İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONLAR ve GRAFİKLER

İKİNCİ DERECEDEN

FONKSİYONLAR ve

GRAFİKLER1 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

2

İkinci Dereceden Fonksiyonlar

f ( x ) ax bx c 2İkinci dereceden fonksiyonlar şeklindeki karesel fonksiyonlardır.

fonksiyonunun grafiği parabol olarak adlandırılır.f ( x ) ax bx c 2

a > 0 ise parabolün kolları yukarıya doğru sınırsız açılarak gider. a < 0 ise parabolün kolları aşağıya doğru sınırsız açılarak gider.

Parabol eğrisi tepe noktasından geçen dikey doğruya göre simetriktir. Bu doğruya parabolün simetri ekseni diyeceğiz.

x

y


3

Tepe noktası

Simetri ekseni

x

y

Tepe noktası

Simetri ekseni

a>0 a<0

,

b b acax bx c x

a

22

1 2

40

2

b b ac b b ac bx x

a a a

2 2

1 2

4 4

2 2


4

x x b

a

1 2

2 2

Parabol eğrisi nin x eksenini kestiği noktalar noktalarıdır. Parabol eğrisi tepe noktasından geçen eksene göre simetrik olduğundan tepe noktasının apsisi

olur.

( x , ) ve ( x , )1 20 0

Böylece tepe noktasının koordinatları olur.

b bT( , f ( ))

a a 2 2

Örnek: y x x 2 2 3 parabolünün grafiğini çiziniz. Çözüm:

,

b b acx x x

a

22

1 2

42 3 0

2

,x x , x

1 2 1 2

2 43 1

2

x x 1 2 1

2T( , ) 1 4


5

x

y

a>0T( , ) 1 4

( , ) 3 0 ( , )1 0

y x x 2 2 3


6


7


8


9


10

Örnek:

Parabol ile doğrunun kesim noktaları

y x x 2 2 3 parabolü ile doğrusunun kesim noktalarını bulunuz ve grafiklerini çiziniz. ile

y x 1

Çözüm:

y x xx x x x x

y x

22 22 32 3 1 3 4 0

1

,

x , y. .( )x

. x y

1 1

1 2

2 2

4 53 9 4 1 4 3 5

2 1 2 1 0

,

x. .( )x x x

. x

121 2

2

32 4 4 1 3 2 42 3 0

2 1 2 1

x xT( , )

1 2 3 1

1 1 42 2


11


12

Örnek: y x x 2 2 3 parabolü ile doğrusunun kesim noktalarını bulunuz ve grafiklerini çiziniz. ile

y x 2 1

Çözüm:

y x xx x x x

y x

x , y K ( , )

x , y K ( , )

22 2

1 1 1

2 1 2

2 32 3 2 1 4 0

2 1

2 5 2 5

2 3 2 3

,

x.( ).x x x

.( ) x

121 2

2

32 4 4 1 3 2 42 3 0

2 1 2 1

x xT( , )

1 2 3 11 1 4

2 2


13


14

Doğrusal Denklem Sistemleri

x y

x y

2 3 3

3 4 13

Şeklinde verilen iki doğrunun kesim noktasını bulmak için değişik yöntemler vardır. Bunlardan birisi değişkenlerden birinin her iki denklemde katsayılarını eşitleyerek tarafa tarafa çıkarmaktır.

( x y )

( x y )

3 2 3 3

2 3 4 13

x y

x y

6 9 9

6 8 26y y 17 17 1

x ( ) x x 2 3 1 3 2 6 3K( , )3 1

Örnek:

Çözüm: Yok Etme yöntemi


15

x y 2 3 3

x y 3 4 13

A( , )0 1

K( , )3 1

B( , ) 1 4


16

x y

x y

2 1

2 7

Şeklindeki denklem sistemlerine genel olarak iki bilinmeyenli iki denklemli doğrusal denklem sistemi denir

a x b y c

a x b y c

1 1 1

2 2 2

Örnek: denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

x y

x y

2 1

2 4 14

y y 3 15 5

x x 2 5 1 3

K( , )3 5

Ç ( , ) 3 5

. x y

x y

1 2 2 7

5 3 9

Ödev: Aşağıdaki denklem sistemlerinin çözümlerini bulunuz.

. x y

x y

2 3 5 7

5 9 7


17

Örnek: x y

x y

2 4 8

2 2

denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

x y x yveya

x y x y

2 4 8 2 4 812 0 8 4

2 2 2 4 4

Çözüm yoktur. Bunun alamı doğrular kesişmiyor demektir. Ortak bir noktaları yoktur, doğrular paraleldir.

Ç

Örnek: x y

x y

2 4 8

4 8 16


Çözüm:x y

x y

4 8 160 0

4 8 16 doğrular çakışıktır. Ç ( x, y ) : x y , x R 2 2


18

Örnek:

Çözüm: Yerine Koyma Yöntemi

x y y xx , y

x y x ( x )

2 6 2 6 17 8

7 73 2 5 3 2 2 6 5

x y

x y

2 6

3 2 5


Ç ( , ) 17 8

7 7

. x y

x y

1 3 4 20

7 5 64

Ödev: Aşağıdaki denklem sistemlerinin çözümlerini bulunuz.

. , x , y ,

, x , y ,

2 0 3 0 4 2 5

0 5 0 7 3 1


19

Denklem Sistemlerinin Uygulamaları

Piyasada talep ve arz denklemleri dorusal denklemlerdir. Bir ürüne olan talebi ve arzı q ile, ürünün fiyatını p ile gösterelim.

a , b, c, d pozitif sayılar olmak üzereq a bp

q c dp

Talep fiyat denklemi Arz fiyat denklemi şeklindedir.

Fiyat artarsa talep azalır arz artar.

Piyasada önemli olan arz ile talebin eşit olmasıdır. Bu duruma denge durumu denir

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol 20

Örnek: Bir ürünün fiyatı 80 TL iken 10 adet satılmıştır. Fiyat 60 TL ye düşürüldüğünde ise 20 adet satılmıştıra) Talep fonksiyonunu yazınız ve grafiğini çiziniz.b) Fiyat 40TL ye düşürülürse kaç adet satılır?c) Bu ürünün alınabileceği maksimum miktarı ve satılabileceği maksimum fiyatı bulunuz.

Çözüm: 1 180 10 80 10a ) P Q A( , )

2 260 20 60 20P Q B( , ) Talep fonksiyonunu bu A ve B noktalarından geçen doğru denklemidir. Buna göre

1 1

2 1 2 1

10 80 150

20 10 60 80 2

Q Q P P Q PQ P

Q Q P P



b) Bulduğumuz bu talep fonksiyonunda P = 40 yazarsak1

40 50 40 302

P Q adet

c) Bu ürünün alınabileceği maksimum miktar P = 0, satılabileceği maksimum fiyat Q = 0 durumundadır.

10 50 0 100

2Q P P TL

10 50 0 50

2P Q adet

Örnek:

a) Arz fonksiyonunu yazınız ve grafiğini çiziniz.

b) Bu ürünün piyasaya sürülebileceği minimum fiyatı bulunuz.

Bir ürünün fiyatı 15 TL iken 40 adet üretilmiştir. Fiyat 18TL ye çıkarıldığında ise piyasaya 52 adet ürün üretilmiştir.


1 115 40 15 40a ) P Q A( , )

2 218 52 18 52P Q B( , )

1 1

2 1 2 1

40 1520 4

52 40 18 15

Q Q P P Q PQ P

Q Q P P

Arz fonksiyonu bu A ve B noktalarından geçen doğru denklemidir. Buna göre


24

Örnek:

p q ; p q 1 1

12 8180 300

Bir ürünün talep ve arz denklemleri sıra ile

dir.

Denge miktarını ve denge fiyatını bulunuz.

Çözüm:

q q q

1 1 1 112 8 4

180 300 180 300

q p , 8

450 9 5900

D( , , )450 9 5


25

q

p

p q 1

8300

p q 1

12180

D( , , )450 9 5

12

8

450


26


27

Örnek: Bir ürünün fiyatı 8 TL iken 45 adet satılmıştır. Fiyat 16 TL ye düşürüldüğünde ise 40 adet satılmıştır. Fiyatı 12 TL olduğunda 5 adet üretilmiştir. Fiyatı 19 TL olduğunda ise 10 adet üretilmiştir.

a) Talep-fiyat ve arz-fiyat denklemlerini yazınız.

b) Denge fiyatını ve denge miktarını bulunuz.

d) Talep-fiyat ve arz-fiyat denklemlerinin grafiklerini çizerek bulduğunuz sonuçları grafik üzerinde gösteriniz.

c) Ürünün serbest ürün olması durumunda alınabilecek maksimum miktarı ve satılabileceği maksimum fiyatı, üretime başlanması için gerekli en düşün fiyatı ve talebin bitmesi (0 olması) durumundaki fiyatı bulunuz.


28

Q Pa ) Talep fiyat Q P

Q PArz fiyat Q P

45 8 550

40 45 16 8 810 19 5 25

5 10 12 19 7 7

b ) P P ( )P

P P , Q DN( , )

5 5 25 5 5 2550 50

8 7 7 7 8 756

75 375 40 25 40 257

c ) P Q mak mik , Q P mak fiy , tal ,

Q P min fiy , üre

0 50 0 80 0

0 5 0


29


Ödev:

51 3da ) Q P 6 10sQ P

2. Aşağıda verilmiş olan piyasa modelinden denge değerlerini bulunuz, grafiklerini çiziniz.

36 2db ) Q P 5 6sQ P

1. Bir ürünün fiyatı 15 TL iken 30 adet satılmıştır. Fiyat 10 TL ye düşürüldüğünde ise 40 adet satılmıştıra) Talep fonksiyonunu yazınız ve grafiğini çiziniz.b) Fiyat 12TL olduğunda kaç adet satılır?c) Bu ürünün alınabileceği maksimum miktarı ve satılabileceği maksimum fiyatı bulunuz.

40 4 dc ) Q P5 5 sQ P

Documents

İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONLAR ve GRAFİKLER