)DML(دانشگاه صنعتی شريف، آزمايشگاه رسانه های ديجيتال

دانشگاه صنعتي شريف

دانشكده مهندسي كامپيوتر

مرکز فناوری اطالعات و ارتباطات پيشرفته

)DML(آزمايشگاه رسانه های ديجيتال

ديجيتال كردن صوت و تبديل نرخ نمونه برداري

حميدرضا ربيعیدکتر

)DML(دانشگاه صنعتی شريف، آزمايشگاه رسانه های ديجيتال

مقدمه-١

هاي الكتريكي متناظر با خود، به وسيله مبدلهاي آكوستيكي نظير ميكروفون يا در يك ميكروفون، امواج فشار صداي فيزيكي به سيگنال

Phonograph cartridgeزيرا سيگنال الكتريكي ،شود خروجي الكتريكي مبدل يك سيگنال آنالوگ ناميده مي. تبديل مي شوند

كه مي باشندت الگوهاي موج دوبعديسيگنالهاي صوت به صور. مشابه الگوي فشار موج صوتي است كه آن را بوجود آورده است

شكل موج آنالوگ از يك سري موجهاي ، ١ شكل ، نشان دهندة مسير زمان هستندx نشان دهندة شدت يا دامنه و محور yمحور

±5.0اين سري موجها به وسيله ميكروفون و تقويت كننده به ولتاژ آنالوگ با حداكثر دامنة . را نشان مي دهدchimeصوت از يك

. تبديل شده اند)VPPدامنة قله به قله يا (ولت

شكل موج معمول صوت-١شکل

بيشتر موجهاي صوت دقيقا . شود شود كه طول موج ناميده مي فركانس يك موج به وسيله زمان سپري شده بين تكرارها تعيين مي

طول . شود، مشاهده كرد توسط بيشتر سازهاي موسيقي ايجاد ميتكرار نمي شوند اما مي توان يك الگوي مشخص در شكل موجي كه

شود كه با واحد هرتز اندازه گيري مي، F، فركانس. در مقياس ميلي ثانيه يا ميكروثانيه بيان مي شود،λ،موج يك صوت الكتريكي

يعني مي باشد، λمعكوس ) تعداد دور در هر ثانيه(λ

= 1F.

. توانند به يك موج پايه و موجهاي متعدد الحاقي ديگر تقسيم شوند صداي بشر يا صداهاي توليد شده به وسيله سازهاي موسيقي مي

با باشند و میها موجهاي فركانس باالترOverton. ناميده مي شوندovertoneموجهاي الحاقي كه به موج پايه اعمال شده اند،

به صدا، مشخصات يك صوت بشري يا صوت سازهاي موسيقي را ) هارمونيك ها(فركانس هايي كه ضرايبي از موج پايه مي باشند

نسهاي اشود، نرخ نمونه برداري موردنياز بستگي به فرك هنگامي كه يك سيگنال صوت به سيگنالهاي ديجيتال تبديل مي. مي بخشند

overtoneدهاي موجود در سيگنال دار.

برداري را داريد، كه كيفيت هاي مختلفي بازي با سيگنالهاي نمونه برداري شده در نرخ هاي متفاوت نمونهكان مادر اين آزمايش شما

.از صوت را عرضه مي كنند

تئوري-٢

نمونه برداري يك سيگنال پيوسته و تئوري نمونه برداري نايكوئيست-١-٢

از سوي . كنند هستند كه به تدريج با نقصان يافتن منبع صدا، افت دامنه پيدا مي)آنالوگ( وستهسيگنالهاي پياز نوع سيگنالهاي صوت

داده هاي ديجيتال . از بيتهاي صفر و يكstream رشتهيك: ديگر، كامپيوترها، داده هاي خود را به صورت ديجيتال ذخيره مي كنند

بنابراين، سيگنال صوت آنالوگ . تال فقط در يك لحظة مشخص معتبر مي باشد دادة ديجي”1“ يا ”0“طبيعتا گسسته هستند زيرا مقدار

دادة ديجيتال البته . كه پيوسته است بايد به فرم ديجيتالي ناپيوسته تبديل شود تا كامپيوتر توانايي ذخيره يا پردازش صوت را داشته باشد

)DML(دانشگاه صنعتی شريف، آزمايشگاه رسانه های ديجيتال

يل دو طرفه بين سيگنالهاي آنالوگ و دتب. قابل شنيدن باشددوباره بايد به فرم آنالوگ تبديل شود تا از طريق يك سيستم صوتي

. و كارتهاي صدا مي باشدadapter عمليات اوليه تمام كارتهاي ،ديجيتال

و تبديل آنالوگ به ديجيتالتناوبي نمونه برداري -١-١-٢

است كه در آن )پريوديك(اوب متن پيوسته، نمونه برداري – گسسته از يك سيگنال زمان –روش معمول نمايش يك سيگنال زمان

. مطابق رابطه زير بدست مي آيدxc(t) از يك سيگنال زمان پيوسته x[n]يك دنباله از نمونه هاي

)١-٢(

ايده آل(A/D) يك مبدل آنالوگ به ديجيتال -٢شکل

نمونه برداري و معكوس آن، تناوب T، )١-٢(در رابطة T

1f s معموال بر حسب كه ، فركانس نمونه برداري بر حسب نمونه بر ثانيه =

گسسته – به –را به عنوان يك مبدل ايده آل پيوسته ) ١-٢(ما يك سيستم را كه رابطة . می باشند نمايش داده مي شود، (Hz)هرتز

(C/D) ونه برداري شده توسط كامپيوتر با دقت محدود، مقادير پيوسته براي ذخيرة مقادير نم. نشان داده ايم٢ عملي مي كند در شكل

عمليات نمونه برداري و كوانتيزاسيون دقيقا همان عملياتي است كه در . بايد به يك سري مقادير از پيش تعيين شده كوانتيزه شوند

تر كارتهاي صدا قابليت ذخيره شبي. د آنالوگ، به صورت برعكس، صورت مي گير– به –يجيتال د ديجيتال، يا – به –مبدل آنالوگ

.ندر بيتي، براي كيفيت هاي باالتر صوتي دا١٦ بيتي و هم ٨ صورتصدا را هم به

تئوري نمونه برداري نايكوئيست-٢-١-٢

. اشته باشيمتئوري نمونه برداري به ما مي گويد كه چه اندازه نمونه برداري ما مي تواند سريع باشد تا نمايش بهتري از سيگنال اوليه د

مي دانيم كه اگر يك سيگنال تغييرات خيلي سريع داشته باشد، ما هم بايد در فاصله هاي نزديكتري نمونه برداري كنيم تا هيچ تغيير

از آنجا كه تغييرات بورس بسيار . بورس بر حسب نمايش وضع هوا استسهام مثال خوب، نمايش يك. مياني را از دست ندهيم

معمول بايد هرچند دقيقه يكبار اعالم شود، از طرف ديگر، دربارة وضع هوا، نمايش اين تغييرات در هر ساعت سريع است، به طور

.كافي خواهد بود

. مي اندازيم كه چه اندازه دقيق بايد آن را تعيين كردTتناوب حاال، نگاهي به تئوري

)(ل با پهناي باند محدود و يك سيگناxc(t)در نظر بگيريد كه : تئوري نمونه برداري نايكوئيست ΩjX c تبديل فوريه آن است كه

.شرط زير را برآورده مي كند

)٢-٢(

2,1,0,...,][)( منحصرا توسط نمونه هاي xc(t)پس nTxnxn c=±±= يا ن نمونه برداري آتناوب بيان مي شود به شرطي كه

. شرط زير را برآورده كندsΩفركانس نمونه برداري

)DML(دانشگاه صنعتی شريف، آزمايشگاه رسانه های ديجيتال

)٣-٢(

كه بايد از N2Ωفركانس . نتيجه فوق ابتدا توسط نايكوئيست بدست آمد كه به نام تئوري نمونه برداري نايكوئيست مشهور شد

تبديل فوريه X(ejw)براي اثبات تئوري فوق، . شود د، نرخ نمونه برداري نايكوئيست ناميده ميفركانس نمونه برداري كوچكتر باش

)( را بر حسب x[n] گسسته دنبالة –زمان ΩjX c تبديل فوريه پيوسته ،xc(t)بدست مي آوريم ،.

.به همين منظور سيگنال قطار ضربه زير را در نظر مي گيريم

)٤-٢(

: به صورت زير مي باشدxs(t)مي توان نشان داد كه تبديل فوريه

)٥-٢(

با استفاده از تعريف

)٦-٢(

)٧-٢(

مشاهده مي شود

)٨-٢(

نتيجه مي گيريم كه) ٨-٢(و ) ٥-٢(از روابط

)٩-٢(

)( مجموع ترمهاي مقياس بندي شده و شيفت يافتة X(ejw)مشاهه مي شود كه ) ٩-٢(از رابطه ΩjX cمقياس فركانس . مي باشد

توسط T

w=Ω فركانس نمونه برداري تعيين مي شود، در حالي كه شيفت ها برابر با ضرايبT

2s

π=Ωمي باشند .

) تبديل ديجيتال به آنالوگ( بازسازي يك سيگنال باند محدود از نمونه هايش -٣-١-٢

)(0 برايNΩ>Ω ، اگر سيگنال اوليه باند محدود باشد، يعني٥از شکل =Ωjxc كه ،2

sN

Ω≤Ω مي توان ،)( ΩjX c را

. را بوجود آوريمxs(t)به طور دقيقتر ابتدا مي توانيم سيگنال قطار ضربه . بدست آوردX(jw)دوباره از

)DML(دانشگاه صنعتی شريف، آزمايشگاه رسانه های ديجيتال

)۲-١٠(

سپس مي توانيم يك فيلتر ايده آل پايين گذر را با فركانس قطع T2

sc

π=Ω=Ω به xs(t)اعمال كنيم .

)١١-٢(

)(اگر ΩjX c پهناي باند محدود باشد آنگاه سيگنال فيلتر شدة تبديل فوريه آن دقيقا برابر )( ΩjX cيعني. است:

. به صورت زير مي باشدthr)(در حوزه زمان، فيلتر بازسازي ايده آل

)٢-۱۲(

سيگنال بازسازي شده به صورت زير است

)١٣-٢(

.بازسازي را نشان مي دهدفرآيند اين يبلوكنمودار ،٣شکل

Nsيعني ( كه با فركانس كافي نمونه برداري شده اند هاز نتيجه فوق، نمونه هاي يك سيگنال باند محدود زمان پيوست 2Ω>Ω( براي ،

.نمايش سيگنال اصلي كافي هستند پس سيگنال اصلي از روي نمونه ها و دانستن پريود نمونه برداري قابل بازسازي است

عالوه بر اين، يك سيگنال واقعي ممكن است پهناي . گذر قابل پياده سازي نيست و ما بايد تقريب بزنيمييندر عمل، فيلتر ايده آل پا

پايين گذر و با فيلتربنابراين در عمل بايد ابتدا يك پيش. ي داشته باشد كه توسط سيستم نمونه برداري قابل اجرا نباشدباند زياد

فركانس قطع 2

sc

Ω≤Ω را اعمال كرد )2

sN

Ω≤Ω.(

)DML(دانشگاه صنعتی شريف، آزمايشگاه رسانه های ديجيتال

پاسخ ) ج(فركانسي يك فيلتر بازسازي ايده آل پاسخ ) ب(يك سيستم بازسازي سيگنال باند محدود ايده آل ) الف (-٣شکل

ضربه به يك فيلتر بازسازي ايده آل

نمونه برداري کاهشی-٢-٢

.نرخ نمونه برداري يك دنباله مي تواند با نمونه برداري از آن كاهش يابد

)١٤-٢( xd[n] = x[nM] = xc(nMT)

MTT نمونه بردار يكبوتناه صورت مستقيم با را مي توان بxd[n]مشاهده مي شود كه ) ١٤-٢(در رابطة xc(t) از سوي ′=

)(0به عالوه، اگر . بدست آورد =ΩjX c براي N|| Ω>Ω ،آنگاه xd[n] يك نمايش دقيق از xc(t) اگر

)DML(دانشگاه صنعتی شريف، آزمايشگاه رسانه های ديجيتال

Nss 2M

1

T

2 Ω>Ω=π=Ωبنابراين، نرخ نمونه برداري را مي توان با ضريب . باشدM كاهش داد اگر نرخ نمونه برداري اوليه

–به طور كلي، براي جلوگيري از تداخل، پهناي باند دنباله ابتدا بايد به وسيله فيلتر زمان . نايكوئيست باشد خ برابر نرMحداقل

. نشان داده شده است٤ كاهشي در شکل–نمونه بردار يك يبلوكنمودار . برابر كاهش يابدMگسسته تا

بايد يك فيلتر H(ejw)در حالت ايده آل . يك پيش فيلتر استH(ejw)، كه در آن M نمونه برداري کاهشی با ضريب -٤شکل

با فركانس قطع Mc

π=Ωباشد .

. را به ياد آوريمx[n]=xc(nT)د تبديل فوريه زمان گسسته ، ابتدا بايxd[n] و x[n]براي تعيين رابطه بين تبديل فوريه

)١٥-٢(

MTT يا xd[n]=x[nw]=xc(nT) گسسته –مشابه رابطه باال، تبديل فوريه زمان . به صورت زير مي باشد′=

)١٦-٢(

. زير بيان مي شودبه صورت) ١٦-٢( در رابطة rانديس جمع

)١٧-٢( r = i + BM

−∞>>∞− اعداد صحيح مي باشند، i و Bكه B 0 و<i<M-1است .

.ردتوان به صورت زير بيان ك را مي) ۱۷-٢( است، حاال معادله +∞ تا −∞ هنوز يك عدد صحيح در دامنة rواضح است كه

)١٨-٢(

.قابل جايگزيني است) ١٥-٢(از رابطة ) ١٨-٢(درون كروشه در رابطة عبارت

)١٩-٢(

.را به صورت زير بازنويسي كنيم) ١٨-٢(بنابراين ما مي توانيم رابطة

)٢٠-٢(

)DML(دانشگاه صنعتی شريف، آزمايشگاه رسانه های ديجيتال

، نمونه M=2 مي توان مشاهده كرد زماني كه. نمايش داده شده استM=3براي ) ٦( و در شكل M=2براي ) ٥(كه در شكل

همان (، همپوشاني بين طيفهاي تكرار شد M=3از طرف ديگر، وقتي . شود برداري کاهشی باعث همپوشاني طيف سيگنال اوليه نمي

.براي جلوگيري از تداخل پيش فيلتر كردن قبل از نمونه برداري کاهشی الزامي است. دهد رخ مي) تداخل

(M=2)ي كاهشي نمايش حوزه فركانس در نمونه بردار-٥شکل

)DML(دانشگاه صنعتی شريف، آزمايشگاه رسانه های ديجيتال

)M=2(نمايش حوزه فركانس در نمونه برداري كاهشي -٦شکل

)c(-)a (بدون پيش فيلتر كردن، بنابراين سيگنال نمونه برداري شده كاهشي تداخل دارد.

)f(-)d ( براي جلوگيري از تداخلنمونه برداري كاهشي با پيش فيلتر كردن.

لهاي ديجيتالي نمونه برداري افزايشي سيگنا-٣-٢

مشابه نمونه برداري سيگنال ، زمان با ضريب صحيح شامل نمونه برداري يك دنباله–كاهش نرخ نمونه برداري يك سيگنال گسسته

براي مشاهده اين . سر و كار داردD/Cجاي تعجب نيست كه افزايش نرخ نمونه برداري نيز با عمليات مشابه تبديل . پيوسته مي باشد

)DML(دانشگاه صنعتی شريف، آزمايشگاه رسانه های ديجيتال

اگر ما سيگنال پيوسته . افزايش دهيم، در نظر بگيريدL با ضريب را را كه مي خواهيم نرخ نمونه برداري آنx[n]ل مطلب، سيگنا

xc(t)را در نظر بگيريم هدف بدست آوردن نمونه هاي

)٢١-٢(

)٢٢-٢(

. مي ناميميما عمليات افزايش نرخ نمونه برداري را نمونه برداري افزايش از نمونه هاي دنبالة

xi[n] = x

=

L

nTx

L

nc , ,...L2,L,0n ±±= )٢- ۲۳(

)درون يابي( پروسة نمونه برداري افزايشي -۷:شکل

سيستم سمت چپ . گسسته نشان مي دهد– با استفاده از پردازش زمان x[n] از xi[n]يستم را براي بدست آوردن يك س-٧شکل

.يك افزايندة نرخ نمونه برداري يا به طور ساده يك افزاينده ناميده مي شود

.خروجي آن به صورت زير مي باشد

)٢٤-٢(

يا به بيان ديگر

)٢٥-٢(

. مي تواند به صورت زير بيان شودxe[n]تبديل فوريه

)٢٦-٢(

، احتياج به اعمال يك فيلتر ايده ال xe[n] از xi[n]براي بدست آوردن . نمايش داه شده است( c)-٨ و (b)-٨ رابطه باال در شکل

پائين گذر با فركانس قطع Lc

π=Ωبهرة و با L ٨كه در شكل ( داريم-(e),(d)مشاهده مي شود (

)DML(دانشگاه صنعتی شريف، آزمايشگاه رسانه های ديجيتال

نمايش دامنه فركانس نمونه برداري افزايشي-٨شکل

)DML(دانشگاه صنعتی شريف، آزمايشگاه رسانه های ديجيتال

ها آزمايش-٣

نمونه برداري صوت در فركانسهاي متفاوت-١-٣

صداي خود را ضبط خواهيد كرد،ما در اين تجربه، ش

.صداي خود را ضبط كنيد) ١

در كارت صدا متصل شده است، در سمت ”MIC-in“فون درست است يعني ميكروفون به مطمئن شويد كه ارتباط ميكرو) الف

.پشت كامپيوتر

. كليك كنيدfile-properties-convertابتدا روي . را باز كنيد”sound recorder“سه پنجره ) ب

در rec8.wavنوان فايل ثانيه از صداي خود را ضبط كنيد و تحت ع٥. را انتخاب كنيد8000Hz,8bit, Mono 8kB/sسپس

.آدرس خود ذخيره كنيد

22,050Hz,8bit, Mono 22 را از 11025Hz,8Bit و Mono 11 kB/sت مبراي دومين و سومين ضبط صدا از فور) ث

kB/sفايلها را تحت عنوان : استفاده كنيدrecll.wav و rec22.wavذخيره كنيد .

: آنها را مقايسه كنيدصداها را يكي پس از ديگري گوش داده و كيفيت) ت

. ضبط كنيدCD-Romصدا را از ) ٢

در 44k و 22k و 8k را در فركانسهاي CDپنج ثانيه از صداي . پخش كنيدCD playerرا با استفاده از صوتي CDيك

8bits/sampleفايلها را به فرمت . ضبط كنيدcd11.wav cd22.wav و cd44.wavدر آدرس خود ذخيره كنيد .

. را براي كامپيوتر خود ضبط كنيدMIDI صداي) ٣

ضبط 44k و 22k و 11k را در فركانسهاي MIDIسيقي ثانيه از مو٥. پخش كنيدmedia player را با استفاده از MIDIفايل

.midi11.wavسپس فايلها را تحت عنوان . كنيد

Midi22.wav و midi44.wavدر آدرس خود ذخيره كنيد .

. صدا از منابع و فركانسهاي نمونه برداري مختلف نظر دهيد حاال دربارة كيفيت-٤

.تكرار كنيد 16bit/sample به 8bit/sample تغيير با را٤ تا ١ مراحل -٥

MATLAB پردازش صوت با استفاده از -٢-٣ . براي حل مسأله داريدMATLAB برنامهدر اين آزمايش، شما احتياج به نوشتن

بدون (فركانس نمونه برداري آن را به نصف برسانيد. بيتي را در نظر بگيريد٨ و 22KHz شده در يك سيگنال نمونه برداري-١

. و سپس با استفاده از يك فيلتر درون يابي خطي آن را دوباره به نرخ نمونه برداري سيگنال اوليه برسانيد)پيش فيلتر كردن

خطاي مربع . مايش دهيد و سپس آنها را با سيگنال اوليه مقايسه كنيد طيف سيگنالهاي نمونه برداري شده افزايشي و كاهشي را ن-٢

و x(n) بين دو سيگنال MSE. و سيگنال بازسازي شده را محاسبه كنيدKHz٢٢ در فركانس ه بين سيگنال اولي(MSE)ميانگين

y(n) با طول Nبه صورت زير محاسبه مي شود .

∑=

−=N

1n

2 N/)]n(y)n(x[MSE

.راي موارد زير تكرار كنيد را ب٢ و ١ مراحل -٣

.براي پيش فيلتر كردن) شما مي توانيد طول فيلتر ميانگين را انتخاب كنيد(يك فيلتر ميانگين ) الف

)DML(دانشگاه صنعتی شريف، آزمايشگاه رسانه های ديجيتال

. براي درون يابي استفاده كنيد”()interp“از تابع . استفاده كنيد تا فيلتر بهتري طراحي كنيدMATLAB در ”FIR1“ تابع از)ب

عالوه بر سيگنالهاي نمونه برداري شده راطيف فيلترهاي پيش و پس پردازش. ون يابي استفاده كنيددرترطولهاي متفاوت براي فيل

.كاهشي يا افزايشي نمايش دهيد

)اختياري( تكرار كنيد 11KHz را براي سيگنال نمونه برداري شده در ٣ا ت ۱ مراحل -٤

.كنيدچاپ نتايج را م تما-٥

شما بايد قادر . (sp.m,sp1.m, spfilter.m). آورده شده استAppendix A در MATLABتن ، سه نمونه م٢ و ١براي موارد

( )conv به وسيله يك فيلتري توسط تابع ( )x فيلتر كردن يك دنبالة :راهنمايي. انجام دهيدهاباشيد تا بقيه موارد را با بهبود اين متن

به طور خالصه، شما .help convبه عنوان مثال . اخت يك تابع استفاده كنيدشما مي توانيد از دستور زير براي شن. انجام مي شود

. را بهبود دهيد تا موارد زير را عملي سازندAppendix Aبايد برنامه هاي

، درون يابي دوباره و برگشت به اندازه اوليه٢بدون پيش فيلتر كردن، نمونه برداري كاهشي با نرخ ) الف

، و برگشت به اندازة اوليه٢ه برداري كاهشي با نرخ فيلتر ميانگين، نمون) ب

، و برگشت به اندازة اوليه٢، نمونه برداري كاهشي با نرخ ( )fir1) ج

گزارش-٤ تمامي فايل هاي .پرسشهاي زير را در گزارش خود پاسخ دهيد. فايلها و فيلترها و شكلهاي خروجي باشدmگزارش شما بايد شامل

)yashil1@yahoo.com. ( بفرستيدe-mail TAيك فايل فشرده به آدرس گزارش را به صورت

)2sin(اگر سيگنال ورودي ) ١ ftπ است زماني كه f=6KHz 8 و فركانس نمونه برداريKHz است، سيگنال نمونه برداري شده

مسئله را (ستفاده مي كند چه خواهد بود؟ ا4KHzچه خواهد بود؟ سيگنال بازسازي شده كه از فيلتر پايين گذر با فركانس قطع

)بررسي كرده و تمام مراحل آن را در گزارش خود بنويسيد

دربارة تفاوت صوت و . متفاوت نظر دهيدbits/sampleه در نرخهاي نمونه برداري و ددرباره كيفيت فايلهاي نمونه برداري ش) ٢

.گفتار در نرخهاي نمونه برداري مختلف بحث كنيد

. را با سيگنال نمونه برداري شده كاهشي و سيگنال اصلي مقايسه كنيد٢ درون يابي شده بعد از نمونه برداري كاهشي با نرخ صداي) ٣

. در بعضي موارد بهتر هستنده بازسازي شدهایتوضيح دهيد كه چرا سيگنال

مراجع-٥

[1]. The Math Works Inc., Matlab User’s Guide, 1993, MATLAB USERS’S GUIDE, 1993. [2]. The Math Works Inc., MATLAB REFRENCE GUIDE, 19 92. [3]. Wilsky and Openheim, Signals & Systems, Chapter 8.

)DML(دانشگاه صنعتی شريف، آزمايشگاه رسانه های ديجيتال

)DML(دانشگاه صنعتی شريف، آزمايشگاه رسانه های ديجيتال

)DML(دانشگاه صنعتی شريف، آزمايشگاه رسانه های ديجيتال

)DML(دانشگاه صنعتی شريف، آزمايشگاه رسانه های ديجيتال

)DML(دانشگاه صنعتی شريف، آزمايشگاه رسانه های ديجيتال