LỜI GIẢI HAI BÀI HÌNH PHẲNG KỲ THI IMO 2015. Kỳ thi IMO lần thứ 56 được tổ chức tại Thái Lan có 104 nước tham gia. Ban tổ chức xếp thứ tự các đoàn theo tổng điểm Việt Nam xếp thứ 5 với 151 điểm sau Mỹ (185), Trung Quốc(181), Hàn Quốc(161),Triều Tiên(156). Theo nhận xét của các đoàn đề năm nay khó hơn chỉ có một em Canada đạt tuyệt đối 42 điểm. Việt Nam giành được hai Huy chương vàng, ba Huy chương bạc, một Huy chương đồng. Từ xưa đến nay các bài hình học phẳng của Liên xô cũ, thường rất hay ngắn nhưng rất khó, năm nay Bài 3 (của Ukraine) cũng rơi vào như vậy, không đoàn nào giành được tuyệt đối, nhiều đoàn các em bỏ trắng, Việt Nam có ba em làm trọn vẹn. Bài 4 của Hy Lạp số học sinh làm được nhiều, xếp vào bài dễ của ngày hôm sau, Việt Nam cả 6 em làm trọn vẹn 42 điểm. Tôi xin giới thiệu lời giải hai bài hình học phẳng (Bài 3, Bài 4) không quá phức tạp với kiến thức trong chương trình sách giáo khoa song đồi hỏi các em phải nắm chắc kiến thức cơ bản và sự sáng tạo trong việc kẻ thêm các đường phụ.Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC (AB>AC). Gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác, H là trực tâm tam giác, F là hình chiếu vuông góc của A trên BC, M là trung điểm BC, Q và K trên thỏa mãn HQA= 900, và HKQ= 900 (A, B, C, K, Q trên theo thứ tự đó). Chứng minh rằng đường tròn HKQ và đường tròn MFK tiếp xúc nhau. (Ukraine) Giải. Kéo dài AO cắt đường tròn tại D, AH kéo dài cắt đường tròn tại E AQD = 900, theo giả thiết AQH = 900 D, H, Q thẳng hàng. Giả sử QD cắt BC tại G, ABC nhọn FH = FE, HC = CE, và DE//BC BD = CE GBD và GCH bằng nhau GB = GC G M Q, H, M, D thẳng hàng. Kẻ đường kính QP PKQ = 900, theo giả thiết HKQ = 900 P, H, K thẳng hàng; Xét đường tròn ngoại tiếp KHE:

Mặt khác PKE = MHE DQ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp KHE tại H. Đường vuông góc với HQ cắt BC tại I IK = IH = IE I là tâm đường tròn ngoại tiếp KHE, DQ là tiếp tuyến IHQD IH2 = IF.IM = IK2 IK là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp MF, IHHQ, HKQ= 900 IH là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp HKQ IK là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp HKQ đường tròn HKQ và đường tròn MFK tiếp xúc nhau. Bình luận: Để giải quyết bài này nhìn ra một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn làm cầu nối chứng minh hai đường tròn tiếp xúc nhau

C

K

D

I

A

B

Q

M

E

O

F

H

P

Bài 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, đường tròn tâm A cắt cạnh BC tại D và E (B, D, E, C theo thứ tự đó), đường tròn cắt đường tròn (O) tại F và G (F, B, C, G sắp xếp theo thứ tự đó). Đường tròn qua F, B, D cắt AB tại K, đường tròn qua E, C, G cắt cạnh AC tại L, FK và GL cắt nhau tại X. Chứng minh rằng X nằm trên đường thẳng AO. (Hy Lạp)Giải. Đường tròn cắt cạnh BC tại D, E và đường tròn (O) tại F, G FDEG nội tiếp và AF = AG GEC = GFD

, đường thẳng FG cắt AC tại I

Tứ giác BFKD và ECGL nội tiếp đường tròn ABC = KFD và GLC =GEC.

Xét LIG:

XFG là tam giác cân X AO.

Bình luận: Bài này cơ bản chỉ sử dụng góc nội tiếp và tứ giác nội tiếp,không cần vẽ thêm các

đường phụ.

E

LK

I

BD

A

C

X

G

O

F