ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és

Kollégium – Humán tagozat

Matematika 11. osztály

II. rész: Trigonometria

Készítette: Balázs Ádám

Budapest, 2018

2. Tartalomjegyzék

Tartalomjegyzék

II. rész: Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

45. Vektor fogalma, vektorműveletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

46. Vektorfelbontás, vektorkoordináták . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

47. Vektorok skaláris szorzása, tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

48. Két vektor skaláris szorzása vektorkoordinátákkal . . . . . . . . . . . . . . . 7

49. Vektorok skaláris szorzata feladatokban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

50. Vegyes feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

51. Háromszög területe 2 oldallal és a közbezárt szöggel . . . . . . . . . . . . . . 10

52. Szinusztétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

53. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

54. A koszinusztétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

55. Feladatok koszinusztételre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

56. Vegyes feladatok szinusz- és koszinusztételre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

57. Vegyes feladatok szinusz- és koszinusztételre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

58. Vegyes feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

59. Addíciós tételek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

60. Trigonometrikus egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

61. Trigonometrikus egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

62. Trigonometrikus egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

63. Trigonometrikus egyenletek gyakorlása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

64. Trigonometrikus egyenletek gyakorlása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Tartalomjegyzék 3.

65. Trigonometrikus függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

66. Trigonometrikus függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

67. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

68. Dolgozat írása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4. 45. óra. Vektor fogalma, vektorműveletek

45. óra Vektor fogalma, vektorműveletek

Def (Helyvektor). Origóból indított és a sík egy pontjában végződő irányított szakasz.

Def (Szabad vektor). Irányított szakaszok ekvivalencia osztálya, képviselőik azonosirányításúak és azonos nagyságúak. A kezdőpontjuk bárhova választható. Jele: ~a, a

Def (Abszolút érték). A vektort jelképező irányított szakasz hossza. Jele: |~a|

Def (Két vektor összeadása sorba fűzéssel). Az első vektor végpontjába felmérjük amásodik vektor kezdőpontját. Az első kezdőpontjából a második végpontjába mutataz összegük. Jele: ~a+~b

Def (Paralelogramma-módszer). Közös kezdőpontból felmérjük mindkét vektort és pa-ralelogrammát szerkesztünk. Ennek a közös pontból induló átlója a két vektor összege.

Def (Kivonás). Két vektor különbsége a kivonandó végpontjából a kisebbítendő vég-pontjába mutató vektor. Jele: ~a−~b

Def (Vektor szorzása skalárral:). Adott ~a vektor és a λ ∈ R skalár. Szorzatuk vektor,amelynek abszolútértéke |λ| · |~a|, és λ > 0 esetén iránya ~a irányú, λ < 0 esetén az ~avektor irányával ellentétes, λ = 0 esetén az iránya tetszőleges.

Állítás. A vektorok műveleteinek azonosságai:

1. Kommutativitás: ~a+~b = ~b+ ~a

2. Asszociativitás: (~a+~b) + ~c = ~a+ (~a+~b)

3. Disztributivitás: λ · (~a+~b) = λ · ~a+ λ ·~b és λ · (~a+~b) = λ · ~a+ λ ·~b

1. Feladat. Adott ~a (5; 2) és ~b (4; 1) vektor. Számítsuk ki az alábbi műveleteket!

a) 2 · ~a

b) ~a−~b

c) −~a

d) 3 ·~b

e) ~a+~b

f) 3 · ~a− 4 ·~b

g) 10 · ~a+ 2 ·~b

h) 0.5 · ~a−~b

45. Házi feladat. Befejezni az előző példát.

45. Szorgalmi. Egy kocka élvektoraival fejezzük ki a lapátló és a testátló vektorait!

46. óra. Vektorfelbontás, vektorkoordináták 5.

46. óra Vektorfelbontás, vektorkoordináták

Def (Bázis). A sík két nem párhuzamos és nem nulla vektorát bázisnak nevezzük1.

Megjegyzés. Merőleges, egységnyi hosszúságú bázisok2 a Descartes-féle koordináta rend-szerben: az origóból az (1; 0) pontba, illetve a (0; 1)-be mutató vektorok: ~i és ~j

Tétel (Vektorfelbontás). Adott ~i, ~j bázis esetén a sík bármely ~v vektora felírható abázisvektorok lineáris kombinációjakén, azaz ~v = x ·~i+ y ·~j alakban, ahol x, y ∈ R.

Tétel (Felezőpont). AB szakasz F felezőpontjába mutató vektor:

−→OF =

−→OA+

−−→OB

2

Tétel (Osztó). Az AB szakasz AP : PB = p : q arányú osztópontjába mutató vektor3:

−→OP =

q ·−→OA+ p ·

−−→OB

p+ q

2. Feladat. Határozzuk meg a (4; 0) és a (0; 4) pontok felezőpontját!

3. Feladat. Számítsuk ki a (3; 5) és (7; 9) előbbihez közelebbi 3 : 5 arányú osztópontját!

46. Házi feladat. Határozzuk meg a (4; 0) és a (0; 4) pontok negyedelőpontjait!

46. Szorgalmi. Adjuk meg (3; 0.5) és (4;−2) 7 : 6 pontok arányú osztópontjait!

1Térben három, nem egy síkba eső vektor lehet egy bázis.2Az egységnyi hosszúságú bázist normált bázisnak hívjuk. Ha ezen felül merőlegesek is a bázisvek-

torok egymásra, akkor ortonormált bázisról beszélünk.3Ezt úgy könnyű elképzelni, mintha a szakasz egy mérleghinta lenne. Ha az A közelében van a

forgástengely, akkor A-re kell több súlyt elhelyezni, hogy egyensúly legyen.

6. 47. óra. Vektorok skaláris szorzása, tulajdonságai

47. óra Vektorok skaláris szorzása, tulajdonságai

Def. A ~v és a ~w vektorok, ha α szöget zárnak be, akkor skaláris szorzatuk a következő:

~v · ~w = |~v| · |~w| · cosα

Állítás. A vektorok skaláris szorzatának tulajdonságai:

1. Kommutativitás: ~a ·~b = ~b · ~a

2. Disztributivitás a vektorösszeadásra: ~a · (~b+ ~c) = ~a ·~b+ ~a · ~c

3. Skalárral való szorzással való kapcsolat: (λ1~a) · (λ2~b) = λ1 λ2 (~a ·~b)

4. Önmagával vett skaláris szorzat: ~a · ~a = |~a| 2

4. Feladat. Egy nagy dobozt 5 méterrel toltunk el előre, közben végig 50 N nagyságúerőt fejtettünk ki a haladás irányába. Mekkora az általunk végzett munka?

5. Feladat. János egy szánkót húz, közben testvére a szánkón ül. Összesen 5 méterthalad előre a szánkó és János végig 50 N erőt fejt ki. A szánkóra kötött kötél 60 fokosszöget zár be a talajjal. Mekkora munkát végez János?

Tétel. Két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor nulla, ha merőlegesek egymásra:

~a ·~b = 0 ⇐⇒ ~a ⊥ ~b

6. Feladat. Határozzuk meg a két vektor bezárt szögét, ha tudjuk, hogy:

a) |~a| = 3; |~b| = 4, és ~a ·~b = −6 ·√3

b) |~a| = 2; |~b| = 3, és ~a ·~b = 3

c) |~a| = 2; |~b| = 3, és ~a ·~b = 0

d) |~a| = 0, 5; |~b| = 1

2, és ~a ·~b = −

√3

2

47. Házi feladat. Egy vektor hossza 5 egység és skalárisan szoroztuk egy vele 42 fokotbezáró vektorral és az eredmény 10 lett. Mekkora abszolút értékű vektorral szoroztunk?

47. Szorgalmi. Határozzuk meg ~e1 és ~e2 egységvektorok szögét, ha tudjuk, hogy azösszegük vektora és a különbségük vektora ortogonális.

48. óra. Két vektor skaláris szorzása vektorkoordinátákkal 7.

48. óra Két vektor skaláris szorzása vektorkoordinátákkal

7. Feladat. Határozzuk meg az (5; 0) és (4; 4) vektorok skaláris szorzatát!

Def. A ~v (v1; v2) és ~w (w1;w2) pontba mutató vektorok skaláris szorzata:

~v · ~w = v1 · w1 + v2 · w2

Tétel. Az ~a és ~b vektorok által bezár α szögre fennáll az alábbi:

α = arccos

(~a ·~b|~a| · |~b|

)

8. Feladat. Határozzuk meg az ~v (4; 5) és ~w (−2; 3) vektorok szögét!

9. Feladat. Igaz-e, hogy a vektorok skaláris szorzata asszociatív?

10. Feladat. Ellenőrizzük a vektorok skaláris szorzatának azonosságait a (3; 1) és (2; 4)valamint (1; 2) helyvektorokkal, illetve a 2 és 3 skalárokkal!

48. Házi feladat. Határozzuk meg a ~v (0, 5; 0, 75) és a ~w (−6; 40) vektorok szögét!

48. Szorgalmi. Igazoljuk konkrét vektorokkal, hogy a skaláris szorzat bilineáris!

~a · (λ~b+ ~c) = λ(~a ·~b) + (~a · ~c)

8. 49. óra. Vektorok skaláris szorzata feladatokban

49. óra Vektorok skaláris szorzata feladatokban

11. Feladat. Adott a következő három helyvektor: ~u (−2; 1), ~v (4; 2) és ~w (3;−1).Számítsuk ki az alábbi skaláris szorzatokat és a vektorok által bezárt szögeket!

a) ~u · ~v =

b) ~w · ~u− ~w · ~v =

c) 2 · (~u− 3~v) · ~w =

12. Feladat. Adott az ~a (4; 2) és a ~b (3; y) vektor. Adjuk meg y értékét úgy, hogy akét vektor merőleges legyen egymásra! Milyen y értékekre lesz a két vektor hajlásszögehegyesszög és milyen értékeknél lesz tompaszög?

13. Feladat. Add meg azokat a vektorokat, melyek merőleges a ~v (5; 0) vektorra!

Tétel. Az ~a (x; y) vektor mindig merőleges a ~b (−y;x) vektorra.

Bizonyítás. Végezzük el a két vektor között a skaláris szorzást:

(x; y) · (−y;x) = x · (−y) + y · x = 0

A skalárszorzat eredménye nulla, vagyis a vektorok merőlegesek.

14. Feladat. Számítsuk ki a háromszög szögeit, ha pontjainak koordinátái:

A (4, 3); B (−5,−1); C (1,−3)

49. Házi feladat. Adjuk meg a következő vektorok hajlásszögét!

~a

(12

5;−3

)és ~b

(7

2;−9

4

)

49. Szorgalmi. Adott ~a (3;−2) és ~b (4;−1) vektor. Mi lehet ~c, ha ~a ·~c = 7 és ~b ·~c = 1?

50. óra. Vegyes feladatok 9.

50. óra Vegyes feladatok

15. Feladat. Szabályos ABCDEF hatszög A csúcsából a szomszédos csúcsokba mutatóvektorok legyenek ~a és ~b. Fejezzük ki ezekkel a többi csúcsba mutató vektorokat!

16. Feladat. Mekkora szöget zár be ~a és ~b vektor, ha |~a| = 3 és∣∣∣~b∣∣∣ = 4, valamint

a)∣∣∣~a+~b∣∣∣ = 7 b)

∣∣∣~a+~b∣∣∣ = 1 c)∣∣∣~a+~b∣∣∣ = 5

17. Feladat. Adott a ~v vektor. Szerkesszük meg az alábbi vektorokat!

a)√2 · ~v√2

2b)√3

2· ~v c) −3

4· ~v√2

2

18. Feladat. Két vektor merőleges egymásra, hosszuk 5 és 12 cm. Számítsuk ki azösszegük ill. különbségük vektorainak abszolút értékét!

19. Feladat. Adott az ~a (5;−0.5) és a ~b (4; y) vektor. Milyen y értékekre lesz a kétvektor hajlásszöge hegyesszög és milyen értékeknél lesz tompaszög?

20. Feladat. Határozzuk meg a ~a (6; 8) vektorral párhuzamos, egységnyi hosszúságúvektor koordinátáit!

21. Feladat. Számítsuk ki az A (6; 1), B (2; 5), C (−2;−3) pontok által meghatározottháromszög súlypontját és a háromszög szögeit és oldalainak hosszúságát!

22. Feladat. Határozzuk meg a ~v (1; 2; 3) és a ~w (4; 0; 3) vektorok hajlásszögét!

50. Házi feladat. 15 cm oldalhosszúságú szabályos ABCDEF hatszög A csúcsából aszomszédos csúcsokba mutató vektorok legyenek ~a és ~b. Mekkora ~a+~b és ~a−~b hossza?

50. Szorgalmi. Egy kocka élvektoraival fejezzük ki a lapátló és a testátló vektorait!

10. 51. óra. Háromszög területe 2 oldallal és a közbezárt szöggel

51. óra Háromszög területe 2 oldallal és a közbezárt szöggel

Def. Téglalap területe a két szomszédos oldal hosszának szorzata.

Def. Derékszögű háromszög területe a két befogó hosszának szorzatának fele.

Def. Háromszög területe az alap és a hozzá tartozó magasság szorzatának fele.

T4 =a ·ma

2=⇒ T4 =

a · b · sin γ2

23. Feladat. Számítsuk ki a háromszög területét, ha az egyik oldala 6 egység, másikoldala 5 egység hosszúságú és a két oldal által bezárt szög 29 fokos!

24. Feladat. Egy háromszög egyik oldala 5 egység, másik oldala 4 egység hosszúságúés területe 5 területegység. Mekkora a két oldal által bezárt szög?

25. Feladat. Egy háromszög területe 12 területegység, egyik oldala 7 egység és 66fokos szöget zár be az egyik oldallal. Mekkora ennek az oldalnak a hosszúsága?

26. Feladat. Határozd meg a háromszög területét, ha az egyes csúcsainak koordinátái:

A (6; 1) B (2; 5) C (−2;−3)

A (2; 0) B (4; 6) C (−3;−7)

51. Házi feladat. Egy háromszög egyik oldala 7 egység, másik oldala 3 egység hosszú-ságú és területe 10 területegység. Mekkora a két oldal által bezárt szög?

51. Szorgalmi. Határozd meg a paraleogramma területét, melynek egyik oldala 10cm, másik oldala 6 cm és a közbezárt szög 45 fok!

52. óra. Szinusztétel 11.

52. óra Szinusztétel

Tétel. Minden háromszögben két oldal hosszának aránya a velük szemközti szögekszinuszainak arányával egyenlő.

Bizonyítás. A háromszög területe kétféleképpen kifejezhető, és az így kapott két össze-függést úgy, mint egyenletet egyszerűsítjük és átrendezzük:

T4 =a · c · sin β

2=b · c · sinα

2=⇒ a

b=

sinα

sin β

Megjegyzés. Háromszögben az oldal és a szemközti szög szinuszának hányadosa állandó:

a

sinα=

b

sin β=

c

sin γ

27. Feladat. Mekkora a háromszög területe, ha a = 3, α = 30◦ és β = 70◦? (8,33)

28. Feladat. Egy háromszög oldala 10 cm és a rajta fekvő szögek 40◦ és 60◦. Mekkoraa háromszög területe? (28,26 cm2)

29. Feladat. A háromszög egyik oldala 3 egység, a másik oldala 4 egység hosszúságú.Az előbbivel szemközti szög nagysága 45◦. Mekkora a két másik szög és az oldal? (egyikmegoldás: 70,53◦, 64,47◦, 3,83 másik: 109,47◦, 25,53◦, 1,83)

52. Házi feladat. Mekkorák a háromszög oldalai, ha kerülete 14 cm, két szöge 43,8◦

és 64,7◦ nagyságú?

52. Szorgalmi. Egy háromszög szögeinek aránya 2:3:4, és a kerülete 18 cm. Mekkoráka háromszög oldalai?

12. 53. óra. Feladatok

53. óra Feladatok

30. Feladat. Egy háromszög két oldala 10 cm és 8 cm. A rövidebb megadott oldallalszemközti szög 33◦. Mekkorák a háromszög ismeretlen szögei és oldala? (42,91◦; 104,09◦

és 14,25 cm másik megoldás: 9,91◦; 137,09◦ és 2,53 cm)

31. Feladat. Egy háromszögben két oldal hosszúságának különbsége 7,5 cm és ezenoldalakkal szemben 34,7◦-os, illetve 76,2◦-os szög van. Mekkorák a háromszög oldalai?(9,9164; 13,748; 16,91)

32. Feladat. Egy 250 N nagyságú erőt bontsunk fel két olyan összetevőre, amelyek54◦-os illetve 18◦-os szöget alkotnak vele! (212,66 N, 81,23 N)

33. Feladat. Egy 84 cm2 területű háromszög egyik szöge 67,38◦, egy másik szöge53,13◦. Mekkorák az oldalai? (15, 13, 14)

53. Házi feladat. Egy szabályos 10 cm oldalú háromszög egyik szögét két egyenesselhárom egyenlő részre osztottuk. Mekkora részekre osztják szét ezen egyenesek a szöggelszemközti oldalt?

53. Szorgalmi. Bizonyítsd be, hogy egy háromszög területére felírható az alábbi össze-függés és írd fel a másik oldalakat tartalmazó hasonló alakú képleteket is!

T4 =a2 · sin β · sin γ

2 · sinα

54. óra. A koszinusztétel 13.

54. óra A koszinusztétel

Tétel. A háromszög oldalainak és egyik szögének összefüggései:

c2 = a2 + b2 − 2 · a · b · cos γ

b2 = a2 + c2 − 2 · a · c · cos β

a2 = b2 + c2 − 2 · b · c · cosα

Bizonyítás. Legyen−→CA = ~b,

−−→CB = ~a, és

−→AB = ~c. Ekkor ~c = ~b− ~a négyzetre emelve:

~c 2 =(~b− ~a

)2= ~b 2 − 2 ·~b · ~a+ ~a 2

A vektor önmagával vett skalárszorzata a hossznégyzet, valamint megjelent a képletbenaz a és b skaláris szorzata. A tétel a másik két szögre is felírható és ugyanígy belátható.

34. Feladat. Egy teste két erő hat, az egyik 42 N, a másik 18 N nagyságú. Mekkoraa testre ható eredő erő, ha tudjuk, hogy két vektor által bezárt szög 87◦54′?

35. Feladat. Két hajó 110◦-ot bezáróan indul el a kikötőből. Az egyik sebessége 18km/h, a másiké 48 km/h. Milyen messze vannak egymástól 3 óra 40 perc múlva?

36. Feladat. Számítsd ki a háromszög szögeit, ha oldalai 6; 9; 12 egység hosszúságúak!

37. Feladat. Mekkorák a háromszög szögei, ha az oldalai: 12,5 dm; 63 cm; 0,98 m?

54. Házi feladat. Mekkorák a háromszög szögei, ha az oldalai: 51 dm; 420 cm; 2 m?

54. Szorgalmi. Bizonyítsd be a koszinusztételt geometriai úton!1

1Ötlet: a háromszöget bontsd fel két derékszögű háromszögre!

14. 55. óra. Feladatok koszinusztételre

55. óra Feladatok koszinusztételre

38. Feladat. Egy R sugarú körben egy 12 cm hosszúságú húr 42◦-os szöget zár be akör 15 cm hosszúságú húrjával. Mekkora a kör sugara?

39. Feladat. Egy háromszög területe 96 cm2, egyik oldala 12 cm, a rajta fekvő egyikszög 30◦. Mekkorák a háromszög további oldalai és szögei?

40. Feladat. Egy háromszög területe 30,64cm2, egyik oldala 8 cm, másik 10 cm hosszú-ságú. Mekkorák a háromszög további oldalai és szögei?

55. Házi feladat. Falióra kismutatója 10 cm, nagymutatója 14 cm hosszúságú. Milyentávol van egymástól a két mutató végpontja 10 órakor?

55. Szorgalmi. Húrnégyszög oldalai rendre 40cm, 52cm, 68cm és 60cm hosszúak.Mekkorák a szögei?

56. óra. Vegyes feladatok szinusz- és koszinusztételre 15.

56. óra Vegyes feladatok szinusz- és koszinusztételre

41. Feladat. Egy szimmetrikus trapéz hosszabbik alapja 28 cm és ez 38◦15’-es szögetzár be a trapéz 21,6 cm hosszú átlójával. Mekkorák az ismeretlen oldalak és szögek?

42. Feladat. Egy háromszög két oldalának hossza 14,8 cm és 8,2 cm. A harmadikoldalhoz tartozó súlyvonal hossza 10,4 cm. Határozzuk meg a harmadik oldal hosszát!

43. Feladat. Egy paralelogramma egyik oldala 4 cm, másik oldala 7 cm hosszúságúés két átló hossza közötti különbség 2 cm. Mekkorák az átlók?

44. Feladat. Egy síktükörtől az A pont 38 cm-re van, míg a B pont 65 cm-re. AzA pontból kiinduló fénysugár 21◦45’-es beesési szögben érkezik a síktükörre, majd avisszaverődés után B pontba jut. Mekkora az AB távolság?

45. Feladat. Egy 200 méter magas toronyból A pont 38◦17’-es lehajlási szög alattlátszik, míg B pontnál ez 46◦24’. A lehajlási szögek mérése során vízszintesen 78◦36’-esszöggel kellett elforgani a távcsövet. Mekkora az A és B távolsága?

56. Házi feladat. Egy paralelogramma területe 457,6 cm2, egyik oldala 14,2 cm, egyikszöge 32◦18’. Számítsuk ki a másik oldalt és a hosszabbik átlót!

56. Szorgalmi. Milyen hosszúak az óramutatók, ha végpontjaik 2 órakor 13 cm-re,míg 9 órakor 17 cm-re vannak egymástól?

16. 57. óra. Vegyes feladatok szinusz- és koszinusztételre

57. óra Vegyes feladatok szinusz- és koszinusztételre

46. Feladat. Egy háromszög oldalai 6 és 7 egység hosszúak. A rövidebbel szemköztiszög 40◦. Mekkora a beírt kör sugara?

47. Feladat. Egy háromszög egyik oldala 50 cm és a rajta fekvő szöveg 75 és 70fokosak. Mekkora a megadott oldalhoz tartozó súlyvonal hossza?

48. Feladat. Egy háromszög két oldalának összege 12 cm és 30◦-os szöget zárnak be.A háromszög területe 8 cm2. Mekkorák a háromszög oldalai?

49. Feladat. Egy háromszög két oldalának aránya 3 : 5 és az általuk bezárt szög 42,7◦.A háromszög területe 250,4 cm2. Mekkorák a háromszög oldalai?

50. Feladat. Egy háromszög területe 42 cm2. Két oldala 7,3 cm és 12,8 cm. Mekkoraa harmadik oldala? Mekkorák a szögei?

57. Házi feladat. Egy háromszög területe 58 dm2. Egyik oldala 8,7 dm és az ezen azoldalon lévő egyik szöge 42,15◦. Mekkorák a háromszög ismeretlen oldalai és szögei?

57. Szorgalmi. Egy paralelogramma átlóinak hossza e és f, az átlók által bezárt szögnagysága ϕ. Igazold, hogy a paralelogramma területe:

T =e · f · sinϕ

2

58. óra. Vegyes feladatok 17.

58. óra Vegyes feladatok

51. Feladat. Az ABC hegyesszögű háromszögben BC = 14 cm, AC = 12 cm, a BCAszög pedig 40◦. Az AB oldal felezőpontja legyen E, a BC oldal felezőpontja legyen D.

a) Számítsd ki a BC oldalhoz tartozó magasság hosszát! (7,7 cm)

b) Számítsd ki az AB oldal hosszát! (9,1 cm)

c) Határozd meg az AEDC négyszög területét! (40,5 cm2)

52. Feladat. Egy háromszög egyik oldalának hossza 6 cm. Az ezeken nyugvó két szög50◦ és 60◦. A háromszög beírt körének középpontját tükröztük a háromszög oldalaira.E három pont a háromszög csúcsaival együtt egy konvex hatszöget alkot.

a) Mekkorák a hatszög szögei? (115◦; 120◦; 125◦; 115◦; 120◦; 125◦;)

b) Számítsd ki a hatszög azon két oldalának hosszát, amely a háromszög 60◦-osszögének csúcsából indul! (3,1 cm mindkettő)

c) Hány négyzetcentiméter a hatszög területe? (25,4 cm2)

53. Feladat. Egy ABC háromszögben a D pont felezi az AB oldalt. A háromszögbenismert: AB = 48 mm, CD = 41 mm, CDA] = 47◦

a) Számítsd ki az ABC háromszög területét! (720 mm2)

b) Számítsd ki háromszög BC oldalának hosszát (60 mm)

c) Számítsd ki a háromszög B csúcsánál lévő belső szög nagyságát! (30◦)

58. Házi feladat. Az ABC háromszög körülírt körének sugara 26 cm, BAC] = 60◦

a) Számítsd ki a BC oldal hosszát!

b) Hány fokos a háromszög másik két szöge, ha az AC oldal b cm, az AB oldal 3bcm hosszúságú? A keresett értékeket egy tizedesjegyre kerekítve add meg!

58. Szorgalmi. Az ABC háromszögben AB=2, AC=1, a BC oldal hossza pedig meg-egyezik az A csúcsból induló súlyvonal hosszával. Mekkora a BC oldal és a terület?

18. 59. óra. Addíciós tételek

59. óra Addíciós tételek

Állítás. A szögfüggvények periodikusak, így minden k ∈ Z esetén:

sin(x) = sin(x+ 2kπ)

cos(x) = cos(x+ 2kπ)

tg(x) = tg(x+ kπ)

ctg(x) = ctg(x+ kπ)

Állítás. A szögfüggvények fontosabb szimmetriái a következők:

sin(−x) = − sin(x) sin(π2− x)

= cos(x) sin (π − x) = + sin(x)

cos(−x) = + cos(x) cos(π2− x)

= sin(x) cos (π − x) = − cos(x)

tg(−x) = −tg(x) tg(π2− x)

= ctg(x) tg (π − x) = −tg(x)

ctg(−x) = −ctg(x) ctg(π2− x)

= tg(x) ctg (π − x) = −ctg(x)

Tétel. A trigonometria alaptétele: cos2 α + sin2 α = 1

Tétel. Az addíciós összefüggések összegre vonatkozóan:

a) cos(x− y) = cos(x) cos(y) + sin(x) sin(y)

b) cos(x+ y) = cos(x) cos(y)− sin(x) sin(y)

c) sin(x+ y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)

d) sin(x− y) = sin(x) cos(y)− cos(x) sin(y)

54. Feladat. Írd fel a cos 2x és a sin 2x addíciós összefüggését!

55. Feladat. Az addíciós tételek segítségével számold ki a 75◦ és a 15◦ koszinuszánakilletve szinuszának pontos értékét!

59. Házi feladat. Hozzuk egyszerűbb alakra az alábbi kifejezéseket!

a) sin(π − α) + sin(π + α)

b) cos(π3− α

)+ cos

(π3+ α

)59. Szorgalmi. Igazold, hogy ∀x ∈ R -re teljesül: sinx = 2 · sin x

2· cos x

2

60. óra. Trigonometrikus egyenletek 19.

60. óra Trigonometrikus egyenletek

56. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!

a) sinx = 1

b) sinx = 0, 5

c) sinx = −1

d) sinx = −0, 5

e) cosx = 1

f) cosx = 0, 5

g) cosx = −1

h) cosx = −0, 5

57. Feladat. Adjuk meg az alábbi egyenletek megoldását fokban és radiánban is!

a) sin(2x+

π

3

)=

√3

2b) cos

(3x− π

4

)= −1

60. Házi feladat. Oldd meg az alábbi egyenletet!

a) 2 · sin(π3− x)− 1 = 0

b) 2 cos(4x− π

3

)=√3

c) sin2(x3− π

4

)=

1

2

60. Szorgalmi. Oldd meg az alábbi egyenletet!

tg2(2x+

π

4

)− 3 = 0

20. 61. óra. Trigonometrikus egyenletek

61. óra Trigonometrikus egyenletek

58. Feladat. Oldd meg az alábbi egyenleteket a [−4π; 4π] intervallumon!

a) sin 3x = sin 2x

b) cosx

2= cos 4x

c) tg 5x = tg x

d) sin(x− π

4

)= sin

(2x+

π

3

)

e) cos(2x− π

4

)= cos

(x− π

3

)

61. Házi feladat. Oldd meg az alábbi egyenletet!

sin(x− π

4

)= sin 2x

59. Feladat. Oldd meg az alábbi egyenletet!

2 · tg x = cosx

62. óra. Trigonometrikus egyenletek 21.

62. óra Trigonometrikus egyenletek

60. Feladat. Használd a másodfokú egyenletet megoldóképletét!

a) 2 · sin2 x+ 11 · sinx− 6 = 0

b) 2 · cos2 x+ 11 · cosx− 6 = 0

c) 2 · cos2 x = 5 · cosx+ 3

d) 2 · sinx = 3 · cos2 x+ 2 · sin2 x

62. Házi feladat. Oldd meg az alábbi egyenletet!

2 · sin2 x− 2 = 7 · sinx+ 2

61. Szorgalmi. Oldd meg az alábbi egyenletet!

cos2 x+ 3 · sinx = 3

22. 63. óra. Trigonometrikus egyenletek gyakorlása

63. óra Trigonometrikus egyenletek gyakorlása

61. Feladat. Oldd meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán!

a) cos2 x+ 4 cosx = 3 sin2 x

(π

3+ 2kπ;

5π

3+ 2kπ; k ∈ Z

)

b) 2 cos2 x = 4− 5 sinx

(π

6+ 2kπ;

5π

6+ 2kπ; k ∈ Z

)

c) sin2 x = 2 sin x+ 3

(3π

2+ 2kπ; k ∈ Z

)

d) sin2(x− π

6

)=

1

2

(π

3+ 2kπ; 2kπ; π + 2kπ;

4π

3+ 2kπ; k ∈ Z

)

63. Házi feladat. Add meg a következő egyenleteket [0; 2π] intervallumon!

a) sinα = −1

b) cosα = 0, 5

c) sinα =

√2

2

d) 2 cos2 x+ 3 cosx− 2 = 0

62. Szorgalmi. Oldd meg a valós számok halmazán!

cosx = sinx

64. óra. Trigonometrikus egyenletek gyakorlása 23.

64. óra Trigonometrikus egyenletek gyakorlása

62. Feladat. Add meg az összes olyan forgásszöget fokokban mérve, amelyre az alábbikifejezés nem értelmezhető:

k =5

cosx(90◦ + n · 180◦; n ∈ Z)

63. Feladat. Oldd meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán!

a)√12 · sinx = 2 cos x

(x =

π

6+ k · π; k ∈ Z

)

b)1− sinx

2 · cosx= 1 (x ≈ −0, 6435 + k · 2π; k ∈ Z)

c)ctgx

sinx= 2 ·

√3

(π6+ 2kπ; −π

6+ 2kπ; k ∈ Z

)

d) cos(x− π

3

)= sin

x

2

(5π

9+

4

3kπ;−π

3+ 4kπ; k ∈ Z

)

64. Házi feladat. Oldd meg az alábbi feladatot!

3 · sinx = 4 · cosx

63. Szorgalmi. Oldd meg az alábbi feladatot!

1− cosx

2 · sinx= 1

24. 65. óra. Trigonometrikus függvények

65. óra Trigonometrikus függvények

64. Feladat. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket!

a) f(x) : R→ R; x 7−→ sin(x− π)

b) g(x) : R→ R; x 7−→ 2 · cos(x− π

2

)

c) h(x) : R→ R; x 7−→ 1

2· cos(2x) + 1

d) i(x) : ]0; π[→ R; x 7−→ tg(x− π

2

)

e) j(x) :]−π2;π

2

[→ R; x 7−→ 2 · ctg

(x+

π

2

)

65. Házi feladat. Ábrázold és jellemezd az alábbi függvényt!

k(x) : R→ R; x 7−→ 1

2· sin(2x) + 1

64. Szorgalmi. Adott a g(x) = ctg 2x függvény. Mennyi a következő kifejezés értéke?

g(π6

)+ g

(π4

)

66. óra. Trigonometrikus függvények 25.

66. óra Trigonometrikus függvények

65. Feladat. Oldd meg az alábbi egyenleteket grafikus és algebrai úton!

a) sin(x+

π

3

)=

√3

2

b) tg(π6− x)=√3

c) cos2 x = 1

d) sin(x2

)= 1

66. Házi feladat. Ábrázold és jellemezd az alábbi függvényt!

k(x) : R→ R; x 7−→ 1

2· cos(2x) + 1

65. Szorgalmi. Adott a h(x) = tg 2x függvény. Mennyi a következő kifejezés értéke?

g(π6

)+ g

(π2

)

26. 67. óra. Összefoglalás

67. óra Összefoglalás

66. Feladat. Oldd meg az alábbi egyenleteket!

a) 2 · cos(4x− π

2

)= −√3

(5π

12+kπ

2;π

3+kπ

2; k ∈ Z

)

b) −2 · sin(2x− 3π

4

)=√2

(π4+ k · π; k · π; k ∈ Z

)

c) tg2(2x+

π

3

)=

1

3

(π

4+kπ

2;5π

12+kπ

2; k ∈ Z

)

d) 2 · sin2 x+ 5 · cosx− 4 = 0

(π

3+ 2kπ;

5π

3+ 2kπ; k ∈ Z

)

67. Házi feladat. Oldd meg az alábbi egyenletet!

sin(10x+

π

2

)= sin

(2x+

3π

2

)66. Szorgalmi. Oldd meg az alábbi egyenletet!

sin

(3x+

3π

4

)= − sin

(x− 5π

3

)

68. óra. Dolgozat írása 27.

68. óra Dolgozat írása

kedd