Il calcolo combinatorio

Il calcolo combinatorio

prof. Fabio Bonoliwww.fabiobonoli.it

16 dicembre 2011 Liceo scientifico “A. Righi - Cesena

Quanti sono?

Sommario

1 - INTRODUZIONE Esempi e regole generali

2 – COMBINATORIA IN FORMULE Le disposizioni Le combinazioni Disposizioni con ripetizione Permutazioni e permutazioni cicliche Il coefficiente binomiale Il binomio di Newton

3– PROBLEMI VARI DI COMBINATORIA

Introduzione Il calcolo combinatorio - Quanti sono?

In quanti modi può accadere un evento?

Quanti …

Il calcolo combinatorio si occupa di determinare (contare) quanti sono i raggruppamenti che si possono fare con n oggetti di un insieme finito, secondo determinate regole.


Problema:

In quanti modi una associazione composta da 9 membri può

nominare un presidente, un vice e un segretario cassiere?

Schematizzando:

Quante sono le possibili configurazioni (terne) ordinate e senza

ripetizioni?

Soluzione:

9 scelte possibili per il presidente, a questo punto restano 8

scelte possibili per il vice presidente e infine 7 scelte per il

segretario.

modi 504 789


PRIMA REGOLA

Se una scelta può essere fatta in r modi diversi,

per ciascuno dei quali una seconda scelta può essere

effettuata in s modi diversi,

e, per ciascuno dei modi in cui si sono compiute le

prime due scelte, una terza scelta può essere

effettuata in t modi diversi ecc.,

allora la successione di tutte le scelte può essere

compiuta in

r·s·t ... modi diversi


Problema:

Quattro squadre partecipano ad un torneo, quante sono le possibili

classifiche finali?

Schematizzando: Quante sono le possibili configurazioni (quaterne)

ordinate e senza ripetizioni? (Tutti gli elementi vengono considerati)

Soluzione:

4 scelte possibili per il vincitore, a questo punto restano 3 scelte

possibili per il secondo, 2 scelte possibili per il terzo e infine 1

scelta obbligata per l’ultimo classificato.

eclassifich 24 1234


SECONDA REGOLA (conseguenza della prima)

Dati n oggetti, essi si possono "mettere in fila" (o “mettere in

colonna”) in n! modi diversi,

dove il simbolo n! = n·(n-1)·(n-2)· … ·3·2·1.

Infatti, per la scelta del primo oggetto della fila abbiamo n possibilità;

a ciascuna di queste n possibilità sono abbinate (n-1) possibilità di

scelta per il secondo oggetto della fila;

ad ognuna delle n·(n-1) possibilità per i primi due oggetti

corrispondono (n- 2) possibilità di scelta per il terzo oggetto della

fila; ... ;

in totale, quindi, n oggetti possono essere ordinati in

n·(n-1)·(n-2)· … ·3·2·1 = n! modi diversi.


Problema:

In quanti modi un insegnante può scegliere 4 studenti in una classe di 25

alunni per un’ora di interrogazioni?

Testo equivalente:

Quante sono le possibili quaterne di alunni interrogati?

Schematizzando:

Quante sono le possibili configurazioni (quaterne) NON ordinate e senza

ripetizioni?

Soluzione:

Ragionando come prima, calcoliamo le quaterne ordinate:

25 scelte possibili per il primo, a questo punto restano 24 scelte

possibili per il secondo, ora 23 scelte possibili per il terzo e infine 22

scelte per l’ultimo.

303600 22232425


Noi però vogliamo "raggruppare" tutte le quaterne "equivalenti" (cioè,

contenenti gli stessi ragazzi, sia pure in ordine diverso) per "farne una sola",

MA DATA UNA QUATERNA ORDINATA, QUANTE SONO LE QUATERNE

ORDINATE AD ESSA EQUIVALENTI (COMPRESA QUELLA DI

PARTENZA)?

SONO TANTE QUANTI I MODI CON CUI, DATI 4 OGGETTI, ESSI POSSONO

ESSERE ORDINATI (= MESSI IN FILA)

Pertanto, fissata una quaterna ordinata, essa fa parte di un gruppo di 4!

quaterne equivalenti.

Il numero delle quaterne non ordinate di ragazzi interrogati sarà

(25·24·23·22)/ 4!= 12650


TERZA REGOLA (conseguenza delle precedenti)

Se in un dato problema ci interessano le n-uple NON

ordinate, dobbiamo pensare il nostro elenco di n-uple

ordinate ripartito in tanti gruppi, in ciascuno dei quali vi

sono le n-ple che contengono gli stessi elementi, anche

se in ordine diverso.

Abbiamo così tanti gruppi, ciascuno formato da n! n-uple, e

ciascun gruppo va contato "come se si trattasse di una

sola n-upla".

Allora

n!

ordinate ple-n numero ordinatenon ple-n numero

Combinatoria in formule Il calcolo combinatorio - Quanti sono?

Le disposizioni

Supponiamo di avere n oggetti distinti (ad es: n palline numerate

progressivamente da 1 a n, oppure n lettere dell'alfabeto, ... ).

Sia ora k un intero, k ≤ n.

Le k-uple (configurazioni con k elementi) ORDINATE che si possono

costruire utilizzando (senza ripetizione) k fra gli n oggetti dati sono

anche dette "le DISPOSIZIONI degli n elementi di classe k”.

Esempio: Ci sono 10 ragazzi, in quanti modi posso scegliere: un portiere, un arbitro e un raccattapalle?

)!(

!

)!(

)!()1(1)1(1

,

,

kn

nD

kn

knknnnknnnD

kn

kn

720!7

!78910

!7

!10

)!310(

!103,10

D


Le combinazioni

Le k-uple NON ORDINATE che si possono costruire utilizzando (senza

ripetizione) k fra n gli oggetti dati sono anche dette

"le COMBINAZIONI degli n oggetti dati di classe k".

tale passaggio è possibile anche per k = n ricordando che 0! =1

DA RICORDARE Disposizioni: configurazioni ordinate Combinazioni: configurazioni non ordinate

Esempio: Giocando a briscola, quante sono le possibili “mani” all’inizio del gioco

per un giocatore?

)!(!

!

!,

, knk

n

k

DC kn

kn

98806!37

!37383940

!3!37

!403,40

C


Le disposizioni con ripetizione

Si parla di "DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE" quando uno stesso

oggetto, nella k-upla ordinata, può essere ripetuto più di una volta.

In questo caso, non deve essere necessariamente k ≤ n.

Il numero delle disposizioni con ripetizione di n oggetti, presi a k a k, si

indica col simbolo

Esempio: Se si lanciano 10 monete (o anche: se si lancia una moneta

10 volte) quanti sono gli esiti possibili?

kkn nD ,

102421010,2 D


Le permutazioni

Le "PERMUTAZIONI DI n OGGETTI" sono tutte le n-uple ordinate

costruibili utilizzando, senza ripetizione, quegli oggetti;

Esempio: Quanti sono gli anagrammi della parola PARCO

La funzione fattoriale può anche essere definita in modo ricorsivo:

!nPn

120!55 P

0 se )!1(

0 se 1!

nnn

nn


Le permutazioni Permutazioni di n oggetti non tutti diversi

Possiamo pensare alle "PERMUTAZIONI DI n OGGETTI NON TUTTI

DIVERSI“.

Presi n oggetti, dei quali m<n uguali fra loro, e gli altri tutti diversi l’uno

dall’altro e dai precedenti, quante n-uple ordinate distinguibili

potremo costruire utilizzando quegli n oggetti?

Esempio:

Abbiamo 3 palline bianche identiche fra loro, 6 palline rosse identiche

fra loro e 5 palline verdi tutte identiche fra loro, quante sequenze

distinguibili potremo costruire con questi 3+6+5=14 oggetti?

!5!6!3

!14

!!!

!

321

mmm

nPn

!

!

m

nPn


Le permutazioni

Esistono anche le "PERMUTAZIONI CICLICHE DI n OGGETTI".

Una "permutazione ciclica di n oggetti"è "uno dei modi in cui tali oggetti possono

essere disposti intorno ad un tavolo circolare, come se fossero giocatori di

carte".

E' evidente che la situazione a d

b c

coincide, in questo contesto, con ciascuna delle seguenti:

d c c b b a

a b d a c d

Esempio: In quanti modi si possono disporre 5 giocatori di carte intorno a un

tavolo? 4! = 24

)!1(!

nn

nPn


Il coefficiente binomiale

I numeri

vengono anche detti “coefficienti binomiali”

Il coefficiente binomiale risponde alla domanda:

"dati n oggetti, in quanti modi ne posso scegliere k?"

Proprietà

k

n

knk

nC kn )!(!

!,

1

1

1

; ; 1 ; 1

; 1

; 10

k

n

k

n

k

n

kn

n

k

n

n

nn

n

nn

nn


Il binomio di Newton

Si chiama "binomio di Newton" la formula per lo sviluppo dell'n-esima

potenza di un binomio.

La formula è:

1

21

0

1221 nnnnnn bn

nba

n

nba

nba

na

nba

Problemi vari di combinatoria Il calcolo combinatorio - Quanti sono?

Problemi vari di combinatoriaGiochi di Archimede [22 novembre 2011]

Quanti sono i numeri palindromi di 5 cifre tali che la somma delle cifre

sia pari?

Il numero deve essere del tipo "abcba": 9 scelte per a x 10 scelte per b

x 5 scelte per c = 450 .

La prima cifra non può essere 0, altrimenti il numero sarebbe di 4 cifre,

nessuna limitazione per b. La somma delle cifre, esclusa la centrale

è pari, qualunque sia la parità delle prime due; infatti è pari sia la

somma di due pari, sia la somma di due dispari.

Dunque è la cifra c che assegna la parità al numero e quindi si hanno

solo 5 scelte.


Problemi vari di combinatoriaGiochi di Archimede - biennio [18 novembre 2009]

Carla sì è dimenticata la password di accensione del suo nuovissimo computer. Si ricorda però che è una sequenza di 4 vocali, non necessariamente distinte, di cui due sono maiuscole e due sono minuscole. Quante password diverse deve provare Carla, al massimo, per accendere il computer?

(A) 3 • 54 (B) 55 (C) 6 • 54 (D) 56 (E) 3 • 56.

Supponiamo che la pwd sia MMmm.5 scelte per ciascuno vocale, quindi 54 ; oppure le disposizioni con ripetizione nk .Ora si deve anagrammare la parola MMmm, perché maiuscole e minuscole possono essere in qualsiasi posizione e quindi, per la formula delle permutazioni con ripetizione si ha

6!2!2

!4 456


Problemi vari di combinatoriaGiochi di Archimede [22 novembre 2011]

Alla Grande Cena … l’anno scorso c’erano 60 modi di

scegliere un pasto (primo + secondo). Quest’anno

verranno aggiunti dei primi e ci saranno 68 modi di

scegliere un pasto. Quanti primi c’erano, come minimo lo

scorso anno?

anno scorso: p scelte per il primo x s scelte per il

secondo p x s=60 quest’anno: (p+p’) x s = 68

Quindi (p+p’)/ p = 17/15 e quindi p’/p = 2/15.

Ovvero p = (15p’)/2

Il primo intero si ha per p’=2 ed è p=15.


Problemi vari di combinatoriaGara di febbraio 2009

Nell'ultimo Capodanno, andavano molto di moda degli occhiali con la forma del numero "2009" e le lenti al posto dei due zeri. Per fabbricare occhiali simili, è necessario che nel numero che rappresenta l'anno vi siano due o più zeri consecutivi (per esempio 3500 va bene, 2010 no). Quanti anni compresi tra l'anno 999 e l'anno 9999 contengono due o più zeri consecutivi nella loro scrittura? (A) 171 (B) 180 (C) 190 (D) 191 (E) 200.

Contiamo quanti sono gli anni che contengono due o più cifre zero consecutive; per fare questo, consideriamo inizialmente in quali posizioni possono essere le cifre zero e non-zero. Le possibilità sono 3: XOOO, XXOO, XOOX (dove O rappresenta una cifra zero e X rappresenta un non-zero)..



XOOO, XXOO, XOOX (dove O rappresenta una cifra zero e X rappresenta un non-zero).

Infatti in prima posizione non ci può essere uno zero a causa dell'intervallo di anni scelto. Ora, al posto di ogni X possiamo sostituire una cifra tra 1 e 9, e ogni possibile, scelta "genera" un anno valido. Quindi per la prima possibilità abbiamo 9 scelte, invece per il secondo e per il terzo 9 • 9 = 81. In totale allora abbiamo 9 + 81 +81=171 ( anni validi).

Si noti che se invece avessimo contato il numero di modi in cui si può sostituire una i cifra da 1 a 9 a X e una cifra da O a 9 a Y nei due pattern XOOY e XYOO, avremmo ottenuto un risultato errato perché avremmo contato due volte gli anni della forma XOOO.


Problemi vari di combinatoria

Gara di febbraio 2010

Antonio, Beppe, Carlo e Duccio si distribuiscono casualmente le 40 carte di un mazzo, 10 a testa, Antonio ha l'asso, il due e il tre di denari. Beppe ha l'asso di spade e l'asso di bastoni. Carlo ha l'asso di coppe. Chi è più probabile che abbia il 7 di denari?

(A) Antonio (B) Beppe (C) Carlo (D) Duccio (E) due o più giocatori hanno la stessa probabilità di averlo.



Intuitivamente, le posizioni delle carte rimanenti sono equiprobabili, quindi è più probabile che il 7 di denari finisca a Duccio "perché ha più spazio libero".

Più formalmente: contiamo i modi di distribuire 34 carte tra 4 persone, in modo che uno ne riceva 10, uno 9, uno 8 e uno 7; possiamo distribuire ordinatamente 34 carte in 34! modi diversi, ma questo viene diviso per 10!9!8!7! (la formula è la stessa degli anagrammi con ripetizione). Quindi abbiamo P = 34! /(10!9!8!7!) casi possibili. Quante sono le configurazioni in cui Antonio ha il 7 di denari?

Per un conto analogo sono PA = 33! /(10!9!8!6!)

PA/P = 7/34 ; PB/P = 8/34; PC/P = 9/34 ; PD/P = 10/34



Quanti sono i numeri interi positivi di 10 cifre abcdefghij, con tutte le cifre diverse e che verificano le condizioni a+j=b+i=c+h=d+g=e+f=9

Nota: un numero non può iniziare con 0.

(A) 3456 (B) 3528 (C) 3645 (D) 3840 (E) 5040.

Chiamiamo, come nel testo, abcdefghij le 10 cifre del numero.

Per i numeri della forma richiesta, fissare le prime 5 cifre a, b, c, d, e determina univocamente tutto il numero per la condizione imposta (dato che possiamo ricavare f=9-e, a=9-d,...).

Dimenticandoci per ora del fatto che un numero non deve iniziare per 0, vediamo che a può essere scelta in 10 modi, b in 8 modi (tutte le cifre, tranne a, già usata, e 9-a), c in 6, d in 4 ed e in 2 modi possibili


Problemi vari di combinatoria

Da questi dobbiamo però togliere i numeri che iniziano con la cifra zero. Essi sono 8 • 6 • 4 • 2 per lo stesso ragionamento di prima (8 scelte per la cifra b, 6 per e, 4 per d e 2 per e).

La risposta al problema è quindi

10 • 8 • 6 • 4 • 2 - 8 • 6 • 4 • 2 = (10-1)* 8 • 6 • 4 • 2 = 3456.


“Principio della cassettiera o della piccionaia”

Il principio della piccionaia

Il principio della piccionaia afferma che se p piccioni devono trovare posto in c caselle e ci

sono più piccioni che caselle (p>c) allora in qualche casella entreranno almeno due piccioni.

Tale principio può essere descritto anche nel modo seguente.

Il principio della cassettiera

Se n oggetti sono collocati in k cassetti, e se n>k, allora almeno un cassetto deve contenere

almeno due oggetti.


“Principio della cassettiera o della piccionaia”

Esempio.

Se ci sono 8 piccioni in 7 caselle, allora, poiché 8 > 7, almeno una

casella contiene almeno 2 piccioni.

Questo è un principio semplice ma di grande utilità.

Estensione del principio della piccionaia

Se p (piccioni) > n*c (caselle) per qualche intero n, allora almeno

una casella contiene n + 1 piccioni.

Esempio.

Se ci sono 27 piccioni in 8 caselle, allora, poiché 27 > 3*8, almeno

una casella contiene 3 + 1 = 4 piccioni.


La peggiore delle ipotesi (worst case)

Calzini in una stanza buia

In un cassetto ci sono 10 paia di calzini marroni e 10 paia blu. Quanti calzini

devi prendere per essere sicuro di avere un paio di calzini dello stesso

colore?

E’ sufficiente pescare 3 calzini

Palline nere, rosse e bianche

In un cassetto ci sono 12 palline nere, 8 rosse e 6 bianche.

Pescando a caso, quante se ne devono prendere per essere sicuri di

averne 3 dello stesso colore?

Nella peggiore delle ipotesi, 6 palline non sono sufficienti. Infatti

potrebbero essere B-B-N-N-R-R. Supponiamo di essere arrivati a 6

palline senza averne 3 dello stesso colore. Visto che i colori sono 3,

alla settima estrazione si avranno almeno 3 dello stesso colore. In

conclusione bisogna pescarne almeno 7.


Partizioni di un intero e colorazioni

Problema:

In quanti modi si possono scegliere tre numeri a, b, c (non negativi) tali

che a+b+c=14 (da notare che 5+2+7 è diverso da 2+5+7)

Soluzione:

L’idea è che ad ogni modo di colorare 2 caselle su 16 corrisponde

univocamente un modo di scegliere 3 numeri che sommati formano

14.

1202

1516

2

16



In generale:

E se fra gli addendi non ci può essere lo zero?

k

knC

k

kn

kn

1 1-k classein

elementi 1n di iripetizioncon nicombinazio1

1

,



Problema:

Dato un intero positivo, in quanti modi può essere espresso come somma

di k interi maggiori o uguali di 1? (L’ordine conta!)

Ad esempio: In quanti modi 8 è somma di quattro addendi?

Diventa: in quanti modi disporre 3 segmenti colorati su 7?

Risposta:

In generale

1-k classein

interni segmentini 1-n di nicombinazio1

1

k

n

3

7


Principio di inclusione - esclusioneProblema:

In una classe con 30 studenti. Tutti suonano almeno uno strumento. 20

alunni suonano il piano e 16 la chitarra. Quanti entrambi?

Soluzione:

30 = 20 + 16 – x x = 6

Ritroviamo

Problema Olimpiadi 1998 (biennio):

In una classe di 20 persone, 15 giocano a calcio, 14 a basket e 13 a

pallavolo. Quanti sono, al minimo, che praticano tutti e 3 gli sport?

Soluzione:

5 persone non giocano a calcio, 6 non giocano a basket, 7 non giocano

a pallavolo. Al massimo sono 5 + 6 + 7 =18. Quindi almeno 2

ragazzi devono praticare tutti e tre gli sport.

BABABA


Divisori di un intero positivo

Problema:

Quanti sono i divisori di 2012?

Soluzione:

Fattorizzo 22 x 503

Come è un divisore di 2012? 2a x 503b

Con a = 0, 1, 2 b= 0, 1

Pertanto si avranno 3 scelte per a e 2 scelte per b.

In totale

In generale: Se

I divisori di n sono

623

n

npppn 21

21

)1()1()1( 21 n


Invarianti

Per risolvere alcuni problemi di combinatoria può essere utile ricorrere agli invarianti, cioè una quantità che non cambia durante un procedimento.

Ad esempio: su una lavagna sono scritti 10 numeri. Ad ogni turno si aggiunge 1 ad un numero e si toglie 1 da un altro. Invariante è la somma dei numeri.

Oppure su una lavagna sono scritti 10 numeri. Ad ogni turno si aggiunge o si toglie 1 da 2 numeri. Invariante è la parità della somma dei numeri.


InvariantiProblema:

Ci sono tre sacchetti: A con 2000 palline, B con 3000 palline e C con 4000 palline. Posso fare 2 mosse: prendere due palline da un sacchetto e metterle una in ciascuno dei restanti sacchetti oppure prendere due palline da due sacchetti distinti e metterle nel terzo.

Si può giungere ad avere 3000 palline in ogni sacchetto?

Considero la differenza fra le palline di due sacchetti.

Essa resta costante o aumenta di 3.

Pertanto partendo da 1000 o 2000 non può arrivare a 0.


E… il senso comune?Quesito n.7 (EdS 2010):

Per la ricorrenza della festa della mamma, la sig.ra Luisa organizza una cena a casa sua, con le sue amiche che hanno almeno una figlia femmina. La sig.ra Anna è una delle invitate e perciò ha almeno una figlia femmina. Durante la cena, la sig.ra Anna dichiara di avere esattamente due figli. Si chiede: qual è la probabilità che anche l’altro figlio della sig.ra Anna sia femmina? Si argomenti la risposta.

Anna ha esattamente due figli di cui almeno una femmina.

Le possibili coppie ordinate (per il primo e secondo figlio) sono:

M F - F M - F F

La probabilità che entrambi i figli siano femmine è 1/3.


E… il senso comune?Il paradosso di Monty Hall

Il problema di Monty Hall è un famoso problema legato al gioco a premi americano “Let’s make a deal”. Prende il nome da quello del conduttore dello show, noto con lo pseudonimo di Monty Hall.

Nel gioco vengono mostrate al concorrente tre porte chiuse; dietro ad una si trova un’automobile, mentre ciascuna delle altre due nasconde una capra. Il giocatore può scegliere una delle tre porte vincendo il premio corrispondente. Dopo che il giocatore ha selezionato una porta, ma non l’ha ancora aperta, il conduttore dello show (che sa cosa si trova dietro ogni porta) apre una delle altre due mostrando una delle due capre, e offre al giocatore la possibilità di cambiare la scelta iniziale passando all’unica porta chiusa.

Si tratta di capire se al concorrente conviene cambiare la scelta.

Ce lo spiega Kevin Spacey dal film 21 Il Problema di Monty Hall

http://www.youtube.com/watch?v=wOK48hgYCS4


E… il senso comune?Il paradosso di Monty Hall

Contiamo le tre situazioni possibili, ciascuna avente probabilità 1/3:

1. Il giocatore sceglie la capra numero 1. Il conduttore sceglie l'altra capra. Cambiando, il giocatore vince l'auto.

2. Il giocatore sceglie la capra numero 2. Il conduttore sceglie l'altra capra. Cambiando, il giocatore vince l'auto.

3. Il giocatore sceglie l'auto. Il conduttore sceglie una capra, non importa quale. Cambiando, il giocatore trova l'altra capra.

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