Ing_Control_I_Cap_4

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE INGENIERA ELCTRICA Y ELECTRNICA Control Digital

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M.Sc. Ral Benites Saravia

43

Captulo 4

Control ptimo

4.1 Introduccin

El objetivo del Control ptimo es el de determinar una ley de control ptima u que

minimice la funcin de costo J. En la mayora de los casos, sin embargo, la bsqueda de la

funcin de costo involucra procedimientos de error y correccin; esto significa que no

siempre podremos estar seguros acerca de la forma exacta que debera poseer la funcin de

costo. Es importante indicar que un sistema de control que es ptimo bajo un ndice de

desempeo es, en general, no ptimo bajo otra funcin de costo o ndice de desempeo.

El problema de optimizacin de un sistema de control se puede formular si se

cuenta con la siguiente informacin:

a) Ecuaciones del sistema b) Vectores de control permitidos c) Restricciones en el problema d) Funcin de costo o ndice de desempeo e) Parmetros del sistema

La solucin de un problema de control ptimo consiste en determinar el vector de control

ptimo u(k) que depende de:

a) La naturaleza de la funcin de costo b) La naturaleza de las restricciones c) El estado inicial o la salida inicial d) El estado deseado o salida deseada

En general, una solucin analtica es muy complicada, por lo que debe usarse la

computadora. En tal sentido podemos decir que el diseo de sistemas de control ptimo es

fundamentalmente un problema computacional.

Para sistemas de control discretos, la funcin de costo generalmente posee la forma

siguiente:

N

k

kukrkxLJ0

)1.4())(),(),((

donde:

k = tiempo discreto; N = tiempo discreto final; x(k) = vector de estado;

r(k) = vector de referencia; u(k) = vector de control ptimo (denominada tambin fuerza

o seal de control).



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44

Para aplicaciones prcticas, el vector de control u debe estar siempre acotado.

4.2 Regulador ptimo Cuadrtico Estacionario

En el control ptimo cuadrtico estacionario, la dinmica de control evoluciona hasta un

tiempo N infinito, por consiguiente, la ganancia del controlador es una matriz constante

K.

Funcin de costo:

)2.4()()()()(2

1

0

k

TT kuRkukxQkxJ

donde:

Q : matriz Hermtica (o matriz real simtrica) definida positiva (d.p.) o semidefinida

positiva (s.d.p) de n x n

R : matriz Hermtica (o matriz real simtrica) definida positiva (d.p.) de r x r

Las matrices Q y R se seleccionan convenientemente para ponderar la importancia relativa

del vector de estado x(k) y del vector de control u(k), respectivamente.

Una condicin necesaria para aplicar el control por realimentacin de estados es que

el proceso sea completamente controlable; adems, sea completamente observable (todos

los estados deben estar disponibles o medibles). Si existieran estados que no pudieran

medirse directamente, ser necesario estimarlos por medio de un estimador u observador de

estados.

Ecuacin de Riccati en estado estacionario:

)3.4(][ 1 PGHPHHRPHGPGGQP TTTT

La ecuacin de Riccati en estado estacionario viene dada por:

)4.4()(])([)()()1( 1 GkPHHkPHRHkPGGkPGQkP TTTT

Matriz de ganancia del controlador:

)5.4(][ 1 PGHPHHRK TT



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45

Ley de control ptima: )6.4()()( kxKku

Funcin de costo mnima:

)7.4()0()0()0(2

1min xPxJ

T

El diagrama de bloques del sistema de regulacin ptima de estado estacionario se

representa en la figura 4.1, en donde se asume que todos los estados se encuentran

disponibles. Para operacin satisfactoria del sistema de lazo cerrado mostrada en dicha

figura, todas las races de su ecuacin caracterstica:

)8.4(0]det[ HKGzI

deben posicionarse dentro del crculo unitario.

Se puede apreciar que en esta seccin y en la anterior, la ley de control u(k) slo

depende de la matriz de ganancia del controlador y del estado x(k), por consiguiente

estamos en el caso del sistema regulador ptimo.

Pasos de Diseo:

1. Verificar controlabilidad del proceso discreto

HGGHHM n 1

Si nMRango , entonces el proceso es completamente controlable (CC), luego

proseguir con el siguiente paso.

2. Elegir matrices de ponderacin deseadas Q y R.

x(k) u(k) H

-K

Iz-1

G

Figura 4.1: Sistema de control ptimo a lazo

cerrado.



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______________________________________________________________________


46

3. Resolver la ecuacin reducida de Riccati en su forma recursiva:

GkPHHkPHRHkPGGkPGQkP TTTT )(])([)()()1( 1

4. Determinar la matriz ganancia del controlador ptimo, considerando el valor estacionario de P(k+1), es decir P = P(k+1):

PGHPHHRK TT 1][

4.3 Diseo del Observador ptimo Cuadrtico

Cuando tan slo se pueden medir en forma directa algunas de las variables del vector de

estado, entonces es necesario estimar dicho vector de estado x(k), es decir obtener un vector

de estado estimado )( kx . En el diseo del estimador u observador de estados discreto se

calcula su matriz de ganancia Ke, que permite la obtencin de la seal de control u(k). En

un sistema prctico es necesario observar o estimar las variables de estado no medibles a

partir de las variables de salida y las de control. En la figura 4.2 se muestra el diagrama de

bloques del observador de estados discreto, donde:

Ke : Matriz de ganancia de realimentacin del observador con dimensin n x m.

C : Matriz de salida de dimensin m x n.

)( kx : Vector de estado estimado de dimensin n.

)( ky : Vector de salida estimado de dimensin m.

de donde se pueden escribir las siguientes ecuaciones del proceso

)10.4()()(

)9.4()()()1(

kxCky

kuHkxGkx

y del observador

)11.4()](~)([)()(~

)](~)([)()(~)1(~

kxCkyKkHukxG

kykyKkHukxGkx

e

e

Al observador o estimador de estados se le denomina tambin observador de prediccin

porque el estimado )1(~ kx est un perodo de muestreo delante de la medicin y(k)



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47

Ecuacin de error del observador:

Restando la ecuacin (4.11) de la ecuacin (4.9) se obtiene la siguiente ecuacin de error

del observador:

)12.4()(][)1( keCKGke e

donde

)13.4()()()( kxkxke

Ecuacin caracterstica:

La estabilidad del observador se determina resolviendo la siguiente ecuacin caracterstica:

)14.4(0]det[ CKGzI e

Las races de la ecuacin caracterstica deben posicionarse dentro del crculo unitario para operacin satisfactoria del observador.

Ke debe ser escogida apropiadamente para que el error tienda a cero.

El proceso debe ser completamente observable, condicin que se consigue aplicando el criterio de observabilidad.

)(~ kx )(~ ky +

+

+

+

+

+

-

+ u(k) )(kx

)(~ kx

H z-1

I C

G

H z-1

I C

G

Ke

Figura 4.2: Diagrama de bloques del observador de estados.

)(ky

Observador de estados



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48

Ecuacin de Riccati:

)15.4(][ 1 TeT

ee

T

e

T

eee GCPCCPRCGPGGPQP

Para determinar Pe aplicamos el mismo procedimiento empleado para calcular P, dada en la

ecuacin (4.4) pero con la inversin en la direccin del tiempo y efectuando las siguientes

modificaciones:

)16.4(;; TeTT KKCHGG

obtenindose

)17.4()(])([)()()1( 1 TeT

ee

T

e

T

eee GkCPCkCPRCkGPGkGPQkP

Matriz de ganancia Ke:

)18.4(][ 1 TeT

eee GCPCCPRK

Regla prctica: Para el caso del observador de estados, las matrices de ponderacin Re y Qe deben ser

elegidas de tal forma que la respuesta del observador sea dos o tres veces ms rpida en

comparacin con la respuesta del proceso. Generalmente para que esto ocurra, los

elementos de Re deben ser bastantes menores que los elementos de Qe.

Pasos de Diseo:

5. Verificar observabilidad del proceso discreto:

TnTTTTTn CGCGCCGCGCN 11 )(

Si nNRango , entonces el proceso es completamente observable (CO), luego

proseguir con el siguiente paso.

6. Elegir matrices de ponderacin deseadas Qe y Re.

7. Resolver la ecuacin reducida de Riccati en su forma recursiva:

T

e

T

ee

T

e

T

eee GkCPCkCPRCkGPGkGPQkP )(])([)()()1(1

8. Determinar la matriz ganancia del observador ptimo, considerando el valor estacionario de Pe(k+1), es decir Pe = Pe(k+1):

T

e

T

eee GCPCCPRK1][



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49

Ejemplo 4.1: Disee un observador de estados ptimo para el proceso del motor D.C.,

cuyas ecuaciones de estado y de salida vienen dadas por:

a

aa

b

a

a

e

L

x

J

b

J

K

L

K

L

R

x

x

x

0

0

1

0

100

0

3

2

1

3

2

1

010

x

x

x

y

Los estados observados o estimados deben ser x1, x2 y x3.

Solucin

La solucin se encuentra en el programa ejem4_1.m, que se presenta a continuacin:

% Ejemplo 4_1 (OBSERVADOR OPTIMO)

clear all

J = 0.01; b = 0.1; K = 0.01; Kb = 0.01; Ra = 1; La = 0.1;

A = [-Ra/La 0 -Kb/La; 0 0 1; K/J 0 -b/J];

B = [1/La;0;0];

Cc = [0 0 1]; Dc = [0];

T = 0.05; % Perodo de muestreo

% Discretizacin

[G,H,C,D] = c2dm(A,B,Cc,Dc,T,'zoh');

% Matrices de ponderacin del observador

Pe =zeros(3,3); % condicion inicial

Qe = [1 0 0;0 1 0;0 0 1]; Re = [1]; % Igual peso para todos

for k=1:40

Pe = Qe + G*Pe*G' - G*Pe*C'*inv(Re + C*Pe*C')*C*Pe*G';

pe11(k) = Pe(1,1); pe21(k) = Pe(2,1); pe31(k) = Pe(3,1);

end

t = linspace(0,length(pe11),length(pe11));

plot(t,pe11,t,pe21,'--',t,pe31,'-.');

xlabel('Muestras k');

ylabel('Algunos elementos de Pe'); grid

text(5,1.42,'Pe(1,1) : - ')

text(20,0.1,'Pe(2,1) : - -')

text(10,0.1,'Pe(3,1) : - .')

%print -deps -f ejem4_2

% Ganancia del observador

Ke = inv(Re + C*Pe*C')*C*Pe*G';



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50

La evolucin de algunos de los estados observados se presenta en la figura 4.3

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Muestras k

Alg

unos e

lem

ento

s d

e P

e

Pe(1,1) : -

Pe(2,1) : - -Pe(3,1) : - .

4.4 El Controlador ptimo para Sistemas de Seguimiento en estado

estacionario

En el diseo de sistemas de seguimiento, es decir sistemas en el que la salida sigue a una

referencia deseada, es necesario indicar que se debe conocer los valores propios de la planta

o proceso, permitindonos averiguar si la planta tiene integrador. Dependiendo de ello se

pueden aplicar cualquiera de los dos siguientes casos:

4.4.1 El Controlador ptimo Proporcional Estacionario

El controlador ptimo es un sistema de control realimentado, en donde la salida controlada

sigue a una seal de referencia r(k) = r (funcin escaln), es decir estamos considerando un

sistema de seguimiento. Restringiremos nuestro tratamiento a sistemas univariables. Esta

estructura slo es aplicable a procesos que poseen un comportamiento integral.

Figura 4.3: Resultados grficos para Pe(1,1): ( - ),

Pe(2,1): ( - - ) y Pe(3,1): (- . ).



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51

La figura 4.4 muestra el esquema de un controlador para la variable de estado x2,

empleando una ley de control de realimentacin de estados que involucra a la matriz de

ganancia del controlador, la referencia y la seal de salida. De dicha figura, considerando

como salida al estado x2(k) se obtiene la siguiente ley de control:

)19.4()()(

)(

)(

)(

)(

)(

)]()([)()()()(

2

23

2

1

321

223311

krkkxK

krk

kx

kx

kx

kx

kkkk

kxkrkkxkkxkkxkku

n

n

nn

Reemplazando la ecuacin (4.19) en (4.9) se obtiene:

)20.4()()()(

)()()1(

2 krkHkxHKG

kHukGxkx

Aplicando la transformada z a la ecuacin (4.20), y considerando condiciones iniciales

nulas, se obtiene la siguiente solucin de la ecuacin de estado en trminos de z:

+ u(k)

x(k)

r(k) y(k) = x2(k)

+

-

-

k2 x(k+1) = Gx(k)+Hu(k)

k1

k3

kn

C

- -

Figura 4.4: Esquema del regulador ptimo proporcional.



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52

)21.4()()()( 21 zrkHHKGzIzx

Reemplazando esta ltima ecuacin en la expresin de la salida, tenemos:

)22.4()()()()( 21 zrkHHKGzICzCxzy

Para obtener la salida en estado estacionario, como respuesta a una referencia escaln

unitario, aplicamos la propiedad del valor final

)23.4()(

)(1

lim)(lim

2

1

1

kHHKGzIC

zyz

zky

zk

Para un perfecto seguimiento, la salida y = 1 (escaln unitario), condicin que debe

cumplirse si C(zI-G+HK)-1

Hk2 =1.

Por conveniencia, las matrices R y Q deben tomar la forma diagonal, as:

np q

q

q

Q

r

r

r

R

00

00

00

;

00

00

00

2

1

2

1

donde:

Los elementos r1, r2,..., rp deben ser todos positivos para que R sea una matriz simtrica definida positiva (d.p.).

Los elementos qi deben ser positivos y algunos de ellos nulos para que Q sea una matriz simtrica semidefinida positiva (s.d.p.).

Cada elemento qi ri dar un peso correspondiente a cada variable de estado xi o a

cada seal de control ui, respectivamente. El criterio para escoger los pesos est en relacin

con la importancia que le demos a cada variable o seal en cuestin.

Los pasos de diseo para determinar la matriz ganancia del controlador ptimo son

los mismos que para el caso regulador.

Ejemplo 4.2: Considere el modelo del motor D.C. del ejemplo 4.1. Disee el controlador

ptimo cuadrtico estacionario que estabilice la posicin angular del eje del motor a 45,

considerando los siguientes parmetros del proceso:

J = 0.01 Kg-m2/s2, b = 0.1 N-s/m, k=kb = 0.01N-m/A, Ra = 1 ohmio, La = 0.1H.



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53

Solucin

Reescribamos las ecuaciones de estado y de salida del proceso:

)24.4(

0

0

1

0

100

0

3

2

1

3

2

1

a

aa

b

a

a

e

L

x

x

x

J

b

J

k

L

k

L

R

x

x

x

)25.4(010

3

2

1

x

x

x

y

Averigemos si la planta tiene integrador. Para tal propsito calculemos la ecuacin

caracterstica:

)26.4(0))((

0

0

10

0

baa

a

b

a

aa

b

a

a

kkbJssLRs

JL

kk

J

bs

L

Rss

J

bs

J

ks

L

k

L

Rs

AsI

Se puede observar que la planta tiene integrador, por consiguiente, disearemos un

controlador ptimo proporcional estacionario.

Debido a que estamos controlando la posicin angular del eje del motor, que

constituye la variable de estado x2, entonces la ley de control viene dada por

)27.4()()()( 2 krkkxKku

y la salida del proceso controlado es:

)28.4()()()( 2 kxkxCky

Las matrices de ponderacin elegidas son:

1.0;1.000

02000

001.0

RQ



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54

con lo que ponderamos con 200 al estado x2 y con 0.1 a la seal de control u.

El programa para este ejemplo se denomina ejem4.2.m, que a continuacin se

presenta:

% ejem4.2.m

clear all

J = 0.01; b = 0.1; K = 0.01; Kb = 0.01; Ra = 1; La = 0.1;

A = [-Ra/La 0 -Kb/La; 0 0 1; K/J 0 -b/J];

B = [1/La;0;0];

Cc = [0 1 0]; Dc = [0];

% Controlabilidad y Observabilidad

M = [B A*B A^2*B]; N = [Cc' A'*Cc' A'^2*Cc'];

% rank(M) = rank(N) = n = 3 => c.c y c.o.

T = 0.05;

% Discretizacin


% Matrices de ponderacin

Q = [0.1 0 0;0 200 0;0 0 0.1]; R = [0.1];

% Ganancia Optima K y matriz P

[K,P,E] = dlqr(G,H,Q,R); k2 = K(2);

% Correccin de r(k)

g = 1/(C*inv(eye(3)-G+H*K)*H*k2);

% Al correr el programa se obtiene que g = 1,

% entonces no se requiere el factor de correccin

x = [0;0;0]; N = 60; % Condicin inicial

for k=1:N

r = pi/4; % 45 grados

U(k) = -K*x + k2*r;

x = G*x + H*U(k);

y(k) = x(2);

end

% Grficos

t = linspace(0,T*N,N);

subplot(2,1,1)

plot(t,y); ylabel('y (grados)'); grid;

subplot(2,1,2)

plot(t,U); ylabel('U (voltios)'); grid;



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55

xlabel('Tiempo (s)')

%print -deps -f ejem4.2

% Clculo recursivo de la matriz P y K (Pr y Kr)

T = 20; Pr = zeros(3,3);

for i=1:T

Pr = Q + G'*Pr*G - G'*Pr*H*inv(R+H'*Pr*H)*H'*Pr*G;

end

Kr = inv(R + H'*P*H)*H'*P*G;

% Al correr el programa se comprueba que K=Kr y P=Pr

Los resultados al ejecutarse dicho programa se muestran en la figura 4.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

y (

gra

dos)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

10

20

30

U (

voltio

s)

Tiempo (s)

4.4.2 El Controlador ptimo Proporcional Integral

Para procesos que no poseen propiedades integradoras, la inclusin de accin integral en el

sistema de control permite obtener un error estacionario nulo. La figura 4.6 ilustra un

regulador ptimo para sistemas de una entrada y una salida (SISO).

Ecuaciones de estado y de salida del proceso:

Figura 4.5: Salida controlada (y) y la seal de

control (U) del motor D.C.



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56

)30.4()()(

)29.4();()()1(

kCxky

kHukGxkx

Ley de control:

)31.4()()()( kvKkxKku I

Matriz de ganancia del controlador:

)32.4(][ 21 nKKKK

Ecuacin para el integrador:

)34.4()1()()()()1(

)]()([)1()(

)1()1()()1(

)33.4()()()1()(

krkxCHKCGkvCHK

kHukGxCkrkv

kykrkvkv

kykrkvkv

I

Empleando las ecuaciones las ecuaciones (4.29) y (4.31) obtenemos:

)35.4()()()(

)()([)()1(

kvHKkxHKG

kvKkKxHkGxkx

I

I

y de las ecuaciones (4.35), (4.34) y (4.30) deducimos:

Planta con realimentacin del estado

Control integral

y(k) x(k) u(k)

v(k-1)

v(k) r(k)

KI

z-1

I

H z-1

I C

G

K

Figura 4.6: Controlador ptimo proporcional integral



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57

)37.4()(

)(0)(

)36.4()1(1

0

)(

)(

1)1(

)1(

kv

kxCky

krkv

kx

CHKCHKCG

HKHKG

kv

kx

I

I

En estado estacionario (k ), los valores de x(k), u(k) y v(k) toman valores x(), u() y

v(). Entonces la ecuacin (4.36) se convierte en:

)38.4(1

0

)(

)(

1)(

)(r

v

x

CHKCHKCG

HKHKG

v

x

I

I

Si se efecta la siguiente asignacin:

)40.4()()()(

)39.4()()()(

kvvkv

kxxkx

e

e

y se resta la ecuacin (4.38) de (4.36) y se usa las relaciones (4.39) y (4.40) se obtiene:

)41.4()(

)(

)(

)(

1

0

)(

)(

1)1(

)1(

kv

kxKK

CH

H

kv

kx

CG

G

kv

kx

CHKCHKCG

HKHKG

kv

kx

e

e

I

e

e

e

e

I

I

e

e

que finalmente se reescribe como:

I

e

e

KKkKCH

HkH

CG

GkG

kv

kxkkKk

donde

kHkGk

)(~

;)(~

1

0)(

~;

)(

)()(;)(

~)(

:

)42.4()(~

)(~

)1(

La ecuacin de Riccati y la ecuacin de ganancia del controlador K~

son:

)44.4(~~~~~~~~

)43.4(~~~~~~~~~~~~~~~

1

1

GPHHPHRK

GPHHPHRHPGGPGQP

TT

TTTT



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58

Los pasos de diseo para determinar la matriz ganancia del controlador ptimo

proporcional integral son los mismos que para el caso regulador, con la diferencia que las

matrices involucradas, son matrices ampliadas.

Ejemplo 4.3: Considere el modelo del motor D.C., cuyas ecuaciones diferenciales son:

)46.4()()()()(

)45.4()()()(2

2

tdt

dkti

dt

dLtiRte

tiktdt

dbt

dt

dJ

baaaaa

a

Disee el controlador proporcional integral ptimo estacionario que estabilice la velocidad

angular del eje del motor a 1rad/s. Usar los parmetros siguientes: J = 0.01 Kg-m2/s2, b =

0.1 N-s/m, k = kb = 0.01N-m/A, Ra = 1 ohmio, La = 0.1H.

Solucin

Aplicando transformada de Laplace a la ecuacin (4.45), se obtiene:

)47.4()()(

)()(

2

2

sk

bsJssI

skIsbsJs

a

a

Idnticamente, tomando transformada de Laplace a la ecuacin (4.46), se tiene que:

)48.4()()()( ssksIsLRsE baaaa

Reemplazando la ecuacin (4.47) en la (4.48) se obtiene:

)49.4()()( s

k

kkbJssLRssE baaa

La funcin de transferencia del proceso, se obtiene de la ecuacin (4.49), as:

)50.4(

)(

)(

baaa kkbJssLRs

k

sE

s

Finalmente, la funcin de transferencia, considerando como salida a la velocidad angular y como entrada a la tensin aE es:



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59

)51.4(

)(

)(

baaa kkbJssLR

k

sE

s

De esta ltima ecuacin se observa que el proceso no tiene integrador. Si se elige 1x y

aix 2 y se reemplaza en las ecuaciones (4.45) y (4.46) se obtiene:

)53.4(

)52.4(

122

211

xkxLxRe

kxbxxJ

baaa

Despejando 1x y 2x de las ecuaciones (4.52) y (4.53) respectivamente, se tiene que:

)55.4(1

)54.4(

212

211

a

aa

a

a

b eL

xL

Rx

L

kx

xJ

kx

J

bx

Escribiendo matricialmente las dos ltimas ecuaciones, tendremos

)56.4(10

2

1

2

1

a

a

a

a

a

b

e

Lx

x

L

R

L

kJ

k

J

b

x

x

Como la salida es la velocidad angular, entonces su representacin matricial es:

)57.4(012

1

x

xy

Por consiguiente se ha de disear un controlador ptimo proporcional integral, cuyo

programa (ejem4_3.m) se presenta a continuacin:

% ejem4.3

clear all

J = 0.01; b = 0.1; K = 0.01; Kb = 0.01; Ra = 1; La = 0.1;

A = [-b/J K/J

-Kb/La -Ra/La];

B = [0;1/La];

Cc = [1 0]; Dc = [0];

% Verificar controlabilidad y observabilidad

M = [B A*B]; N = [Cc' A'*Cc'];

% rank(M)=rank(N)= n = 2



_________________________________________________________________________

______________________________________________________________________


60

% Perodo de muestreo

T = 0.05;

% Discretizacin


Gtilde = [G zeros(2,1)

-C*G eye(1,1)]; % orden n+1=4

Htilde = [H

-C*H];

% Matrices de ponderacin

Q = [1 0 0;0 0.1 0;0 0 2]; R = [0.01];

% Ganancia del controlador ptimo

[Ktil,Ptil,E] = dlqr(Gtilde,Htilde,Q,R); % Ktil:

K = [Ktil(1) Ktil(2)]; KI = -Ktil(3);

x = [0;0]; yi=0; v=0; % Condiciones iniciales

NN = 60; r=1;

% Respuesta al escaln r = 1

for k=1:NN

v = v + r - yi;

Ea(k) = -K*x + KI*v;

x = G*x + H*Ea(k);

y(k) = x(1); yi = y(k);

end

% Grficos

t = linspace(0,T*NN,NN);

subplot(2,1,1)

plot(t,y); ylabel('y (rad/s)'); grid;

subplot(2,1,2)

plot(t,Ea); ylabel('Ea (voltios)'); grid;


%print -deps -f ejem4_4

% Clculo recursivo de la matriz Ptilde y clculo de Ktilde

T = 15; Ptilde = zeros(3,3);

for i=1:T

Ptilde = Q + Gtilde'*Ptilde*Gtilde - Gtilde'*Ptilde*Htilde*...

inv(R+Htilde'*Ptilde*Htilde)*Htilde'*Ptilde*Gtilde;

end

Ktilde = inv(R + Htilde'*Ptilde*Htilde)*Htilde'*Ptilde*Gtilde;

% Se verifica que Ktil=Ktilde y Ptil=Ptilde



_________________________________________________________________________

______________________________________________________________________


61

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

y

(ra

d/s

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 37

8

9

10

11

Ea

(vo

ltio

s)

Tiempo (s)

4.5 Pautas para el Diseo e Implementacin en tiempo real

Las pautas a considerarse en el diseo e implementacin de un sistema de control ptimo

cuadrtico pueden sintetizarse en los siguientes pasos:

1. Formulacin del problema (considerar especificaciones de diseo). 2. Determinar el modelo matemtico del proceso a controlar, para ello debe

determinarse si es completamente controlable y completamente observable.

3. Calcular la matriz de ganancia ptima K~

del controlador.

4. Calcular la matriz de ganancia ptima eK~

del observador.

5. Simular el sistema de control ptimo cuadrtico diseado. 6. Implementar el hardware del sistema. 7. Implementar el software del sistema. 8. Efectuar pruebas de funcionamiento. Si los resultados experimentales no son

satisfactorios, entonces deber revisar el modelado del proceso y/o el diseo

del controlador. Muchas veces, una mala conexin en la parte circuital

(hardware) o una incorrecta programacin (software), producen resultados

no deseados. Finalmente, luego de corregir los errores (en caso que los

hubiera), las pruebas finales deben ser satisfactorias.

Figura 4.7: Resultados grficos de la salida y y la

seal de control Ea.



_________________________________________________________________________

______________________________________________________________________


62

4.6 Diseo e Implementacin en Tiempo Real del Control ptimo

Cuadrtico del Pndulo Invertido

Dado el proceso pndulo invertido, conformado por una varilla montada en un carro

impulsado por un servomotor D.C. controlado por voltaje de armadura, se desea disear un

servocontrolador que sea capaz de mantener el pndulo invertido en posicin vertical (tanto

como sea posible), y al mismo tiempo, mantener el carro en una posicin referencial. En el

problema planteado, el pndulo se mueve en el mismo plano que la trayectoria del carro. El

sistema de control ser diseado empleando la tcnica de control ptimo cuadrtico y la

configuracin de un servosistema. La entrada al proceso (seal de control) es el voltaje de

armadura del servomotor D.C. y las salidas del servosistema son la posicin angular del

pndulo y la trayectoria horizontal del carro. Se desea ts 6 seg. Con el menor sobreimpulso posible.

Solucin

El modelo matemtico del pndulo invertido en tiempo continuo es:

)59.4(

)58.4(

Cxy

BuAxx

siendo

)61.4(0100

0001;

)(

0

)(

0

)60.4(

)(00

)(

1000

)(00

)(

)(0010

2

2121

1

2

2121

2

2

2121

1

2

2121

2

2

2

2121

2

2

2121

221

C

MJJM

KKJ

MJJM

KMK

B

MJJM

BJ

MJJM

gM

MJJM

MB

MJJM

gMJM

A

Ax

Ax

x

x

La discretizacin del modelo linealizado continuo a una frecuencia de muestreo de 200 Hz y asumiendo retencin de memoria de orden cero, la ecuacin de estado discreta y su

ecuacin de salida lo determinamos por MATLAB (programa pen_disc.m) como sigue:



_________________________________________________________________________

______________________________________________________________________


63

% DISCRETIZACION DEL MODELO LINEAL CONTINUO

% PARAMETROS DEL PROCESO

mc = 0.92; me = 0; mv = 0.063095; mp = 0.2; g = 9.81;

lv = 0.767; le = 0; rp = 0.0648; n = 1/19.741;

Jm = 1.9596e-6;

Je = me*le^2; Jv = mv*lv^2/3; Jo = 0; Jp = mp*rp^2/2;

Jeq = Jm + n^2*(Jo + Jp);

Bm = 1.8342e-6; Bo =0; Beq = Bm + n^2*Bo;

Km = 31.071e-3; Kb = 31.053e-3; Ra = 7.38; KA = 14.9;

M1 = mc + me + mv; M2 = me*le + mv*lv/2;

J1 = Je + Jv; J2 = Jeq/(n^2*rp^2);

Kx = Km/(Ra*n*rp);

Bx = Beq/(n^2*rp^2) + Kb*Km/(n^2*rp^2*Ra);

d = ((M1+J2)*J1-M2^2);

a21 = (M1+J2)*M2*g/d; a24 = Bx*M2/d;

a41 = -M2^2*g/d; a44 = -J1*Bx/d;

b21 = -Kx*M2*KA/d; b41 = J1*Kx*KA/d;

% MODELO LINEAL CONTINUO Y DISCRETO

A = [0 1 0 0

a21 0 0 a24

0 0 0 1

a41 0 0 a44];

B = [0

b21

0

b41];

Cc = [0 0 1 0]; % POSICION DEL CARRO

Ts = 1/200; % TIEMPO DE MUESTREO

[G,H] = c2d(A,B,Ts);

Al ejecutarse el programa, tendremos el siguiente resultado:

G

G =

1.0002 0.0050 0 0.0002

0.0996 1.0002 0 0.0964

-0.0000 -0.0000 1.0000 0.0049

-0.0019 -0.0000 0 0.9507

H

H =

-0.0004

-0.1497

0.0002

0.0765



_________________________________________________________________________

______________________________________________________________________


64

Clculo de la Matriz de Ganancia del Controlador.

Reescribimos la ecuacin (4.53):

I

e

e

KKkKCH

HkH

ICG

GkG

kv

kxkkKk

donde

kHkGk

)(~

;)(~

0)(

~;

)(

)()(;)(

~)(

:

)62.4()(~

)(~

)1(

Verificamos la controlabilidad del proceso. Como el orden del sistema de ecuaciones es 5

(n+1), entonces el rango de la matriz de controlabilidad deber ser 5. Veamos el programa

optim_d2.m

% ********** CALCULO DE LA MATRIZ GANANCIA DEL CONTROLADOR

**********

% ***** MATRICES RESULTANTES DE LA DISCRETIZACION *****

G=[1.0002 0.0050 0 0.0002

0.0995 1.0002 0 0.0963

0.0000 0.0000 1.0000 0.0049

-0.0019 0.0000 0 0.9508];

H=[-0.0004 ;-0.1497; 0.0002; 0.0765];

Cc=[0 0 1 0]; % Posicin del carro

% ***** ECUACIONES DEL SERVOSISTEMA

G1=[G zeros(4,1)

-Cc*G 1]; % es la matriz Gtilde

H1=[H; -Cc*H]; % es la matriz Htilde

% ***** MATRIZ DE CONTROLABILIDAD *****

M=[H1 G1*H1 G1^2*H1 G1^3*H1 G1^4*H1];

rM=rank(M); %rM=5 => completamente controlable

% ***** DETERMINACION DE LA MATRIZ DE RICCATI Y CALCULO DE Ktilde

*****

% Considerando Q y R siguientes:

Q=[200 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 100 0 0

0 0 0



_________________________________________________________________________

______________________________________________________________________


65

0 0 0 0 0.01];

R=[100];

P=zeros(5,5); % Condicin inicial arbitraria P(0)

for i=1:1000

P=Q+G1'*P*G1-G1'*P*H1*inv(R+H1'*P*H1)*H1'*P*G1;

end

K1=inv(R+H1'*P*H1)*H1'*P*G1; % K=[K -KI]

[KK,PP]=dlqr(G1,H1,Q,R); % K1=KK, P=PP

K=[KK(1) KK(2) KK(3) KK(4)]; KI = -KK(5);

Clculo de la Matriz de Ganancia del Observador.

En primera instancia, debemos determinar la observabilidad con n = 4), luego seleccionar

las matrices de ponderacin Re y Qe, enseguida calculamos la matriz Pe (usando la ecuacin

(4.17) y finalmente determinar la matriz de ganancia Ke del observador. Veamos el

programa obs_pen.m

% ********** CALCULO DE LA MATRIZ GANANCIA DEL OBSERVADOR

**********

% ***** MATRICES RESULTANTES DE LA DISCRETIZACION *****

G=[1.0002 0.0050 0 0.0002

0.0995 1.0002 0 0.0963

0.0000 0.0000 1.0000 0.0049

-0.0019 0.0000 0 0.9508];

H=[-0.0004 ;-0.1497; 0.0002; 0.0765];

Cc=[0 0 1 0];

% ***** DETERMINACION DE LA OBSERVABILIDAD

C=[1 0 0 0

0 0 1 0];

N=[C' G'*C' G'^2*C' G'^3*C' G'^4*C'];

rnN=rank(N); % debe ser rnN = 4

% ***** DETERMINACION DE LAs MATRICES Pe(k+1) y Ke *****

% Considerando Qe y Re sguientes:

Qe=[1 0 0 0

0 1000 0 0

0 0 0.9 0

0 0 0 1000];

Re=[1 0; 0 10];



_________________________________________________________________________

______________________________________________________________________


66

Pe=zeros(4,4); % inicializacin de la matriz Pe

for i=1:40

Pe=Qe+G*Pe*G'-G*Pe*C'*inv(Re+C*Pe*C')*C*Pe*G';

end

Ke=inv(Re+C*Pe*C')*C*Pe*G'; % matriz ganancia del observador

Un programa completo del diseo del control ptimo cuadrtico del pndulo invertido es

disopt2.m. Dicho programa se lista a continuacin:

% disopt2.m SISTEMA DE CONTROL OPTIMO DEL PENDULO INVERTIDO

clear all

% PARAMETROS DEL PROCESO

mc = 0.92; me = 0; mv = 0.063095; mp = 0.2; g = 9.81;

lv = 0.767; le = 0; rp = 0.0648; n = 1/19.741;

Jm = 1.9596e-6;

Je = me*le^2; Jv = mv*lv^2/3; Jo = 0; Jp = mp*rp^2/2;

Jeq = Jm + n^2*(Jo + Jp);

Bm = 1.8342e-6; Bo =0; Beq = Bm + n^2*Bo;

Km = 31.071e-3; Kb = 31.053e-3; Ra = 7.38; KA = 14.9;

M1 = mc + me + mv; M2 = me*le + mv*lv/2;

J1 = Je + Jv; J2 = Jeq/(n^2*rp^2);

Kx = Km/(Ra*n*rp);

Bx = Beq/(n^2*rp^2) + Kb*Km/(n^2*rp^2*Ra);

d = ((M1+J2)*J1-M2^2);

a21 = (M1+J2)*M2*g/d; a24 = Bx*M2/d;

a41 = -M2^2*g/d; a44 = -J1*Bx/d;

b21 = -Kx*M2*KA/d; b41 = J1*Kx*KA/d;

% MODELO LINEAL CONTINUO Y DISCRETO

A = [0 1 0 0

a21 0 0 a24

0 0 0 1

a41 0 0 a44];

B = [0

b21

0

b41];

Cc = [0 0 1 0]; % POSICION DEL CARRO

Ts = 1/200; % TIEMPO DE MUESTREO

[G,H] = c2d(A,B,Ts);

G1 = [G zeros(4,1)

-Cc*G 1];

H1 = [H;-Cc*H];

M = [H1 G1*H1 G1^2*H1 G1^3*H1 G1^4*H1];

rM = rank(M); % rM=5 => COMPLETAMENTE CONTROLABLE

% CALCULO DE LA GANANCIA DEL CONTROLADOR

Q = [200 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 100 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0.01]; R = [100];

P = zeros(5,5);



_________________________________________________________________________

______________________________________________________________________


67

for i=1:1000

P = Q + G1'*P*G1 -G1'*P*H1*inv(R+H1'*P*H1)*H1'*P*G1;

end

K1 = inv(R+H1'*P*H1)*H1'*P*G1;

[KK,PP] = dlqr(G1,H1,Q,R); % K1=KK, P=PP

K = [KK(1) KK(2) KK(3) KK(4)]; KI = - KK(5);

% CALCULO DE LA GANANCIA DE UN OBSERVADOR

C = [1 0 0 0

0 0 1 0]; % SE OBSERVAN POSICIONES ANGULAR Y LINEAL

Qe = [1 0 0 0

0 1000 0 0

0 0 0.9 0

0 0 0 1000]; Re = [1 0;0 10];

Pe = zeros(4,4);

for i=1:40

Pe = Qe + G*Pe*G' -G*Pe*C'*inv(Re+C*Pe*C')*C*Pe*G';

end

KeT = inv(Re+C*Pe*C')*C*Pe*G'; Ke=KeT';

[KKeT,PPe] = dlqr(G',C',Qe,Re); KKe=KKeT';% Pe=PPe, Ke=KKe

% SIMULACION DEL SISTEMA DE CONTROL OPTIMO

% CONDICIONES INICIALES

x1=0; x2=0; x3=0; x4=0; x5=0;

xe = [0;0;0;0]; r=1.5;

v=0; N = 4000; % TIEMPO EN SEGUNDOS: Ts*N

for k=1:N

u = -K*xe + KI*v;

if(u > 1.4), u = 1.4; % PARA NO SATURAR EL AMPLIFICADOR

elseif(u < -1.4), u = -1.4;

end

xe = G*xe + u*H + Ke*([x1;x3] - C*xe);

% PROCESO NO LINEAL DISCRETIZADO DIRECTAMENTE

den = -M2^2*cos(x1)^2+(M1+J2)*J1;

x1 = x1 + Ts*x2;

x2 = x2 + ...

Ts*(-M2^2*sin(x1)*cos(x1)*x2^2+M2*Bx*cos(x1)*x4 ...

+M2*(M1+J2)*g*sin(x1)-M2*Kx*cos(x1)*KA*u)/den;

x3 = x3 + Ts*x4;

x4 = x4 + ...

Ts*(M2^2*g*sin(x1)*cos(x1)+J1*M2*sin(x1)*(x2)^2 ...

-J1*Bx*x4+J1*Kx*KA*u)/den;

v = v + r - x3;

y1(k)=x1; y2(k)=x3; U(k) =u;

end

% GRAFICOS

t = linspace(0,Ts*N,N);

figure(1)

plot(t,y2(1:N)); grid

ylabel('Posicin del carro')


print -deps -f spoz

figure(2)

plot(t,y1(1:N)); grid

ylabel('Posicin angular del pndulo')


print -deps -f spoa

figure(3)



_________________________________________________________________________

______________________________________________________________________


68

plot(t,U); grid

ylabel('Seal de control u')


print -deps -f spou

Los resultados de la simulacin se muestran en las figuras

4.8, 4.9 y 4.10.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

Posic

in a

ngula

r del pndulo

Tiempo (s)

Figura 4.8: Posicin del carro.

Figura 4.9: Posicin angular del pndulo.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Posic

in d

el carr

o

Tiempo (s)



_________________________________________________________________________

______________________________________________________________________


69

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Seal de c

ontr

ol u

Tiempo (s)

La configuracin del sistema de control ptimo cuadrtico del pndulo invertido se muestra

en la figura 4.11, los componentes fsicos se presentan en las figuras 4.12 a 4.16 y el

diagrama de flujo del programa de control se muestra en la figura 4.17.

Figura 4.10: Seal de control.

Figura 4.11: Implementacin del

sistema de control.

Figura 4.12: Sistema pndulo invertido.



_________________________________________________________________________

______________________________________________________________________


70

Figura 4.13: Servomotor con polea.

Figura 4.14: Esquema

del carro.

Figura 4.15: Codificador ptico.

Figura 4.16: Sensor de posicin.



_________________________________________________________________________

______________________________________________________________________


71

Finalmente, en las figuras 4.18 y 4.19 se presentan dos tomas instantneas del

funcionamiento del pndulo invertido.

Figura 4.17: Diagrama de flujo del

programa de control.

Figura 4.18: Inicio de la prueba. Figura 4.19: Ejecucin de la prueba.

Documents

Ing_Control_I_Cap_4