Impuls fysik 2_smakprov_2012

impulsF Y S I K 2

I din hand håller du ett läromedel från Gleerups. Gleerups författare är lärare med erfarenhet från klassrummet. Lärare och elever hjälper till att utveckla våra läromedel genom

värdefulla synpunkter på både innehåll och form.Vi förankrar våra läromedel i skolan där de hör hemma.

Gleerups läromedel är alltid utvecklade i samarbete med dig!Har du som användare frågor eller åsikter, kontakta oss gärna på

telefon 040-20 98 00 eller via www.gleerups.se

Författare till detta läromedel är Lars Fraenkel, Daniel Gottfridsson och Ulf Jonasson.

Tack till Klaes Hjelm, Mikael Cronhjort och Alami El-Ouafi

för noggrann och konstruktiv granskning av boken.

Tack också till er som bidragit med synpunkter via www.gleerups.se/labfysik

Gleerups Utbildning ABBox 367, 201 23 MalmöKundservice tfn 040-20 98 10Kundservice fax 040-12 71 05Info och beställning tfn 020-999 333e-post: info@ gleerups.sewww. gleerups.se

Impuls Fysik 2© 2012 Lars Fraenkel, Daniel Gottfridsson, Ulf Jonasson och Gleerups Utbildning ABGleerups grundat 1826

Projektledare Per-Olof BergmarkGrafisk form Fridha Henderson, DidactaProduktion Didacta (www.didacta.se)Omslag Rickard Ax och Fridha Henderson, Didacta

Första upplagan, första tryckningenISBN 978-91-40XXXXXXXX

Kopieringsförbud! Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONU-Presskopias avtal, är förbjuden. Ingen del av materialet får lagras eller spridas i elektronisk (digital) form. BONUS-Presskopias avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare t ex kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller BONUS-Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

FörordImpuls är den fysikaliska termen för kraft gånger tid. Under kursens gång kom-mer du att få uppleva att det krävs en kraftansträngning och att det tar tid att lära sig fysik. I kursen fysik 2 ingår fördjupningar inom flera av de moment du lärde dig i fysik 1. Dessutom tillkommer nya moment, som till exempel astrofysik. Här finns allt från mekanik och värmelära till relativitetsteori och kärnfysik. Vi hoppas att denna bok ska göra dina fysikstudier både lättare och roligare.

KapitelstrukturTeori

Exempel

Uppgifter

Sammanfattning

*-uppgifter

**-uppgifter

***-uppgifter

Fundera och diskutera

Prova själv

Boken är upplagd i avsnitt som innehåller förklarande text, lösta exempel och uppgifter att lösa. Bokens uppgifter är omväxlande, med både beräkningsuppgif-ter och uppgifter av mer resonerande slag. Tanken är att ett avsnitt ska vara lagom långt för ett lektionspass. Varje kapitel består av ett antal avsnitt och avslutas med fler uppgifter i tre olika svårighetsnivåer samt frågor som man kan diskutera med någon annan (Fundera och diskutera) och små experiment (Prova själv) som man kan göra med enkel utrustning som man kan ha hemma. Till boken finns även material på webben. Här finns en elevwebb med si-muleringar, interaktiva uppgifter och fullständiga lösningar till bokens uppgifter. Med jämna mellanrum finns det hänvisningar i boken till dessa övningar. Dessa hänvisningar anges med symbolen nedan.

Det finns också en lärarwebb med ytterligare material i form av lektionstips, labo-rationer och prov som läraren kan använda sig av.

Vi hoppas att du kommer att tycka lika mycket om fysik som vi gör och önskar dig lycka till med dina fysikstudier.

Daniel, Lars och Ulf

Kopieringsförbud! Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONU-Presskopias avtal, är förbjuden. Ingen del av materialet får lagras eller spridas i elektronisk (digital) form. BONUS-Presskopias avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare t ex kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller BONUS-Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

InnehållsförtecknIng

1. rörELSE oCH KrAFTErPå ett nöjesfält finns många möjligheter att känna av rörelser som kittlar i magen. Att åka rakt fram med konstant fart är sällan särskilt spännande. Det som gör en attraktion rolig att åka, är att man känner av snabba accelerationer. Det kan vara i en bergochdalbana, där man ibland åker uppåt för att sedan snabbt åka utför i en brant backe. Kanske lutar vagnen du åker i och kör in i en skarp kurva med hög fart. Kanske vagnen gör en loop, så att du ett kort ögonblick sitter upp och ner! På vissa nöjesfält kan man till och med få falla fritt mot marken innan man till slut bromsas upp. Du vet redan, att om du utsätts för en acceleration, så finns det en resulterande kraft som verkar på dig. Men hur stora ska krafterna vara och hur ska de vara riktade för att ge en maximalt kittlande upplevelse på nöjesfältet? Du kanske inte visste att det finns fysiker, som arbetar med att konstruera nya attraktioner till nöjesfält. Målet är ofta att skapa något som är ”värre” än vad du tidigare har varit med om, men naturligtvis på ett säkert sätt

MEr oM KrAFTErI Impuls 1 studerade vi krafter. Vi såg då vad som händer med ett föremål som påverkas av krafter. Vi vet, att det är den resulterande kraften som avgör, vad som händer med föremålet. Med hjälp av Newtons lagar lärde vi oss att om den resulterande kraften är noll kommer ett föremål att behålla sin tidigare hastighet. Om den resulterande kraften inte är noll så kommer föremålet att accelerera. Vi kommer också ihåg att acceleration inte bety-der enbart hastighetsökning utan hastighetsändring. Även en inbromsning är en (negativ) acceleration. I kurs 1 behandlade vi föremål, som antingen är i vila eller som rör sig utefter en rät linje, t.ex. en bok som ligger på ett bord, en bil som kör på en rak landsväg eller kanske en sten som släpps från hög höjd. I detta kapitel ska vi också intressera oss för föremål som inte rör sig utefter räta linjer, t.ex. rörelsen hos en kastad sten, som ju rör sig samtidigt i både horisontell och vertikal led och föremål som rör sig i cirkelbanor som planeter, människor på karuseller m.m. Vi ska börja med att studera krafters vridande förmåga.

KraftmomentEn krafts förmåga att vrida ett föremål kring en vridningsaxel kallas kraft-moment. Ofta används även uttrycken vridmoment eller bara moment.Ett exempel: Man vill lossa en hjulbult i ett hjul för att byta däck. Man fäster ett verktyg i hjulbulten och drar. Det krävs ett visst moment för att kunna vrida runt bulten. Momentet blir mycket större eftersom hävar-men är längre. Om det ska lyckas så måste man dra med tillräckligt stor kraft F. Men det beror också på hur långt verktyget är. Om man inte orkar rubba bul-ten i figur a, så kanske det går med verktyget i figur b. Momentet blir mycket större.

a) b)

F

O O

F

l

l

1. RÖRELSER OCH KRAFTER 7

exempel

Avståndet l i figurerna på föregående sida kallas momentarm eller hävarm. Vad är då det? Tänk dig ett föremål och en kraft F som verkar i en viss punkt. Tänk dig också att föremålet kan vridas runt kring en viss punkt O, som kallas momentpunkten. Om du vill avgöra hur lång momentarmen är, ska du först rita en linje som sammanfaller med kraften. Momentar-men definieras som det vinkelräta avståndet (d.v.s. det kortaste avståndet) från momentpunkten O till en linje som går genom kraften. Denna linje kallar vi riktningslinjen.

ExEMpEL 1.1

I figurerna a) – h) nedan verkar en kraft F på ett föremål. Föremålet vill vrida sig kring momentpunkten O. Vi har markerat dels riktningslinjen r genom kraften, dels också momentarmen l.a) Lisa gungar med sin äldre bror. Hennes tyngd är F.b) Flaggan hänger snett ut från en flaggstång på väggen. Dess tyngd är F och den är koncentrerad till en punkt längst ut på flaggstången. c) En person reser en stege som ligger på marken.d) Olle vill välta en tung låda och trycker på i övre änden av lådan. Lådan glider inte utan välter.e) Stegen står mot väggen. F är normalkraften från huset.f) Barnet försöker lyfta den tunga stenen genom att hänga i ena änden av spettet. F är barnets tyngd.

r

O

O O

O

O

O

r

r

r

l

l

l

l

l

l

F

F

F

F

F

F

r

ra) b) c)

d) e) f)

8

Kraftmoment Kraftmoment betecknas M och definieras som

M = F · ldär F är kraften och l är momentarmen. Kraften och momentarmen är vin-kelräta mot varandra. Enheten för moment är newtonmeter, Nm (samma enhet som för arbete).

Ofta har man en situation då man vill vrida runt ett föremål med en kraft, där kraften inte är vinkelrät mot avståndet till vridningspunkten. För att bestämma hur stort momentet är kan man alternativt komposantuppdela kraften i en komposant som är vinkelrät mot detta avstånd och en som är parallell med avståndet. Det är då bara den vinkelräta komposanten som har ett moment och man behöver inte ta hänsyn till den andra kompo-santen.

ExEMpEL 1.2

Hur stort vridande moment utövar kraften F i figuren nedan om O är vridnings-axeln?

80 cm är det vinkelräta avståndet mellan kraften och O. Momentarmen är således 80 cm.Momentet är M = F · l = 200 · 0,80 Nm = 160 Nm

exempel

80 cm

200 N O

O

F

F2l

F1

Alternativet, som vi har beskrivit ovan, är att rita ut riktningslinjen genom F och låta momentarmen l vara vinkelrät mot denna. l får inte samma längd i de båda figurerna men momentet blir detsamma. Här kan vi räkna ut momentet enligt M = F · l.

O

F

l

Verktyget har längden l och vrids snett neråt med kraften F. Kraften är inte vinkelrät mot l och delas upp i kom-posanterna F

1 och F

2. Kraftmomentet med avseende på

vridningspunkten O är M = F1 · l.


Krafter kan vrida åt olika håll, d.v.s. ha moment medurs eller moturs. Det är viktigt att hålla reda på åt vilket håll momentet är riktat.

Om ett föremål är i vila och inte vrider sig, säger man att föremålet be-finner sig i momentjämvikt. Då är summan av alla vridande moment lika med noll.

Momentlagen

Låt M1vara summan av de moment som vrider ett föremål medurs kring

någon viss punkt O och M2 summan av de moment som vrider föremå-

let moturs kring denna punkt. Om föremålet är i vila så måste M1 = M

2

gälla. Man säger att föremålet är i momentjämvikt och det vrider sig då inte kring någon punkt.

För att ett föremål ska vara i jämvikt ska två villkor vara uppfyllda:

1) Det ska råda kraftjämvikt, d.v.s. summan av alla krafter som verkar på föremålet ska vara noll.

2) Det ska råda momentjämvikt, d.v.s. summan av alla vridande moment på föremålet ska vara noll.

Det är normalt inget problem att att bestämma momentpunkt. När man löser jämviktsproblem, d.v.s. där ett föremål är i vila, kan man välja denna punkt godtyckligt. Om ett föremål inte vrider sig kring någon viss punkt, så vrider det sig ju inte heller kring någon annan punkt! Det är ofta lämpligt att välja momentpunkten i en punkt, där flera krafter verkar. Om en kraft(pil) eller dess förlängning går genom momentpunkten är momentarmen noll och följaktligen är denna krafts moment noll. Vi be-höver då inte ta hänsyn till en sådan kraft vid beräkningen av momentet. Ibland finns okända krafter som verkar i någon viss punkt. Om vi då väljer denna punkt som momentpunkt, behöver vi inte bekymra oss om dessa krafter. Beräkningarna underlättas väsentligt.

Moment medurs

Moment moturs

10

exempel

ExEMpEL 1.3

En enmeterslinjal är försedd med hål efter varje decimeter. Man hänger upp linjalen i ett stift i hålet vid 5 dm. Runt detta stift kan den rotera friktionsfritt. Sedan hänger man i vikter som väger 100 g, en vid markeringen 0 och två vikter vid markeringen 8.a) Hur stort är då det totala vridande momentet på linjalen med avseende på moment-punkten O?b) Var ska man hänga upp ytterligare en 50 g-vikt för att linjalen ska befinna sig i jämvikt?

a) Förutom tyngden av vikterna påverkas linjalen av sin egen tyngd och av en uppåtriktad normalkraft från stiftet. Dessa krafter verkar i punkten O och de har inget moment med avseende på punkten O. Vi behöver alltså inte ta hänsyn till dessa när vi beräknar det totala momentet.Tyngden av 100 g-vikten vid markeringen 0 har ett moment moturs.Momentarmen är 0,50 m.Det ger M

1 = F

1 · l

1 = 0,100 · g · 0,50 = 0,100 · 9,82 · 0,50 Nm = 0,49 Nm

Tyngden av de två 100 g-vikterna vid markeringen 8 har ett moment med-urs. Momentarmen är 0,30 m.Det ger M

2 = F

2 · l

2 = 0,200 · g · 0,30 = = 0,200 · 9,82 · 0,30 Nm = 0,59 Nm

Det totala vridande momentet är M2 – M

1 = (0,59 – 0,49) Nm = 0,10 Nm

medurs.

Svar: 0,10 Nm medurs

b) För att få linjalen i jämvikt måste vi hänga upp 50 g-vikten på vänster sida. Den måste ge ett moment moturs på 0,10 Nm. Dess momentarm ska vara l

3,

där F3 · l

3 = 0,10 Nm.

0,050 · g · l3 = 0,10 ⇒ l g3

0 100 050

0 109 82 0 050

0 20=⋅

=⋅

=,,

,, ,

,m m

Vikten ska hänga så att dess tyngd har momentarmen 0,20 m, d.v.s. i hålet vid markeringen 3.

Svar: I hålet vid markeringen 3 1. RÖRELSER OCH KRAFTER 11

exempel

Tyngdpunkt

Som vi har nämnt tidigare i Impuls 1 är det naturligtvis så, att varje en-skild atom i ett föremål har en viss tyngd och därmed också ett visst moment med avseende på någon vridningsaxel. Om vi skulle behöva ta hänsyn till detta, skulle vi få oöverstigliga problem vid beräkningen av momenten. Vi förenklar därför alla beräkningar genom att tänka oss att varje föremål har en tyngdpunkt. Tanken är att vi låter föremålets hela tyngd mg verka i denna punkt och vi tänker oss då att alla andra punkter i föremålet är tyngdlösa. Tyngdpunkten är vald så att det totala momentet på föremålet blir detsamma trots denna förenkling. I ett föremål som är jämntjockt och gjort av ett homogent material, ligger dess tyngdpunkt alltid mitt i föremålet. I annat fall kan tyngdpunk-ten ligga på något annat ställe. Ett sätt att undersöka tyngdpunktens placering i ett föremål, är att hänga upp föremålet i en tråd i olika punkter. Om föremålet kan vrida sig fritt, kommer alltid tyngdpunkten att sträva efter att komma så lågt som möjligt. Tyngdpunkten hamnar således alltid någonstans på lodlinjen. Hänger vi successivt upp föremålet i två olika punkter befinner sig alltså tyngdpunkten i skärningen mellan de båda lodlinjerna.

ExEMpEL 1.4

Vi har klippt ut en triangel av papper. Var ligger dess tyngdpunkt?

Vi hänger upp triangeln i två av dess hörn och markerar lodlinjerna. Tyngdpunkten T ligger där dessa skär varandra. Vi kan kontrollera genom att rita lodlinjen även genom det tredje hörnet. Även denna går genom tyngdpunkten. Vi kan också kontrollera genom att balansera triangeln på spetsen av en penna och konstatera att triangeln balanserar bra kring denna punkt.

Lodlinje

Lodlinje

Lodlinje

T

T

12

Om vi vet var ett föremåls tyngdpunkt befinner sig, kan vi ofta avgöra om föremålet kommer att befinna sig i ett stabilt läge eller välta kring någon vridningsaxel O. Föremålet kommer att välta om tyngdpunkten därigenom hamnar lägre. Figuren nedan visar en hammare som ligger över en bordskant. Hammarens tyngdpunkt T är markerad. Kommer hammaren att falla till golvet?

Hammaren kommer inte att falla eftersom Hammaren kommer att falla till golvet tyngdpunkten T ligger innanför tyngdpunkten T ligger utanför bords- bordskanten. kanten.

Om ett föremåls tyngdpunkt ligger innanför stödjeytan, kommer det att vara i jämvikt.

ExEMpEL 1.5

Den stora hammaren är 0,50 m lång. Man vill veta hur mycket den väger och var dess tyngdpunkt ligger. Man har hängt upp hammaren i två dynamometrar, en i var ände av hammaren. Den ena dynamometern visar 18 N och den andra visar 3,5 N.a) Hur mycket väger hammaren?b) Hur långt från dess tunga ände ligger tyngdpunkten?

a) De uppåtriktade krafterna är (18 + 3,5) N = 21,5 N. Neråt verkar hammarens tyngd mg.Hammaren hänger i vila. Det råder således kraftjäm-vikt.

mg = 21,5 N ⇒ mg

= = =21 5 21 59 82

2 2, ,

,,kg kg kg

Svar: 2,2 kg

exempel

T T

18 N

50 cm

3,5 N

mg

x


b) Tyngdpunkten befinner sig på avståndet x från den vänstra, tunga än-den av hammaren.Låt tyngdpunkten vara momentpunkt. Vid beräkning av momenten be-höver vi alltså inte ta hänsyn till hammarens egen tyngd.I vänstra änden drar kraften 18 N uppåt. Momentet är medurs och mo-mentarmen är x. I högra änden drar 3,5 N uppåt. Momentet är moturs och momentar-men är (50 – x).Momentlagen ger: 18 · x = 3,5 · (50 – x)18x = 175 – 3,5x21,5x = 175 ⇒ x

17521,5

cm 8,14 cm= =

Svar: Tyngdpunkten befinner sig 8,1 cm från den tunga änden.

ExEMpEL 1.6

En jämntjock bräda som väger 20 kg är understödd av två bockar enligt figuren.Bestäm storleken av de normalkrafter som bockarna påverkar brädan med.

Vi vill veta krafterna som verkar på brädan och intresserar oss därför bara för dessa. Krafterna som verkar på bockarna eller på marken är således inte intressanta. De tre krafterna på brädan är: tyngden mg = 20g och de båda normalkrafterna F

1 och F

2. Tyngdkraften mg verkar i tyngdpunkten

T, som på grund av symmetrin ligger mitt i brädan.Vi ritar in krafterna i en figur.

0,5 m 3,0 m 2,5 m

O

F1

F2

mg

3,0 m

2,5 m

14

Eftersom brädan är i vila gäller kraftjämvikt och momentjämvikt.Vi kan välja momentpunkten O var vi vill, men vi väljer den i den punkt, där normalkraften F

1 verkar. (Lika lämpligt hade varit att välja O i den

punkt, där F2 verkar.) Eftersom F

1 verkar just i momentpunkten har inte

denna kraft något vridande moment på brädan. Det har däremot kraf-terna F

2 och mg. F

2 har momentarmen 3,0 m och vrider moturs. mg har

momentarmen 2,5 m och vrider medurs.Momentjämvikt gäller (moment moturs = moment medurs):F

2 · 3,0 = mg · 2,5

vilket ger Fmg

22 5

3 020 9 82 2 5

3 0163 7=

⋅ = ⋅ ⋅ =,,

, ,,

,N N

Kraftjämvikten ger att F1 + F

2 = mg

⇒ F1 = 20g – F

2 = (20 · 9,82 – 163,7) N = 32,7 N

Svar: Normalkrafterna är 160 N och 33 N.

ExEMpEL 1.7

En 4,0 m lång vindbrygga kan fällas ner över en vallgrav med hjälp av en kedja som är fäst i vindbryggans ena ände. Vindbryggan väger 150 kg. Man har just börjat hissa upp bryggan och den hänger ett kort ögonblick med sin fria ände all-deles över marken. Kedjan bildar då vinkeln 60° med lodlinjen enligt figur. Hur stor är kraften i kedjan i detta ögonblick?

4,0 m

60°


Vindbryggan är vridbar kring punkten O. Vi väljer den till momentpunkt. När bryggan tappat kontakten med marken i sin ena ände, finns bara två krafter som har moment med avseende på O. Det är bryggans tyngd 150g och kraften F i kedjan. Dessa håller nu bryggan i jämvikt. I figuren nedan har vi ritat in en kraft som verkar i momentpunkten O. Denna kraft är riktad från muren och rakt åt vänster. Det är en normalkraft från muren. Eftersom den angriper i själva momentpunkten har den inget vridande moment på bryggan och vi kan bortse från den i de kommande beräk-ningarna.

Tyngdkraften utövar ett moment moturs. Dess momentarm är bryggans halva längd, d.v.s. 2,0 m. Moment moturs: M

1 = 150g · 2,0 = 300 · g.

Istället för att beräkna F:s momentarm kan vi göra så, att vi komposant-uppdelar F i en horisontell kraft F

1 = F · cos 30° och en vertikal kraft

F2 = F · sin 30°. Det är bara F

2 som har ett moment med avseende på O.

F2 har momentarmen 4,0 m, d.v.s. bryggans hela längd.

Momentet som vrider bryggan medurs är således F · sin 30° · 4,0.Momentjämvikt ger: F · sin 30° · 4,0 = 300 · g

Fg= ⋅

⋅= ⋅

⋅=300

30 4 0300 9 82

30 4 01473

sin ,,

sin ,o oN N

Svar: 1,5 kN

2,0 m

60°

O

30°

F

F1

F2

150 g

16

uppgIfter

101. En hjulbult på en bil ska enligt instruktionsbo-ken dras åt med momentet 110 Nm. Man gör detta med en hylsnyckel som är 45 cm lång. Med hur stor kraft ska man dra i hylsnyckelns ände?

102. Cykelpedalerna på en cykel roterar i en cirkel med radien 18 cm. Ebba cyklar och trycker ner tramporna med hela sin tyngd. Ebba väger 45 kg.a) Hur stort är det maximala kraftmoment som

vrider runt tramporna?b) Hur stor är det minimala momentet?

103. Kraften F = 10 N har en momentarm l = 50 cm. Hur stort är momentet oma) F och l är vinkelrätab) F och l är parallellac) vinkeln mellan F och l är 30 grader?

104. Vad menas med jämvikt?

103. Med hur stor kraft kläms tråden av tången?

104. Tre lådor A – C är fyllda på olika sätt med olika material. Lådornas tyngdpunkter är markerade i figuren. Lådorna har kommit i obalans och börjar luta. Vilken eller vilka av lådorna kom-mer att falla åt höger? Motivera.

105. Axel som väger 16 kg vill gunga med Gustav som väger 24 kg. Axel sätter sig längst ut på en 5 m lång gungbräda som är understödd i mitten. Hur långt från kanten ska Gustav sätta sig för att det ska väga jämnt?

106. En 1,0 m lång homogen metallstav väger 200 g. Den är graderad med dm-markeringar I ena änden O finns ett hål där den är friktionsfritt upphängd i ett stativ. I andra änden hänger en sten i en tunn tråd. Staven hålls vågrät med hjälp av en dynamometer fäst 4,0 dm från O.a) Hur mycket väger stenen?b) Hur stor är den resulterande kraften på staven

i punkten O?

15 cm 1,5 cm

20 N20 N

x


60°

A B

107. En jämntjock stålbalk väger 500 kg och är 9,0 m lång. Den vilar på ett betongblock som är 2,0 m brett. Se figur. En man som väger 80 kg stäl-ler sig på balken. Hur nära ändarna kan han stå utan att balken välter?

108. En homogen metallbalk AB väger 125 kg. Den är friktionsfritt vridbar kring en horisontell axel i A. I andra änden B hålls den uppe av ett rep som går runt en trissa och som i andra än-den är fäst i en stor vikt. Se figur. Bestäm mas-san av vikten om balken ska kunna hänga hori-sontellt.

109. Utanför en ambassad hänger en flagga på en flaggstång. Flaggstången väger 60 kg. Flaggan väger nästan ingenting. Flaggstången är fäst vid väggen i punkten O, helt friktionsfritt vridbar. Flaggstången är också fäst vid väggen med en horisontell lina. Tyngdpunkten hos flaggstången finns mitt på stången.a) Bestäm kraften i linan.b) Bestäm kraften på flaggstången i punkten O.c) Vilket lands ambassad är det?

30°

O

4,0 m 2,0 m 3,0 m

18

Cirkulär centralrörelseLåt oss föreställa oss en bil som kör med konstant fart runt en stor rondell. Vi kan säga att farten är konstant, t.ex. 30 km/h, men vi kan inte säga att hastigheten är konstant. Hastighet som fysikaliskt begrepp är en en vektor. En hastighetsvektor be-skriver både hastighetens storlek (fart) och riktning. Vekto-rer brukar ju illustreras med pilar. Eftersom bilens riktning ändras hela tiden, så säger vi att bilens hastighet ändras. Bilens hastighet i de olika ögonblicken i figuren re-presenteras av pilarna v

1, v

2, v

3… Om vi bara vill tala om

bilens fart, som representeras av pilarnas längd och som ju är lika stor i alla ögonblick, skriver vi bara v. Vi vet från Impuls Fysik 1 att en hastighetsändring inne-bär en acceleration.Acceleration är också en vektor. Den har både en viss stor-lek och en viss riktning.Accelerationen skriver vi a

vt

= ∆∆

.

Det strider mot normalt språkbruk att säga att bilen i rondellen accelere-rar, men det är så vi ska se det. Newtons andra lag säger att om ett föremål ska accelerera, så krävs det en resulterande kraft på föremålet. Kraft är också en vektor. Newtons andra lag är:

F m a mvt

= ⋅ = ⋅ ∆∆

Vi har nu följande viktiga frågor att besvara:Hur stor är accelerationen och åt vilket håll är den riktad? Vi börjar med hastighetsändringen. Låt oss tänka oss bilen i ett ögon-blick då den har hastigheten v

1 och ett ögonblick senare, då hastigheten

är v2.

Ändringen av hastighet betecknar vi Dv = v2 – v

1.

Vi låter dessa båda vektorpilar börja i samma punkt. Hastigheten har änd-rats från v

1 till v

2. Ändringen är då riktad från spetsen på v

1 till spetsen på v

2.

Vi åskådliggör detta med pilar:

Medelaccelerationen avtm

= ∆∆

är riktad åt samma håll som Dv. Dt är

inte en vektor och att vi dividerar med Dt ändrar således inte riktningen. Nu är vi normalt inte intresserade av medelaccelerationen utan av momentanaccelerationen a, d.v.s. accelerationen i ett bestämt ögonblick. Vi måste då låta tiden Dt vara mycket liten. I matematiken säger vi att ∆t → 0 (Dt går mot noll).

Dv = v2 – v

1

v2

v1

V1

V2

V3

V4V5


Vi tänker oss ett föremål med massan m som rör sig i en cirkelbana med radien r. Se fig. 1. För att avgöra riktningen på momentanaccelerationen studerar vi föremålet vid två ögonblick A och B. I första ögonblicket är hastigheten v

A och i nästa ögonblick v

B. Observera att hastigheterna hela

tiden är vinkelräta mot cirkelns radie. Cirkelns centrum betecknas O. Vi måste nu föreställa oss att punkterna A och B ligger mycket nära varan-dra. För tydlighets skull är avståndet mellan A och B i figuren överdrivet. Under den korta tiden Dt har föremålet flyttat sig från A till B, d.v.s. en vinkel a. I fig. 2 har vi ritat vektorerna v

A och v

B så att de börjar i

samma punkt. Då kan vi se riktningen på vektorn Dv. Vi ritar den så att den börjar i punkten B. Se fig. 3. Vi ser då att den är riktad in mot cirkelns centrum O. Fig 1 Fig 2 Fig 3

Momentanaccelerationen a och kraften F på föremålet är då också enligt ovan riktade in mot cirkelns centrum. Det återstår nu bara att bestämma hur stor accelerationen är. Föremå-lets banhastighet (eller fart) är v. v är alltså längden av hastighetsvekto-rerna v

A och v

B och Dv är längden av vektorn Dv.

Låt oss nu jämföra de båda trianglarna från våra tidigare figurer, dels triangeln OAB och dels triangeln som bildas av vektorerna v

A, v

B och Dv.

Eftersom föremålets hastighet i banan är v och tiden mellan punkterna A och B är Dt är sträckan AB = v · Dt. Båda trianglarna är likbenta och med samma vinkel a mellan de lika sidorna. Trianglarna är således likformiga. (Man kan möjligen invända att OAB i fig. 1 inte är en triangel utan en cirkelsektor. Det är rätt. Men eftersom vinkeln a är så liten så kommer denna cirkelsektor att närma sig en triangel då ∆t → 0 .)

vB

vA

vA

r

B B

mm

mA

O O

r r

vB

a a

Dv

Dv

r

B

A

O

r

v · Dt

a

vAv

Ba

Dv

20

De båda vektorpilarna vA och v

B i den högra figuren är lika långa. Deras

längd betecknar vi v. Likformigheten ger att

v tr

vv

⋅ =∆ ∆, vilket kan omvandlas till

∆∆vt

vr

=2

Vi är därmed klara med härledningen. Momentanaccelerationen avr

=2

.

Eftersom tiden det tar för föremålet att rotera ett varv är T (omlopps-

tiden) och cirkelns omkrets är 2p · r kan vi också uttrycka hastigheten

vr

T= 2π

. Vi sätter in detta för v i uttrycket ovan och får då ar

T= 4 2

2

π.

Ibland vill man istället tala om vilken frekvens f som rotationen har, d.v.s.

hur många varv föremålet roterar varje sekund. Enheten för frekvens är1 Hz = 1 s–1 (1 per sekund). Sambandet mellan frekvens och omloppstid är f

T= 1

Vi får då att a rf= 4 2 2π . Ytterligare ett användbart begrepp i samband med roterande rörelser är vinkelhastigheten w, som anger med vilken has-tighet vinkeln a ökar. Enheten för vinkelhastighet är 1 radian/s, som man förkortar 1 rad/s eller bara 1 s–1. Eftersom ett varv passeras på tiden T och ett varv motsvarar vinkeln 2w radianer gäller att

Tf

22ω = π = π ⋅

Vi har då ytterligare ett sätt att skriva accelerationen, nämligena r2ω=Eftersom både accelerationen och den resulterande kraften är riktade in mot cirkelns centrum, kallar man dem ofta för centripetalacceleration a

c och

centripetalkraft Fc. ”Centripetal” kommer från ett grekiskt ord som bety-

der ”som söker sig mot centrum”. Man hör ibland talas om ”centrifugal” som betyder ungefär ”som flyr bort från centrum”. En centrifugalkraft är alltså en kraft som är riktad bort från cirkelns centrum.

Centripetalacceleration

avr

rT

rf r4

4c

2 2

22 2 2ω= = π = π =

v är hastigheten i banan, r är banans radie, T är omlopps-tiden, f är frekvensen och w är vinkelhastigheten. Acceleratio-nen ac är riktad in mot cirkelns centrum.

Centripetalkraft

cF m amv

rmr

Tmrf m r

4

4

c

2 2

2

2 2 2ω

= ⋅ = = π =

= π =

v är hastigheten i banan, r är banans radie, T är omlopps-tiden, f är frekvensen och w är vinkelhastigheten. Kraften Fc är riktad in mot cirkelns centrum. Här finns några mycket viktiga saker att säga.

* Observera att när vi nu talar om centripetalkraft, så är det ingen ny kraft som vi inför! Det är bara ett namn för resultanten till våra tidigare krafter, tyngden, friktionen, normalkraften, elektriska krafter, spännkraf-ter i trådar, mm., om denna resultant är riktad mot ett centrum.


När vi har en situation, där vi vill bestämma vilka krafter som verkar, så gör vi det precis som vi tidigare alltid har gjort. Vi ritar ut tyngdkraften, normalkraften o.s.v. på det föremål som intresserar oss. Om föremålet rör sig med konstant fart längs en cirkelbana, vet vi att den resulterande kraften är riktad mot centrum. Vi kallar den centripetalkraft och vi vet att den är

Fmv

rc =2

(eller något alternativt sätt att skriva den).

* Det är en mycket vanlig föreställning att när man t.ex. åker runt på en ka-rusell, så vill man kastas av utåt, på grund av den s.k. centrifugalkraften. Det är na-turligtvis sant att man löper risk att åka av från karusellen, men det är ingen kraft som orsakar detta. Det är snarare så, att den nödvändiga centripetalkraft, som behövs för att man ska vara kvar på karusellen, saknas. När du står på en karusell så finns normalt en friktionskraft mellan karusellen och dina fötter. Denna kraft är centripetalkraft. Kanske du håller dig fast i en stång på karusellen. Då finns denna kraft som drar dig inåt. Om du inte orkar hålla dig fast eller att friktionskraften är för liten, då åker du av.I sammanhanget kan vi göra ytterligare två viktiga påpekanden:

1) Ett föremål rör sig inte nödvändigtvis åt det håll dit den resulterande kraften är riktad, utan åt det håll dit hastigheten är riktad. När rörelsen är cirkulär är alltid hastigheten vinkelrät mot den resulterande kraften. Krafter gör att hastigheten ändras.

2) Centrifugalkrafter finns inte. Ett föremål som befinner sig i rörelse strävar på grund av tröghetslagen att bibehålla sin rörelse med konstant fart längs en rät linje. Det behövs inga krafter för denna rörelse. Om jag befinner mig i ett accelererat system, t.ex. på en karusell, i en bromsande buss eller i en accele-rerande bil, måste jag påverkas av krafter som ändrar min rörelse. På karusel-len strävar ju tröghetslagen att få mig att fortsätta min rörelse rakt fram. Det upplever jag som om det finns en kraft som påverkar mig utåt, när det i själva verket finns en kraft som hindrar mig från att röra mig rätlinjigt. I den brom-sande bussen påverkas jag av en kraft bakåt som försöker bromsa in mig. Men min rörelse är framåt och när bussen plötsligt bromsar in fortsätter jag framåt. Jag upplever det som det finns en kraft som kastar mig framåt. Dessa upplevda, men ej verkliga, krafter brukar kallas tröghetskrafter.Detta är ett exempel på-Newtons första lag, tröghetslagen.

Om jag skulle få för mig att utföra några mekaniska experiment när jag befin-ner mig på en karusell, så skulle jag inte få Newtons lagar att stämma. De skulle däremot stämma om jag antar att det finns centrifugalkrafter som verkar utåt på alla föremålen i mitt experiment. Men jag kan inte förklara, varifrån dessa krafter kommer och det är naturligt, för de finns inte. Bättre är att jag utför mina experi-ment på fasta marken (i ett tröghetssystem). Där behövs inte dessa tröghetskrafter.

22

exempel

ExEMpEL 1.8

På en lekplats finns en liten karusell som några barn har satt igång med hög fart. Längst ut på kanten står en flicka. Hon står kvar, men är nära att falla av.a) Rita ut de krafter som verkar på henne.b) När de andra barnen börjar snurra karusellen ännu fortare så ramlar hon av. Förklara varför.

a) Det verkar tre krafter på flickan, hennes tyngd mg, nor-malkraften F

N och friktionskraften F

f mellan hennes fötter och karusell-

golvet.

Eftersom hon står på horisontellt underlag är FN = mg. Friktionskraften

Ff är riktad in mot karusellens centrum. Det är den resulterande kraften.

Den är centripetalkraft. Vi kan skriva

F Fmv

rf c= =

2

b) Låt oss se karusellen ovanifrån. Vi har ritat ut den resulterande kraften och även en vektorpil som visar hastigheten v. Om karusellens hastighet v ökar, kommer det enligt formeln att krävas en större friktionskraft F

f

för att hålla kvar henne i cirkelbanan. Friktionskraften kan inte bli hur stor som helst och därför åker hon av i tangentens riktning, d.v.s. i den riktning som hastigheten har i detta ögonblick. Figuren nedan visar var hon hamnar. Observera: det har inte varit någon kraft som slängt av henne!

Svar: b) Den nödvändiga friktionskraften är inte tillräckligt stor. När hon står på karusellen har hon hastighet i en viss riktning. Denna hastighet är i varje ögonblick tangent till den cirkel som hon rör sig i. Om det saknas krafter som trycker henne inåt, så kommer hon att fortsätta sin rörelse i tangentens riktning och med oför-ändrad hastighet.

FN

Ff

FN

mg

Ff


exempel

ExEMpEL 1.9

En bil kör genom en horisontell cirkulär kurva vars radie är 300 m. Frik-tionstalet mellan däck och vägbana är 0,35. Hur fort kan bilen köra genom kurvan utan risk att åka av?

Eftersom vägbanan är horisontell är normalkraften lika med tyng-den.Maximal friktionskraft på bilen är F

f = m · F

N = m · mg.

Denna kraft är centripetalkraft och om bilen ska kunna hålla sig kvar på vägen måste den minst vara mv

r

2.

mvr

mg2

µ= ⋅

v gr 0,35 9,82 300 m/s 32,1 m/s 32,1 3,6 km/h 115 km/hµ= ⋅ = ⋅ ⋅ = = ⋅ =

Svar: a) 115 km/h (Lägg märke till att bilens massa inte har någon betydelse.)

ExEMpEL 1.10

En liten kula är fäst i en 1,2 m lång tråd. Man låter kulan utföra en konisk pendelrörelse så att tråden bildar vinkeln 35° med lodlinjen.Bestäm kulans hastighet.

Kulans massa är m.På kulan verkar två krafter, spännkraften F

S i tråden och kulans

tyngd mg. Den resulterande kraften är Fc, en centripetalkraft, som

tvingar kulan att röra sig i en cirkelbana.

sin,

, sin351 2

1 2 35o o m = 0,69 m= ⇒ = ⋅rr

tan tan tan35 35 35o cc

o oN = 9,82= ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅F

mgF mg m NN = 6,88 Nm ⋅

Fmv

rv

F r

mm

m6,88 0,69

m/s 2,2 m/sc

2c= ⇒ =

⋅= ⋅ ⋅ =

Svar: 2,2 m/s

Ff

r = 300 m

1,2 m

35°

35°

r

Fs

Fc

mg

m

24

110. Sekundvisaren på ett visst armbandsur är 2,0 cm lång.a) Hur stor är vinkelhastigheten hos sekundvi-

saren?b) Hur stor är accelerationen hos en punkt på

spetsen av visaren?

111. En bil kör med konstant fart, dels över en liten kulle a), dels nere i en svacka i vägen b). Mar-kera i figurerna med kraftpilar de vertikala kraf-ter som verkar på bilen i dessa ögonblick. Det ska tydligt framgå av pilarnas längder om någon kraft är större än någon annan eller om krafter-na är lika stora.

112. Figuren visar en del av en racerbana med många skarpa kurvor. En bil kör med konstant fart i banan. Vi ser bilen i punkterna A, B och C. Rita i figuren ut vektorpilar som visar bilens accele-ration i dessa tre punkter. Om du anser att bilen inte accelererar, så skriv det. Om du anser att bi-len accelererar, så rita pilarna så att det tydligt framgår vilken acceleration som är störst och minst.

113. Tre olika stora kuber A, B och C av samma ma-terial står på en roterande skiva. A är störst, B är mellanstor och C är minst. A och C står längst ut på skivan och B står halvvägs ut. När roterar skivan snabbare kan inte kuberna stå kvar utan börjar glida. Rangordna dem efter i vilken ord-ning de börjar glida.

113. a) Vad menas med en centripetalkraft?b) Kan en tyngdkraft vara en centripetalkraft?

114. Visa att vr

2

är en acceleration genom att visa att enheten är rätt.

115. En centrifug till en tvättmaskin har en trumma med diametern 30 cm. Den kan rotera med 1600 varv/ minut. En litet mynt har kommit in i centrifugen.a) Bestäm vinkelhastigheten.b) Bestäm accelerationen hos det lilla myntet.

116. Jeremy Wotherspoon har hastighetsrekordet på skridsko 500 m. Hans tid var 34,03 s. Banan innehåller en kurva med radien 25 m. Anta att han håller samma fart genom hela loppet och att han väger 75 kg. Bestäm den resulterande kraften på honom i kurvan.

uppgIfter

a) b)

A B C


117. I en enkel modell av en väteatom kan man se elektronen röra sig runt protonen i en cirkelba-na med radien 5,3 · 10–11 m. Hur stor är elekt-ronens hastighet i banan?

118. En pojke har lagt en sten i en liten leksakspann och sedan knutit ett snöre i spannen. Han svänger sedan spannen runt i en vertikal cirkel-bana med radien 1,5 m så att spannen åker runt 8 varv på 10 sekunder. Stenen väger 250 g och ligger kvar på sin plats.a) Bestäm normalkraften på stenen då spannen

är i sitt övre läge.b) Bestäm normalkraften på stenen då spannen

är i sitt nedre läge.

119. En leksaksbana för bilar består av en loop som en bil kan passera om den har tillräckligt hög fart. Loopens diameter är 30 cm. Anta att bilen som väger 200 g har hastigheten 3,0 m/s när den passerar loopens högsta punkt.a) Visa att denna hastighet räcker för att klara

loopen.b) Beräkna samtliga krafter som verkar på bilen

i loopens högsta punkt.

30 cm

a)

b)

26

Gravitation och Keplers lagar

Om man studerar hur planeterna i vårt solsystem rör sig på himlavalvet märker man att deras banor är mycket komplicerade. Under medeltiden var det för de flesta tänkare självklart att jorden var i vila i världsalltets centrum och att alla andra himlakroppar rör sig runt jorden i cirkelbanor. Tanken var att himlakropparna var perfekta objekt (till skillnad från jor-den) och den mest perfekta rörelsen var cirkelrörelsen. Det var mycket svårt att få detta att stämma med de observationer man kunde göra. Man fick då tänka sig att planeterna rörde sig i små cirklar vars centra i sin tur rörde sig i cirkelbanor runt jorden. Dessa små cirklar kallas epicykler. Nog-grannare observationer ledde till att man måste tillföra ytterligare epi-cykler, små cirkelbanor vars centra rörde sig kring en annan epicykel osv.Till slut behövde man upp till ett åttiotal epicykler!

Johannes Kepler (1571–1630)

bild kommer sen

Man hade oerhört svårt att frigöra sig från den perfekta cirkelrörelsen och att jorden var centrum. Den som till slut presenterar en annan världs-bild är den polske astronomen Nicolaus Copernicus (1473–1543). Enligt den copernicanska världsbilden är solen i centrum och jorden och övriga planeter rör sig i cirkelbanor (!) runt solen. Även Copernicus behövde epicykler för att teorin skulle stämma någorlunda med observationerna, men hans världsbild blev betydligt enklare. Johannes Kepler var en tysk astronom. Han verkade i Prag som kejser-lig matematiker och efterträdde där den danske astronomen Tycho Brahe (1546–1601). Brahe arbetade en stor del av sitt liv på ön Ven i Öresund, där han gjorde ytterst noggranna observationer av himlakropparnas lägen. Mycket tack vare dessa observationer kunde Kepler uppställa tre nya lagar för planeternas rörelser. Han kunde nu överge cirkelrörelsen. Planeterna rör sig i ellipser.


Keplers lagar

1. Planeterna i vårt solsystem rör sig i ellipser, där solen befinner sig i el-lipsens ena brännpunkt.

2. Planeten rör sig i denna ellips med sådan hastighet att en rät linje dra-gen från planeten till solen sveper över lika stora areor på lika lång tid.

3. Om T är planetens omloppstid runt solen och r är medelavståndet till solen, så har uttrycket T

r

2

3 samma värde för alla planeterna.

Keplers andra lag: Planeten rör sig från läge 1 till läge 2 på lika lång tid som från läge 3 till läge 4. De gröna ytorna är lika stora.

Keplers lagar är alla experimentellt framtagna. Han kunde inte visa dem teoretiskt. Det kunde Isaac Newton göra nästan 100 år senare. När man tittar i tabeller över planeternas avstånd till solen så brukar man använda enheten 1 AU (1 astronomisk enhet). Det är medelavstån-det från jorden till solen.1 AU =1,496 · 1011 m

Solen

Planet1

2

3

4

28

exempel

ExEMpEL 1.11

Här är omloppstider och medelavstånd till solen för tre planeter:

Planet Omloppstid Medelavstånd till solen

Merkurius 0,241 år 0,387 AU

Jorden 1,000 år 1,000 AU

Jupiter 11,86 år 5,205 AU

a) Visa att Keplers tredje lag stämmer för dessa planeter.b) Bestäm konstanten i Keplers tredje lag uttryckt i SI-enheter.

Eftersom vi bara skall göra en jämförelse kan vi använda vilka enheter vi vill. Vi räknar med år och AU.

Merkurius: Tr

2

3

2

3

0 2410 387

1 002= =,,

,

Jorden: Tr

2

3

2

3

1 0001 000

1 000= =,,

,

Jupiter: Tr

2

3

2

3

11 865 205

0 997= =,,

,

Vi ser att dessa är approximativt lika.

b) Vi använder nu SI-enheterna sekund och meter och eftersom kon-stanten är lika för alla planeter så räknar vi på jordens värden.

Tr

2

3

2

11 3

1 365 24 36001 496 10

2 97 10= ⋅ ⋅ ⋅⋅

= ⋅ −( )( , )

, 119 s /m2 3

Svar: b) 2,97 · 10–19 s2/m3 (Vi ska längre fram visa varifrån detta värde härstammar.)


För planeter och månar i vårt solsystem är rörelsen så nära cirkelformad att vi kan räkna som om det vore fråga om en cirkulär centralrörelse. Vi kommer således i exempel och uppgifter att göra detta. I sammanhanget kan det vara aktuellt att påminna om Newtons gra-vitationslag. Vi har redan övat på den i Impuls 1, men det är nu intressant att kombinera den med vad vi vet om cirkulär centralrörelse.

Vi ska härleda Keplers tredje lag genom att uttrycka kraften F på plane-ten på två sätt, dels med hjälp av gravitationslagen, dels genom att F är en centripetalkraft. Låt planetens massa vara m och solens massa M. Avståndet mellan pla-neten och solen är r.Gravitationslagen ger att kraften på planeten är F G

m Mr

= ⋅ ⋅2

.

Eftersom kraften är en centripetalkraft kan vi skriva Gm M

rm r

T⋅ ⋅ ⋅=2

4 2

2

π

Omflyttning av faktorer ger Tr G M

2

3

24=⋅π .

Lägg märke till att högerledet är konstant, oavsett vilken planet det är fråga om. Detta upptäckte Kepler, men han visste inte vad konstanten innebar. Newton visste detta, men han kände inte till värdet på G. Det skulle dröja nästan 100 år innan Henry Cavendish lyckades bestämma detta värde.Med dagens värden får vi

Tr G M

2

3

2 2

11 30

4 46 67 10 2 0 10

2=⋅

=⋅ ⋅ ⋅

=−

π π, ,

,s /m2 3 996 10 19⋅ − s /m2 3

Jämför med resultatet i föregående exempel.

r

F

m1

m2

F

GravitationslagenOm två föremål med massorna m1 och m2 befinner sig på av-ståndet r från varandras tyngd-punkter så attraherar de varan-dra med en kraft F, där

F Gm m

r1 2

2= ⋅ ⋅

G 6,67 10 Nm / kg–11 2 2= ⋅är den universella gravitations-konstanten.

30

exempel

ExEMpEL 1.12

En satellit går i en bana runt jorden på 3200 km höjd över markytan. Beräkna satellitens hastighet.

Jordens radie är 6,37 · 106 m och jordens massa m1 = 5,97 · 1024 kg.

Vi sätter satellitens massa till m2. På satelliten verkar gravitationskraften från

jorden.Avståndet från satelliten måste räknas till jordens centrum, d.v.s.3200 km + 6,37 · 106 m = 9,57 · 106 m.Kraften på satelliten är enligt gravitationslagen F G

m mr

1 22= ⋅ ⋅

.Vi kan också utnyttja att kraften är en centripetalkraft och alltså kan skrivas

Fm v

rc2

2

=⋅ .

Vi sätter dessa båda uttryck lika. Gm m

rm v

r1 2

22

2

⋅⋅

=⋅

Vi löser ut v. G m 6,67 10v

r5,97 10

9,57 10m/s 6451 m/s 6,5 km/s1

11 24

6= ⋅ ⋅ ⋅= ⋅

⋅= =

−

Svar: 6,5 km/s

ExEMpEL 1.13

Jupiter är den största planeten i vårt solsystem. Dess massa är 318 gånger större än jordens. Jupiter har många månar. Dess innersta måne heter Metis. Den rör sig i nästan cirkulär bana kring Jupiter och dess omloppstid är 7 h 4 min. Bestäm av-ståndet mellan Metis och Jupiter. Jordens massa är 5,97 · 1024 kg.

Vi sätter M = Jupiters massa och m = Metis massaM = 318 · 5,97 · 1024 kg = 1,89 · 1027 kgGravitationskraften F på Metis är F G

M mr

= ⋅ ⋅2

.

Denna kraft är centripetalkraft och kan också skrivas Fm r

T4 2

2= π ⋅

.r är det sökta avståndet mellan Metis och Jupiter.Omloppstiden T = 7 h 4 min = (7 · 3600 + 4 · 60) s = 25440 s

GM m

rm r

T⋅ = ⋅2

2

2

4π

Ur denna ekvation löses r ut.

rGM T= ⋅

2

2

1

3

4π= 6 67 10 1 89 10 25440

4

11 27 2

2

1

3, ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅

−

πm = 1,27 · 108 m = 1,3 · 105 km

Svar: 1,3 . 105 km


120. Hur stor är gravitationskraften mellan månen och jorden? Nödvändiga data hämtas från en tabell.

121. Uranus ligger 19 gånger så långt från solen som jorden gör. Ungefär hur många ”jordår” är ett ”Uranusår”? Använd inte formelsamlingen när du löser denna uppgift

122. Den internationella rymdstationen ISS, där Christer Fuglesang har varit besättningsman, befinner sig på höjden 385 km över marken. ISS cirklar ett varv runt jorden på 92 minuter. Jordens massa är ca 6,0 · 1024 kg och jordradien är 6360 km. a) Beräkna med ledning av uppgifterna ovan ett

värde på den universella gravitationskonstan-ten.

b) Hur stor är tyngdkraften på en astronaut om-bord på ISS om han väger 80 kg?

c) Förklara varför astronauterna ser ut att sväva tyngdlöst inne i rymdstationen.

<Bild>

Christer Fuglesang ute i rymden

Ska kolla med NASA - kommer sen/Fridha

uppgIfter

123. Jupiters och hela solsystemets största måne är Ganymedes. Galileo Galilei kunde se den för första gången med sin kikare år 1610. Omlopps-tiden observeras vara 7,15 dygn och avståndet mellan Ganymedes och Jupiter är 1,07 · 106 km. Bestäm med ledning av dessa data Jupiters mas-sa.

124. Månen har en omloppstid runt jorden som är T

m = 27,3 dygn. Avståndet mellan månen och

jorden är 3,84 · 105 km. Tänk dig att jorden hade haft ytterligare en måne med omloppsti-den 1, 0 dygn. Vilket avstånd skulle denna måne ha haft till jorden?

125. En exoplanet är en planet som rör sig kring en annan stjärna än solen. Den första exoplaneten som upptäcktes var Gamma Cephei Ab. Den rör sig kring stjärnan Gamma Cephei A med medelhastigheten 24,7 km/s. Dess bana är el-liptisk och avståndet till stjärnan varierar mellan 1,8 AU och 2,3 AU.a) Rita en figur över planetens bana och beskriv

med ord hur planetens hastighet varierar un-der ett varv runt stjärnan.

b) Försök att uppskatta stjärnans massa.c) Hur många solmassor motsvarar detta?

126. Förklara varför en satellit som kretsar i en bana runt jorden på ett visst avstånd har större has-tighet än en satellit som befinner sig på ett stör-re avstånd från jorden.

32

KaströrelseHur rör sig en kastad sten? Före Newton förde man livliga diskussioner om vad som driver stenen framåt. Man hade uppfattningen att det måste finnas något som liksom knuffar stenen framåt i dess bana. Aristoteles hade lärt att ett föremåls naturliga plats var jordytan, men man ansåg att det fanns någon egenskap hos föremålet, impetus, som föremålet fick vid själva kastet och som gjorde att det kunde röra sig åt ett annat håll än mot jorden. Under rörelsen förbrukades impetus och när den var slut, föll föremålet ner.

a) Medeltida bild av hur en kanonkula röra sig.

Som vi vet rensade Newton upp bland denna och många andra felaktiga förställningar, med förklaringen att föremål på grund av sin tröghet fort-sätter med konstant fart utefter en rät linje, om inga krafter som förmår det att ändra riktning verkar på föremålet. Detta är tröghetslagen. Vad gäller den kastade stenen så verkar, om vi bortser från luftmotståndet, endast tyngdkraften på stenen. Detta leder till att stenen rör sig i en parabel, vil-ket matematiken beskriver med en andragradskurva. Vi ska nu studera rörelselagarna för en kastad kropp, t.ex. en sten eller en boll eller vad som helst. För att fullständigt känna till rörelsen ska vi i varje givet ögonblick kunna ange

1) var föremålet befinner sig (d.v.s. vi måste ange läget)

2) vilken hastighet föremålet har

3) vilken acceleration föremålet har

Enklast kan vi beskriva detta om vi placerar in föremålet i ett koordinat-system och låter själva kastet ske vid tidpunkten t = 0 från origo.För ett föremål som rör sig med konstant acceleration gäller sambanden i rutan härintill För en kastad kropp är alltid accelerationen konstant. Den är g = 9,82 m/s2 och alltid riktad rakt neråt.

v = vo + at

s v t

at= +o

2

2

v och s är hastighet resp. läge vid tiden t.vo är begynnelsehastigheten, a är accelerationen och t är tiden.

b) Kulbanan är en parabel, om man bortser från luftmotståndet.


exempel

Vertikalt kast

Låt oss börja med ett vertikalt kast rakt uppåt. Eftersom rörelsen är riktad åt samma håll hela tiden räcker det med en koordinataxel, en y-axel. Lä-geskoordinaten heter alltså y.

ExEMpEL 1.14

En flicka kastar en boll rakt uppåt med begynnelsehastigheten 12 m/s.a) Bestäm bollens hastighet efter 0,5 s.b) Hur högt befinner sig bollen efter 0,5 s?c) Bestäm bollens hastighet efter 2,0 sd) Hur högt når bollen?

Eftersom y-axeln är riktad uppåt innebär det att positiv riktning är uppåt. Storheter med positivt tecken är således riktade uppåt och de med nega-tivt tecken är riktade neråt. Accelerationen a är riktad neråt. a = –g och v

o = 12 m/s. Med form-

lerna i rutan ovan får vi:v = v

o + at = 12 – gt y t

gt= −122

2

a) v = 12 – 9,82 · 0,5 m/s = 7,1 m/s

Svar: 7,1 m/s

b) y = ⋅ − ⋅ =12 0 59 82 0 5

24 8

2

,, ,

,m m

Svar: 4,8 m

c) v = 12 – 9,82 · 2,0 m/s = –7,6 m/sBollen är alltså på väg ner med farten 7,6 m/s.

Svar: –7,6 m/s

d) I högsta läget är hastigheten v = 0.Insatt i hastighetsformeln får vi: 0 = 12 – gt ⇒ t

g= = =12 12

9 821 22

,,s s

Bollen är i sitt högsta läge efter tiden t = 1,22 s. Vi sätter in detta värde

och får läget y = ⋅ − ⋅ =12 1 229 82 1 22

27 3

2

,, ,

,m m

(d-uppgiften löses enklast med energiprincipen.)

mvmgh h

v

go o m m

2 2 2

2 212

2 9 827 3= ⇒ = =

⋅=

,,

Svar: 7,3 m

0

5

10

my

34

exempel

ExEMpEL 1.15

En pojke står uppe i ett 50 m högt torn och kastar en sten rakt ner med hastighe-ten 12 m/s. Hur lång tid tar det tills stenen är nere?

För att undvika för mycket minustecken kan det vara lämpligt att vända på y-axeln så att den pekar neråt. Stenen kastas från y = 0. Begynnelse-hastigheten är 10 m/s och accelerationen g = 9,82 m/s2 (obs. positivt tecken!).

Formeln för läge ger

50 129 82

2

2

= ⋅ + ⋅t

t,

Detta är en andragradsekvation och löses som en sådan.

9 822

12 50 02, ⋅ + ⋅ − =t

t

tt

22 129 82

50 29 82

0+ ⋅ ⋅ − ⋅ =, ,

t t2 2 44 10 18 0+ ⋅ − =, ,

t = − ± +1 22 1 22 10 182, , ,

t = 2,2 s eller t = –4,6 s (vilket är orimligt)

Svar: 2,2 s

Horisontellt kast

Ett annat specialfall av ett kast är om vi tänker oss att vi kastar något rakt horisontellt (d.v.s. i x-led) med begynnelsehastigheten v

ox. Föremålet

kommer sedan att röra sig både horisontellt (x-led) och vertikalt (y-led) samtidigt. Den enda kraft som påverkar föremålet, då det befinner sig i luften, är tyngdkraften mg. Det finns inte någon kraft på föremålet i x-led, och enligt Newtons andra lag inte heller någon acceleration i denna led. Slutsatsen är att i horisontell led är hastigheten konstant. Föremålet påverkas alltså bara av accelerationen g i vertikal led. I y-led uppför sig föremålet precis som vid ett fritt fall utan begynnelsehastighet.


I figuren nedan tänker vi oss en person på ett högt berg, som kastar två små kulor samtidigt, en rakt ut åt höger medan den andra bara släpps rakt ner för den branta bergssidan. Observera att båda kulorna är påverkade endast av tyngdkraften och därför faller med samma hastighet i y-led och alltså hela tiden befinner sig på samma höjd och når marken samtidigt. (Vi bortser helt och hål-let från det bromsande luftmotståndet som i detta fall antas vara mycket litet.) Den kulan som kastats ut åt höger har också en hastighet i x-led, men den påverkar inte hastigheten i y-led.

Om ett kastat föremål har hastighet i både x-led, vx, och y-led, v

y, kan vi

bestämma kulans totala hastighet v, med hjälp av Pythagoras sats.

v2 = vx2 + v

y2 ⇒ v v v= +

x y2 2

Vinkeln a mot horisontalplanet bestäms genom att v

vtan y

x

=α .

När ett föremål rör sig sam-tidigt i två dimensioner, t.ex. både i x-led och i y-led kan vi tillämpa rörelselagarna separat för dessa båda riktningar. Rö-relsen i x-led är oberoende av rörelsen i y-led och vice versa.

vy

vx

v

a

36

exempel

ExEMpEL 1.16

En kula rullar på ett horisontellt bord med farten 3,0 m/s. Bordet är 80 cm högt. Kulan rullar över kanten och slår i golvet.a) Hur långt från bordet träffar den golvet?b) Hur stor hastighet har kulan när den är 40 cm över golvet?

a) I vertikal led faller kulan fritt utan begynnelsehastighet. Vi börjar med att beräkna hur lång tid det tar för kulan att falla till golvet. Fallhöjden y = 0,80 m.

ygt

tyg

= ⇒ = = ⋅ =2

22 2 0 80

9 820 40

,,

,s s

Under denna tid har kulan rört sig i horisontell led med den konstanta hastigheten 3,0 m/s.Den kommer att hamna sträckan x från bordet, där x = v

x · t = 3,0 · 0,40 m = 1,21 m.

Svar: 1,2 m från bordet

b) Vi beräknar på samma sätt tiden för kulan att falla 0,40 m.

ygt

tyg

= ⇒ = = ⋅ =2

22 2 0 40

9 820 285

,,

,s s

Kulans hastighet i y-led är då vy = g · t = 9,82 · 0,285 m/s = 2,8 m/s

Kulans hastighet i x-led är vx = 3,0 m/s.

v v v= + = + =x y

m/s m/s2 2 2 22 8 3 0 4 1, , ,

Svar: 4,1 m/s


Snett kast

Vi kan nu ta itu med ett mer allmänt fall, nämligen att man kastar ett fö-remål snett uppåt eller neråt. Vi tänker oss nu t.ex. en sten som kastas med begynnelsehastigheten v

o i en riktning sådan att vinkeln mot horisontal-

planet är a. Man kallar a för elevationsvinkel (eller kastvinkel). Vi vill studera stenens rörelse i både x-led och i y-led och börjar där-för med att komposantuppdela hastigheten v

o i en horisontell komposant,

vox

och en vertikal komposant voy. Se figuren på nästa sida.

Vi kan då med hjälp av trigonometri uttrycka vox

och voy med v

o och a.

vox

= vo · cos a v

oy = v

o · sin a

Rörelselagarna gäller i x-led och y-led var för sig och vi kan nu ut-trycka såväl läge, hastighet och acceleration i både x-led och y-led, som funktion av tiden t. Vi känner igen dessa uttryck från den första rutan i stycket. Lägg märke till index.

x-led: y-led:Acceleration a

x = 0 a

y = –g

Hastighet vx = v

ox = v

o · cos a

v

y = v

o · sin a – gt

Läge x = vo · cos a · t y v t

gtsin

2o

2

= ⋅ ⋅ −α

Den totala hastigheten v v v= +x y

2 2

Riktningen b i ett visst ögonblick brukar man ange med vinkeln mot horisontalplanet.

v

vtan y

x

=β

Intressanta är följande begrepp:

stigtid: hur lång tid det tar för det kastade föremålet att nå högsta punkten.

stighöjd: den högsta punktens höjd ymax

.

kastvidd: kastlängden xmax

, d.v.s. avståndet i horisontell led från utkast-punkten till nedslagspunkten.

Nedan diskuterar vi dessa och härleder formler. Lär dig härledningarna, men lär dig inte formlerna utantill. Det är viktigt för förståelsen att du kan göra dessa härledningar själv. Vi placerar normalt koordinatsystemet så att kastet sker från origo och vi förutsätter att det kastade föremålet landar på samma höjd som det kastades från. I annat fall kan vi behöva göra förändringar i formlerna.

38

Stigtiden. I den högsta punkten är vy = 0. Vi kan då bestämma tiden till

detta ögonblick med formeln i rutan ovan och sätter voy – gt = 0, d.v.s.

vo · sin a – gt = 0

stigtiden tv

g

sino=⋅ α

Stighöjden. Om vi sätter in stigtiden för t i formeln för läge i y-led, får vi stighöjden (kontrollera de algebraiska räkningarna).

y v tgt v

g

v

g

v

gsin

2

sin sin

2

sin

2max o

2o2 2

o2 2

o2 2

= ⋅ ⋅ − =⋅

−⋅

=⋅

αα α α

Kastvidden. På grund av rörelsens symmetri tar det lika lång tid för det kastade föremålet att nå stighöjden som att falla ner igen, d.v.s. tiden för hela kastet är lika med den dubbla stigtiden.

tv

g

2 sino=⋅ α

Vi sätter in denna tid i formeln för läge i x-led och fårkastvidden x v t v

v

g

v

gcos cos

2 sin 2 sin cosmax o o

o o2

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⋅

=⋅ ⋅

α αα α α

Vi förutsätter här att det kastade föremålet hamnar på samma höjd som det kastades ifrån. Vanligare är ju att ett föremål kastas från en viss höjd och landar på en lägre nivå. Då blir beräkningarna lite svårare, se exempel 1.18.En viktig trigonometrisk formel: 2 · sin a · cos a = sin 2aMed hjälp av denna kan vi förenkla ovanstående uttryck.

Stigtid

tv

g=

⋅o

sinα

Stighöjd

yv

g

sin

2maxo2 2

=⋅ α

Kastvidd

xv

g

sin2max

o2

=⋅ α

vo är begynnelsehastigheten,

a är elevationsvinkeln, g är tyngdaccelerationen”

voy

vox

vy

voy

vx = v

ox

vx = v

ox

stighöjd ymax

kastvidd xmax

x

y

a

a


exempel

Alla formler gäller om vi bortser från luftmotstånd. Vi förutsätter också att utkastet sker från markhöjd. Vi ser då att av uttrycket för kastvidd föl-jer att kastet blir maximalt långt om v

o är så stor som möjligt (det är själv-

klart). Det är extra viktigt eftersom denna faktor förekommer i kvadrat. Vi ser också att sin 2a ska vara så stor som möjligt, d.v.s. 1.sin 2a = 1 ⇒ 2a = 90° ⇒ a = 45°.

Det innebär att ett kast blir maximalt långt om kastvinkeln är 45°, under förutsättning att det kastade föremålet landar på samma höjd som det kastats ifrån.

ExEMpEL 1.17

En person kastar en basketboll snett uppåt med kastvinkeln 50o och med hastig-heten 8,0 m/s. Bestäm bollens hastighet i högsta punkten.

I högsta punkten är hastigheten i vertikal led lika med noll. Bollen rör sig endast horisontellt.Bollens hastighet i x-led är konstant v

x = v

o · cos a = 8,0 · cos 50° = 5,1 m/s

Svar: 5,1 m/s

40

ExEMpEL 1.18

Kalle är ganska lång. Han kan kasta iväg en boll med begynnelsehastigheten 10 m/s, med kastvinkeln 50o och från en punkt 2,8 m över marken.a) Hur länge är bollen i luften?b) Hur långt kommer bollen?

a) Vi låter bollen kastas från origo i ett koordinatsystem. Vi söker tiden då bollen befinner sig i y-koordinaten –2,8 m. Läget i y-led beskrivs av

y v tgt= ⋅ ⋅ −

osinα

2

2

Vi sätter in våra värden och får ekvationen − = ⋅ ⋅ − ⋅2 8 10 50

9 822

2

, sin,

o tt

Vi snyggar till och skriver andragradsekvationen på normalform, vilket ger

t t2 1 56 0 57 0− − =, ,

t = ± +0 78 0 78 0 572, , ,

t1 = 1,87 s t

2 = –0,31 s (orimligt)

Svar: 1,9 s

b) Läget i horisontell led bestäms av x = v

o · cos a · t = 10 · cos 50° ·1,87 m = 12,0 m

Svar: 12 m

Kast med räknarens hjälp

Vi har ju låtit alla våra kast ske i vakuum, vilket inte är så särskilt verklig-hetstroget. I verkliga kast måste man ta hänsyn till mängder av faktorer som kan spela in vid beräkning av kastvinklar, kastvidder, stighöjder mm. Det är naturligtvis luftmotståndet som har störst betydelse och det påver-kas av luftens temperatur, lufttryck, projektilens form och mycket annat. Då kan beräkningar av kastbanor vara enormt besvärliga att utföra. Man kan därför låta datorer med kraftfulla beräkningsprogram utföra dessa. Även utan att ta hänsyn till luftmotståndet kan vi få god hjälp av våra räknare, som inte bara kan göra beräkningarna utan även visa kastbanans utseende.Vi visar med några exempel.


exempel

ExEMpEL 1.19

Ett äpple kastas snett uppåt med hastigheten 12 m/s och med kastvinkeln 25° mot horisontalplanet. Vi bortser från luftmotstånd.a) Hur långt kommer äpplet?b) Hur högt över utgångshöjden kommer äpplet?c) Var befinner sig äpplet efter 2,0 s

Vi känner till de matematiska uttryck som beskriver äpplets bana genom luften. Vi programmerar vår räknare med dessa formler. x- och y-koor-dinaterna är funktioner av tiden t, d.v.s. de är skrivna i parameterform. Vi ställer in räknaren i parameterform (kan väljas under MODE). Under Y= kan vi nu skriva in våra funktioner.X

1T = 12sin(25)T

Y1T

= 12cos(25)T – 9,82T2/2

För att vi ska få en snygg graf måste räknarens fönster ställas in på lämplig storlek, t.ex.

Tmin

= 0 Xmin

= 0 Ymin

= –5T

max = 3 X

max = 15 Y

max = 10

Tstep

= .1 Xscl

= 5 Yscl

= 2

Vi begär GRAPH och får se kastbanan. Med hjälp av TRACE kan vi förflytta oss längs kastbanan och avläsa x- och y-koordinater vid olika tider t.

Svar: a) kastvidden avläses till 11 m b) maxhöjden är 6,0 m c) på höjden 2,1 m och 10 m bort

Man kan på räknaren lätt ändra både utgångsfart och kastvinkel för att kunna studera hur detta påverkar kastbanan.

42

ExEMpEL 1.20

Vi kastar återigen äpplet med 12 m/s men ändrar kastvinkeln till 25°, 35°, 45° och 65°. Vilket kast kommer längst?

För att kunna se samtliga dessa kastbanor, behåller vi våra funk-tioner från exempel 1.19, men lägger också in funktioner X

2T, Y

2T,

X3T

, Y3T

, osv. med de nya vinklarna.Vi begär GRAPH och ser kastbanorna. Med hjälp av TRACE kan vi avläsa de olika kastvidderna.

Svar: Kastet med 45° kastvinkel kommer längst, 14 m.

Kast med luftmotstånd

Då ett föremål rör sig genom en gas eller en vätska påverkas det av brom-sande krafter. Det beror på att föremålet hela tiden kolliderar med gasens eller vätskans molekyler. Det närmare studiet av sådana rörelser är kom-plicerat och hör inte till gymnasiets fysikkurs.Luftmotståndet för en avskjuten projektil beror främst på dess form och hastighet. Man brukar kunna räkna med att den bromsande luftmot-ståndskraften F

lm (N) är proportionell mot hastigheten i kvadrat.

F CA v

lm lm= ⋅ ⋅ ⋅ρ 2

2

där Clm

är luftmotståndskoefficienten (dimensionslös), som beror av pro-jektilens form, A (m2) är dess area vinkelrätt mot rörelseriktningen, r (kg/m3) är luftens densitet och v hastigheten (m/s).För projektiler av olika form gäller ungefär följande värden på C

lm.

Diagrammet visar en databeräkning över kastba-nor med olika värden på luftmotståndet. Projekti-lerna kastas med utgångshastigheten 50 m/s och kastvinkeln a = 45°. Den svarta kurvan visar ett kast utan luftmotstånd. Den blå kurvan visar kastbanan för en mycket liten (diameter ca 1,5 mm) sfärisk kula. Jämfört med den blå kastbanan är luftmotståndet 10 gånger större för den röda kurvan och 100 gånger större för den violetta kurvan.

70

60

50

40

30

20

10

00 50 100

Avstånd (m)

Hö

jd (m

)

150 200 250

Rörelseriktning Clm

Platt 1,14

Kula 0,29

Sfär 0,15

Droppe 0,045

70

60

50

40

30

20

10

00 50 100

Avstånd (m)

Hö

jd (m

)

150 200 250


127. En sten kastas snett uppåt med begynnelsehas-tigheten 4,0 m och kastvinkeln 30°.a) Hur stor är begynnelsehastigheten i x-led?b) Hur stor är begynnelsehastigheten i y-led?

128. En sten kastas rakt horisontellt ut från en 80 m hög klippa. Den hamnar 30 m från klippan. Med vilken hastighet kastades stenen?

129. Linnea kastar sin lilla röda boll i en vacker pa-rabel. I figuren ser vi bollen i tre olika lägen. Markera i figuren med en tydlig pil a, riktningen på bollens acceleration och med en tydlig pil v, riktningen på bollens hastighet i dessa tre lägen.

130. Peter kastar en boll mot en garageport 3,5 m bort. Bollens hastighet är 8,0 m/s och den kastas snett uppåt med en vinkel mot markplanet på 30°. Efter hur lång tid når bollen garageporten? Bortse från luftmotståndet.

131. Erik kastar iväg en golfboll snett uppåt med has-tigheten 12 m/s och i 45° vinkel.a) Hur högt är golfbollen efter 1,5 s?b) Vilken hastighet har golfbollen efter 1,5 s?

Ange även hastighetens riktning.

uppgIfter

132. I ett experiment skjuts en kula iväg rakt ho-risontellt från övre högra hörnet av ett kva-dratiskt rutnät. Efter 1,0 s befinner sig kulan i punkten A i rutnätet.a) Vilken utgångshastighet fick kulan?b) Rita in var kulan befinner sig efter 2,0 s.

Vi bortser från luftmotstånd och vi låter g = 10 m/s2.

133. När man skall lägga en straff i fotboll placeras bollen 11,0 m från mållinjen. En straffläggare skjuter bollen oskruvat, rakt framåt med hastig-heten 22 m/s och i en riktning 30° snett uppåt. Kommer bollen att träffa målet? Målställningen är 2,4 m hög.

134. Vid ett släggkast slungas släggan med hastighe-ten 25 m/s i riktningen 32° snett uppåt i för-hållande till marken. Kastaren släpper släggan på 0,8 meters höjd.a) Hur långt blir kastet?b) Hur stor var släggans högsta höjd över mar-

ken?

135. Rita ett v-t-diagram för en boll som släpps från 1 m höjd och studsar upp till 80 cm höjd.a) Rita kurvan utan hänsyn till luftmotstånd.b) Skissa hur kurvan kan tänkas se ut om vi tar

hänsyn till luftmotståndet.

A

B

C

A

44

KrAFTMoMENT

M = F · lM är kraftmomentet (Nm), F är kraften (N) och l är momentarmen (m).

MoMENTLAGEN

Vid jämvikt är summan av de moment som vrider ett föremål medurs kring någon viss vridningsaxel O, lika med summan av de moment som vrider föremå-let moturs kring denna punkt.

CENTrIpETALACCELErATIoN

avr

rT

rf r4

4c

2 2

22 2 2ω= = π = π =

v är hastigheten i banan (m/s), r är banans radie (m), T är omloppstiden (s), f är frekvensen (Hz) och w är vinkelhastigheten (rad/s)

CENTrIpETALKrAFT

cF m amv

rmr

Tmrf m r

44c

2 2

22 2 2ω= ⋅ = = π = π =

m är föremålets massa (kg), v är hastigheten i banan (m/s), r är banans radie (m), T är omloppstiden (s), f är frekvensen (Hz) och w är vinkelhastigheten (rad/s)

KEpLErS LAGAr

1. Planeterna i vårt solsystem rör sig i ellipser, där solen befinner sig i ellipsens ena brännpunkt.

2. Planeten rör sig i denna ellips med sådan hastighet att en rät linje dragen från planeten till solen sve-per över lika stora areor på samma tid.

3. Om T är planetens omloppstid och r är medelav-ståndet till solen, så är uttrycket

Tr

2

3 konstant för alla planeter.

sammanfattnIng

GrAVITATIoNSLAGEN

Om två föremål med massorna m1 och m

2 befinner sig

på avståndet r från varandras tyngdpunkter så attrahe-ras de av varandra med en kraft F, där

F Gm M

r= ⋅ ⋅

2

G = 6,67 · 10–11 Nm2/kg2 är den universella gravita-tionskonstanten.

KASTrörELSE

x-led: y-led:

Acceleration ax = 0 a

y = –g

Hastighet vx = v

ox = v

o · cos a

v

y = v

o · sin a – gt

Läge x = vo · cos a · t y v t

gtsin

2o

2

= ⋅ ⋅ −α

Den totala hastigheten v v v= +x y

2 2 .

Riktningen a i ett visst ögonblick bestäms ur sam-bandet tanα =

v

vy

x

vo är begynnelsehastigheten (m/s2), v är hastigheten

(m/s2), vx och v

y är hastigheterna i x-led resp. y-led.

a är elevationsvinkeln (kastvinkeln)


135. Kranen lyfter en tunna som väger 200 kg. Hur stort är kraftmomentet från tunnana) med avseende på punkten O?b) med avseende på markfästet?

136. På en gocartbana kör en gocart med konstant fart genom en kurva enligt figuren nedan. Rita med en pil ut riktningen på den resulterande kraften på gocarten.

137. Ett cykelhjul roterar ett varv på 2,0 s. Bestäm hjulets vinkelhastighet.

138. En radiobil på Liseberg i Göteborg väger 205 kg. Man kan köra bilen i högst 7,2 km/h. Ett barn som väger 20 kg och sitter i bilen vill göra en skarp sväng. Hur stor resulterande kraft krävs det för att bilen ska kunna göra en sväng med radien 2,0 m?

139. Spettet AB är 2,0 m långt. Avståndet AO = 1,8 m. Man trycker ner spettet vinkelrätt längst ut i punkten A med kraften 600 N. Man kan då precis nätt och jämnt rubba stenen. Hur myck-et väger den? Vi kan bortse från spettets egen tyngd.

140. Figuren visar en lätt boll som har kastats från vänster. Rita med pilar riktningen på de kraf-ter som verkar på bollen. Eftersom bollen är lätt kan vi inte bortse från luftmotståndet.

141. Ett barn åker barnkarusellen och sitter på en häst. Vilket eller vilka av nedanstående påståen-den om barnet är korrekta?a) Vinkelhastigheten är konstant.b) Accelerationens storlek är konstant.c) Accelerationens riktning är konstant.d) Den resulterande kraften på barnet är noll.

UPPGIFTER

1,8 m600 N

B

O200 Kg

5,0 m

8,0 m

O

46

142. En jämntjock bräda som väger 20 kg vilar med sin ena ände mot en mur. Hur stor kraft krävs för att lyfta brädans andra ände rakt uppåt?

143. Kalle springer över kanten på ett 10 m högt hopptorn rätt ut i luften. Han springer med 4,0 m/s. Hur långt ut i vattnet från hopptornet hamnar han?

144. En tennisspelare slår till bollen med ett hori-sontellt slag från en viss höjd. Bollen hamnar 20 m bort. Hur långt bort hamnar bollen om hon slår ett likadant slag från samma höjd men med dubbelt så hög utgångsfart.

145. Hur stor är vinkelhastigheten för jorden i dess bana runt solen?

146. En pojke står vid kanten av ett stup och kastar en sten rakt ut med hastigheten 8,0 m/s. Hur stor är stenens hastighet efter 2,0 s?

147. En 4,0 m lång planka ligger symmetriskt på ett bord enligt figuren nedan. Plankan väger 16 kg. Hur stor kraft krävs för att välta ned plankan ge-nom atta) lyfta rakt upp i ena änden b) trycka rakt ned i ena änden

148. Fönsterputsaren som väger 60 kg står 1,0 m från kanten på den 6,0 m långa brädan som hänger utefter husväggen i ett rep i varje ände. Brädan väger 20 kg. Bestäm kraften i vart och ett av re-pen.

149. På Tom Tits Experiment i Södertälje finns en horisontell cylinder som man kan gå in i. Cy-lindern sätts sedan i rotation. Därefter sänks golvet i cylindern och besökarna hänger då fast mot väggen. Rita in de tre krafter som verkar på personen på bilden. Om två krafter är lika stora så rita dem med lika långa pilar.

<Bilden stulen. Använd inte den. daniel Gottfridsson

har foton från Tom Tits i Södertälje. Han skickar

ett lämpligt sådant.>2 m

a)

b)

F

F

1 m 5 m


150. I figuren nedan ser vi hur en bil kör in i en ver-tikal loop och kommer ut på andra sidan. Anta att loopen har en diameter på 10 m. Hur hög fart måste bilen minst ha för att kunna klara loopen?

151. Hur långt kommer en sten som man kastar på månen om man kastar med 20 m/s och med kastvinkeln 45°? På månen är tyngdacceleratio-nen 1,62 m/s2.

152. En person håller i en sten som väger 2,5 kg med underarmen utsträckt. Underarmen väger ca 1,5 kg och dess tyngdpunkt är markerad i fi-guren. Med hur stor kraft drar bicepsmuskeln underarmen uppåt?

153. En cirkulär skiva är upphängd friktionsfritt kring en central horisontell axel O. I punkterna A–E på skivan är upphängda vikter enligt fi-guren. Kommer skivan att vara i jämvikt eller kommer den att rotera åt något håll? I så fall medurs eller moturs?

154. Bilden föreställer ett besman. Det är en äldre typ av våg som man kunde hålla i handen. I ena änden av en stång finns en tung vikt och i andra änden en krok där man kan fästa det som man vill väga. Handtaget är skjutbart utefter stången. Förklara närmare hur man kan väga något med en sådan våg.

Bild kommer sedan

155. En bil med som väger 1500 kg kör över ett backkrön med farten 90 km/h. a) Hur stor är centripetalaccelerationen, om

backkrönet har krökningsradien 80 m?b) Hur stor är normalkraften på bilen?

5 cm

15 cm20 cm

Biceps

Underarmenstyngdpunkt

60 g

30 g

80 g

150 g

50 g

C

A

B

D E

O

48

2,0 m

6 m

3 m

UPPGIFTER

156. Jorden har omloppstiden T = 24 h kring sin egen axel. Hur stor är centripetalaccelerationen på ekvatorn?

157. Tarzan jagas av ett vilddjur. Han springer det fortaste han kan, 9,0 m/s. Plötsligt kommer han fram till en ravin, som är mycket djup och 6,0 m bred. På andra sidan är nivån 3,0 m lägre än där han och vilddjuret befinner sig. Tarzan springer rakt ut. Klarar han sig över till andra sidan? Vi tar ingen hänsyn till luftmotstånd.

158. Plankan är 6,0 m lång och väger 16 kg. Den är understödd av två bockar på 0,5 m resp. 2,5 m avstånd från ändarna. Jenny lyfter upp sin hund som väger 5,0 kg på ena änden av plankan en-ligt figuren. Kommer plankan att välta?

159. Lådan är ett rätblock och fylld med träull. Den väger 120 kg. Oskar vill välta lådan. Den kom-mer inte att glida så det är bara att trycka på lådans sida så välter den. Hur stor är den minsta kraft som krävs för detta?

160. På en brygga ligger en 6,0 m lång bräda som väger 50 kg. John och Filip ägnar sig åt en dum lek. De skjuter ut brädan så att den sticker ut i vattnet 2,0 m från bryggkanten. Filip som bara väger 25 kg får sitta längst in på brädan som motvikt, medan John som väger 80 kg vågar gå ut mot andra änden av brädan. Kan han gå allra längst ut utan att brädan välter? Om inte, hur långt ut kan han gå?

161. Utgå från formlerna för läge i både x- och y-led vid ett kast utan luftmotstånd och visa att kastbanan blir en parabel, d.v.s. att y är en an-dragradsfunktion av x.

2,5 m

0,5 m

1,5 m

0,8 m


4000 m

162. a) Man skjuter en kanonkula med hastigheten 500 m/s rakt horisontellt från en höjd på 100 m. Hur långt når den?b) Hur långt kommer kanonkulan om man rik-

tar kanonen 45° uppåt?c) Tankeexperiment: Låt kanonkulan avskjutas

horisontellt. Vilken hastighet skall kulan ha för att den aldrig ska komma ner?

Bortse (ganska orealistiskt) från luftmotstån-det i hela denna uppgift.

163. En person skjuter med luftpistol mot en vägg på 8,00 m avstånd. Kulans utgångshastighet är bara 90,0 m/s. Han håller pistolen 1,20 m över marken och siktar rakt mot en punkt på väggen som befinner sig 4,00 m över marken.a) Hur lång tid tar det innan kulan når väggen?b) Var på väggen träffar han?

164. En kula som väger 220 g är fäst i en 0,80 m lång sytråd. Man svänger runt kulan så att den får ut-föra en konisk pendelrörelse så att tråden bildar vinkeln 30° med lodlinjen.a) Hur stor är spännkraften i tråden?b) Hur stor är omloppstiden?

165. Ett flygplan flyger in i en loop, en vertikal cir-kelbana med diametern 4000 m. Flygplanet har hastigheten 300 m/s. Piloten väger 90 kg. Be-stäm storleken på samtliga krafter som verkar på piloten när flygplanet befinner sig i nedre delen av banan enligt figuren nedan.

166. Stegen väger 15 kg och är 5,0 m lång. Den lu-tar mot en vägg med lutningsvinkeln 60°. Frik-tionskraften mellan stege och husvägg är obe-tydlig, men friktionskraften mellan stegen och marken är ganska stor. Hur stor är den?

UPPGIFTER

167. En gatlykta väger 8,5 kg och hänger längst ut på en stång som är fäst i husväggen i en punkt O. Stången är jämntjock och väger 3,0 kg. Den är också fäst i en wire som går vinkelrätt ut från huset och är fäst i stångens yttersta ände. Vin-keln mellan stången och husväggen är 65°. Hur stor är spännkraften i wiren?

60°

65°

O

50

168. En geostationär satellit är en satellit som har en omloppstid kring ekvatorn på 24 h. För en be-traktare på jorden kan man då finna satelliten på samma ställe på himlen oavsett tidpunkt. Det är lämpligt om man t.ex. vill rikta en para-bolantenn mot denna satellit. Vilken höjd över jordytan ska satelliten befinna sig på?

169. Om jordklotet hade roterat betydligt snabbare kring sin axel skulle alla föremål på ekvatorn kunnat bli avkastade som från en karusell. Hur stor behöver då omloppstiden vara?

170. Man hänger upp en 200 grams vikt i en 2,5 m lång sytråd i taket. Vikten dras ut i sidled vin-keln a och släpps sedan. Vikten får pendla fram och tillbaka. Vilken är den maximala vinkeln a man kan ha utan att tråden går av? Tråden tål kraften 2,6 N.

171. För att underlätta kurvtagningen brukar man dosera vägen i skarpa kurvor. Det innebär att vägbanan får luta en viss vinkel in mot kurvans centrum. Bilen får därmed hjälp med den nödvän-

diga centripetalkraften. Vilken vinkel a ska en kurva med krökningsradien 400 m doseras för att en bil ska klara kurvan även om den håller maximalt tillåten hastighet 90 km/h och vägbanan är så isig att friktionen är obefintlig?

172. En tennisspelare står 6,0 m från nätet. Han slår till en boll (oskruvat) från 2,60 m höjd och med en hastighet av 40,0 m/s och med en vin-kel på 14° riktad snett nedåt. Nätets höjd är 0,92 m. Kommer bollen över nätet?

173. En pojke leker med en trädgårdsslang och håller den alldeles nere vid markytan. Vattnet sprutar ut med hastigheten 8,0 m/s. Han riktar slangen snett uppåt för att kunna spruta vatten på sin syster som ligger och solar i gräset 5,0 m bort. I vilken vinkel ska han rikta slangen? Det finns två svar. Förklara varför.

174. En kulstötare vill försöka slå sitt personliga re-kord, 17,25 m. Han stöter iväg kulan från 2,0 m höjd med vinkeln 45°.a) Vilken hastighet måste han kunna ge den 7,3 kg

tunga kulan för att slå sitt rekord?b) Hur lång skulle stöten bli om han utförde

den på månen?

175. En 16 m hög flaggstång som väger 100 kg ska resas genom att man drar i flagglinan som är fäst högst uppe i stången. Flaggstången är visserli-gen avsmalnande uppåt med högst upp sitter en förgylld knopp som gör att stångens tyngd-punkt finns precis mitt på stången. Bestäm spännkraften i flagglinan i det ögonblick som figuren visar.

176. Anta att jorden är ett perfekt homogent klot med radien 6370 km och med massan 5,97 · 1024 kg. G = 6,67 · 10–11 Nm2/kg2. Jor-dens omloppstid kring sin egen axel är 24 h. Hur många procent lättare känner sig en person som befinner sig på ekvatorn jämfört med om hon befinner sig vid någon av polerna? Inga värden får tas från formelsamlingen.

r = 400 m

a

T

100 g


FUNDERA OCH DISKUTERA ?

7. Per sitter i en bil som kör framåt med ganska hög fart. Han har just ätit upp ett äpple. Han vill kasta ut äppleskrutten ur bilen och får för sig att stoppa ut huvudet genom takluckan och kasta äppleskrutten snett uppåt framåt, d.v.s. i samma riktning som bilen kör (myck-et olämpligt). Är det någon risk att bilen kör på äppleskrutten?

8. Nedan ser vi två olika sätt att staga upp en flaggstång med en lina. I vilket av de båda fal-len är belastningen på linan störst?

9. Bollar som sparkas eller slås till av en racket kan ges olika typer av skruvar. Då kommer de inte att följa kurvan för en kastparabel. Sök på internet och lär dig mer om skruvar. Vad beror egentligen skruveffekten på?

10. Kepler förklarade att planetbanorna kring so-len var ellipser. Hur ser en ellips ut? Vad har den för egenskaper? När är planetens hastig-het som störst, när den är nära solen eller när den är långt ifrån?

11. En bil med dåliga däck kommer åkande på en stor parkeringsplats rakt mot en mur. Plötsligt inser föraren att det är så halt att bilen inte hinner bromsa till stillastående innan den träffar muren. Kan bilen göra en U-sväng is-tället?

1. Läst på internet: Fråga: Varför ramlar inte satelliterna ner? Svar: Gravitationskraften som drar satelliten neråt, motverkas precis av en centrifugalkraft som pressar den utåt.

Kommentera detta svar. Vilket svar skulle du ha lämnat på frågan?

2. Du sitter på passagerarplatsen i en bil när fö-raren plötsligt gör en skarp sväng åt vänster.Du flyger då iväg mot höger dörr. Varför? Vilka krafter verkar på dig i detta ögonblick? Förklara.

3. Vi har klippt ut en triangel i papper. Vi har sedan klippt bort ett stort cirkulärt hål mitt i triangeln. Har vi klippt bort tyngdpunkten?

4. När en motorcykel åker genom en kurva med hög fart måste motorcykeln luta inåt kurvan. Varför är det så? Vilka krafter verkar på motorcykeln i kurvan?

5. Vi har ju sett hur astronauterna som färdas i ett rymdskepp runt jorden, kan sväva fritt i rymdskeppet. Är de viktlösa? Är de tyngdlö-sa? Hur kommer det sig att de kan sväva fritt?

6. Varför brukar raketuppskjutningar ske från platser nära ekvatorn?

52

PROVA SJÄLV

1. En tiokrona väger 6,6 g. Lägg en tiokrona längst ut på din linjal. Skjut linjalen över kan-ten på bordet så att tiokronan hamnar utanför bordskanten och fortsätt att skjuta utåt ända till dess att linjalen precis balanserar på bords-kanten. Försök att avgöra hur mycket linjalen väger.

2. Ta en stor hammare eller helst en slägga och fäst en kraftig linjal med gummiband i ena änden enligt figur. Placera den andra änden av linjalen över en bordskant och låt ham-maren hänga in under bordet. Förklara varför hammaren kan hänga kvar.

3. Se efter om du kan balansera en full läske-drycksburk på den kant som löper längs bott-nen på burken. Drick ur allt utom ca 10 cl. Försök igen. Drick ur alltihop. Försök igen. Förklara.

4. Hur långt kan du kasta en sten? Prova på be-hörigt avstånd så att du inte skadar någon el-ler något. Kasta med olika kastvinklar. Försök att kasta i 45° vinkel. Mät kastvidden. Vilken utgångshastighet har stenen fått?

5. Fäst en ca 1 m lång tråd i ett radergummi och svinga radergummit i en vertikal cirkelbana vid sidan av dig. Hur sakta kan du snurra och ändå hålla tråden spänd hela tiden?

6. Ta en lång linjal eller annat långt föremål och tejpa fast ett mynt i ena änden så att tyngd-punkten inte ligger i mitten. Låt linjalen vila på dina två pekfingrar som du håller så långt ifrån varandra som möjligt. För fingrarna mot varandra. Linjalen glider än mot det ena fing-ret, än mot det andra. Fingrarna möts i någon punkt. Är det tyngdpunkten? Balansera linja-len på ett finger i denna punkt.

7. Väg dig på en personvåg. Lägg dig sedan på golvet med huvudet på vågen, armarna utef-ter sidorna och spänn kroppen så att bara hä-larna är i golvet. Be en kamrat läsa av vågen. Mät avståndet mellan stödjeytorna. Beräkna sedan var du har din tyngdpunkt. Lägg dig på rygg på ett bord. Spänn kroppen så att den är helt rak. Be en kamrat skjuta ut dig över kan-ten med fötterna först. Var har du din tyngd-punkt?


Documents

Impuls fysik 2_smakprov_2012