

y

G

t1

1

t ab

dc

σ

σ+dσ

dx

τ1

τ1

τ1

FIGURA 12

Para calcular el valor de la tensión se plantea el equilibrio longitudinal de un elemento de área A1 y

longitud dx, que se separa del resto a través de la línea de corte 1-1 como muestra la figura 13:


AÑO 2005 15

z

y

G

t1

1

t ab

dc

σ

σ+dσ

dx

τ1τ1

y

dx

σ σ+dσ

τ1

a b c

FIGURA 13 El elemento que se analizará su equilibrio longitudinal tiene área A1, y está sometido a tensiones normales σ y σ+dσ en la caras a x y x+dx . Estas tensiones varían con la distancia y al eje neutro z-z que es baricéntrico como se muestra en la figura 13b. La fuerza longitudinal de desequilibrio se obtiene integrando las fuerzas elementales dσdA1 que actúan en cada porción diferencial del área dA1 a toda el área A1 , y esta fuerza debe ser equilibrada por la resultante de las tensiones tangenciales τ1 en el área elemental abcd como se ve en la figura 13c, de forma que se puede plantear la siguiente ecuación de equilibrio longitudinal: τ1 t dx = ∫A1 dσ dA1 τ1 t dx = ∫A1 dM y dA1 Jz Análogamente a lo ya visto, teniendo en cuenta que dM es constante en el área A1, lo mismo que Jz, pueden sacarse de la integral pudiendo escribirse la siguiente ecuación para τ1:

τ1 = dM 1 ∫A1 y dA1 dx t Jz La integral del segundo miembro es el momento estático del área A1 respecto del eje baricéntrico z-z que es el eje neutro, o sea el momento estático de la sección que trata de deslizar respecto del eje neutro, y dM/dx es el esfuerzo de corte Qy que actúa en la sección normal.


AÑO 2005 16

Se concluye que la ecuación que determina las tensiones tangenciales en la sección longitudinal 1-1 y por ende en la sección normal en correspondencia de la línea de 1-1 es formalmente igual a la ecuación (4) de Colignon ya vista para secciones macizas, con la sola diferencia que ahora b es el espesor t de la sección en correspondencia de la línea de corte 1-1.

τ1 = Qy Sz (9)

t Jz 6.2.- SECCION ABIERTA CON SIMETRÍA BIAXIAL

Calcular las tensiones tangenciales en una sección doble T con espesor de alas t1 y espesor de alma t2 para una solicitación como la de la figura 1. En la figura 14a se puede ver la sección normal doble T de ancho de ala b y altura h medidas a la línea media de la sección, donde se indica la línea de corte 1-1 en la cual se va analizar la tensión tangencial. En la figura 14b se observa el sentido de las tensiones tangenciales en la secciones longitudinal y transversal, que para el caso en cuestión dada su orientación son tensiones τzx y τxz respectivamente:

Q

M

σM+dM

Q

τ

τ σ σ

(a) (b)

FIGURA 14


AÑO 2005 17

Aplicando la fórmula (9) al caso del elemento sombreado se debe calcular el momento estático de

dicho elemento respecto del eje z:

τxz1 = Qy Sz t1 Jz Sz = t1 s h/2

τxz1 = Qy t 1 s h/2 (10) t1 Jz Se observa que la variación de las tensiones tangenciales τxz1 en el ala de la sección sigue la ley de variación del momento estático Sz que en este es lineal con la variable s medida desde el extremo libre donde por razones de equilibrio es nula. El valor máximo en el ala analizada se obtiene para s =b/2. En la figura 15a y 15b se repite el análisis para el ala superior izquierda y las inferiores (líneas de corte 2-2 3-3 y 4-4) donde se ve el sentido de las tensiones tangenciales de acuerdo al sentido de los esfuerzos solicitantes y su crecimiento, mientras que su módulo sigue dado por la ecuación (10), creciendo en forma lineal desde 0 en el borde libre hasta un valor máximo en el encuentro con el ala dado por:

(τxz1-4)máx = Qy t 1 b/2 h/2 (11) t1 Jz

Q

M

σ

M+dM

Q

τ

τσ σ

(a) (b)σ τ

τ σ σ

σ τ

σ σ

FIGURA 15


AÑO 2005 18

Para analizar lo que sucede con las tensiones tangenciales en el alma del perfil se analizará una línea

de corte 5-5 en la unión del ala superior con el alma. En este caso se observa que el momento estático Sz a introducir en la ecuación general (9) es el de toda el ala respecto al eje z-z, y el espesor en el cual actúa la tensión tangencial longitudinal es ahora t2 el espesor del alma. Debe observarse que en este caso como la orientación de las secciones ha girado 90 grados , serán τyx y τxy para las secciones longitudinal y normal respectivamente. En la figura 16a y 16b se puede ver claramente los sentidos de tales tensiones en relación con los esfuerzos solicitantes y su crecimiento.

Q

M

σ

M+dM

Q

τ

τ

σ σ

(a) (b)

FIGURA 16

La tensión en la línea 5-5 calculada por la ecuación (9) resulta de reemplazar en ella el valor del omento estático Sz del ala que es: Sz = b t1 h/2

Por lo tanto: τxy5 = Qy b t1 h/2 (12) t2 Jz

Si se compara la fórmula (12) con la (11) se ve que la tensión tangencial en la unión del ala con el alma es igual a la suma de las tensiones que vienen por cada una de las semialas multiplicada por la relación de espesores t1/t2 y entonces en el alma no se inicia con tensión nula sino con el valor suma delas τxzmáx de las alas.


AÑO 2005 19

En la figura 17 se repite al análisis ya visto en los casos anteriores para una línea de corte 6-6 a una

distancia y genérica del eje z-z

Q

M

σ

M+dM

Q

τ

τ

σ σ

(a) (b)

FIGURA 17

En este caso el momento estático Sz que interviene en la ecuación (9) es el del área sombreada de la

figura 17, que puede considerarse como la suma del momento estático del ala ya visto, más el momento estático del tramo de alma entre y y h/2.

Sz = Sz(ala) + Sz (A1) τxy6 = Qy [Sz(ala)+Sz(A1)] t2 Jz

Desarrollando el paréntesis se obtiene que la tensión tangencial en la línea de corte 6-6 es igual a la

tensión de corte en la unión del alma con el ala más el correspondiente al factor Sz(A1):

τxy6 = τxy5 + Qy Sz(A1) t2 Jz Sz(A1) = t2 (h/2 – y)(h/2 + y)/2 Sz(A1) = t2 (h2/4 - y2)/2


AÑO 2005 20

τxy6 = τxy5 + Qy t 2 (h2/4 - y2)/2 (13) t2 Jz

La tensión en el alma vuelve a tener una ley cuadrática con la variable y idéntica a la sección rectangular con la sola diferencia que no arranca de 0 sino del valor suma de las tensiones máximas en las semialas. Se llega a determinar nuevamente el valor máximo de la tensión tangencial a la altura del eje neutro z-z haciendo en la ecuación 13 y=0.

τxymáx = τxy5 + Qy t 2 h2/8 (14) t2 Jz

En la figura 18a se muestra el diagrama completo de las tensiones tangenciales en el perfil doble T y

el sentido de las mismas para la solicitación dada en la figura 1 que sirvió de base para desarrollar este ejemplo.

Como Jz es mayor que el correspondiente a una sección rectangular de las medidas del alma, el

divisor del segundo término de la ecuación (14) es mayor que para una sección rectangular por lo tanto la parábola es menos pronunciada y la diferencia entre τxy5 y τxymáx no es tan acentuada como en la sección rectangular.

En cada caso deberá prestarse particular interés al sentido relativo de los esfuerzos en la cara x y x+dx

y repetir en forma esquemática el análisis de equilibrio longitudinal de cada elemento para obtener el sentido correcto de las tensiones tangenciales.

τ

τ τ

τ

τ

Qy

HH

HH

(b)(a)

FIGURA 18


AÑO 2005 21

Conclusiones: 1.- Las dirección de las tensiones tangenciales es coincidente con la línea media de la sección. 2.- El sentido es tal que se puede asimilar a un flujo hidrodinámico, en este caso desde las alas inferiores a las alas superiores, no pudiendo haber contracorrientes. 3.- La resultante de las tensiones tangenciales τxy en el alma debe ser igual al esfuerzo de corte Qy que solicita a la sección. Es decir que es el alma de la sección la que toma el esfuerzo de corte. Qy = ∫AlmaτxydA 4.- En las alas aparecen resultantes horizontales H que se autoequilibran mutuamente por la simetría de la sección (figura 18b). 5.- El diagrama de tensiones presenta simetría biaxial acorde con la simetría de la sección. 6.3.- SECCION CERRADA CON SIMETRÍA UNIAXIAL CARGADA SEGUN EL PLANO DE SIMETRIA Analizar las tensiones tangenciales que se producen en la sección de la figura 19a en un esquema de solicitación como el de la figura 19b. Las dimensiones de la sección se indican en la misma figura.

P

(a) (b)

Qy

Mz

FIGURA 19


AÑO 2005 22

Esta sección presenta la particularidad de ser cerrada, es decir que una sola línea de corte como se

utilizó en el ejemplo anterior no es suficiente para aislar un tramo, y consecuentemente se necesitan dos líneas. Pero esto a su vez traería aparejado que el equilibrio longitudinal se debiera analizar en esas dos secciones y por lo tanto se estaría ante un problema hiperestático pues habría dos valores incógnitas de las tensiones tangenciales longitudinales y una sola ecuación de equilibrio.

Analizando más detenidamente el problema se observa que la sección tiene al eje y-y como eje de

simetría que es a su vez el plano de solicitación. Si se observa la deformación de un elemento de la sección cortado sobre el eje de simetría y-y y visto en el plano x-z sometido a tensiones tangenciales se puede ver que se deforma como se indica en la figura 20:

τzx

τxz

dx

dy

τxz

τzx

FIGURA 20 El elemento deformado rompe su simetría respeto del eje longitudinal x-x. Esto contradice uno de los principios de simetría que dice que una estructura con simetría en su geometría y simetría en su estado de cargas, como es el caso bajo análisis, debe tener una deformada simétrica. Por lo tanto se concluye que la tensión tangencial en las secciones longitudinales ubicadas sobre el plano de simetría deben tener necesariamente valor nulo, siendo nula entonces la tensión tangencial recíproca en la sección normal.

De esta manera para el análisis de las tensiones tangenciales y longitudinales se puede trazar una línea de corte según el plano de simetría sabiendo que según esa línea el valor de las tensiones tangenciales es nulo. Una vez hecho esto se puede estudiar media sección según el procedimiento ya visto en los ejemplos anteriores.


AÑO 2005 23

τxz1=τzx1=0

τxz1=τzx1=0

FIGURA 21

En la figura 21 se observa una de las mitades de la sección luego de separarla según la línea de corte 1-1 coincidente con el plano de simetría. La tensiones tangenciales longitudinales τzx1 y transversales τxz1 en coincidencia con esa línea son entonces nulas. Lo que se obtenga para esta semisección será equivalente para la otra por las razones de simetría ya señaladas.

τxz1=τzx1=0

τxz1=τzx1=0

σ τ

σ σ

(b)

Q

M

M+dM

Q

σ σ

στ

τσ

σ σ

ττ

τ

τxz1=τzx1=0

τxz1=τzx1=0

(a)

FIGURA 22


AÑO 2005 24

Las tensiones en cada tramo se evalúan como en los casos anteriores por aplicación de la fórmula (9):

τi = Qy Szi (9) ti Jz donde Szi es el momento estático del tramo que se evalúa (sombreados en la figura 21) respecto del eje z-z: Tramo 1-2: variable: s Sz1-2 = s.t1.y1 τ1-2= Qy s.t1.y1 τxz2 = Qy b2/2.t1.y1 (15) t1.Jz t1.Jz Tramo 3-4: variable: s Sz3-4 = s.t1.y1 τ3-4= Qy s.t1.y1 τxz4 = Qy b1.t1.y1 (16) t1.Jz t1.Jz Tramo 1-5: variable: s Sz1-5 = s.t1.y2 τ1-5= Qy s.t1.y2 τxz5 = Qy b2/2.t1.y1 (17) t1.Jz t1.Jz En la figura 22b se indican los sentidos de las tensiones para la solicitación de la figura 19b En la figura 23 se evalúan las tensiones en el alma de la sección:

τxz1=τzx1=0

τxz1=τzx1=0

στ

σ σ

(b)

Q

M

M+dM

Qτ

τσ

σ σ

τxz1=τzx1=0

τxz1=τzx1=0

(a)

τ

τ

FIGURA 23


AÑO 2005 25

En la línea de corte 6-6 el momento estático a aplicar en la fórmula (9) de la fórmula (9) resulta ser el momento estático de la semiala respecto del eje z-z, y el espesor que divide en este caso es t2: Sz6 = (b1+b2/2).t1.y1 Este momento estático es la suma de los utilizados para calcular las tensiones en 4 y 2

τxy6 = Qy (b1+b2/2).t1.y1 (18) t2 Jz Se observa que τxy6 = (τxz4 + τxz2) . (t1/t2)

En el tramo 6-8 el momento estático a una distancia y del eje z-z es igual al momento estático de las alas más el correspondiente al alma entre y e y1. Sz(6-8) = (b1+b2/2).t1.y1 + t2.(y1-y).(y1+y)/2 Sz(6-8) = Sz6 + t2 (y1

2-y2)/2 Y la tensión en el tramo 6-8 tiene nuevamente una variación cuadrática y vale: τxy(6-8) = τxy6 + Qy t2.(y1

2-y2)/2 t2 Jz En el eje neutro:

τxy8 = τxy6 + Qy t2.y 12/2 (19)

t2 Jz Repitiendo el análisis para el tramo del entre y=0 e y=y2 y comenzando por la línea de corte 7-7: Sz7 = b2/2 . t1 .y2 Siendo entonces

τxy7 = Qy.(b2/2). t1.y2 (20) t2. Jz Nuevamente se observa que

τxy7 = τxz5.(t1/t2) En el tramo entre 7 y 8: Sz(7-8) = (b2/2).t1.y2 + t2.(y2-y).(y2+y)/2 Sz(6-8) = Sz7 + t2 (y2

2-y2)/2 τxy(7-8) = τxy7 + Qy t2.(y2

2-y2)/2 t2 Jz En la línea de corte 8 resulta:

τxy8 = τxy7 + Qy t2.y 22/2 (21)

t2 Jz


AÑO 2005 26

Evidentemente el valor que se obtenga por aplicación de la fórmula (21) y (19) deben ser coincidentes,

y esto es así pues al ser el eje z-z baricéntrico el momento estático del tramo superior es igual en módulo al del tramo inferior. En la figura 23b se indica el análisis de equilibrio que determina el sentido de las tensiones tangenciales. En la figura 24 se muestra el diagrama completo de las tensiones para toda la sección.

τ τ

τ τ τ

τ

ττ

τ τ

Qy/2 Qy/2

H1H2H2H1

H4H3

(a) (b)

FIGURA 24 Conclusiones: 1.- Se verifica que el sentido de las tensiones tangenciales sigue el esquema de un flujo hidrodinámico no existiendo contracorrientes. 2.- Las tensiones máximas están localizadas en el eje baricéntrico. 3.- La resultante de las tensiones tangenciales en las alas H1, H2 y H3 constituye un sistema equilibrado. 4.- La resultante de las tensiones tangenciales en cada una de las almas de la sección es igual a la mitad del esfuerzo de corte Qy solicitante. Qy/2 = ∫AlmaτxydA 5.- El diagrama de tensiones tangenciales tiene simetría respecto de y pero no de z, acorde con la simetría de la sección. Debe recordarse que el plano de cargas coincide con el plano xy de simetría de la sección.


AÑO 2005 27

6.4.-SECCION ABIERTA DE SIMETRÍA UNIAXIAL – PLANO DE CARGA NORMAL AL

EJE DE SIMETRIA

Sea el caso de una sección C como la de la figura 25a con simetría respecto del eje z-z y con un esquema de carga como el de la figura 25b en el cual el plano de carga coincide con el plano xy, es decir es normal al plano de simetría.

P

(b)

Qy

Mz

(a)

FIGURA 25

Se repite el mismo esquema de análisis ya visto en los ejemplos anteriores para aplicar la fórmula (9), comenzando en algún extremo donde se conozca la tensión tangencial, como por ejemplo el extremo superior.

(a) (b)

FIGURA 26


AÑO 2005 28

En la figura 26 se indican dos líneas de corte intermedias, una en el ala y la otra en el alma de la sección, indicándose en sombreado las áreas que intervienen en el momento estático de la ecuación (9). Entre 0 y 1: Variable s Sz = s.t1.h/2 τxz = Qy . s.t1.h/2 t1 Jz

τxz1= Qy b.t1.h/2 (22) t1 Jz

En 2-2: Sz: b.t1.h/2

τxy2= Qy b.t1.h/2 (23) t2 Jz

τxy2 = τxz1 . (t1/t2) Entre 2 y 3: Variable y: El momento estático Sz es el momento estático del ala más el momento estático del alma por encima dla línea de corte. Sz= (Sz)ala + (Sz)alma Sz = b.t1.h/2 + t2.(h/2-y).(h/2+y)/2 Sz = b.t1.h/2 + t2.(h2/4-y2)/2 τxy = Qy. [b.t1.h/2 + t2 . (h2/4-y2)/2] t2 Jz τxy = τxy2 + Qy t2 (h2/4-y2)/2 t2 Jz El valor máximo se verifica para y =0 es decir el eje baricéntrico z-z

τxymáx= τxy2 + Qy t2 (h2/4)/2 (24) t2 Jz

En la figura 27 se observa la deducción del sentido de las tensiones tangenciales para la solicitación de la figura 25 y en la figura 28 el diagrama completo de las tensiones tangenciales, haciendo notar que la concavidad de la parábola en el alma es menos pronunciada que en una sección rectangular de área equivalente porque Jz es mayor que el correspondiente al Jza del alma. Por otra parte se sigue verificando la similitud con un flujo hidrodinámico para el sentido de las tensiones.


AÑO 2005 29

τ

τ σ σ

ττ

Mz

Qy

Mz+dMz

Qy

σ

σ σ

σ

σ

σ σ

τ

τQy

Qy

Mz+dMz

Mz

FIGURA 27

τ

τ

τ

τ τ

FIGURA 28


AÑO 2005 30

6.5.- CENTRO DE CORTE

a) Secciones abiertas con simetría uniaxial:

Observando la distribución tensional hallada en la figura 28 se ve que la resultante de las tensiones tangenciales en la sección normal está constituida por dos fuerzas H iguales y contrarias en cada una de las alas y una fuerza vertical en el alma que debe ser igual al esfuerzo de corte solicitante Qy (ver figura 29a).

El sistema de fuerzas H en este caso no constituye un sistema equilibrado, sino una cupla M de valor H.h que tiende a hacer girar a la sección alrededor de un eje longitudinal (ver figura 29b).

Recordando que una fuerza y un par son equivalentes a una única fuerza trasladada paralelamente a

su recta de acción en el sentido que actúa el par una distancia igual al cociente entre el valor del par y el módulo de la fuerza, se puede así trasladar la fuerza Qy una distancia e tal que Qy.e = H.h como se muestra en la figura 29c.

Qy

H

H

QyM=H .h Qy. e = H . h

Qy

(a) (b) (c)

Plano de solicitaciónpara M=0

FIGURA 29 El valor de e viene dado por:

e= H.h/Qy (25)

De esta forma cuando el plano de solicitación es perpendicular al eje de simetría, es decir que la viga flecta alrededor del eje de simetría, para evitar que la sección tienda a girar alrededor de un eje longitudinal, el plano de solicitación debe pasar a una distancia e del alma del perfil paralelo al eje principal y-y y del lado opuesto donde se encuentra el baricentro.


AÑO 2005 31

Si el plano de solicitación fuera el xz en vez del yz, es decir que coincidiese con el eje de simetría, la distribución de tensiones sería tal que las fuerzas H se anularían mutuamente, situación que se muestra en la figura 30, no existiendo en este caso el efecto de giro longitudinal.

En este caso el esfuerzo de corte solicitante Qz y por ende el plano de solicitación debería ser

coincidente con el plano de simetría xz.

H

Qz/2

Qz/2

H

Plano de solicitacióncoincide con xz

FIGURA 30

En el caso en que el plano de solicitación tuviera una dirección cualquiera, es decir la sección estuviera

sometida a flexión desviada, siguiendo el procedimiento de descomponer la flexión desviada en dos flexiones rectas para que no existiese la tendencia a girar sobre un eje longitudinal el plano de solicitación debería pasar por el punto CC y no por el baricentro tal como se ve en la figura 31.

Qy

Plano de solicitaciónpara M=0

Qz

Q

FIGURA 31


AÑO 2005 32

El estado tensional en la sección estaría dado por la superposición del calculado para Qy y el calculado

para Qz. Este punto CC se denomina centro de corte o centro de los esfuerzos cortantes, y se define

como el punto de la sección por el cual debe pasar el plano de solicitación para que la sección no tienda a “torcerse” alrededor de un eje longitudinal. Este efecto de girar sobre un eje longitudinal se denomina torsión de la sección.

Como ya se señalara la posición del centro de corte se determina determinando la distancia e en la

ecuación (25) conocidas H y Qy.

e= H.h/Qy (25)

Observando más detenidamente la ecuación (25) y teniendo en cuenta que H resulta de la integración del diagrama de tensiones tangenciales sobre las alas se puede escribir: H = 0.5 τxz1 . Aala H = Qy b h/2 Aala Jz 2 e = b h2/2 Aala Jz 2 Se puede ver que la distancia e no depende del valor de la fuerza Qy sino que depende exclusivamente de la geometría de la sección. b) Secciones cruciformes: En aquellas secciones constituidas por elementos rectangulares que se cruzan en un punto, y teniendo en cuenta que las tensiones tangenciales tienen la dirección de la línea media de la sección, las resultantes de las tensiones sobre cada uno de los elementos que componen la sección también tendrán esta dirección. Por lo tanto todas estas fuerzas serán concurrentes al punto de cruce de los elementos de la sección. Entonces la fuerza solicitante exterior debe pasar por este punto de cruce para que exista el equilibrio. Ver figura 32.

F1 F2

F3

F2

F1

ΣFi = Q

Q DEBE PASAR POR CC

FIGURA 32


AÑO 2005 33

Conclusiones: 1.- Cuando la sección transversal de espesor delgado tiene dos ejes de simetría, el centro de esfuerzos cortantes CC coincide con el baricentro G de la sección. 2.- Cuando la sección tiene un solo eje de simetría el centro de esfuerzos cortantes CC está sobre el eje de simetría pero no coincide con el baricentro G de la sección y en general resulta exterior a la sección. El plano de solicitación debe pasar por este punto para que la sección no tienda a torcerse alrededor de un eje longitudinal. 3.- Cuando la sección no tenga ningún eje de simetría el centro de corte no coincide con el baricentro y su ubicación respecto de los ejes z e y de la sección surgirá de hallar una distancia ez y ey para el caso de corte en la dirección z e y respectivamente 4.- En secciones cruciformes el centro de esfuerzos cortantes está ubicado donde se cruzan los elementos que componen la sección. 7. EJEMPLO NUMERICO:

Estúdiese la distribución de las tensiones tangenciales y la ubicación del centro de esfuerzos cortantes en una sección cajón de 50mm de lado x 120mm de altura y 2.0mm de espesor cuando se produce un ranura en la mitad de su altura en una de sus paredes como se indica en la figura 33. Supóngase una solicitación como la de la figura 25b. Compárense los resultados si la ranura no estuviese y la sección fuera cerrada.

FIGURA 33


AÑO 2005 34

Cálculo de las características geométricas necesarias: La ubicación del baricentro es inmediata pues la ranura no influye en su determinación. Es importante hacer notar que la ranura ha roto la simetría de la sección y entonces el centro de corte no coincidirá con el baricentro. Se debe calcular el momento de inercia Jz por aplicación del teorema de Steiner despreciando en este caso los momentos propios de los elementos paralelos al eje z. Jz = 2.t.h3 + 2.b.t.(h/2)2 Jz = 129.6 cm4 12 Cálculo de las tensiones tangenciales: Se calcularán mediante la fórmula (9):

τ i = Qy Sz (9) ti Jz

En general se prescinde del uso de subíndices para las tensiones de corte pues se sabe que tienen la dirección de la línea media de la sección. El subíndice i indicará la línea de corte que se esté analizando.

En el ejemplo se analizarán las tensiones en los tramos 1-2, 2-3 y 3-4 de la mitad superior de la sección sabiendo que la mitad inferior es idéntica. Para cada tramo de acuerdo a la figura 34, se calculará el correspondiente momento estático Sz y su ley de variación, dado que el espesor es constante, la ley de variación del momento estático es directamente la ley de variación de las tensiones tangenciales.

FIGURA 34


AÑO 2005 35

Tramo 1-2: Sz = t.y2/2 0<y<6.0 τ (1-2)= Qy Sz t Jz τ (1-2)= Qy (t.y2/2) τ1 = 0 (y=0 ) t Jz τ2 = 0.139 Qy (y=6.0cm) Tramo 2-3: Sz = t h2 + t.s.h/2 8 Sz = 3.6 + 1.2 s 0<s<5.0 τ (2-3)= Qy (3.6+1.2s) τ2 = 0.139 Qy (s=0 ) t Jz τ3 = 0.370 Qy (s=5.0cm) Tramo 3-4: Sz = t h2 + t.b.h/2 + t.(h/2-y)(h/2+y)/2 8 Sz = 9.6 + 0.1(36 - y2) 6.0>y>0 τ (3-4)= Qy [(9.6+0.1(36-y2)] τ3 = 0.370 Qy (y=6.0cm ) t Jz τ4 = 0.509 Qy (y=0.0cm) Valor máximo En la figura 35 se representa la ley de variación de las tensiones tangenciales y los respectivos valores hallados. Los sentidos surgen de realizar los análisis de equilibrio de cada elemento como ya se ha visto repetidamente. Nótese el efecto de la asimetría de la sección en la distribución de las tensiones tangenciales.


AÑO 2005 36

0.139Qy 0.370Qy

0.370Qy

0.509Qy

0.139Qy

FIGURA 35 Cálculo del Centro de Corte: Para encontrar la posición del centro de corte, conviene antes hallar la resultante de las tensiones tangenciales en cada uno de los elementos que componen la sección, integrando el diagrama de tensiones sobre cada elemento, así se tiene: F1-2 = ∫A1-2 τ dA y=h/2 6

F1-2 = ∫y=0 τ(1-2) tdy = Qy t y3/6 F1-2 = 0.056Qy Jz 0 F2-3 = ∫A2-3 τ dA s=b 5

F1-2 = ∫s=0 τ(2-3) tds = Qy (3.6 +1.2s) F2-3 = 1.273Qy t Jz 0 F3-4 = ∫A3-43 τ dA y=h/2 6

F1-2 = ∫y=0 τ(3-4) tdy = Qy (9.6 +01(36-y2)) F3-4 = 0.556Qy t Jz 0


AÑO 2005 37

En la figura 36a se representan las fuerzas calculadas, observando que: 2xF1-2 + 2xF3-4 = -Qy Indicando el signo menos que está orientada hacia abajo.

Se cumple entonces que la resultante de todas las tensiones tangenciales en la dirección vertical es igual al esfuerzo de corte solicitante Qy. No obstante se observa que el alma que tiene la ranura invierte el sentido de la resultante y recarga a la otra, provocando además un desplazamiento adicional de la ubicación del plano de solicitación para que no haya efecto de torsión, es decir el centro de corte se aleja más de la sección que si esa alma partida no estuviese.

0.056Qy

1.273Qy

2x0.556Qy=1.112Qy

0.056Qy

Qy

M=15.84Qy

Qy

CC

(a) (b) (c)

1.273Qy

FIGURA 36 Para hallar la posición del centro de corte se trasladan todas las fuerzas al alma 3-4 por ejemplo (ver figura 36b): R = (2x 0.056 –1.112)Qy = -Qy M = 1.273 Qy.12cm + 2 0.056Qy.5cm =15.84 Qy (unidades de fuerza x cm) e= M/Qy = 15.84cm Se obtiene el centro de corte a una distancia 15.84cm fuera de la sección.

Si la ranura no estuviese, es decir si la sección es cerrada, la simetría de la misma está restablecida, consecuentemente el centro de corte coincide con el baricentro. Por otra parte, el diagrama de tensiones tangenciales resulta simétrico siendo nulas en correspondencia del eje de simetría, tomando a este como origen para calcular la forma de variación del momento estático como se ve en la figura 37, en la cual se ha dibujado el diagrama de las tensiones tangenciales y las fuerzas resultantes correspondientes.


AÑO 2005 38

0.255Qy

0.116Qy

0.116Qy 0.03Qy

0.5Qy0.5Qy

0.03Qy

0.03Qy0.03Qy

FIGURA 37 Entre el eje de simetría y 2 o 3: Sz = s.t.h/2 Sz = 0.2x6.s = 1.2 s 0<s<2.5 τ (0-2)= Qy 1.2s τ0 = 0.0 (s=0 ) t Jz τ2 = 0.116 Qy (s=2.5cm) Entre 2 y 1 - 3 y 4: Sz = t.b/2.h/2 + t.(h/2-y)(h/2+y)/2 Sz = 0.2x2.5x6.0 + 0.1x(36 – y2) τ (3-4)= Qy [(3+0.1(36 - y2)] τ3 = 0.116 Qy (y=6.0cm ) t Jz τ4 = 0.255 Qy (y=0.0cm) Valor máximo Se puede ver que el valor máximo de las tensiones tangenciales disminuye sensiblemente con relación al caso anterior. Repitiendo las integrales de las tensiones tangenciales en los respectivos tramos análogamente a como se hizo en el caso anterior se obtienen las fuerzas indicadas en la figura 37b.


AÑO 2005 39

De la comparación delos resultados obtenidos en uno y otro caso se obtienen las siguientes conclusiones: 1.- La sección simétrica cerrada tiene un comportamiento totalmente balanceado, colaborando las dos paredes verticales en igual medida para soportar la solicitación de corte, no existiendo efectos torsionales por desequilibrio de las fuerzas internas. 2.- La aparición de la ranura (podría ser ocasionada por la aparición de una fisura en la sección anterior), provoca un importante desbalanceo de las fuerzas interiores invirtiendo el sentido de las tensiones en la pared fisurada y consecuentemente recargando la otra. Además la asimetría generada provoca efectos torsionales de magnitud llevando el centro de corte afuera de la sección, con los inconvenientes que esto trae aparejado.

En los cursos siguientes, cuando se analice el comportamiento torsional de las distintas secciones se

verán otras desventajas de las secciones abiertas frente a las cerradas. 8.- BIBLIOGRAFÍA ESTABILIDAD II Capítulo 11, Enrique D Fliess, ed. Kapelusz, Buenos Aires 1975 RESISTENCIA DE MATERIALES I Capítulo IV, S. Timoshenko, ed. Espasa Calpe, Madrid 1976 RESISTENCIA DE MATERIALES Capítulos IV y XI, V.I. Feodosiev, ed. Mir, Moscú 1972 CIENCIA DE LA CONSTRUCCIÓN, Capítulo 8, O. Belluzzi, ed. Aguilar, Madrid, 1967 THEORY OF ELASTIC STABILITY, Capítulo 5, Timoshenko-Gere, McGraw-Hill, N.York 1961 TIMOSHENKO- RESISTENCIA DE MATERIALES, Caps. 5 y 6, J.Gere, Thomson,5ta ed.,Madrid, 2004

Documents

I N U G ESTRUCTURAS IA E N APUNTE DE CLASE I L Tangenciales... · TEOREMA DE CAUCHY O DE RECIPROCIDAD Considérese en la figura 4 el elemento plano de dimensiones dx y dy y espesor