III Hidrostática

Hidrosttica 3.1 Dr. Jess Alberto Rodrguez Castro

3. HIDROSTTICA

3.1 CONCEPTOS BSICOS

La esttica de los fluidos estudia las condiciones de equilibrio de los cuerpos fluidos en reposo. Cuando se

trata solo de los fluidos lquidos se denomina Hidrosttica.

3.1.1 Presin

Se define a la presin como el resultado de una fuerza actuando sobre una superficie en direccin

perpendicular a sta, tal como se muestra en la figura siguiente.

F

Para el clculo de la presin se emplea la siguiente expresin

AFp =

Donde

F = fuerza aplicada perpendicularmente a la superficie, en unidades de fuerza [F] A = rea de la superficie, en unidades de rea [L2] p = presin, en unidades de fuerza sobre rea [ F / L2]

3.1.2 Escalas de presin

La medicin de la presin se realiza de acuerdo a una referencia arbitraria que por lo general, es el cero

absoluto (vaco total) la presin atmosfrica local. Cuando la presin se expresa con respecto a la

presin atmosfrica local, se le conoce como presin manomtrica o relativa. En cambio, cuando se

mide con respecto al vaco total, se le conoce como presin absoluta. La relacin entre estas dos es la

siguiente:

atmrelabs ppp += donde

pabs = presin absoluta

prel = presin relativa o manomtrica

patm = presin atmosfrica


Las presiones absoluta y relativa se pueden representar de forma grfica de la siguiente manera

Presin atmosfricalocal p = 1.033 kg/cm

P rel

P abs

2

Vaco total (p = 0)

3.1.3 Presin atmosfrica

Es la presin que ejerce la atmsfera sobre los cuerpos sumergidos en ella. A una altitud determinada, la

presin atmosfrica es igual al peso de la columna de aire existente encima de dicha altitud. Al nivel del

mar, su valor normal es de aprximadamente 760 mm Hg (1.013 mbar), mientras que a una altura de

5.500 m, este valor se reduce a la mitad. El aire fro pesa ms que el caliente, y ste es uno de los

factores que influyen en las diferencias de presin atmosfrica a un mismo nivel.

Para medir la presin atmosfrica en cualquier punto de la tierra se utiliza un barmetro. Torricelli fue el

primero en medir la presin atmosfrica con el barmetro que lleva su nombre. Este aparato consiste en

un tubo de cristal cerrado en uno de sus extremos lleno con mercurio e invertido sobre un recipiente que

contiene tambin mercurio como se muestra en la figura:

H

Hg

Patm Patm

Debido a la accin de la gravedad, el mercurio dentro de la columna, trata de descender. Sin embargo, la

presin atmosfrica actuando sobre la superficie libre del mercurio en el recipiente, lo detiene

equilibrndose ambas fuerzas, a una altura de la columna de mercurio igual a H. A nivel del mar y a una

temperatura de 20 C, la altura H de la columna de mercurio es aproximadamente, igual a 760mm

1.033 kg/cm2


La relacin entre la presin absoluta, relativa y atmosfrica, se puede visualizar por medio del diagrama

siguiente:

Cero absoluto

0

kg/cm2

kg/cm2

kg/cm2

kg/cm2

0

1 kg/cm

2 kg/cm 2

3 kg/cm 2

4 kg/cm 2

2absP

relP

absP

= 1.033 kg/cm2atmP

3.2 FUNDAMENTOS

3.2.1 Presin de un lquido sobre una superficie

La fuerza que ejerce la presin de un lquido en reposo sobre las paredes y el fondo del recipiente que lo

contiene, es siempre perpendicular a stas, lo cual se puede demostrar, observando las fuerzas que

actan sobre una partcula que est en contacto con la pared del recipiente, como se muestra en la figura

siguiente.

Ps

Pn

Pt

Las fuerzas que estn actuando sobre la partcula son las siguientes:

Ps = fuerza debido al peso de la partcula

Pn= componente de Ps normal a la pared del recipiente

Pt= componente de Ps paralela a la pared del recipiente

Como el lquido est en reposo, no existe movimiento de las partculas y por lo tanto, la accin de la

componente de la fuerza ( Pt ), paralela a la pared del recipiente es nula; no as, la componente normal a

a pared ( Pn ), que trata de comprimir la partcula. Por lo tanto, es la nica fuerza que tiene efecto sobre


la pared. De esto se puede concluir que la direccin de las fuerzas, derivadas de la presin que acta

sobre una superficie, es siempre perpendicular a stas.

3.2.2 Presin en un punto

En una masa lquida el efecto de la presin sobre un punto es el mismo en todas las direcciones. Esto se

puede demostrar considerando una masa lquida homognea en reposo y dentro de ella un prisma del

mismo lquido, con paredes imaginarias y ancho unitario, como se muestra en la figura siguiente

b

a

c

p1

p2

p3

w

SLA

p cos 3

p sen 3

Las variables p1, p2 y p3 son las fuerzas debidas a la presin que acta sobre cada una de las caras del

prisma y el ngulo de la cara inclinada del prisma, con respecto al plano horizontal es . Partiendo de la definicin de presin se definen las fuerzas p1, p2 y p3, como

iiii

ii ApFA

Fp ==

donde i = 1, 2 3. Debido a que el lquido est en reposo, el sistema de fuerzas esta equilibrado y por lo tanto, la suma de

fuerzas en todas las direcciones, es igual a cero. En la direccin horizontal, la suma de fuerzas es

011 21 == acsenpabpFH pero absenac = entonces, sustituyendo se tiene que

2121 011 ppabpabp ==

En la direccin vertical, la suma de fuerza es

011cos 32 =+= bcpwacpFV

coscos acbcacbc ==

senacabacabsen ==


pero como

abacademsabbcw == cos12

y sustituyendo en la expresin anterior, se tiene que

02 32

=+ bcpabbcbcp Por lo tanto,

02 32

=+ pabp En el lmite cuando la distancia ab tiende a cero, es decir

3232 020lim

pppabpab

==

+ Por lo tanto,

321 ppp == Esto quiere decir que si se hace tender las dimensiones del prisma a cero, en el lmite este se convierte en

un punto y por lo tanto p1, p2, y p3 son iguales en cualquier direccin.

3.2.3 Presin en un lquido

Considrense dos puntos en una masa lquida homognea en reposo, situados a las profundidades z1 y z2

respectivamente, tal como se muestra en la figura siguiente

z

h

z1

2

p

p

1

2

LdA

w

SLA

wcos

1

2

La diferencia de profundidades se define como h. Supngase que en los puntos 1 y 2 se encuentran las

bases de una regin cilndrica dentro del lquido. El rea de estas es de magnitud diferencial (dA) y la

longitud del cilindro es L. El peso del cilindro (w) acta en el centro de gravedad de este y sobre las

bases actan las presiones p1 y p2.


Como el lquido est en reposo, la suma de las fuerzas, en cualquier direccin, debe ser igual a cero. En la

direccin del eje del cilindro se tiene que

0cos 12 = dApwdAp pero como

dALw = entonces

0cos 12 = dApLdAdAp Tambin de la figura se observa que

cosLh = por lo tanto, al sustituir se obtiene la siguiente expresin

012 = php Entonces, al reagrupar se obtiene

hpp = 12 Esta expresin indica que la diferencia de presiones entre 2 puntos, dentro de una masa lquida,

homognea en reposo, es igual al producto del peso especfico del lquido por la diferencia de

profundidades a que se encuentran los puntos. Este es el principio fundamental de la hidrosttica

Ahora bien, si los puntos estn en un plano horizontal, entonces

012 == zzh y por lo tanto

p2 =p1

Esto significa que las presiones en un plano horizontal de un lquido homogneo, en reposo, tienen el

mismo valor.

Ahora bien, si el punto 1 est localizado sobre la superficie libre del agua (SLA), entonces p1 = 0 (presin

relativa) y z1 = 0. Por lo tanto

hp =2 En general, para cualquier punto en el seno de una masa lquida situado a una profundidad h, con

respecto a la superficie libre, la presin es igual a

hp =


De esto se concluye que la presin hidrosttica es una funcin lineal de la profundidad y el peso

especfico del lquido. Si el lquido es homogneo, el peso especfico no cambia, por lo que la presin vara

solamente con la profundidad, es decir a mayor profundidad, mayor presin.

En el desarrollo anterior se observa que el tamao del cilindro no tiene significado alguno en el clculo de

la presin hidrosttica, por lo que cualquier volumen de un mismo lquido produce la misma presin a la

misma profundidad, como se puede observar en la siguiente figura.

h

La presin en el fondo de los recipientes mostrados en la figura es igual para cada caso, ya que el nivel

que alcanza el lquido en cada uno de ellos es el mismo, por lo tanto la profundidad h es idntica en cada uno de ellos.

3.2.4 Principio de Pascal

Cuando se aplica una fuerza externa a un fluido, la presin que se genera dentro de este, se trasmite

ntegramente en toda su extensin y en todas direcciones, tal como se muestra en la figura siguiente.

f

A

Por lo tanto, la presin en cualquier punto del lquido es igual a

hpp f +=


Donde Pf es la presin producida por la fuerza f actuando sobre la superficie de rea A, que est en

contacto con el lquido, es decir

Afp f =

y al sustituir queda

hAfp +=

Por lo tanto, Af

representa una constante que se aade a la presin hidrosttica en cualquier punto de la

masa lquida.

3.3 APLICACIONES

3.3.1 PRENSA HIDRULICA

Es un dispositivo que se utiliza para mover grandes pesos aplicando fuerzas relativamente pequeas,

basndose en el principio de la transmisin ntegra de presiones en una masa fluida.

La prensa hidrulica consiste bsicamente, en dos cilindros de diferente dimetros conectados entre si por

un tubo. En el interior de los cilindros y del tubo de conexin se coloca un fluido confinado por pistones,

tal como se muestra en la figura. Al aplicar una fuerza ( f ) en el pistn de menor dimetro, la presin

resultante ( p1 ) es

11 A

fp =

Esta presin se transmite en todo el fluido y en todas las direcciones, as como en las paredes que estn en contacto con este.

1 2

wf

A1 A 2

De esta manera, sobre el pistn de dimetro mayor, se ejerce la misma presin, es decir

21 pp =


pero, de acuerdo a la definicin de presin, se tiene que

22 A

wp = igualando la presin en 1 y 2, se obtiene

21 Aw

Af =

y despejando el peso

fAAw

1

2= lo cual significa que la fuerza en 1 se multiplica por la relacin de reas. Como variantes se pueden tener

los siguientes casos:

Caso 1

1 2

w

f

h

A1 A2

donde

22

11

21

Awp

hAfp

pp

=

+==

igualando se tiene

hAf

Aw +=

12

y por lo tanto

21

AhAfw

+=


Caso 2

1 2

w

f

h

1A A 2

donde

hAwp

Afp

pp

+=

==

22

11

21

igualando

12 Afh

Aw =+

por lo tanto

21

AhAfw

=

3.3.2 MANMETROS

Son dispositivos que emplean una columna lquida para medir la presin. El manmetro ms elemental

consiste en un tubo conectado a un recipiente o tubera a presin con uno de sus extremos expuesto a la

atmsfera como se muestra en las figuras siguientes

h

A

h

hA

A

a) b) c)

Este tipo de manmetros se conocen generalmente como piezmetros y miden la presin en funcin de la

altura de la columna h. Por ejemplo, la presin en el punto A de la figura (a) es igual a

hp A =


donde es el peso especfico del lquido a presin. Cuando se requiere conocer la diferencia de presiones entre dos puntos se utiliza un manmetro

diferencial que no es ms que un tubo que conecta dos recipientes tuberas, como se muestra en la

figura siguiente

A

B

h

B

Otro tipo de manmetros son los denominados manmetros abiertos que son similares a los

piezmetros pero difieren de estos en que contienen un lquido de mayor peso especfico que el del

lquido a presin como se muestra en la figura.

A h

'

> 3.3.2.1 Mtodo de clculo

Para calcular la presin con un manmetro abierto o diferencial, se pueden seguir dos procedimientos:

uno consiste en igualar con cero. la suma de todas las presiones a lo largo del manmetro y el otro en

igualar las presiones en puntos convenientes.

Suma de presiones

a) Manmetro abierto

Se suman las presiones que se generan a lo largo del manmetro, teniendo en cuenta su signo. Si realiza

la suma desde el punto m hasta el punto d de la figura siguiente, se tiene que las presiones contrarias a

esta direccin son negativas, es decir


m

a

b

c

d

hcd

bchabh

mah

0''' =++ cdbcabmam hhhhp o bien

madcm hhp = ' donde, es el peso especfico de lquido manomtrico. b) Manmetro diferencial

En este caso la suma de presiones se realiza desde el punto m al punto n que se muestran en la figura

siguiente y se iguala a cero

m

n

a

b

c

d

e

hab hbc

hde hen

hcdh

ma

0''' =+++ nendecdbcabmam phhhhhhp

por lo que

endecdmanm hhhhpp ++= '


Igualacin de presiones

a) Manmetro abierto

Igualando las presiones en los puntos a y b de la figura siguiente

m

a

b

c

d

h

hcd

bchabh

se tiene que

ca pp = Entonces

mama hpp += y cdc hp = igualando

cdmam hhp ' =+ y despejando

macdm hhp = ' que es igual al resultado obtenido con el otro mtodo.

b) Manmetro diferencial

m

n

a

b

c

d

e

hab

hma

hbc

hcd

hde hen

Igualando las presiones en los puntos a y c de la figura anterior, se tiene

ca pp =


es decir

mama hpp += y dcdeennc hhhpp ' ++= igualando

=+ mam hp dcdeenn hhhp ' ++ por lo que

dcdeenmanm hhhhpp ' ++= que es igual a la expresin obtenida con el primer mtodo.

3.3.3 EMPUJE SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS

El empuje sobre una superficie sumergida en un lquido es la fuerza que resulta de la accin de la presin

sobre dicha superficie. Para facilitar su estudio, se hace la distincin entre empuje sobre superficies

planas y curvas.

SUPERFICIES PLANAS

Una superficie plana de rea A, colocada horizontalmente a una profundidad h en el seno de un

lquido, est sujeta a una presin hidrosttica ( hp = ) constante en toda la extensin de su rea. Esta presin se puede representar como un conjunto de fuerzas distribuidas uniformemente en toda el rea. A

esta representacin se le conoce como diagrama de presiones, tal como se muestra en la figura

siguiente

EDiagrama de presiones

P= h

Centro de gravedad del diagrama depresiones

A C = CG p

SLA

h

El efecto de la presin hidrosttica se puede representar con una fuerza equivalente, llamada Empuje

(E), la cual se define como de acuerdo a la siguiente expresin

ApE =


Donde p es la presin hidrosttica. Si se sustituye la expresin hp = , se tiene AhE =

En este caso particular, el centro de presiones (CP), que se alinea con el centro de gravedad del diagrama

de presiones, coincide con el centro de gravedad (CG), de la superficie horizontal.

Ntese que el producto h A es igual al volumen del diagrama de presiones y que al multiplicar por el peso

especfico del lquido se obtiene el peso de este volumen. Por lo tanto, se puede decir que el empuje es

equivalente al peso de la cua de presiones.

Cuando la superficie plana sumergida en el seno de un lquido se coloca en una posicin diferente a la

horizontal, las presiones que actan sobre ella no tienen el mismo valor en todos sus puntos, ya que son

mayores en los puntos de mayor profundidad. En este caso, el diagrama de presiones es como se

muestra en la figura siguiente

Diagrama de presiones

SLASLA

CGCp

Centro de gravedad deldiagrama de presiones

E

En este caso el empuje, pasa por el centro de gravedad del diagrama de presiones pero no coincide con

el centro de gravedad de la superficie plana (CG), sino que se aplica en un punto diferente al que se le

conoce como centro de presiones (CP ). La magnitud del empuje y posicin del centro de presiones, se

pueden calcular de la siguiente manera: Supngase una superficie plana en una posicin cualquiera en el

interior de una masa lquida, en reposo, como se muestra en la siguiente figura.

o

dAA

Go'

z

C

SLA

y

yc

y

z

PC


La superficie est contenida en un plano imaginario que intersecta la superficie libre del agua (SLA) con

un ngulo y forma la traza oo. Sobre una pequea franja de rea diferencial dA, situada a una profundidad z, la presin hidrosttica es

igual a

zp = Asimismo, la presin debida a un empuje diferencial dE, sobre la franja es igual a

dAdEp =

Igualando estas dos expresiones y despejando dE, se tiene

dAzdApdE == Para calcular el empuje sobre toda el rea de la superficie se integra de la forma siguiente

=A

dAzE Por otro lado, de la figura se observa que

senyzyzsen ==

Al sustituir el valor de z en la integral, se tiene

==A A

dAysendAsenyE

Pero el valor A

dAy es el momento esttico de la superficie considerada con respecto al eje oo, por lo

tanto

AyMdAy oA

== Volviendo a sustituir en la ecuacin del empuje, se obtiene lo siguiente

AysenE = Al referirse de nuevo a la figura anterior, se puede observar que la profundidad al centro de gravedad de

la superficie, se puede expresara como

senyz = Entonces, al sustituir en la expresin del empuje, se obtiene lo siguiente

AzE =


o bien

ApE = Esta expresin indica que el empuje sobre una superficie plana cualquiera, es igual a la presin sobre el

centro de gravedad, multiplicada por el rea de la superficie.

La posicin del centro de presiones (donde se aplica el empuje) se calcula considerando el momento

esttico de la superficie libre con respecto a la traza oo, es decir

dAzyydEMd == integrando ambos lados de la ecuacin, se tiene

=== dAysendAysenydAzyM 2 pero tambin el momento de la resultante (el empuje)se calcula como

===== ydAsenydAsenyydAzydEyEyM cpcpcpcpcp igualando estas dos ecuaciones, se tiene

= ydAsenydAysen cp 2

=

ydA

dAyycp

2

pero dAy 2 y dAy son los momentos de inercia (Ioo ) y esttico (Moo ) de la superficie A con respecto a la traza oo, respectivamente, es decir

'

'

oo

oocp M

Iy =

donde

yAdAyMtambinydAyI oooo === '2' A partir del teorema de Steiner o de los ejes paralelos

2' yAII Goo +=


sustituyendo, se tiene

yAyAIy Gcp

2+=

o bien

yyA

Iy Gcp +=

en donde IG, es el momento de inercia con respecto al centro de gravedad de la superficie

SUPERFICIES CURVAS

Considrese una superficie curva en el seno de una masa lquida como el que se muestra en la figura

siguiente.

dE

dE = dE cosH

dA

Av

z

Cp

SLA

dE = dE senV

VdA

dAHdA = dA senH

dAdA

= d

A co

sV

z

Si se analiza un rea diferencial dA de esta superficie, situada a una profundidad z, se observa que est

sujeta a un empuje diferencial igual a

dAzdE = La lnea de accin de este empuje forma un ngulo con respecto a la superficie libre del agua. As mismo, este se pude expresar en funcin de sus componentes ortogonales dEH y dEV, que se definen

como

VH dAzdAzdEdE === coscos

HV dAzdAsenzdEsendE === La componente horizontal del empuje EH se obtiene integrando dEH, es decir

===A

HVA

VA

H EdAzdAzdE


El producto z dAV es el momento esttico de la proyeccin vertical del rea diferencial dA con respecto a

la superficie libre del agua. Integrando se obtiene

VA

V AzdAz = que es el momento esttico de la proyeccin vertical de la superficie curva ( AV ), con respecto a la

superficie libre del agua. Sustituyendo en la expresin del empuje, se tiene

VH AzE = Esto significa que la componente horizontal del empuje se puede calcular, simplemente, multiplicando la

proyeccin vertical del superficie ( AV ) por la profundidad de su centro de gravedad ( z ) y el peso

especfico ( ) del lquido en que se encuentre sumergida. Para el clculo de la componente vertical del empuje, se integra la ecuacin de la componente vertical del

empuje, es decir

==A

VHA

V EdAzdE Al integrar el producto HdAz en toda el rea, se obtiene volumen del lquido colocado sobre la superficie

considerada, es decir

VoldAzA

H = por lo tanto,

VolEV = Como el producto Vol corresponde a un peso, se concluye que la componente vertical del empuje sobre la superficie curva es igual al peso del lquido encima superficie. Esto se cumple an cuando no haya

lquido encima de la superficie. Por ejemplo, la componente vertical del empuje sobre la superficie abc del

cuerpo sumergido mostrado en la figura siguiente, es

EV = Aeabcd L

d

c

e

ab

SLA L


Donde Aeabcd es el rea lateral del cuerpo y L es el ancho.

La posicin de la componente horizontal del empuje se calcula considerando el momento del empuje

horizontal con respecto a la superficie libre. Para el diferencial de dicho empuje, se tiene

zEdMd H= integrando

====A A

VVH AdzzdAzzEdMdM2

Este momento tambin se pude calcular multiplicando la componente horizontal del empuje total ( EH )

por la distancia del centro de presiones a la superficie libre del agua, es decir

====A

VcpA

VcpHcpcpH dAzydAzyEdyyEM

igualando las dos expresiones

=A

VAdz2

AVcp dAzy

entonces

AV

AV

AV

AV

cp QI

dAz

Adzy ==

2

Donde IAV es el momento de inercia de la proyeccin vertical de la superficie (AV) y QAV es el momento

esttico de esta proyeccin, con respecto a la superficie libre del lquido.

El empuje total sobre la superficie curva se obtiene de la siguiente manera

22VH EEE +=

3.3.4 FLOTACIN

PRINCIPIO DE ARQUMEDES

El Principio de Arqumedes dice que Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un lquido recibe un

empuje hacia arriba igual al peso del volumen del lquido desplazado. La lnea de accin de este empuje

coincide con el centro de gravedad del volumen desplazado.


Una demostracin sencilla de este principio se puede efectuar considerando un cuerpo sumergido en un

lquido, como se muestra en la figura siguiente

dA

dE1

dE2

z

z2

z1

Se puede considerar que el cuerpo est formado por una gran cantidad de prismas de seccin diferencial

dA y altura z.

Analizando un prisma separadamente, se puede observar que sobre las bases, situadas a profundidades

z1 y z2, estn actuando los empujes diferenciales dE1 y dE2, respectivamente, cuyo valor se define como

dAzdE 11 = y dAzdE 22 = la resultante de estos empujes es entonces,

( )12 zzdAdE = donde el producto dA(z2-z1) es el volumen del lquido desalojado por el prisma. Si se multiplica este

volumen por el peso especfico del lquido , se obtiene el peso del mismo. Integrando sobre todo el cuerpo, se obtiene el volumen total, es decir

( ) === dVolzzdAdEE V 12 por lo tanto

E = Vol Como el empuje es mayor en las bases inferiores de los prismas, la resultante tiene direccin hacia arriba.

ESTABILIDAD Y FLOTACIN

Para que un cuerpo sumergido permanezca estable, su centro de gravedad debe estar situado

directamente debajo del centro de presiones del lquido desplazado. Si los dos centros coinciden, se dice

que el cuerpo est en equilibrio indiferente.

Cp CpCGCG

Equilibrio estable Equilibrio indiferente


Tarea 2

1. Determinar la presin en kg/cm2 sobre una superficie sumergida a 6m de profundidad en una masa de agua.

Solucin: P= 0.60 kg/cm2 (man)

2. Determinar la presin en kg/cm2 que ocurre a una profundidad de 9m en un aceite de densidad relativa de 0.75

Solucin: P=0.675kg/cm2

3. Encontrar la presin absoluta, en kg/cm2, en el problema 1, si la lectura baromtrica es de 75.6 cm de mercurio (densidad relativa 13.57).

Solucin: P=1.628kg/cm2

4. A que profundidad en un aceite, de densidad relativa Dr =0.750, se producir una presin igual a 2.80 kg /cm2? A cul si el lquido es agua?

Solucin: hac = 37.30m hag = 28.0m

5. (a) Convertir un altura de presin de 5m de agua, en altura de aceite de densidad relativa 0.75 (b) Convertir una altura de presin de 60cm de mercurio (Dr=13.57), en altura de aceite de densidad relativa 0.75

solucin: a) 6.33m

b) 10.85m

6. Con referencia en la figura, las reas del pistn A y del cilindro B son, respectivamente, de 40 y 4000cm2 y B pesa 4000 kg. Los depsitos y las conducciones de conexin estn llenos de aceite de densidad relativa0.750. cul es la fuerza P necesaria para mantener el equilibrio si se desprecia el peso de A?

B

5m

A

P

Solucin: P = 25kg.


7. Determinar la presin manomtrica en el punto A, en kg/cm2, debida a la columna de mercurio (Dr=13.57) en el manmetro en U mostrado en la siguiente figura.

A

Agua

B C

D

3m

3.6

3.8m

Solucin:

PA = 1.0256kg/cm2

8. Aceite de densidad relativa 0.750 esta fluyendo a travs de la boquilla mostrada en la siguiente figura y desequilibra la columna de mercurio (Dr=13.57) del manmetro en U. Determinar el valor de h si la presin en A es de 1.40 kg/cm2.

A

B C

D

.825m

h

Solucin:

h = 1.14m

9. Para una presin manomtrica en A, de 0.11 kg/ cm2, encontrar la densidad relativa (Dr) del liquido manomtrico B, de la siguiente figura.

A3.15m

2.7m C D

E F

3.38m

3.0m

E

Dr=1.6

Lquido B

Aire

Solucin: Dr = 1.0


10. Para una lectura manomtrica en A de 0.18 kg/cm2, determinar: a) la elevacin de las ramas abiertas de los piezmetros E, F y G b) la lectura del manmetro en U de mercurio (Dr=13.57) de la siguiente figura.

Aire

Dr=0.70

Agua

Dr=1.60

Elev. 15m

Elev. 12m

Elev. 8m

Elev. 6m

A

B

C Dh

E F G

Elev. 4m

Solucin:

a) E = 12.43m F =12.30m

G = 10.69m b) h =0.61m

11. Un manmetro diferencial esta unido a dos secciones rectas A y B de una tubera horizontal por la que circula agua. La lectura en el manmetro de mercurio (Dr=13.57) es de 0.60m, siendo el nivel mas cercano a A el mas bajo. Calcular la diferencia de presiones entre A y B en kg/cm2. vease la figura siguiente.

0.60m

z

BA

Solucin: PA PB = 0.754 kg/cm2


12. Los recipientes A y B contienen agua alas presiones respectivas de 2.80 y 1.40 kg/cm2. Cual es la lectura en el manmetro diferencial de mercurio (Dr =13.57), mostrado en la siguiente figura?.

A

B

x

yh

Elev= 3m

Elev= 5m

Solucin:

h = 1.27m 13. Un deposito cerrado contiene 60cm de mercurio (Dr=13.57), 150cm de agua y 240cm de un aceite de

densidad relativa 0.750, conteniendo aire el espacio sobre el aceite. Si la presin manomtrica en el fondo del deposito es de 3.0 kg/cm2, Cual ser la lectura manomtrica en la parte superior del depsito?

Solucin: 1.860 kg/cm2

14. Con referencia en la siguiente figura, el punto A en el recipiente, est 53cm por debajo de la superficie libre del lquido, el cual, pos una densidad relativa de 1.25, en el recipiente. Cual es la presin manomtrica en A si el mercurio (Dr=13.57) asciende 34.3cm en el tubo?.

A

34.3cm

Aire

Solucin:

-0.40 kg/cm2


15. con referencia en la siguiente figura y despreciando el rozamiento entre el pistn A y el cilindro que contiene el gas, determinar la presin manomtrica en B en cm de agua. Supngase que el gas y el aire tienen pesos especficos constantes e iguales, respectivamente, a 0.560 y 1.200 kg/ cm3

20 m

90 m

60 mA

1600 toneladas

GAS

Solucin:

60.60cm de agua

16. Los recipientes A y B que contienen aceite y glicerina de densidades relativas 0.780 y 1.250, respectivamente, estn conectados mediante un manmetro diferencial. El mercurio del manmetro est a una elevacin de 50cm en el lado de A y a una elevacin de 35cm en el lado de B. Si la cota de superficie libre de la glicerina en el deposito B es de 6.40m. a que cota esta la superficie libre del aceite en el recipiente A?

Solucin: Cota =7.60m

17. Un deposito A, a una elevacin de 2.50m, contiene agua a una presin de 1.05 kg/cm2. Otro depsito B, a una elevacin de 3.70m, contiene un liquido a una presin de 0.70 kg/cm2, si la lectura de un manmetro diferencial es de 30cm de mercurio (Dr=13.57), estando la parte ms baja en el lado de A y a una cota de 30cm, determinar la densidad relativa del liquido contenido en B

Solucin: Dr = 0.525

18. El aire del recipiente de la izquierda de la figura siguiente esta a una presin de 23cm de mercurio, determinar la cota del liquido manomtrico en la parte derecha, en A

Aire

AireAceiteDr=0.80

AguaElev.=33.5 m

Elev.=36 m

p =0.2 kg/cm2

Elev.=32 m

Dr=1.6A

Solucin:

Elevacin 26.30m

19. Los compartimientos B y C de la siguiente figura estn cerrados y llenos de aire. La lectura baromtrica es 1.020 kg/cm2. cuando los manmetros A y D marcan las lecturas indicadas, qu valor tendr x en el manmetro E de mercurio?.


A

B

C

EAire Aire

25 cm

2.1 kg/cm2

Dx

Solucin:

x = 1.80m 20. El cilindro y el tubo mostrado en la siguiente figura contienen aceite de densidad relativa 0.902. para

una lectura manomtrica de 2.20 kg/cm2. cual es el peso total del pistn y la placa w?

1.80mPistn

1.80m

W

Solucin:

Peso =60.10kg 21. Con referencia a la figura, qu presin manomtrica de A har que la glicerina suba hasta el nivel B?.

Los pesos especficos del aceite de la glicerina son de 832 y 1250 kg/m3, respectivamente.

A BElev. = 9.0 m

Elev. = 7.5 m

Elev. = 3.6 m

Elev. = 1.5 m

Aire

Aceite

Glicerina

Solucin:

p = 0.35 kg/cm2

22. Para levantar una plataforma de 10 toneladas se utiliza un gato hidrulico. Si en el pistn acta una presin de 12 kg/cm2, y es transmitida por el aceite de densidad relativa 0.810, qu dimetro se requiere?

Solucin: 32.6 cm

23. El peso especfico de la glicerina es de 1260 kg/m3, qu presin de succin se requerir para elevar la glicerina 22 cm en un tubo de 12.5 mm de dimetro?

24. Solucin: -277 kg/m2


TAREA 3 1. El de posito de la figura siguiente contiene aceite y agua encontrar la fuerza resultante sobre la

pared ABC que tiene 1.20m de anchura.

Aceite

Agua

A

B

C

Dr = 0.80

3 m

1.8 m

Solucin:

Fuerza total resultante = 11448 kg 2. En la figura siguiente la compuerta ABC esta articulada en B y tiene 1.2 m de longitud. Despreciando

el peso de la compuerta, determinar el momento no equilibrado debido a la accin del agua sobre la compuerta.

B

A

C60

1 m

2.50 m

Solucin:

Momento no equilibrado = 2650 m kg (sentido de las agujas del reloj )

3. La compuerta AB de 1.80 m de dimetro de la figura mostrada a continuacin puede girar alrededor del eje horizontal C, situado 10 cm por debajo del centro de gravedad (CG). Hasta que altura h puede ascender el agua sin que se produzca un momento no equilibrado respecto de C, del sentido de las agujas del reloj?.

A

B

10 cm

h

C

CG

Solucin:

h = 1.125 m por encima de A


4. Encontrar para la compuerta AB (de la siguiente figura) de 2.50 m de longitud la fuerza de compresin sobre el jabalcn CD ejercida por la presin del agua (B, C y D son puntos articulados).

A

60 cm

45

60D

C

B

90 cm

90 cm

Solucin: F = 7160 kg.

5. una compuerta vertical rectangular AB de 3.6 m de altura y 1.5 m de ancho puede girar alrededor de su eje situado situado 15 cm por debajo del centro de gravedad de la compuerta. La profundidad total del agua es de 6 m . que fuerza horizontal F ha de aplicarse en el fondo de la compuerta para mantener el equilibrio?.

Solucin: F =1490 kg 6. Determinar el valor de z (figura siguiente) de forma que la fuerza total sobre la barra BD no sobre

pase los 8000 kg al suponer que la longitud en direccin perpendicular al dibujo es de es de 1.20 m y que la barra BD esta articulada en ambos extremos.

C

B

45 D

90

Z

2 m

A

Solucin:

Z = 1.84 m 7. un aceite de densidad relativa 0.800 acta sobre un rea triangular vertical cuyo vrtice est en la

superficie libre del aceite. El tringulo tiene una altura de 2.70 m y una base de 3.60m. una superficie rectangular vertical de 2.40 m de altura esta unida a la base de 3.60 m del tringulo y sobre ella acta agua. Encontrar el modulo y posicin de la fuerza resultante sobre la superficie total.

Solucin: F = 36.029 kg

3.57 m de profundidad

8. En la figura siguiente la compuerta AB tiene su eje de giro en B y su anchura es de 1.20m Qu fuerza vertical, aplicada en su centro de gravedad, ser necesaria para mantener la compuerta en equilibrio, si pesa 2000kg?.

A

451.5 m

B

1.5 m

Solucin:

F = 5200 kg


9. Un deposito de paredes laterales verticales contienen 1m de mercurio y 5.5m de agua. Encontrar la fuerza que acta sobre una porcin cuadrada de una de las paredes laterales, de 50cm por 50cm de rea, la mitad de la cual esta bajo la superficie de mercurio. Los lados del cuadrado estn situados verticales y horizontales respectivamente.

Solucin: F = 1572 kg

5.52m de profundidad 10. En la siguiente figura para una longitud de 4m de la compuerta, determinar el momento no

compensado respecto del eje de giro O, debido al agua, cuando esta alcanza el nivel A.

1 mA

O

B

3 m

Solucin:

18.000 m kg en el sentido de las agujas del reloj

11. El deposito de la seccin recta se muestra en la siguiente figura tiene 2m de longitud y esta lleno de agua a presin. Determinar las componentes de la fuerza requerida para mantener el cilindro en una posicin, despreciando el peso mismo.

Agua

0.15 kg/cm

1.5 m

r = 1

m

Solucin:

4690kg hacia abajo y 6750kg hacia la izquierda 12. Determinar las componentes horizontal y vertical, por metro de longitud, de la fuerza debida a la

presin del agua sobre la compuerta del tipo Tainter mostrada en la siguiente figura.

6 mR =3 m

Solucin:

4500kg y 1630kg 13. Determinar la fuerza vertical que acta sobre la bveda semicilndrica mostrada en la siguiente figura

cuando la presin manomtrica leda en A es de 0.60kg/cm2. la bveda tiene 2m de longitud.

A

Dr = 1.60

R = 6

0 cm

Solucin:

F = 12.600kg


14. Si la bveda del problema anterior es ahora hemisfrica y del mismo dimetro, cul es el valor de la fuerza vertical sobre la misma?

Solucin: F = 6050kg

15. El deposito mostrado en la figura siguiente tiene 3m de longitud y el fondo inclinado BC tiene 2.5m

de anchura, qu profundidad de mercurio dar lugar a un momento respecto a C, en el sentido de las agujas del reloj, igual a 14.000mkg, por la accin de los dos lquidos?.

B

C

hMercurio30

Agua

1.8 m

2.5 m

Solucin:

63 cm.

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III Hidrostática