1

Il potenziale elettrico Consideriamo un sistema di cariche statiche qualsiasi e indichiamo con il campo elettrico da

esso generato. Dimostriamo che la forza che agisce su una carica di prova q0

una forza conservativa.

EqFe

0

A

B

g g

eF

sd

(1)

(2)

2

(3)

A

B

g

eF

sd

q

O

dr = ds cosq

3

(5)

(4)

(6)

4

Sistema di cariche puntiformi

energia potenziale associata alla carica qi

(7)

(8)

(8)

5

Caso generale:

6

La variazione del potenziale elettrico tra due punti A e B (indicata in breve con d.d.p.):

uguale al lavoro compiuto dal campo elettrico su una carica unitaria (1 Coulomb nel SI) quando si sposta

da A a B (lavoro che ovviamente non dipende dal cammino scelto, solo da A e B).

(11)

Il potenziale elettrico

(9)

(10)

7

su un qualsiasi cammino chiuso g.

Unit di misura nel sistema internazionale (SI)

g sd

eF

(12)

8

Potenziale generato da una distribuzione di cariche qualsiasi

I) Sistema di cariche puntiforme

potenziale generato dalla

carica qi nella posizione P

z

x

y

qi

O

P

q1

q2

q3

(13)

9

II) Distribuzioni continue di cariche

dV

V

a) Distribuzione di densit volumetrica r in un volume V

P

b) Distrubuzione di carica superficiale di densit s su una superficie S

S

dS

O

P

(14)

(15)

10

ds

g

O

c) Distribuzione di carica su una curva g di densit lineare l

P

Osservazione:

(16)

11

risultante delle forze su q

La variazione dellenergia potenziale di q tra A e B quindi uguale al lavoro che deve

deve compiere unagente esterno per portarla da A a B (indipendente dal cammino g scelto)

Conservazione dellenergia di una carica in un campo elettrico

costante del moto (17)

(18)

A

B

eF

extF

q g

12

La forza esterna compie un lavoro positivo se il moto della carica opposto alla

forza elettrica Fe, negativo se nella direzione di Fe.

(g cammino qualsiasi da A a B) (19)

(20)

Unit di energia usata in fisica atomica:

13

Potenziale di un campo uniforme

x x x0

linee di forza del campo

elettrico unifome

potenziale di un campo elettrico uniforme diretto come lasse x (21)

14

Campo non uniforme

g A

B

15

Energia potenziale elettrostatica di un sistema di cariche

Calcoliamola esplicitamente per un sistema di 3 cariche:

q1 q2

lavoro L2

q1

q3

q2

lavoro L3

16

Energia potenziale elettrostatica di un sistema di cariche (cont.)

(22)

(22)

17

Relazione tra il campo elettrico E e il potenziale V

(23)

vettore spostamento infinitesimo tra P e P con

(24)

(25)

18

(espressione valida in tutti i punti dello spazio)

NOTA: le derivate parziali sono sempre intese valutate

nel punto P considerato, anche se dora in poi omettiamo

di indicarlo esplicitamente nella notazione.

(26)

Relazione tra il campo elettrico E e il potenziale V (cont.)

(27)

19

Cenno al concetto di gradiente di una funzione

(28)

(29)

(30)

(31)

20

Relazione tra il campo elettrico E e il potenziale V (cont.)

21

Relazione tra il campo elettrico E e il potenziale: campi a simmetria radiale

rdrsd

linee di forza

del campo

22

(13)

Verifica della relazione tra campo elettrico e il potenziale per un sistema di N cariche puntiformi

23

24

Riassumendo quanto visto finora, si possono usare tre diversi metodi per

calcolare il campo elettrico generato da una distribuzione di cariche:

a) direttamente dalla legge di Coulomb (e il principio di sovrapposizione)

somma vettoriale dei contributi delle singole cariche

b) calcolando il potenziale elettrico

somma scalare dei contributi delle singole cariche

e poi ricavando il campo elettrico dalla la relazione

c) usando il teorema di Gauss

Nella pratica, questultimo metodo puo applicarsi solo per distribuzioni di cariche con un alto grado

di simmetria (ad es. sferica, cilindrica o piana). In questi casi particolari tuttavia, semplifica molto la

risoluzione del problema.

(equivalente alla legge di Coulomb)

25

Osservazione 1:

Osservazione 2:

sd

26

Superfici equipotenziali

(sup. equipotenziali)

A B

g

Il risultato vale per un qualsiasi cammino g tra A e B, che non appartiene alla

superficie S, purch i punti iniziali e finali A e B vi appartengano.

(32)

27

Superfici equipotenziali (cont.)

sd

28

Quando le superfici equipotenziali vengono mostrate graficamente a intervalli equispaziati DV come

in figura, appaiono pi fitte dove il campo piu intenso (come le linee di forza).

Superfici equipotenziali (cont.)

Per quanto visto prima, le linee di forza del campo elettrico intersecano le superfici equipotenziali

in modo ortogonale.

d A B

d

linee di forza di E sup. equipotenziali

Per un campo uniforme, sia le linee

di forza che le sup. equipotenziali sono

equispaziate e ortogonali tra loro

campo uniforme

linee di forza de E

sup. equipotenziali

29

Superfici equipotenziali e linee di forza: alcuni esempi

a) carica singola

b) dipolo elettrico

c) due cariche positive identiche

(nel punto centrale dove le superfici

equipotenziali si intersecano E=0) d) piastra carica + carica puntiforme

30

Dipolo in un campo elettrico uniforme

d

Si misura un momento di dipolo p=6.3x10-30 Cm, che corrisponde a una separazione tra i centri delle

cariche positive e negative d=p/q=6.3x10-30 Cm/10e=3.9x10-12m (circa 1/13 del raggio di Bohr a0=0.53) 31

Molecole polari (dotate di un momento di dipolo permanente)

Alcune molecole, dette polari, hanno una distribuzione assimetrica delle cariche tale

che :

centro delle cariche positive (nuclei) centro delle cariche negative (elettroni)

Si ha quindi una separazione tra il centro delle cariche positive e quello delle cariche negative

(anche in assenza di un campo elettrico esterno) e la molecola si comporta come un dipolo

elettrico.

Un esempio quello della molecola dacqua H2O: i due elettroni degli atomi di idrogeno vengono ceduti

con facilit allatomo di ossigeno, fortemente elettronegativo.

Il centro delle cariche positive si trova leggermente spostato verso i due atomi H, rispetto a quello delle

cariche negative piu vicino al nucleo dellossigeno.

equivale a +

d

+q

q

p = qd = 6.3x10-30 Cm p

con q=10e carica dei

10 protoni/elettroni

32

Dipolo in un campo elettrico uniforme (cont.)

dO

momento della coppia di un dipolo in

un campo elettrico uniforme

(33)

(34)

33

Dipolo in un campo elettrico uniforme (cont.)

(33)

P2

2112 rrr

P1

34

Dipolo in un campo elettrico uniforme (cont.)

+

+

35

Energia potenziale di un dipolo in un campo elettrico uniforme (cont.)

O

sd

sd

(35)

36

Energia potenziale di un dipolo in un campo elettrico uniforme (cont.)

O

sd

(36)

37

Energia potenziale di un dipolo in un campo elettrico uniforme (cont.)

Energia potenziale di un dipolo

in un campo elettrico uniforme (37)

38

Energia potenziale di un dipolo in un campo elettrico uniforme (cont.)

+

+ +

+

O p

p

O

39

Energia potenziale di un dipolo in un campo elettrico uniforme (cont.)

U=-pEcosq

q

p

E

p

E

p

E

p

E

p

E

Equil. instabile Equil. stabile Equil. instabile coppia massima

Grafico del potenziale U in funzione della posizione angolare q (qp e qp indicano la stessa posizione)

coppia massima

40

Energia potenziale di un dipolo in un campo elettrico uniforme (cont.)

Lavoro (negativo) dovuto all attrazione

reciproca tra le due cariche

x x+ x O