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GÉNIE DES MATÉRIAUX

Note finale: /25

NOM (en majuscules):_____________________________

PRÉNOM :______________________________

SIGNATURE :______________________________

MATRICULE : _________________

SECTION :

COURSCOURSCOURSCOURS ING1035 ING1035 ING1035 ING1035 ---- MATÉRIAUX MATÉRIAUX MATÉRIAUX MATÉRIAUX

Contrôle N° 1

du 28 septembre 2001

de 8h45 à 10h20

F O R M U L A I R E D E R É P O N S E SF O R M U L A I R E D E R É P O N S E SF O R M U L A I R E D E R É P O N S E SF O R M U L A I R E D E R É P O N S E S

NOTES : ♦ Aucune documentation permise. ♦ Moyen de calcul : calculatrices autorisées seulement. ♦ Les nombres en marge de droite indiquent le nombre de points

accordés à la question. Le total est de 25 points. ♦ Pour les questions nécessitant des calculs, aucun point ne

sera accordé à la bonne réponse si le développement n’est pas écrit.

♦ Utilisez les espaces prévus ou la page opposée pour vos calculs

♦ Le questionnaire comprend 6 pages, incluant les annexes (si mentionnés) et le formulaire général.

♦ Le formulaire de réponses comprend 7 pages. ♦ Vérifiez le nombre de pages de votre questionnaire et de votre

formulaire de réponse.

CORRIGÉCORRIGÉCORRIGÉCORRIGÉ Version révisée

01/10/2001; 12h00

Cours ING1035 MATÉRIAUX Page 2 de 7 Contrôle n°1 du 28 septembre 2001

Sous-total = 5 pts

CORRIGÉCORRIGÉCORRIGÉCORRIGÉ Version révisée 01/10/2001; 12h00

1. EXERCICE n° 1 1.a) Module d’Young E du magnésium

Justification :

1.b) Limite proportionnelle d’élasticité Re du magnésium Justification :

1.c) Limite proportionnelle d’élasticité Re0,2 du magnésium. Justification :

1.d) Résistance à la traction Rm du magnésium Justification :

1.e) Allongement permanent A après rupture Justification :

L’allongement permanent après rupture A est égal à la déformation totale At de l’éprouvette à laquelle on retranche la déformation élastique Ae qui existait juste avant la rupture et qui disparaît après rupture, puisque la déformation élastique est réversible et disparaît si la contrainte est supprimée.

Ici, At = 9,9/63,5 = 0,1559 = 15,59 %. La déformation élastique Ae est donnée par la loi de Hooke : Ae = σσσσ/E, où σσσσ est la contrainte à la rupture de l’éprouvette, donc celle correspondant à une force F = 12 500 N. Ae = [12 500/(61,12x10-6)]/[38,6x109] = 0,0053 = 0,53 %

Valeur de A = (At – Ae) = (15,59 – 0,53) % = 15,06 %

Re est la contrainte correspondant à 0,2 % de déformation plastique permanente, donc celle qui correspond à la force F = 7 430 N.

Re = F/S0, S0 étant la section droite de l’éprouvette. S0 = (3,2x19,1) mm2 = 61,12x10-6 m2

Valeur de Re = (7 430/(61,12x10-6)) MPa = 121,5x106 MPa. = 121,5 MPa

Par définition E = σ/εσ/εσ/εσ/ε dans le domaine élastique. Ici la déformation est élastique jusqu’à une force F = 7 430 N, donc pour une contrainte σσσσ = F/S0, S0 étant la section droite de l’éprouvette. S0 = (3,2x19,1) mm2 = 61,12x10-6 m2 Donc σσσσ = (7 430/(61,12x10-6)) MPa = 121,5x106 MPa. = 121,5 MPa

La déformation εεεε correspondant à cette contrainte est égale à ∆∆∆∆l/l0, avec l0 = 63,5 mm. Ici ∆∆∆∆l = (63,7 – 63,5) mm = 0,2 mm. Donc εεεε = 0,00315

Valeur du module E = σ/εσ/εσ/εσ/ε = (121,5x106 MPa)/(3,15x10-3) = 38,6 GPa

Re = 121,5 MPa

(1 pt)

(1 pt)

Rm = 236,1 MPa (1 pt)

A = 15,06 (1 pt)

E = 38,6

(1 pt)

Re0,2 est la contrainte où apparaît la déformation plastique permanente, donc celle qui correspond à la force F = 9 100 N, pour laquelle est apparu un allongement permanent de 0,127 mm, donc une déformation εεεε = 0,127/63,5 = 0,002 = 0,2 %

Valeur de Re0,2= (9 100/(61,12x10-6)) MPa = 148,8x106 MPa. = 148,8 MPa

Rm est la contrainte maximale atteinte durant l’essai de traction ; elle correspond à la force maximale Fmax = 14 430 N.

Valeur de Rm = Fmax/S0 = [14 430/(61,12x10-6)] MPa = 236,1x106 MPa. = 236,1 MPa

Re0,2 = 148,8 MPa


Sous-total = 3 pts


1.f) Énergie élastique wél emmagasinée dans l’éprouvette à Re0,2 Justification :

1.g) Propriétés améliorables Cochez les cases appropriées et justifiez vos choix : Justification :

2. Exercice n° 2 2.a) Rayon de courbure du micro-défaut le plus sévère.

Justification :

E Re0,2 Rm A

X X

Quand la limite conventionnelle d’élasticité est atteinte, l’énergie élastique, emmagasinée par unité de volume du

matériau, est égale par définition à : Wél = ½σεσεσεσε = ½ Re0,2εεεε = ½( Re0,2)2/E = ( )( )9

26

106,38108,148

21

xx = 286,6 kJ/m3

Dans l’éprouvette de traction de volume V0 = l0S0 = (61,12x10-6)x(63,5x10-3) = 3,881x10-6 m3, l’énergie élastique wél emmagasinée est égale à : wél = V0Wél

Une fois le matériau choisi, le module d’Young en est fixé puisque ce module dépend de la nature des atomes et des liaisons atomiques qui s’établissent. On ne peut donc modifier le module d’Young d’un matériau donné.

Ici, comme le magnésium est polycristallin, on peut améliorer sa limite conventionnelle d’élasticité Re0,2 et sa résistance à la traction Rm en ayant des grains plus fins. C’est la méthode d’affinement des grains.

On peut aussi améliorer la limite conventionnelle d’élasticité Re0,2 et la résistance à la traction Rm en faisant une déformation plastique préalable( par laminage par ex.). C’est la méthode d’écrouissage. Toutefois, cette méthode entraîne une diminution de la ductilité, donc de l’allongement A après rupture.

La résistance théorique à la traction Rth du verre est approximativement égale à E/10, Rth = 70/10 GPa = 7 GPa = 7 000 MPa.

Si Kt est le facteur de concentration de contrainte associé au défaut le plus sévère, on a la relation suivante : Kt = Rth/Rm (1) où Rm est la résistance réelle à la traction du verre.

Le micro-défaut étant de forme semi-elliptique, la valeur de Kt qui lui est associée est égale à : ra21+ (2)

En combinant les équations (1) et (2), on obtient ainsi la valeur du rayon de courbure r du défaut le plus sévère qui a une profondeur a = 1 µm :

2

m

th

21

R2Rar

−= = 0,298 nm ≈ 0,3 nm

(1 pt) wél = 1,11 J

(1 pt)

(1 pt) r = 0,3 nm


Sous-total = 6 pts


2.b) Force de rupture et endroit de celle-ci. Justification :

2.c) Famille de systèmes de glissement de l’aluminium. Justification :

2.d) Système particulier de glissement de l’aluminium. Identifiez bien les éléments de ce système :

2.e) Endroit où débute la déformation plastique. Justification :

Selon le plan donné, on peut en déduire le diamètre d de la pièce : d = D - 2h = (50 -10) mm = 40 mm. Le coefficient de concentration de contrainte Kt, associé au changement de section (d D) est trouvé sur le graphique fourni en annexe pour les valeurs : r/d = 4/40 = 0,1 et h/r = 5/4 = 1,25. En faisant une extrapolation linéaire entre les courbes h/r = 1 et h/r = 2, on trouve Kt = 1,66 Dans le changement de section (région B), la contrainte locale σσσσloc atteint la résistance à la traction du verre Rm au moment de la rupture de la pièce; on peut donc écrire les relations suivantes :

mnomtloc RK ≥σ=σ et SF

nom =σ

En combinant ces deux relations, on obtient : ( ) ( ) kN 45,4

66110x2010x60

KSRF

236

t

m =π=≥−

,

Le glissement cristallographique se produit sur les plans de plus forte densité atomique et selon les directions de plus forte densité atomique contenues dans ces plans. Dans le cas de la structure cristalline cubique à faces centrées (CFC), ce sont donc les plans de type { }111 et les directions de type 110 .

Voici un exemple de système particulier de glissement, constitué du plan ( )111 et de la direction [ ]011 .

La déformation plastique débutera à l’endroit où la contrainte locale est la plus élevée, c’est-à-dire dans la région de concentration de contrainte B où il ay changement de section d D.

(3 pts)F = 45 400 N

Endroit : B

(1 pt) { }111 110

x

y

z

(1 pt)

(1 pt) B


Sous-total = 6 pts


2.f) Force pour laquelle apparaît le glissement cristallographique du monocristal. Justification :

2.g) Force pour laquelle apparaît la déformation plastique irréversible du polycristal.

3. Exercice n° 3 3.a) Réseau de Bravais du composé

Justification :

3.b) Motif associé au réseau de Bravais du composé Encerclez d’un seul trait l’ensemble des atomes constitutifs du motif et justifiez votre réponse :

Quand la déformation plastique apparaît dans la région B, la cission locale ττττloc agissant sur le système de glissement activé est alors égale à la cission critique ττττ*. D’après la loi de Schmid, on en déduit que : ττττloc = ττττ* = σσσσloccosθθθθcosχχχχ = = = = 0,5 MPa (1) Il faut déterminer la valeur des angles θθθθ et χχχχ associés aux systèmes de glissement du plan ( )111 , où les directions possibles de glissement sont les directions [ ]011 ou [ ]011 . Par des relations géométriques simples, on montre que :

31=χcos et 21=θcos . En portant ces valeurs dans l’équation (1) ci-dessus, on en déduit la contrainte locale : σσσσloc = ττττ*/cosθθθθcosχχχχ = = = = 3250, MPa = 1,225 MPa Puisque la contrainte nominale σσσσnom = σσσσloc/Kt = F/S, on en déduit la force F = σσσσnomS = σσσσlocS/Kt

(2 pts)F = 926,8 N

Si la pièce est faite d’aluminium polycristallin, la contrainte locale dans la région B entraînant l’apparition de la déformation plastique irréversible est égale à : σσσσloc = Re = 2ττττ* = 1 MPa Puisque la contrainte nominale σσσσnom = σσσσloc/Kt = Re/Kt = F/S0, on en déduit la force F = σσσσnomS0 = ReS0/Kt Avec les valeurs connues des variables, on obtient F = 756,6 N

(2 pts)F = 756,6 N

(1 pt) Réseau = Cubique simpleLe réseau de Bravais est défini par les atomes d’or (Au). C’est donc un réseau cubique simple (CS).

Le nombre d’atomes en propre à la maille est le suivant : Au : 8x(1/8) = 1 Cu : 6x(½) = 3 Le motif doit refléter dette proportion des atomes en propre. Il est donc constitué de un (1) atome d’or et de trois (3) atomes de cuivre. Ci-contre, un groupe d’atomes constituant le motif est encerclé

Au

Cu

x

y

z

(1 pt)


Sous-total = 3 pts


3.c) Plan ( )011 Tracez le plan dans la maille ci-contre

Le plan est tracé en bleu clair sur la figure ci-contre

3.d) Densité surfacique de Cu et de Au dans le plan ( )011 Justification :

3.e) Densité linéique de Cu et de Au le long de la direction 112

Justification :

Densité (at/nm2)

Cu 4,78

Au 4,78

Densité (at/nm)

Cu 1,06

Au 1,06

D’après la figure ci-dessus, on en déduit le nombre d’atomes en propres appartenant à la maille plane élémentaire du plan.: Au : 4x(¼) = 1 Cu : 2x(½) = 1 La surface de la maille S est égale à 2a2aa 2=. Il faut déterminer le paramètre a de la maille sachant que les atomes d’or et de cuivre se touchent selon les directions de type 110 , diagonales des faces de la maille . On a donc :

( )AuCu r2r22a += = 2(0,128 + 0,144) = 0,544 nm

Le paramètre a de la maille est égal à : 25440a ,= = 0,3847 nm La densité ds surfacique d’atomes d’or ou de celle d’atomes de cuivre est donc égale à : ( )22

s 38470212a1d ,== = 4,78 at/nm2

(1 pt)

(1 pt)

(1 pt)

La direction <112> est représentée à la figure ci-dessus (question 3.c). La disposition des atomes le long de cette direction est représentée ci-contre.

La longueur de référence l est telle que ( ) ( ) 2222 a62aa2l =+=

Donc 6al = Comme il y a un atome en propre d’or et un atome en propre de cuivre appartenant à cette longueur l de référence, la densité linéique dl d’atomes est égale à :

6a1dl = = 1,06 at/nm

Au

Cu

x

y

z [112]


Sous-total = 2 pts Total : 25 pts


3.f) Compacité C du composé Justification :

3.g) Masse volumique théorique ρρρρ du composé Justification :

Nombre d’atomes appartenant en propre à la maille : Au : 8x(1/8) = 1 atome Cu : 6x(½) = 3 atomes Par définition, la compacité C est le rapport du volume Vat des atomes en propre au volume V de la maille :

( ) ( )

=+π

=+π

=+== 3

33

3

3Cu

3AuCuAu

at 0,3847

1280x3144034

a

r3r34

VV3VVVC

,, 0,686 = 68,6 %

(1 pt) C = 68,6 %

Nombre d’atomes appartenant en propre à la maille : Au : 8x(1/8) = 1 atome Cu : 6x(½) = 3 atomes Par définition, la masse volumique théorique ρρρρ est le rapport de la masse M des atomes en propre au volume V

de la maille :

( ) =+=+

=+

== 37-233A

CuAuCuAu

0,3847x10x6,02x105463x3197

aNA3A

Vm3m

VMC , 11,37 g/cm3

(1 pt) ρρρρ = 11,37 g/cm3

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