A Matemtica no a Vestibular do IME

c 2009, Sergio Lima Netto sergio n@ ps.ufrj.br

Verso 15 a Dezembro de 2009

Prlogo oA origem deste material remonta a 1984/1985, quando z o vestibular do IME sem a preparao adequada e fui reprovado, como seria de se esperar. Em 2004, me deparei ca com a lista de discusso da Sociedade da OBM (Olimp a ada Brasileira de Matemtica). a Nesta lista, moderada pelo Prof. Nicolau C. Saldanha da PUC-RJ, algumas pessoas que sempre admirei colabora(va)m com curiosos, amadores e estudantes na soluo de probleca mas de Matemtica. Fiquei surpreso como alguns conhecidos matemticos participavam a a ativamente e apaixonadamente das discusses. Observei tambm um grande interesse o e da comunidade pelos problemas de Matemtica do vestibular do IME, principalmente os a mais antigos. Foi neste contexto que resolvi dar minha contribuio, organizando este ca material com as provas antigas que tinha, disponibilizando-as para todos os interessados da lista. A primeira verso, de 2004, inclu uns poucos enunciados, e mesmo assim a resa a posta inicial foi bastante positiva. Com esta motivao, novas verses vieram, corrigindo ca o e complementando as verses anteriores. Em um dado momento, o material passou a o ter vida prpria, e passei a receber signicativas contribuies (solues alternativas, o co co correes para algumas das minhas solues e novos enunciados de provas) de diversos co co colaboradores. Em 2005, algumas verses intermedirias representaram grandes avanos o a c na incorporao de solues de diversas provas de Algebra, numa primeira fase, e, posteca co riormente, de Geometria. Em 2006, foi feita uma grande pesquisa junto aos arquivos do prprio IME, com a ajuda do sub-tenente Petrenko e sua equipe. Com isto, conseguimos o complementar bastante o material. Infelizmente, porm, alguns anos caram faltando, o e que tem sido resolvido nas verses mais recentes. Nesta verso 15, h um total de 116 o a a provas, sendo que 51 delas com solues propostas. co Cabe dizer que este material no tem a pretenso de ensinar Matemtica. E, talvez, a a a um amplo apoio no exerc cio desta disciplina, para que se apliquem os conhecimentos adquiridos em bons livros e principalmente com a ajuda de bons professores. Comentrios em geral so muito bem-vindos. Voc pode entrar em contato comigo a a e pelo email sergio n@ ps.ufrj.br. A verso mais atual deste material pode ser encontrada a no endereo http://www. ps.ufrj.br/profs/sergio n (opo IME Math Exams). c ca Meus agradecimentos a todos aqueles que tm colaborado com a elaborao deste e ca material. Em especial, a Onan Neves, Claudio Gustavo, Caio S. Guimares, Alessandro a J. S. Dutra, Paulo Abreu, sub-tenente Petrenko (IME-RJ), Francisco Claudio Gomes, Cap. Armando Staib (AMAN-RJ) e Cel. Hlios Malebranche (AMAN-RJ) pelo envio e dos enunciados de diversas provas.

Em relao a algumas solues, crdito devido a: ca co e e Colgio Impacto: [1977/1978 (lgebra), 9a ], [1980/1981 (lgebra), 8a ] e [1982/1983 e a a (lgebra), 6a ]; a Prof. Nicolau C. Saldanha e Claudio Buara (lema): [1980/1981 (lgebra), 9a ]; a Paulo Santa Rita: [1982/1983 (geometria), 7a ] e [1986/1987 (geometria), 9a ]; Colgio Princesa Isabel: [1983/1984 (geometria), 2a , item (b)] e [1983/1984 e (geometria), 8a , item (a)]; Jean-Pierre, Eric e Francisco Javier Garc Capitn, via Lu Lopes: [1985/1986 a a s (geometria), 6a , item (b)]; Guilherme Augusto: [1986/1987 (lgebra), 10a , item (b)]; a Caio S. Guimares: [1994/1995, 9a , (2a resposta)] e [1995/1996, 4a ]; a Eric D. Cariello: [1995/1996, 2a ]; Prof. Bruno Fraga: [2002/2003, 10a ]; Cesrio J. Ferreira: [2003/2004, 2a ]; a Colgio Poliedro: [2006/2007 (matemtica), 7a ]; e a Algumas correes das solues me foram apontadas por Caio S. Guimares co co a (diversas!), Douglas Ribeiro, Jair Nunes, Arthur Duarte, Estude+, Cesrio J. a Ferreira, Marcos V. P. Vieira e Gustavo Santos. Nesta dcima quinta verso, foram inclu e a das as provas de 2009/2010.

Enunciados1944/1945 1945/1946 1946/1947 1947/1948 1948/1949 1949/1950 1950/1951 1951/1952 1952/1953 1953/1954(1)(2) 1954/1955(1)(2) 1955/1956 1956/1957(1)(2) 1957/1958 1958/1959 1959/1960(1)(2) 1960/1961 1961/1962 1962/1963 1963/1964(3) 1964/1965(3)(4) 1965/1966(4) 1966/1967(4) 1967/1968(4) 1968/1969(4) 1969/1970(4) 1970/1971(4) 1971/1972(4) 1972/1973 1973/1974 1974/1975 1975/1976 1976/1977 1977/1978 1978/1979 1979/1980 1980/1981 1981/1982 1982/1983 1983/1984 1984/1985 1985/1986 1986/1987 1987/1988 1988/1989 1989/1990 1990/1991 Algebra X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Geometria X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X

1991/1992 1992/1993 1993/1994 1994/1995 1995/1996 1996/1997 1997/1998 1998/1999 1999/2000 2000/2001 2001/2002 2002/2003 2003/2004 2004/2005 2005/2006

Matemtica a X X X X X X X X X X X X X X X

2006/2007 2007/2008 2008/2009 2009/2010

Objetiva X X X X

Matemtica a X X X X

(*1): (*2): (*3): (*4):

As provas de Algebra e Clculo foram realizadas separadamente. a Houve prova de Desenho Tcnico, no inclu neste material. e a da As provas de Geometria e Trigonometria foram realizadas separadamente. Houve prova de Desenho Geomtrico, no inclu neste material. e a da

IME 2009/2010 - Objetiva1a Questo [Valor: 0,25] a Sejam r, s, t e v nmeros inteiros positivos tais que u r t < v . Considere as seguintes relaes: co s i.(r+s) s r s

j

O valor do determinante de A = LDU igual a: e (A) 0 (B) 1 (C) n (D) n + 1 n+1 (E) n 11a Questo [Valor: 0,25] a Assinale a opo correspondente aos valores de K para ca os quais o sistema de equaes dado por: co ex + ey = ex+y x+y =K admite soluao real. c (A) 0 K 2 (B) 0 K ln 2 (C) K e2 (D) K > ln 4 (E) 0 K 1

IME 2007/2008 - Matemtica a1a Questo [Valor: 1,0] a Determine o conjunto-soluo da equao sen3 x + ca ca cos3 x = 1 sen2 x. cos2 x 2a Questo [Valor: 1,0] a Encontre o polinmio P (x) tal que Q(x) + 1 = (x o 1)3 .P (x) e Q(x) + 2 divis por x4 , onde Q(x) um e vel e polinmio do 6o grau. o 3a Questo [Valor: 1,0] a Os elementos da matriz dos coecientes de um sistema de quatro equaes lineares e quatro incgnitas (x, y, co o z e w) so funo de quatro constantes a, b, c e d. Dea ca termine as relaes entre a, b, c e d para que o referido co sistema admita uma soluo no trivial, sabendo que ca a CD = DC, onde 8a Questo [Valor: 1,0] a Em um quadrado ABCD o segmento AB , com comprimento igual ao lado do quadrado, descreve um arco de c rculo, conforme indicado na gura. Determine o a ngulo B AB correspondente ` posio em que a razo a ca a entre o comprimento do segmento B C e o lado do qua drado vale 3 6.

A

B

B

C=

a c

b d

eD=

x z

y w

.

D

C

4a Questo [Valor: 1,0] a Uma seqncia de quatro termos forma uma PG. ue Subtraindo-se 2 do primeiro termo e k do quarto termo, transforma-se a seqncia original em uma PA. Uma ue terceira seqncia obtida somando-se os termos corue e respondentes da PG e da PA. Finalmente, uma quarta seqncia, uma nova PA, obtida a partir da terceira ue e seqncia, subtraindo-se 2 do terceiro termo e sete do ue quarto. Determine os termos da PG original. 5a Questo [Valor: 1,0] a Cinco equipes concorrem numa competio automoca bil stica, em que cada equipe possui dois carros. Para a largada so formadas duas colunas de carros lado a a lado, de tal forma que cada carro da coluna da direita tenha ao seu lado, na coluna da esquerda, um carro de outra equipe. Determine o nmero de formaes u co poss veis para a largada. 6a Questo [Valor: 1,0] a Determine a expresso da soma a seguir, onde n um a e inteiro mltiplo de 4. u

9a Questo [Valor: 1,0] a Considere os nmeros complexos Z1 = sen + i cos u e Z2 = cos i sen , onde um nmero real. Mose u tre que, se Z = Z1 Z2 , ento 1 Re (Z) 1 e a 1 Im (Z) 1, onde Re (Z) e Im (Z) indicam, respectivamente, as partes real e imaginria de Z. a 10a Questo [Valor: 1,0] a Considere todos os pontos de coordenadas (x, y) que pertenam ` circunferncia de equao x2 + y 2 6x c a e ca y 6y + 14 = 0. Determine o maior valor poss de . vel x

1 + 2i + 3i2 + . . . + (n + 1)in

7a Questo [Valor: 1,0] a A rea de uma calota esfrica o dobro da rea do seu a e e a c rculo base. Determine o raio do c rculo base da calota em funo do raio R da esfera. ca

IME 2006/2007 - Objetiva1a Questo [Valor: 0,25] a Sejam z e w nmeros complexos tais que: u w2 z 2 = 4 + 12i z w = 2 + 4i onde z e w representam, respectivamente, os nmeros u complexos conjugados de z e w. O valor de z + w : e (A) 1 i (B) 2 + i (C) 1 + 2i (D) 2 2i (E) 2 + 2i 2a Questo [Valor: 0,25] a Seja N um nmero inteiro de 5 algarismos. O nmero u u P constru agregando-se o algarismo 1 ` direita de e do a N e o nmero Q constru agregando-se o algarismo u e do 1 ` esquerda de N . Sabendo-se que P o triplo de Q, a e o algarismo das centenas do nmero N : u e (A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 6 (E) 8 3a Questo [Valor: 0,25] a Um quadrado de lado igual a um metro dividido em e quatro quadrados idnticos. Repete-se esta diviso com e a os quadrados obtidos e assim sucessivamente por n vezes. A gura abaixo ilustra as quatro primeiras etapas desse processo. Quando n , a soma em metros dos per metros dos quadrados hachurados em todas as etapas : e 4a Questo [Valor: 0,25] a Se r1 e r2 so ra a zes reais distintas de x2 + px + 8 = 0, correto armar que: e (A) |r1 + r2 | > 4 2 (B) |r1 + r2 | < 2 (C) |r1 | 2 e |r2 | 2 (D) |r1 | 3 e |r2 | 1 (E) |r1 | < 1 e |r2 | < 2 5a Questo [Valor: 0,25] a Considere o sistema de equaes dado por: co x + y + 2z = b1 2x y + 3z = b2 5x y + az = b3 Sendo b1 , b2 e b3 valores reais quaisquer, a condio ca para que o sistema possua soluo unica : ca e (A) (B) (C) (D) (E) a=0 a=2 a=8 a = b1 + b2 b3 a = 2b1 b2 + 3b3

6a Questo [Valor: 0,25] a Seja f : R R, onde R o conjunto dos nmeros reais, e u tal que: f (4) = 5 f (x + 4) = f (x).f (4) O valor de f (4) : e (A) (B) (C) 4 5 1 4 1 5 1 5 4 5

1m

Primeira etapa

Segunda etapa

(D) (E)

Terceira etapa

Quarta etapa

7a Questo [Valor: 0,25] a Um grupo de nove pessoas, sendo duas delas irmos, a dever formar trs equipes, com respectivamente dois, a e trs e quatro integrantes. Sabendo-se que os dois irmos e a no podem car na mesma equipe, o nmero de equipes a u que podem ser organizadas : e (A) (B) (C) (D) (E) 288 455 480 910 960

(A) (B) (C) (D) (E)

4 6 8 10 12

8a Questo [Valor: 0,25] a Seja a matriz D dada por: 1 1 p q D= sen(P ) sen(Q)

1 r sen(R)

na qual p, q e r so lados de um tringulo cujos ngulos a a a opostos so, respectivamente, P , Q e R. O valor do a determinante de D : e (A) 1 (B) 0 (C) 1 (D) (E) p + q + r 9a Questo [Valor: 0,25] a Sabendo que log 2 = 0,3010, log 3 = 0,4771 e log 5 = 0,6989, o menor nmero entre as alternativas abaixo : u e (A) (B) (C) (D) (E) 430 924 2540 8120 62515

12a Questo [Valor: 0,25] a Seja p(x) = x3 + x2 + x + um polinmio do tero ceiro grau cujas ra zes so termos de uma progresso a a aritmtica de razo 2. Sabendo que p(1) = 1, e a p(0) = 0 e p(1) = 1, os valores de e so, respectia vamente: (A) 2 e 1 (B) 3 e 2 (C) 1 e 2 (D) 1 e 4 3 3 (E) 1 e 1 2 2 13a Questo [Valor: 0,25] a Seja p(x) = x5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f um polinmio o com coecientes inteiros. Sabe-se que as cinco ra de zes p(x) so nmeros inteiros positivos, sendo quatro deles a u pares e um mpar. O nmero de coecientes pares de u p(x) : e (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 14a Questo [Valor: 0,25] a Considere uma circunferncia C xa de raio R. A partir e de dois pontos A e B pertencentes a C, traam-se retas c tangentes a C que se interceptam num ponto P , tal que P A = P B = k. Sendo k um valor constante, o lugar geomtrico de P uma: e e (A) reta (B) circunferncia e (C) parbola a (D) hiprbole e (E) elipse 15a Questo [Valor: 0,25] a Um homem nascido no sculo XX diz a seguinte frase e para o lho: seu av paterno, que nasceu trinta anos o antes de mim, tinha x anos no ano x2 . Em conseqncia, conclui-se que o av paterno nasceu no ano ue o de: (A) 1892 (B) 1898 (C) 1900 (D) 1936 (E) 1942

10a Questo [Valor: 0,25] a Considere os conjuntos A = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, e seja a funo f : A B tal que: ca f (x, y) = x + y E poss armar que f uma funo: vel e ca (A) (B) (C) (D) (E) injetora sobrejetora bijetora par mpar

11a Questo [Valor: 0,25] a O volume do octaedro cujos vrtices so os pontos e a mdios das arestas de um tetraedro regular de volume e V : e V (A) 2 (B) (C) V 4 V 8

(D) V

2 2 3 (E) V 2

IME 2006/2007 - Matemtica a1a Questo [Valor: 1,0] a , 0 1 2 e seja P uma matriz invers vel tal que B = P 1 AP . Sendo n um nmero natural, calcule o determinante da u matriz An . 2a Questo [Valor: 1,0] a Considere uma seqncia de tringulos retngulos cuja ue a a lei de formao dada por ca e aK+1 = bK+1 2 aK 3 4 = bK 5 Considere as matrizes A =3 4 1 4 1 4 3 4

eB=

1

0

8a Questo [Valor: 1,0] a Considere o conjunto formado por m bolas pretas e n bolas brancas. Determine o nmero de seqncias u ue simtricas que podem ser formadas utilizando-se todas e as m + n bolas. Obs: Uma seqncia dita simtrica quando ela possui ue e e a mesma ordem de cores ao ser percorrida da direita para a esquerda e da esquerda para a direita. 9a Questo [Valor: 1,0] a Sejam a, b e c nmeros reais no nulos. Sabendo que u a a+b b+c a+c = = , determine o valor numrico de e c a b a+b . c 10a Questo [Valor: 1,0] a Seja f : N R uma funo tal que cak=0 n

f (k) =

onde aK e bK , para K 1, so os comprimentos dos a catetos do K-simo tringulo retngulo. Se a1 = 30 cm e a a e b1 = 42 cm, determine o valor da soma das reas de a todos os tringulos quando K . a 3a Questo [Valor: 1,0] a Considere o sistema de equaes dado por co 3 log3 + log9 = 10 log9 2 log3 = 10 onde e so nmeros reais positivos. Determine o a u valor de P = . 4a Questo [Valor: 1,0] a Sejam C e C dois c rculos tangentes exteriores de raios r e r e centros O e O , respectivamente, e seja t uma reta tangente comum a C e C nos pontos no coincia dentes A e A . Considere o slido de revoluo gerado o ca a partir da rotao do segmento AA em torno do eixo ca OO , e seja S a sua correspondente rea lateral. Dea termine S em funo de r e r . ca 5a Questo [Valor: 1,0] a Resolva a equao ca log(sen x+cos x) (1 + sen 2x) = 2, x [ , ]. 2 2

2008

(n + 1) , onde N e R so, respectivamente, o cona (n + 2) junto dos nmeros naturais e o dos nmeros reais. Deu u 1 termine o valor numrico de e . f (2006)

6a Questo [Valor: 1,0] a O quadriltero BRAS, de coordenadas A(1, 0), a B(2, 0), R(x1 , y1 ) e S(x2 , y2 ) constru tal que e do RAS = RBS = 90o . Sabendo que o ponto R pertence ` reta t de equaao y = x + 1, determine a equao a c ca algbrica do lugar geomtrico descrito pelo ponto S ao e e se deslocar R sobre t. 7a Questo [Valor: 1,0] a Sejam x1 e x2 as ra da equao x2 +(m15)x+m = zes ca 0. Sabendo que x1 e x2 so nmeros inteiros, determine a u o conjunto de valores poss veis para m.

IME 2005/20061a Questo [Valor: 1,0] a Sejam a1 = 1 i, an = r + si e an+1 = (r s) + (r + s)i (n > 1) termos de uma seqncia. Determine, em ue funo de n, os valores de r e s que tornam esta ca seqncia uma progresso ue a aritmtica, sabendo que r e e s so nmeros reais e i = 1. a u 2a Questo [Valor: 1,0] a Considere o polinmio o p(x) = x5 3x4 3x3 + 27x2 44x + 30 Sabendo que o produto de duas de suas ra zes complexas igual a 3 i e que as partes reais e imaginrias de e a todas as suas ra complexas so inteiras e no-nulas, zes a a calcule todas as ra zes do polinmio. o 3 Questo [Valor: 1,0] a Um trapzio ABCD, de base menor AB e base maior e CD, possui base mdia M N . Os pontos M e N die videm a base mdia em trs segmentos iguais, na ore e dem M M N N . Ao se traar as retas AM e BN , c vericou-se que as mesmas se encontraram sobre o lado CD no ponto P . Calcule a rea do trapzio M N CD a e em funo da rea de ABCD. ca a 4a Questo [Valor: 1,0] a Seja Dn = det(An ), onde 2 1 0 2 1 1 0 1 2 An = ... ... ... 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ... 0 0 ... 0 ... 0 ... 0 ... ... ... 2 . . . 1 0 0 0 ... 1 2 nna

7a Questo [Valor: 1,0] a Considere os pontos A(1, 0) e B(2, 0) e seja C uma circunferncia de raio R tangente ao eixo das abscissas e na origem. A reta r1 tangente a C e contm o ponto e e A e a reta r2 tambm tangente a C e contm o ponto e e e B. Sabendo que a origem no pertence `s retas r1 e a a r2 , determine a equao do lugar geomtrico descrito ca e pelo ponto de interseo de r1 e r2 ao se variar R no ca intervalo (0, ). 8a Questo [Valor: 1,0] a Considere um tetraedro regular de arestas de comprimento a e uma esfera de raio R tangente a todas as arestas do tetraedro. Em funo de a, calcule: ca a) O volume total da esfera. b) O volume da parte da esfera situada no interior do tetraedro. 9a Questo [Valor: 1,0] a Determine o conjunto soluo S = {(x, y)|x y Z} ca da equao ca (x + y)k = xy sabendo que k um nmero primo. e u 10a Questo [Valor: 1,0] a Sejam as somas S0 e S1 denidas por0 3 6 9 3[n/3] S0 = Cn + Cn + Cn + Cn + . . . + Cn 3[(n1)/3]+1 10 7 4 1 S1 = Cn + Cn + Cn + Cn + . . . + Cn

Calcule os valores de S0 e S1 em funo de n, sabendo ca que [r] representa o maior inteiro menor ou igual ao nmero r. u Obs: Utilize o desenvolvimento em binmio de Newton o de (1 + cis 2 )n . 3

Determine Dn em funo de n (n N, n 1). ca 5a Questo [Valor: 1,0] a Determine os valores de x, y, z e r que satisfazem o sistemar Cr+y = logy x

logy z = 4 + logx zy Cr+y = logx z + logz z p onde Cm representa a combinao de m elementos toca mados p a p e logc B representa o logaritmo de B na base c.

6a Questo [Valor: 1,0] a Os ngulos de um tringulo esto em progresso a a a a aritmtica e um deles soluo da equao trigoe e ca ca nomtrica e (sen x + cos x)(sen2 x sen x cos x + cos2 x) = 1 Determine os valores destes ngulos (em radianos). a

IME 2004/20051a Questo [Valor: 1,0] a x x Dada a funo f (x) = (156 +156 ) , demonstre que: ca 2 f (x + y) + f (x y) = 2f (x)f (y) 2a Questo [Valor: 1,0] a O sistema de segurana de uma casa utiliza um teclado c numrico, conforme ilustrado na gura. Um ladro obe a serva de longe e percebe que: A senha utilizada possui 4 d gitos. O primeiro e o ultimo d gitos encontram-se numa mesma linha. O segundo e o terceito d gitos encontram-se na linha imediatamente superior. Calcule o nmero de senhas que devero ser experiu a mentadas pelo ladro para que com certeza ele consiga a entrar na casa. 7a Questo [Valor: 1,0] a Considere uma elipse de focos F e F , e M um ponto qualquer dessa curva. Traa-se por M duas secantes c M F e M F , que interceptam a elipse em P e P , respectivamente. Demonstre que a soma (M F /F P ) + (M F /F P ) constante. e Obs: Calcule inicialmente a soma (1/M F )+(1/F P ). 8a Questo [Valor: 1,0] a Sejam a, b, e c as ra do polinmio p(x) = x3 +rxt, zes o onde r e t so nmeros reais no nulos. a u a a) Determine o valor da expresso a3 +b3 +c3 em funo a ca de r e t. b) Demonstre que S n+1 +rS n1 tS n2 = 0 para todo nmero natural n 2, onde S k = ak + bk + ck para u qualqure nmero natural k. u 9a Questo [Valor: 1,0] a Calcule o determinante da matrix n n em funo de ca b, onde b um nmero real tal que b2 = 1. e u b2 +1 b 0 0 ... 0 0 b b2 +1 b 0 ... 0 0 0 b b2 +1 b ... 0 0 2 0 0 b b +1 . . . 0 0 n linhas . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 0 . . . b2 +1 b 2 0 0 0 0 ... b b +1 n colunas 10a Questo [Valor: 1,0] a Considere os pontos P e Q sobre as faces adjacentes de um cubo. Uma formiga percorre, sobre a superf do cie cubo, a menor distncia entre P e Q, cruzando a aresta a BC em M e a aresta CD em N , conforme ilustrado na gura abaixo. E dado que os pontos P , Q, M e N so a coplanares. a) Demonstre que M N perpendicular a AC. e b) Calcule a rea da seo do cubo determinada pelo a ca plano que contm P , Q e M em funo de BC = a e ca e BM = b.

1 4 7

2 5 8 0

3 6 9

Teclado numerico

3a Questo [Valor: 1,0] a Sejam a, b, c, e d nmeros reais positivos e diferentes u de 1. Sabendo que loga d, logb d e logc d so termos a consecutivos de uma progresso aritmtica, demonstre a e que: c2 = (ac)loga d sln: Esta questo foi anulada por erro no enunciado. a 4a Questo [Valor: 1,0] a Determine o valor das ra comuns das equaes x4 zes co 2x3 11x2 +18x+18 = 0 e x4 12x3 44x2 32x52 = 0. 5a Questo [Valor: 1,0] a Resolva a equao 2 sen 11x + cos 3x + 3 sen 3x = 0. ca 6a Questo [Valor: 1,0] a Considere um tringulo ABC de rea S. Marca-se o a a ponto P sobre o lado AC tal que P A/P C = q, e o ponto Q sobre o lado BC de maneira que QB/QC = r. As cevianas AQ e BP encontram-se em T , conforme ilustrado na gura. Determine a rea do tringulo AT P a a em funo de S, q e r. caA P T

P B M N Q C

AB Q C

D

IME 2003/20041a Questo [Valor: 1,0] a Calcule o nmero natural n que torna o determinante u abaixo igual a 5. 1 1 0 1 0 0 log2 (n1) log2 (n+1) 0 1 1 log2 (n1) 0 0 1 log2 (n1) 9a Questo [Valor: 1,0] a Ao nal de um campeonato de futebol, somaram-se as pontuaes das equipes, obtendo-se um total de 35 ponco tos. Cada equipe jogou com todos os outros adversrios a apenas uma vez. Determine quantos empates houve no campeonato, sabendo que cada vitria valia 3 pontos, o cada empate valia 1 ponto e que derrotas no pontuaa vam. 10a Questo [Valor: 1,0] a Um quadriltero convexo ABCD est inscrito em um a a c rculo de dimetro d. Sabe-se que AB = BC = a, a AD = d e CD = b, com a, b e d diferentes de zero. a) Demonstre que d2 = bd + 2a2 . b) Se a, b e d so nmeros inteiros e a diferente de b, a u e mostre que d no pode ser primo. a

2a Questo [Valor: 1,0] a Considere o polinmio P (x) = x3 +ax+b de coecientes o reais, com b = 0. Sabendo que suas ra zes so reais, a demonstre que a < 0. 3a Questo [Valor: 1,0] a Considere uma pirmide regular de altura h, cuja base a e um hexgono ABCDEF de lado a. Um plano perpena dicular ` base e contendo os pontos mdios das arestas a e AB e BC divide a pirmide em dois poliedros. Calcule a a razo entre os volumes destes dois poliedros. a 4a Questo [Valor: 1,0] a Calcule sen (x + y) em funo de a e b, sabendo que o ca produto ab = 0, que sen x + sen y = a e que cos x + cos y = b. 5a Questo [Valor: 1,0] a Seja uma funo f : {0} , onde representa o ca conjunto dos nmeros reais, tal que f (a/b) = f (a)f (b) u para a e b pertencentes ao dom nio de f . Demonstre que f uma funo par. e ca 6a Questo [Valor: 1,0] a Sendo a, b e c nmeros naturais em progresso u a aritmtica e z um nmero complexo de mdulo unitrio, e u o a determine um valor para cada um dos nmeros a, b, c u e z de forma que eles satisfaam a igualdade: c 1 1 1 + b + c = z9 za z z 7a Questo [Valor: 1,0] a Considere a parbola P de equaao y = ax2 , com a > 0 a c e um ponto A de coordenadas (x0 , y0 ) satisfazendo a y0 < ax2 . Seja S a rea do tringulo AT T , onde T e a a 0 T so os pontos de contato das tangentes a P passando a por A. a) Calcule o valor da rea S em funo de a, x0 e y0 . a ca b) Calcule a equao do lugar geomtrico do ponto A, ca e admitindo que a rea S seja constante. a c) Identique a cnica representada pela equao obo ca tida no item anterior. 8a Questo [Valor: 1,0] a Demonstre que o nmero 11 . . . 1222 . . . 25 um quau e(n1)vezes

n vezes

drado perfeito.

IME 2002/20031a Questo [Valor: 1,0] a Seja z um nmero complexo de mdulo unitrio que u o a satisfaz a condio z 2n = 1, onde n um nmero ca e u zn inteiro positivo. Demonstre que um nmero e u 1 + z 2n real. 2 Questo [Valor: 1,0] a Determine todos os valores reais de x que satisfazem a equao: ca log 12x3 19x2 + 8x = log 12x3 19x2 + 8x ,a

E G

A B F C

D

onde log(y) e |y| representam, respectivamente, o logaritmo na base 10 e o mdulo de y. o 3a Questo [Valor: 1,0] a Dada numa circunferncia de raio R, inscreve-se nela e um quadrado. A seguir, increve-se uma circunferncia e neste quadrado. Este processo se repete indenidamente para o interior da gura de maneira que cada quadrado estar sempre inscrito em uma circunferncia a e e simultaneamente circunscrito por outra. Calcule, em funo de R, a soma das reas delimitadas pelos lados ca a dos quadrados e pelas circunferncias que os circunse crevem, conforme mostra a gura.

6a Questo [Valor: 1,0] a Considere um hexgono regular de 6 cm de lado. Dea termine o valor mximo da rea de um tringulo XY Z, a a a sabendo-se que: a) Os pontos X, Y e Z esto situados sobre lados do a hexgono. a b) A reta que une os pontos X e Y paralela a um dos e lados do hexgono. a 7a Questo [Valor: 1,0] a Sejam A e B dois subconjuntos de N. Por denio, ca uma funo f : A B crescente se a1 > a2 ca e f (a1 ) f (a2 ), para quaisquer a1 e a2 A. a) Para A = {1, 2} e B = {1, 2, 3, 4}, quantas funes co de A para B so crescentes? a b) Para A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, . . . , n}, quantas funes de A para B so crescentes, onde n um co a e nmero inteiro maior que zero? u 8a Questo [Valor: 1,0] a Seja uma pirmide regular de vrtice V e base quaa e drangular ABCD. lado da base da pirmide mede l O a e a aresta lateral l 2. Corta-se essa pirmide por um a plano que contm o vrtice A, paralelo ` reta BD, e e e e a contm o ponto mdio da aresta V C. Calcule a rea e e a da seo determinada pela interseo do plano com a ca ca pirmide. a 9a Questo [Valor: 1,0] a 3 3 Demonstre que 20 + 14 2 + 20 14 2 um e nmero inteiro mltiplo de quatro. u u 10a Questo [Valor: 1,0] a Considere uma matriz A, n n, de coecientes reais, e k um nmero real diferente de 1. Sabendo-se que u A3 = kA, prove que a matriz A + I invert e vel, onde I a matriz identidade n n. e

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1111111 0000000 1111111 1 0000000 0 1 0 1111111 1 0000000 0 11 00 11 00 1 0 1111111 1 0000000 0 1111111 11 0000000 00 111111 11 000000 00 1 0 1 0 1111111 11 0000000 00 R 111111 000000 1 1 0 0 1 1111 1 1 0 0000 0 0 1111111 11 0000000 00 1 0 1 1111 0 0000 11111 1 111 00000 0 000 11 1 1 00 0 0 1 111 1 1 0 000 0 0 1111111 11 0000000 00 11 00 11 11 1 00 00 0 1 1 1 0 0 0 1 111 0 000 111111 111 000000 000 11 00 11 11 00 00 11 00 1 0 11 00 1 111 0 000 1111111 11 0000000 00 11 00 11 11 1 00 00 0 111 000 11 00 111 1 1 000 0 0 1 111 0 000 11111 00000 11 11 1 1 00 00 0 0 1 1111 0 0000 1111 1 1 11 0000 0 0 00 11 11 111 00 00 000 1 0 1 1111 0 0000 11 1111 111 00 0000 000 11 1 1 00 0 0 1 0 1 1111 0 0000 11 11111 11 00 00000 00 R 1 0 1 0 11 11111 11 00 00000 00 1 0 1 0 11 00 1 0 1111111 1 0000000 0 1 0 1111111 1 0000000 0 1 0 1111111 1 0000000 0 1111111 0000000 1 0 1 04a Questo [Valor: 1,0] a Resolva a equao tg +tg (2) = 2 tg (3), sabendo-se ca que [0, /2). 5a Questo [Valor: 1,0] a Sobre uma reta r so marcados os pontos A, B, C e D. a So constru a dos os tringulos equilteros ABE, BCF a a e CDG, de forma que os pontos E e G se encontram do mesmo lado da reta r, enquanto que o ponto F se encontra do lado oposto, conforme mostra a gura. Calcule a rea do tringulo formado pelos baricentros de a a ABE, BCF e CDG em funo dos comprimentos dos ca segmentos AB, BC e CD.

IME 2001/20021a Questo [Valor: 1,0] a Calcule a soma dos nmeros entre 200 e 500 que so u a mltiplos de 6 ou de 14, mas no simultaneamente u a mltiplos de ambos. u 2a Questo [Valor: 1,0] a Uma matriz quadrada denominada ortogonal quando e a sua transposta igual a sua inversa. Considerando e esta denio, determine se a matriz [R], abaixo, uma ca e matriz ortogonal, sabendo-se que n um nmero inteiro e u e um ngulo qualquer. Justique a sua resposta. e a cos (n) sen(n) 0 sen(n) cos (n) 0 0 0 110 km B 10 km

A 10 km 10 km C 10 km D 10 km

8a Questo [Valor: 1,0] a a) Sejam x, y e z nmeros reais positivos. Prove que: u x+y+z 3 x.y.z 3 Em que condies a igualdade se verica? co b) Considere um paralelep pedo de lados a, b, c, e rea a total S0 . Determine o volume mximo desse paralea lep pedo em funo de S0 . Qual a relao entre a, b ca ca e c para que esse volume seja mximo? Demonstre a seu resultado. 9a Questo [Valor: 1,0] a Resolva a equao 5 5 x = x, sabendo-se que ca x > 0. 10a Questo [Valor: 1,0] a Considere um quadrado XY ZW de lado a. Dividindose cada ngulo desse quadrado em quatro partes iguais, a obtm-se o octgono regular representado na gura e o abaixo. Determine o lado e rea desse octgono em a o funo de a. As respostas nais no podem conter exca a presses trigonomtricas. o eX Y

[R] =

3a Questo [Valor: 1,0] a Considere uma parbola de eixo focal OX que passe a pelo ponto (0, 0). Dene-se a subnormal em um ponto P da parbola como o segmento de reta ortogonal ` a a tangente da curva, limitado pelo ponto P e o eixo focal. Determine a equao e identique o lugar geomtrico ca e dos pontos mdios das subnormais dessa parbola. e a 4a Questo [Valor: 1,0] a Sabe-se que loga b = X, logq b = Y e n > 0, onde n e um nmero natural. Sendo c o produto dos n termos u de uma progresso geomtrica de primeiro termo a e a e razo q, calcule o valor de logc b em funo de X, Y e a ca n. 5a Questo [Valor: 1,0] a co a) Encontre as condies a que devem satisfazer os coecientes de um polinmio P (x) de quarto grau para o que P (x) = P (1 x). b) Considere o polinmio P (x) = 16x4 32x3 56x2 + o 72x + 77. Determine todas as suas ra sabendo-se zes que o mesmo satisfaz a condio do item acima. ca

A H G B C F E W Z D

6 Questo [Valor: 1,0] a Um cone e um cilindro circulares retos tm uma base e comum e o vrtice do cone se encontra no centro da e outra base do cilindro. Determine o ngulo formado a pelo eixo do cone e sua geratriz, sabendo-se que a razo a entre a rea total do cilindro e a rea total do cone a a e 7/4. 7a Questo [Valor: 1,0] a Quatro cidades, A, B, C e D, so conectadas por esa tradas conforme a gura abaixo. Quantos percursos diferentes comeam e terminam na cidade A, e possuem: c a) Exatamente 50 km? b) n 10 km?

a

IME 2000/20011a Questo [Valor: 1,0] a Considere a gura abaixo, onde AB = AD = 1, BC = x, AC = y, DE = z e AE = w. Os ngulos DEA, a e B F A so retos. B CA a a) Determine o comprimento de AF e de BF em funo ca de x, y, z e w. b) Determine a tangente do ngulo em funo de x, a ca y, z e w. 6a Questo [Valor: 1,0] a Considere a matrix A = (akj ), onde: akj = k-simo termo do desenvolvimento de (1 + ji)54 , e com k = 1, . . . , 55; j = 1, . . . , 55 e i = 1. a) Calcule a3,2 + a54,1 . b) Determine o somatrio dos elementos da coluna 55. o c) Obtenha uma frmula geral para os elementos da o diagonal principal. 7a Questo [Valor: 1,0] a Um comandante de companhia convocou voluntrios a para a constituio de 11 patrulhas. Todas elas so ca a formadas pelo mesmo nmero de homens. Cada hou mem participa de exatamente duas patrulhas. Cada duas patrulhas tm somente um homem em comum. e Determine o nmero de voluntrios e o de integrantes u a de uma patrulha.D C

B

8a Questo [Valor: 1,0] a Calcule o valor exato de: sen 2 arc cotg 4 3 + cos 2 arc cossec 5 4

A

F

E

9a Questo [Valor: 1,0] a Prove que para qualquer nmero inteiro k, os nmeros u u k e k 5 terminam sempre com o mesmo algarismo (algarismo das unidades). 10a Questo [Valor: 1,0] a Sejam r, s e t trs retas paralelas no coplanares. So e a a marcados sobre r dois pontos A e A , sobre s os pontos B e B e sobre t os pontos C e C de modo que os segmentos AA = a, BB = b e CC = c tenham o mesmo sentido. a) Mostre que se G e G so os baricentros dos a tringulos ABC e A B C , respectivamente, ento a a GG paralelo `s trs retas. e a e b) Determine GG em funo de a, b e c. ca

2a Questo [Valor: 1,0] a Considere o polinmio de grau m o nimo, cuja representao grca passa pelos pontos P1 (2, 11), ca a P2 (1, 0), P3 (1, 4) e P4 (2, 9). a) Determine os coecientes do polinmio. o b) Calcule todas as ra zes do polinmio. o 3a Questo [Valor: 1,0] a Determine todos os nmeros inteiros m e n para os u quais o polinmio 2xm + a3n xm3n am divis por o e vel x + a. 4a Questo [Valor: 1,0] a Sejam a e b nmeros reais positivos e diferentes de 1. u Dado o sistema abaixo: ax . b1/y = ab 2. loga x = log1/b y . loga b determine os valores de x e y. 5a Questo [Valor: 1,0] a Dois nmeros complexos so ortogonais se suas repreu a sentaes grcas forem perpendiculares entre si. Prove co a que dois nmeros complexos Z1 e Z2 so ortogonais se u a e somente se: Z1 Z2 + Z1 Z2 = 0 Obs: Z indica o conjugado de um nmero complexo u Z.

IME 1999/20001a Questo [Valor: 1,0] a Calcule o determinante: 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 7 1 1 1 1 1 1 1 9 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 13 6a Questo [Valor: 1,0] a Seja o conjunto: D = {(k1 , k2 )| 1 k1 13; 1 k2 4; k1 , k2 N}. Determine quantos subconjuntos L = {(x1 , x2 ), (y1 , y2 ), (z1 , z2 ), (t1 , t2 ), (r1 , r2 )}, L D, existem com 5 (cinco) elementos distintos, que satisfazem simultaneamente as seguintes condies: co i) x1 = y1 = z1 . ii) x1 = t1 , x1 = r1 , t1 = r1 . 7a Questo [Valor: 1,0] a As arestas laterais de uma pirmide regular com n faces a tm medida l. Determine: e a) A expresso do raio do c a rculo circunscrito ` base, a em funo de l, de modo que o produto do volume ca da pirmide pela sua altura seja mximo. a a b) A expresso desse produto mximo, em funo de l a a ca e n. 8a Questo [Valor: 1,0] a As medianas BE e CF de um tringulo ABC se cortam a 12S = em G. Demonstre que tg B GC , onde 2 + c2 5a2 b S a rea do tringulo ABC; AC = b; AB = c e e a a BC = a. 9a Questo [Valor: 1,0] a Trs jogadores, cada um com um dado, zeram e lanamentos simultneos. Essa operao foi repetida c a ca cinquenta vezes. Os dados contm trs faces brancas e e e trs faces pretas. Dessas 50 vezes: e i) Em 28 saiu uma face preta para o jogador I. ii) Em 25 saiu uma face branca para o jogador II. iii) Em 27 saiu uma face branca para o jogador III. iv) Em 8 sa ram faces pretas para os jogadores I e III e branca para o jogador II. ram faces brancas para os jogadores II e v) Em 7 sa III e preta para o jogador I. vi) Em 4 sa ram faces pretas para os trs jogadores. e vii) Em 11 sa ram faces pretas para os jogadores II e III. Determine quantas vezes saiu uma face preta para pelo menos um jogador. 10a Questo [Valor: 1,0] a Considere quatro nmeros inteiros a, b, c e d. Prove u que o produto: (a b)(c a)(d a)(d c)(d b)(c b) divis por 12. e vel

D=

2a Questo [Valor: 1,0] a Considere a, b, e c nmeros reais tais que a < b < c. u Prove que a equao abaixo possui exatamente duas ca ra zes, x1 e x2 , que satisfazem a condio: a < x1 < ca b < x2 < c. 1 1 1 + + =0 xa xb xc 3a Questo [Valor: 1,0] a Represente gracamente a funo: ca F () = 1 1 1 1 + + + 2 2 2 1+sen 1+cos 1+sec 1+cossec2

4a Questo [Valor: 1,0] a Calcule as coordenadas dos pontos de interseo da ca elipse com a hiprbole, representadas na gura abaixo, e sabendo-se que: i) Os pontos C e C so os focos da elipse e os pontos a A e A so os focos da hiprbole. a e ii) BB o eixo conjugado da hiprbole. e e iii) OB = OB = 3 m e OC = OC = 4 m.

Y B D A E B C O E C D A X

5a Questo [Valor: 1,0] a Determine o polinmio em n, com no mximo 4 tero a mos, que representa o somatrio dos quadrados dos n on

primeiros nmeros naturais ( uk=1

k 2 ).

IME 1998/19991 Questo [Valor: 1,0] a Determine as ra de z 2 + 2iz 2 4i = 0 e localize-as zes + no plano complexo, sendo i = 1. 2a Questo [Valor: 1,0] a Sejam as funes g(x) e h(x) assim denidas: g(x) = co 3x 4; h(x) = f (g(x)) = 9x2 6x + 1. Determine a funo f (x) e faa seu grco. ca c a 3a Questo [Valor: 1,0] a Calcule o valor de (1,02)10 , com dois algarismos signicativos, empregando a expanso do binmio de Newa o ton. 4a Questo [Valor: 1,0] a Determine sabendo-se que: 1 cos4 1 + cotg2 2 . = ; 1 sen4 1 + tg2 3a

9a Questo [Valor: 1,0] a Uma piscina de base retangular tem, em metros, as seguintes dimenses: base, 56 e altura, 3. Dois teros o c do volume da piscina so ocupados por gua. Na sua a perf superior da gua, forma-se uma pequena bolha cie a de ar. A bolha de ar est eqidistante das paredes de a u 5m da base. Em relao `s paredes de 6m de base, sua ca a posio tal que a distncia a uma das paredes o ca e a e dobro da distncia ` outra. Estabelea um sistema de a a c coordenadas retangulares que tenha como origem um dos cantos interiores da piscina e como um dos planos coordenados a parede de base de 6m mais prxima da o bolha. Em relao a este sistema, determine as coordeca nadas retangulares do ponto onde se encontra a bolha de ar. 10a Questo [Valor: 1,0] a ABCD um quadrado de lado , conforme gura e abaixo. Sabendo-se que K a soma dos quadrados e das distncias de um ponto P do plano denido por a ABCD aos vrtices de ABCD, determine: e a) O valor m nimo de K e a posio do ponto P na ca qual ocorre este m nimo. b) O lugar geomtrico do ponto P para K = 4 2 . e

i)

ii) 0 < 2 radianos.

D

C

5a Questo [Valor: 1,0] a Determine para que seja imposs o sistema: vel

Ax 3x 4x + 2y y + y + + 3z 5z (2 14)z =4 =2 =+2

B

6a Questo [Valor: 1,0] a Determine as poss veis progresses aritmticas para as o e quais o resultado da diviso da soma dos seus n primeia ros termos pela soma dos seus 2n primeiros termos seja independente do valor de n. 7a Questo [Valor: 1,0] a Determine uma matriz no singular P que satisfaa a c 6 0 a equao matricial P 1 A = ca , onde A = 0 1 1 2 . 5 4 8a Questo [Valor: 1,0] a Seja o polinmio P (x) de grau (2n+1) com todos os seus o coecientes positivos e unitrios. Dividindo-se P (x) por a D(x), de grau 3, obtm-se o resto R(x). Determine e R(x), sabendo-se que as ra zes de D(x) so ra a zes de A(x) = x4 1 e que D(1) = 0.

IME 1997/19981a Questo [Valor: 1,0] a Determine a soluo da equao trigonomtrica, sen x+ ca ca e 3 cos x = 1, x R. 2a Questo [Valor: 1,0] a Resolva e interprete, geometricamente, o sistema matricial abaixo, em funo de e . ca 9a Questo [Valor: 1,0] a Considere o cubo de faces ABCD e EF GH, e arestas AE, BF , CG e DH. Sejam as arestas iguais a 3 m e os pontos M , N e P marcados de forma que: M AD, tal que AM = 2 m, N AB, tal que AN = 2 m, e P BF , tal que BP = 0,5 m. Calcule o per metro da seo que o plano M N P deterca mina no cubo. 10a Questo [Valor: 1,0] a Quatro retas se interceptam formando quatro tringulos conforme gura abaixo. a Prove que os c rculos circunscritos aos quatro tringulos possuem a um ponto em comum.

1 5 6

2 6 8

3 7

x y z

=

4 8

3a Questo [Valor: 1,0] a Determine os valores de que satisfaam a inequao, c ca 4 1 2 27 .27 + 27 > 0, e represente, gracamente, a 9 4 funo, y = 272x .27x + 271 . ca 9 4a Questo [Valor: 1,0] a Determine os parmetros , , e da transformao a ca Z + complexa, W = , que leva os pontos Z = Z + 0; i; 1 para W = i; 1; 0, respectivamente, bem como, Z para W = 2 i, onde i = 1. 5a Questo [Valor: 1,0] a Considere uma elipse e uma hiprbole centradas na orie gem, O, de um sistema cartesiano, com eixo focal coincidente com o eixo OX. Os focos da elipse so vrtices a e da hiprbole e os focos da hiprbole so vrtices da e e a e 20 elipse. Dados os eixos da elipse como 10 cm e cm, 3 determine as equaes das parbolas, que passam pelas co a intersees da elipse e da hiprbole e so tangentes ao co e a eixo OY na origem. 6a Questo [Valor: 1,0] a Uma embarcao deve ser tripulada por oito homens, ca dois dos quais s remam do lado direito e apenas um, o do lado esquerdo. Determine de quantos modos esta tripulao pode ser formada, se de cada lado deve haver ca quatro homens. Obs: A ordem dos homens de cada lado distingue a tripulao. ca 7a Questo [Valor: 1,0] a Determine , e de modo que o polinmio, x+1 + o x +1, racional inteiro em x, seja divis por (x1)2 e vel que o valor numrico do quociente seja igual a 120 para e x = 1. 8a Questo [Valor: 1,0] a Uma soma nita de nmeros inteiros consecutivos, u mpares, positivos ou negativos, igual a 73 . Detere mine os termos desta soma.

IME 1996/19971a Questo [Valor: 1,0] a Resolva o sistema abaixo: xy = y x y = ax onde a = 1 e a > 0 8a Questo [Valor: 1,0] a Determine o resto da diviso do polinmio (cos + a o x sen )n por (x2 + 1), onde n um nmero natural. e u 9a Questo [Valor: 1,0] a Considere uma esfera inscrita e tangente ` base de um a cone de revoluo. Um cilindro est circunscrito ` esca a a fera de tal forma que uma de suas bases est apoiada a na base do cone. Seja V1 o volume do cone e V2 o volume do cilindro. Encontre o menor valor da constante k para o qual V1 = kV2 . Obs: Considere o ngulo formado pelo dimetro da a a base e a geratriz do cone em uma das extermidades deste dimetro. a 10a Questo [Valor: 1,0] a Em uma parbola (P ), com foco F e parmetro p, cona a sidere uma corda M M normal ` parbola em M . Saa a bendo que o ngulo M F M = 90o , calcule os segmentos a FM e FM .

2a Questo [Valor: 1,0] a Determine o termo mximo do desenvolvimento da exa presso: a 1+ 1 365

3a Questo [Valor: 1,0] a Dados os pontos A e B do plano, determine a equao ca do lugar geomtrico dos pontos P do plano, de tal modo e que a razo entre as distncias de P a A e de P a B seja a a dada por uma constante k. Justique a sua resposta analiticamente, discutindo todas as possibilidades para k. 4a Questo [Valor: 1,0] a Em cada uma das 6 (seis) faces de um cubo, construiuse uma circunferncia, onde foram marcados n pontos. e Considerando que 4 (quatro) pontos no pertencentes a ` mesma face, no sejam coplanares, quantas retas e a a tringulos, no contidos nas faces desse cubo, so dea a a terminados pelos pontos. 5a Questo [Valor: 1,0] a Considere a funo y = f (x) = Ln(x + x2 + 1) onde ca Ln denota o logaritmo neperiano. Responder aos itens a seguir, justicando sua resposta. a) Se g(x) = Ln(2x), que relao existe entre os ca grcos das curvas f e g? a b) Pode-se armar que a funo denida por H(x) = ca f (x) uma primitiva para a funo T (x) = e ca 2 f (x) ? x2 + 1 6a Questo [Valor: 1,0] a Se tg a e tg b so ra a zes da equao x2 + px + q = 0, ca calcule, em funo de p e q, o valor simplicado da ca expresso: a y = sen2 (a+b) + p sen (a+b) cos (a+b) + q cos2 (a+b) Considere p, q com q = 1.

7a Questo [Valor: 1,0] a Considere os nmeros u mpares escritos sucessivamente, como mostra a gura abaixo, onde a n-sima linha come preende n nmeros. Encontre em funo de n, nesta u ca linha, a soma de todos os nmeros escritos, bem como u o primeiro e o ultimo. 1 3 7 13 21 . . . 5 9 15 23 . . .

11 17 25 . . .

19 27 . . .

29 . . .

..

.

IME 1995/19961a Questo [Valor: 1,0] a Considerando log 2 = a e log 3 = b, encontre, em funo ca de a e b, o logaritmo do nmero 5 11,25 no sistema de u base 15. 2a Questo [Valor: 1,0] a Encontre todas as solues reais da equao apresenco ca tada abaixo, onde n um nmero natural. e u cosn x senn x = 1 3a Questo [Valor: 1,0] a Um tringulo ABC tem base AB xa sobre uma reta r. a O vrtice C desloca-se ao longo de uma reta s, paralela e a r e a uma distncia h da mesma. Determine a equao a ca da curva descrita pelo ortocentro do tringulo ABC. a 4a Questo [Valor: 1,0] a Seja f uma funo real tal que x, a : f (x + a) = ca 1 + f (x) [f (x)]2 . f peridica? Justique. e o 2 5a Questo [Valor: 1,0] a Calcule a soma abaixo: 1 1 1 1 + + + ... + 1 4 4 7 7 10 2998 3001 6a Questo [Valor: 1,0] a dado um tabuleiro quadrado 44. Deseja-se atingir o E quadrado inferior direito a partir do quadrado superior esquerdo. Os movimentos permitidos so os represena tados pelas setas: 8a Questo [Valor: 1,0] a Determine os nmeros naturais n para os quais existem u poliedros convexos de n arestas. 9a Questo [Valor: 1,0] a Sejam w0 = 1, w1 = j, w2 = j 2 as ra cbicas da unizes u dade no plano complexo (considere w1 o nmero comu plexo de mdulo 1 e argumento 2/3). Sabendo-se que o se c C, a rotao R em torno do ponto c e amplitude ca igual a /3 dada por R(z) = j 2 z jc, z C {c}, e pede-se: a) Determinar as relaes existentes entre a, b, c, j, j 2 , co onde a, b C, de modo que o tringulo a, b, c seja a equiltero. a b) Determinar z para que o tringulo i, z, iz seja a equiltero. a Obs: Dado: i = 1. 10a Questo [Valor: 1,0] a Dados dois trinmios do segundo grau: o y = ax2 + bx + c (I) y = a x2 + b x + c (II) Considere, sobre o eixo Ox, os pontos A e B cujas abscissas so as ra a zes do trinmio (I) e A e B os pontos o cujas abscissas so as ra a zes do trinmio (II). Detero mine a relao que deve existir entre os coecientes a, ca b, c, a , b , c de modo que A B divida o segmento AB harmonicamente.

De quantas maneiras isto poss e vel? 7a Questo [Valor: 1,0] a Sejam 5 (cinco) pontos AOBO A , nesta ordem, pertencentes a uma reta genrica r tal que AO = OB = 3a; e BO = O A = 2a, onde a um comprimento dado. e Traam-se os c c rculos (O), com dimetro AB, e (O ), a com dimetro BA . Sejam C e D dois pontos quaisquer a do c rculo (O); as retas BC e BD cortam o c rculo (O ) respectivamente em C e D . BC a) Calcule . BC CD b) Calcule . CD c) Seja o ngulo C BD igual a 30o . Calcule, em funo a ca de a, a razo entre as reas dos segmentos circulares a a S, no c rculo (O) limitado pela corda CD, e S , no c rculo (O ) limitado pela corda C D .

IME 1994/19951a Questo [Valor: 1,0] a Determine a condio que o inteiro m deve satisfazer ca para que exista termo independente de x no desenvolm 1 vimento de x4 8 . x 2a Questo [Valor: 1,0] a Seja ABC um tringulo qualquer no qual os vrtices B a e e C so xos. Determine o lugar geomtrico descrito a e pelo ponto A, varivel, sabendo que os ngulos B e C a a satisfazem a relao tg B tg C = k, k constante real. ca Discuta a soluo para os diversos valores de k. ca Obs: Considere como eixos coordenados as retas BC e a mediatriz do segmento BC. 3 Questo [Valor: 1,0] a 1 Dado Z = , calcule as partes real e imaginria a 7 + 24i de Z. 4a Questo [Valor: 1,0] a Sabendo-se que a funo h(x) possui a seguinte proprica d edade dx h(x) = h(x), pedem-se: a) A soluo da equao: ca ca tf (t) = xh(x) + h(x) + 1.c 0 a

8a Questo [Valor: 1,0] a Seja ABC um tringulo qualquer. Por B e C pontos a mdios dos lados AB e AC, respectivamente, traame c se duas retas que se cortam em um ponto M , situado sobre o lado BC, e que fazem com esse lado ngulos a iguais conforme a gura abaixo. Demonstre que: cotg = 1 (cotg B + cotg C) 2

A C

.P

B

B

M

C

b) Os valores de c e h(x), de tal forma que: 2e e . 5a Questo [Valor: 1,0] a Resolva a equao trigonomtrica: ca e sen x + cos x + 2 2 sen x cos x = 0

tf (t) =

9a Questo [Valor: 1,0] a Seis esferas idnticas de raio R encontram-se posicioe nadas no espao de tal forma que cada uma delas seja c tangente a quatro esferas. Dessa forma, determine a aresta do cubo que tangencie todas as esferas. 10a Questo [Valor: 1,0] a Prove que o polinmio P (x) = x999 + x888 + x777 + . . . + o x111 + 1 divis por x9 + x8 + x7 + . . . + x + 1. e vel

6a Questo [Valor: 1,0] a Use o teorema do valor mdio para derivadas e prove e que a equaao: c ln(x + 1)5 + 3 ln(x + 1)3 + 2 ln(x + 1) 2 = 0, tem uma unica raiz real no intervalo (0, 1). Obs: A notao ln signica logaritmo neperiano. ca 7a Questo [Valor: 1,0] a Trs c e rculos de raio R se interceptam dois a dois, como mostrado na gura abaixo, constituindo trs reas e e a comuns que formam um trevo. Determine o per metro do trevo e sua rea em funo de R e da rea S do a ca a tringulo IJK. a

111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 11 00 11 00 K

I

J

IME 1993/19941a Questo [Valor: 1,0] a Determine o termo independente de x de 1 x x10

7a Questo [Valor: 1,0] a a Sabendo que A , B e C so os ngulos internos de um a tringulo, escreva as restries que devem ser satisfeia co tas por este tringulo para que se verique a igualdade a abaixo. A B C sen A + sen B + sen C = 4 cos . cos . cos 2 2 2 8a Questo [Valor: 1,0] a Seja ABCD um quadriltero convexo inscrito num a c rculo e seja I o ponto de interseo de suas diagoca nais. As projees ortogonais de I sobre os lados AB, co BC, CD e DA so, respectivamente, M , N , P e Q. a Prove que o quadriltero M N P Q circunscrit a um a e vel c rculo com centro em I. 9a Questo [Valor: 1,0] a Seja C um semi-c rculo com centro O e dimetro P Q = a 2r. Sobre o segmento OP , toma-se um ponto N tal que ON = x, 0 x r. Por N traa-se uma reta c perpendicular a P Q que encontre o semi-c rculo em M . A reta tangente ao semi-c rculo em M corta a reta P Q em um ponto T : a) Calcule, em funo de r e x, o volume V1 gerado ca pela rotao do tringulo M P Q em torno de P Q. ca a b) Calcule, em funo de r e x, o volume V2 gerado ca pela rotao do tringulo M P T em torno de P Q. ca a V2 a c) Considerando a razo y = , quando x varia no V1 intervalo [0, r], faa o esboo do respectivo grco. c c a 10a Questo [Valor: 1,0] a Na explorao de uma mina foi feito o corte indicado ca na gura abaixo. Para calcular o volume minrio do e extra do corte, foram medidos: CD = 10 3 dm, CD do perpendicular ao plano ABC, ADC = ADB = 60o e e = 30o . B DC

2 Questo [Valor: 1,0] a Seja f : R R uma funo quadrtica tal que f (x) = ca a ax2 + bx + c, a = 0, x R. Sabendo que x1 = 1 e x2 = 5 so ra a zes e que f (1) = 8, pede-se: a) Determinar a, b, c. b) Calcular f (0). a nimo, jusc) Vericar se f (x) apresenta mximo ou m ticando a resposta. d) As coordenadas do ponto extremo. e) O esboo do grco. c a 3a Questo [Valor: 1,0] a Seja um octgono convexo. Suponha que quando todas o as suas diagonais so traadas, no h mais de duas a c a a diagonais se interceptando no mesmo ponto. Quantos pontos de interseo (de diagonais) existem neste ca octgono? o 4a Questo [Valor: 1,0] a Considere os nmeros complexos z = x + y.i e w = u 3 y x.i, cujos mdulos so tais que |z| = e|w|. x e |w| = o a 1 e|z|. y , onde e base dos logaritmos neperianos. Obter e a forma polar de z 2 . 5a Questo [Valor: 1,0] a Um aluno, ao inverter a matriz A= 1 0 4 a b c d e f = [aij ], 1 i, j 3

a

cometeu um engano, e considerou o elemento a13 igual a 3, de forma que acabou invertendo a matriz B= 1 0 3 a c e b d f = [bij ]

D A BCalcule este volume.

C

Com esse engano o aluno encontrou B 1 = 5/2 0 1/2 3 1 1 5/2 0 1/2

Determinar A1 . 3 Obs: O elemento (3,1) de B 1 deve ser 2 . 6a Questo [Valor: 1,0] a x2 uma parbola com foco F e diretriz d. a Seja y = 2 Uma reta, cujo coeciente angular m = 0, passa por e F e corta a parbola em dois pontos M1 e M2 , resa pectivamente. Seja G o conjugado harmnico de F em o relao a M1 e M2 . Pedem-se: ca a) As coordenadas de G em funo de m. ca e b) O lugar geomtrico do ponto G quando m varia.

IME 1992/19931a Questo [Valor: 1,0] a Considere a funo f (x) = x3 + ax2 + bx + c, onde a, b e ca c so inteiros positivos. Sabendo-se que uma das ra a zes dessa funo igual a 2i, calcular os menores valores de ca e a, b e c para que exista um ponto mximo e um ponto a m nimo de reais. 2a Questo [Valor: 1,0] a Numa escola h 15 comisses, todas com igual nmero a o u de alunos. Cada aluno pertence a duas comisses e o cada duas comisses possui exatamente um membro em o comum. Todos os alunos participam. a) Quantos alunos tem a escola? b) Quantos alunos participam de cada comisso? a 7a Questo [Valor: 1,0] a Considere uma funo L : Q+ Q que satisfaz: ca 1. L crescente, isto , para quaisquer 0 < x < y teme e se L(x) < L(y). 2. L(x.y) = L(x) + L(y) para quaisquer x, y > 0. Mostre que: a) L(1) = 0. b) L(1/x) = L(x) para todo x > 0. c) L(x/y) = L(x) L(y) para quaisquer x, y > 0. d) L(xn ) = nL(x) para todo x > 0 e natural n. 1 e) L ( n x) = L(x) para todo x > 0 e natural n. n f) L(x) < 0 < L(y) sempre que 0 < x < 1 < y. 8a Questo [Valor: 1,0] a Demonstrar analiticamente que se uma reta, perpendicular a uma corda de uma circunferncia, passa pelo seu e centro, ento ela divide a corda no seu ponto mdio. a e 9a Questo [Valor: 1,0] a Provar que a soma das distncias de um ponto qualquer a interior a um tringulo equiltero aos lados constante. a a e 10a Questo [Valor: 1,0] a Resolva a equao: ca 4a Questo [Valor: 1,0] a Indique se verdadeiro (V) ou falso (F) o que se segue e e justique sua resposta. u a a) O conjunto dos nmeros reais no tem pontos extremos reais. b) Existe um nmero em Q (racionais) cujo quadrado u 2. e c) O ponto correspondente a 66 na escala dos nmeros u 77 55 77 e . reais R est situado entre os pontos a 66 88 sen x cos x = sen 2x cos 2x 1

3a Questo [Valor: 1,0] a Prove, por induao, que: c0 1 n (a+b)n = Cn an + Cn an1 b + . . . + Cn bn , para n N.

5a Questo [Valor: 1,0] a Determine os valores de x para que: x x x2 x 2 x+2 0 4 4 6 0 10 4x 4 10 x 2

=0

6a Questo [Valor: 1,0] a Faa o que se pede: c a) Calcule o argumento do seguinte nmero complexo u i(1 + i). b) Escreva sob forma trigonomtrica o nmero come u plexo Z = 1 + i 3.

IME 1991/19921a Questo [Valor: 1,0] a Prove que Z1 + Z2 = Z1 + Z2 , onde Z1 e Z2 C. 2a Questo [Valor: 1,0] a Encontre todas as solues de sec x 2 cos x = 1 em co [0, 2]. 3a Questo [Valor: 1,0] a Dado o quadriltero ABCD, inscrito num c a rculo de raio r, conforme a gura abaixo, prove que: AB.AD + BC.CD AC = BD AB.BC + CD.AD 8a Questo [Valor: 1,0] a Seja f : [0, [ R uma funo cont ca nua tal que: (1) f(0) = 0. x2 1 (2) f (x) = 2 , x ]0, [. (x + 1)2 (3) lim f(x) = 0.x

Pedem-se: a) Os intervalos onde f crescente (respectivamente, e descrescente). b) Os intervalos onde o grco de f cncavo para a e o cima (respectivamente, para baixo). c) Onde ocorrem os pontos de mximo e m a nimo absolutos e de inexo? a Dena g : R R por:

B M

C

g(x) =

f (x), x 0 f (x), x < 0

Esboce o grco de g. a 9a Questo [Valor: 1,0] a Calcule o valor do determinante abaixo:

A

D

4a Questo [Valor: 1,0] a Calcule quantos nmeros naturais de 3 algarismos disu tintos existem no sistema de base 7. 5a Questo [Valor: 1,0] a Determine a equao da reta que passa por um dos ca vrtices da curva denida por 4y 2 + 8y x2 = 4, fore mando um ngulo de 45o com o eixo horizontal. a 6a Questo [Valor: 1,0] a Dados: (1) Um cone de revoluo com vrtice S e cuja base ca e circular est situada num plano . a a (2) Um ponto P exterior ao cone e no pertencente a . Pede-se: determinar, pelo ponto P , os planos tangentes ao cone. 7a Questo [Valor: 1,0] a A partir da funo ca R(t) = eAt + A eAt eBt BA

m+x m m m ... m m m+x m m ... m m m m+x m ... m Dn = m m m m+x m m . . . . . .. . . . . . . . . . . . m m m m . . . m+x 10a Questo [Valor: 1,0] a Sejam E0 = [0, 1] e f1 , f2 : E0 E0 funes denico 1 1 2 das por f1 (x) = x e f2 (x) = x + . Se P (E0 ) o e 3 3 3 conjunto das partes de E0 , seja F : P (E0 ) P (E0 ) a funo denida por F (A) = f1 (A) f2 (A), onde fi (A) ca a imagem de A por fi , i = 1, 2. Agora, para cada e n 1 denimos En = F (En1 ). a) Esboce gracamente E0 , E1 , E2 e E3 . Mostre que En En1 . e b) Calcule lim |En |, onde |En | a soma dos comprin mentos dos intervalos que formam En .

onde t a varivel (tempo) e A e B so constantes reais, e a a encontre a expresso de R(t), para o caso em que A a tende a B de modo que R(t) seja uma funo cont ca nua.

IME 1990/1991 - Algebra1 Questo [Valor: 1,0] a Determine todas as matrizes X reais, de dimenses 2 o 2, tais que AX = XA, para toda matriz A real 2 2. 2a Questo [Valor: 1,0] a Dado o conjunto A = {1, 2, 3, . . . , 102}, pede-se o nmero de subconjuntos de A, com trs elementos, tais u e que a soma destes seja um mltiplo de trs. u e 3a Questo [Valor: 1,0] a A coleo de selos de Roberto est dividida em trs ca a e volumes. Dois dcimos do total de selos esto no prie a meiro volume, alguns stimos do total esto no segundo e a volume e 303 selos esto no terceiro volume. Quantos a selos Roberto tem? 4a Questo [Valor: 1,0] a Mostre que o nmero u 125 27 125 27a

8a Questo [Valor: 1,0] a Dada a funo racional ca f (x) = x3 + ax2 + bx + c mx2 + nx + p

e sabendo que a, b, c, m, n, p Z e que i) f (2) = 0. ii) Para x = 1 tem-se uma indeterminao do tipo ca 0 . 0 iii) lim f (x) = 6.x1

iv) x = 1 raiz do polinmio mx2 + nx + p. e o 1 . v) f (3) = f (4) Determine os coecientes a, b, c, m, n e p. 9a Questo [Valor: 1,0] a Determine o quadrado OABC cujos vrtices so a orie a gem e os pontos A(1, 1), B(0, 2) e C(1, 1). Seja F (0, 1) o centro desse quadrado e P a parbola de foco F e cuja a diretriz o eixo das abscissas. Pede-se: e a) Mostre que P passa por A e C. b) Determine a equao dessa parbola. ca a c) Calcule as coordenadas do ponto D, segundo ponto de interseo da reta BC com P . ca d) Seja M um ponto qualquer de P cuja abscissa x. e Mostre que a potncia de M em relao ao c e ca rculo 1 (c) de dimetro CD (x + 1)3 (x 3). a e 4 e) A partir do resultado anterior, encontre o conjunto dos pontos de P interiores a (c). 10a Questo [Valor: 1,0] a a) A partir do estudo da variao do sinal das funes ca co f (x) = ln(1 + x) x e g(x) = ln(1 + x) x + deduza a relao ca x2 2

3

3+

9+

3

3 +

9+

racional. e 5a Questo [Valor: 1,0] a a) Sendo dada a equao x3 + px + q = 0, p, q R, que ca relao dever existir entre p e q para que uma das ca a ra zes seja igual ao produto das outras duas? b) Mostre que a equao x3 6x 4 satisfaz a relao ca ca encontrada e, em seguida, encontre suas ra zes. 6a Questo [Valor: 1,0] a Seja D = {(x, y) R2 | 0 < x < 1 e 0 < y < 1} e F : D R2 uma funo tal que (x, y) D associa ca (x, y) R2 onde x=y y = (1 y)x a) Sendo T = {(x, y)| x > 0, y > 0, x + y < 1}, mostre que F uma bijeo de D sobre T . e ca b) Esboce a imagem dos conjuntos da forma {(x, y) D| y = x} para os seguintes valores de : 0 = 1 1 ; 1 = ; 2 = 1. 4 2 7a Questo [Valor: 1,0] a Mostre que sen (2n+1)x 1 2 + cos x + cos 2x + . . . + cos nx = 2 2 sen x 2

x

x2 < ln(1 + x) < x, x ]0, +[ 2

b) Sendo n Z+ , seja P (n) = (1 + 1 2 n1 )(1 + 2 ) . . . (1 + ) n2 n n2

Mostre que se n , P (n) admite um limite e calcule esse limite.

IME 1990/1991 - Geometria1a Questo [Valor: 1,0] a Sejam um c rculo, com centro O e raio R, e um ponto P tal que OP = 3R. a) Determine o dimetro M N de modo que o tringulo a a P M N seja retngulo com ngulo reto em M . a a b) Calcule, em funo de R, os lados e a rea do ca a tringulo P M N . a c) P N intercepta a circunferncia em um segundo e ponto K. Calcule P K. d) O dimetro M N gira em torno de O. Qual o lugar a geomtrico dos ps das perpendiculares traadas de e e c P sobre M N ? e) Determine a posio do dimetro M N para que a ca a rea do tringulo P M N seja mxima. a a a 2a Questo [Valor: 1,0] a Considere um c rculo e uma reta que no se intercepa tam, ambos contidos num plano. Determine o lugar geomtrico dos centros dos c e rculos que so tangentes a ao c rculo dado (exteriormente) e ` reta dada. a 3a Questo [Valor: 1,0] a Sejam dois quadrados ABCD e ABEF , tendo um lado comum AB, mas no situados num mesmo plano. Sea jam M e N pertencentes, respectivamente, `s diagonais a AM BN 1 AC e BF tais que = = . Mostre que M N AC BF 3 paralelo a DE. e 4a Questo [Valor: 1,0] a Sejam A, B e C os ngulos de um tringulo. Mostre a a que sen 2A + sen 2B + sen 2C = 4 sen A. sen B. sen C 5a Questo [Valor: 1,0] a Mostre que se num tringulo ABC vale a relao a ca cos (B C) = tg B sen A + sen(C B) ento o tringulo retngulo com ngulo reto em A. a a e a a 6a Questo [Valor: 1,0] a Seja um cone reto de base circular, vrtice V , altura e h e raio de base r e seja ABC um tringulo equiltero a a circunscrito ` base do cone. Pede-se: a a) Determinar a relao entre h e r para que o tetraeca dro, com vrtices V ABC, seja regular. e b) Satisfeitas essas condies, calcule, em funo de r, o co ca volume limitado pela superf do cone, pelo plano cie de sua base e pelos dois planos tangentes que passam pela aresta V A. 7 Questo [Valor: 1,0] a Resolver o sistema tg2 x + tg2 y = 6 tg y tg x + = 6 tg y tg x Sabendo que x e y pertencem ao intervalo [/2, /2].a

8a Questo [Valor: 1,0] a Seja, sobre uma esfera, um c rculo mximo (C) com a dimetro AB = 2R. Traam-se uma corda M N do a c c rculo (C), paralela a AB, e duas retas x e y perpendiculares ao plano do c rculo de dimetro AB e passando, a respectivamente, por M e N . Os planos denidos pelo ponto A e a reta x e o denido pelo ponto A e a reta y cortam a esfera segundo dois c rculos. Mostre que quando M N varia, mantendo-se paralela a AB, a soma dos quadrados de seus raios constante. e a 9 Questo [Valor: 1,0] a Num tringulo ABC traamos a altura AH e do p a c e H dessa altura constru mos as perpendiculares HD e HE sobre os lados AB e AC. Seja P o ponto de interseo DE com BC. Construindo as alturas relativas ca aos vrtices B e C determinam-se tambm, de modo e e anlogo Q e R sobre os lados AC e AB. Demonstre a que os pontos P , Q e R so colineares. a

A

D E B H C P

10a Questo [Valor: 1,0] a No plano, considere um disco de raio R, chame este conjunto de A0 . Divida um raio de A0 em trs segmene tos congruentes e retire de A0 a coroa circular de raios 1 2 R e R, chame este conjunto de A1 . O conjunto A1 3 3 1 contm um disco de raio R1 = R, divida um raio deste e 3 disco em trs segmentos e, mais uma vez retire de A1 a e 2 1 coroa circular de raios R1 e R1 , chame este conjunto 3 3 de A2 . Continue este processo indenidamente e seja A o conjunto resultante.

A1

A2

a) Calcule a rea do conjunto An obtido aps a n-sima a o e etapa do processo descrito acima. b) Calcule a rea do conjunto resultante A. a

IME 1989/1990 - Algebra1a Questo [Valor: 1,0] a Calcule o determinante da matriz nn que possui zeros na diagonal principal e todos os outros elementos iguais a 1. 2 Questo [Valor: 1,0] a Ligando as cidades A e B existem duas estradas principais. Dez estradas secundrias de mo dupla, ligam as a a duas estradas principais, como mostra a gura. Quantos caminhos, sem auto-intersees, existem de A at co e B? Obs: Caminho sem auto-intersees um caminho que co e no passa por um ponto duas ou mais vezes. aa

6a Questo [Valor: 1,0] a Considere a funo ca f (x) = lim xn + 1 xn1 n

n

denida em 0 < x < . Calcule o valor de f em cada ponto e esboce o seu grco. a 7a Questo [Valor: 1,0] a Resolva a equao ca z5 = z onde z o conjugado do nmero complexo z. e u 8a Questo [Valor: 1,0] a Seja f uma funo denida nos inteiros positivos satisca fazendo i) f (1) = 1. ii) f (2n) = 2f (n) + 1. iii) f (f (n)) = 4n 3. Calcule f (1990). 9a Questo [Valor: 1,0] a IMEBOL um jogo de trs jogadores. Em cada partida e e o vencedor marca a pontos, o segundo colocado marca b pontos e o terceiro colocado marca c pontos, onde a > b > c so inteiros positivos. Certo dia, Marcos, a Flvio e Ralph resolvem jogar IMEBOL e aps algumas a o partidas a soma dos pontos foi: Marcos: 20, Flvio: a 10, Ralph: 9. Sabe-se que Flvio venceu a segunda a partida. Encontre quantos pontos cada um marcou em cada partida disputada. 10a Questo [Valor: 1,0] a Para que valores de p a equao x4 + px + 3 tem raiz ca dupla? Determine, em cada caso, as ra da equao. zes ca

A

B

3a Questo [Valor: 1,0] a Considere a fam de retas representada pela equao lia ca p(1 + m2 ) y = mx 2m onde p uma constante positiva dada e m um nmero e u real varivel. a a) Determine a condio para que num ponto M = ca (x0 , y0 ) do plano cartesiano passem duas retas dessa fam lia. b) Determine o lugar geomtrico dos pontos M para os e quais as retas que por eles passem sejam perpendiculares. 4a Questo [Valor: 1,0] a Considere as funes: co f (x) = ax , onde a > 1 g(x) = 2px, onde p > 0

Mostre que uma condio necessria e suciente para ca a que seus grcos se tangenciem a e a = eep

Neste caso, determine, em funo de p, a equao da ca ca tangente comum. 1 Na elipse de excentricidade , foco na origem e reta 2 diretriz dada por 3x + 4y = 25, determine a) Um dos focos da elipse. b) O outro foco. c) A equaao da outra reta diretriz. c sln: Quantos focos tem esta elipse? 5a Questo [Valor: 1,0] a

IME 1989/1990 - Geometria1 Questo [Valor: 1,0] a Determine o valor de 5 7 11 sen sen sen 24 24 24 24a

p = sen

2a Questo [Valor: 1,0] a a rculo de centro O e raio Seja AB um dimetro de um c R. Sobre o prolongamento de AB escolhemos um ponto P (P B < P A). Partindo de P tomamos uma secante que corta o c rculo nos pontos M e N (P M < P N ), de modo que P M = AN = R. a) Mostre que a corda M B um lado de um pol e gono regular inscrito de dezoito lados. b) Encontre uma equao (do 3o grau) que determina ca a distncia de P ao centro do c a rculo em funo de ca R.

6a Questo [Valor: 1,0] a Seja um segmento xo OA de comprimento a e uma semi-reta varivel Ox tal que AOx = , ngulo a a agudo, pertencente a um plano xo . Seja a perpendicular ao plano em A e seja B pertencente a esta perpendicular tal que AB = a. Seja C o p da perpene dicular traada de B sobre Ox. Pedidos: c a) Qual a propriedade comum a todas as faces do tetraedro OABC? b) Calcule o comprimento das seis arestas de OABC em funo de a e . ca c) Calcule o volume v do tetraedro em funo de a e ca . a3 3 d) Determine de modo que v = (existem dois 24 valores). e) Determine o volume comum aos dois slidos encono trados no item anterior. 7a Questo [Valor: 1,0] a a) Obtenha a expresso para tg 3 em funo de tg = a ca x. b) Utilize o item anterior para determinar as solues co da equao ca x3 3mx2 3x + m = 0 onde m um nmero real dado. e u 8a Questo [Valor: 1,0] a Os lados de um tringulo esto em progresso a a a aritmtica e o lado intermedirio mede . Sabendo-se e a que o maior ngulo excede o menor em 90o , calcule a a razo entre os lados. a 9a Questo [Valor: 1,0] a Prove que as tangentes ao c rculo circunscrito a um tringulo, passando nos seus vrtices, interceptam os a e lados opostos em trs pontos colineares. e 10a Questo [Valor: 1,0] a Seja um tringulo ABC cujos lados so tangentes a uma a a parbola. Prove que o c a rculo circunscrito ao tringulo a passa pelo foco.

3a Questo [Valor: 1,0] a Considere uma esfera de raio R. Determine a gura geomtrica ` qual pertence o lugar geomtrico dos e a e vrtices dos triedros nos quais as trs arestas so tane e a gentes a essa esfera e formam, duas a duas, ngulos de a 60o . 4a Questo [Valor: 1,0] a Dois c rculos de raios R e r so, ao mesmo tempo, bases a de um tronco de cone e bases de dois cones opostos de mesmo vrtice e mesmo eixo. Seja K a razo entre o e a volume do tronco e a soma dos volumes dos dois cones R opostos e seja m a razo . Determine m em funo a ca r de K. 5a Questo [Valor: 1,0] a Seja P um ponto no interior de um tringulo ABC, a dividindo-o em seis tringulos, quatro dos quais tm a e reas 40, 30, 35 e 84, como mostra a gura. Calcule a a rea do tringulo ABC. a a

A

84 P B 40 30 35 C

IME 1988/1989 - Algebra1a Questo [Valor: 1,0] a Determine o coeciente de x9 no desenvolvimento de2 5

x2 +

1 x5

. x3 +

1 x4

2a Questo [Valor: 1,0] a Esboce o grco da funo a ca

7a Questo [Valor: 1,0] a Em cada uma das faces de um cubo constri-se um o c rculo e em cada c rculo marcam-se n pontos. Unindose estes pontos, a) Quantas retas, no contidas numa mesma face do a cubo, podem ser formadas? b) Quantos tringulos, no contidos numa mesma face a a do cubo, podem ser formados? c) Quantos tetraedros, com base numa das faces do cubo, podem ser formados? d) Quantos tetraedros, com todos os vrtices em faces e diferentes, podem ser formados? Obs: Suponha que, se 4 pontos no pertencem a uma a mesma face, ento no so coplanares. a a a 8a Questo [Valor: 1,0] a Calcule o determinante da matriz 2 a (a + 1)2 (a + 2)2 (a + 3)2 2 2 2 2 (b + 1) (b + 2) (b + 3) b c2 (c + 1)2 (c + 2)2 (c + 3)2 d2 (d + 1)2 (d + 2)2 (d + 3)2 9a Questo [Valor: 1,0] a Resolva o sistema 7 3 xy 3 xy = 4 x + y = 20 10a Questo [Valor: 1,0] a Seja uma elipse cujo eixo maior AA = 2a e cuja excentricidade 1/2. Seja F o foco da elipse, correspondente e ao vrtice A. Considere a parbola, cujo vrtice o e a e e ponto O, centro da elipse, e cujo foco coincide com o foco F da elipse. Determine o ngulo entre as duas a curvas nos pontos de interseo. ca

y = f (x) = 5x2/3 x5/3

assinalando os pontos cr ticos. 3a Questo [Valor: 1,0] a Um ponto se move de modo que o quadrado de sua distncia ` base de um tringulo issceles igual ao a a a o e produto de suas distncias aos outros dois lados do a tringulo. Determine a equao da trajetria deste a ca o ponto, identicando a curva descrita e respectivos parmetros. a 4a Questo [Valor: 1,0] a Trs nmeros, cuja soma 126, esto em progresso e u e a a aritmtica e outros trs em progresso geomtrica. Soe e a e mando os termos correspondentes das duas progresses o obtm-se 85, 76 e 84 respectivamente. Encontre os tere mos destas progresses. o 5a Questo [Valor: 1,0] a Dada a equaao c x2 + y 2 2mx 4(m + 1)y + 3m + 14 = 0 a) Determine os valores de m, para que esta equao ca corresponda a um c rculo. e b) Determine o lugar geomtrico dos centros destes c rculos.

6a Questo [Valor: 1,0] a Mostre que todas as ra zes da equao ca (z + 1)5 + z 5 = 0

pertencem a uma mesma reta paralela ao eixo imaginrio. a

IME 1988/1989 - Geometria1a Questo [Valor: 1,0] a Resolva a seguinte desigualdade: cos 2x + cos x 1 2, cos 2x para 0 x . 2a Questo [Valor: 1,0] a Numa circunferncia de centro O e de dimetro AB = e a 2R, prolonga-se o dimetro AB at um ponto M , tal a e que BM = R. Traa-se uma secante M N S tal que c M N = N S, onde N e S so os pontos de interseo a ca da secante com a circunferncia. Determine a rea do e a tringulo M OS. a 3a Questo [Valor: 1,0] a Sejam ABC e ACD dois tringulos retngulos issceles a a o com o lado AC comum, e os vrtices B e D situados e em semiplanos distintos em relao ao lado AC. Nestes ca tringulos AB = AC = a e AD = CD. a a) Calcule a diagonal BD do quadriltero ABCD. a b) Seja E o ponto de interseo de AC com BD. Calca cule BE e ED. c) Seja F a interseo da circunferncia de dimetro ca e a BC com a diagonal BD. Calcule DF e EF . 7a Questo [Valor: 1,0] a Seja ABCD um trapzio cuja base maior AB = a e e xa e cuja base menor CD tem comprimento constante igual a b. A soma dos lados no paralelos constante e a e igual a L. Os prolongamentos dos lados no paralelos a se cortam em I. a) Demonstre que o lugar geomtrico decrito pelo e ponto I, quando a base CD se desloca, uma cnica. e o b) Determine os eixos e a distncia focal. a 8a Questo [Valor: 1,0] a So dados um segmento AB e os pontos C e D, que o a dividem, internamente e externamente na mesma razo. a Mostre que as circunferncias de dimetros AB e CD e a so ortogonais. a 9a Questo [Valor: 1,0] a Seja um quadrado de lado a e um ponto P , exterior ao quadrado. Chame de ngulo sob o qual o quaa drado visto pelo ponto P o menor ngulo com vrtice e a e em P que contenha o quadrado. Determine o lugar geomtrico dos pontos P , de onde o quadrado visto e e sob um ngulo de 45o . a 10a Questo [Valor: 1,0] a Seja ABCD um tetraedro regular de aresta a. Seja O o baricentro da face ABC. Efetua-se uma translao do ca tetraedro igual a AO/2, obtendo-se um novo tetraedro ABCD. a) Determine o volume da esfera inscrita no slido coo mum aos tetraedros ABCD e A B C D . b) Determine o volume da esfera circunscrita a este slido. o

4a Questo [Valor: 1,0] a Mostre que a rea total do cilindro equiltero inscrito a a em uma esfera mdia geomtrica entre a rea da esfera e e e a e a rea total do cone equiltero inscrito nessa esfera. a a 5a Questo [Valor: 1,0] a Mostre que, se os ngulos de um tringulo ABC veria a cam a igualdade sen 4A + sen 4B + sen 4C = 0, ento a o tringulo retngulo. a e a 6a Questo [Valor: 1,0] a Seja ABC um tringulo retngulo issceles, com AB = a a o AC = a. Sejam BB e CC dois segmentos de comprimento a, perpendiculares ao plano ABC e situados no mesmo semi-espao em relao a este plano. c ca a) Calcule a rea total da pirmide de vrtice A e base a a e BCC B . b) Calcule o volume desta pirmide. a c) Mostre que os pontos A, B, C, C e B pertencem a uma esfera. d) Determine o centro e o raio desta esfera.

IME 1987/1988 - Algebra1a Questo [Valor: 1,0] a Determine o valor de a para que o sistema abaixo tenha mais de uma soluo e resolva-o neste caso: ca x+yz =1 2x + 3y + az = 3 x + ay + 3z = 2 2a Questo [Valor: 1,0] a Para que valores de x a funo ca f (x) = |x| ln x4 . ln x2 assume o valor e 4 ? Obs: ln denota logaritmo neperiano. 3a Questo [Valor: 1,0] a a) Mostre que se p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a1 x3 + a0 x4 , ento existe um polinmio g(x) do 2o grau, tal que a o p(x) = x2 g(x + x1 ). b) Determine todas as ra zes do polinmio p(x) = 1 + o 4x + 5x2 + 4x3 + x4 . 4a Questo [Valor: 1,0] a Seja a funo ca 1 1 x2 x a) Determine os pontos de mximo, m a nimo e de inexo de f (x), caso existam. a b) Trace o grco desta funo. a ca f (x) = 6 5a Questo [Valor: 1,0] a Considere a seqncia cujos primeiros termos so: ue a 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . . Seja an seu n-simo termo. e Mostre que an < 1+ 5 2n1 1

9a Questo [Valor: 1,0] a Sejam A, B e C matrizes 5 5, com elementos reais. Denotando-se por A a matriz transposta de A: a) Mostre que se A.A = 0, ento A = 0. a b) Mostre que se B.A.A = C.A.A , ento B.A = C.A. a 10a Questo [Valor: 1,0] a Considere os seguintes conjuntos de nmeros compleu xos: A = {z C/|z| = 1, Im(z) > 0} e B = {z C/Re(z) = 1, Im(z) > 0}, onde Re(z) e Im(z) so as a partes real e imaginria do nmero complexo z, respeca u tivamente. 2z u pera) Mostre que para cada z A, o nmero z+1 tence a B. b) Mostre que cada w B pode ser escrito da forma 2z para algum z A. z+1

para todo n 2. 6a Questo [Valor: 1,0] a Determine a equao e o raio do c ca rculo de menor dimetro, que possui com o c a rculo x2 +y 2 8x25 = 0, eixo radical y 2x 5 = 0. 7a Questo [Valor: 1,0] a Considere um torneio de xadrez com 10 participantes. Na primeira rodada cada participante joga somente uma vez, de modo que h 5 jogos realizados simultaa neamente. De quantas formas distintas esta primeira rodada pode ser realizada? Justique sua resposta. 8a Questo [Valor: 1,0] a Mostre que por todo ponto no situado no eixo OX pasa sam exatamente duas parbolas com foco na origem e a eixo de simetria OX e que estas parbolas interceptama se ortogonalmente.

IME 1987/1988 - Geometria1a Questo [Valor: 1,0] a Demonstre que num tringulo ABC a A sen B + sen C = 2 cos B + cos C 8a Questo [Valor: 1,0] a Dadas duas retas reversas r e s, ortogonais e sua perpendicular comum t, que corta r em I e s em K. Considere um segmento AB, de comprimento constante, que se move apoiando suas extremidades A e B, respectivamente sobre r e s. Unindo-se A a K e I a B, forma-se um tetraedro varivel ABIK. a a) Demonstre que a soma dos quadrados das arestas deste tetraedro constante. e b) Calcule o raio da esfera circunscrita ao tetraedro em funo da distncia AB. ca a 9a Questo [Valor: 1,0] a Seja o semi-c rculo de dimetro AB = 2R e r sua tana gente em A. Liga-se um ponto P da reta r ao ponto B, interceptando o semi-c rculo no ponto C. a) Demonstre que o produto P B.BC constante. e b) Determine o lugar geomtrico do ponto mdio de e e AC, quando P desloca-se sobre a tangente. PB c) Seja AP = , calcule a rea da poro do a ca 2 tringulo P AB situada no exterior do semi-c a rculo. 10a Questo [Valor: 1,0] a Considere as esferas cuja interseo com um plano () ca um c e rculo xo (C). Seja r uma reta do plano (), exterior ao c rculo. Determine o lugar geomtrico dos e pontos de contato dos planos tangentes a tais esferas e que contm a reta r. e

cotg

2a Questo [Valor: 1,0] a Dado um c rculo de raio R e centro O, constroem-se trs c e rculos iguais de raios r, tangentes dois a dois, nos pontos E, F e G e tangentes interiores ao c rculo dado. Determine, em funo de R, o raio destes c ca rculos e a rea da superf EF G, compreendida entre os trs a cie e c rculos e limitada pelos arcos EG, GF e F E. 3a Questo [Valor: 1,0] a Demonstre a identidade tg2 x + cotg2 x = 2 3 + cos 4x 1 cos 4x

4a Questo [Valor: 1,0] a Calcule o lado c de um tringulo ABC, em funo de a ca sua rea S, do ngulo C e de k = a + b c. a a 5a Questo [Valor: 1,0] a Secciona-se um cubo de aresta a por planos passando pelos pontos mdios das arestas concorrentes em cada e vrtice. Considere o slido formado ao retirar-se as oito e o pirmides obtidas. Calcule a soma das arestas, a rea a a e o volume deste slido. o 6a Questo [Valor: 1,0] a Sobre os catetos AB e AC de um tringulo retngulo a a ABC constroem-se dois quadrados ABDE e ACF G. Mostre que os segmentos CD, BF e a altura AH so a concorrentes. 7a Questo [Valor: 1,0] a Considere um semi-c rculo de dimetro AB = 2R. Por a A, traa-se uma reta que forma um ngulo de 30o com c a o dimetro AB e que corta o semi-c a rculo em C. Por C, traa-se a tangente ao semi-c c rculo, que intercepta a reta que contm AB no ponto D. Fazendo-se uma e rotao em torno da reta que contm AB, o semi-c ca e rculo gera uma esfera (E) e o tringulo ACD gera um slido a o (S). a) Calcule o volume deste slido (S), em funo do raio o ca R. b) Seja M um ponto sobre AB tal que AM = R . Con3 sidere um plano () passando por M e perpendicular ` reta AB, seccionando-se a esfera (E) e o slido (S). a o Calcule a razo entre a rea destas duas secs. a a ce

IME 1986/1987 - Algebra1a Questo [Valor: 1,0] a Dois nmeros complexos Z1 e Z2 , no nulos, so tais u a a que |Z1 + Z2 | = |Z1 Z2 | Mostre quea

7a Questo [Valor: 1,0] a Sejam a, b, c nmeros inteiros tais que 100a+10b+c seja u divis por 109. Mostre que (9a c)2 + 9b2 tambm vel e e divis por 109. vel 8a Questo [Valor: 1,0] a Mostre que para todo nmero natural n maior ou igual u a 2, 25n 4

Z2 imaginrio puro. e a Z1

2 Questo [Valor: 1,0] a Determine as solues reais do sistema co x2 y + xy 2 = 70 (x + y).(x2 + y 2 ) = 203 3a Questo [Valor: 1,0] a Dados dois conjuntos A e B, dene-se AB = (A B) (B A) Prove que dados trs conjuntos arbitrrios X, Y e Z e a X (Y Z) = (X Y )(X Z) 4a Questo [Valor: 1,0] a Dados um sistema de eixos ortogonais XOY e um ponto A, de coordenadas (x0 , y0 ), (x0 , y0 ) = (0, 0), considere dois pontos variveis P e Q, P pertencente ao eixo OX a e Q pertencente ao eixo OY , tais que a rea do tringulo a a AP Q seja constante e igual a K, K R. Calcule e identique a equao do lugar geomtrico do ponto mdio ca e e do segmento P Q. 5a Questo [Valor: 1,0] a Seja f uma funo de uma varivel real denida por ca a f (x) = ln (e2x ex + 3) onde ln o logaritmo neperiano. e a) Calcule o dom nio e a imagem de f . b) Determine uma funo (x) com lim (x) = 0, tal ca que f (x) = 2x + (x), para todo x pertencente ao dom nio de f . c a nimos e c) Faa o grco de f (x), indicando seus m mximos relativos e suas ass a ntotas. 6a Questo [Valor: 1,0] a Seja f uma funao bijetora de uma varivel real e a c a relaao h, denida por c h : R2 (x, y) R2 x3 , x f (y)n

i > > 0. Esboce o grco de y, caraca terizando as ass ntotas, num sistema cartesiano ortogonal. 8a Questo [Valor: 1,0] a Mostre que os nmeros 12, 20 e 35 no podem ser teru a mos de uma mesma progresso geomtrica. a e 9a Questo [Valor: 1,0] a Sabendo-se que x um nmero real, 1 x 1, e u 0 arc cos x e n um nmero inteiro positivo, e u mostre que a expresso a fn (x) = cos (n arc cos x) pode ser desenvolvida como um polinmio em x, de o grau n, cujo coeciente do termo de maior grau igual e a 2n1 . 10a Questo [Valor: 1,0] a 12 cavaleiros esto sentados em torno de uma mesa rea donda. Cada um dos 12 cavaleiros considera seus dois vizinhos como rivais. Deseja-se formar um grupo de 5 cavaleiros para libertar uma princesa. Nesse grupo no a poder haver cavaleiros rivais. Determine de quantas a maneiras poss escolher esse grupo. e vel

3a Questo [Valor: 1,0] a Seja N o conjunto dos nmeros naturais no nulos e u a n N . Mostre que a relao Rn = {(a, b)|a, b N e ca |a b| mltiplo de n} uma relao de equivalncia. e u e ca e 4a Questo [Valor: 1,0] a Uma padaria trabalha com 4 tipos de farinha cujos teores de impureza so os seguintes: a TIPO A B C D TEOR 8% 12% 16,7% 10,7%

Para fabricar farinha tipo D, o padeiro mistura uma certa quantidade de farinha A com 300 gramas de farinha tipo B; em seguida, substitui 200 gramas dessa mistura por 200 gramas de farinha tipo C. Determine a quantidade de farinha tipo A utilizada. 5a Questo [Valor: 1,0] a A derivada de ordem n de uma funo y = f (x) a ca e primeira derivada da derivada de ordem n1 da mesma funo, ou seja: ca y (n) = d (n1) y dx(20)

Calcule (x2 + 1) sen x

.

6a Questo [Valor: 1,0] a Determine a equao e identique o lugar geomtrico ca e dos pontos mdios dos segmentos determinados pela ine terseo da cnica ca o 5x2 6xy + 5y 2 4x 4y 4 = 0 com as retas de coeciente angular igual a 1 . 2

IME 1985/1986 - Geometria1 Questo [Valor: 1,0] a Seja um paralelep pedo retngulo de bases ABCD e a A B C D , cujas arestas AA , BB , CC e DD tenham por comprimento h e os lados da base sejam, respectivamente, AB = a e AD = b. Por DD considere dois planos DD M M e DD N N . a) Determine as distncias AM = x e CN = y para a que esses dois planos dividam o paralelep pedo em trs partes de mesmo volume. ea

6a Questo [Valor: 1,0] a a) Demonstre que a diferena entre os quadrados de c dois lados de um tringulo igual ao dobro do proa e duto do terceiro lado pela projeo, sobre ele, da ca mediana correspondente. b) Determine o lugar geomtrico dos centros dos e c rculos que cortam dois c rculos exteriores, de centros O1 e O2 e raios respectivamente iguais a R1 e R2 , em pontos diametralmente opostos. 7a Questo [Valor: 1,0] a a) Resolva a equao ca m cos x (m + 1) sen x = m, m R b) Determine m de modo que essa equao admita ca ra zes x e x cuja diferena seja /2. c 8a Questo [Valor: 1,0] a Num tringulo ABC (A > B > C) traam-se as bissea c com A sobre o protrizes externas AA do ngulo A, a longamento de BC, e CC do ngulo C, com C sobre a o prolongamento de AB. Se AA = CC mostre que c sen AB BC = a sen 2 2

b) Determine a razo entre os volumes dos slidos a o M BN M B N e M DN M D N .

ca c c) Encontre a relao entre a e b, que estabelea a condio necessria e suciente para que o diedro ca a de aresta M M , cujas faces passem por DD e N N , seja reto.

2a Questo [Valor: 1,0] a Seja um tringulo ABC, retngulo em A. Por B, traaa a c se uma reta perpendicular ao plano do tringulo. Sobre a esta, xa-se um ponto S. Por B, passa-se um plano que intercepta SC em C e seja perpendicular a SC. O plano corta SA em A . Demonstre que os cinco pontos A, B, C, A e C pertencem a uma mesma esfera. 3a Questo [Valor: 1,0] a Dadas duas esferas de raios respectivamente iguais a R e r, tangentes exteriores, e um cone circunscrito a elas. Calcule a rea da superf lateral do tronco do cone a cie que tenha por bases os c rculos de contato das esferas com o cone. 4a Questo [Valor: 1,0] a Dados dois pontos xos A e B (AB = d), considere as elipses passando por B, com foco em A e eixo maior de comprimento 2a, tal que 2a > d. a) Determine o lugar geomtrico do segundo foco F das e elipses.

9a Questo [Valor: 1,0] a Dado um tronco de pirmide triangular de bases paraa lelas, demonstre que as retas que ligam os vrtices da e base inferior aos pontos mdios dos lados opostos da e base superior so concorrentes. a 10a Questo [Valor: 1,0] a Seja uma parbola de foco F e diretriz d. Por um ponto a P d, traam-se tangentes ` parbola que a intercepc a a tam em M1 e M2 . Demonstre que M1 , M2 e F esto a em linha reta.

b) Determine o lugar geomtrico dos centros de gravie dade dos tringulos ABF . a

5a Questo [Valor: 1,0] a Considere um tringulo ABC qualquer e trs pontos X, a e Y e Z, tais que X BC, Y AC e Z AB. Considere os c rculos (C1 ), (C2 ) e (C3 ) que passam respectivamente pelos pontos CXY , AY Z e BXZ. Demonstre que (C1 ), (C2 ) e (C3 ) se encontram em um ponto W .

IME 1984/1985 - Algebra1a Questo [Valor: 1,0] a Sejam as funes co 1 + x2 + 1 x2 z= e y= 1 + x2 1 x2 8a Questo [Valor: 1,0] a Dois clubes do Rio de Janeiro participaram de um campeonato nacional de futebol de salo onde cada vitria a o valia um ponto, cada empate meio ponto e cada derrota zero ponto. Sabendo que cada participante enfrentou todos os outros apenas uma vez, que os clubes do Rio de Janeiro totalizaram, em conjunto, oito pontos e que cada um dos outros clubes alcanou a mesma quantic dade k de pontos, determine a quantidade de clubes que participou do torneio. 9a Questo [Valor: 1,0] a Um exame vestibular se constitui de 10 provas distintas, 3 das quais da rea de Matemtica. Determine de a a quantas formas poss e vel programar a seqncia das ue 10 provas, de maneira que duas provas da rea de Maa temtica no se sucedam. a a 10a Questo [Valor: 1,0] a Uma reta m1 passa pelo ponto xo P1 (1, 3) e intercepta a reta m2 : 3x + 2y 6 = 0 no ponto A e a reta m3 : y 3 = 0 no ponto B. Determinar a equao do ca lugar geomtrico do ponto mdio do segmento retil e e neo AB ` medida que a reta m1 gira em torno do ponto P1 . a

1 x4

Mostre que no subconjunto dos reais onde as funes co so denidas a dz z = 4 dy x 2a Questo [Valor: 1,0] a Encontre o valor de k para que a reta determinada pelos pontos A(0, 3) e B(5, 2) seja tangente ` curva y = a k para x = 1. x+1 3 Questo [Valor: 1,0] a Determine o valor de b tal quen n a

lim

logp 5t+1 = 4t=0t

onde p = b(t+1)2 . 4a Questo [Valor: 1,0] a Seja A uma relao denida sobre os reais, contendo os ca pontos pertencentes `s retas y = 1 x e y = 2x. Detera 2 mine os pontos que necessariamente devem pertencer ` a A para que A seja transitiva. 5a Questo [Valor: 1,0] a Sejam z1 e z2 complexos de raios vetores OP1 e OP2 , respectivamente. Mostre que OP1 e OP2 so perpendia culares se e somente se z1 z2 um imaginrio puro. e a Obs: z o conjugado complexo de z. e 6a Questo [Valor: 1,0] a Sabe-se que as ra zes do polinmio abaixo so todas o a reais e distintas f (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 ; onde ai R, i = 0, 1, . . . , n; an = 0. Mostre que a derivada f (x) possui tambm todas as suas ra e zes reais e distintas. 7a Questo [Valor: 1,0] a Seja a sequncia {vn }, n = 0, 1, 2, . . ., denida a partir e de seus dois primeiros termos v0 e v1 e pela frmula o geral vn = 6vn1 9vn2 , para n 2 Dene-se uma nova sequncia {un }, n = 0, 1, 2, . . ., e pela frmula vn = 3n un . o a) [Valor: 0,4] Calcule un un1 em funo de u0 e ca u1 . b) [Valor: 0,3] Calcule un e vn em funo de n, v1 e ca v0 . c) [Valor: 0,3] Identique a natureza das sequncias e {vn } e {un } quando v1 = 1 e v0 = 1 . 3

IME 1984/1985 - Geometria1 Questo [Valor: 0,6] a D-se um tringulo retngulo issceles de catetos AB = a a a o AC = . Descreve-se um quarto de c rculo (Q) de centro A, ligando os vrtices B a C. Com dimetro BC, e a descreve-se um semi-c rculo (S) exterior ao tringulo e a que no contm A. Traam-se duas semicircunferncias a e c e de dimetros AB e AC, (Sb ) e (Sc ), ambas passando a pelo ponto D, meio de BC. Seja M a superf comcie preendida entre (Q) e (S). Seja N a superf entre cie (Q) e o arco BD de (Sb ) e o arco CD de (Sc ). Seja P a superf limitada pelos arcos AD de (Sc ) e AD de cie (Sb ). Demonstre que:a

4a Questo [Valor: 1,4] a Em um plano do-se uma circunferncia de centro O e a e raio r, um ponto xo A sobre ela e um dimetro varivel a a BC tal que o ngulo ABC seja igual a (0 /2). a Sobre a perpendicular a em A, marca-se um ponto V tal que AV = 2r. Considere-se um tetraedro ABCV . a) Calcule em funo de r e as arestas do tetraedro. ca b) Mostre que a soma dos quadrados destas arestas e constante quando varia. c) Qual o lugar geomtrico do ponto H de , p da e e altura V H do tringulo V BC? a d) Para que posio de BC a rea do tringulo V BC ca a a mxima e qual o valor desse mximo? e a a e) Calcule, em funo de , a tangente de , onde ca e igual ao ngulo V HA. a

a) A rea M igual a rea do tringulo ABC. a e a a

b) As reas N e P so iguais. a a

f) Deduza o valor de que corresponde ao m nimo do diedro de aresta BC. g) Calcule para que se tenha tangente de igual a 4/ 3. 5a Questo [Valor: 1,0] a Do-se um plano e dois pontos A e B no pertencentes a a a , situados em um mesmo semi-espao de , sendo: c i) AB = . ii) a e b as cotas de A e B em relao a . ca

2a Questo [Valor: 1,0] a Em um tringulo ABC so dados o lado a, a soma dos a a outros dois lados, b + c = , e a rea S. a

a) Construa o tringulo com rgua e compasso. a e

b) Calcule os ngulos A, B e C e os lados b e c. a

iii) a < b. Determine um tringulo ABC issceles, retngulo em a o a C, tal que o vrtice C pertena ao plano . Discuta a e c possibilidade da existncia desse tringulo e o nmero e a u de solues. co

b+c a

6a Questo [Valor: 1,0] a a) [Valor: 0,5] D-se (P ) uma parbola de foco F e a a diretriz d. Sejam M um ponto qualquer de (P ); M1 sua projeo sobre d; M2 a projeo de M1 sobre ca ca F M . Identique o lugar geomtrico de M2 quando e M descreve a parbola (P ). a b) [Valor: 0,5] Em uma hiprbole (H) so dados um e a foco F e a diretriz correspondente d, que distam entre si 5 cm. A direo de uma ass ca ntota forma um a ngulo de 30o com o eixo focal. Pede-se calcular os valores dos semi-eixos de (H). 7a Questo [Valor: 0,8] a Em um tringulo ABC retngulo em A, dada a razo a a e a k entre o produto das bissetrizes internas dos ngulos B a e C e o quadrado da hipotenusa. Calcule B, em funo ca de k. Determine entre que valores pode variar a razo a k para que o problema tenha soluo. ca

S

3a Questo [Valor: 1,0] a Dada uma pirmide hexagonal regular de vrtice V e a e base ABCDEF , de lado da base igual a e altura h, determine, em funo de e h, a posio do centro da ca ca esfera que tangente `s doze arestas da pirmide. e a a

8a Questo [Valor: 1,0] a a) [Valor: 0,5] Construa um quadriltero convexo a ABCD, dados: os comprimentos das diagonais AC e BD; o ngulo de AC com BD; os ngulos adjaa a centes A e D.